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第二讲 反比例的图像和性质【引入】画出函数x6y 6-==和xy 的表格和图像，并说出y 与x 之间的变化关系；(1)y 6=(2)y 6-=1、反比例函数的图像和性质2、反比例函数y=k x中k 的意义①如图过双曲线上任一点p （x 、y ）作x 轴、y 轴垂线段PM 、PN 所得矩形PMON 的面积 S=PM ·PN=|y|·|x|=|xy| ∵y=k/x ∴xy=k ∴s=|k|， 即反比例函数y=k/x （k ≠0）中的比例系数的k 的绝对值表示过双曲线 上任意一点，作X 轴，Y 轴的垂线所得的矩形的面积。
②如图过双曲线上一点Q 向X 轴或Y 轴引垂线，则S △AOQ=1/2|k| 【例题解析】例1.对于反比例函数2y x=，下列说法正确的是（ ）A ．点()2,1-在它的图像上 B ．它的图像经过原点C ．它的图像在第一、三象限D ．当0x >时，y 随x 的增大而增大 例2.在反比例函数3k yx-=图象的每一支曲线上，y 都随x 的增大而减小，则k 的取值范围是 （ ）A ．k ＞3B ．k ＞0C ．k ＜3D ． k ＜0例3、（1）函数y=2x的自变量x 的取值范围是_______，图像在______象限；（2）函数y=-3x的自变量x 的取值范围是_______，图像位于_______象限；（3）函数y=21kx+的自变量x 的取值范围是_____，图像位于_______象限．例4．用“＞”或“＜”填空：（1）已知11,y x 和22,y x 是反比例函数xy 3=的两对自变量与函数的对应值．若120x x <<，则21y y 和的大小（2）已知11,y x 和22,y x 是反比例函数xy 3-=的两对自变量与函数的对应值．若120x x >>，则120______y y ．例5.如图1，若点A 在反比例函数(0)k y k x=≠的图象上，A M x ⊥轴于点M ，A M O △的面积为3，则k = ． 【轻松一练】 一、选择题1．已知点（2，-6）在函数y=kx 的图像上，则函数y=k x的图像在（ ）．A ．第一，第二象限B ．第二，第三象限C ．第二，第四象限D ．第一，第四象限 2．某函数图像如图所示，则该函数关系式可能是（ ）．A ．y=xB ．y=1xC ．y=x 2D ．y=1||x3.若反比例函数k y x=的图象经过点(3)m m ，，其中0m ≠，则此反比例函数的图象在（ ） A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第二、四象限D ．第三、四象限4．反比例函数y=kx（k ≠0）图像经过点（2，5），若点（100，n ）•在反比例函数的图像上，则n 等于（ ）．A ．10B ．5C ．2D ．1105．下列各点中，在函数y=-3x的图象上的是（ ）．A ．（3，1）B ．（-3，1）C ．（13，3） D ．（3，-13）6．下列函数中，y 是x 的反比例函数的是（ ） A ．x （y-1）=1 B ．y=2111 . .13C y D y x xx==+7．已知反比例函数的图象经过点（-2，1），•则反比例函数的表达式为（ ）A ．y=-2xB ．y=2xC ．y=-12xD ．y=12x8、满足函数y=k （x-1）和函数y=k x（k ≠0）的图像大致是（ ）．9．当x<0时，函数y=x 与y=1x在同一坐标系中的图像大致是（ ）．二、解答题1．已知点A （3，1）在反比例函数图象上， （1）求这个反比例函数的解析式; （2）请判断：点B （2，32）与点（-12，-23）是否在函数的图象上，并说明理由．2、如图，已知点A 、B 在双曲线xk y（x ＞0）上，AC ⊥x 轴于点C ，BD ⊥y 轴于点D ，AC 与BD 交于点P ，P 是AC 的中点，若△ABP 的面积为3，求k 的值。
反比例函数的图象与性质一、知识回顾（1）定义：一般地，形如y ＝kx （k 为常数，k ≠0）的函数，叫做反比例函数，其中x 是自变量，y 是函数，自变量x 取值范围是不等于0的一切实数.（2）性质：一般地，反比例函数y ＝kx的图象是双曲线，它具有以下性质：①当k ＞0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一个象限内，y 随着x 的增大而减小.②当k ＜0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一个象限内，y 随着x 的增大而增大.③反比例函数y ＝kx 的图象，关于原点对称，关于直线y ＝±x 对称；图象上任意一点关于原点或直线y ＝±x 对称后仍然在反比例函数图象上.二、精讲精练 【定义】〖例〗下列是反比例函数的是（ ）A .y ＝x 2B .y ＝－23xC .y ＝x 2D .y ＝2x －1〖练〗下列函数中，y 是x 的反比例函数的是（ ）A ．y ＝－12xB ．y ＝－1x 2C ．y ＝1x ＋1D ．y ＝1－1x【图象】〖例〗（点与图象）已知反比例函数y ＝k x （k 为常数，k ≠0）的图象经过点A （－2，12）．（1）求这个函数的解析式；（2）若点B （m ＋2，m ）在这个函数的图象上，求m 的值．〖变〗1、若反比例函数的图象经过点（2，－2），（m ，1），则m ＝__________.2、已知，点A （m ，2－m ），B （m ＋3，m －2）都在反比例函数y ＝k x 的图象上．则k 的值为__________.3、若反比例函数y ＝3－m x 的图象经过点（1，a 2），则m 的取值范围是__________.〖例〗（图象分布）若反比例函数y ＝kx 的图象经过点（2，－1），则该反比例函数的图象在第__________象限．〖练〗反比例函数y ＝kx 图象经过点（－3，－2），则该图象的两个分支在第__________象限．〖例〗（k 的几何含义）反比例函数y ＝kx 的部分图象如图所示，点M 是双曲线上一点，MN⊥x 轴于点N ．若S △MNO ＝2，则k 的值为__________．〖变〗1、已知反比例函数图象A ，B ，C 对应各自反比例函数系数k 1，k 2，k 3；则k 1，k 2，k 3的大小关系_______________.（用“＜”连接）2、反比例函数y ＝kx 的部分图象如图所示，则k 的值可能是（ ）A ．2B ．0.7C ．－6D ．3【对称性】〖例〗若正比例函数y ＝－2x 与反比例函数y ＝kx 的图象交于（1，－2），则另一个交点坐标为__________.〖练〗已知正比例函数y ＝kx 的图象与反比例函数y ＝6－kx 的图象的一个交点坐标是（1，3），则另一个交点的坐标是__________.〖变〗已知直线y ＝kx （k ＞0）与双曲线y ＝3x 交于点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，则x 1y 2＋x 2y 1的值为（ ） A ．－6 B ．－9C ．0D ．9【增减性】〖例〗反比例函数y ＝m －1x ，在每个象限内，y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是__________．〖练〗若反比例函数y ＝2k －3x 的图象在其每个象限内，y 随x 的增大而减小，则k 的取值范围是__________．〖例〗已知点A （－3，y 1），B （－1，y 2），C （3，y 3）都在反比例函数y ＝4x 的图象上，则（ ）A ．y 3＜y 2＜y 1B ．y 2＞y 1＞y 3C ．y 1＜y 2＜y 3D ．y 2＜y 1＜y 3〖练〗1、已知点A （1，y 1），B （－2，y 2），C （－3，y 2）都在反比例函数y ＝－k 2－1x（k为常数）的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是__________.2、已知：点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3）是函数y ＝－3x 图象上的三点，且x 1＜0＜x 2＜x 3，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ） A ．y 1＜y 2＜y 3 B ．y 2＜y 3＜y 1C ．y 3＜y 2＜y 1D ．无法确定〖变〗已知A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）、C （x 3，y 3）是反比例函数y ＝2x 上的三点，若x 1＜x 2＜x 3，y 2＜y 1＜y 3，则下列关系式不正确的是（ ） A ．x 1﹒x 2＜0 B ．x 1﹒x 3＜0 C ．x 2﹒x 3＜0 D ．x 1＋x 2＜0【识别图象】〖例〗当k ＞0时，反比例函数y ＝kx和一次函数y ＝kx ＋2的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．〖练〗1、在同一直角坐标系中，一次函数y ＝ax －a 与反比例函数y ＝ax (a ≠0)的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．2、一次函数y ＝kx －k 2－1与反比例函数y ＝k x在同一直角坐标系内的图象大致位置是（ ）A ．B ．C ．D ．一次函数与反比例函数综合一、方法与技巧（1）求解析式、交点：代点得方程、联立方程、待定系数法； （2）面积问题：k 的几何意义、设坐标、割补拼凑、平行转化； （2）求不等式解集：联立方程解交点，观察函数图象；（3）判断双曲线与直线（线段）位置关系：联立方程，转化为整式方程，利用判别式； （4）求交点相关的代数式值：利用方程计算、根与系数关系.二、精讲精练【求解析式和交点：方程与函数】〖例〗1、（联立）如图，直线y ＝x －1与反比例函数y ＝2x 的图象交于A 、B 两点，与x 轴交于点C ，则点A ，B 的坐标分别为___________、__________.2、（对称性）已知双曲线y ＝k x 与直线y ＝－12x 交于A 、B 两点，且A （－2，m ），则点B 的坐标是__________.3、（点代入）已知一次函数y ＝kx ＋2与反比例函数y ＝3x 的图象都经过A （m ，1）．求：（1）点A 的坐标；（2）求这个一次函数的解析式． （3）求另一个交点B 的坐标． 4、（待定系数法）已知一次函数与反比例函数的图象交于点P （－2，－1）和点Q （1，m ） 求反比例函数和一次函数的解析式．〖练〗1、已知正比例函数y ＝kx 的图象与反比例函数y ＝mx 的图象交于A ，B 两点，若点A的坐标为（－2，1），则关于x 的方程mx ＝kx 的两个实数根分别为（ ）A ．x 1＝－1，x 2＝1B ．x 1＝－1，x 2＝2C ．x 1＝－2，x 2＝1D ．x 1＝－2，x 2＝22、已知正比例函数y ＝kx 的图象与反比例函数y ＝5－kx （k 为常数，k ≠0）的图象有一个交点的横坐标是2，则k ＝__________．3、已知反比例函数y ＝k 1x 的图象与一次函数y ＝k 2x ＋b 的图象交于A 、B 两点A （1，n ），B （－12，－2），求反比例函数和一次函数的解析式．【不等式解集：数形结合】〖例〗1、如图，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数y ＝mx 图象交于A （－2，1）、B （1，n ）两点.（1）求点B 坐标；（2）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围.〖练〗1、如图，已知一次函数y ＝x ＋b 与反比例函数y ＝kx 的图象交于A 、B 两点，其中点A的坐标为（2，3）. （1）求点B 的坐标；（2）请根据图象直接写出不等式x ＋b －kx＞0的解集.2、如图，已知一次函数y 1＝k 1x ＋b 的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，与反比例函数y 2＝k 2x 的图象分别交于C 、D 两点，点D （2，﹣3），点B 是线段AD 的中点.（1）求一次函数y 1＝k 1x ＋b 与反比例函数y 2＝k 2x 的解析式；（2）求C 点坐标；（3）直接写出y 1＞y 2时自变量x 的取值范围.〖变〗如图，已知反比例函数y ＝k 1x 与一次函数y ＝k 2x ＋b 的图象交于点A （1，8）、B （－4，m ）．（1）求k 1、k 2、b 的值；（2）若M （x 1，y 1）、N （x 2，y 2）是比例函数y ＝k 1x图象上的两点，且x 1＜x 2，y 1＜y 2，指出点M 、N 各位于哪个象限，并简要说明理由．【面积问题：k 几何意义、设坐标、割补拼凑、平行转化】〖例〗1、（k 几何意义）如图，A 是反比例函数y ＝kx 图象上一点，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，点P 在y 轴上，△ABP 的面积为1，则k 的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．－1 D ．－2〖练〗如图，A 是反比例函数图象上一点，过点A 作AB ⊥y 轴于点B ，点P 在x 轴上，△ABP 面积为2，则这个反比例函数的解析式为__________.〖例〗（设坐标）如图，已知点A ，B 在反比例函数y ＝kx （x ＜0）的图象上，AC ⊥x 轴于点C ，BD ⊥y 轴于点D ，AC 与BD 交于点P ，且P 为AC 的中点，若△ABP 的面积为2，则k ＝__________.〖练〗如图，反比例函数y ＝2x 的图象经过矩形OABC 的边AB 的中点D ，则矩形OABC 的面积为（ ）A ．2B ．4C ．5D ．8〖例〗（割补拼凑）如图，已知反比例函数y ＝k x （k ≠0）的图象经过点（12，8），直线y ＝－x ＋b 经过该反比例函数图象上的点Q （4，m ）（1）设该直线与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，与反比例函数图象的另一个交点为P ，则A ，B ，P 三点的坐标分别是__________、__________、__________； （2）连接OP 、OQ ，求△OPQ 的面积．〖练〗1、如图，已知一次函数y 1＝k 1x ＋b 的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，与反比例函数y 2＝k 2x 的图象分别交于C 、D 两点，点D （2，﹣3），点B 是线段AD 的中点.（1）求C 点的坐标；（2）求△COD 的面积；x A 的坐标为（1，m ）．（1）求反比例函数y ＝kx（k ≠0）的表达式；（2）若P 是y 轴上一点，且满足△ABP 的面积为6，求点P 的坐标．〖例〗（平行转化）如图，反比例函数y ＝kx 与y ＝mx 交于A 、B 两点，已知点A 的坐标是（4，2），点P 是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在AB 的上方． （1）求k 、m 的值及B 点的坐标； （2）若S △ABP ＝12，求点P 的坐标．〖练〗在平面直角坐标xOy 中，直线y ＝x ＋b 与双曲线y ＝ mx 的一个交点为A （2，4），与y 轴交于点B ．（1）求m 的值和点B 的坐标；（2）点P 在双曲线y ＝ mx上，△OBP 的面积为8，直接写出点P 的坐标．x B （3，n ）两点．（1）求一次函数及反比例函数的解析式；（2）点P 为双曲线上A ，B 之间的一点，求当△ABP 的面积最大时点P 的坐标．【位置关系问题：数形结合、方程思想】〖例〗（数形结合）一次函数y ＝kx ＋k －1的图象与反比例函数y ＝1x 的图象交点的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．1或2〖练〗函数y ＝1－kx 与y ＝2x 的图象没有交点，则k 的取值范围为（ ）A ．k ＜0B ．k ＜1C ．k ＞0D ．k ＞1〖例〗1、若一次函数y ＝mx ＋6的图象与反比例函数y ＝nx 在第一象限的图象有公共点，则有（ ） A ．mn ≥－9 B ．－9≤mn ≤0C ．mn ≥－4D ．－4≤mn ≤02、若一个反比例函数的图象与一次函数y ＝x －3的图象在同一平面直角坐标系中没有公共点，则这个反比例函数的解析式可能是（ ）A ．y ＝3xB ．y ＝－3xC ．y ＝1xD ．y ＝－1x3、在平面直角坐标系中，直线y ＝x ＋b 与双曲线y ＝－1x 只有一个公共点，则b 的值是（ ）A ．1B ．±1C ．±2D ．2〖练〗1、若直线y ＝x ＋2与双曲线y ＝m －3x 在第二象限有两个交点，则m 的取值范围是（ ）A ．m ＞2B ．m ＜3C ．2＜m ＜3D ．m ＞3或m ＜22、在同一直角坐标平面内，如果直线y ＝k 1x 与双曲线y ＝k 2x 没有交点，那么k 1和k 2的关系一定是（ ） A ．k 1＋k 2＝0 B ．k 1﹒k 2＜0 C ．k 1﹒k 2＞0 D ．k 1＝k 23、在平面直角坐标系中，直线y ＝－x ＋2与反比例函数y ＝1x 的图象有唯一公共点，若直线y ＝－x ＋b 与反比例函数y ＝1x 的图象有2个公共点，则b 的取值范围是（ ）A ．b ＞2B ．－2＜b ＜2C ．b ＞2或b ＜－2D ．b ＜－2〖例〗1、在直角平面坐标系中，直线l 与双曲线y ＝－5x 只有一个交点A （5，－1），求l 的函数解析式．2、如图，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数y ＝mx 的图象相交于点A （1，5）和点B ，与y 轴相交于点C （0，6）.（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）现有一直线l 与直线y ＝kx ＋b 平行，且与反比例函数y ＝mx 的图象在第一象限有且只有一个交点，求直线l 的函数解析式.〖练〗1、如图，点P （－2，3）在双曲线上，点E 为该双曲线在第四象限图象上一动点，过E 的直线与双曲线只有一个公共点，并与x 轴和y 轴分别交于A 、B 两点，则△AOB 面积为（ ） A ．24 B ．12 C ．6 D ．不确定2、已知直线l 分别与x 轴、y 轴交于A .B 两点，与双曲线y ＝ax （a ≠0，x ＞0）分别交于D .E两点.若点D 的坐标为（3，1），点E 的坐标为（1，n ）. （1）分别求出直线l 与双曲线的解析式；（2）若将直线l 向下平移m （m ＞0）个单位，当m 为何值时，直线l 与双曲线有且只有一个交点？〖例〗1、已知直线y ＝kx （k ＞0）与双曲线y ＝4x 交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，则2x 1y 2－7x 2y 1的值等于（ ） A ．28B ．20C ．36D ．－202、已知函数y ＝x ＋5与y ＝3x 的图象的两个交点的横坐标为a 、b ，则1a ＋1b 的值是（ ）A ．－53B ．53C ．－35D ．35〖练〗1、已知直线y ＝kx 与双曲线y ＝－2x 交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，则2x 1y 2－8x 2y 1的值为（ ） A ．－6B ．－12C ．6D ．122、已知反比例函数y ＝1－6tx 的图象与直线y ＝－x ＋2有两个交点，且两交点横坐标的积为负数，则t 的取值范围是（ ） A ．t ＜16B ．t ＞16C ．t ≤16D ．t ≥16〖例〗1、已知点A （－2，1），B （1，4），若反比例函数y ＝kx 与线段AB 有公共点时，k 的取值范围是（ ） A ．－2≤k ≤4 B ．k ≤－2或k ≥4 C ．－2≤k ＜0或k ≥4 D ．－2≤k ＜0或0＜k ≤42、如图，过点A （4，5）分别作x 轴、y 轴的平行线，交直线y ＝－x ＋6于B 、C 两点，若函数y ＝kx （x ＞0）的图象△ABC 的边有公共点，则k 的取值范围是（ ）A ．5≤k ≤20B ．8≤k ≤20C ．5≤k ≤8D ．9≤k ≤20〖练〗1、如图，过点C （1，2）分别作x 轴、y 轴的平行线，交直线y ＝－x ＋6于A 、B 两点，若反比例函数y ＝kx（x ＞0）的图象与△ABC 有公共点，则k 的取值范围是_______________．2、如图，正方形ABCD 位于第二象限，AB ＝1，顶点A 在直线y ＝－x 上，其中A 点的横坐标为－1，且两条边AB 、AD 分别平行于x 轴、y 轴，若双曲线y ＝（k ≠0）与正方形ABCD 有公共点．则k 的取值范围是（ ） A ．－4≤k ≤－1 B ．－4＜k ＜－1 C ．－4≤k ＜－1D ．1≤k ≤4。
反比函数的图象和性质是什么？
反比函数的图象是什么？反比函数的图像是在一个坐标轴上有两根相互对称的曲线而组成，性质分别为：①单调性、②面积、③图想表达、④对称性，以上就是反比函数的图象和性质。
接下来详细的看一下其中的内容吧！
①单调性：反比函数是具有单调性的，当函数内容k大于零的时候，图像分别位于第一三象限，而在每一个象限的内部，从左往右来数，y 是随着x的增大而减少，如果K小于零的时候，图像分别位于第二四象限，在每一个象限的内部，y随着x的增大而增大。
当K大于零的时候，函数在x小于零上是一个减函数，而在x大于零的时候，也是为减函数。
在k小于零的时候，函数在x小于零上为增函数，在x大于零的时候同为增函数。
②面积：在一个反比例函数上面取两个点，这两个点可以随意的取，然后过点分别做一个x轴和一个y轴的平行线，而这个平行线是可以和坐标轴围成一个矩形，而这一个矩形的面积为绝对值得K。
而在反比例函数上，找到一个点，向X/Y轴分别做一个垂线，设置一个围好的矩形，而这个矩形则为QOWM，这个垂线分别位于y轴和x 轴，则围成形状的这个面积为绝对值得K，则连接这个矩形的对角线为OM，则满足RT△OMQ的面积等于二分之一绝对值得K。
③图像表达：对于反比例函数的图像来说的话，不和x轴或者是y轴的相交渐近线为x轴和y轴，K值相等的反比例函数图像是相互重合的，k值不相等的反比例函数图像是永远都不会相交的，而绝对值得K 越大的话，反比例函数距离坐标轴就会越来越远。
④对称性：反比例函数是一种中心对称的图形，对称中心是原点，而正是这样的一个反比例函数的图像也是轴对称图形，随意反比例函数上的点是关于原点坐标对称的，图像关于原点对称。
反比例函数一. 教学内容：反比例函数 教学目标：1. 理解反比例函数、图象及其主要性质，能根据所给信息确定反比例函数表达式，画出反比例函数的图象，并利用它们解决简单的实际问题。
2. 初步了解数学在实际生活中的应用，增强应用意识，体会数学的重要性。
二. 重点、难点：重点：能根据所给信息确定反比例函数表达式，画出反比例函数的图象，并利用它们解决简单的实际问题。
难点：反比例函数的应用。
三、知识要点1、经历抽象反比例函数概念的过程，并能类推归纳出反比例函数的表达式2、一般地，如果两个变量x ，y 之间的关系可以表示成y=xk （k 为常数，k 不等于0）的形式，那么称y 是x 的反比例函数从y=xk 中可知，x 作为分母，所以不能为零 3、画反比例函数图像时要注意以下几点a 列表时自变量的取值应取绝对值相等而符号相反的一对数值，这样既可以简化计算，又便于标点b 列表、描点时，要尽量多取一些数值，多描一些点，这样方便连线c 在连线时要用“光滑的曲线”，不能用折线 4、反比例函数的性质图象性质①x的取值范围是0≠x，y的取值范围是0≠y②函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每一个象限内y随x的增大而减小①x的取值范围是0≠x，y的取值范围是0≠y②函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每一个象限内y随x的增注意：1）反比例函数是轴对称图形和中心对称图形；2）双曲线的两个分支都与x轴、y轴无限接近，但永远不能与坐标轴相交；3）在利用图象性质比较函数值的大小时，前提应是“在同一象限”内。
5、反比例函数系数k的几何意义如图，过双曲线上任意一点P作x轴，y轴的垂线PM，PN，所得矩形的面积为PNPMS⋅=NMNM⋅=⋅=∵xky=∴yxk⋅=∴NMS⋅=，即过双曲线上任一点作x轴，y轴的垂线，所得矩形的面积为k注意：①若已知矩形的面积为k，应根据双曲线的位置确定k值的符号。
②在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，分别过P，Q作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2，则有S1＝S2。
四、重点难点重点：1、经历抽象反比例函数概念的过程2、反比例函数的图像特点及性质的探究3、通过观察图像，归纳总结反比例函数图像难点：1、理解反比例函数的概念2、画反比例函数的图像，并从图像中获取信息3、从反比例函数的图像中归纳总结反比例函数的主要性质 五、典例解析考点一、反比例函数的定义例1、用电器的输出功率P 与通过的电流I ，用电器的电阻R 之间的关系是，下面说法正确的是（ ）A. P 为定值，I 与R 成反比例B. P 为定值，2I 与R 成反比例C. P 为定值，I 与R 成正比例D. P 为定值，2I 与R 成正比例分析：掌握常见的数学公式，物理公式对学习是非常有用的，在以后的学习中我们会经常遇到跨学科的题目，R I P 2=可化为2IPR =，当P 为定值时，R I 与2成反比例。
本题的答案是：B例2、k 为何值时，()522-+=k x k y 是反比例函数？分析：根据反比例函数表达式的一般形式xky =()0≠k 也可以写成1-=kx y ()0≠k ，后一种写法中的x 的次数为－1，可知函数为反比例函数，必须具备两个条件：02≠+k 且152-=-k 二者缺一不可解：⎩⎨⎧-=-≠+15k 02k 2由⎩⎨⎧±=-≠2k 2k 得 ()。
x 2k ，y 2k 2k 5k2是反比例函数时当-+==∴=∴常见的错误：1）不会把反比例函数的一般形式xky =写成1-=kx y 形式； 2）忽略了02≠+k 这个条件。
考点二：反比例函数的图象例3、若()()()321,1,,2,,3y C y B y A ---三点都在函数xy 1-=的图象上，则321,,y y y 的大小关系是（ ）A. 321y y y <<B. 321y y y ==C. 231y y y <<D. 321y y y >>分析：主要考查反比例函数的图象和性质。
解答时，应先画出xy 1-=的图象，如图，然后把()()()321y ,1C ,y ,2B ,y ,3A ---三点在图中表示出来，依据数轴的特性。
答案为A例4、观察下面函数x y 2-=和xy 2=的图像，请大家对比着探索它们的异同点相同点：a 、图像都是由两条曲线组成 b 、它们都不与坐标轴相交 c 、它们都不过原点不同点：它们所在的象限不同，xy 2=的两条曲线在第一和第三象限，x y 2-=的两条曲线在第二和第四象限，大家再仔细观察一下每个函数图像是否为对称图形，轴对称图形，中心对称图形？由此看来，反比例函数的图像是两条双曲线，它们要么在第一、三象限，要么在第二、四象限，究竟什么时候在第一、三象限，什么时候在第二、四象限，大家能确定吗？可以，当k 大于0时，图像的两条曲线在第一、三象限内，当k 小于0时，两条曲线分别位于第二、四象限。
考点三：反比例函数的性质 例5、已知反比例函数xky -=4，分别根据以下条件求出k 的取值范围。
（1）函数图象位于第一、三象限内；（2）在每一个象限内，y 随x 的增大而增大。
分析：反比例函数图象的位置是由k 的符号决定的，当0>k 时，反比例函数的图象在第一、三象限，在每一个象限内y 随x 的增大而减小；当0<k 时，反比例函数的图象在第二、四象限，在每一个象限内y 随x 的增大而增大。
另外，由k 的符号可以推出反比例函数图象的位置和函数的变化情况，函数的增减性也可以推出k 的符号。
本题的反比例函数的系数是k -4，可先根据反比例函数的性质列出不等式，再解不等式求出k 的取值范围。
解：（1）∵双曲线在第一、三象限内，∴04>-k 4<k（2）∵在每一个象限内y 随x 的增大而增大 ∴04<-k 4>k例6、如图，反比例函数图像上任取两点P 、Q ，过点P 分别作x 轴，y 轴的平行线与坐标轴围成的矩形面积为1S ，过点Q 分别作x 轴，y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为2S 。
（1）1S 与2S 有什么关系？为什么？（2）将反比例函数的图像绕原点旋转180度后，能与原来的图像重合吗？分析：任取P 、Q 两点有两种情况。
一是在同一条曲线上取两点，二是在不同的曲线上取两点。
根据所选的点的坐标与坐标轴所围成的面积=长×宽，可得y x S ⋅=，另外，反比例函数既是轴对称图形又是中心对称图形，所以问题（2）将反比例函数的图像绕原点旋转180度后，能与原来的图像重合解：（1）①P 、Q 两点在同一条曲线上：设P （11,y x ），过P 点分别作x 轴、y 轴的平行线，与两坐标轴围成的矩形面积为1S ，则111y x S ⋅=因为（11,y x ）在反比例函数xky =的图像上，所以11x k y =即k y x 11=⋅ 所以k S =1 同理可知 k S =2 所以1S =2S②P 、Q 分别在不同的曲线上：解法同1同理可知 1S =2S因此只要是在同一个反比例函数图像上任取两点P 、Q ，不管P 、Q 是在同一条曲线上，还是在不同的曲线上，过P 、Q 分别作x 轴，y 轴的平行线与坐标轴围成的矩形面积1S 、2S 都有1S =2S（2）若将反比例函数的图像绕原点旋转180度后，能与原来的图像重合. 因为反比例函数既是轴对称图形又是中心对称图形。
考点五：反比例函数的实际应用例7、小明将一篇24000字的社会调查报告录入电脑，打印成文.（1）如果小明以每分钟120字的速度录入，他需要多长时间才能完成录入任务？（2）录入文字的速度v （字/min ）与完成录入的时间t （min ）有怎样的函数关系．（3）小明希望能在3h 内完成录入任务，那么他每分钟至少应录入多少个字？分析：题中的等量关系为：总字数=录入文字的速度×录入时间解：（1）24000÷120=200（分钟） 所以他需要用200分钟才能完成录入工作。
（2）函数关系式是：tv 24000=（3）3h=180min3.133340018024000≈==v由于录入的字要为整数，所以他每分钟至少要录入134个字。
例8、蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流I （A ）与电阻R （Ω）之间的函数关系如图所示。
（1）蓄电池的电压是多少？你能写出这一函数的表达式吗？（2）完成下表，并回答问题：如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过10A ，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围内？分析：从上图来看，I 和R 之间可能是反比例函数关系。
电压U 就相当于反比例函数中的k ，要写出函数的表达式，实际上就确定了k （U ），只需要一个条件即可，而图中已给出了一个点的坐标，所以这个问题就解决了，实际上填表是已知自变量求函数的值。
解：（1）设函数表达式为RU I =， ∵()4,9A 在图象上，∴36==IR U∴RI 36=蓄电池的电压是36伏。
（2）电流不超过10A ，即I 最大为10A ，代入关系式中得R=3.6，为最小电阻，所用电器的可变电阻应控制在6.3≥R Ω这个范围内.例9、反比例函数的图象上有一点P （m ，n ）其坐标是关于t 的一元二次方程032=+-k t t 的两根，且P 到原点的距离为13，求该反比例函数的解析式.分析：要求反比例函数的解析式，就是要求出k ，为此我们需要列出一个关于k 的方程.解：∵ m ，n 是关于t 的方程032=+-k t t 的两根 ∴ m+n=3，mn=k ， 又 PO=13 ∴ 1322=+n m∴()1322=-+mn n m ∴ 9－2k=13. ∴ k=－2当 k=－2时，△=9+8＞0， ∴ k=－2符合条件， ∴反比例函数的解析式为：x2y -=考点六：反比例函数与一次函数的应用例10、如图，一次函数b kx y +=的图象与反比例函数xmy =的图象相交于A 、B 两点。
（1）根据图象，写出B 点的坐标；（2）求出两函数的解析式；（3）根据图象回答：当x 为何值时，一次函数的函数值大于反比例函数的值。
分析：（1）根据数轴上的坐标可以写出B 点的坐标（2）根据图象上的点代入函数的一般形式中可以求出函数关系式 （3）观察函数的图象，可以得出结论 解：（1）由图象可得B （4，3）（2）把反比例函数上的点代入函数的关系式xm y =得⇒=4m312=m∴反比例函数的关系式为xy 12=由图可知一次函数与坐标轴的交点为（0，1）和（－2，0）把这两点代入一次函数关系式kx y =+b 得：⎪⎩⎪⎨⎧+-==bk b 201解得：⎪⎩⎪⎨⎧==211k b∴一次函数的关系式为：121+=x y （3）由图象可知，当4x 0x 6><<-或时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值。
