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第1讲 实数【回顾与思考】（1）实数的有关概念{}⎧⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎭⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数零负整数有理数有尽小数或无尽循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无尽不循环小数 负无理数①实数： 和 统称实数， 和数轴上的点是一一对应．．．．的。
（即：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。
） ②有理数: 和 的统称.任何一个有绿树都可以写成分数pq的形式，其中p 和q 是整数且最大公约数是1。
③无理数：无限 叫无理数，常见的有三类：① ；② ；③ ；④对实数进行分类，应先 ，后 。
(2)数轴：规定了 、 和 的直线叫做数轴(画数轴时，要注童上述规定的三要素缺一个不可)。
和数轴上的点是一一对应．．．．的。
（即：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。
）(3)相反数： 实数的相反数是一对数(只有 的两个数，叫做互为相反数，零的相反数是 )． 从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于 对称．(4)绝对值①从数轴上看，一个数的绝对值就是 的距离。
⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(||a a a a a a②一个正数的绝对值是 ，一个负数的绝对值是 ，零的绝对值是 。
(5)倒数： 实数a(a ≠0)的倒数是 (乘积为1的两个数，叫做互为倒数)；零 倒数．（6）平方根：如果 ,即 ，那么这个数x 叫做做a 的平方根（也叫二次方根）。
一个正数有 平方根，且互为相反数；0的平方根是 ；负数 平方根。
（7）算术平方根：如果 ，即 ，那么这个正数x 叫做a 的算．术．平方根，即x a =；特别规定0的算术平方根是 。
即00=。
（8）立方根：如果一个数x 的立方等于a ，即x 3=a ，那么这个数x 叫做a 的立方根（也叫三次方根），一个正数的立方根是 ；0的立方根是 ；负数的立方根是 。
中考必考实数知识点总结一、实数的概念实数是指包括有理数和无理数在内的所有数的集合。
有理数是指可以用分数表示的数，而无理数则是指不能用分数表示的数。
这两种数的集合统称为实数集。
在实数集中，有理数和无理数的性质有所不同。
有理数具有如下性质：有理数的加法、减法、乘法、除法运算封闭；有理数的加法和乘法满足交换律、结合律、分配律；有理数有加法和乘法单位元；有理数的加法有逆元。
而无理数则没有这些性质，它们通常以无限循环小数或者无限不循环小数的形式表示，例如π、√2等。
实数集是一个非常大的集合，其中包含了所有的数，因此实数的概念是数学中的一个基本概念。
二、实数的性质1. 实数的大小比较实数有着天然的大小比较关系，可以通过大小比较运算符来进行比较。
实数的大小比较主要是通过大小关系符号（大于、小于、大于等于、小于等于）来进行。
对于任意的实数a和b，有以下性质：（1）反身性：a ≥ a，a ≤ a（2）反对称性：如果a ≤ b且b ≤ a，则a = b（3）传递性：如果a ≤ b且b ≤ c，则a ≤ c这些性质在实数的大小比较中起着重要的作用，为我们提供了判断实数大小关系的依据。
2. 实数的运算性质实数的运算性质主要包括加法、减法、乘法、除法的性质。
实数的加法和乘法满足交换律、结合律、分配律，实数的除法有着特殊的性质。
（1）加法交换律：对于任意的实数a和b，有a + b = b + a（2）加法结合律：对于任意的实数a、b和c，有(a + b) + c = a + (b + c)（3）乘法交换律：对于任意的实数a和b，有a * b = b * a（4）乘法结合律：对于任意的实数a、b和c，有(a * b) * c = a * (b * c)（5）分配律：对于任意的实数a、b和c，有a*(b+c) = a*b + a*c（6）实数的除法：对于任意的实数a和b，如果b≠0，则存在唯一的实数c，使得a = b * c实数的运算性质是我们进行实数运算的基础，了解这些性质有利于我们掌握实数的运算规则，从而正确进行实数的运算。
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】中考总复习：实数—知识讲解 （基础）【考纲要求】1.了解有理数、无理数、实数的概念；借助数轴理解相反数、绝对值的概念及意义，会比较实数的大小；2.知道实数与数轴上的点一一对应，会用科学记数法表示有理数，会求近似数和有效数字；了解乘方与开方、平方根、算术平方根、立方根的概念，并理解这两种运算之间的关系，了解整数指数幂的意义和基本性质；3.掌握实数的运算法则，并能灵活运用.【知识网络】【考点梳理】考点一、实数的分类 1.按定义分类：⎧⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎨⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎩⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎪⎪⎫⎧⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩正整数自然数整数零有理数有限小数或无限循环小数负整数实数正分数分数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 2.按性质符号分类：⎧⎧⎧⎪⎨⎪⎨⎩⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎧⎪⎨⎪⎪⎨⎩⎪⎪⎪⎩⎩正整数正有理数正实数正分数正无理数实数零负整数负有理数负实数负分数负无理数 有理数：整数和分数统称为有理数或者“形如nm（m ，n 是整数n≠0）”的数叫有理数． 无理数：无限不循环小数叫无理数． 实数：有理数和无理数统称为实数． 要点诠释：常见的无理数有以下几种形式：（1）字母型：如π是无理数，24ππ、等都是无理数，而不是分数； （2）构造型：如2.10100100010000…（每两个1之间依次多一个0）就是一个无限不循环的小数；（33256、、，…都是一些开方开不尽的数；（4）三角函数型：sin35°、tan27°、cos29°等.考点二、实数的相关概念 1.相反数（1)代数意义：只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数．0的相反数是0； （2)几何意义：在数轴上原点的两侧，与原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数； （3)互为相反数的两个数之和等于0.a 、b 互为相反数⇔a+b=0. 2.绝对值（1)代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．可用式子表示为：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(a a a a a a （2)几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离．距离是一个非负数，所以绝对值的几何意义本身就揭示了绝对值的本质，即绝对值是一个非负数．用式子表示：若a 是实数，则|a|≥0． 要点诠释：若,a a =则0a ≥；-,a a =则0a ≤；-a b 表示的几何意义就是在数轴上表示数a 与数b 的点之间的距离. 3.倒数（1)实数(0)a a ≠的倒数是a1；0没有倒数； （2)乘积是1的两个数互为倒数．a 、b 互为倒数1a b ⇔⋅=.4.平方根（1)如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．a （a ≥0）的平方根记作a ±．（2)一个正数a 的正的平方根，叫做a 的算术平方根．a （a ≥0）的算术平方根记作a ． 5.立方根如果x 3=a ，那么x 叫做a 的立方根．一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；0的立方根仍是0．考点三、实数与数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴，数轴的三要素缺一不可．每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数． 要点诠释：（1）数轴的三要素：原点、正方向和单位长度. （2）实数和数轴上的点是一一对应的.考点四、实数大小的比较1.对于数轴上的任意两个点，靠右边的点所表示的数较大.2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数；绝对值大的反而小.3.对于实数a 、b ， 若a-b>0⇔a>b ；a-b=0⇔a=b ；a-b<0⇔a<b.4.对于实数a ，b ，c ，若a>b ，b>c ，则a>c.5.无理数的比较大小：利用平方转化为有理数：如果a>b>0， a 2>b 2⇔a>b b a >⇔；或利用倒数转化：如比较417-与154-.要点诠释：实数大小的比较方法：（1）直接比较法：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小.（2）数轴法：在数轴上，右边的数总比左边的数大.考点五、实数的运算 1.加法同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数．满足运算律：加法的交换律a+b=b+a ，加法的结合律(a+b)+c=a+(b+c)． 2.减法减去一个数等于加上这个数的相反数． 3.乘法两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.几个非零实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数有奇数个时，积为负．几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．乘法运算的运算律：（1）乘法交换律ab=ba ；（2）乘法结合律(ab)c=a(bc)；（3）乘法对加法的分配律a(b+c)=ab+ac ． 4.除法（1）除以一个数，等于乘上这个数的倒数．（2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数都得0． 5.乘方与开方（1)求n 个相同因数的积的运算叫做乘方，a n 所表示的意义是n 个a 相乘.正数的任何次幂是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数． （2)正数和0可以开平方，负数不能开平方；正数、负数和0都可以开立方． （3)零指数与负指数011(0)(0).pp a a aa a-==≠，≠ 要点诠释：加和减是一级运算，乘和除是二级运算，乘方和开方是三级运算．这三级运算的顺序是三、二、一．如果有括号，先算括号内的；如果没有括号，同一级运算中要从左至右依次运算．考点六、有效数字和科学记数法一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位．一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位为止，所有的数字，都叫做这个近似数的有效数字．精确度的形式有两种：（1）精确到哪一位；（2）保留几个有效数字.把一个数用±a ×10n （其中1≤＜10，n 为整数）的形式记数的方法叫科学记数法．要点诠释：（1）当要表示的数的绝对值大于1时，用科学记数法写成a ×10n ，其中1≤a ＜10，n 为正整数，其值等于原数中整数部分的数位减去1；（2）当要表示的数的绝对值小于1时，用科学记数法写成a ×10n ，其中1≤a ＜10，n 为负整数，其值等于原数中第一个非零数字前面所用零的个数的相反数（包括小数点前面的零）.【典型例题】类型一、实数的有关概念1．（1）a 的相反数是15-，则a 的倒数是_______．（2）实数a 、b 在数轴上对应点的位置如图所示: 2()a b ＋=______．0ab（3）（泉州市）去年泉州市林业用地面积约为10200000亩，用科学记数法表示为约____________．【答案】（1）5 ； （2）-a-b ； （3）1.02×107亩. 【解析】（1）注意相反数和倒数概念的区别，互为相反数的两个数只有性质符号不同，互为倒数的两个数要改变分子分母的位置；或者利用互为相反数的两个数之和等于0，互为倒数的两个数乘积等于1来计算.（2）此题考查绝对值的几何意义，绝对值和二次根式的化简.注意要去掉绝对值符号，要判别绝对值内的数的性质符号.由图知：20 0 |||| 0 ()||().a b a b a b a b a b a b a b ><<∴+<+=+=-+=--，，，，（3）考查科学记数法的概念.【点评】本大题旨在通过几个简单的填空，让学生加强对实数有关概念的理解． 举一反三：【变式】据市旅游局统计，今年“五·一”小长假期间，我市旅游市场走势良好，假期旅游总收入达到8.55亿元，用科学记数法可以表示为（ ）A ．8.55×106B ．8.55×107C ．8.55×108D ．8.55×109【答案】C.类型二、实数的分类与计算2．下列实数227、sin60°、3π、()02、3.14159、-9、()27--、8中无理数有（ ）个A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C.【解析】无理数有sin60°、3π、8. 【点评】对实数进行分类不能只看表面形式，应先化简，再根据结果去判断．举一反三：【高清课程名称： 实数 高清ID 号： 369214 关联的位置名称（播放点名称）：经典例题1】 【变式】在,30cos ,2π,)23(,4,8,14.30ο--,45tan ο,712,1010010001.0Λ,51-13.0%,3&&中，哪些是有理数? 哪些是无理数?【答案】03.14,4,(32),-,45tan ο,712,51-13.0%,3&&都是有理数；π8,,cos30,2-o 0.1010010001,L 都是无理数.3．（2015•梅州）计算：+|2﹣3|﹣（）﹣1﹣（2015+）0．【答案与解析】 解：原式=2+3﹣2﹣3﹣1=﹣1．【点评】该题是实数的混合运算，包括绝对值，0指数幂、负整数指数幂等．只要准确把握各自的意义，就能正确的进行运算．举一反三：【高清课程名称：实数 高清ID 号：369214 关联的位置名称（播放点名称）：经典例题8-9】 【变式1】计算：（2015•甘南州）计算：|﹣1|+20120﹣（﹣）﹣1﹣3tan30°．【答案】解：原式=﹣1+1﹣（﹣3）﹣3×=+3﹣=3．【变式2】计算：12004200320022001+⨯⨯⨯ 【答案】设n=2001，则原式=1)3)(2)(1(++++n n n n1)23)(3(22++++=n n n n （把n 2+3n 看作一个整体）=1)3(2)3(222++++n n n n =n 2+3n+1 =n(n+3)+1 =2001×2004+1 =4010005.类型三、实数大小的比较4．比较下列每组数的大小：（1）417-与154- （2）a 与a1（a ≠0） 【答案与解析】（11740174=>+，4150415=>+，174+与415+1744150>+>，174415-<- （2）当a<-1或O<a<1时，a<a 1； 当-1<a<0或a>1时，a>a1；当a=1±时，a=a1.【点评】（1）有时无理数比较大小，通过平方转化以后也无法进行比较，那么我们可以利用倒数关系比较；（2）这道题实际上是互为倒数的两个数之间的比较大小，我们可以利用数轴进行比较，我们知道，0没有倒数，±1的倒数等于它本身，这样数轴就被这3个数分成了4部分，下面就可以分类讨论每种情况.我们还可以利用函数图象来解决这个问题，把a1的值看成是关于a 的反比例函数，把a 的值看成是关于a 的正比例函数，在坐标系中画出它们的图象，可以很直观的比较出它们的大小.举一反三：【变式】比较下列每组数的大小： （1）817-和511- （2）52+和23+【答案】（1）将其通分，转化成同分母分数比较大小，1785840= ，1188540=， 171185<，所以171185->-.（2）()2257210740+=+=+，()232743748+=+=+，因为4048<，所以2532+<+.类型四、平方根的应用5．已知：x ，y 是实数，234690x y y ++-+=，若axy-3x=y ，则实数a 的值是_______.【答案】14. 【解析】234690x y y ++-+=，即234(3)0x y ++-=两个非负数相加和为0，则这两个非负数必定同时为0，∴340x +=，(y-3)2=0， ∴ x=43-， y=3 又∵axy-3x=y ， ∴ a=43()33134433x y xy ⨯-++==-⨯. 【点评】此题考查的是非负数的性质.类型五、实数运算中的规律探索6．细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题() ()()2122231112,22213,23314,2SSS+==+==+==L LS1S2S3S4S5OA1A2A3A4A5A611111（1）请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变化规律；（2）推算出OA10的长；（3）求出S12+ S22+ S32+…+ S102的值.【答案与解析】（1）由题意可知，图形满足勾股定理，()2,112nSnn n=+=+（2）因为OA1=1，OA2=2，OA3=3…，所以OA10=10（3）S12+ S22+ S32+…+ S102=2222)210()23()22()21(++++Λ=)10321(41++++Λ=455.【点评】近几年各地的中考题中越来越多的出现了一类探究问题规律的题目，这些问题素材的选择、文字的表述、题型的设计不仅考察了数学的基础知识，基本技能，更重点考察了创新意识和能力，还考察了认真观察、分析、归纳、由特殊到一般，由具体到抽象的能力.举一反三：【变式】图中是一幅“苹果图”，第一行有1个苹果，第二行有2个，第三行有4个，•第四行有8个，……你是否发现苹果的排列规律？猜猜看，第十行有______个苹果．【答案】29（512）.中考数学知识点代数式一、重要概念分类：1.代数式与有理式用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。
实数知识点总结归纳一、实数的定义1. 实数的定义实数是指包括有理数和无理数在内的所有数的集合。
有理数是可以表示为两个整数的比值的数，包括整数、分数和循环小数等；无理数是不能表示为有理数的数，如π和根号2等。
实数的概念是对一切可以在数轴上标出的点的统称。
2. 实数的表示实数可以用十进制数表示，包括整数部分和小数部分。
例如，数3.14是一个实数，3是它的整数部分，0.14是它的小数部分。
3. 实数的性质实数具有有限性、稠密性、连续性和比较性等基本性质。
有理数与无理数的性质有所不同，但它们都是实数的一部分。
二、实数的性质1. 实数的顺序性实数集合中任意两个数都可以比较大小，即对于任意a，b∈R，要么a＜b，要么a＝ b，要么a＞b。
2. 实数的稠密性实数集合中任意两个不相等的实数之间都有无穷多个实数。
例如，任意两个有理数之间必存在无理数，任意两个无理数之间必存在有理数。
3. 实数的加法性质实数的加法运算满足交换律、结合律和分配律。
对于任意a，b，c∈R，有a＋b＝b＋a，（a＋b）＋c＝a＋（b＋c），a（b＋c）＝ab＋ac。
4. 实数的乘法性质实数的乘法运算也满足交换律、结合律和分配律。
对于任意a，b，c∈R，有ab＝ba，（ab）c＝a（bc），a（b＋c）＝ab＋ac。
另外，实数0的乘法恒等于0，实数1的乘法恒等于自身。
5. 实数的整除性实数可以相互整除，如果a，b∈R，且a≠0，则必存在一个实数c，使得a＝bc。
这个性质表明了实数的整除性。
6. 实数的实数运算实数的加法、减法、乘法和除法都是封闭的，即对于任意a，b∈R，a＋b，a－b，ab，a/b∈R。
这意味着实数的四则运算可以得到实数。
7. 实数的有理数和无理数性质有理数和无理数的性质有所不同，其中有理数可以表示为有限小数、循环小数或分数，而无理数不能用这些形式表示。
三、实数的应用1. 实数在数轴上的表示实数可以用数轴上的点表示，数轴是一个无限延伸的直线，用来表示实数的大小和相对位置。
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2016中考数学第一轮复习第1讲—--—--—实数的有关概念知识点1：实数平行练习1:1。
四个数-5，—0.1，21，3中为无理数的是（）A. -5 B。
-0.1 C.21D. 32。
在实数:3。
14159，364，1.010010001…,4.21，π，227中，无理数的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3。
如图，在数轴上表示15的点可能是（）A。
P点 B。
Q点 C. M点 D。
N点4. 如图，已知在数轴上有点A和点B两个点，估计点A和点B之间表示整数的点有个，它们分别是 .第3题图第4题图知识点2:数轴（三要素：1、原点；2、正方向;3、单位长度。
）平行练习2：1. 如图为四位同学所画的数轴，其中正确的是（）A。
B。
C. D。
1。
整数（包括：正整数、0、负整数)和分数(可以表示为有限小数和无限循环小数）都是有理数．如：－3，，0。
231，0。
737373…,，.2。
无限不环循小数叫做无理数．◆常见的几种无理数：①根号型:如35,2等开方开不尽的数；②圆周率π型:如π，π—1等；0112A Bm 0 1 n 2。
如图,在数轴上点A 表示的数可能是（ ） A 。
中考数学实数知识点总结一、实数的分类1.1 整数整数包括正整数、负整数和零，是实数的一个重要子集。
在数轴上，整数可以表示为一串无限的点，它们相互之间间隔为1，负整数在零的左边，正整数在零的右边。
1.2 分数分数是实数的另一个重要子集，它是整数之间的比值。
分数可以表示为a/b，其中a和b 都是整数且b不等于0。
在数轴上，分数可以表示为两个整数之间的一个点，例如1/2的位置在整数1和整数2之间。
1.3 无理数无理数是不能被表示为有理数的数字，例如根号2、π等。
无理数有无限个小数位，它们的十进制展开是无限不循环的，因此不能被写成分数的形式。
在数轴上，无理数是分布在有理数之间的一些点。
1.4 正实数和负实数正实数是大于零的实数，负实数是小于零的实数。
在数轴上，正实数在零的右边，负实数在零的左边。
1.5 有理数和无理数有理数是可以表示为整数或整数之间的比值的数，包括整数和分数。
无理数是不能被表示为有理数的数，它们的十进制展开是无限不循环的。
1.6 实数的包含关系实数的包含关系可以用以下图示表示：```无理数| || |负实数正实数| || |分数整数| || ||-----|零```二、实数的运算2.1 实数的加法和减法实数的加法和减法遵循着一般的数学规律，即满足交换律、结合律和分配律。
例如，对于任意实数a、b和c，有以下运算规律：a +b = b + a(a + b) + c = a + (b + c)a * (b + c) = a * b + a * c减法运算可以看作是加法的逆运算，即a - b = a + (-b)。
2.2 实数的乘法和除法实数的乘法和除法也遵循着一般的数学规律，包括交换律、结合律和分配律。
不过需要注意的是，实数的除法要求除数不为零。
例如，对于任意实数a、b和c，有以下运算规律：a * b = b * a(a * b) * c = a * (b * c)a /b = a * (1/b)，其中b不等于零2.3 实数的乘方和开方乘方和开方是实数运算中常见的操作，它们分别对应着幂运算和根号运算。
专题01 实数的概念聚焦考点☆温习理解 一．实数的分类：.⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎭⎨⎩⎪⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎭⎩⎩正有理数有理数零有限小数和无限循环小数.负有理数实数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 注意：在理解无理数时，要注意“无限不循环”，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如3，32等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如23π+等；（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数，如sin60o等 二．绝对值一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。
零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。
三．相反数实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零）.从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=-b ，反之亦成立。
四、倒数如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。
倒数等于本身的数是1和-1。
零没有倒数。
五、平方根如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方根）。
一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
正数a 的平方根记做“a ±”。
正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作“a ”。
正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
20)(0)(a a a a a a ≥-≤⎧==⎨⎩ 六、立方根如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。
一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
注意：33a a -=-，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
名师点睛☆典例分类 考点典例一、实数的分类【例1】（2014·崇左）下列实数是无理数的是( )A ．2B ．1C ．0D ．1- 【答案】A ．考点：无理数.【点睛】理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项. 【举一反三】1.（2014·莱芜市）下列四个实数中，是无理数的为（ ） A ． 0 B ． -3 C ．8 D ．311【答案】C ．【解析】A 、0是整数，是有理数，此选项错误； B 、-3是整数，是有理数，此选项错误； C 、822=是无理数，此正确； D 、311是无限循环小数，是有理数，此选项错误． 故选C ．2.（2014·柳州市）下列选项中，属于无理数的是（）A． 2 B．π C．32D． -2【答案】B．【解析】π是无限不循环小数，故选B．3.（2014·常德市）下列各数：227，π，38，cos60°，0，3，其中无理数的个数是（）A． 1个B． 2个C． 3个D． 4个【答案】B．考点：无理数．考点典例二、绝对值【例2】（2014·常德）|﹣2|等于（）A． 2 B．﹣2 C．12D．12【答案】A．【解析】根据绝对值的性质可知：|﹣2|=2．故选A．【点睛】此题考查了绝对值的性质，要求掌握绝对值的性质及其定义，并能熟练运用到实际运算当中．绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．【举一反三】（2014·攀枝花市）2的绝对值是（）A．±2 B． 2 C．12D．﹣2【答案】B．【解析】试题分析：∵2的绝对值是2．故选B．考点典例三、相反数【例3】（2014·海南）5的相反数是( )A ．5B ．5-C ．51D ．51- 【答案】B.【解析】根据相反数的定义可知，5的相反数是-5. 故选B.【点睛】相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0. 【举一反三】1.（2014·泉州市）2014的相反数是（ ） A ． 2014 B ． ﹣2014 C ．12014D ． 12014-【答案】B.2.（2014·广安市】15-的相反数是（ ） A ．15B ． ﹣15C ． 5D ． ﹣5【答案】A.【解析】根据相反数的意义可知：15-的相反数是15. 故选A.考点典例四、倒数【例4】（2014·黔西南）12-的倒数是( )A.12 B. 2- C. 2 D. 12- 【答案】B ．【解析】根据倒数的定义，可求出12-的倒数是-2. 故选B ．【点睛】根据两个数乘积是1的数互为倒数的定义，因此求一个数的倒数即用1除以这个数．【举一反三】 1.（2014·长沙市）12的倒数是（ ） A 、2 B 、－2 C 、12 D 、－12【答案】A ．故选A ．2.（2014·本溪市）14-的倒数是（ ） A ． -4 B ．4 C ．14 D ．-14【答案】A ．【解析】根据负数的倒数是负数，结合倒数的定义知：14-的倒数是-4. 故选A ．考点典例五、平方根【例5】（2014·百色）化简100得（ ）A ． 100B ． 10C ．D ． ±10【答案】B【解析】210010==10， 故选B ．【点睛】本题考查了算术平方根，利用了开方运算．注意：当a ≥0时，2a a =；当a ≤0时，2a a =- 【举一反三】（2014·本溪市）一个数的算术平方根是2，则这个数是 【答案】2.【解析】利用算术平方根的定义计算即可得到结果．所以：4的算术平方根为2.课时作业☆能力提升 一．选择题1．（2014·呼和浩特）下列实数是无理数的是( )A ．–1B ．0C ．πD ．13【答案】C ．考点：无理数．2．（2014·潍坊）下列实数中是无理数的是( ) A ．227B.2-2C. 5.15D.sin450【答案】D. 【解析】试题分析：根据初中阶段无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，结合选项进行判断：A ．227是分数，不是无理数； B.2214-=是分数，不是无理数；C. 5.15是无限不循环小数，不是无理数；D.0sin4522=，是无理数. 故选D.考点：1.无理数；2. 特殊角的三角函数值． 3.（2014·襄阳）有理数53-的倒数是( )A ．53 B ．53- C ．35 D ．35-【答案】D ．试题分析：根据两个数乘积是1的数互为倒数的定义，因此求一个数的倒数即用1除以这个数．所以53-的倒数为53135⎛⎫÷-=- ⎪⎝⎭. 故选D ．考点：倒数． 4.（2014·南充）31-的值是（ ） A ．3 B ．－3 C ．13 D ．－13【答案】C 【解析】试题分析：负数的绝对值是它的相反数. 故选C . 考点：绝对值.5.（2014·珠海）12-的相反数是( )A ．2B ．12C ．2-D ．12- 【答案】B.考点：相反数.6.（2014·河北）2-是2的( )A 、倒数B 、相反数C 、绝对值D 、平方根 【答案】B. 【解析】试题分析：相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0. 因此是2的相反数. 故选B. 考点：相反数.7.（2014·重庆A ）实数-17的相反数是( )A. 17B.171 C. -17 D. 171-【解析】试题分析：相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0. 因此－17的相反数是17. 故选A. 考点：相反数.8.（2014·黄冈）8-的立方根是( )A. 2-B. ±2C. 2D. －12【答案】A.考点：立方根.9.（2014·潍坊）()231-的立方根是( ) A ．-1 B ．0 C ．1 D ． ±1 【答案】C. 【解析】试题分析：根据立方根的定义，求数a 的立方根，也就是求一个数x ，使得x 3=a ，则x 就是a 的一个立方根： ∵()211-=，∴()233111-==. ∴()231-的立方根是1. 故选C. 考点：立方根. 二．填空题10.（2014·镇江）5-= ． 【答案】5. 【解析】试题分析：根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义，在数轴上，点﹣5到原点的距离是5，所以，55-=.考点：绝对值.11.（2014·成都）计算：2-= . 【答案】2.考点：绝对值.12.（2014·苏州）32的倒数是．【答案】23.【解析】试题分析：根据两个数乘积是1的数互为倒数的定义，因此求一个数的倒数即用1除以这个数．所以32的倒数为322 11233÷=⨯=.考点：倒数13.（2014·玉林、防城港） 3的倒数是．【答案】13.【解析】试题分析：根据两个数乘积是1的数互为倒数的定义，因此求一个数的倒数即用1除以这个数．所以3的倒数为1 133÷=.考点：倒数.14.（2014·宁波）-4的绝对值是．【答案】4.考点：绝对值.【分析】根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义，在数轴上，点﹣4到原点的距离是4，所以﹣4的绝对值是4.15.（2014·河南）计算：3272--= .【答案】1.考点：1.立方根化简；2.绝对值.。
实数中考知识点总结一、实数的基本概念1. 实数的定义实数是指所有有理数与无理数的集合，包括有理数和无理数两类。
有理数是指所有可以写成分数形式的数，而无理数是指无法写成分数形式的数，比如π、√2 等。
2. 实数的表示实数可以用小数表示，比如 -2.3、0.5、3.14159 等。
也可以用分数表示，比如 -3/5、7/9 等。
实数还可以用无限不循环小数表示，比如π=3.1415926535...、√2=1.4142135623...等。
3. 实数的性质实数包括有理数和无理数，有理数可以进行四则运算和比较大小，无理数与有理数的加减乘除结果都是实数。
实数满足传递性、反对称性、加法和乘法的交换律、结合律、分配律等性质。
二、实数的运算1. 实数的加减实数的加法是指两个实数相加得到另一个实数，减法是指一个实数减去另一个实数得到另一个实数。
实数的加减法遵循交换律和结合律，满足消去律。
2. 实数的乘除实数的乘法是指两个实数相乘得到另一个实数，除法是指一个实数除以另一个非零实数得到另一个实数。
实数的乘除法也满足交换律和结合律，但要注意除数不能为零。
3. 实数的幂和根实数的幂是指一个实数的正整数次方或零次方，可以用 a^n 表示，其中 a 是底数，n 是指数。
实数的根是指一个实数的平方根、立方根或 n 次根，可以用√a、³√a 或 a^(1/n) 表示。
4. 实数的混合运算实数的混合运算是指加减乘除、幂根等多种运算混合在一起进行，要根据运算符的优先级和结合性来确定运算次序。
三、实数的大小关系1. 实数的大小比较在实数中，可以用大小关系符号（>、<、≥、≤）来表示两个实数的大小关系。
要注意有理数和无理数之间的大小关系，以及绝对值的概念。
2. 实数的比较运算实数的比较运算是指通过大小关系符号来比较两个实数的大小，比如 a>b、a≤b 等。
还可以通过绝对值来比较两个实数的大小，比如 |a|>|b|、|a|<|b| 等。
实数
教学课题实数
教学目标让学生学会估算的方法，明白实数的分类，以及二次根式的定义
教学重点
与难点
重点：平方根、立方根
难点：二次根式
一、作业检查
二、内容回顾
三、知识整理
知识点一、实数
1、无理数的定义
实数的定义：有理数和无理数统称为实数。
2、实数的分类：
3、有理数
事实上，任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数。
反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。
除去有限小数和无限循环小数，剩下无限不循环小数，所以，无限不循环的小数叫做无理数。
填空：
把下列各数填入相应的集合内
有理数集合：。
