实数乘幂的定义(老黄学高数第26讲)

乘幂是什么意思乘幂是指数学中的一种运算，即求几个相同加数的和的简便方法。

也就是说，2个数相乘等于这两个数各自乘以其中一个因子得到的数字之积。

比如，3×3等于9，6×6等于36，10×10等于100，15×15等于150，20×20等于200……可见“乘幂”实际上是指把一些小的分数或者整数按照某种规律进行加、减、乘、除、乘方（开方）运算所得出来的结果。

对应地，我们称前面那些运算为基本运算；而这些基本运算再根据不同的性质变换形式，产生更多的复合运算，如乘方、开方等。

于是，在实际应用时，由基本运算组成了一系列高级运算。

比如乘方和立方这样的运算，只有通过运算才能够使乘号从等号转化为乘号，或者由乘方得到乘方，或者由立方得到乘方。

当我们用1，2，3……表示这些数时，会发现，每次改变单位的时候，总要重新写一遍，例如：“三三得九”写作“三九二十七”；“四八十六”写作“四六十二”；……好像每次都会给原来的数值带来一点影响。

显然，“九”，“四”，“八”，“六”……都不能写成这种形式，否则很容易被人弄混。

既然它们不可以写成一个纯粹的数字，又不能与自己的相邻数相乘，怎么办？于是“乘幂”诞生了！这里面存在着运算符号的替代问题，解决起来并不困难。

而后者呢？与乘幂完全不同！假设5×5=25是一个真正意义上的整数，且用表示 x 的幂的表达式时，只需要“ X”直接置换成“5”即可，但在实际情况下却无法做到！我们必须记住“幂”和“乘幂”两词的区别：“幂”的含义更加宽泛一些，比如：五分之二就叫做二分之五，也就是“五/二”，而后者仅仅指明了“运算符号的替代”！正因为这一特殊的关系，在日常生活交流中，我们经常听到的是“ X ×X”而非“ X×X”，又或者遇到“×÷”而非“××÷”，这是为什么呢？你看，前者包含了“幂”，而后者仅包含了“乘幂”！是不是简洁多了？——后来，随着电脑的普及，很多程序也将原先难以理解的表述模糊处理，让程序员们觉得这样更省事，省力，结果反倒丧失了程序本身该有的严谨性，误导了大众。

《幂函数》讲义一、幂函数的定义形如y ＝x^α（α 为常数）的函数，叫做幂函数。

其中x 是自变量，α 是常数。

需要注意的是，幂函数的底数 x 前面的系数必须是 1，指数α 是常数。

例如，y ＝ x^2、y ＝ x^（－1)、y ＝ x^（1/2) 等都是幂函数，而 y＝ 2x^2、y ＝ 3^x 等则不是幂函数。

二、幂函数的图像1、当α ＞ 0 时（1）α 为整数当α 为偶数时，幂函数的图像关于 y 轴对称，在区间0, ＋∞）上单调递增，在区间(∞， 0上单调递减。

当α 为奇数时，幂函数的图像关于原点对称，在区间(∞，＋∞）上单调递增。

（2）α 为分数当α ＝ 1/2 时，幂函数 y ＝ x^（1/2) 的定义域为0, ＋∞），图像在第一象限，是一条上升的曲线。

当α ＝－1/2 时，幂函数 y ＝ x^（－1/2) 的定义域为(0, ＋∞），图像在第一象限，是一条下降的曲线。

2、当α ＜ 0 时幂函数的图像在第一象限内，当 x 趋近于 0 时，函数值趋近于正无穷；当 x 趋近于正无穷时，函数值趋近于 0。

例如，y ＝ x^（－2) 的图像在第一象限内是一条下降的曲线。

三、幂函数的性质1、定义域幂函数的定义域与指数α的值有关。

当α 为正整数时，定义域为 R；当α 为负整数时，定义域为{x ｜ x ≠ 0}；当α 为正分数时，定义域取决于分母的奇偶性；当α 为负分数时，定义域为{x ｜ x ＞ 0}。

2、值域幂函数的值域也与α的值有关。

当α ＞ 0 时，值域为0, ＋∞）；当α ＜ 0 时，值域为(0, ＋∞）。

3、奇偶性根据幂函数的指数α的奇偶性来判断奇偶性。

当α 为奇数时，幂函数为奇函数；当α 为偶数时，幂函数为偶函数。

4、单调性当α ＞ 0 时，幂函数在0, ＋∞）上单调递增；当α ＜ 0 时，幂函数在(0, ＋∞）上单调递减。

四、幂函数的应用1、比较大小在比较幂函数值的大小时，可以根据幂函数的单调性以及指数的大小来进行判断。

实数指数幂及其运算法则实数指数幂是数学中的一个重要概念，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。

本文将介绍实数指数幂的定义、性质以及运算法则。

一、实数指数幂的定义。

实数指数幂指的是形如a^b的数，其中a为实数，b为实数。

其中a称为底数，b称为指数。

当指数为正整数时，实数指数幂可以用连乘的形式表示，即a^b=aa...a，其中a出现了b次。

当指数为零时，实数指数幂定义为1。

当指数为负整数时，实数指数幂可以用连除的形式表示，即a^(-b)=1/(a^b)。

当底数为正数且指数为实数时，实数指数幂可以用连续开方的形式表示，即a^b=sqrt(sqrt(...(sqrt(a))...)，其中开方的次数为b。

二、实数指数幂的性质。

1.相同底数的实数指数幂相乘，指数相加。

即a^m a^n =a^(m+n)。

2.相同底数的实数指数幂相除，指数相减。

即a^m / a^n =a^(m-n)。

3.不同底数的实数指数幂相乘，底数不变，指数相加。

即a^m b^m = (ab)^m。

4.不同底数的实数指数幂相除，底数不变，指数相减。

即a^m / b^m = (a/b)^m。

5.实数指数幂的乘方，指数相乘。

即(a^m)^n = a^(mn)。

6.实数指数幂的除法，指数相除。

即(a^m)^n = a^(m/n)。

7.任何数的零次幂都等于1。

即a^0 = 1。

8.任何数的一次幂都等于它本身。

即a^1 = a。

以上性质是实数指数幂运算的基本法则，可以帮助我们简化实数指数幂的运算，并且也可以推广到复数指数幂的运算中。

三、实数指数幂的运算法则。

实数指数幂的运算法则包括加减、乘除、乘方和开方等运算。

1.加减法。

对于相同底数的实数指数幂，可以直接对指数进行加减运算。

例如，2^3 + 2^4 = 2^7，2^5 2^3 = 2^2。

2.乘法。

对于相同底数的实数指数幂，可以直接对指数进行加法运算。

例如，2^3 2^4 = 2^(3+4) = 2^7。

幂函数的定义及性质幂函数是数学中常见的一类函数形式，它的定义如下：定义：对于给定的实数a（a≠0）和非零实数b，幂函数f(x)=a⋅x^b。

其中，a称为幂函数的系数，b称为幂函数的指数，x称为幂函数的自变量，f(x)称为幂函数的因变量。

在幂函数的定义中，a是幂函数的系数，可以取任意非零实数。

系数a决定了函数的纵向伸缩变换，当a>0时，幂函数的图像在y轴上方，当a<0时，幂函数的图像在y轴下方。

指数b是幂函数的指数，决定了函数的横向伸缩变换以及函数的形状。

当b>1时，幂函数增长更为迅速；当0<b<1时，幂函数增长逐渐变缓；当b=1时，幂函数变为线性函数；当b<0时，幂函数变为倒数函数。

幂函数的性质如下：1. 定义域和值域：幂函数的定义域为所有使得指数函数值存在的实数。

当a>0且b>0时，幂函数的值域为(0,+∞)；当a<0且b为奇数时，幂函数的值域为(-∞,0)；当a<0且b为偶数时，幂函数的值域为[0,+∞)。

2. 对称性：a⋅(-x)^b = (-a)⋅x^b，即幂函数关于y轴对称。

3. 单调性：幂函数在定义域上单调递增或递减，取决于系数a和指数b的正负情况。

4. 奇偶性：当b为整数时，幂函数的奇偶性与系数a的奇偶性一致；当b为分数时，幂函数的奇偶性与a的正负性一致。

5. 渐近线：当b>0时，幂函数的图像有一条水平渐近线y=0；当b<0时，幂函数的图像有两条渐进线，分别是x轴和y轴。

6. 函数的图像：幂函数的图像形状随着系数a和指数b的取值而变化，可以是上凸、下凸、对称或非对称的。

以上是幂函数的定义及性质的介绍。

幂函数作为一类常见的函数形式，具有广泛的应用领域，在数学、物理、经济等学科中都有重要的作用。

通过对幂函数的研究和理解，我们可以更好地理解函数的变化规律和函数图像的特点，为解决实际问题提供数学工具和思路。

幂函数定义幂函数定义为：在实数集上，任取实数xi，作为自变量，定义一个函数f(x)，其满足f(x)的自变量xi的n次方（n为实数）的关系式，称之为幂函数。

表示为：f(x)=xn其中：f：函数；x：自变量；n：实数，也称幂指数。

二、特点1、当n为正数时，当x>0，f(x)>0，当x=0，f(x)=0；当x<0，f(x)<0。

2、当n为负数时，当x>0，f(x)<0；当x=0，f(x)=0；当x<0，f(x)>0。

3、当n=0时，函数f(x)=1，且f(x)独立于x，也就是说，不论x为什么值，f(x)都是相同的，即f(x)=1。

三、性质1、当n为正数时，横坐标的改变，导致纵坐标的变化：在x轴改变正数值时，f(x)值变大；在同一轴上改变负数值时，f(x)值变小；2、当n为负数时，横坐标的改变，导致纵坐标的变化：在x轴改变正数值时，f(x)值变小；在同一轴上改变负数值时，f(x)值变大；3、当|x|越小，则|f(x)|值越大，而当|x|增大，则|f(x)|值越小，即图像向原点收敛；4、当n>1时，f(x)的图象与x的函数图像一致，即，它们同样的开口着向上（当x>0时）或向下（当x<0时），它们同样的单调性；5、当n<1时，f(x)的图象与x的函数图像不一致，即，它们不一样的开口着向下（当x>0时）或向上（当x<0时），它们也不一样的单调性；四、应用在数学中，幂函数在拓扑学，复变函数理论，应用函数性质等方面有重要的应用。

1、应用于拓扑学：幂函数在拓扑学中定义了一类空间变换，如压缩变换，拉伸变换有以下定义：压缩变换：f(xa)=f(x)b；拉伸变换：f(xa)=f(x)b；其中a,b为实数，a≠0，b≠0，其中a表示变换的中心，b表示变换的强度。

2、应用于复变函数理论：幂函数的几何性质在复变函数理论中有重要的应用。

当n是实数，f(z)是复变函数时，它们的极限和它们的导数十分简单：极限：ζ→∞，f(ζ∞)=∞；ζ→0，f(ζ∞)=0；导数：f′(ζ)=nf(ζ)ζn13、应用于函数性质：幂函数的几何性质在复变函数的函数性质中也有广泛的应用。

实数的乘方运算乘方的定义对于实数a和整数n，a的n次幂（记作a^n）定义如下：- 当n为正整数时，a^n等于a自身连乘n次，即a^n = a * a * a * ... * a （共n个a）。

- 当n为0时，规定a^0 = 1。

- 当n为负整数时，定义a^n为a的倒数的|n|次幂，即a^n = 1 / (a^|n|)。

乘法法则实数的乘方运算满足以下基本法则：1. a^m * a^n = a^(m+n)即底数相同的两个乘方，它们的指数相加，得到相同底数的新乘方。

2. (a^m)^n = a^(m*n)即一个乘方的指数再次乘方，等于乘方的底数与指数的乘积。

3. a^m * b^m = (a * b)^m即不同底数的乘方相乘，等于底数的乘积再取乘方。

乘方的性质实数的乘方运算还具有一些重要的性质：1. a^m / a^n = a^(m-n)即相同底数的两个乘方相除，等于它们的指数相减后的乘方。

2. (a / b)^m = a^m / b^m即一个分数的乘方，等于它的分子和分母分别乘以乘方后再取乘方。

3. (ab)^n = a^n * b^n即底数为两个数的乘积的乘方，等于这两个数分别取乘方再相乘。

应用举例实数的乘方运算在很多数学、物理和工程问题中都有广泛的应用。

1. 计算面积和体积：在几何学中，求解形状为矩形、圆形、球体等图形的面积和体积时，通常需要用到乘方运算。

2. 模型建立和预测：在统计学和机器研究中，建立各种模型并进行预测时，经常需要对输入变量进行乘方运算。

3. 电路分析和信号处理：在电路分析和信号处理中，乘方运算常用于计算电路元件的功率、电场、频谱等参数。

实数的乘方运算是数学中一项基础而重要的运算，它在各个领域的应用都不可忽视。

通过理解乘方的定义、法则和性质，我们能够更好地应用乘方运算解决实际问题。

数字的幂概念在数学中，我们经常会遇到数字的幂概念。

幂是指将一个数字乘以自身多次的运算。

幂的表达式由底数和指数组成，用底数的上标表示指数。

例如，2的3次幂可以表示为2³，读作“2的三次方”。

幂的定义可以简单归纳为：一个数的幂是指这个数连乘自身多次得到的结果。

这里，底数表示要进行连乘的数，指数表示要连乘的次数。

幂的运算规则包括：1. 相同底数的幂相乘，指数相加。

即，a的m次幂乘以a的n次幂等于a的(m+n)次幂。

例如，2的3次幂乘以2的4次幂等于2的(3+4)次幂，即2³ × 2⁴ = 2⁷。

2. 底数不变，幂相减，得到一个新的幂。

即，a的m次幂除以a的n次幂等于a的(m-n)次幂。

例如，3的5次幂除以3的2次幂等于3的(5-2)次幂，即3⁵ ÷ 3² = 3³。

3. 幂的幂，底数不变，指数相乘。

即，将a的m次幂的指数再乘以一个整数n，结果为a的(m × n)次幂。

例如，(2的3次幂)的2次幂等于2的(3 × 2)次幂，即(2³)² = 2⁶。

这些规则使得幂的运算更加便捷，能够简化复杂的计算过程。

除了整数幂，我们还可以考虑零次幂和负整数幂的概念。

0的零次幂被定义为1，即0的0次幂等于1。

这是因为任何数的0次幂都被定义为1。

对于负整数幂，我们可以使用以下规则进行计算：1. 底数不为0，底数大于1，底数的负整数幂等于该底数的正整数幂的倒数。

即，如果a大于1，则a的-n次幂等于1除以a的n次幂。

例如，2的-3次幂等于1除以2的3次幂，即2⁻³ = 1/2³。

2. 底数不为0，底数介于0和1之间，底数的负整数幂等于该底数的正整数幂的倒数。

即，如果a介于0和1之间，则a的-n次幂等于1除以a的n次幂。

例如，1/2的-2次幂等于1除以1/2的2次幂，即(1/2)⁻² = 1/(1/2)² = 1/(1/4) = 4。

幂函数运算知识点总结一、幂函数的定义幂函数是指数函数的一种特殊形式，其定义为f(x) = ax^n，其中a和n分别为实数且n为正整数。

幂函数的定义域为实数集合，值域为非负实数集合。

当n为偶数时，幂函数的图像呈现“上凸”的形状；当n为奇数时，幂函数的图像呈现“上凹”的形状。

二、幂函数的图像特点1. 当n为奇数时，幂函数的图像在第一象限和第三象限上凹，在第二象限和第四象限上凸。

2. 当n为偶数时，幂函数的图像在第一象限和第三象限上凸，在第二象限和第四象限上凹。

3. 当n为1时，幂函数的图像为直线y=ax，且通过原点。

三、幂函数的性质1、对任意实数a，b，c（a≠0,1）；n，m为正整数，有a^0=1,a^m*a^n=a^(m+n),(a^m)^n=a^(mn),(a*b)^m=a^m*b^m,(a/b)^m=a^m/b^ma^m/a^n=a^(m-n)2、a≠0,1时，当0<a<1时，a^m叫做小于1的幂，a^(−m)=1/a^m；大于1的幂。

a^m>1, 当m>1时 a^m>1, 当m<1时 a^m <1.0^0=1,0^m=0 (m>0).四、幂函数的运算规律1. 幂函数与常数的乘积：y=kx^n(k为常数)，则y=kx^n是一条幂函数的图像，图像基本形状不变，只经过纵向压缩或纵向拉伸。

若k>1，则图像纵向压缩；若0<k<1，则图像纵向拉伸。

2. 幂函数的平移：若对f(x)=x^n加常数c，则其图像向上平移c个单位；若对f(x)=x^n减常数c，则其图像向下平移c个单位。

3. 幂函数的镜像：幂函数关于y轴对称时，原函数的图像将对称于y轴；幂函数关于x轴对称时，原函数图像将对称于x轴。

4. 幂函数的复合函数：将两个幂函数进行复合运算时，其结果仍为幂函数。

五、幂函数的求导幂函数的导数运算利用幂函数的性质和指数函数的导数运算法则，以及利用导数的乘法法则与链式法则。