北京市人大附中高三数学中档题练习四

2025届北京市朝阳区人大附中高考数学必刷试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知实数x ，y 满足约束条件2211x y y x y kx +≥⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，若2z x y =-的最大值为2，则实数k 的值为（ ）A ．1B ．53C ．2D ．732．已知函数1222,0,()log ,0,x x f x x x +⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩若关于x 的方程[]2()2()30f x af x a -+=有六个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为（ ）A ．163,5⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．163,5⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(3,4)D ．(]3,43．已知棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的四个面中，最大面积为（ ）A ．22B ．23C ．4D ．264．若x ，y 满足约束条件40,20,20,x y x x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩且z ax y =+的最大值为26a +，则a 的取值范围是（ ）A ．[1,)-+∞B ．(,1]-∞-C ．(1,)-+∞D ．(,1)-∞- 5．函数()1sin f x x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(x ππ-≤≤且0)x ≠的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知向量,a b 满足||1,||3a b ==,且a 与b 的夹角为6π,则()(2)a b a b +⋅-=( ) A ．12 B ．32- C ．12- D ．327．某中学2019年的高考考生人数是2016年高考考生人数的1.2倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2016年和2019年的高考情况，得到如图柱状图：则下列结论正确的是（ ）.A ．与2016年相比，2019年不上线的人数有所增加B ．与2016年相比，2019年一本达线人数减少C ．与2016年相比，2019年二本达线人数增加了0.3倍D ．2016年与2019年艺体达线人数相同8．设集合A ＝{y |y ＝2x ﹣1，x ∈R }，B ＝{x |﹣2≤x ≤3，x ∈Z }，则A ∩B ＝（ ）A ．（﹣1，3]B ．[﹣1，3]C ．{0，1，2，3}D ．{﹣1，0，1，2，3}9．若x ，y 满足约束条件0,2,10,x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则4z x y =+的取值范围为（ ）A ．[]5,1--B ．[]5,5-C ．[]1,5-D ．[]7,3-10．等差数列{}n a 中，已知51037a a =，且10a <，则数列{}n a 的前n 项和n S *()n N ∈中最小的是（ ）A ．7S 或8SB ．12SC ．13SD ．14S11．偶函数()f x 关于点()1,0对称，当10x -≤≤时，()21f x x =-+，求()2020f =（ ） A ．2 B ．0 C ．1- D ．112．已知随机变量X 的分布列如下表：其中a ，b ，0c >.若X 的方差()13D X ≤对所有()0,1a b ∈-都成立，则（ ） A ．13b ≤ B ．23b ≤ C ．13b ≥ D ．23b ≥ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

人大附中2023届高三再入境摸底练习数学第一部分（选择题共40分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请将答案涂在机读卡上的相应位置上.）1.命题“22,4x x ∀≥≥”的否定为（）A.“22,4x x ∀≤≥”B.“2002,4x x ∃<<”C.“22,4x x ∀≥<”D.“20024x x ∃≥<,”2.若复数z 满足i 2i z =-+，则z 的虚部为（）A.2iB.2C.1D.i3.已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若11a =，35a =，64n S =，则n =（）A.6B.7C.8D.94.如图是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，如图是会徽的几何图形，设弧AD 长度是1l ，弧BC 长度是2l ，几何图形ABCD 面积为1S ，扇形BOC 面积为2S ，若123l l =，则12SS =（）A.5B.6C.7D.85.现有四个函数：()()()()21213453;log ;e e ;log x xf x x f x x f x f x x -===-=.如下图所示是它们在第一象限的部分图像，则对应关系正确的是（）A.①()1f x ，②()3f x ，③()2f x ，④()4f xB.①()1f x ，②()3f x ，③()4f x ，④()2f xC.①()3f x ，②()2f x ，③()4f x ，④()1f xD.①()3f x ，②()1f x ，③()4f x ，④()2f x 6.若0,0a b >>，则“4a b +≤”是“4ab ≤”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.为了得到函数2cos3y x =的图象，只要把函数π2sin 35y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上所有的点（）A.向左平移3π10个单位长度 B.向右平移3π10个单位长度C.向左平移π10个单位长度 D.向右平移π10个单位长度8.已知双曲线221:18x C y -=的左焦点与抛物线22:C y ax =的焦点F 重合，Q 为抛物线2C 上一动点，定点()5,2A -，则QA QF +的最小值为（）A.5B.3C.4D.89.冰箱，空调等家用电器使用了氟化物，氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层，使臭氧含量Q 呈指数函数型变化，在氟化物排放量维持某种水平时，具有关系式0.00250etQ Q -=，其中0Q 是臭氧的初始量，e 是自然对数的底数，e 2.71828= .试估计（）年以后将会有一半的臭氧消失.()ln20.693≈A.267B.277C.287D.29710.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，M ，N 分别为1BB ，CD 的中点.则下列选项中错误的是（）A.直线//MN 平面11CB D B.三棱锥11A MND -在平面ABCD 上的正投影图的面积为4C.在棱BC 上存在一点E ，使得平面1AEB ⊥平面MNB D.若F 为棱AB 的中点，三棱锥M NFB -的外接球表面积为6π第二部分（非选择题共110分）二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分.）11.已知向量,a b在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则43a b -= __________.12.已知()()565432643210511x x a x a x a x a x a x a x a +-=++++++，则5a 的值为______．13.若过点()2,1-的直线l 和圆222220x y x y +++-=交于,A B 两点，若弦长3AB =，则直线l 的方程为______.14.已知数列{}n a 为等差数列，其公差0d ≠，若数列{}n a 中的部分项组成的数列1k a ，2k a ，…，n k a ，…恰为等比数列，其中11k =，25k =，317k =，则12n k k k +++= ______.15.设函数()f x 定义域为I ，对于区间D I ⊆，如果存在1x 、2x D ∈，12x x ≠，使得()()122f x f x +=，则称区间D 为函数()f x 的“保2区间”.（1）给出下面3个命题：①(),-∞+∞是函数31x y =+的“保2区间”；②ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是函数sin y x =的“保2区间”；③1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦是函数 1.5log y x =的“保2区间”.其中正确命题的序号为______.（2）若[]π,2π是函数()()cos 0f x x ωω=>的“保2区间”，则ω的取值范围为______.三、解答题（共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.）16.设ABC 的内角A 、B 、C 所对边的长分别是a 、b 、c ，且3b =，1c =，2A B =．（1）求a 的值；（2）求sin 24A π⎛⎫+⎪⎝⎭的值．17.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，平面11ACC A ⊥平面11BCC B ，E 为1BB 的中点，122AB CC BC ===.（1）证明：1AC C E ⊥；（2）求二面角1A EC B --的余弦值；（3）求点B 到平面1AEC 的距离.18.根据国家高考改革方案，普通高中学业水平等级性考试科目包括政治、历史、地理、物理、化学、生物6门，考生可根据报考高校要求和自身特长，从6门等级性考试科目中自主选择3门科目参加考试，在一个学生选择的三个科目中，若有两个或三个是文史类（政治、历史、地理）科目，则称这个学生选择科目是“偏文”的，若有两个或三个是理工类（物理、化学、生物）科目，则称这个学生选择科目是“偏理”的．为了了解同学们的选课意向，从北京二中高一年级中随机选取了20名同学（记为i a ，1i =，2，⋯⋯，19，20其中110~a a 是男生，1120~a a 是女生），每位同学都各自独立的填写了拟选课程意向表，所选课程统计记录如表：学生科目1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9a 10a 11a 12a 13a 14a 15a 16a 17a 18a 19a 20a 政治111111111历史1111111111地理1111111111物理1111111111111化学111111111生物111111111（1）从上述20名同学中随机选取3名同学，求恰有2名同学选择科目是“偏理”的概率；（2）从北京二中高一年级中任选两位同学，以频率估计概率，记X 为“偏文”女生的人数，求X 的分布列和数学期望；（3）记随机变量0,1,ξ""⎧=⎨""⎩选择科目偏理选择科目偏文，样本中男生的期望为1()E ξ，方差为1()D ξ；女生的期望为2()E ξ，方差为2()D ξ，试比较1()E ξ与2()E ξ；1()D ξ与2()D ξ的大小（只需写出结论）．19.设函数()()2ln f x x ax x a =+-∈R .（1）若1a =，求函数()y f x =的单调区间；（2）若函数()f x 在区间(]0,1上是减函数，求实数a 的取值范围；（3）过坐标原点O 作曲线()y f x =的切线，证明：切线有且仅有一条，且求出切点的横坐标.20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为)，点()2,1P 在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()3,0T 且斜率大于0的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M 和N ，直线PM 、PN 分别交x 轴于A 、B 两点，记PAT 、PBT 的面积分别为1S 、2 S ，求12 S S +的取值范围．21.定义：给定整数i ，如果非空集合满足如下3个条件：①A N *⊆；②{}1A ≠；③,x y N *∀∈，若x y A +∈，则xy i A -∈.则称集合A 为“减i 集”（1）{}1,2P =是否为“减0集”？是否为“减1集”？（2）证明：不存在“减2集”；（3）是否存在“减1集”？如果存在，求出所有“减1集”；如果不存在，说明理由.人大附中2023届高三再入境摸底练习数学第一部分（选择题共40分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请将答案涂在机读卡上的相应位置上.）1.命题“22,4x x ∀≥≥”的否定为（）A.“22,4x x ∀≤≥”B.“2002,4x x ∃<<”C.“22,4x x ∀≥<” D.“20024x x ∃≥<,”【答案】D【分析】根据全称命题的否定形式可直接得到结果.【详解】由全称命题的否定可知:22,4x x ∀≥≥的否定为20024x x ∃≥<,故选：D2.若复数z 满足i 2i z =-+，则z 的虚部为（）A.2i B.2C.1D.i【答案】B【分析】根据复数的除法运算求得z ，即得答案.【详解】复数z 满足i 2i z =-+,故22i (2i)i12i i i z -+-+===+，故z 的虚部为2，故选：B3.已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若11a =，35a =，64n S =，则n =（）A.6B.7C.8D.9【答案】C【分析】根据11a =，35a =，求得公差d ，再代入等差数列的前n 项和公式,计算即可.【详解】∵11a =，35a =，∴31512312a a d --===-，∵1(1)(1)26422n n n n n S a n d n ⋅-⋅-=⋅+⋅=+=，解得：8n =.故选：C .4.如图是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，如图是会徽的几何图形，设弧AD 长度是1l ，弧BC 长度是2l ，几何图形ABCD 面积为1S ，扇形BOC 面积为2S ，若123l l =，则12S S =（）A.5B.6C.7D.8【答案】D【分析】由条件可得3OA OB=，然后根据扇形的面积公式可得答案.【详解】设BOC α∠=，则123OA l l OB αα⋅==⋅，所以3OA OB =，所以2222221222211922812OA OB OA OB OB OB S S OB OB OB ααα⋅-⋅--====⋅，故选：D5.现有四个函数：()()()()21213453;log ;e e ;log x xf x x f x x f x f x x -===-=.如下图所示是它们在第一象限的部分图像，则对应关系正确的是（）A.①()1f x ，②()3f x ，③()2f x ，④()4f xB.①()1f x ，②()3f x ，③()4f x ，④()2f xC.①()3f x ，②()2f x ，③()4f x ，④()1f xD.①()3f x ，②()1f x ，③()4f x ，④()2f x 【答案】D【分析】根据函数恒过定点及其函数的单调性与奇偶性逐一进行判断即可【详解】已知()21f x x =，其为偶函数，所以关于y 轴对称，所以满足条件的为②图像；已知()3e e x x f x -=-，由于()()33e e x x f x f x --=-=-，所以()3f x 为奇函数，故其关于原点对称，因为e x y =是R 上的增函数，e x y -=是R 上的减函数，所以()3f x 是R 上的增函数，所以满足条件的为①图像；()45log f x x =过点()1,0，且在定义域内单调递增，所以满足条件的为③图像；()213log f x x=过点()1,0，且在定义域内单调递减，所以满足条件的为④图像；综上所述①()3f x ，②()1f x ，③()4f x ，④()2f x .故选：D6.若0,0a b >>，则“4a b +≤”是“4ab ≤”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A 【分析】本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取,a b 的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解】当0, 0a >b >时，a b +≥，则当4a b +≤时，有4a b ≤+≤，解得4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件.【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取,a b 的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.7.为了得到函数2cos3y x =的图象，只要把函数π2sin 35y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上所有的点（）A.向左平移3π10个单位长度 B.向右平移3π10个单位长度C.向左平移π10个单位长度 D.向右平移π10个单位长度【答案】C【分析】通过诱导公式得ππ2sin 3105y x ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎝⎭⎣⎦，根据平移规律即可得结果.【详解】因为ππ3πππ2cos32sin 32sin 32sin 32510105y x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以把函数π2sin 35y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上的所有点向左平移π10个单位长度即可得到函数2cos3y x =的图象，故选：C.8.已知双曲线221:18x C y -=的左焦点与抛物线22:C y ax =的焦点F 重合，Q 为抛物线2C 上一动点，定点()5,2A -，则QA QF +的最小值为（）A.5B.3C.4D.8【答案】D【分析】求出点F 的坐标，可得出抛物线2C 的方程，写出抛物线2C 的准线l 的方程，过点Q 作QB l ⊥，垂足为点B ，由抛物线的定义可得QF QB =，可得出QA QF QA QB +=+，利用图形可知当AB l ⊥时，QA QF+取最小值.【详解】对于双曲线1C ，a =1b =，则3c ==，故点()3,0F -，所以，抛物线2C 的方程为212y x =-，抛物线2C 的准线为:3l x =，如下图所示：过点Q 作QB l ⊥，垂足为点B ，由抛物线的定义可得QF QB =，所以，QA QF QA QB +=+，当且仅当AB l ⊥时，QA QB +取最小值为358+=.故选：D.9.冰箱，空调等家用电器使用了氟化物，氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层，使臭氧含量Q 呈指数函数型变化，在氟化物排放量维持某种水平时，具有关系式0.00250etQ Q -=，其中0Q 是臭氧的初始量，e 是自然对数的底数，e 2.71828= .试估计（）年以后将会有一半的臭氧消失.()ln20.693≈A.267 B.277C.287D.297【答案】B 【分析】由0.0025001e2tQ Q -=可得，0.00251e 2t -=，求解整理可得ln 20.0025t =，代入数值，即可解出.【详解】令012Q Q =可得，0.0025001e 2t Q Q -=，即0.00251e 2t -=，则有10.0025lnln 22t -==-，解得ln 20.693277.20.00250.0025t =≈=.所以，估计277年以后将会有一半的臭氧消失.故选：B.10.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，M ，N 分别为1BB ，CD 的中点.则下列选项中错误的是（）A.直线//MN 平面11CB D B.三棱锥11A MND -在平面ABCD 上的正投影图的面积为4C.在棱BC 上存在一点E ，使得平面1AEB ⊥平面MNB D.若F 为棱AB 的中点，三棱锥M NFB -的外接球表面积为6π【答案】B【分析】连接1DC ，交1D C 于点O ，连接1B O 、ON ，即可证明四边形1ONMB 为平行四边形，所以1//OB MN ，即可证明A ；连接BN ，则四边形ABND 为三棱锥11A MND -在平面ABCD 上的正投影，求出四边形ABND 的面积，即可判断B ；取BC 中点E ，连接AE ，1EB ，1AB ，可证⊥AE 平面MNB ，可判断C ；若F 为棱AB 的中点，MN 为三棱锥M NFB -的外接球的直径，求出表面积，可判断D ．【详解】解：对于A ：连接1DC ，交1D C 于点O ，连接1B O 、ON ，显然O 为1DC 的中点，又M ，N 分别为1BB ，CD 的中点所以1//ON CC 且11=2ON CC ，11//B M CC 且1112B M CC =，所以1//ON B M 且1ON B M =，所以四边形1ONMB 为平行四边形，所以1//OB MN ，又MN ⊄平面11CB D ，1OB ⊂平面11CB D ，所以//MN 平面11CB D ，故A 正确；对于B ：如图，连接BN ，则四边形ABND 为三棱锥11A MND -在平面ABCD 上的正投影，因为()112232ABND S =+⨯=，故B 错误；对于C ：取BC 中点E ，连接AE ，1EB ，1AB ，显然ABE BCN ≌，所以AEB BNC ∠=∠，又90NBC BNC ∠+∠=︒，所以90NBC AEB ∠+∠=︒所以AE BN ⊥，由正方体1111ABCD A B C D -，可得1BB ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，1BB AE ∴⊥，又1BB ，BN ⊂平面MNB ，1BB BN B = ，AE ∴⊥平面MNB ，又AE ⊂平面1AEB ，∴平面1AEB ⊥平面MNB ，故C 正确；对于D ：若F 为棱AB 的中点，MN ==2FN =，FM ==，所以222MN FN FM =+，即90MFN ∠=︒即FMN ，MNB 均为直角三角形，且MN 是公共斜边，由直角三角形的性质，可知MN 为三棱锥M NFB -的外接球的直径，故外接球的半径为116222R MN ==⨯，所以三棱锥M NFB -的外接球表面积24π6πS R ==，故D 正确.故选：B第二部分（非选择题共110分）二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分.）11.已知向量,a b在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则43a b -= __________.【答案】10【分析】由图知||1,||2,,45a b a b ==<>=︒ ，应用向量数量积的运算律求得24310a b -= ，即可得结果.【详解】由图知：||1,||2,,45a b a b ==<>=︒ ，则12cos 451a b ⋅=︒=，又222431624916241810a b b b a a ⋅-=-=-++= ，则4310a b -= .1012.已知()()565432643210511x x a x a x a x a x a x a x a +-=++++++，则5a 的值为______．【答案】4-【分析】利用二项式展开式的通项进行求解即可.【详解】()51x -的展开式通项为515C (1)r rr r T x-+=-，所以115551C (1)1C (1)514a =⨯⨯-+⨯⨯-=-+=-，故答案为：4-13.若过点()2,1-的直线l 和圆222220x y x y +++-=交于,A B 两点，若弦长3AB =，则直线l 的方程为______.【答案】3420x y ++=或2x =-【分析】根据题意结合垂径定理求得1d =，再利用点到直线的距离公式运算求解，注意讨论直线的斜率是否存在.【详解】由题意可知：圆222220x y x y +++-=的圆心()1,1C --，半径2r =，设圆心()1,1C --到直线l 的距离为d ，若弦长23AB =22222423AB r d d =-=-=1d =，当直线l 的斜率不存在时，即直线l 为2x =-，故圆心()1,1C --到直线l 的距离为1d =，符合题意；当直线l 的斜率存在时，设为k ，则直线l 为()12y k x -=+，即120kx y k -++=，故圆心()1,1C --到直线l 的距离为()2221122111k k k d k k -++++===++-，解得34k =-此时直线l 为3420x y ++=；综上所述：直线l 为3420x y ++=或2x =-.故答案为：3420x y ++=或2x =-.14.已知数列{}n a 为等差数列，其公差0d ≠，若数列{}n a 中的部分项组成的数列1k a ，2k a ，…，n k a ，…恰为等比数列，其中11k =，25k =，317k =，则12n k k k +++= ______.【答案】31n n --【分析】根据等比中项的性质化简可得12a d =，进而求得12,...n k k k a a a 的公比，再根据等差数列与等比数列的通项公式列等式化简求解即可得出n k 表达式，然后根据分组求和即可得出结果.【详解】由题意有2132k k k a a a =，即25117a a a =，所以2111(4)(16)a d a a d +=+，由0d ≠化简可得12a d =，所以5146a a d d =+=，所以等比数列的公比2151632k k a a dq a a d====，由于n k a 是等差数列{}n a 的第n k 项，且是等比数列的第n 项，故()111111n n n k n k a a k d a q a q--=+-==，所以111(1)1231n n n a q k d---=+=⋅-．所以1121112231231231n n k k k ---+++=⋅-+⋅-++⋅- ()()11113213323113nn nn n n -⨯-=⨯+++-=⨯-=--- .故答案为：31n n --.15.设函数()f x 定义域为I ，对于区间D I ⊆，如果存在1x 、2x D ∈，12x x ≠，使得()()122f x f x +=，则称区间D 为函数()f x 的“保2区间”.（1）给出下面3个命题：①(),-∞+∞是函数31x y =+的“保2区间”；②ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是函数sin y x =的“保2区间”；③1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦是函数 1.5log y x =的“保2区间”.其中正确命题的序号为______.（2）若[]π,2π是函数()()cos 0f x x ωω=>的“保2区间”，则ω的取值范围为______.【答案】①.③②.{}[)23,⋃+∞【分析】（1）利用“保2区间”的定义判断①②③，可得出结果；（2）根据定义和余弦函数的性质可知存在1k 、2k ∈Z 使得11222π2πx k x k ωω=⎧⎨=⎩，分4ω≥、04ω<<两种情况讨论，可得出关于ω的不等式（组），综合可得出正实数ω的取值范围.【详解】（1）对于①，对任意的x ∈R ，310x y =+>，对任意的1x 、2x ∈R ，则121231312xxy y +=+++>，①错；对于②，当,22ππx ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，[]sin 1,1y x =∈-，不妨设1x 、2ππ,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦且12x x <，即12ππ22x x -≤<≤，所以，121sin sin 1x x -≤<≤，则1212sin sin 2y y x x +=+<，②错；对于③，假设存在1x 、21,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦且12x x ≠，使得()12 1.51 1.52 1.512log log log 2y y x x x x +=+==，可得1294x x =，可取198x =，22x =满足条件，③对；（2）当π2πx ≤≤且0ω>，则π2πx ωωω≤≤，若存在1x 、[]2π,2πx ∈且12x x ≠使得()()122f x f x +=，则12cos cos 1x x ωω==，所以，存在1k 、2k ∈Z 使得11222π2πx k x k ωω=⎧⎨=⎩，不妨设12x x <，即12π2πx x ≤<≤，因为0ω>，所以，12π2πx x ωωωω≤<≤，所以，12222k k ωω≤<≤，即在区间[],2ωω上存在两个不同的整数.①当24ωω-≥时，即当4ω≥时，区间[],2ωω上必存在两个相邻的整数，合乎题意；②当04ω<<时，028ω<<，而12k 、22k 为偶数，则12k 、{}222,4,6k ∈，当122224k k =⎧⎨=⎩时，则022404ωωω<≤⎧⎪≥⎨⎪<<⎩，解得2ω=，当122426k k =⎧⎨=⎩时，则042604ωωω<≤⎧⎪≥⎨⎪<<⎩，解得34ω≤<.综上所述，实数ω的取值范围是{}[)23,⋃+∞.故答案为：（1）③；（2）{}[)23,⋃+∞.【点睛】关键点点睛：本题第（2）问根据新定义求ω的取值范围，在讨论04ω<<时，要确定12k 、22k 的取值，进而可得出关于ω的不等式组，进而求解.三、解答题（共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.）16.设ABC 的内角A 、B 、C 所对边的长分别是a 、b 、c ，且3b =，1c =，2A B =．（1）求a 的值；（2）求sin 24A π⎛⎫+⎪⎝⎭的值．【答案】（1）a =（2）87218+-【分析】(1)根据已知条件2A B =，转化为sin sin 22sin cos A B B B ==，再结合正弦定理与余弦定理求边a.(2)用第一问计算得结果，求得sin 2,cos 2A A ，正弦的和角公式展开代入即可.【小问1详解】由2A B =，得sin sin 22sin cos A B B B ==，由正弦定理得2cos a b B =，又222219cos 22a c b a B ac a +-+-==，则21926a aa +-=，解得212a =，即a =.【小问2详解】(222222311cos 22313b c a A bc +-+-===-⨯⨯，由()0,A π∈，则22sin 3=A ，则sin 22sin cos 9A A A ==-，27cos22cos 19A A =-=-，78sin 2(sin 2cos 2)4229918A A A π⎛⎫+⎛⎫+=+=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．17.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，平面11ACC A ⊥平面11BCC B ，E 为1BB 的中点，122AB CC BC ===.（1）证明：1AC C E ⊥；（2）求二面角1A EC B --的余弦值；（3）求点B 到平面1AEC 的距离.【答案】（1）证明见解析（2）105（3）10【分析】（1）根据面面垂直的性质可得AC ⊥平面11BCC B ，再根据线面垂直的性质即可得证；（2）以点C 为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可；（3）利用向量法求解即可.【小问1详解】因为1CC ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以1CC AC ⊥，又平面11ACC A ⊥平面11BCC B ，平面11ACC A 平面111BCC B CC =，AC ⊂平面11ACC A ，所以AC ⊥平面11BCC B ，又1C E ⊂平面11BCC B ，所以1AC C E ⊥；【小问2详解】因为AC ⊥平面11BCC B ，BC ⊂平面11BCC B ，所以ACBC ⊥，如图，以点C 为原点建立空间直角坐标系，因为122AB CC BC ===，所以AC =，则)()()()()1,0,1,0,0,0,0,0,0,2,0,1,1AB C C E ，因为AC ⊥平面11BCC B ，所以)CA = 即为平面11BCC B的一个法向量，)()112,0,1,1C A C E =-=-，设平面1AEC 的法向量为(),,n x y z =，则有11200n C A z n C E y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令2x =，则z y ==所以(n =，则cos ,5n CA ==，由图可知二面角1A EC B --为锐二面角，所以二面角1A EC B --的余弦值为105；【小问3详解】()AB =，则1cos ,2n AB n AB n AB ⋅==，所以点B 到平面1AEC的距离为cos ,10n AB AB n AB AB n AB⋅⋅=⋅=.18.根据国家高考改革方案，普通高中学业水平等级性考试科目包括政治、历史、地理、物理、化学、生物6门，考生可根据报考高校要求和自身特长，从6门等级性考试科目中自主选择3门科目参加考试，在一个学生选择的三个科目中，若有两个或三个是文史类（政治、历史、地理）科目，则称这个学生选择科目是“偏文”的，若有两个或三个是理工类（物理、化学、生物）科目，则称这个学生选择科目是“偏理”的．为了了解同学们的选课意向，从北京二中高一年级中随机选取了20名同学（记为i a ，1i =，2，⋯⋯，19，20其中110~a a 是男生，1120~a a 是女生），每位同学都各自独立的填写了拟选课程意向表，所选课程统计记录如表：学生科目1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9a 10a 11a 12a 13a 14a 15a 16a 17a 18a 19a 20a 政治111111111历史1111111111地理1111111111物理1111111111111化学111111111生111111111物（1）从上述20名同学中随机选取3名同学，求恰有2名同学选择科目是“偏理”的概率；（2）从北京二中高一年级中任选两位同学，以频率估计概率，记X 为“偏文”女生的人数，求X 的分布列和数学期望；（3）记随机变量0,1,ξ""⎧=⎨""⎩选择科目偏理选择科目偏文，样本中男生的期望为1()E ξ，方差为1()D ξ；女生的期望为2()E ξ，方差为2()D ξ，试比较1()E ξ与2()E ξ；1()D ξ与2()D ξ的大小（只需写出结论）．【答案】（1）3376（2）分布列见解析，3()5E X =（3）12()()E E ξξ<，12()()D D ξξ<【分析】（1）根据表格计算出20人中偏理的人数，再利用古典概型的概率公式求解即可．（2）由表格可知取一名学生，这个学生是偏文女生的概率为310，X 的所有可能取值为0，1，2，结合二项分布的概率公式求出相应的概率，得到X 的分布列，进而求出()E X 即可．（3）由男生中偏理有7人，偏文有3人，女生中偏理有4人，偏文有6人，可知12()()E E ξξ<，12()()D D ξξ<．【小问1详解】由表格可知，男生中偏理有7人，偏文有3人，女生中偏理有4人，偏文有6人，则偏理共有11人，偏文共有9人，设恰有2名同学选择科目是“偏理”为事件A ，则P （A ）21119320C C 55933C 2019376⨯===⨯⨯．【小问2详解】由表格可知，抽取的20人中，偏文女生有6人，所以抽取一名学生，这个学生是偏文女生的概率为632010=，则X 0=，1，2，2349(0)(1)10100P X ==-=，()123342211C 1101010050P X ⎛⎫==⨯⨯-== ⎪⎝⎭，239(2)(10100P X ===，所以X 的分布列为：X012P4910021509100492193()012100501005E X ∴=⨯+⨯+⨯=．【小问3详解】男生中偏理有7人，偏文有3人，女生中偏理有4人，偏文有6人，则12()=30.3=0.9()=60.6=3.6E E ξξ⨯⨯，，12()=30.30.7=0.63()=60.60.4=1.44D D ξξ⨯⨯⨯⨯，，故12()()E E ξξ<，12()()D D ξξ<．19.设函数()()2ln f x x ax x a =+-∈R .（1）若1a =，求函数()y f x =的单调区间；（2）若函数()f x 在区间(]0,1上是减函数，求实数a 的取值范围；（3）过坐标原点O 作曲线()y f x =的切线，证明：切线有且仅有一条，且求出切点的横坐标.【答案】（1）单调减区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调增区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（2）1a ≤-（3）证明见解析，切点的横坐标为1【分析】（1）求出()f x '，由()0f x '<可得函数的减区间，由()0f x ¢>可得函数的增区间；（2）转化成()0f x '≤对任意(]0,1x ∈恒成立求解，即12a x x≤-对任意(]0,1x ∈恒成立，求出12x x -的最小值即可；（3）设出切点，结合导数的几何意义求出过切点的切线方程，利用切线过原点可求得切点坐标，即可得出结论．【小问1详解】1a =时，()2ln (0)f x x x x x =+->，∴()()()211121(0)x x f x x x x x-++-'==>，∵当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0f x '<，()f x 为单调减函数．当1,2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭，()0f x ¢>，()f x 为单调增函数．∴()f x 的单调减区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调增区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；【小问2详解】∵()12fx x a x'=+-，()f x 在区间(]0,1上是减函数，∴()0f x '≤对任意(]0,1x ∈恒成立，即120x a x+-≤对任意(]0,1x ∈恒成立，令()12g x x x=-，则()min a g x ≤，因为函数1,2y y x x==-在(]0,1上都是减函数，所以函数()g x 在(]0,1上单调递减，∴()()min 11g x g ==-，∴1a ≤-；【小问3详解】设切点为()()(),0M t f t t >，由题意得()12fx x a x'=+-，∴()12f t t a t'=+-,∴曲线在点切线方程为()()()y f t f t x t '-=-，即()()21ln 2y t at t t a x t t ⎛⎫-+-=+-- ⎪⎝⎭．又切线过原点，∴()210ln 20t at t t a t t ⎛⎫--+=+-- ⎪⎝⎭，整理得2ln 10t t +-=，设()()2ln 10t t t t ϕ=+->，则()()1200t t t tϕ'=+>>恒成立，()t ϕ在()0,∞+上单调递增，又()10ϕ=，∴()t ϕ在()0,∞+上只有一个零点，即1t =，∴切点的横坐标为1，∴切线有且仅有一条，且切点的横坐标为1.【点睛】方法点睛：对于导数的几何意义，要注意“曲线在点P 处的切线”和“曲线过点P 的切线”两种说法的区别.（1）“曲线在点P 处的切线”表示点P 为切点，且点P 在曲线上，过点P 的切线只有一条；（2）“曲线过点P 的切线”表示点P 不一定在曲线上，即使点P 在曲线上时也不一定为切点，此时过点P 的切线不一定只有一条．20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为)，点()2,1P 在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()3,0T 且斜率大于0的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M 和N ，直线PM 、PN 分别交x 轴于A 、B 两点，记PAT 、PBT 的面积分别为1S 、2 S ，求12 S S +的取值范围．【答案】（1）22163x y +=；（2）()1,3.【分析】（1）利用点在椭圆上，右焦点为)，得关于,a b 的方程，解出,a b 即可；（2）联立方程组，0∆>得1t >，将面积之和表示为关于t 的式子，表示出直线PM 、PN ，求出点A 、B 的坐标，得到112311A x TA x y -=-=+-，222311B x TB x y -=-=+-，即可表示出PAT 、PBT 的面积，再求面积中12122211x x y y --+--的范围，结合韦达定理()224(1)24441655t t t t t +-=->+++，利用反比例函数得出范围.【详解】（1）由题意知：223b a +=.将点P 代入得：22411a b +=.22223411b a ab ⎧+=⎪∴⎨+=⎪⎩，得2263a b ⎧=∴⎨=⎩故椭圆的方程为：22163x y +=；（2）如图所示：由题意知直线TM 的斜率大于0，所以可设直线方程为3x ty =+，设()11,M x y ，()22,N x y .直线与椭圆联立：22326x ty x y =+⎧⎨+=⎩，得()222630t y ty +++=0∆>，即()22361220t t -+>，21t >，由于斜率大于0，1t ∴>12262t y y t -+=+，12232y y t =+直线PM 的斜率：1112y x --，PM 的方程：()111122y y x x --=--，令0y =，则11221A x x y -=+-直线PN 的斜率：2212y x --，PN 的方程：()221122y y x x --=--，令0y =，则22221B x x y -=+-112311A x TA x y -=-=+-，222311B x TB x y -=-=+-，()12112S S TA TB +=⨯⨯+12121222211x x y y ⎫⎛--=++⎪ --⎝⎭现求12122211x x y y --+--的取值范围：12122211x x y y --+--122112(2)(1)(2)(1)(1)(1)x y x y y y --+--=--将x 用y 表示代入：原式()()()121212122121ty y t y y y y y y +-+-=-++由韦达定理得：原式()2244165t t t t -=>++原式()224(1)24441655t t t t t +=-=->+++，所以12123(1)5S S t t +=->+，函数为递增，()121,3S S +∈.【点睛】表示出面积以后，将式子转化为关于t 的形式，利用1t >以及反比例函数的知识求范围.依题意逐步求解，特别注意计算准确性.21.定义：给定整数i ，如果非空集合满足如下3个条件：①A N *⊆；②{}1A ≠；③,x y N *∀∈，若x y A +∈，则xy i A -∈.则称集合A 为“减i 集”（1）{}1,2P =是否为“减0集”？是否为“减1集”？（2）证明：不存在“减2集”；（3）是否存在“减1集”？如果存在，求出所有“减1集”；如果不存在，说明理由.【答案】（1）是“减0集”；不是“减1集”（2）证明见解析；（3）存在；{1，3}，{1，3，5}，{}|21,x x n n N *=-∈【分析】（1）*P N ⊆，{1}P ≠，112P +=∈，110P ⨯-∈，即可得出P 是“减0集”，同理可得P 不是“减1集”．（2）假设存在A 是“减2集”，则若x y A +∈，那么2xy A -∈，分当2x y xy +=-和2x y xy +≠-时，对x ，y 分类讨论即可举出反例，进而证明命题．（3）存在“减1集”A ．{1}A ≠．假设1A ∈，则A 中除了元素1以外，必然还含有其它元素．假设2A ∈，11A +∈，而111A ⨯-∉，因此2A ∉．假设3A ∈，12A +∈，而121A ⨯-∈，因此3A ∈．因此可以有{1A =，3}．假设4A ∈，13A +∈，而131A ⨯-∉，因此4A ∉．假设5A ∈，14A +∈，141A ⨯-∈，235+=，231A ⨯-∈，因此5A ∈．因此可以有{1A =，3，5}．以此类推可得所有的A ．【详解】（1）*P N ⊆ ，{1}P ≠，112P +=∈，110P ⨯-∈，P ∴是“减0集”同理，*P N ⊆ ，{1}P ≠，112P +=∈，111P ⨯-∉，P ∴不是“减1集”．（2）假设存在A 是“减2集”，则若x y A +∈，那么2xy A -∈，当2x y xy +=-时，有(1)(1)3x y --=，则x ，y 一个为2，一个为4，所以集合A 中有元素6，但是33A +∈，332A ⨯-∉，与A 是“减2集”，矛盾，当2x y xy +≠-时，则1x y xy +=-或()2x y xy m m +=->，若1x y xy +=-，M 为除1以外的最小元素，则1x M =-，1y =时，23xy M -=-小于M ，若要符合题意则4M =，此时取2,2x y ==时，22xy -=不属于A ，故不符合题意；m>2时，(1)(1)1x y m --=+，同样得出矛盾，综上所述，故不存在“减2集”.（3）存在“减1集”A ．{1}A ≠．①假设1A ∈，则A 中除了元素1以外，必然还含有其它元素．假设2A ∈，11A +∈，而111A ⨯-∉，因此2A ∉．假设3A ∈，12A +∈，而121A ⨯-∈，因此3A ∈．因此可以有{1A =，3}．假设4A ∈，13A +∈，而131A ⨯-∉，因此4A ∉．假设5A ∈，14A +∈，141A ⨯-∈，235+=，231A ⨯-∈，因此5A ∈．因此可以有{1A =，3，5}．以此类推可得：{1A =，3，5，⋯⋯，21n -，}⋯⋯，*()n N ∈，所以满足条件A 的集合：{1，3}，{1，3，5}，{}|21,x x n n N *=-∈【点睛】本题考查集合新定义，元素与集合的关系，逻辑推理能力，属于难题。

北京市人大附中高三数学中档练习题（一）至（五）参考答案练习题一1．解：设既会唱歌又会跳舞的有x 人，则文娱队中共有(7 - x )人，那么只会一项的人数是(7 - 2x )人．(I)∵7(0)(1)1(0)10P P P ξξξ>=≥=-==，∴3(0)10P ξ==． 即27227310xx C C --=．∴(72)(62)3(7)(6)10x x x x --=--．∴x = 2。

故文娱队共有5人． (II) ξ112325C C 3(1)C 5P ξ⋅===，2225C 1(2)C 10P ξ===，∴33101210510E ξ=⨯+⨯+⨯=45．2．解：(I) 由题设2a 3 = a 1 + a 2，即2a 1q 2 = a 1 + a 1q ，∵a 1 ≠ 0，∴2q 2- q - 1 = 0，∴q = 1，或q = -12．(II) 若q = 1，则2(1)32122n n n n nS n -+=+⋅=， 当n ≥ 2时，1(1)(2)02n n n n n S b S --+-==>，故S n > b n ．若q = -12，则2(1)192()224n n n n nS n --+=+-=， 当n ≥ 2时，1(1)(10)4n n n n n S b S ----==-，故对于n ∈ N *，当2 ≤ n ≤ 9时，S n > b n ；当n = 10时，S n = b n ；当n ≥ 11时，S n < b n ．3．解：(I) ∵f (x ) = mx 3 + nx 2，∴f '(x ) = 3mx 2+ 2nx ，由已知条件得：f '(2) = 0，∴3m + n = 0，即n = - 3m ． (II) ∵n = - 3m ，∴f (x ) = mx 3 - 3mx 2， ∴f '(x ) = 3mx 3- 6mx ，令f '(x ) > 0得3mx 3- 6mx > 0，当m > 0时，x < 0或 x > 2， ∴函数f (x )的单调递增区间为(- ∞，0)，(2，+ ∞)； 当m < 0时，函数f (x )的单调递增区间为(0，2)，综上：当m > 0时，函数f (x )的单调递增区间为(- ∞，0)，(2，+ ∞)； 当m < 0时，函数f (x )的单调递增区间为(0，2)．(III) 由(I)得：f (x ) = mx 3 - 3mx 2，f '(x ) = 3mx 3- 6mx ，l ：32211111(3)(36)()y mx mx mx mx x x --=--，令y = 0，由m ≠ 0，x 1 > 2，得21121233(2)x x x x -=-，2221111211123212182(3)333(2)3(2)3(2)x x x x x x x x x --+--=-==---， ∵x 1 > 2，(x 1 - 3 )2≥ 0，∴x 2 - 3 ≥ 0，即：x 2 ≥ 3．4．解：(I) ∵A 1B 1C 1－ABC 为直三棱柱，∴CC 1⊥底面ABC ， ∴CC 1⊥BC ，∵AC ⊥CB ， ∴BC ⊥平面A 1C 1CA ，∴BC 长度即为B 点到平面A 1C 1CA 的距离，∵BC = 2， ∴点B 到平面A 1C 1CA 的距离为2．(II) 分别延长AC ，A 1D 交于G ，过C 作CM ⊥A 1G 于M ，连结BM ， ∵BC ⊥平面ACC 1A 1， ∴CM 为BM 在平面A 1C 1CA 的内射影， ∴BM ⊥A 1G ， ∴∠GMB 为二面角B —A 1D —A 的平面角， 平面A 1C 1CA 中，C 1C = CA = 2，D 为C 1C 的中点，∴CG = 2，DC = 1，在直角三角形CDG中，CMtan GMB即二面角B —A 1D —A 的大小为5arctan ．(III) 在线段AC 上存在一点F ，使得EF ⊥平面A 1BD ， 其位置为AC 中点，证明如下：∵A 1B 1C 1－ABC 为直三棱柱， ∴B 1C 1//BC ， ∵由(I)，BC ⊥平面A 1C 1CA ，∴B 1C 1⊥平面A 1C 1CA ，∵EF 在平面A 1C 1CA 内的射影为C 1F ， ∵F 为AC 中点，∴C 1F ⊥A 1D ， ∴EF ⊥A 1D ，同理可证EF ⊥BD ，∴EF ⊥平面A 1BD ，∵E 为定点，平面A 1BD 为定平面，∴ 点F 唯一．练习题二1．解：（Ⅰ）)(x f ＝OP ·OQ ＝1sin 2cos cos cos 22-+-+x x x x=)4sin(2cos sin π+=+x x x ，则)(x f 的最小正周期为π2=T ．（Ⅱ）由·OQ ＜－１，得22)4sin(-<+πx ． 又)2,0(π∈x ，则47445πππ<+<x ，即23ππ<<x ．故x 的取值范围是（23,ππ）． 2．解: （Ⅰ）312)0(33===A p ξ; （Ⅱ）21)1(3313===A C p ξ，611)3(33===A p ξ，故其分布列为:111012 1.326E ξ=⨯+⨯+⨯=3．（Ⅰ）证明：三棱柱111C B A ABC -是直三棱柱，平面11111C B A A ABB 平面⊥，又点D 是等腰直角三角形111C B A 斜边11B A 的中点，则111B A D C ⊥，所以，BA B A D C 111平面⊥；（Ⅱ）过A 1作A 1E ⊥A C 1于E 点, 1111111,CC C B C A C B ⊥⊥Θ， ∴B 1C 1⊥平面A 1C 1CA ．又∵B 1C 1⊂平面AB 1C 1，∴平面AB 1C 1⊥平面A 1C 1CA ． 又∵A 1E ⊥AC 1, ∴A 1E ⊥平面AB 1C 1， ∴A 1E 就是A 1到平面AB 1C 1的距离．由已知，A C 1A 1E（Ⅲ）解：.BA B A 11平面内，过D 作1AB DE ⊥，垂足为E ，连结E C 1，则11AB E C ⊥．ED C 1∠是二面角111C AB A --的平面角，在1DEC Rt ∆中，2arctan ,22222tan 1111=∠===∠ED C D B DEDC ED C ，所以， 二面角111C AB A --的大小为2arctan .4．解：（Ⅰ）由题意知：n nMB MA K K =，由斜率公式得1122122---=--nn n a n ，解得：n a n 2=．（Ⅱ）由题设知： ()121+=+⋅⋅⋅++n n a a a n ，条件中的等式可化为：()()3212211-+=⋅⋅⋅++n n n b a b a b a n n ， ①有()()521112211--=⋅⋅⋅++--n n n b a b a b a n n ， ②①—②得()2,43≥-=n n b n 当1=n 时，()12111-⋅⋅=b a 得11-=b ．∴34,N n b n n *=-∈ n n b b b n 2523221-=+⋅⋅⋅++∴．练习题三1．（Ⅰ）)3sin ,(cos ),sin ,3(cos -=-=θθθθΘ ∴由||||,AC BC =u u u r u u u r2222(cos 3)sin cos (sin 3)θθθθ-+=+-得, 即cos θ=sin θ.又),23,2(ππθ∈ ∴45πθ= （Ⅱ）由1-=⋅，得cos θ（cos θ－3）+sin θ（sin θ－3）=－1,即sin θ+cos θ=.32两边平方，得2sin θcos θ=95-. θθθθθθθθcos sin 1cos sin 2sin 2tan 12sin sin 222++=++∴95cos sin 2-==θθ2．（Ⅰ）∵,61)0(252===+n n C C P ξ ∴,0432=--n n 解得n =－1（舍去）或n =4.即袋中有4个黑球.（Ⅱ）ξ可能的取值为0，1，2，3，4. ∵,61)0(==ξP ,31)1(291314===C C C P ξ ,3611)2(29121423=⋅+==C C C C P ξ ,61)3(291213=+==C C C P ξ,361)4(2922===C C P ξ∴ξ的概率分布列为 .914361461336112311610=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ξ0 1 2 3 4P6131 3611 61 361 3．（Ⅰ）∵PD=CD=1，PC=2，∴PD 2+CD 2=PC 2，即PD ⊥CD. ∴PD ⊥平面ABCD. （Ⅱ）如图，连结AC 交BD 于O ，则AC ⊥BD. ∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD ⊥AC.∴AC ⊥平面PBD.过O 点作OE ⊥PB 于E ，连结AE ，则AE ⊥PB ，故∠AEO 为二面角A —PB —D 的平面角.由Rt △OEB ∽Rt △PDB ，得OE=66=⋅PB OB PD . ∴tan ∠AEO=,3=OEAO即∠AEO=60°4．（Ⅰ）2234)(a ax x x f -+-='（1分）令,0)(>'x f 得)(x f 的单调递增区间为（a ,3a ）令,0)(<'x f 得)(x f 的单调递减区间为(－∞，a )和(3a ，+∞) ∴当x=a 时，)(x f 极小值=;433b a +-当x=3a 时，)(x f 极小值=b. （Ⅱ）由|)(x f '|≤a ，得－a ≤－x 2+4ax －3a 2≤a .① ∵0<a <1， ∴a +1>2a .∴]2,1[34)(22++-+-='a a a ax x x f 在上是减函数 ∴.44)2()(.12)1()(min max -=+='-=+'='a a f x f a a f x f 于是，对任意]2,1[++∈a a x ，不等式①恒成立，等价于.154.12,44≤≤⎩⎨⎧-≥-≤-a a a a a 解得 又,10<<a ∴.154<≤a练习题四1．（I ）设在这5次种植物种子的发芽实验中，有x 次成功，至少有3次成功的概率为P ，包括3次、4次和5次成功，即：3324455555(3)(4)(5)11111()(1)()(1)()0.522222P P x P x P x C C C ==+=+==-+-+=E ξ=1×2+2×4+3×8+4×16+5×16=162．证明：（I ）∵NA=NB=NC∴N 是△ABC 外接圆的圆心，可得∠ACB=90°，即BC ⊥AC, ∵CM ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴MC ⊥BC ， ∴BC ⊥面MAC ，∴BC ⊥MA ； （II ）（理）∵CM ⊥面ABC ，MA=MB ，∴CA=CB ，∴∠ANC=∠BNC=90°，∴AB ⊥CN连结MN ，AB ⊥MN ，∴∠MNC 为二面角M —AB —C 的平面角。

北京市人大附中高三数学中档题练习四1．已知向量=-=+-+=)(),1,(cos),1sin2cos,1cos2(xfxOQxxxOP定义.OQOP⋅（Ⅰ）求函数)(xf的最小正周期；（Ⅱ）若xOQOPx求时当,1),2,0(-<⋅∈π的取值范围.2．编号为1，2，3的三位学生任意入坐编号为1，2，3的三个座位，每位学生坐一个座位，设学生编号与座位编号相同的个数为ξ.（Ⅰ）求ξ=0时的概率；（Ⅱ）求随机变量ξ的分布列及数学期望。

3．如图，直三棱柱ABC—A1B1C1的底面是等腰直角三角形，∠A1C1B1=90°，A1C1=1，AA1=2，D是线段A1B1的中点。

（Ⅰ）证明：C1D⊥平面A1B1BA；（Ⅱ）求点A1到平面AB1C1的距离；（Ⅲ）求二面角A1—AB1—C1的大小.4．已知{a n }、{b n }为两个数列，点M （1，2），A n （2，a n ），)2,1(nn n B n -为平面直角坐标系上的点.（Ⅰ）对*,N n ∈若点M 、A n 、B n 在同一直线上，求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n }满足,32212211-=++++++n a a a b a b a b a nnn 求数列{b n }的前n 项和。

北京市人大附中高三数学中档题练习四答案1．（I ）设在这5次种植物种子的发芽实验中，有x 次成功，至少有3次成功的概率为P ，包括3次、4次和5次成功，即：3324455555(3)(4)(5)11111()(1)()(1)()0.522222P P x P x P x C C C ==+=+==-+-+= （II ）依题意有：E ξ=1×21+2×41+3×81+4×161+5×161=16312．证明：（I ）∵NA=NB=NC∴N 是△ABC 外接圆的圆心，可得∠ACB=90°，即BC ⊥AC, ∵CM ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴MC ⊥BC ， ∴BC ⊥面MAC ，∴BC ⊥MA ； （II ）（理）∵CM ⊥面ABC ，MA=MB ，∴CA=CB ，∴∠ANC=∠BNC=90°，∴AB ⊥CN连结MN ，AB ⊥MN ，∴∠MNC 为二面角M —AB —C 的平面角。

2007年北京市人大附中高三数学中档题练习二1．某校一个研究性学习团队从网上查得，某种植物种子在一定条件下发芽成功的概率为21于是该学习团队分两个小组进行验证性实验.（Ⅰ）第一小组做了5次这种植物种子的发芽实验（每次均种下一粒种子），求他们的实验至少有3次成功的概率；（Ⅱ）第二小组做了若干次发芽实验（每次均种下一粒种子），如果在一次实验中种子发芽成功就停止实验，否则就继续进行下次实验，直到种子发芽成功为止，但实验的次数不超过5次。

求这一小组所做的种子发芽实验次数ξ的分布列和数学期望.2．在三棱锥M —ABC 中，CM ⊥平面ABC ，MA=MB ，NA=NB=NC.（Ⅰ）求证：AM ⊥BC ；（Ⅱ）若∠AMB=30°，求二面角M —AB —C 的余弦值.3．已知向量]2,2[),1,1(),2sin ,2(cos ),23sin ,23(cos ππ-∈-=-==x x x x x 其中 （Ⅰ）求证：)()(b a b a -⊥+；（Ⅱ）设函数3|)(|3|(|)(22-+-+=c b c a x f )，求)(x f 的最大值和最小值 。

4．已知)(3232)(23R a x ax x x f ∈--=. （Ⅰ）若)(x f 在区间（－1，1）上为减函数，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）试讨论y=)(x f 在（－1，1）内的极值点的个数.[参考答案]1．（I ）设在这5次种植物种子的发芽实验中，有x 次成功，至少有3次成功的概率为P ，包括3次、4次和5次成功，即：3324455555(3)(4)(5)11111()(1)()(1)()0.522222P P x P x P x C C C ==+=+==-+-+=E ξ=1×2+2×4+3×8+4×16+5×16=16 2．证明：（I ）∵NA=NB=NC∴N 是△ABC 外接圆的圆心，可得∠ACB=90°，即BC ⊥AC, ∵CM ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴MC ⊥BC ， ∴BC ⊥面MAC ，∴BC ⊥MA ；（II ）（理）∵CM ⊥面ABC ，MA=MB ，∴CA=CB ，∴∠ANC=∠BNC=90°，∴AB ⊥CN 连结MN ，AB ⊥MN ，∴∠MNC 为二面角M —AB —C 的平面角。

北京市人大附中2019届高考模拟预测卷四文科数学试题一、选择题（本大题共8小题,共40。

0分)1.已知全集U=R，集合A={x|x+1＜0｝，B=｛x|x-4≤0｝，则∁U(A∩B)=( )A. 或B. 或C。

D.【答案】C【解析】【分析】可求出集合A,B，然后进行交集、补集的运算即可．【详解】解：A=｛x｜x＜—1｝，B=｛x|x≤4}；∴A∩B={x｜x＜-1｝；∴∁U(A∩B)={x|x≥—1}．故选：C．【点睛】考查描述法表示集合的概念,以及交集、补集的概念及运算．2。

若a=log3，b=log39.1，c=20。

8，则a，b，c的大小关系为（）A。

B. C. D。

【答案】C【解析】【分析】利用对数函数、指数函数的单调性直接求解．【详解】.故选：C．【点睛】利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小,一方面要比较两个实数或式子形式的异同,底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围,来进行比较大小，另一方面注意特殊值的应用,有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小．3。

设x，y∈R，则“|x|≤1且|y|≤1" 是“x2+y2≤2"的( )A。

充分不必要条件 B. 必要不充分条件C。

充要条件D。

既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用充分必要条件的定义分析判断得解。

【详解】解：|x｜≤1且｜y｜≤1,所以,反之不成立，例如取x=0，y=．∴“｜x｜≤1且｜y｜≤1” 是“x2+y2≤2”的充分不必要条件．故选:A．【点睛】本题考查了绝对值不等式的性质、充分必要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.设不等式组表示的平面区域为D．若直线ax-y=0上存在区域D上的点，则实数a 的取值范围是（）A. B. C。

D。

【答案】B【解析】【分析】由题意作出可行域，利用直线过定点，结合直线的斜率,求得满足直线ax—y=0上存在区域D 上的点时的a的范围．【详解】解：由不等式组作出可行域如图，∵直线ax-y=0过定点O（0，0）,要使直线ax—y=0上存在区域D上的点，则直线ax—y=0的斜率a∈［k OB，k OA］，联立，得A（1,3）,联立，得B（2，1），∴．∴a，故选：B．【点睛】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法及数学转化思想方法,是中档题．5.若直线是圆的一条对称轴，则的值为（ )A。

北京人大附中2025届高三下学期一模考试数学试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若函数2sin(2)y x ϕ=+的图象过点(,1)6π，则它的一条对称轴方程可能是（ ）A ．6x π=B ．3x π=C ．12x π=D ．512x π=2．若x yi +(,)x y ∈R 与31ii+-互为共轭复数，则x y +=（ ） A ．0B ．3C ．－1D ．43．执行如图所示的程序框图，若输入2020m =，520n =，则输出的i =（ ）A ．4B ．5C ．6D ．74．已知(1)nx +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）． A ．122B ．112C ．102D ．925．已知三棱锥P ABC -中，ABC ∆是等边三角形，43,25,AB PA PC PA BC ===⊥，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ） A ．25πB ．75πC ．80πD ．100π6．设{|210}S x x =+>，{|350}T x x =-<，则ST （ ）A ．∅B ．1{|}2x x <-C ．5{|}3x x >D ．15{|}23x x -<< 7．复数432iz i +=-的虚部为（ ） A ．2iB ．2i -C ．2D ．2-8．已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}13,5A =,，{}2,3,4B =，则集合()UB A =( )A ．{}1,2,6B ．{}1,3,6C ．{}1,6D ．{}69．已知函数在上的值域为，则实数的取值范围为（ ） A ．B ．C ．D ．10．已知函数22log ,0()22,0x x f x x x x ⎧>=⎨++≤⎩，方程()0f x a -=有四个不同的根，记最大的根的所有取值为集合D ，则“函数()()()F x f x kx x D =-∈有两个零点”是“12k >”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．一个超级斐波那契数列是一列具有以下性质的正整数:从第三项起，每一项都等于前面所有项之和(例如:1，3，4，8，16…).则首项为2，某一项为2020的超级斐波那契数列的个数为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．612．已知0a >，若对任意()0,m ∈+∞，关于x 的不等式()()1e ln 11exaxx m m --<-+-（e 为自然对数的底数）至少有2个正整数解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．3e e,2e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦B ．3e ,2e ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭ C ．3e 0,2e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦ D ．3e ,2e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2007年北京市人大附中高三数学中档题练习九1．已知某班将从4名男生和3名女生中任选3人参加学校的演讲比赛.(Ⅰ)求所选3人中恰有一名女生的概率；(Ⅱ)求所选3人中女生人数ξ的分布列，并求ξ的期望.2．已知函数2()2s i n3s i n c o sf x a x a x x b=-⋅+的定义域为[0,]2π，值域为[-5,4]；函数()sin2cos,g x a x b x x R=+∈.(Ⅰ) 求函数g(x)的最小正周期和最大值;(Ⅱ) 当[0,]xπ∈, 且g(x) =5时, 求tan x.3．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，已知E为棱CC1上的动点，(Ⅰ)求证：A1E⊥BD；(Ⅱ)是否存在这样的E点，使得平面A1BD⊥EBD ？若存在，请找出这样的E点；若不存在，请说明理由. A1B C EAB1C1 D1D4．已知函数32()3f x ax bx x =+-是奇函数，且函数f (x )的极大值与极小值的差为4.(Ⅰ) 求a ，b 的值；(Ⅱ) 过点A (0,16)作曲线y =f (x )的切线，求此切线方程.[参考答案]1． (Ⅰ) P =2143471835C C C =；(Ⅱ) ξ的可能取值为0,1,2,3. P (ξ=0)=3447C C =435, P (ξ=1)=214347C C C =1835,P (ξ=2)=124347C C C =1235, P (ξ=3)=334C C =1. ξ的分布列为：E ξ=018212335357++⨯+==.2．f (x )=a (1－cos2x )sin2x ＋b =－a (cos2x sin2x )＋a ＋b =－2a sin(2x ＋6π)＋a ＋b . ∵x ∈[0,]2π，∴2x ＋7[,]666πππ=，sin(2x ＋6π)∈1[,1]2-.显然a =0不合题意.(1) 当a ＞0时,值域为],2b a b a ⎡-+⎣,即5,3,24, 2.b a a b a b -=-=⎧⎧∴⎨⎨+==-⎩⎩(2) 当a ＜0时,值域为[]2,b a b a +-,即4,3,25, 1.b a a b a b -==-⎧⎧∴⎨⎨+=-=⎩⎩(Ⅰ) 当a ＞0时，g (x )=3sin x -4cos x =5sin(x +ϕ1), ∴T =π, g (x )max =5;当a ＜0时，g (x )= -3sin x +2cos x =x +ϕ2), ∴ T =π, g (x )max (Ⅱ)由上可知，当a ＞0时, 由g (x )=5sin(x +ϕ1)，且tanϕ1=-43, g (x )max =5，此时x +ϕ1＝2k π +2π(k∈Z).则x =2k π +2π-ϕ1(k ∈Z), x ∈(0, π)，∴tan x =cot ϕ1＝-34.当a <0时, g (x )max ，所以不存在符合题意的x . 综上，tan x =－34.3．连结AC ，设AC DB O =，连结1,,AO OE (Ⅰ)1A A ABCD ⊥底面, 1BD A A ∴⊥, 又BD AC ⊥, 1BD ACEA ∴⊥平面, 11A E ACEA ⊂平面, ∴1A E ⊥BD ．(Ⅱ) 存在，当E 是CC 1的中点时就符合题意. 证明如下：在等边三角形1A BD 中，1BD AO ⊥，而1BD A E ⊥， 1A O ⊂平面1A OE , 1A E ⊂平面1A OE , 111AO A E A =， ∴BD ⊥平面1AOE , OE ⊂面A 1OE , ∴BD OE ⊥， ∴1AOE ∠为二面角1A BD E --的平面角． 在正方体ABCD —1111A B C D 中，设棱长为a 2， ∵E 为棱CC 1的中点，由平面几何知识，11,,3EO AO A E a ==，∴ 22211A E AO EO =+，即190AOE ∠=．∴ 平面1A BD ⊥平面EBDDA 1 BCE A B 1 C 1 D 1 O4．(Ⅰ) ∵f (x )是奇函数，又f (－x )=－ax 3＋bx 2＋3x ，－f (x )=－ax 3－bx 2＋3x ，∴－ax 3＋bx 2＋3x =－ax 3－bx 2＋3x 恒成立，∴ b =0. ∴ f (x )= ax 3－3x ，()f x '=3ax 2－3=3(ax 2－1) .由题意：f (x )有极大值和极小值，∴ax 2－1=0有两个不等的实根，∴a ＞0，∴ x =±当x <()f x '>0； 当x ()f x '<0； 当x , ()f x '>0.故当x ＝f (x )取极大值；当x 时，f (x )取极小值.∴f (x )极大值－f (x )极小值=f (－f 4==，1=，∴ a =1 . ∴ a =1，b =0. (Ⅱ)显然，点A (0,16)不在f (x )= x 3－3x 上， 设切点为(00,x y )，则k =0()f x ' =3203x -. ∴ 切线方程3200003(33)()y x x x x x -+=--，∴ 16－3003x x +=－33003x x +，16= -2x 03，则30x = -8，∴x 0= -2, ∴ k =0()f x ' =3203x -＝9，则符合条件的切线方程是y =9x +16.。

北京市人大附中高三数学根底练习题四一．选择题：1．设A ={－3，x +1，x 2}，B ={x －5，2x －1，x 2+1}，假设A ∩B ={－3}，故实数x 等于〔 〕 A ．－1 B ．0 C ．1 D ．22．函数 ()32(1)48(3)f x ax a x b x b =+-+-+的图象关于原点中心对称，那么()f x 〔 〕A ．在⎡-⎣上为增函数 B ．在⎡-⎣上为减函数C ．在)⎡+∞⎣上为增函数，在(,-∞-上为减函数D ．在(,-∞-上为增函数，在)⎡+∞⎣上为减函数 3．函数()()212x x f x e e e-=+()1x <〔其中e 为大于1的常数〕，那么〔 〕 A ．111322f f --⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．111322f f --⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()11322f f --⎛⎫< ⎪⎝⎭D ．()11322f f --⎛⎫> ⎪⎝⎭ 4．α，β为锐角，sin x α=，cos y β=，()3cos 5αβ+=-，那么y 与x 的关系是 ( )A ． ()4015y x x =<<B ． 43155y x x ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭C ． 43055y x x ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭D ． ()4015y x x =<< 5．函数()()()2f x x a x b =---(其中a b <)，且,αβ是方程()0f x =的两根()αβ<，那么实数,,,a b αβ的关系是( )A ．a b αβ<<<B ． a b αβ<<<C ． a b αβ<<<D ． a b αβ<<<6．P ，Q ，R 为正方体外表上的三点，PQR 在正方体三个两两垂直的面上的射影如以下图，那么以下关于过点P ，Q ，R 三点的截面结论正确的选项是 ( )A ．这个截面是一个三角形B ．这个截面是四边形C ．这个截面是六边形D ．这个截面过正方体的一个顶点7．假设1x >，那么22222x x x -+-有 ( ) A ．最小值1 B ．最大值1 C ．最小值1- D ．最大值1-8．假设向量u =()3,6-，v =()4,2，w =()12,6--，那么以下结论中错误的选项是( )A ． u ⊥ vB ． v // wC ． w =u －3 vD ．对任一向量AB ，存在实数,a b 使AB =a u+b v9．1F ，2F 为双曲线左，右焦点，以双曲线右支上任意一点P 为圆心，以1||PF 为半径的圆与以2F 为圆心，12 12 FF 为半径的圆内切，那么双曲线两条渐近线的夹角是 ( ) A ．4π B ．2π C ． 23π D ． 3π 10．,,a b a b +成等差数列，,,a b ab 成等比数列，且()0log 1m ab <<，那么m 的取值范围是〔 〕A ．〔1，8〕B ．〔8，+∞〕C ．〔0，81〕 D ．〔81，1〕 二．填空题：11．命题A :两曲线(),0F x y =和(),0G x y =相交于点()00,P x y ．命题B :曲线(),F x y + (),0G x y λ=(λ为常数)过点()00,P x y ，那么A 是B 的_______条件．12．二次函数()f x 的二次项系数为正，且对于任意实数x 恒有()()22f x f x +=-，假设()()221212f x f x x -<+-，那么x 的取值范围是___________．13．设12,x x 为方程24420x mx m -++=的两个实根，当m =____ ___时，2212x x +有最小值___ ___．14．函数()f x 在R 上为增函数，那么()1y f x =+的一个单调区间是______________．15．如果函数()f x 在R 上为奇函数，在()1,0-上是增函数，且()()2f x f x +=-，试比拟()12,,133f f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的大小关系是_________________________．16．以下四个命题中:①a b +≥224sin 4sin x x +≥；③设,x y 都是正整数,假设191x y+=,那么x y +的最小值为12；④假设2x ε-<,2y ε-<,那么2x y ε-<，其中所有真命题的序号是___________________.。

中国人民大学附属中学高三热身练习数学命题：高三数学组本试卷共7页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}21,{}P x x M a =≤=∣，若P M M = ，则实数a 的取值范围是（）A.(,1]-∞- B.[1,1]- C.[)1,+∞ D.][(),11,-∞-⋃+∞2.若||1,||2,( )a b a b a ==-⊥r r r r r，则向量a 与b 的夹角为（）A.30︒B.60︒C.120︒D.150︒3.已知nx⎫-⎪⎭的二项式系数之和为64，则其展开式的常数项为（）A .240- B.240 C.60D.60-4.已知,R x y ∈，且x y >，则（）A.11x y-<0 B.tan tan 0x y ->C.110e e xy⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.ln ||ln ||0x y ->5.若双曲线221:142x y C -=与22222:1y x C a b-=具有相同的渐近线，则2C 的离心率为（）A.2B.C.D.6.已知函数1,0()1,0x f x x -<⎧=⎨≥⎩，则不等式(1)1xf x -≤的解集为()．A.[1,)-+∞ B.(,1]-∞ C.[1,2]D.[1,1]-7.已知(1,0),(1,0)A B -，若点P 满足PA PB ⊥，则点P 到直线:((1)0l m x n y -+-=的距离的最大值为（）A.1B.2C.3D.48.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .则“,,a b c 成等比数列”是sin 2B ≤的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件9.故宫角楼的屋顶是我国十字脊顶的典型代表，如图1，它是由两个完全相同的直三棱柱垂直交叉构成，将其抽象成几何体如图2所示.已知三楼柱ABF CDE -和BDG ACH -是两个完全相同的直三棱柱，侧棱EF 与GH 互相垂直平分，,EF GH 交于点I ，AF BF a ==，AF BF ⊥，则点G 到平面ACEF 的距离是（）A.33a B.12a C.2a D.24a 10.2024年1月17日我国自行研制的天舟七号货运飞船在发射3小时后成功对接于空间站天和核心舱后向端口，创造了自动交会对接的记录.某学校的航天科技活动小组为了探索运动物体追踪技术，设计了如下实验：目标P 在地面轨道上做匀速直线运动；在地面上相距7m 的A ，B 两点各放置一个传感器，分别实时记录A ，B 两点与物体P 的距离.科技小组的同学根据传感器的数据，绘制了“距离-时间”函数图像，分别如曲线a ，b 所示.1t 和2t 分别是两个函数的极小值点.曲线a 经过()()0110,,,r t r 和()20,t r ，曲线b 经过()22,t r .已知211212,4m,4s rt r t r t ===，并且从0=t 时刻到2=t t 时刻P 的运动轨迹与线段AB 相交.分析曲线数据可知，P 的运动轨迹与直线AB 所成夹角的正弦值以及P 的速度大小分别为（）A.613,m /s 74 B.613,m /s 72 C.235,m /s 74D.235,m /s 72第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.若2i1ia +-是纯虚数，则实数a 的值为__________.12.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为A ，点B 在C 上.若||2FB =，则直线AB 的方程为__________.13.使lg lg lg()a b a b +=+成立的一组a ，b 的值为=a __________，b =__________.14.已知函数()sin(π)(0,0π)f x x ωϕωϕ=+><≤，若()f x 是偶函数，则ϕ=__________；若圆面222x y +≤恰好覆盖()f x 图象的最高点或最低点共3个，则ω的取值范围是__________.15.已知数列{}n a 的前n 项和为1,1n S a =且()2*11,Nn n a S n +=+∈，给出下列四个结论：①长度分别为11,,n n aS +的三条线段可以构成一个直角三角形：②*1N ,2n n n S -∀∈≥；③*21N ,2n n n n a a a ++∀∈+<；④*11πN ,2cos2n n n n a a ++∀∈=.其中所有正确结论的序号是__________.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.如图，四边形ABCD 为菱形，π,23ABC AB ∠==，把ABC 沿着BC 折起，使A 到1A 位置.（1）证明：1BC AA ⊥；（2）若1AA =，求直线1DA 与平面1ABA 所成角的正弦值；（3）在（2）的条件下，求点D 到平面1ABA 的距离.17.已知函数2()cos 2cos ,(0)f x x x x ωωωω=+>的最小正周期为π.（1）求ω的值；（2）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .c 为()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求a b -的取值范围.条件①：cos cos 2cos a B b A c C +=；条件②：2sin cos sin 2a A B b A +=；条件③：ABC 的面积为S ，且)2224a b c S +-=.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个条件计分.18.某口罩加工厂加工口罩由A ，B ，C 三道工序组成，每道工序之间相互独立，且每道工序加工质量分为高和低两种层次级别，A ，B ，C 三道工序加工的质量层次决定口罩的过滤等级；A ，B ，C 工序加工质量层次均为高时，口罩过滤等级为100等级（表示最低过滤效率为99.97%）；C 工序的加工质量层次为高，A ，B 工序至少有一个质量层次为低时，口罩过滤等级为99等级（表示最低过滤效率为99%）；其余均为95级（表示最低过滤效率为95%）.现从A ，B ，C 三道工序的流水线上分别随机抽取100个口罩进行检测，其中A 工序加工质量层次为高的个数为50个，B 工序加工质量层次高的个数为75个，C 工序加工质量层次为高的个数为80个.表①：表示加工一个口罩的利润.口罩等级100等级99等级95等级利润/元210.5（1）用样本估计总体，估计该厂生产的口罩过滤等级为100等级的概率；（2）X 表示一个口罩的利润，求X 的分布列和数学期望；（3）用频率估计概率，由于工厂中A 工序加工质量层次为高的概率较低，工厂计划通过增加检测环节对A 工序进行升级.在升级过程中，每个口罩检测成本增加了0.2元时，相应的A 工序加工层次为高的概率在原来的基础上增加了b .试问：若工厂升级方案后对一个口罩利润的期望有所提高，写出一个满足条件的b 的值.19.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，以线段12F F 为直径的圆过C 的上下顶点，点()1,e 在C 上，其中e 为C 的离心率.（1）求椭圆C 的方程和短轴长；（2）点,A B 在C 上，且在x 轴的上方，满足1212//,2AF BF AF BF =，直线2AF 与直线1BF 的交点为P ，求12PF F △的面积.20.已知函数()()e ,()x f x x a x a =--∈R .（1）若曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线为x 轴，求a 的值；（2）在（1）的条件下，判断函数()f x 的单调性；（3）()221()1e 12xg x x ax x x ⎛⎫=-+-++⎪⎝⎭，若1-是()g x 的极大值点，求a 的取值范围.21.给定正整数2n ≥，设数列12,,...,n a a a 是1,2,...,n 的一个排列，对{}1,2,...,i n ∈，i x 表示以i a 为首项的递增子列的最大长度，i y 表示以i a 为首项的递减子列的最大长度.（1）若4n =，11a =，24a =，32a =，43a =，求1x 和2y ；（2）求证：{}1,2,...,1i n ∀∈-，()()22110i i i i x y x y ++-+-≠；（3）求1niii x y=-∑的最小值.中国人民大学附属中学高三热身练习数学第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}21,{}P x x M a =≤=∣，若P M M = ，则实数a 的取值范围是（）A.(,1]-∞-B.[1,1]- C.[)1,+∞ D.][(),11,-∞-⋃+∞【答案】B【分析】化简集合P ，由P M M = 得出M P ⊆，由子集的定义得出实数a 的取值范围.【详解】 集合{}210{11}[1,1]P x x x x =-≤=-≤≤=-∣∣,{},M a P M M =⋂=,[1,1]M P a ∴⊆∴∈-故选：B【点睛】本题主要考查了根据交集的结果求参数的取值范围，属于基础题.2.若||1,||2,( )a b a b a ==-⊥r r r r r，则向量a 与b 的夹角为（）A.30︒B.60︒C.120︒D.150︒【答案】B【分析】根据()a b a -⊥ ，得()0a b a -×=，结合数量积得运算律求出a b ⋅ ，再根据向量夹角公式即可得解.【详解】因为()a b a -⊥ ，所以()0a b a -×= ，即20a a b -⋅= ，所以21a b a ⋅== ，所以1cos ,2a b a b a b ⋅==，又0,180a b ︒︒≤≤ ，所以向量a与b的夹角为60︒.故选：B.3.已知nx⎫-⎪⎭的二项式系数之和为64，则其展开式的常数项为（）A.240-B.240C.60D.60-【答案】B【分析】根据二项式系数之和可得6n =，结合二项展开式分析求解.【详解】由题意可知：二项式系数之和为264n =，可得6n =，其展开式的通项为()()63362166C 12C ,0,1,2,,6rr rrr rr r T x xr---+=-=-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅，令3302r -=，解得2r =，所以其展开式的常数项为()242612C 240-⋅⋅=.故选：B.4.已知,R x y ∈，且x y >，则（）A.11x y-<0 B.tan tan 0x y ->C.110e e xy⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.ln ||ln ||0x y ->【答案】C【分析】根据题意，利用不等式的基本性质，正切函数的性质，以及指数函数与对数函数的性质，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，11y xx y xy--=，其中0y x -<，但xy 的符号不确定，所以A 不正确；对于B 中，例如ππ,4x y ==，此时tan tan 0110x y -=-=-<，所以B 不正确；对于C 中，由函数()1e xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 为单调递减函数，因为x y >，所以11e e xy⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得110e e xy⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以C 正确；对于D 中，例如2,3x y ==-，此时2ln ||ln ||ln 2ln 3ln 03x y -=-=<，所以D 不正确.故选：C.5.若双曲线221:142x y C -=与22222:1y x C a b-=具有相同的渐近线，则2C 的离心率为（）A.2B.C.D.【答案】C【分析】先求出两个双曲线的离心率，根据渐近线相等列式，代入离心率求解即可.【详解】双曲线221:142x y C -=的渐近线为2y x =±，22222:1y x C a b -=的渐近线为a y x b =±，由题可知22a b=，所以2C 的离心率c e a ====故选：C.6.已知函数1,0()1,0x f x x -<⎧=⎨≥⎩，则不等式(1)1xf x -≤的解集为()．A.[1,)-+∞B.(,1]-∞ C.[1,2]D.[1,1]-【答案】D【分析】由题可得()1,111,1x f x x -<⎧-=⎨≥⎩，然后分类讨论解不等式即得.【详解】∵1,0()1,0x f x x -<⎧=⎨≥⎩，∴1,1(1)1,1x f x x -<⎧-=⎨≥⎩，当1x ≥时，(1)11xf x x -≤⇔≤，∴1x =，当1x <时，(1)111xf x x x -≤⇔-≤⇔≥-，∴1<1x ≤-，综上所述，(1)1xf x -≤的解集为[1,1]-．故选:D ．7.已知(1,0),(1,0)A B -，若点P 满足PA PB ⊥，则点P 到直线:((1)0l m x n y -+-=的距离的最大值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【分析】先确定P 的轨迹以及直线l 过的定点，再根据圆的性质特点求最值.【详解】由PA PB ⊥可得点P 的轨迹为以线段AB 为直线的圆，圆心为()0,0，半径为1，又直线:((1)0l m x n y -+-=，其过定点)，13+=.故答案为：C8.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .则“,,a b c 成等比数列”是sin 2B ≤的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】A【分析】先将2b ac =代入余弦定理，利用基本不等式得到1cos 2B ≥，从而得到3sin 2B ≤，接着根据3sin 2B ≤得到B 可能为钝角，不满足,,a b c 成等比数列，从而得答案.【详解】当,,a b c 成等比数列时，2b ac =，所以22221cos 222a cb ac ac B ac ac +--=≥=，当且仅当a c =时等号成立，又()0,πB ∈，所以π3B ≤，所以3sin 2B ≤，充分性满足；当3sin 2B ≤时，π2π0,,π33B ⎛⎤⎡⎫∈⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，而当2π,π3B ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，b 为最长的边，不满足,,a b c 成等比数列，必要性不满足.则“,,a b c 成等比数列”是sin 2B ≤的充分不必要条件.故选：A.9.故宫角楼的屋顶是我国十字脊顶的典型代表，如图1，它是由两个完全相同的直三棱柱垂直交叉构成，将其抽象成几何体如图2所示.已知三楼柱ABF CDE -和BDG ACH -是两个完全相同的直三棱柱，侧棱EF 与GH 互相垂直平分，,EF GH 交于点I ，AF BF a ==，AF BF ⊥，则点G 到平面ACEF 的距离是（）A.33a B.12a C.2a D.24a 【答案】B【分析】根据已知条件，结合空间总直线与平面的位置关系，先确定点G 到平面ACEF 的垂线段，在根据已知条件得sin 22KGIGθ==h 即可.【详解】取AC 中点M ，连接MI ，过G 作MI 的垂线交MI 的延长线于点K，取AB 中点N ，连接FN ，由已知，M 、I 分别为AC 、EF 中点，因为ABF CDE -是直三棱柱，所以AF AC ⊥，//EF AC 且EF AC =，所以//FI AM 其=FI AM ，所以四边形AMIF 为平行四边形，又AF AC ⊥，所以AMIF 为矩形，所以EF MK ⊥，又EF GH ⊥，MK ⊂平面KIG ，GH Ì平面KIG ，MK GH I ⋂=，所以EF ⊥平面KIG ，KG ⊂平面KIG ，所以EF KG ⊥，又因为KG MK ⊥，EF ⊂平面ACEF ，MK ⊂平面ACEF ，EF MK I ⋂=，所以KG ⊥平面ACEF ，所以点G 到平面ACEF 的距离等于线段KG 的长度，设为h ；AF BF ⊥，在Rt ABF 中，AF BF a ==，所以AB ==，设角FAB θ∠=，则有2sin 2θ=，因为四边形AMIF 为平行四边形，所以//MI AF ，又因为因为BDG ACH -是直三棱柱，所以//AB HG ，且HG AB a ==，所以KIG FAB θ∠=∠=，22IG =，又因为KG ⊥平面ACEF ，IK ⊂平面ACEF ，所以KG IK ⊥，所以sin 22KGIGθ==2222=，解得2a h =，所以点G 到平面ACEF 的距离是2a ，故选：B.【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据空间中点、线、面的位置关系，确定点G 到平面ACEF 的垂线段.10.2024年1月17日我国自行研制的天舟七号货运飞船在发射3小时后成功对接于空间站天和核心舱后向端口，创造了自动交会对接的记录.某学校的航天科技活动小组为了探索运动物体追踪技术，设计了如下实验：目标P 在地面轨道上做匀速直线运动；在地面上相距7m 的A ，B 两点各放置一个传感器，分别实时记录A ，B 两点与物体P 的距离.科技小组的同学根据传感器的数据，绘制了“距离-时间”函数图像，分别如曲线a ，b 所示.1t 和2t 分别是两个函数的极小值点.曲线a 经过()()0110,,,r t r 和()20,t r ，曲线b 经过()22,t r .已知211212,4m,4s rt r t r t ===，并且从0=t 时刻到2=t t 时刻P 的运动轨迹与线段AB 相交.分析曲线数据可知，P 的运动轨迹与直线AB 所成夹角的正弦值以及P 的速度大小分别为（）A.613,m /s 74 B.613,m /s 72 C.235,m /s 74D.235,m /s 72【答案】B【分析】建系，设点，作相应的辅助线，分析可知6m,2m AC BC v ==，结合7m AB =分析求解即可.【详解】如图，建立平面直角坐标系，设动点P 的轨迹与y 轴重合，其在120,,t t t =时刻对应的点分别为O （坐标原点），,D E ，P 的速度为m /s,0v v >，因为1122112,4m,2s,4s rt r t r t t ====，可得22m r =，由题意可知：,AD BE 均与y 轴垂直，且4m,2m,2m AD BE OD DE v ====，作BC AD ⊥垂足为C ，则6m,2m AC BC v ==，因为222AC BCAB +=，即236449v +=，解得2v =；又因为BC ∥y 轴，可知P 的运动轨迹与直线AB 所成夹角即为ABC ∠，所以P 的运动轨迹与直线AB 所成夹角的正弦值为6sin 7AC ABC AB∠==.故选：B.【点睛】关键点点睛：建系，设动点P 的轨迹与y 轴重合，以坐标系为依托，把对应的量转化为相应的长度，进而分析求解.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.若2i1ia +-是纯虚数，则实数a 的值为__________.【答案】2【分析】求出复数的代数形式，然后根据纯虚数的定义列方程求解即可.【详解】()()()()()22i 1i 2i 1i 1i 221i1i 1a a a a a a a +++==--+-+++，因为2i1ia +-是纯虚数，所以20210a a -=⎧⎨+≠⎩，得2a =.故答案为：212.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为A ，点B 在C 上.若||2FB =，则直线AB 的方程为__________.【答案】10x y -+=或10x y ++=【分析】先根据焦半径公式求出点B 坐标，进而可得直线方程.【详解】设(),B x y ，则||12FB x =+=，则1x =，此时2y =±，所以()1,2B 或()1,2B -，又由已知()1,0A -，直线AB 的方程为()()20111y x -=+--或()()20111y x --=+--，整理得10x y -+=或10x y ++=.故答案为：10x y -+=或10x y ++=.13.使lg lg lg()a b a b +=+成立的一组a ，b 的值为=a __________，b =__________.【答案】①.2（答案不唯一）②.2（答案不唯一）【分析】根据题意结合对数运算分析可得00ab a b a b =+⎧⎪>⎨⎪>⎩，取特值检验即可.【详解】若lg lg lg()a b a b +=+，则lg lg()ab a b =+，可得00ab a b a b =+⎧⎪>⎨⎪>⎩，例如2a b ==符合上式.故答案为：2；2.（答案不唯一）14.已知函数()sin(π)(0,0π)f x x ωϕωϕ=+><≤，若()f x 是偶函数，则ϕ=__________；若圆面222x y +≤恰好覆盖()f x 图象的最高点或最低点共3个，则ω的取值范围是__________.【答案】①.π2②.[)1,2【分析】根据偶函数的对称性分析可知ππ,Z 2k k ϕ=+∈，即可得结果；结合对称性可知圆面在y 轴右侧仅覆盖1个()f x 图象的最高点或最低点，结合周期性列式求解.【详解】因为()f x 是偶函数，则ππ,Z 2k k ϕ=+∈，且0πϕ<≤，所以π0,2k ϕ==；可得π()sin πcos π2f x x x ωω⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，设()f x 的最小正周期为T ，因为()f x 和222x y +≤均关于y 轴对称，可知圆面在y 轴右侧仅覆盖()f x 图象的1个最低点，对于222x y +=，令1y =±，解得1x =（不妨只考虑y 轴右侧，舍负）；可得121TT ⎧≤⎪⎨⎪>⎩，解得12T <≤，且0ω>，则2π12πω<≤，解得12ω≤<，所以ω的取值范围是[)1,2，故答案为：π2；[)1,2.15.已知数列{}n a 的前n 项和为1,1n S a =且()2*11,N n n a S n +=+∈，给出下列四个结论：①长度分别为11,,n n aS +的三条线段可以构成一个直角三角形：②*1N ,2n n n S -∀∈≥；③*21N ,2n n n n a a a ++∀∈+<；④*11πN ,2cos 2n n n n a a ++∀∈=.其中所有正确结论的序号是__________.【答案】②【分析】①:先确定11,,n n a S +最大的那个，再根据勾股定理列式判断；②通过放缩得到12n n a a +≥，再进一步通过放缩判断；③④求出123,,a a a ，然后举例排除.【详解】对于①：21110,1n n a S a +=+>=，则11,0n n a S +>>，则221131024n n n n n a S S S S +⎛⎫-=+-=-+> ⎪⎝⎭，即1n n a S +>，假设长度分别为11,,n n a S +的三条线段可以构成一个直角三角形，则1n a +为斜边，所以2211n n a S +=+，所以21111n n a a ++=-+，所以10n a +=或11n a +=，与11n a +>矛盾，故①错误；对于②：21122n n n n a S S a +=+≥≥，当且仅当1n =等号成立，所以12n na a +≥，所以111212422n n n n n a a a a ----≥≥≥≥= ，所以1*2N ,n n n S a n -≥≥∀∈，②正确；对于③：由已知1231,2,10a a a ===，此时1322a a a +>，所以*21N ,2n n n n a a a ++∀∈+<不成立，③错误；对于④：由已知1231,2,10a a a ===，此时323π2cos 2a a ≠，所以*11πN ,2cos 2n nn n a a ++∀∈=不成立，④错误.故答案为：②.【点睛】关键点点睛：对于数列命题正误的判断，我们可以通过求出部分项，然后观察是否成立，从而达到排除的目的.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.如图，四边形ABCD 为菱形，π,23ABC AB ∠==，把ABC 沿着BC 折起，使A 到1A 位置.（1）证明：1BC AA ⊥；（2）若16AA =，求直线1DA 与平面1ABA 所成角的正弦值；（3）在（2）的条件下，求点D 到平面1ABA 的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）65（3）2155【分析】（1）取线段BC 的中点E ，连接1,AE A E ，通过证明BC ⊥面1A AE 可得结论；（2）先证明出1,,AE A E BC 两两垂直，然后建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角；（3）斜线段的长度乘以线面角的正弦可得点到面的距离.【小问1详解】取线段BC 的中点E ，连接1,AE A E ，因为四边形ABCD 为菱形，且π3ABC ∠=，所以ABC ，1A BC 为等边三角形，所以1,BC AE BC A E ⊥⊥，又11,,AE A E E AE A E =⊂ 面1A AE ，所以BC ⊥面1A AE ，又1AA ⊂面1A AE ，所以1BC AA ⊥；【小问2详解】由ABC ，1A BC 为边长为2的等边三角形可得13AE A E ==，所以22211AE A E A A +=，结合BC ⊥面1A AE 可得1,,AE A E BC 两两垂直，如图建立空间直角坐标系，)()()13,2,0,0,0,3,3,0,0,0,1,0DA AB -，(()11,,DA AB A A ===，设面1ABA 的法向量为(),,n x y z =，直线1DA 与平面1ABA 所成角为θ，则10AB n y A A n ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，取1x =得()n =，116sin 5n DA n DA θ⋅===⋅ ，即直线1DA 与平面1ABA 所成角的正弦值为65；【小问3详解】由（2）得点D 到平面1ABA的距离为16215sin 55DA θ==.17.已知函数2()cos 2cos ,(0)f x x x x ωωωω=+>的最小正周期为π.（1）求ω的值；（2）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .c 为()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求a b -的取值范围.条件①：cos cos 2cos a B b A c C +=；条件②：2sin cos sin 2a A B b A +=；条件③：ABC 的面积为S，且)2224a b c S +-=.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个条件计分.【答案】（1）1（2）(【分析】利用三角恒等变换整理可得π()2sin 216f x x ω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，结合最小正周期分析求解；以π26x +为整体，结合正弦函数最值可得3c =.若选条件①：利用正弦定理结合三角恒等变换可得π3C =，利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得π3a b A ⎛⎫-=-⎪⎝⎭，结合正弦函数分析求解；若选条件②：利用正弦定理结合三角恒等变换可得π3C =，利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得π3a b A ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，结合正弦函数分析求解；若选条件③：利用面积公式、余弦定理可得π3C =，利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得π3a b A ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，结合正弦函数分析求解.【小问1详解】由题意可知：2π()cos 2cos 2cos 212sin 216f x x x x x x x ωωωωωω⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭，因为函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>，所以2π12πω==.【小问2详解】由（1）可知：π()2sin 216f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，因为π0,2⎡⎤∈⎢⎣⎦x ，则ππ7π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，可知当ππ262x +=，即π6x =时，()f x 取到最大值3，即3c =.若条件①：因为cos cos 2cos a B b A c C +=，由正弦定理可得sin cos sin cos 2sin cos A B B A C C +=，又因为()sin cos sin cos sin sin A B B A A B C +=+=，可得sin 2sin cos C C C =，且π0,2C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 0C ≠，可得1cos 2C =，所以π3C =，由正弦定理可得sin sin sin 32a b c A B C ====，可得,a A b B ==，则π3a b A B A A ⎛⎫-=-=-+⎪⎝⎭1sin cos 22A A A ⎫=-+⎪⎪⎭π3cos 3A A A ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，因为ABC 锐角三角形，则π022ππ032A A ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得ππ62A <<，可得πππ636A -<-<，则1π1sin 232A ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭，可得b a <-<所以a b -的取值范围为(；若条件②；因为2sin cos sin 2a A B b A +=，由正弦定理可得：22sin cos sin sin 2A B B A A +=，则22sin cos 2sin sin cos A B B A A A +=，因为π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 0A ≠，可得()2sin cos 2sin cos 2sin 2sin A B B A A B C +=+==即3sin 2C =，且π0,2C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π3C =，由正弦定理可得sin sin sin a b c A B C ====，可得,a A b B ==，则π3a b A B A A ⎛⎫-=-=-+⎪⎝⎭13sin cos 22A A A ⎫=-+⎪⎪⎭π3cos 3A A A ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，因为ABC 锐角三角形，则π022ππ032A A ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得ππ62A <<，可得πππ636A -<-<，则1π1sin 232A ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭，可得b a <-<所以a b -的取值范围为(；若选③：因为)2224a b c S +-=，则132cos sin 24ab Cab C =，整理得tan C =π0,2C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π3C =，由正弦定理可得sin sin sin 32a b c A B C ====，可得,a A b B ==，则π3a b A B A A ⎛⎫-=-=-+ ⎪⎝⎭13sin cos 22A A A ⎫=-+⎪⎪⎭π3cos 3A A A ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，因为ABC 锐角三角形，则π022ππ032A A ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得ππ62A <<，可得πππ636A -<-<，则1π1sin 232A ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭，可得b a <-<所以a b -的取值范围为(.18.某口罩加工厂加工口罩由A ，B ，C 三道工序组成，每道工序之间相互独立，且每道工序加工质量分为高和低两种层次级别，A ，B ，C 三道工序加工的质量层次决定口罩的过滤等级；A ，B ，C 工序加工质量层次均为高时，口罩过滤等级为100等级（表示最低过滤效率为99.97%）；C 工序的加工质量层次为高，A ，B 工序至少有一个质量层次为低时，口罩过滤等级为99等级（表示最低过滤效率为99%）；其余均为95级（表示最低过滤效率为95%）.现从A ，B ，C 三道工序的流水线上分别随机抽取100个口罩进行检测，其中A 工序加工质量层次为高的个数为50个，B 工序加工质量层次高的个数为75个，C 工序加工质量层次为高的个数为80个.表①：表示加工一个口罩的利润.口罩等级100等级99等级95等级利润/元210.5（1）用样本估计总体，估计该厂生产的口罩过滤等级为100等级的概率；（2）X 表示一个口罩的利润，求X 的分布列和数学期望；（3）用频率估计概率，由于工厂中A 工序加工质量层次为高的概率较低，工厂计划通过增加检测环节对A 工序进行升级.在升级过程中，每个口罩检测成本增加了0.2元时，相应的A 工序加工层次为高的概率在原来的基础上增加了b .试问：若工厂升级方案后对一个口罩利润的期望有所提高，写出一个满足条件的b 的值.【答案】（1）0.3（2）分布列见详解；() 1.2E X =元（3）25b =（答案不唯一，满足1132b <≤即可）【分析】（1）根据可得A ，B ，C 三道工序加工的质量层次高的概率，结合独立事件概率乘法公式分析求解；（2）由题意可知：X 的可能取值为2，1，0.5，求相应的概率，进而可得分布列和期望；（3）由题意可知：工厂升级方案后A 道工序加工的质量层次高的概率为[]0.5,0,0.5b b +∈，由题意可知：Y 的可能取值为1.8,0.8,0.3，求相应的概率，进而可得期望，令()()E Y E X >运算求解即可.【小问1详解】设A ，B ，C 三道工序加工的质量层次高的概率分别为123,,p p p ，用频率估计概率可得：1235075800.5,0.75,0.8100100100p p p ======，记“该厂生产的口罩过滤等级为100等级”为事件M ，所以()0.50.750.80.3P M =⨯⨯=.【小问2详解】由题意可知：X 的可能取值为2，1，0.5，则有：()()()()31220.3,110.5P X P M P X p p p =====-=，()()()0.51210.2P X P X P X ==-=-==，所以X 的分布列为X 210.5P0.30.50.2X 的期望()20.310.50.50.2 1.2E X =⨯+⨯+⨯=（元）.【小问3详解】由题意可知：工厂升级方案后A 道工序加工的质量层次高的概率为[]0.5,0,0.5b b +∈，设工厂升级方案后一个口罩利润的期望为Y ，由题意可知：Y 的可能取值为1.8,0.8,0.3，则有：()()1.80.50.750.80.60.3P Y b b ==+⨯⨯=+，()()0.80.810.50.750.50.6P Y b b ==-+⨯=-⎡⎤⎣⎦，()()()0.31210.2P Y P Y P Y ==-=-==，所以Y 的期望()()()1.80.60.30.80.50.60.30.20.61E Y b b b =⨯++⨯-+⨯=+（元），令()()E Y E X >，即0.61 1.2b +>，解得1132b <≤，例如25b =符合题意.19.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，以线段12F F 为直径的圆过C 的上下顶点，点()1,e 在C 上，其中e 为C 的离心率.（1）求椭圆C 的方程和短轴长；（2）点,A B 在C 上，且在x 轴的上方，满足1212//,2AF BF AF BF =，直线2AF 与直线1BF 的交点为P ，求12PF F △的面积.【答案】（1）22:12x C y +=；2（2【分析】（1）线段12F F 为直径的圆过C 的上下顶点，得11OB OF r ==，即b c =，然后计算离心率e ，从而点()1,e 代入C 可得椭圆C 的方程并可求短轴长；（2）由题可知，12PF F △的面积等于1212P F F y ，所以求P y 的值；由1212//,2AF BF AF BF =，得122AF BF =uuu r uuu r ，进而得点,A B 的坐标关系，即1212232x x y y =-⎧⎨=⎩，将点,A B 代入C ，求得2y ，再由12APF F PB △△∽，得12PF BP = ，即223P y y =，从而计算12PF F △的面积即可.【小问1详解】设()()120,,0F c F c -，，上下顶点分别为()()120,,0,B b B b -.由以线段12F F 为直径的圆过C 的上下顶点，得11OB OF r ==，得22b c =，即b c =.因为22222a b c c =+=，即a =，所以22c e a ==，由点2)2在C 上，得22222211a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=，2211122b b +=，解得1b =，所以2222a b ==，则22:12x C y +=，短轴长1222B B b ==.【小问2详解】根据题意，画出图象如图所示：因为1212//,2AF BF AF BF =，所以122AF BF =uuu r uuu r ，又12APF F PB △△∽，则1122PF AF BP BF ==，即12PF BP =，12PF BP = .设()()()1122,,,,,P P A x y B x y P x y ，()()121,0,1,0F F -由122AF BF =uuu r uuu r 得()12121212x x y y ⎧--=-⎨-=-⎩，即1212232x x y y =-⎧⎨=⎩，因为点()()1122,,,A x y B x y 在椭圆22:12x C y +=上，所以()()222222222322222x y x y ⎧-+⨯=⎪⎨+=⎪⎩，即22222222241287488x x y x y ⎧-+=-⎨+=⎩，两式相减得，21215x =即254x =，2225224y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又点,A B 在x 轴的上方，所以2148y =.又12PF BP = 得()22P P y y y -=-，即222141433812P y y ==⨯=.于是12121114142221212PF F P S F F y ==⨯⨯= .20.已知函数()()e ,()x f x x a x a =--∈R .（1）若曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线为x 轴，求a 的值；（2）在（1）的条件下，判断函数()f x 的单调性；（3）()221()1e 12x g x x ax x x ⎛⎫=-+-++ ⎪⎝⎭，若1-是()g x 的极大值点，求a 的取值范围.【答案】（1）0（2）(),0∞-上单调递减，()0,∞+上单调递增（3）()e,∞-+【分析】（1）求导，然后根据(0)0f '=列式计算即可；（2）求导，然后通过二次求导确定导函数的正负，进而确定函数的单调性；（3）求导，然后因式分解，确定导函数的零点，讨论零点大小，进而确定极值点.【小问1详解】由已知()(1)e 1x f x x a '=-+-，则0(0)(1)e 1f a a '=-+-=-，由于曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线为x 轴，所以0a -=，所以0a =；【小问2详解】当0a =时，()(1)e 1x f x x '=+-，令()(1)e 1x h x x =+-，则()(2)e x h x x '=+，当<2x -时，()0h x '<，()f x '单调递减，当2x >-时，()0h x '>，()f x '单调递增，又当<2x -时，()0f x '<恒成立，2(2)e 1f -'-=--，0(0)e 10f '=-=，所以当0x <时()0f x '<，0x >时，()0f x '>，所以()f x 在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增；【小问3详解】由已知()()()2()12e 11(1)e 1x x g x x ax x a x x x a '⎡⎤=-++--+=+-+-⎣⎦，令()(1)e 1x v x x a =-+-，则()(2)e xv x x a '=-+，当2x a <-时，()0v x '<，()v x 单调递减，当2x a >-时，()0v x '>，()v x 单调递增，又当2x a <-时，()0v x <恒成立，且()22e 10a v a --=--<，当x →+∞时，()0v x >，即()v x 在()2,a -+∞上有且只有一个零点，设为0x ，当01x <-，即()11(11)e 10v a --=--+->，解得e a <-，此时若()0g x '<，解得01x x <<-，()g x 在()0,1x -上单调递减，若()0g x '>，解得0x x <或1x >-，()g x 在()()0,,1,x -∞-+∞上单调递增，此时()g x 在=1x -处取极小值，不符合题意，舍去；当01x >-，即()11(11)e 10v a --=--+-<，解得e a >-，此时若()0g x '<，解得01x x -<<，()g x 在()01,x -上单调递减，若()0g x '>，解得1x <-或0x x >，()g x 在()()0,1,,x -∞-+∞上单调递增，此时()g x 在=1x -处取极大值，符合1-是()g x 的极大值点，当01x =-时，即()11(11)e 10v a --=--+-=，解得a e =-，此时()0g x '≥恒成立，()g x 无极值点，综上所述：a 的取值范围为()e,∞-+.【点睛】方法点睛：函数的极值跟导函数的零点有关，当零点不确定的时候，就需要对零点的存在性以及零点的大小进行分类讨论，从而达到确定极值点的目的.21.给定正整数2n ≥，设数列12,,...,n a a a 是1,2,...,n 的一个排列，对{}1,2,...,i n ∈，i x 表示以i a 为首项的递增子列的最大长度，i y 表示以i a 为首项的递减子列的最大长度.（1）若4n =，11a =，24a =，32a =，43a =，求1x 和2y ；（2）求证：{}1,2,...,1i n ∀∈-，()()22110i i i i x y x y ++-+-≠；（3）求1n i i i x y=-∑的最小值.【答案】（1）13x =，22y =（2）证明见解析（3）当n 为偶数时，1n i i i x y =-∑的最小值是2n ；当n 为奇数时，1n i i i x y =-∑的最小值是12n -.【分析】（1）直接根据定义求解；（2）分情况讨论证明11i i i i x y x y ++-≠-，故可推知i i x y -和11i i x y ++-不能同时为零，进而得到结论；（3）对n 的奇偶性分情况讨论，并利用小问2得到的结果即可.【小问1详解】以1a 为首项的最长递增子列是134,,a a a ，以2a 为首项的最长递减子列是23,a a 和24,a a .所以13x =，22y =.【小问2详解】对{}1,2,...,1i n ∈-，由于12,,...,n a a a 是1,2,...,n 的一个排列，故1i i a a +≠.若1i i a a +<，则每个以1i a +为首项的递增子列都可以在前面加一个i a ，得到一个以i a 为首项的更长的递增子列，所以1i i x x +>；而每个以i a 为首项的递减子列都不包含1i a +，且1i i a a +<，故可将i a 替换为1i a +，得到一个长度相同的递减子列，所以1i i y y +≤.这意味着11i i i i x y x y ++->-；若1i i a a +>，同理有1i i y y +>，1i i x x +≤，故11i i i i x y x y ++-<-.总之有11i i i i x y x y ++-≠-，从而i i x y -和11i i x y ++-不能同时为零，故()()22110i i i i x y x y ++-+-≠.【小问3详解】根据小问2的证明过程知i i x y -和11i i x y ++-不能同时为零，故111i i i i x y x y ++-+-≥.情况一：当n 为偶数时，设2n k =，则一方面有()21212211112n k k i i i i i i i i i n x y x y x y k --===-=-+-≥==∑∑∑；另一方面，考虑这样一个数列12,,...,n a a a ：2121i i a k i a k i-=-+⎧⎨=+⎩，1,2,...,i k =.则对1,2,...,i k =，有21221i i x k i x k i -=-+⎧⎨=-+⎩，21211i iy k i y k i -=-+⎧⎨=-+⎩.故此时212111112n k k i i i i i i i n x y x y k --===-=-===∑∑∑.结合以上两方面，知1n i i i x y =-∑的最小值是2n .情况二：当n 为奇数时，设21n m =-，则一方面有()11121212211111112n n m m i i i i i i i i i i i i n x y x y x y x y m -----====--≥-=-+-≥=-=∑∑∑∑；另一方面，考虑这样一个数列12,,...,n a a a ：1221i i a m a m i a m i +=⎧⎪=+⎨⎪=-⎩，1,2,...,1i m =-.则对1,2,...,1i m =-，有1221i i x m x m i x m i +=⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，12211i i y m y m i y m i +=⎧⎪=-+⎨⎪=-⎩.故此时11221111112n m m i i i i i i i n x y x y m --===--=-==-=∑∑∑.结合以上两方面，知1n i i i x y =-∑的最小值是12n -.综上，当n 为偶数时，1n i i i x y =-∑的最小值是2n ；当n 为奇数时，1n i i i x y =-∑的最小值是12n -.【点睛】关键点点睛：求最小（或最大）值的本质在于，先证明所求的表达式一定不小于（或不大于）某个数M ，再说明该表达式在某种情况下能取到M ，就得到了最小（或最大）值是M ，这便是“求最小（或最大）值”的本质.而在这个过程中，“想到M 的具体取值”这个过程并不存在绝对的逻辑性，可以穷尽各种手段，包括直觉、大胆猜测、高观点等，去猜出M 的值，这些内容也无需在证明过程中呈现.只要证明合乎逻辑，“如何想到M 的取值”无需交代，不影响解答的正确性.换言之，所谓“求”，便是“猜出结果，再证明结果正确”，与“算出”、“得出”本就是无关的.在高考范围内，大多数最小值和最大值问题都能够直接化为某个显而易见，容易刻画的模型，然后“直接算出”，但不可将此作为万能法宝，忘记了最小值最大值的原始定义和本质.。