天津市新华中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学试卷 含解析

天津市红桥区高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）1．（4分）直线l过点（﹣1，2）且与直线2x﹣3y+4=0平行，则直线l的方程是A．3x+2y﹣1=0 B．3x+2y+7=0 C．2x﹣3y+5=0 D．2x﹣3y+8=02．（4分）圆（x+2）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的位置关系为（）A．内切B．相交C．外切D．相离3．（4分）如果直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行，则a=（）A．﹣3 B．﹣ C．﹣6 D．4．（4分）在空间，下列命题正确的是（）A．如果平面α内的一条直线a垂直于平面β内的任意一条直线，则α⊥β．B．如果直线a与平面β内的一条直线平行，则a∥βC．如果直线a与平面β内的两条直线都垂直，则a⊥βD．如果平面α内的两条直线都平行于平面β，则α∥β5．（4分）若直线过点（1，2），（4，2+）则此直线的倾斜角是（）A．B．C．D．6．（4分）若圆心在x轴负半轴上，半径为的圆O，且与直线x+2y=0相切，则圆O的方程是（）A．（x﹣）2+y2=5 B．（x+）2+y2=5 C．（x﹣5）2+y2=5 D．（x+5）2+y2=5 7．（4分）如图所示，在立体图形D﹣ABC中，若AB=BC，AD=CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是（）A．平面ABC⊥平面ABD B．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE8．（4分）函数y=a1﹣x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny﹣1=0（mn＞0）上，则的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）9．（4分）圆C：x2+y2+2x+4y=0的圆心到直线3x+4y=4的距离d=．10．（4分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB的中点为M，DD1的中点为N，则异面直线B1M与CN所成角的度数是．11．（4分）空间直角坐标系中的点A（2，3，5）与B（3，1，4）之间的距离是．12．（4分）已知x，y满足方程（x﹣2）2+y2=1，则的最大值为．13．（4分）已知两条不同直线m、n，两个不同平面α、β，给出下面四个命题：①m⊥α，n⊥α⇒m∥n；②α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n③m∥n，m∥α⇒n∥α；④α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β．其中正确命题的序号是．三、解答题（共4小题，满分48分）14．（10分）已知，圆C：x2+y2﹣8y+12=0，直线l：ax+y+2a=0．（1）当a为何值时，直线l与圆C相切；（2）当直线l与圆C相交于A、B两点，且AB=2时，求直线l的方程．15．（12分）已知圆C的圆心在直线l：y=2x上，且经过点A（﹣3，﹣1），B（4，6）．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）点P是直线l上横坐标为﹣4的点，过点P作圆C的切线，求切线方程．16．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．求证：（Ⅰ）CD⊥AE；（Ⅱ）PD⊥平面ABE．17．（14分）如图：在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PA=3，PA⊥底面ABCD，E是PC中点，F是AB中点．（Ⅰ）求证：BE∥平面PDF；（Ⅱ）求直线PD与平面PFB所成角的正切值；（Ⅲ）求三棱锥P﹣DEF的体积．参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）1．（4分）直线l过点（﹣1，2）且与直线2x﹣3y+4=0平行，则直线l的方程是（）A．3x+2y﹣1=0 B．3x+2y+7=0 C．2x﹣3y+5=0 D．2x﹣3y+8=0【分析】设与直线2x﹣3y+4=0平行的直线方程为2x﹣3y+c=0，把点（﹣1，2）代入求得c的值，即可求得所求的直线的方程．【解答】解：设与直线2x﹣3y+4=0平行的直线方程为2x﹣3y+c=0，把点P（﹣1，2）代入可得﹣2﹣6+c=0，c=8，故所求的直线的方程为2x﹣3y+8=0，故选：D．【点评】本题主要考查利用待定系数法求直线的方程，属于基础题．2．（4分）圆（x+2）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的位置关系为（）A．内切B．相交C．外切D．相离【分析】求出两圆的圆心和半径，计算两圆的圆心距，将圆心距和两圆的半径之和或半径之差作对比，判断两圆的位置关系．【解答】解：圆（x+2）2+y2=4的圆心C1（﹣2，0），半径r=2．圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的圆心C2（2，1），半径R=3，两圆的圆心距d==，R+r=5，R﹣r=1，R+r＞d＞R﹣r，所以两圆相交，故选B．【点评】本题考查圆与圆的位置关系及其判定的方法，关键是求圆心距和两圆的半径．3．（4分）如果直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行，则a=（）【分析】由于直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行，故它们的斜率相等，故有﹣=3，由此解得a的值．【解答】解：由于直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行，故它们的斜率相等，故有﹣=3，解得a=﹣6，故选C．【点评】本题主要考查两直线平行的性质，两直线平行，斜率相等，属于基础题．4．（4分）在空间，下列命题正确的是（）A．如果平面α内的一条直线a垂直于平面β内的任意一条直线，则α⊥β．B．如果直线a与平面β内的一条直线平行，则a∥βC．如果直线a与平面β内的两条直线都垂直，则a⊥βD．如果平面α内的两条直线都平行于平面β，则α∥β【分析】在A中，由面面垂直的判定理得α⊥β；在B中，a∥β或a⊂β；在C 和D中，必须是两条相交直线才成立．【解答】解：在A中，如果平面α内的一条直线a垂直于平面β内的任意一条直线，则由面面垂直的判定理得α⊥β，故A正确；在B中，如果直线a与平面β内的一条直线平行，则a∥β或a⊂β，故B错误；在C中，如果直线a与平面β内的两条相交直线都垂直，则a⊥β，故C错误；在D中，如果平面α内的两条相交直线都平行于平面β，则α∥β，故D错误．故选：A．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力，考查化归与转化思想，是中档题．5．（4分）若直线过点（1，2），（4，2+）则此直线的倾斜角是（）【分析】利用倾斜角、斜率的计算公式即可得出．【解答】解：设直线的倾斜角为α，则tanα==，又∵α∈[0，π]，∴α=． 故选：A ．【点评】本题考查了直线的倾斜角．熟练掌握倾斜角、斜率的计算公式是解题的关键．6．（4分）若圆心在x 轴负半轴上，半径为的圆O ，且与直线x +2y=0相切，则圆O 的方程是（ ）A ．（x ﹣）2+y 2=5B ．（x +）2+y 2=5C ．（x ﹣5）2+y 2=5D ．（x +5）2+y 2=5 【分析】设圆心O 的坐标为（a ，0），a ＜0，由题意利用点到直线的距离公式求得a 的值，可得圆O 的方程．【解答】解：设圆心O 的坐标为（a ，0），a ＜0，则由题意可得=，∴a=﹣5，则圆O 的方程是（x +5）2+y 2=5，故选：D ．【点评】本题主要考查求圆的标准方程的方法，点到直线的距离公式的应用，关键是求圆心坐标，属于基础题．7．（4分）如图所示，在立体图形D ﹣ABC 中，若AB=BC ，AD=CD ，E 是AC 的中点，则下列命题中正确的是（ ）A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE【分析】AB=BC，AD=CD，说明对棱垂直，然后推出平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE．【解答】解：BE⊥AC，DE⊥AC⇒AC⊥平面BDE，故平面ABC⊥平面BDE，平面ADC⊥平面BDE．故选C．【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，是基础题．8．（4分）函数y=a1﹣x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny﹣1=0（mn＞0）上，则的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】函数y=a1﹣x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A（1，1），由于点A在直线mx+ny﹣1=0（mn＞0）上，可得m+n=1．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：函数y=a1﹣x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A（1，1），∵点A在直线mx+ny﹣1=0（mn＞0）上，∴m+n=1．则=（m+n）=2+=4，当且仅当m=n=时取等号．故选：B．【点评】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质、指数函数的性质，属于基础题．二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）9．（4分）圆C：x2+y2+2x+4y=0的圆心到直线3x+4y=4的距离d=3．【分析】先求圆心坐标，然后求圆心到直线的距离即可．【解答】解：圆C：x2+y2+2x+4y=0的圆心（﹣1，﹣2）到直线3x+4y﹣4=0距离为=3．故答案为：3．【点评】考查点到直线距离公式，圆的一般方程求圆心坐标，是基础题．10．（4分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB的中点为M，DD1的中点为N，则异面直线B1M与CN所成角的度数是90°．【分析】平移CN到平面ABB1A1上，根据三角形相似得出两线垂直．【解答】解：取AA1中点P，连接BP，则BP∥CN，由Rt△ABP≌Rt△BB1M可得∠DMB=∠APB，∴∠DMB+∠DBM=∠APB+∠DBM=90°，∴∠BDM=90°，即B1M⊥BP，∴B1M⊥CN．∴异面直线B1M与CN所成角的度数为90°．故答案为：90°．【点评】本题考查了异面直线所成角的计算，将直线平移到同一平面内解决问题是关键．11．（4分）空间直角坐标系中的点A（2，3，5）与B（3，1，4）之间的距离是．【分析】直接利用空间两点间的距离公式求解即可．【解答】解：空间直角坐标系中的点A（2，3，5）与B（3，1，4）之间的距离：=．故答案为：．【点评】本题考查空间两点间的距离公式的应用，基本知识的考查．12．（4分）已知x，y满足方程（x﹣2）2+y2=1，则的最大值为．【分析】求出圆的圆心坐标，圆的半径，利用圆心到直线的距离等于半径求出k 的值即可．【解答】解：x，y满足方程（x﹣2）2+y2=1，圆的圆心（2，0），半径为1，设，即kx﹣y=0，要求x，y满足方程（x﹣2）2+y2=1，的最大值，就是求圆的圆心到直线的距离等于半径，即：，解得k=，所求的最大值为：．故答案为：．【点评】本题是基础题，考查直线与圆的位置关系，也可以利用表达式的几何意义解答，考查计算能力．13．（4分）已知两条不同直线m、n，两个不同平面α、β，给出下面四个命题：①m⊥α，n⊥α⇒m∥n；②α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n③m∥n，m∥α⇒n∥α；④α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β．其中正确命题的序号是①④．【分析】在①中，由线面垂直的性质定理得m∥n；在②中，m与n平行或异面；在③中，n∥α或n⊂α；在④中，由线面垂直的判定定理得n⊥β．【解答】解：由两条不同直线m、n，两个不同平面α、β，知：在①中，m⊥α，n⊥α，由线面垂直的性质定理得m∥n，故①正确；在②中，α∥β，m⊂α，n⊂β，则m与n平行或异面，故②错误；在③中，m∥n，m∥α，则n∥α或n⊂α，故③错误；在④中，α∥β，m∥n，m⊥α，由线面垂直的判定定理得n⊥β，故④正确．故答案为：①④．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力，考查化归与转化思想，是中档题．三、解答题（共4小题，满分48分）14．（10分）已知，圆C：x2+y2﹣8y+12=0，直线l：ax+y+2a=0．（1）当a为何值时，直线l与圆C相切；（2）当直线l与圆C相交于A、B两点，且AB=2时，求直线l的方程．【分析】把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标与圆的半径r，（1）当直线l与圆相切时，圆心到直线的距离d等于圆的半径r，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l的距离d，让d等于圆的半径r，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值；（2）联立圆C和直线l的方程，消去y后，得到关于x的一元二次方程，然后利用韦达定理表示出AB的长度，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a 的值．【解答】解：将圆C的方程x2+y2﹣8y+12=0配方得标准方程为x2+（y﹣4）2=4，则此圆的圆心为（0，4），半径为2．（1）若直线l与圆C相切，则有．解得．（2）联立方程并消去y，得（a2+1）x2+4（a2+2a）x+4（a2+4a+3）=0．设此方程的两根分别为x1、x2，所以x1+x2=﹣，x1x2=则AB===2两边平方并代入解得：a=﹣7或a=﹣1，∴直线l的方程是7x﹣y+14=0和x﹣y+2=0．另解：圆心到直线的距离为d=，AB=2=2，可得d=，解方程可得a=﹣7或a=﹣1，∴直线l的方程是7x﹣y+14=0和x﹣y+2=0．【点评】此题考查学生掌握直线与圆相切时圆心到直线的距离等于圆的半径，灵活运用韦达定理及两点间的距离公式化简求值，是一道综合题．15．（12分）已知圆C的圆心在直线l：y=2x上，且经过点A（﹣3，﹣1），B（4，6）．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）点P是直线l上横坐标为﹣4的点，过点P作圆C的切线，求切线方程．【分析】（Ⅰ）设圆心C（a，2a），由圆经过点A（﹣3，﹣1），B（4，6），可得|CA|2=|CB|2，由此求得a的值，可得圆心和半径，从而求得圆的标准方程．（Ⅱ）求出P（﹣4，﹣8），分类讨论，利用点到直线的距离公式，即可求切线方程．【解答】解：（Ⅰ）∵圆C的圆心在直线l：y=2x上，∴设C（a，2a），由圆经过点A（﹣3，﹣1），B（4，6），可得|CA|2=|CB|2，即（a+3）2+（2a﹣+1）2=（a﹣4）2+（2a﹣6）2，解得a=1．故圆心C（1，2），半径为r=|CA|=5，故圆C的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=25；（Ⅱ）由题意，P（﹣4，﹣8），则切线斜率不存在时，则切线方程为x=﹣4；切线斜率存在时，设方程为y+8=k（x+4），即kx﹣y+4k﹣8﹣0，圆心到切线的距离=5，∴k=，∴切线方程为3x﹣4y﹣20=0，综上所述，切线方程为x=﹣4或3x﹣4y﹣20=0．【点评】本题主要考查求圆的标准方程的方法，直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式的应用，属于中档题．16．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．求证：（Ⅰ）CD⊥AE；（Ⅱ）PD⊥平面ABE．【分析】（Ⅰ）先证明CD⊥平面PAC，然后证明CD⊥AE；（Ⅱ）要证PD⊥平面ABE，只需证明PD垂直平面ABE内的两条相交直线AE与AB即可．【解答】证明：（Ⅰ）∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD，又AC⊥CD，PA∩AC=A，故CD⊥平面PAC．又AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE．（Ⅱ）由题意：AB⊥AD，∴AB⊥平面PAD，从而AB⊥PD．又AB=BC，且∠ABC=60°，∴AC=AB，从而AC=PA．又E为PC之中点，∴AE⊥PC．由（Ⅰ）知：AE⊥CD，∴AE⊥平面PCD，从而AE⊥PD．又AB∩AE=A，故PD⊥平面ABE．【点评】本题考查直线与直线的垂直，直线与平面的垂直，考查直线与平面垂直判定定理的应用，考查空间想象能力．17．（14分）如图：在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PA=3，PA⊥底面ABCD，E是PC中点，F是AB中点．（Ⅰ）求证：BE∥平面PDF；（Ⅱ）求直线PD与平面PFB所成角的正切值；（Ⅲ）求三棱锥P﹣DEF的体积．【分析】（Ⅰ）取PD中点M，连结ME，MF，推导出四边形FBEM是平行四边形，从而BE∥FM，由此能证明BE∥平面PDF．（Ⅱ）推导出PA⊥DF，AF⊥DF，从而∠DPF为直线PD与平面PFB所成角，由此能求出直线PD与平面PFB所成角的正切值．=V C﹣DEF=V E﹣CDF，由此能求出结果．（Ⅲ）三棱锥P﹣DEF的体积V P﹣DEF【解答】证明：（Ⅰ）取PD中点M，连结ME，MF，∵E，M分别是PC、PD中点，∴EF=，EM∥CD，且F是AB中点，BF=，BF∥CD，且EM∥BF，∴四边形FBEM是平行四边形，∴BE∥FM，∵BE⊄平面PDF，FM⊂平面PDF，∴BE∥平面PDF．解：（Ⅱ）∵PA⊥底面ABCD，DF⊂底面ABCD，∴PA⊥DF，又∵底面ABCD是菱形，AD=2，AF=1，∠FAD=60°，∴DF=，AF2+DF2=AD2，∴AF⊥DF，∵PA∩AF=A，∴DF⊥平面PFD，∴PF是PD在平面PFD内的射影，∴∠DPF为直线PD与平面PFB所成角，tan∠DFP===．∴直线PD与平面PFB所成角的正切值为．（Ⅲ）∵E是PC的中点，点P到平面DEF的距离等于点C到平面DEF的距离，E到平面CDF的距离h=，S△CDF=，∴三棱锥P﹣DEF的体积：V P﹣DEF=V C﹣DEF=V E﹣CDF=．【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角的求法，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．。

2017-2018学年高二（上）期中数学试卷一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的．请将答案填涂在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效）1．（5分）用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是（）A．3 B．9 C．17 D．512．（5分）以下赋值语句书写正确的是（）A．2=a B．a=a+1 C．a*b=2 D．a+1=a3．（5分）某学校高中部组织赴美游学活动，其中高一240人，高二260人，高三300人，现需按年级抽样分配参加名额40人，高二参加人数为（）A．12 B．13 C．14 D．154．（5分）有下面的程序，运行该程序，要使输出的结果是30，在处应添加的条件是（）A．i＞12 B．i＞10 C．i=14 D．i=105．（5分）在样本方差的计算公式s2=[（x1﹣20）2+（x2﹣20）2+…+（x10﹣20）2]中，数字10和20分别表示样本的（）A．样本容量，方差 B．平均数，样本容量C．标准差，平均数 D．样本容量，平均数6．（5分）如图所示2×2方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1、2、3、4中的任何一个，允许重复，则填入A方格的数字大于B方格的数字的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）将某选手的7个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，剩余5个得分的平均分为91，现场做的7个得分的茎叶图（如图）后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中用x表示，则x的值为（）A．0 B．4 C．5 D．78．（5分）在区间[1，6]上随机取一个实数x，使得2x∈[2，4]的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）从有2个红球和2个黒球的口袋内任取2个球，互斥而不对立的两个事件是（）A．至少有一个黒球与都是黒球B．至少有一个红球与都是红球C．至少有一个黒球与至少有1个红球D．恰有1个黒球与恰有2个黒球10．（5分）下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据：若根据上表提供的数据用最小二乘法可求得y对x的回归直线方程是=0.7x+0.35，则表中m的值为（）A．4 B．4.5 C．3 D．3.511．（5分）学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次是[20，40），[40，60），[60，80），[80，100），若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数和平均成绩分别是（）A．45，67 B．50，68 C．55，69 D．60，7012．（5分）用秦九韶算法计算多项式f（x）=12+35x﹣8x2+79x3+6x4+5x5+3x6在x=﹣4时的值时，V3的值为（）A．﹣845 B．220 C．﹣57 D．34二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置、书写不清，模棱两可均不得分）13．（5分）假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第8行第7列的数开始向右读，请你衣次写出最先检测的5袋牛奶的编号（下面摘取了随机数表第7行至第9行）．84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54．14．（5分）将二进制数101101（2）化为十进制数，结果为；再将结果化为8进制数，结果为．15．（5分）将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图．若第一组至第六组数据的频率之比为2：3：4：6：4：1，且前三组数据的频数之和等于27，则n等于．16．（5分）某篮球队6名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如表所示：如图是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，则图中判断框应填，输出的s=．三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案填在答题卡上对应题号的指定区域内）17．（10分）如图，在Rt△ABC中，AB=4，BC=3，点P在边BC上沿B→C运动，求△ABP的面积小于4的概率．18．（12分）某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）（Ⅰ）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加一个社团的概率；（Ⅱ）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5，3名女同学B1，B2，B3．现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．19．（12分）甲、乙两人约定于6时到7时之间在某地会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去．求两人能会面的概率．20．（12分）某种产品特约经销商根据以往当地的需求情况，得出如图该种产品日需求量的频率分布直方图．（Ⅰ）求图中a的值，并估计日需求量的众数；（Ⅱ）某日，经销商购进130件该种产品，根据近期市场行情，当天每售出1件能获利30元，未售出的部分，每件亏损20元．设当天的需求量为x件（100≤x≤150），纯利润为S元．（ⅰ）将S表示为x的函数；（ⅱ）根据直方图估计当天纯利润S不少于3400元的概率．21．（12分）运行如图所示的程序框图，当输入实数x的值为﹣1时，输出的函数值为2；当输入实数x的值为3时，输出的函数值为7．（Ⅰ）求实数a，b的值；并写出函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求满足不等式f（x）＞1的x的取值范围．22．（12分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如表：（1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；（2）求出y 关于x 的线性回归方程=x +a ，并在坐标系中画出回归直线；（3）试预测加工10个零件需要多少时间？参考公式：b=，a=﹣b ．参考答案与试题解析一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的．请将答案填涂在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效）1．（5分）用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是（）A．3 B．9 C．17 D．51【分析】用459除以357，得到商是1，余数是102，用357除以102，得到商是3，余数是51，用102除以51得到商是2，没有余数，得到两个数字的最大公约数是51．【解答】解：∵459÷357=1…102，357÷102=3…51，102÷51=2，∴459和357的最大公约数是51，故选D．【点评】本题考查辗转相除计算最大公约数，本题是一个基础题，是在算法案例中出现的一个案例，近几年在新课标中出现，学生掌握的比较好，若出现一定会得分．2．（5分）以下赋值语句书写正确的是（）A．2=a B．a=a+1 C．a*b=2 D．a+1=a【分析】根据赋值语句的格式，逐一进行分析，即可得到答案．【解答】解：由赋值语句的格式我们可知，赋值语句的赋值号左边必须是一个变量，而右边的运算符号与平常书写的运算符号有所不同．A中左侧是常数，不是变量，格式不对；B中满足赋值语句的格式与要求，正确；C与D中左侧是运算式，不对；故选：B．【点评】本题考查赋值语句，通过对赋值语句定义和格式的把握直接进行判断即可，属于基础题．3．（5分）某学校高中部组织赴美游学活动，其中高一240人，高二260人，高三300人，现需按年级抽样分配参加名额40人，高二参加人数为（）A．12 B．13 C．14 D．15【分析】根据分层抽样的定义，即可得到结论．【解答】解：∵高一240人，高二260人，高三300人，∴按年级抽样分配参加名额40人，高二参加人数为×40=13，故选：B．【点评】本题考查了分层抽样的定义和应用问题，是基础题．4．（5分）有下面的程序，运行该程序，要使输出的结果是30，在处应添加的条件是（）A．i＞12 B．i＞10 C．i=14 D．i=10【分析】先根据输出的结果推出循环体执行的次数，再根据s=2+4+6+…+10=30得到程序中UNTIL后面的“条件”．【解答】解：因为输出的结果是30，即s=2+4+6+…+10，需执行5次，则程序中UNTIL后面的“条件”应为i＞10．故选B．【点评】本题主要考查了直到型循环语句，语句的识别问题是一个逆向性思维，一般认为学习是从算法步骤（自然语言）至程序框图，再到算法语言（程序）．如果将程序摆在我们的面前时，从识别逐个语句，整体把握，概括程序的功能．5．（5分）在样本方差的计算公式s2=[（x1﹣20）2+（x2﹣20）2+…+（x10﹣20）2]中，数字10和20分别表示样本的（）A．样本容量，方差 B．平均数，样本容量C．标准差，平均数 D．样本容量，平均数【分析】方差计算公式：S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]，n表示样本容量，为平均数，根据此公式即可得到答案．【解答】解：由于S2=[（x1﹣20）2+（x2﹣20）2+…+（x10﹣20）2]，所以样本容量是10，平均数是20．故选：D．【点评】本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数为，则方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．6．（5分）如图所示2×2方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1、2、3、4中的任何一个，允许重复，则填入A方格的数字大于B方格的数字的概率为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，在图中的四个方格中填入数字的方法种数共有43种，对于A、B两个方格，由于其大小有序，则可以在l、2、3、4中的任选2个，大的放进A 方格，小的放进B方格，由组合数公式计算可得其填法数目，对于另外两个方格，每个方格有4种情况，由分步计数原理可得其填法数目，最后由分步计数原理，计算可得填入A方格的数字大于B方格的数字的填法种数，利用古典概型的概率计算公式求概率．【解答】解：根据题意，在图中的四个方格中填入数字的方法种数共有44=256种，对于A、B两个方格，可在l、2、3、4中的任选2个，大的放进A方格，小的放进B方格，有C42=6种情况，对于另外两个方格，每个方格有4种情况，则共有4×4=16种情况，则填入A方格的数字大于B方格的数字的不同的填法共有16×6=96种，则填入A方格的数字大于B方格的数字的概率为p=．故选D．【点评】本题考查古典概型及其概率计算公式，考查排列、组合的运用，注意题意中数字可以重复的条件，这是易错点，此题是基础题，也是易错题．7．（5分）将某选手的7个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，剩余5个得分的平均分为91，现场做的7个得分的茎叶图（如图）后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中用x表示，则x的值为（）A．0 B．4 C．5 D．7【分析】根据茎叶图提供的数据，去掉1个最高分和1个最低分后，利用公式求平均数可得x的值．【解答】解：选手的7个得分中去掉1个最高分96，去掉1个最低分86，剩余5个得分为88，93，90，94，（90+x）；它们的平均分为=91，∴x=0；故选：A．【点评】本题考查了利用茎叶图求平均数的问题，是基础题．8．（5分）在区间[1，6]上随机取一个实数x，使得2x∈[2，4]的概率为（）A．B．C．D．【分析】使2x∈[2，4]的区间为[1，2]，由此能求出使得2x∈[2，4]的概率．【解答】解：∵2=2¹，4=22∴使2x∈[2，4]的区间为[1，2]，∵x∈[1，6]，且[1，6]长为5，[1，2]长为1∴使得2x∈[2，4]的概率p=．故选：B．【点评】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意几何概型的合理运用．9．（5分）从有2个红球和2个黒球的口袋内任取2个球，互斥而不对立的两个事件是（）A．至少有一个黒球与都是黒球B．至少有一个红球与都是红球C．至少有一个黒球与至少有1个红球D．恰有1个黒球与恰有2个黒球【分析】利用互斥事件和对立事件的概念求解．【解答】解：在A中，至少有一个黒球与都是黒球能同时发生，两个事件不是互斥事件；在B中，至少有一个红球与都是红球能同时发生，两个事件不是互斥事件；在C中，至少有一个黒球与至少有1个红球能同时发生，两个事件不是互斥事件；在D中，恰有1个黒球与恰有2个黒球不能同时发生，可以同时不发生，两个事件是互斥而不对立事件．故选：D．【点评】本题考查互斥而不对立的两个事件的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意互斥事件和对立事件的概念的合理运用．10．（5分）下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据：若根据上表提供的数据用最小二乘法可求得y对x的回归直线方程是=0.7x+0.35，则表中m的值为（）A．4 B．4.5 C．3 D．3.5【分析】先求样本中心点，再代入回归直线方程，即可求得m的值．【解答】解：由题意，，∵y对x的回归直线方程是=0.7x+0.35，∴2.5+0.25m=3.15+0.35，∴m=4．故选A．【点评】本题考查回归直线方程，解题的关键是利用回归直线方程恒过样本中心点，属于基础题．11．（5分）学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次是[20，40），[40，60），[60，80），[80，100），若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数和平均成绩分别是（）A．45，67 B．50，68 C．55，69 D．60，70【分析】根据频率分布直方图，利用频率、频数与样本容量的关系，求出该班的学生数，再计算平均成绩．【解答】解：根据频率分布直方图，得；低于60分的频率是（0.005+0.01）×20=0.3，所以该班的学生人数为=50，；所以，该班的平均成绩为：30×0.005×20+50×0.01×20+70×0.02×20+90×0.015×20=68．故选：B．【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率=的应用问题，考查了求平均数的计算问题，是基础题目．12．（5分）用秦九韶算法计算多项式f（x）=12+35x﹣8x2+79x3+6x4+5x5+3x6在x=﹣4时的值时，V3的值为（）A．﹣845 B．220 C．﹣57 D．34【分析】由于多项式f（x）=12+35x﹣8x2+79x3+6x4+5x5+3x6=（（（（（3x+5）x+6）x+79）x﹣8）x+35）x+12，可得当x=﹣4时，v0=3，v1=3×（﹣4）+5=﹣7，v2，v3即可得出．【解答】解：∵多项式f（x）=12+35x﹣8x2+79x3+6x4+5x5+3x6=（（（（（3x+5）x+6）x+79）x﹣8）x+35）x+12，当x=﹣4时，∴v0=3，v1=3×（﹣4）+5=﹣7，v2=﹣7×（﹣4）+6=34，v3=34×（﹣4）+79=﹣57．故选：C．【点评】本题考查了秦九韶算法计算多项式的值，考查了计算能力，属于基础题．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置、书写不清，模棱两可均不得分）13．（5分）假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第8行第7列的数开始向右读，请你衣次写出最先检测的5袋牛奶的编号785，667，199，507，175（下面摘取了随机数表第7行至第9行）．84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 7933 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54．【分析】找到第8行第7列的数开始向右读，第一个符合条件的是785，第二个数916要舍去，第三个数955也要舍去，第四个数667合题意，这样依次读出结果．【解答】解：找到第8行第7列的数开始向右读，第一个符合条件的是785，第二个数916它大于800要舍去，第三个数955也要舍去，第四个数667合题意，这样依次读出结果．故答案为：785、667、199、507、175【点评】抽样方法，随机数表的使用，考生不要忽略．在随机数表中每个数出现在每个位置的概率是一样的，所以每个数被抽到的概率是一样的．14．（5分）将二进制数101101（2）化为十进制数，结果为45；再将结果化为8进制数，结果为55（8）．【分析】根据二进制转化为十进制的方法，分别用每位数字乘以权重，累加后即可得到结果；根据“除8取余法”的方法转化为对应的八进制数即可得到结果．【解答】解：101101（2）=1×20+0×21+1×22+1×23+0×24+1×25=1+4+8+32=45．．又45=8×5+5，∴45=55（8）故答案为：45，55．（8）【点评】本题以进位制的转换为背景考查算法的多样性，解题的关键是熟练掌握进位制的转化规则，属于基础题．15．（5分）将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图．若第一组至第六组数据的频率之比为2：3：4：6：4：1，且前三组数据的频数之和等于27，则n等于60．【分析】根据比例关系设出各组的频率，在频率分布表中，频数的和等于样本容量，频率的和等于1，求出前三组的频率，再频数和建立等量关系即可．【解答】解：设第一组至第六组数据的频率分别为2x，3x，4x，6x，4x，x，则2x+3x+4x+6x+4x+x=1，解得，所以前三组数据的频率分别是，故前三组数据的频数之和等于=27，解得n=60．故答案为60．【点评】本小题考查频率分布直方图的基础知识，熟练基本公式是解答好本题的关键，属于基础题．16．（5分）某篮球队6名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如表所示：如图是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，则图中判断框应填i＜7（或i≤6），输出的s=51．【分析】由题意该程序框图实际上是求该6名队员在最近三场比赛中投进三分球总数，故循环次数为6，由于第一次进行循环时，循环变量的初值为1，步长为1，故最后一次进入循环的终值应为6，故不难得到判断框中的条件及输出结果．【解答】解：由题意该程序框图实际上是求该6名队员在最近三场比赛中投进三分球总数，故判断框应填i≤6或i＜7，输出s的值为：9+13+11+7+5+6=51．故答案为：i＜7（或i≤6），51．【点评】本题主要考查了当型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题．三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案填在答题卡上对应题号的指定区域内）17．（10分）如图，在Rt△ABC中，AB=4，BC=3，点P在边BC上沿B→C运动，求△ABP的面积小于4的概率．【分析】利用线段的长度与面积的关系，直接利用几何概型求解即可．【解答】解：点P在BC边上沿B→C运动，落在BC上的任何一点都是等可能的．全部基本事件可用BC表示．…（2分）设事件M 为“△ABC面积小于4”，则事件M包含的基本事件可用长度为2的线段BP 表示，…（4分）由几何概型可知：即所求事件的概率为．…（10分）【点评】本题主要考查了几何概型．几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关解．18．（12分）某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）（Ⅰ）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加一个社团的概率；（Ⅱ）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5，3名女同学B1，B2，B3．现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．【分析】（Ⅰ）先判断出这是一个古典概型，所以求出基本事件总数，“至少参加一个社团”事件包含的基本事件个数，从而根据古典概型的概率计算公式计算即可；（Ⅱ）先求基本事件总数，即从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，有多少中选法，这个可利用分步计数原理求解，再求出“A1被选中，而B1未被选中”事件包含的基本事件个数，这个容易求解，然后根据古典概型的概率公式计算即可．【解答】解：（Ⅰ）设“至少参加一个社团”为事件A；从45名同学中任选一名有45种选法，∴基本事件数为45；通过列表可知事件A的基本事件数为8+2+5=15；这是一个古典概型，∴P（A）=；（Ⅱ）从5名男同学中任选一个有5种选法，从3名女同学中任选一名有3种选法；∴从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人的选法有5×3=15，即基本事件总数为15；设“A1被选中，而B1未被选中”为事件B，显然事件B包含的基本事件数为2；这是一个古典概型，∴．【点评】考查古典概型的概念，以及古典概型的概率的求法，分步计数原理的应用．19．（12分）甲、乙两人约定于6时到7时之间在某地会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去．求两人能会面的概率．【分析】由题意知本题是一个几何概型，试验发生包含的所有事件对应的集合是Ω={（x，y）|0＜x＜60，0＜y＜60}做出集合对应的面积是边长为60的正方形的面积，写出满足条件的事件A═{（x，y）|0＜x＜60，0＜y＜60，|x﹣y|≤15}对应的集合和面积，根据面积之比得到概率．【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，∵试验发生包含的所有事件对应的集合是Ω={（x，y）|0＜x＜60，0＜y＜60}集合对应的面积是边长为60的正方形的面积SΩ=60×60，而满足条件的事件对应的集合是A={（x，y）|0＜x＜60，0＜y＜60，|x﹣y|≤15}得到S A=60×60﹣（60﹣15）×（60﹣15）∴两人能够会面的概率P==，∴两人能够会面的概率是．【点评】本题的难点是把时间分别用x，y坐标来表示，从而把时间长度这样的一维问题转化为平面图形的二维面积问题，转化成面积型的几何概型问题．20．（12分）某种产品特约经销商根据以往当地的需求情况，得出如图该种产品日需求量的频率分布直方图．（Ⅰ）求图中a的值，并估计日需求量的众数；（Ⅱ）某日，经销商购进130件该种产品，根据近期市场行情，当天每售出1件能获利30元，未售出的部分，每件亏损20元．设当天的需求量为x件（100≤x≤150），纯利润为S元．（ⅰ）将S表示为x的函数；（ⅱ）根据直方图估计当天纯利润S不少于3400元的概率．【分析】（I）根据所有小矩形的面积之和为1，求得第四组的频率，再根据小矩形的高=求a的值；（II）利用分段函数写出S关于x的函数；根据S≥3400得x的范围，利用频率分布直方图求数据在范围内的频率及可得概率．【解答】解：（Ⅰ）由直方图可知：（0.013+0.015+0.017+a+0.030）×10=1，∴a=0.025，∵，∴估计日需求量的众数为125件；（Ⅱ）（ⅰ）当100≤x＜130时，S=30x﹣20（130﹣x）=50x﹣2600，当130≤x≤150时，S=30×130=3900，∴；（ⅱ）若S≥3400由50x﹣2600≥3400得x≥120，∵100≤x≤150，∴120≤x≤150，∴由直方图可知当120≤x≤150时的频率是（0.030+0.025+0.015）×10=0.7，∴可估计当天纯利润S不少于3400元的概率是0.7．【点评】本题考查了由频率分布直方图求频率与众数，考查了分段函数的值域与定义域，在频率分布直方图中小矩形的高=，所有小矩形的面积之和为1．21．（12分）运行如图所示的程序框图，当输入实数x的值为﹣1时，输出的函数值为2；当输入实数x的值为3时，输出的函数值为7．（Ⅰ）求实数a，b的值；并写出函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求满足不等式f（x）＞1的x的取值范围．【分析】（I）算法的功能是求f（x）=的值，根据输入实数x 的值为﹣1时，输出的函数值为2；当输入实数x的值为3时，输出的函数值为7求得a 、b ；（II ）分别在不同的段上求得函数的值域，再求并集．【解答】解：（Ⅰ）由程序框图知：算法的功能是求f （x ）=的值，∵输入x=﹣1＜0，输出f （﹣1）=﹣b=2，∴b=﹣2．∵输入x=3＞0，输出f （3）=a 3﹣1=7，∴a=2． ∴． （Ⅱ）由（Ⅰ）知：①当x ＜0时，f （x ）=﹣2x ＞1，∴； ②当x ≥0时，f （x ）=2x ﹣1＞1，∴x ＞1．综上满足不等式f （x ）＞1的x 的取值范围为或x ＞1}．【点评】本题借助考查选择结构程序框图，考查了分段函数求值域，解题的关键是利用程序框图求得分段函数的解析式．22．（12分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如表：（1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；（2）求出y 关于x 的线性回归方程=x +a ，并在坐标系中画出回归直线；（3）试预测加工10个零件需要多少时间？参考公式：b=，a=﹣b ．【分析】（1）利用题目条件直接画出散点图即可．（2）利用条件求解回归直线方程的参数，即可．（3）利用回归直线方程求解推出结果即可．【解答】解：（1）散点图如图所示，…（3分）（2）由表中数据得：=52.5，=3.5，=3.5；=54，∴===0.7，，==3.5﹣0.7×3.5=1.05，∴=0.7x+1.05 …（8分）（3）将x=10代入回归直线方程，得=0.7×10+1.05=8.05（小时）预测加工10个零件需要8.05小时．…（12分）【点评】本题考查回归直线方程的求法，散点图的画法，考查计算能力．。

天津市新华中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．直线1x =-的斜率为（ ）．A B C ．D ．2．若直线1ax by +=与圆221x y +=有两个公共点，则点(),P a b 与圆221x y +=的位置关系是（ ）A ．在圆上B ．在圆外C ．在圆内D ．以上都有可能 3．圆224x y +=与圆22260x y y ++-=的公共弦长为（ ）A ．1B ．2CD ．4．已知椭圆2212516x y +=的两个焦点分别为1F ，2F ，斜率不为0的直线l 过点1F ，且交椭圆于A ，B 两点，则2ABF 的周长为（ ）．A ．10B ．16C ．20D ．255．若过椭圆22194x y +=内一点(3,1)P 的弦被该点平分，则该弦所在的直线方程为（ ）．A ．34130x y +-=B ．3450x y --=C ．43150x y +-=D ．不存在6．经过点M -且与双曲线22143x y -=有相同渐近线的双曲线方程是（ ）． A ．22168x y -= B ．22186y x -= C ．22=168y x - D ．22186x y -= 7．若双曲线22136x y -=的两个焦点1F ，2F ，P 为双曲线上一点，且12120F PF ∠=︒，则12F PF △的面积为（ ）．A B ．C ．D ．8．设双曲线22221x y a b-=（a>0,b>0）的右焦点为F ，右顶点为A,过F 作AF 的垂线与双曲线交于B,C 两点，过B,C 分别作AC ，AB 的垂线交于点D ．若D 到直线BC 的距离小于a （ ）A ．(1,0)(0,1)- B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(⋃D ．(,(2,)-∞+∞二、填空题9．若圆的半径为1，其圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为_______.10．若双曲线221y x m-=m =__________． 11．经过两点111,33P ⎛⎫⎪⎝⎭，210,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭的椭圆的标准方程为__________． 12．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线于交M 、N 两点，若60MAN ∠=，则C 的离心率为__________．13．已知圆22:(36M x y += 及定点N ，点P 是圆M 上的动点，点Q 在NP 上，点G 在MP 上，且满足2NP NQ =，0GQ NP =．则动点G 的轨迹C 的方程为 ．14．已知1F 、2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且12π3F PF ∠=，则椭圆和双曲线的离心率的平方和的最小值为__________．三、解答题15．已知圆22:(2)2C x y -+=．（1）求与圆C 相切，且在x 轴、y 轴上的截距相等的直线方程． （2）已知过点(1,3)P 的直线l 交圆C 于A 、B 两点，且||2AB =，求直线l 的方程．16．已知椭圆2222:1(0,0)x y E a b a b+=>>过点(0,2)A ，且离心率为2． （1）求椭圆E 的方程．（2）已知双曲线C 的离心率是椭圆E 的离心率的倒数，其顶点为椭圆的焦点，求双曲线C 的方程．17．平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>左、右焦点分别是12,F F ，以1F 为圆心以3为半径的圆与以2F 为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆2222:144+=x y E a b，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y kx m =+交椭圆E 于,A B 两点，射线PO 交椭圆C 于点Q .（i ）求OQ OP 的值；（ⅱ）求ABQ ∆面积的最大值.参考答案1．A【解析】将1x =-化为斜截式33y x =+A ． 2．B【分析】直线1ax by +=与圆221x y +=1<，即为1<【详解】解：因为直线1ax by +=与圆221x y +=有两个公共点， ||1<，即1<因为点P 1，所以点P 在圆外，故选B ．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系的判断方法有：1.圆心到直线的距离与半径做比较；2.联立直线与圆的方程，根据方程组根的个数进行判断． 3．D【解析】两圆方程相减，得公共弦所在直线方程为1y =，圆224x y +=的半径2R =，圆心()0,0到直线1y =的距离1d =，则弦长l ==D ．4．C【解析】由题意可得5a =，2ABF 周长221122C AB AF BF AF BF AF BF =++=+++1212()(+)AF AF BF BF =++420a ==.故选C ．点睛：本题考查椭圆的定义；在解决过椭圆或双曲线的两焦点的弦长问题时，往往要利用椭圆或双曲线的定义进行处理，如本题中利用椭圆的定义将求三角形的周长转化为A ，B 到椭圆的两个焦点的距离的和.5．D【解析】【分析】由题意首先考查点与椭圆的位置关系，然后再确定满足题意的弦是否存在即可。

⎪ ⎩天津市2017-2018学年高二数学上学期期中试题理本试卷分为第 I 卷（选择题）、第 II 卷（非选择题）两部分，共 100 分，考试用时90 分钟。

第 I 卷1 页，第 II 卷至 2 页。

考生务必将答案涂写在规定的位置上，答在试卷上的无效。

一、选择题：1．已知两条不同的直线m 、n ，两个不同的平面α、β，则下列命题中的真命题是 A．若m ⊥α，n ⊥β，α⊥β，则m ⊥n .B．若m ⊥α，n ∥β，α⊥β，则m ⊥n . C．若m ∥α，n ∥β，α∥β，则m ∥n . D．若m ∥α，n ⊥β，α⊥β，则m ∥n .2．已知直线x +a 2 y + 6 = 0 与直线(a -2)x + 3ay + 2a = 0 平行，则a 的值为A．0或3或-1 B．0 或 3 C．3 或-1⎧x -y + 3 ≤ 0⎪D．0 或-13．已知x, y 满足约束条件⎨3x +y + 5 ≤ 0 ，则z =x + 2 y 的最大值是⎪x + 3 ≥ 0A．0 B．2 C．5 D．64．若过定点M (-1 , 0) 且斜率为k 的直线与圆x 2 + 4 x +y 2 - 5 = 0 在第一象限内的部分有交点，则k 的取值范围是A．0 <k < 5B．- 5 <k <0 C．0 <k <13D．0 <k < 55．在正三棱柱ABC -A1 B1C1 中，若AB = 2, AA1 = 1，则点A 到平面A1 BC 的距离为3 3 A．B．4 2 C．3 3D． 3 46．若直线y =x +b 与曲线y =3 -4x -x2 有公共点，则b 的取值范围是A．⎡1 - 2 2,1 + 2 2 ⎤B．⎡1 -23⎤C．⎡-1,1 + 2 2⎤D．⎡1 - 2 2, 3⎤⎣⎦⎣⎦⎧x +y ≤ 4,⎪⎣⎦⎣⎦7．设不等式组⎨y -x ≥ 0, 表示的平面区域为D .若圆C : (x +1)2+(y +1)2=r 2⎩x -1 ≥ 0不经过区域D 上的点,则r 的取值范围是(r > 0)A．(2 2 ,2 5)B．(2 2 ,3 2 ]C．(3 2 ,2 5 ]D．(0,2 2 )⋃(25 ,+∞)8．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为A．3 2B．2 3C．22D．9．若直线 ax + 2by - 2 = 0(a , b > 0) 始终平分圆 x 2 + y 2- 4 x - 2 y - 8 = 0 的周长，则1+ 1的最小值为 2a b 1 5 A ．B ．223 + 2 2C ．2D ． 3 210．已知二面角 α - l - β 为 60︒ ， AB ⊂ α ， AB ⊥ l ，A 为垂足， CD ⊂ β ， C ∈l ，∠ACD = 135︒ ，则异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值为1 2 3 1 A ． 4B ． 4C ． 4D ． 2二、填空题：11．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的 体积是 （单位：cm 3）．12．已知点 A (-1 , 1) 和圆 C ： ( x - 5) 2 + ( y - 7) 2 = 4 ，从点 A 发出的一束光线经过 x 轴反射到圆周 C 的最短路程是 ． 13．已知圆 C ： ( x -1)2 + y 2 = 25 与直线 l ： mx + y + m + 2 = 0 ，当 m = 时， 圆 C 被直线 l 截得的弦长最短．14．已知直线 ax + y - 2 = 0 与圆 心为 C 的圆 (x -1)2 + (y - a )2= 4 相交于 A ，B 两点，且∆ABC 为等边三角形，则实数 a = ． 15．正方形 AP 1 P 2 P 3 的边长为 4，点 B , C 分别是边 P 1 P 2 , P 2 P 3 的中点，沿 AB , BC , CA 折 成一个三棱锥 P - ABC （使 P 1 , P 2 , P 3 重合于 P ），则三棱锥 P - ABC 的外接球表面积为．16．若关于 x 的不等式k =．三、解答题：9 - x 2≤ k ( x +2) -2 的解集为区间 [a , b ] ,且 b - a = 2 ，则17．已知点 A (-3,0), B (3,0) ，动点 P 满足 PA = 2 PB （Ⅰ）若点 P 的轨迹为曲线 C ，求曲线 C 的方程（Ⅱ）若点 Q 在直线 l 1 : x + y + 3 = 0 上，直线 l 2 经过点 Q 且与曲线 C 只有一个公共点M ，求QM 的最小值源头学子18．如图，在三棱台 DEF - ABC 中，（平面 DEF 与平面 ABC 平行，且 ∆DEF ∽ ∆ABC ) ， AB = 2DE , G , H 分别为 AC , BC 的中点. （Ⅰ）求证： BD // 平面 FGH ；（Ⅱ）若 CF ⊥ 平面 ABC ， AB ⊥ BC , CF = DE ACFD 所成的角（锐角）的大小.， ∠BAC = 45,求平面 FGH 与平面19．已知圆 C 的圆心在直线 l 1 : x - y -1 = 0 上，与直线 l 2 : 4x + 3 y + 14 = 0 相切，且截直线 l 3 : 3x + 4 y + 10 = 0 所得弦长为 6 （Ⅰ）求圆 C 的方程（Ⅱ）过点 M (0,1) 是否存在直线 L ，使以 L 被圆 C 截得弦 AB 为直径的圆经过原点?若存 在，写出直线 L 的方程；若不存在，说明理由新疆 特级教师 王新敞20．如图，∆ACB 和∆ADC 都为等腰直角三角形，M ，O 为AB ，AC 的中点，且平面ADC ⊥平面ACB ，AB = 4 ，AC = 2，AD = 2 .（Ⅰ）求证：BC ⊥平面ACD ；（Ⅱ）求点B 到平面CDM 的距离d（Ⅲ）若E 为BD 上一点，满足OE ⊥BD ，求直线ME 与平面CDM 所成角的正弦值.DB一、选择题： 参考答案1．A 2．D 3．C 4．A 5．B 6．D 7．D 8．B 9．C10．B二、填空题：π11． + 1212．813．1 14． 4 ± 15 15． 24π16． 2三、解答题： 17．（Ⅰ）P （x ，y ）(x+3)2+y 2=4[(x-3)2+y 2] x 2+y 2-10x+9=0（Ⅱ）圆心（5，0）r = 12100 - 36 = 4 | QM |= | QC |2-16 QC ⊥ l 1 时| QC |mi n = d c -e 1 = 8 = 4 22 ∴| QM 18．|min = 4 （Ⅰ） DF// 1 AC⇒ □DGCF ⇒ O 为 DC 中点 ⇒ DB//OH ⇒ BD//平面 FGH= 2 （Ⅱ）DG//FC ∴DG⊥面 ABC EG⊥AC ∴如图建系∴ 5 令 CF=DE=1 ∴AB=BC=27 GB= 2∴B（ 2 ，0，0） C （0， 2 ，0） D （0，0，1） 2 H （ ， 2 ⎧ 2 2 ，0） F （0， 2 ，1）22⎪ x +⎨ 2 ⎪y = 0 2⎩ 2y + z = 0∴面 GFH 法向量 n = (1,- 1, 2) 又面 ACFD 法向量取 m 1= (1, 0, 0)∴ cos < m ,n = 2∴平面 FGH 与平面 ACFD 所成的角（锐角）的大小 60°。

2017学年第一学期高二数学理科期中考试试题一，单项选择题1.设集合{1,3,5,7},{|25}A B x x ==≤≤，则A B =（ ） A. {1,3} B. {3,5} C. {5,7} D. {1,7} 答案B2.已知命题：，，则“”是（ ）。

A: ， B: ， C: ， D: ，答案D 3.“”是“”的（ ）。

A: 充分而不必要条件 B: 必要而不充分条件 C: 充要条件D: 既不充分也不必要 答案A4.袋子中装有红、白、黄颜色且大小相同的小球各一个.从袋子中任意取出一球,则取出的是红球的概率是( )A.16 B. 13C. 23D. 12答案C5已知中心原点的椭圆的右焦点为，离心率等于，则的方程是（）A:B:C:D:答案D6. 执行如图的程序框图，如果输入的的值是，那么输出的的值是( ）。

A: 15B: 105C: 120D: 720答案B7.如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为（）A.4πB.2πC.πD.3 2π答案C8.函数的零点所在的区间为（）A.B.C.D.答案B9. 若变量、满足条件，则的最大值为（）。

A:B:C:D:答案C10. 函数的部分图像如图所示，则的单调递减区间为( )A.B.C.D.答案D11.等差数列的首项为1,公差不为0.若,,成等比数列,则前6项的和为( )A.-24B.-3C. 3D.8答案A12. 已知椭圆（）的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且轴，直线交轴于点。

若，则椭圆的离心率是（）。

A:B:C:D:答案D二，填空题13.已知向量，，若向量与垂直，则。

答案 714.从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图所示。

（1）直方图中的值为；（2）在这些用户中，用电量落在区间内的户数为。

答案 0.0044 7015.圆的圆心到直线的距离为。

天津市河西区新华中学2017-2018学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）一、选择题 1.已知3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，tan 2α=，则cos α的值为（ ）．A. 5-C.【答案】A 【解析】 【分析】根据角的范围可知sin 0α<，cos 0α<；利用同角三角函数的平方关系和商数关系构造方程可求得结果. 【详解】由3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可知：sin 0α<，cos 0α< 由22sin tan 2cos sin cos 1ααααα⎧==⎪⎨⎪+=⎩得：cos α= 本题正确选项：A【点睛】本题考查同角三角函数值的求解，关键是能够熟练掌握同角三角函数的平方关系和商数关系，易错点是忽略角的范围造成函数值符号错误.2.以()1,2a =-，()1,1b =-为基底表示()3,2c =-为（ ）． A. 4c a b =+ B. 4c a b =+ C. 4c b = D. 4c a b =--【答案】B 【解析】 【分析】设c xa yb =+，利用向量相等可构造方程组，解方程组求得结果. 【详解】设c xa yb =+则()()()()3,21,21,1,2x y y x x y -=-+-=--322x y x y -+=⎧∴⎨-=-⎩ 14x y =⎧⇒⎨=⎩ 4c a b ∴=+ 本题正确选项：B【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，关键是能够通过向量相等构造出方程组，属于基础题.3.已知两个非零向量a ，b 满足||||a b a b +=-，则下面结论正确的是（ ）． A. a b B. a b ⊥ C. ||||a b = D.a b a b +=-【答案】B 【解析】 试题分析：2222,22,0a b a b a a b b a a b b a b +=-∴+⋅+=-⋅+∴⋅=，所以a b ⊥，故选B 。

考点：平面向量的垂直 【此处有视频，请去附件查看】4.将函数sin 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向右平移3π个单位，得到的图象对应的解析式是（ ）． A. 12sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B. ()sin 2y x π=-C. 1sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D. 1sin 22y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】横坐标伸长2倍，则ω变为12；根据左右平移的原则可得解析式. 【详解】横坐标伸长2倍得：1sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭向右平移3π个单位得：11sin sin 23322y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 本题正确选项：D【点睛】本题考查三角函数图象平移变换和伸缩变换，关键是能够明确伸缩变换和平移变换都是针对于x 的变化.5.已知向量(,3),(1,4),(2,1)a k b c ===，且(23)a b c -⊥，则实数k =（ ） A. 92-B. 0C. 3D.152【答案】C 【解析】试题分析：由题意得，23(23,6),(2,1)a b k c -=--=，因为(23)a b c -⊥，所以(23)4660a b c k -⋅=--=，解得3k =，故选C.考点：向量的坐标运算. 【此处有视频，请去附件查看】6.若O 为ABC ∆所在平面内一点，()()20OB OC OB OC OA -⋅+-=，则ABC ∆形状是（ ）． A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 正三角形 D. 以上答案均错【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的减法运算可化简已知等式为()0CB AB AC ⋅+=，从而得到三角形的中线和底边垂直，从而得到三角形形状.【详解】()()()20OB OC OB OC OA CB AB AC -⋅+-=⋅+= ()CB AB AC ∴⊥+∴三角形的中线和底边垂直 ABC ∆∴是等腰三角形本题正确选项：A【点睛】本题考查求解三角形形状的问题，关键是能够通过向量的线性运算得到数量积关系，根据数量积为零求得垂直关系.7.函数()()()sin 0,0,02f x A x A ωϕωϕπ=+>>≤<在R 上的部分图象如图所示，则()2017f 的值为（ ）．A. 5B.52D. 52-【答案】C 【解析】 【分析】由图象的最值和周期可求得A 和ω，代入()2,5可求得ϕ，从而得到函数解析式，代入2017x =可求得结果.【详解】由图象可得：5A =，62T = 212T πω⇒== 6πω⇒= 代入()2,5可得：5sin 256πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭2,32k k Z ππϕπ⇒+=+∈[)0,2ϕπ∈ 6πϕ∴=()5sin 66f x x ππ⎛⎫∴=+⎪⎝⎭()201720175sin 5sin 3366632f ππππ⎛⎫⎛⎫∴=+=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭本题正确选项：C【点睛】本题考查三角函数值的求解，关键是能够根据正弦函数的图象求解出函数的解析式.8.已知方程23310(1)x ax a a +++=>的两根分别为tan α、tan β，且α、,22ππβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则αβ+=（ ）． A.4πB.4π或34π-C.8π或38π-D. 34π-【答案】D 【解析】 【分析】将韦达定理的形式代入两角和差正切公式可求得()tan 1αβ+=，根据韦达定理可判断出两角的正切值均小于零，从而可得,,02παβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，进而求得(),0αβπ+∈-，结合正切值求得结果.【详解】由韦达定理可知：tan tan 3a αβ+=-，tan tan 31a αβ⋅=+()tan tan 3tan 11tan tan 131aa αβαβαβ+-∴+===-⋅--又tan tan 30a αβ+=-<，tan tan 310a αβ⋅=+>tan 0α<∴，tan 0β< ,,22ππαβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭ ,,02παβ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭(),0αβπ∴+∈- 34παβ+=-∴ 本题正确选项：D【点睛】本题考查根据三角函数值求角的问题，涉及到两角和差正切公式的应用，易错点是忽略了两个角所处的范围，从而造成增根出现.9.设1cos662α=︒︒，22tan131tan 13b ︒=+︒，c = ）． A. a b c >>B. a b c <<C. a c b <<D. b c a <<【答案】C 【解析】 试题分析：13cos 6sin 6sin 30cos 6cos30sin 6sin 242a =-=-=22tan13tan 261tan 13b ==+，sin 25c ==a c b ∴<<考点：三角函数化简及性质10.已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ∠=，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BE BC λ=，DF DC μ=．若1AE AF ⋅=，23CE CF ⋅=-，则λμ+=（ ）．A.12B.712C.23D.56【答案】D 【解析】 【分析】根据菱形的特点可求得,120AC CF <>=，,120AC CE <>=；利用长度关系可知()21CE λ=-，()21CF μ=-；利用平面向量基本定理可将1AE AF ⋅=构造变为21AC AC CF CE AC CE CF +⋅+⋅+⋅=，代入长度和角度可整理出结果.【详解】120BAD ∠= 60BAC ∴∠= ,120AC CF ∴<>=，,120AC CE <>=菱形边长为2，且BE BC λ=，DF DC μ= ()21CE λ∴=-，()21CF μ=-()()2AE AF AC CE AC CF AC AC CF CE AC CE CF ⋅=+⋅+=+⋅+⋅+⋅()()214221cos120221cos1203λμ∴=+⨯-+⨯--整理可得：56λμ+=本题正确选项：D【点睛】本题考查平面向量基本定理、向量数量积运算的应用问题，关键是能够将已知的数量积关系通过线性运算表示为已知长度和夹角的向量的数量积的关系，从而构造出方程.二、填空题11.在ABC ∆中，3AB =，2AC =，AB 与AC 的夹角为60，则AB AC -=_____．【解析】 【分析】利用平方运算可将问题转化为数量积和模长的运算，代入求得2AB AC -，开方得到结果. 【详解】()222229223cos 6047AB AC AB ACAB AB AC AC -=-=-⋅+=-⨯⨯⨯+=7AB AC ∴-=【点睛】本题考查向量模长的求解问题，关键是能够通过平方运算将问题转变为向量的数量积和模长的运算，属于常考题型.12.已知a 与b 是两个不共线向量，且向量()a b λ+与()3b a -共线，则λ的值为____． 【答案】13- 【解析】 【分析】根据向量共线可得()3a b k b a λ+=-，利用向量相等可构造出方程组求得结果. 【详解】由向量共线可得：()3a b k b a λ+=-，即3a b kb ka λ+=-13k kλ=-⎧∴⎨=⎩，解得：13λ=-本题正确结果：13-【点睛】本题考查向量共线定理的应用，属于基础题.13.设1e ，2e 为单位向量，且1e ，2e 的夹角为π3，若123a e e =+，12b e =，则向量a 在b 方向上的投影为______． 【答案】52【解析】 【分析】根据向量a 在向量b 上的投影为a b b⋅，然后分别算出a b ⋅和b ，代入求得结果.【详解】由于123a e e =+，12b e =， 所以2b =，21121262652a b e e e ⋅=+⋅=+⨯=， 所以向量a 在b 方向上的投影为5cos ,2a b a a b b⋅⋅==. 故答案为52【点睛】本题考查了向量的基本运算和向量数量积的几何意义，熟练运用公式是解题的关键，属于基础题.14.设π02θ<<，向量(sin 2,cos )a θθ=，(cos ,1)b θ=，若a b ，则tan θ=____． 【答案】12. 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标运算得到2sin21cos 0θθ⨯-=，即2sin2cos θθ=，再由二倍角公式得到sin 1tan cos 2θθθ==. 【详解】因为//a b 所以2sin21cos 0θθ⨯-=，即2sin2cos θθ=，所以22sin cos cos θθθ=.因为02πθ<<，所以cos 0θ≠,所以2sin cos θθ=,所以sin 1tan cos 2θθθ== 故答案为12. 【点睛】这个题目考查了向量的坐标运算，以及向量平行的坐标运算，对于向量的题目一般是以小题的形式出现，常见的解题思路为：向量基底化，用已知长度和夹角的向量表示要求的向量，或者建系实现向量坐标化，或者应用数形结合.15.已知()1,2a =，(),1b x =，若2a b +与a b -的夹角是锐角，则x 的取值范围为______．【答案】11,222⎫⎛⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭【解析】 【分析】利用坐标表示出2a b +和a b -，根据夹角为锐角可得()()20a b a b +⋅->且2a b +与a b -不共线，从而构造出不等式解得结果.【详解】由题意得：()22,5a b x +=+，()1,1a b x -=-()()()()2221570a b a b x x x x ∴+⋅-=+-+=--+>x <又2a b +与a b -不共线 ()251x x ∴+≠-，解得：12x ≠11,222x ⎫⎛∴∈⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭本题正确结果：11,222⎫⎛⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭【点睛】本题考查根据向量夹角求解参数范围问题，易错点是忽略两向量共线的情况.三、解答题16.平面内给定三个向量(3,2)a =，(1,2)b =-，(4,1)c =．（1）求满足a mb nc =+的实数m ，n ．（2）若d 满足()()d c a b -+∥，且||5d c -=，求d 的坐标．【答案】（1）59m =，89n =；（2）()3,1- 或()5,3 ． 【解析】 【分析】（1）利用向量坐标及向量相等求解即可；（2）若向量d 满足（d c -）∥（a b +），且|d c -|=，求向量d 的坐标．【详解】（1）由已知条件以及a =m b +n c ，可得：（3，2）＝m （﹣1，2）+n （4，1）＝（﹣m +4n ，2m +n ）．∴4322m n m n -+=⎧⎨+=⎩，解得实数m 59=，n 89=．（2）设向量d =（x ，y ），d c -=（x ﹣4，y ﹣1），a b +=（2，4）， ∵（d c -）∥（a b +）， |d c-|=，∴()()2244210(4)(1)5x y x y ⎧---=⎨-+-=⎩，解得31x y =⎧⎨=-⎩或53x y =⎧⎨=⎩， 向量d 的坐标为（3，﹣1）或（5，3）．【点睛】本题考查向量共线的充要条件以及向量的模，向量的坐标运算，基本知识的考查．17.已知函数()sin cos 3f x x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭． （1）求函数()f x 的最小正周期． （2）求函数()f x 的单调递减区间．【答案】（1）π．（2）π7π,ππ1212k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ．【解析】【分析】利用两角和差余弦公式、二倍角公式和辅助角公式整理出()1sin 223f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（1）根据2T πω=求得结果；（2）令()3222232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，解出x 的范围即可得到结果.【详解】由题意得：()21sin cos cos sin sin sin cos sin 334224f x x x x x x x ππ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭11cos 21sin 2sin 2422423x x x π-⎛⎫=-⋅+=+ ⎪⎝⎭（1）()f x 最小正周期：22T ππ== （2）令()3222232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈ 解得：()71212k x k k Z ππππ+≤≤+∈ ()f x ∴的单调递减区间为：7,,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ 【点睛】本题考查正弦型函数的最小正周期、单调区间的求解问题，涉及到两角和差余弦公式、二倍角公式、辅助角公式的应用.18.已知ABC △的内角B 满足2cos28cos 50B B -+=，若BC a =，CA b =且a ，b 满足：9a b ⋅=-，||3a =，||5b =，θ为a ，b 的夹角，求sin()B θ+．【答案】.sin()sin cos cos sin B B B θθθ+=+=【解析】 本试题主要是考查了向量的数量积的性质和三角函数中恒等变换的综合运用。

2017-2018 学年天津市新华中学高二（下）第三次月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共 8 个小题，每小题4 分，共 32 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .1．曲线 y=在点（﹣ 1，﹣ 1）处的切线方程为（）A ． y=2x 1B ． y=2x ﹣ 1C ． y= ﹣ 2x ﹣ 3D ． y= ﹣ 2x ﹣ 2+2．已知函数 f （ x ） = cosx ，则 f ′（ ） =（ ） A ．﹣B ．C ．D ．﹣3．函数 f （ x ）=lnx ﹣ x 2的极值情况为（）A ．无极值B ．有极小值，无极大值C ．有极大值，无极小值D ．不确定4．如图是函数 y=f （ x ）的导函数 y=f ′（ x ）的图象，给出下列命题： ① ﹣2 是函数 y=f （ x ）的极值点； ② 1 是函数 y=f （ x ）的最小值点；③ y=f （ x ）在 x=0 处切线的斜率小于零；④ y=f （ x ） =在区间（﹣ 2， 2）上单调递增．则正确命题的序号是（）A ．①④B ．②④C ． ③④D ．②③5．已知函数 f （ x ）满足 f （ 1） =1，且 f （ x ）的导函数 f ′（ x ）＜ ，则 f （ x ）＜+ 的解集为（ ）A ． { x 1 x 1 B． { x | x ＜﹣ 1 C x x ＜﹣ 1 或 x 1 }D ．{ x x 1 }| ﹣ ＜ ＜ }} ． { | ＞ | ＞ 6．若 a ＞ 2 ，则函数 f （ x ） = 3 ax 2 1 在区间（ 0 2 ）x ﹣ + ， ）上恰好有（ A ．0 个零点 B ．1 个零点 C ． 2 个零点 D ．3 个零点7．过点 A （﹣ 1，2）作曲线 f （ x ） =x 3﹣ 3x 的切线，做多有（ ） A ．3 条 B ．2 条 C ．1 条 D ．0 条xx ∈ R ）有大于零的极值点，则实数a 的取值范围是（）8．若函数 y=ae +3x （ a ∈R ， A ．﹣ 3＜ a ＜ 0 B ． a ＞﹣ 3 C ． a ＜﹣ 3 D ．二、填空题（每题 3 分，满分18 分，将答案填在答题纸上）3 mx 2m 6 x 1 m 的取值范围为．9．已知函数 f （ x ） =x++（+） + 存在极值，则实数10．已知函数 f （x ）=﹣ x 3+ax 在区间（﹣ 1，1）上是增函数，则实数a 的取值范围是 ．11．若点 P 是曲线 y=x 2﹣ lnx 上任意一点，则点 P 到直线 y=x ﹣ 2 的距离最小时点 P 的坐标 为．2 ﹣ 3x．若对于区间 [ ﹣ 3 2 x x 2．都有 | f x f x 2） 12．已知函数 f （ x ）=x， ] 上任意的 1、 （ 1）﹣ （ | ≤ m ，则实数 m 的最小值是 ．13．函数 y=xlnx 的单调递减区间是 ．14．已知函数 f （ x ）的导函数 f ′（ x ）=a （ x+1）（ x ﹣ a ），若 f （ x ）在 x=a 处取到极小值，则实数 a 的取值范围是．三、解答题（本大题共 4 小题，共 50 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．已知函数（ a ， b ∈ R ），其图象在点（ 1， f （ 1））处的切线方程为 x+y ﹣ 3=0 ．（ 1）求 a ，b 的值；（ 2）求函数 f （ x ）的单调区间和极值；（ 3）求函数 f （ x ）在区间 [ ﹣ 2，5] 上的最大值．16．设函数．（ 1）讨论函数 f （ x ）的单调区间；（ 2）函数 f （x ）在区间（﹣ ∞， 0）上是减函数，求 m 的取值范围．17．设函数（ a ≠ 0 ）．（1 ）已知曲线 y=f （ x ）在点（ 1， f （ 1））处的切线 l 的斜率为 2﹣ 3a ，求实数 a 的值； （2）讨论函数 f （ x ）的单调性；（3 ）在（ 1）的条件下，求证：任意 x ＞0，都有 f （x ）≥ 3﹣x ．18．已知函数 f （ x ） =﹣x 3+ax 2﹣ 4． （1 ） 若 f （ x ）在处取得极值，求实数 a 的值；（ 2） 在（Ⅰ）的条件下，若关于 x 的方程 f （ x ）=m 在 [ ﹣ 1，1] 上恰有两个不同的实数根，求实数 m 的取值范围；（ 3） 若存在 x 0∈（ 0， +∞），使得不等式 f （ x 0）＞ 0 成立，求实数 a 的取值范围．2015-2016 学年天津市新华中学高二（下）第三次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8 个小题，每小题 4 分，共 32 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．曲线 y=在点（﹣1，﹣ 1）处的切线方程为（）A．y=2x1B．y=2x﹣1C．y=﹣2x﹣3D．y=﹣2x﹣2 +【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】欲求在点（﹣1，﹣ 1）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在 x= ﹣ 1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：∵ y=，∴y′=，所以k=y ′2，所以 k=2；| x=﹣1=2，得切线的斜率为所以曲线y=f （ x）在点（﹣1，﹣ 1）处的切线方程为：y 1=2×（x 1y=2x1．++ ），即+故选 A．2．已知函数f（ x） = cosx，则 f ′（）=（）A．﹣B．C．D．﹣【考点】导数的运算．【分析】根据导数的运算法则，先求导，再求值．【解答】解：∵ f ′（x） =cosx﹣sinx ，∴f ′（） =﹣× 0﹣× 1=．故选： A ．3．函数 f（ x）=lnx ﹣ x2的极值情况为（A ．无极值B ．有极小值，无极大值C．有极大值，无极小值D．不确定【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求出函数定义域，在定义域内解方程极值定义可作出判断．【解答】解：函数的定义域为（0， +∞），）y′=0，再判断方程根左右两侧导数的符号，据y′=﹣2x=，令 y′=0，得 x=，当 0＜ x＜时，y′＞0，当x＞时，y′＜0，所以当 x=时函数取得极大值，没有极小值，故选： C．4．如图是函数y=f （ x）的导函数y=f ′（ x）的图象，给出下列命题：① ﹣2 是函数 y=f （ x）的极值点；② 1 是函数 y=f （ x）的最小值点；③ y=f （ x）在 x=0 处切线的斜率小于零；④ y=f （ x） =在区间（﹣ 2， 2）上单调递增．则正确命题的序号是（）A．①④B．②④C．③④ D ．②③【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由条件利用导函数的图象特征，利用导数研究函数的单调性和极值，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．【解答】解：根据导函数y=f ′（ x）的图象可得， y=f ′（x）在（﹣∞，﹣ 2）上大于零，在（﹣2 22∞，）、（，+）上大于零，且 f ′（﹣ 2） =0 ，故函数f（x∞2）上为减函数，在（﹣2∞2∞）在（﹣，﹣，+ ）、（，+）上为增函数．故﹣ 2 是函数 y=f （ x）的极小值点，故① 正确；故 1不是函数 y=f （ x）的最小值点，故② 不正确；根据函数（﹣2， +∞y=f x）在x=0处切线的斜率大于零，故③正确；）上为增函数，故（根据 y=f （ x） =在区间（﹣ 2，2）上的导数大于或等于零，故f（ x）在区间（﹣ 2，2）上单调递增，故④ 正确，故选： A．5．已知函数f（ x）满足f（ 1） =1，且f（ x）的导函数f′（ x）＜，则 f （ x）＜+的解集为（）A ． { x| ﹣ 1＜ x＜ 1}B ． { x| x＜﹣ 1}C． { x| x＜﹣ 1 或【考点】函数单调性的性质；导数的运算；其他不等式的解法．x＞ 1} D ．{ x| x＞ 1}【分析】 先把不等式移项并设 φ（ x ）=f （x ）﹣﹣ ，然后求出导函数φ′（x ）又因为函数，所以 φ′（x ）＜ 0 即 φ（ x ）是减函数由f （ 1）=1 求出 φ（ 1）=0，根据函数是减函数得到的解集即可．【解答】 解：∴φ（x ）在 R 上是减函数．，则，，∴的解集为 { x| x ＞1} ．故选D ．6．若 a ＞ 2 3ax 2 1 在区间（0 2），则函数 f （ x ） = x ﹣ + ， ）上恰好有（A ．0 个零点B ．1 个零点C ．2 个零点D ．3 个零点【考点】 函数零点的判定定理．【分析】 先根据导数判断出函数 f （ x ）在区间 [ 0， 2] 上单调递减，再由 f （0） f （ 2）＜ 0 可知有唯一零点．【解答】 解：由已知得： f ′（x ） =x （ x ﹣ 2a ），由于 a ＞ 2，故当 0＜ x ＜ 2 时 f ′（ x ）＜ 0，即函数为区间（ 0， 2）上的单调递减函数， 又当 a ＞ 2 时f （ 0） f （2） = ﹣ 4a ＜ 0，故据二分法及单调性可知函数在区间（ 0， 2）上有且只有一个零点．故选 B7．过点 A （﹣ 1，2）作曲线 f （ x ） =x 3﹣ 3x 的切线，做多有（）A ．3 条B ．2 条C ．1 条D ．0 条【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】 设出切点，求出切点处的导数，写出切线方程把 A 的坐标代入后得到关于切点横坐标的方程， 再利用其导函数判断极值点， 根据极值得到切点横坐标的个数，从而答案可求．【解答】 解：设切点为 P （ x ，x 3﹣ 3x ），f ′（ x ）=3x 2﹣ 3，0 0则切线方程 y ﹣ x 03+3x 0=（ 3x 02﹣ 3）（x ﹣ x 0），代入 A （﹣ 1 2 2x 3 3x 2 1=0， ）得， 0 + 0﹣ ．令 y=2x 03+3x 02﹣ 1=0 ，则由 y ′=0，得 x 0=0 或 x 0=﹣ 1，且当 x 0=0 时， y= ﹣ 1＜0， x 0=﹣ 1 时， y=0．所以方程 2x 03+3x 02﹣ 1=0 有 2 个解，则过点 A （﹣ 1，2）作曲线 f （ x ） =x 3﹣ 3x 的切线的条数是 2条．故选： B ．x+3x （ a ∈R ， x ∈ R ）有大于零的极值点，则实数 a 的取值范围是（）8．若函数 y=ae A ．﹣ 3＜ a ＜ 0B ． a ＞﹣ 3C ． a ＜﹣ 3D ．【考点】 利用导数研究函数的极值．【分析】 求导函数， 利用函数在 x ∈ R 上有大于零的极值点， 可得导函数为 0的方程有正根，从而可求参数 a 的范围．【解答】 解：求导函数，可得y ′=ae x+3，y ′=ae x若函数在 x ∈ R 上有大于零的极值点，即3=0 有正根．+ 显然有 a ＜ 0，即 e x=﹣ ，此时 x=ln （﹣ ）．由 x ＞ 0，得﹣ ＞ 1，则﹣ 3＜ a ＜0．故选： A ．二、填空题（每题 3 分，满分18 分，将答案填在答题纸上）3 mx 2 m 6 x + 1 存在极值，则实数 m的取值范围为 39．已知函数 f （ x ）=x+ +（+ ）（﹣ ∞，﹣ ）6 ．∪（ ， +∞）【考点】 函数在某点取得极值的条件．【分析】 求出函数 f （ x ）的导函数，根据已知条件，导函数必有两个不相等的实数根，只 须令导函数的判别式大于 0，求出 m 的范围即可．【解答】 解：∵函数 f （ x ） =x 3mx 2 m 6 x 1 存在极值，+ +（+ ） +∴ f ′（ x ）=3x 2+2mx+m+6=0 ，它有两个不相等的实根， ∴△ =4m 2﹣ 12（ m+6）＞ 0 解得 m ＜﹣ 3 或 m ＞ 6．故答案为：（﹣ ∞，﹣ 3）∪（ 6， +∞）．10．已知函数 f （ x ） =﹣x 3+ax 在区间（﹣ 1，1）上是增函数，则实数a 的取值范围是a≥3 ．【考点】 利用导数研究函数的单调性．【分析】 根据函数 f （ x =﹣ x 3 ax11 ）上是增函数，转化成 f ′ x ） = ﹣ 3x2 a）+在区间（﹣，（+≥0，在区间（﹣ 1 ，1）上恒成立，然后利用参数分离法将 a 分离得 a ≥3x 2，使 x ∈（﹣ 1 ， 1）恒成立即可求出a 的范围． 3x 2【解答】 解：由题意应有 f x = ﹣ a 0 ，在区间（﹣ 1 1）上恒成立，′（ ） + ≥ ，则 a ≥ 3x 2， x ∈（﹣ 1，1）恒成立，故 a ≥ 3．故答案为： a ≥ 3．11．若点 P 是曲线 y=x 2﹣ lnx 上任意一点，则点 P 到直线 y=x ﹣ 2 的距离最小时点 P 的坐标为（1，1） ．【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】 由题意知，当曲线上过点 P 的切线和直线 y=x ﹣ 2 平行时，点 P 到直线 y=x ﹣ 2 的距离最小．求出曲线对应的函数的导数，令导数值等于 1，可得切点的坐标，此切点到直线 y=x ﹣ 2 的距离即为最小值．2【解答】 解：点 P 是曲线 y=x ﹣ lnx 上任意一点，点 P 到直线 y=x ﹣ 2 的距离最小．直线 y=x ﹣2 的斜率等于 1，令 y=x 2﹣ lnx 的导数 y ′=2x ﹣令 y ′=1，解得 x=1 或 x= ﹣ （舍去），故曲线 y=x 2﹣ lnx 上和直线 y=x ﹣ 2 平行的切线经过的切点坐标P （ 1， 1），点（ 1， 1）到直线 y=x ﹣ 2 的距离等于= ，故点 P 到直线 y=x ﹣2 的最小距离为 ．故答案为：（ 1， 1）．2﹣ 3x．若对于区间 3 2 x x 2．都有 | f x f x2）12．已知函数 f （ x ）=x [ ﹣ ， ] 上任意的 1、 （ 1）﹣ （ | ≤ m ，则实数 m 的最小值是．【考点】 二次函数的性质．【分析】 对于区间 [ ﹣ 3，2] 上的任意 x 1，x 2 都有 | f （ x 1）﹣ f （ x 2）| ≤ t ，等价于对于区间 [ ﹣3， 2] 上的任意 x ，都有 f （ x ） max ﹣ f （ x ） min ≤ m ，利用二次函数的图象和性质，求最值，即可得出结论．【解答】 解：对于区间 [ ﹣ 3，2] 上的任意 x 1， x 2 都有 | f （ x 1）﹣ f （x 2） | ≤ m ，等价于对于区间 [ ﹣ 3，2] 上的任意 x ，都有 f （ x ） max ﹣f （ x ） min ≤m ，∵ f （x ） =x 2﹣ 3x ，∴函数在 [﹣3， ] 上单调递减，在 [， 2] 上单调递增，∴f （x ） max =f （﹣ 3） =18 ，f （x ） min =f （）=﹣，∴f （x ） max ﹣ f （x ） min =，∴m ≥，∴实数 m 的最小值是故答案为：，13．函数 y=xlnx 的单调递减区间是 ﹣ 1（ 0， e ） ． 【考点】 利用导数研究函数的单调性．【分析】 求出函数的定义域，求出函数的导函数， 令导函数小于 0 求出 x 的范围， 写出区间形式即得到函数 y=xlnx 的单调递减区间．【解答】 解：函数的定 域 x ＞ 0∵ y ′=lnx +1令 lnx+1＜ 0 得0＜ x ＜ e ﹣ 1﹣1∴函数 y=xlnx 的 减区 是（0， e）14．已知函数 f （ x ）的 函数 f ′（ x ）=a （ x+1）（ x a ），若 f （ x ）在 x=a 取到极小 ， 数 a 的取 范 是 a ＜ 1 或 a ＞ 0 ．【考点】 函数在某点取得极 的条件．【分析】 根据函数 数的定 和性 即可得到 ．【解答】 解：由 f ′ x =a x 1 x a =0 ，（） （ + ）（ ）解得 a=0 或 x= 1 或 x=a ，若 a=0， f ′（ x ） =0，此 函数 f （ x ） 常数，没有极 ，故 a ≠ 0．若 a= 1， f ′（ x ）= （ x+1） 2≤ 0，此 函数 f （x ） 减，没有极 ，故a ≠ 1．若 a ＜ 1，由 f ′（ x ） =a （ x+1）（x a ）＞ 0 得 a ＜ x ＜ 1 此 函数 增，由 f ′ x =a x 1 x a 0 得x ＜ a 或x ＞ 1 此 函数 减，即函数在 x=a 取到 （ ） （ + ）（ ）＜ 极小 ， 足条件．1 a 0 ，由 f ′ x =a x 1 x a 0 得 1 x ＜ a 此 函数 增，若 ＜＜ （ ） （ + ）（ ）＞ ＜由 f x =a x 1 x a 0 得 x ＜ 1 或 x a x=a 取 ′（ ） （ + ）（ ）＜ ＞ ，此 函数 减，即函数在 到极大 ，不 足条件．a 0 ，由 f ′ x ） =a x 1 x a 0 得 x ＜ 1 或 x ＞ a 此 函数 增，若 ＞ （ （ + ）（）＞由 f ′（ x ）=a （ x+1）（x a ）＜ 0 得 1＜ x ＜ a ，此 函数 减，即函数在 x=a 取到极小 ， 足条件．上： a ＜ 1 或 a ＞ 0，故答案 ： a ＜ 1 或 a ＞ 0三、解答 （本大 共4 小 ，共 50 分 .解答 写出文字 明、 明 程或演算步.）15．已知函数（ a ， b ∈ R ），其 象在点（ 1， f （ 1））的切 方程 x+y 3=0 ．（ 1）求 a ，b 的 ；（ 2）求函数 f （ x ）的 区 和极 ；（ 3）求函数 f （ x ）在区 [ 2，5] 上的最大 ．【考点】 利用 数求 区 上函数的最 ；利用 数研究曲 上某点切 方程．【分析】（ 1）求 函数，利用 数的几何意 ， 合函数解析式，即可求 a ，b 的 ；（2）求 数，利用 数的正 ，即可求函数f （ x ）的 区 和极 ；（3）将函数的极大 与端点函数 ，比 ，即可求函数f （ x ）在区 [ 2，5] 上的最大 ． 【解答】解：（ 1）由 意， f （′x ）=x 2 2ax+a 21． ⋯ 又∵函数 f （ x ）的 象在点（ 1，f （ 1）） 的切 方程 x+y 3=0 ，所以切 的斜率 1 f 1 = 1 ，∴ a 2 2a 1=0 ，解得 a=1． ⋯，即 （′ ） +又∵点（ 1 f 1 ））在直 x y 3=0 上，∴f （ 1 ） =2 ，⋯， （ +同 点（ 1， f （1））即点（ 1， 2）在 y=f （ x ）上，∴， ⋯即 ，解得 ． ⋯（2）由（ 1）有，∴ f ′（ x ） =x 22x ， ⋯由 f ′（ x ）=0 可知 x=0，或 x=2，所以有 x 、 f ′（ x ）、 f （x ）的 化情况表如下：x ∞ 0） 0 0 ， 2）2 2∞（ ， （ （， + ）f ′（ x ） + 00 +f （ x ）极大极小⋯由上表可知， f （ x ）的 增区 是 （ ∞，0）和（ 2，+∞）， 减区 是 （ 0，2）； ⋯∴函数 f （ x ）的极大 是，极小 是．⋯（3）由（ 2），函数 f （ x ）在区 [2， 5] 上的极大 是．⋯又， ⋯∴函数 f （ x ）在区 [2， 5] 上的最大 ． ⋯16． 函数．（ 1） 函数 f （ x ）的 区 ；（ 2）函数 f （x ）在区 （ ∞， 0）上是减函数，求 m 的取 范 ．【考点】 利用 数求 区 上函数的最 ；利用 数研究函数的 性．【分析】（ 1） f ′（ x ） = x 2+2x+（ m 2 1），△ =4m 2， m 与 0 的大小关系分 ，即可得出 性．（2）利用（ 1）的 及其已知函数f （ x ）在区 （ ∞，0）上是减函数，即可得出m 的取 范 ．【解答】 解：（ 1） f ′（ x ） =x 2+2x +（ m 21），△ =4 +4（ m 2 1）=4m 2≥ 0，22∴① m=0 ， f ′（x ） =x +2x 1= （ x 1） ≤ 0，② m ≠0 ，由 f ′（ x ） = x 2+2x+（m 21） = [ x （ 1 m ） ][ x （ 1+m ） ] ，∴m ＞ 0 ， 1+m ＞1 m ，∴ 1 m ＜ x ＜1+m ， f ′（ x ）＞ 0，此 函数 f （ x ） 增；x ＜ 1 m ，或 1+m ＜ x ， f ′（ x ）＜ 0，此 函数 f （ x ） 减．m ＜0 ， 1+m ＜ 1 m ，∴ 1+m ＜ x ＜ 1 m ， f ′（x ）＞ 0，此 函数 f （x ） 增；x ＜ 1+m ，或 1 m ＜ x ， f ′（ x ）＜ 0，此 函数 f （ x ） 减．2 ）由（ 1 ① m ＞ 0 ， 1 m 1m x 1 m ，函数 f x） 减，又函数 f（ ）可得：+ ＞ ，＜ （（x ）在区 （ ∞， 0）上是减函数，∴，解得 0＜m ≤ 1．② m ＜0 时， 1+m ＜ 1﹣ m ，x ＜ 1+m ，函数 f （ x ）单调递减，又函数 f （x ）在区间（﹣ ∞， 0）上是减函数，∴，解得 m ≤﹣ 1．综上可得： m的取值范围是（﹣∞，﹣ 1 0 1] ∪（ ， ] ．17．设函数（ a ≠ 0）．（1）已知曲线 y=f （ x ）在点（ 1， f （ 1））处的切线 l 的斜率为 2﹣ 3a ，求实数 a 的值； （2）讨论函数 f （ x ）的单调性； （3）在（ 1）的条件下，求证：任意x ＞0，都有 f （x ）≥ 3﹣x ．【考点】 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（ 1）由 f （ x ）的表达式（ a ≠ 0），知 f （ x ）的定义域为 { x| x ＞ 0} ，求出 f ′（x ），再由曲线 y=f （x ）在点（ 1， f （ 1））处的切线 l 的斜率为 2﹣ 3a ，知 f ′（ 1 ） =a ﹣ 2a 2=2﹣ 3a ， 由此能求出 a ． （2）由 f ′（ x ）的表达式， 利用 a 的取值范围进行分类讨论，能够得到函数 f （ x ）的单调性．（3）由（ 1）知， f （ x ）=lnx +，设 g （ x ） =f （ x ）﹣（ 3﹣ x ），则 g （ x ） =lnx + +x ﹣ 3，求出 g ′（ x ）， x ＞0．列表讨论，能够证明对于定义域内的任意一个 x ，都有 f （ x ）≥ 3﹣x ．1f x ） =alnx a 0 ），【解答】 解：（ ）∵ （ +（ ≠f x ）的定义域为 { x x ＞ 0 ∴ （ | } ，f ′（ x ） = ﹣ ，∵曲线 y=f （x ）在点（ 1， f （ 1））处的切线 l 的斜率为 2﹣ 3a ，∴ f ′（ 1）=a ﹣ 2a 2=2﹣ 3a ，解得 a=1．（2） f ′（x ） = ﹣=，① 当 a ＜ 0 时，∵ x ＞ 0，∴ x ﹣ 2a ＞ 0， a （ x ﹣2a ）＜ 0， ∴f ′（ x ）＜ 0，故函数 f （ x ）在（ 0， +∞）上单调递减；② 当 a ＞ 0 时，若 0＜ x ＜ 2a ，则 a （x ﹣ 2a ）＜ 0， f ′（x ）＜ 0，函数 f （ x ）在（ 0， 2a ）上单调递减；若 x ＞ 2a ，则 a （ x ﹣ 2a ）＞ 0， f ′（ x ）＞ 0，函数在（ 2a ， +∞）上单调递增．综上所述，当 a ＜ 0 时，函数 f （ x ）在（ 0，+∞）上单调递减；当 a ＞ 0 时，函数 f （ x ）在（ 0， 2a ）上单调递减，在（ 2a ， +∞）上单调递增．证明：（ 3）由（ 1）知， f （ x ） =lnx + ，g x ） =f x ）﹣（ 3 x ），则 g x ） =lnx + x 3 ，设 （ （ ﹣ （ + ﹣∴g ′（ x ） = ﹣ +1=， x ＞ 0当 x 变化时，x1 ） 1 1 ∞（， （ ， +）g ′（ x ）﹣ 0 + g （ x ）↓极小值↑∴ x =1 是 g （x ）在（ 0， +∞）上的唯一极值点，且是极小值点，从而也是 g （ x ）的最小值点，∴ g （ x ）≥ g （ 1） =ln1 +2+1﹣ 3=0 ，∴ g （ x ） =f （ x ）﹣（ 3﹣x ）≥ 0，∴对于定义域内的任意一个 x ，都有 f （ x ）≥ 3﹣ x ．18．已知函数 f （ x ） =﹣x 3+ax 2﹣ 4．（1） 若 f （ x ）在 处取得极值，求实数 a 的值；2） 在（Ⅰ）的条件下，若关于 x的方程 f x ） =m1 1] 上恰有两个不同的实数根，（（ 在[﹣ ， 求实数 m 的取值范围；（ 3） 若存在 x 0∈（ 0， +∞），使得不等式 f （ x 0）＞ 0 成立，求实数 a 的取值范围．【考点】 函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性．【分析】（ 1）首先利用函数的导数与极值的关系求出 a 的值，（ 2）在（Ⅰ）的条件下，若关于 x f x =m 在 [ 1 1f x ）的图象与直线 y=m 的方程（） ﹣ ， ] 上恰有两个不同的实数根， 即函数 （ 有两个交点，利用导数即求函数f （ x ）在区间 [ ﹣ 1，1] 上的最值；（ 3 ）解法一：存在 x 0∈（ 0 ，+ ∞f x 0）＞ 0 f x 0 是变量 a 的范围； 解法二： 存在 x 0 ，+∞），使 （即寻找 （ ）max ＞0∈（），使得不等式 f （ x 0）＞ 0 成立，即即﹣ x 3+ax 2﹣ 4＞ 0 在（ 0，+∞）上有解，分离参数，即求a＞g （ x ） min ，转化为求函数的最小值．【解答】（ 1） f' （ x ） =﹣3x 2+2ax ，由题意得，解得 a=2，经检验满足条件．（ 2）由（ 1）知 f （ x ） =﹣ x 3+2x 2﹣4， f'（ x ） =﹣ 3x 2+4x ，令 f'（ x ） =0，则 x 1=0，（舍去）． f' （ x ）， f （x ）的变化情况如下表：x ﹣ 1 （﹣ 1，0）0 （0，1）1f'（ x ）﹣+f （ x ） ﹣ 1 ↘ ﹣ 4 ↗﹣ 3 ∴f （x ）在（﹣ 1， 0）上单调递减，在（ 0， 1 ）上单调递增，∴f （x ） 极小值 =f （ 0） =﹣4，如图构造 f （ x ）在 [ ﹣ 1，1] 上的图象．又关于 x 的方程 f （ x ） =m 1 1] 上恰有两个不同的实数根， 在[﹣ ， 则﹣ 4＜ m ≤﹣ 3，即 m 的取值范围是（﹣ 4，﹣ 3] ． （3）解法一：因存在x 0∈（ 0，+∞），使得不等式 f （ x 0）＞ 0 成立，故只需要 f （ x ）的最大值 f （ x ） max ＞ 0 即可，f x = ﹣ x 3 ax 2 ﹣ 4．∵ （ ） + ，∴ ① 若 a ≤ 0，则当 x ＞ 0 时， f' （ x ）＜ 0，∴ f （ x ）在（ 0，+∞）单调递减． ∵f （0） =﹣ 4＜0，∴当 x ＞ 0 时， f （x ）＜﹣ 4＜ 0，∴当 a ≤ 0 时，不存在 x 0∈（ 0， +∞），使得不等式 f （ x 0）＞ 0 成立．② 当 a ＞ 0 时 f （x ）， f' （ x ）随 x 的变化情况如下表：g ′（x ）， g （x ）的变化如下表：xf'（ x）+0﹣f （x）↗↘∴当 x∈（ 0， +∞）时，，由得 a＞ 3．综上得 a＞ 3，即 a 的取值范围是（3， +∞）．解法二：根据题意，只需要不等式f（ x）＞ 0 在（ 0，+∞）上有解即可，即﹣x3ax24 00∞0 ∞+﹣＞在（，+）上有解．即不等式在（，+）上有解即可．令，只需要 a＞ g（x）min而，当且仅当，即x=2时“=”成立．故 a＞ 3，即 a 的取值范围是（3， +∞）．2016年11月10日。

2017~2018学年度第一学期期中七校联考高二数学试卷一、选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．直线:10l mx y m -+-=与圆22:(1)5C x y +-=的位置关系是（ ）．A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定【答案】A【解析】直线:10l mx y m -+-=，即1(1)y m x -=-，即直线过(1,1)点，∵把(1,1)点代入圆的方程有10+<∴点(1,1)在圆的内部，∴过(1,1)点的直线一定和圆相交．故选A ．2．在梯形ABCD 中，π2ABC ∠=，AD BC ∥，222BC AD AB ===．将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）．A ．2π3B ．4π3C ．5π3D ．2π【答案】C【解析】由题意可知几何体的直观图如图：旋转体是底面半径为1，高为2的圆锥，挖去一个相同底面高为1的倒圆锥， 几何体的体积为：2215π1π21π133⋅-⨯⨯=， 综上所述．故选C ．3．已知平面α，β，直线l ，m ，且有l α⊥，m β⊂，则下列四个命题正确的个数为（ ）．①若αβ∥，则l m ⊥；②若l m ∥，则l β∥； ③若αβ⊥，则l m ∥；④若l m ⊥，则l β⊥； A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A 【解析】若αβ∥，则l β⊥，又由m β⊂，故l m ⊥，故①正确；若l m ∥，m β⊂，则l β∥或l β⊂，故②错误；若αβ⊥，则l 与m 相交、平行或异面，故③错误；若l m ⊥，则l 与β相交，平行或l β⊂，故④错误．故四个命题中正确的命题有1个．故选A ．4．已知点(4,2)(0,0)a b a b >>在圆22:4C x y +=和圆22:(2)(2)4M x y -+-=的公共弦上，则12a b +的最小值为（ ）． A ．1 B ．2 C ．4 D ．8【答案】D【解析】根据题意，圆C 的方程为224x y +=，圆M 的方程为22(2)(2)4x y -+-=，则其公共弦的方程为2x y +=，又由点(4,2)a b 在两圆的公共弦上，则有422a b +=，即21a b +=，1212(2)a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭， 44a b b a=++，4+≥ 8=， 即12a b+的最小值为8． 故选D ．5．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图是如图所示的一个正方形，则原来的图形是（ ）．A ．B．C． D ．【答案】A【解析】作出该直观图的原图形，因为直观图中的线段C B x '''∥轴，所以在原图形中对应的线段平行于x 轴且长度不变，点C '和B '在原图形中对应的点C 和B 的纵坐标是O B ''的2倍，则OB =，所以3OC =．故选A ．6．如图，直三棱柱111ABC A B C -，AC BC ⊥，且12C A C C C B ==，则直线1BC 与直线1AB 所成角的余弦值为（ ）．ABCC 1B 1A 1 ABCD ．35【答案】A【解析】如图所示，建立空间直角坐标系．不妨取1CB =，则122CA CC CB ===．∴(2,0,0)A ，(0,0,1)B ，1(0,2,0)C ，1(0,2,1)B ，∴1(2,2,1)AB =-，1(0,2,1)BC =-．∴111111cos ,||||9AB BCAB BC AB BC ⋅== 故选A ．7．设点P 是函数y =(2,3)()Q a a a -∈R ，则||PQ 的最大值为（）．A2+ B2C D【答案】B【解析】由函数y =22(1)4x y -+=，(0)y ≤，对应的曲线为圆心在(1,0)C ，半径为2的圆的下部分，∵点(2,3)Q a a -，∴2x a =，3y a =-，消去a 得260x y --=，即(2,3)Q a a -在直线260x y --=上，过圆心C 作直线的垂线，垂足为A ，则max ||||222PQ CA =+=+=． 故选B ．8．已知圆22630x y x y ++-+=上的两点P ，Q 关于直线40kx y -+=对称，且OP OQ ⊥（O 为坐标原点），则直线PQ 的方程为（ ）．A ．1322y x =-+B ．1122y x =-+或1524y x =-+C ．1124y x =-+D ．1322y x =-+或1524y x =-+ 【答案】D【解析】联立得2263012x y x y y x b ⎧++-+=⎪⎨=-+⎪⎩， 代入整理得225(4)6304x b x b b +-+-+=， 设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，∵OP OQ ⊥，∴12120x x y y +=，∴212125()042b x x x x b -++=， ∴222263(4)05b b b b b -+--+=， ∴32b =或54b =，所以直线PQ 的方程为：1322y x =-+或1524y x =-+，经验证符合题意． 故选D ．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题5分，共30分．请将答案填在答题卡上） 9．如图，直三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都是2，以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，则顶点1B 的坐标是__________．【答案】,2)【解析】∵直三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都是2，∴B ，∴顶点1B的坐标是,2)，故答案为：,2)．10．经过点(2,)M m -、(,4)N m 的直线的斜率等于1，则m 的值为__________．【答案】1【解析】经过点(2,)M m -、(,4)N m 的直线斜率为1， ∴412m m -=+， 解得：1m =．故答案为：1．11．将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使BD a =，则三棱锥D ABC -的体积为__________．【解析】如图所示，DAB C OD A B C O 设对角线ACBD O =，∴OB OD ==．∵222222OB OD a BD ⎫+=⨯==⎪⎪⎝⎭，∴OB OD ⊥，又OD AC ⊥，AC OB O =，∴OD ⊥平面ACB ，∴三棱锥D ABC -的体积，13ABC V OD S =⨯⨯△，21132a =⨯，=．12．一只虫子从点(0,0)出发，先爬行到直线:10l x y -+=上的P 点，再从P 点出发爬行到点(1,1)A ，则虫子爬行的最短路程是__________．【答案】2【解析】如图所示：设(1,1)A 关于直线1y x =+的对称点是(,)B a b ，连接OB 和直线1y x =+交于C 点，则OC CA +最短， 由11111122b a b a -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪=+⎪⎩， 解得(0,2)B ，故直线OB 和1y x =+的交点是(0,1)，故112OC CA +=+=．故答案为：2．13．一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为__________．正视图侧视图俯视图【答案】3(6π)m +【解析】由图得， 此图形是由一个长为3，宽为2，高为1的长方体和一个底面半径1，高为3的圆锥组成， 所以21321π133V =⨯⨯+⨯⨯⨯， 6π=+．∴体积为3(6π)m +．14．若圆2221:240()C x y ax a a +++-=∈R 与圆2222:210()C x y by b b +--+=∈R 恰有三条公切线，则a b +的最大值为__________．【答案】D【解析】曲线22630x y x y ++-+=可变为：22215(3)22x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得到圆心1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径为52． 因为圆上有两点P 、Q 关于直线40kx y -+=对称，得到圆心在直线40kx y -+=上， 把1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭代入到40kx y -+=中求出2k =，且PQ 与直线垂直， 所以直线PQ 的斜率112k -==-， 设PQ 方程为12y x b =-+， 联立得2263012x y x y y x b ⎧++-+=⎪⎨=-+⎪⎩， 代入整理得225(4)6304x b x b b +-+-+=， 设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，∴12120x x y y +=， ∴212125()042b x x x x b -++=， ∴222263(4)05b b b b b -+--+=， ∴32b =或54b =， 所以直线PQ 的方程为：1322y x =-+或1524y x =-+，经验证符合题意． 故选D ．三、解答题：（本大题共6个小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（本小题满分13分）已知圆22:2220C x y x y ++--=和直线:34140l x y ++=．（1）求圆C 的圆心坐标及半径．（2）求圆C 上的点到直线l 距离的最大值．【答案】见解析．【解析】（1）圆22:2220C x y x y ++--=，转化为：22(1)(1)4x y ++-=，则：圆心坐标为(1,1)-，半径2r =．（2）利用（1）的结论，圆心(1,1)-到直线34140x y ++=的距离3d ==．最大距离为：325d r +=+=．16．（本小题满分13分） 如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形，60BCD ∠=︒，PA ⊥平面ABCD ，E 是AB 的中点，F 是PC 的中点．D AB C E FP（1）求证：平面PDE ⊥平面PAB ．（2）求证：BF ∥平面PDE ．【答案】见解析．【解析】（1）∵底面ABCD 是菱形，60BCD ∠=︒， ∴ABD △为正三角形，E 是AB 的中点，DE AB ⊥，PA ⊥平面ABCD ，DE ⊂平面ABCD ，∴DE AP ⊥，∵AP AB A =，∴DE ⊥平面PAB ，∵DE ⊂平面PDE ，∴平面PDE ⊥平面PAB ．（2）取PD 的中点G ，连结FG ，GE ，GPF E C B A D∵F ，G 是中点，∴FG CD ∥且12FG CD =，∴FG 与BE 平行且相等，∴BF GE ∥，∵GE ⊂平面PDE ，BF ⊄平面PDE ，∴BF ∥平面PDE ．17．（本小题满分13分）已知点(2,1)P -．（1）求过点P 且与原点距离为2的直线l 的方程．（2）求过点P 且与原点距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？【答案】见解析．【解析】（1）①当l 的斜率k 不存在时显然成立，此时l 的方程为2x =． ②当l 的斜率k 存在时，设:1(2)l y k x +=-，即210kx y k ---=，2=，解得34k =， ∴:34100l x y --=．故所求l 的方程为2x =或34100x y --=．（2）即与OP 垂直的直线为距离最大的． ∵12OP k =-， ∴2l k =．∴直线为250x y --=．最大距离d ．18．（本小题满分13分）如图，四边形ABCD 为矩形，四边形BCEF 为直角梯形，BF CE ∥，BF BC ⊥，BF CE <，2BF =，1AB =，AD =DA B CEF（1）求证：BC AF ⊥．（2）求证：AF ∥平面DCE ．（3）若二面角E BC A --的大小为120︒，求直线DF 与平面ABCD 所成的角．【答案】见解析．【解析】证明：（1）∵四边形ABCD 为矩形，∴AB BC ⊥，又∵BF BC ⊥，AB ，BF ⊂平面ABF ，ABBF B =，∴BC ⊥平面ABF ，∵AF ⊂平面ABF ，∴BC AF ⊥．（2）∵BF CE ∥，BF ⊄平面CDE ，CE ⊂平面CDE ， ∴BF ∥平面CDE ．∵四边形ABCD 是矩形，∴AB CD ∥，又AB ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE ，∴AB ∥平面CDE ，又AB ，BF ⊂平面ABF ，AB BF B =，∴平面ABF ∥平面CDE ，∵AF ⊂平面ABF ，∴AF ∥平面DCE ．（3）过F 作FN 与AB 的延长线垂直，N 是垂足，连结DN ．FECA D∵BC AB ⊥，BC BF ⊥，∴ABF ∠就是二面角E BC A --的平面角，∴120ABF ∠=︒，60FBN ∠=︒， ∴112BN BF ==，FN =， ∵1AB =，AD =90BAD ∠=︒，∴3DN =．∵BC ⊥平面ABF ，BC ⊂平面ABCD ，∴平面ABF ⊥平面ABCD ，又平面ABF平面ABCD AB =，FN AB ⊥，∴FN ⊥平面ABCD ，∴FDN ∠是直线DF 与平面ABCD 所成的角，∴tan FN FDN DN ∠== ∴30FDN ∠=︒，∴直线DF 与平面ABCD 所成的角为30︒．19．（本小题满分14分）如图，三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都是2，1AA ⊥平面ABC ，D ，E 分别是AC ，1CC 的中点．D A B CE C 1B 1A 1（1）求证：AE ⊥平面1A BD ．（2）求二面角1D BA A --的余弦值．（3）求点1B 到平面1A BD 的距离．【答案】见解析．【解析】（1）证明：∵1AA ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ， ∴1AA BD ⊥，∵ABC △是等边三角形，∴BD AC ⊥，又1AA AC A =，∴BD ⊥平面11AA C C ，以D 为原点建立空间直角坐标系如图所示：A则(1,0,0)A ，(1,1,0)E -，1(1,2,0)A ，(0,0,0)D，B ， ∴(2,1,0)AE =-，1(1,2,0)DA =，DB =，∴10AE DA ⋅=，0AE DB ⋅=，∴1AE DA ⊥，AE DB ⊥，又1DA DB D =， ∴AE ⊥平面1A BD ．（2）1(0,2,0)AA =，(AB =-，设平面1AA B 的法向量为(,,)n x y z =，则100n AA n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∴200y x =⎧⎪⎨-=⎪⎩， 令1z =得(3,0,1)n =，又AE 为平面1A BD 的法向量，∴二面角1D BA A --的余弦值为2cos ,||||n AE n AE n AE ⋅==， =． （3）11(1A B AB ==-， 1111112cos ,22||||A B AEA B AE A B AE ⋅==⋅， 12=， ∴直线11A B 与平面1A BD 所成角的正弦值为12，∴点1B 到平面1A BD 的距离为11112A B ⨯=．20．（本小题满分14分） 已知圆22:(2)1M x y +-=，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切圆M 于A ，B 两点． （1）当Q 的坐标为(1,0)时，求切线QA ，QB 的方程．（2）求四边形QAMB 面积的最小值．（3）若||AB =MQ 的方程． 【答案】见解析．【解析】（1）当过Q 的直线无斜率时，直线方程为1x =，显然与圆相切，符合题意； 当过Q 的直线有斜率时，设切线方程为(1)y k x =-，即0kx y k --=， ∴圆心(0,2)到切线的距离1d ==， 解得34k =-， 综上，切线QA ，QB 的方程分别为1x =，3430x y +-=． （2）2MAQ QAMB S S =四边形△，【注意有文字】1212=⨯⨯∴当MQ x ⊥轴时，MQ 取得最小值2，∴四边形QAMB（3）圆心M 到弦AB 13， 设MQ x =，则221QA x =-，又AB MQ ⊥，∴222113x x ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得3x =．∴M 或(M ，∴直线MQ 的方程为2y =+或2y =．。