1有理数和实数

（1）有理数、实数 〖考试内容〗有理数，数轴，相反数，数的绝对值；平方根，算术平方根，立方根.无理数，实数.近似数与有效数字. 〖考试要求〗①理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小.②借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数与绝对值（绝对值符号内不含字母）.③了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根.④了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根.会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根.⑤了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应.⑥能用有理数估计一个无理数的大致范围. ⑦了解近似数与有效数字的概念，在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，并按问题的要求对结果取近似值.⑧会用科学记数法表示数（包括在计算器上表示）〖考点复习〗1．正数、负数[例1]（2005大连）气温升高1°记做＋1°，气温下降6°记做_________。

2．相反数、绝对值、倒数[例2] （2005常州）31-的相反数是 ，31-的绝对值是 ， 31-的倒数是 ． 3．有理数、无理数和实数[例3] （2005常州）在下列实数中，无理数是（） A 、5 B 、0 C 、7 D 、5144．数轴[例4] 4．（2005连云港）北京等5个城市的国际标准时间（单位：小时）可在数轴上表示如下：如果将两地国际标准时间的差简称为时差，那么（ ）A ．汉城与纽约的时差为13小时B ．汉城与多伦多的时差为13小时C ．北京与纽约的时差为14小时D ．北京与多伦多的时差为14小时 5．平方根、立方根[例5]（2005无锡）4的平方根是________，8的 立方根是________。

6．科学记数法[例6]（2005福州）接《法制日报》2005年6月8日报道，1996年至2004年8年 全国耕地面积共减少114000000亩，用科学记数法表示为（ ）A 、1.14×106B 、1.14×107C 、1.14×108D 、0.114×1097．有理数的比较 [例7]（2005无锡）比较41,31,21--的大小，结果正确的是（ ） A 、413121<-<-B 、314121-<<-C 、213141-<-<D 、412131<-<-8．估算[例8] （2005安徽）5. 一批货物总重1.4×107kg, 下列可将其一次性运走的合适运输工具是 ( )A. 一艘万吨巨轮B. 一架飞机C. 一辆汽车D. 一辆板车〖考题训练〗1．（2005福州）吐鲁番盆地低于海平面155m ，记作—155m 。

第一章有理数1.1正数和负数以前学过的０以外的数叫做正数。

以前学过的0以外的数前面加上负号“－”的书叫做负数。

数０既不是正数也不是负数，０是正数与负数的分界。

在同一个问题中，分别用正数和负数表示的量具有相反的意义1.2有理数1.2.1有理数正整数、0、负整数统称整数，正分数和负分数统称分数。

整数和分数统称有理数。

无理数：无限不循环小数实数：①实数分有理数和无理数。

②在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义和有理数范围内的相反数，倒数，绝对值的意义完全一样。

③每一个实数都可以在数轴上的一个点来表示。

1.2.2数轴规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。

数轴的作用：所有的实数都可以用数轴上的点来表达。

注意事项：⑴数轴的原点、正方向、单位长度三要素，缺一不可。

⑵同一根数轴，单位长度不能改变。

一般地，设是一个正数，则数轴上表示a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；表示数－a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度。

1.2.3相反数只有符号不同的两个数叫做互为相反数。

数轴上表示相反数的两个点关于原点对称。

在任意一个数前面添上“－”号，新的数就表示原数的相反数。

1.2.4绝对值一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。

一个正数的绝对值是它的本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。

在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数。

比较有理数的大小：⑴正数大于0，0大于负数，正数大于负数。

⑵两个负数，绝对值大的反而小。

1.3有理数的加减法1.3.1有理数的加法有理数的加法法则：⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

⑵绝对值不相等的饿异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

互为相反数的两个数相加得0。

⑶一个数同0相加，仍得这个数。

两个数相加，交换加数的位置，和不变。

加法交换律：a＋b＝b＋a三个数相加，先把前面两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。

第13章实数一、知识要点：1.有理数：整数和分数统称为有理数。

有理数都可以表示为有限小数或无限循环小数，如可表示为0.4，可表示为等等；所有形如(m, n为互质的整数，n≠0)的数都是有理数。

2.无理数：无限不循环小数叫做无理数，无理数不能表示成分数的形式。

如：π，，- ，- ……。

3.实数：有理数和无理数统称为实数。

我们一般用下列两种情况将实数进行分类：4.实数与数轴上的点是一一对应的。

每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反之数轴上的每一个点又都表示一个实数。

5.实数的相反数：如果a表示一个正实数，-a就表示一个负实数。

又如果a表示一个负实数，则-a表示一个正实数。

a与-a互为相反数。

0的相反数仍是0。

如π与-π，与- ，m与-m…均互为相反数。

6.实数的绝对值：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。

即如果a是一个实数，则有|a|=例如，|- |= ，|-π|=π，| |= ，| - |=-( - )= - …注意：-a(a<0)是正数，例如：-( - )7.平方根：①如果一个正数X的平方等于A，那么这个正数X就叫做A的算术平方根。

②如果一个数X的平方等于A，那么这个数X就叫做A的平方根。

③一个正数有2个平方根/0的平方根为0/负数没有平方根。

④求一个数A的平方根运算，叫做开平方，其中A叫做被开方数。

8.立方根：①如果一个数X的立方等于A，那么这个数X就叫做A的立方根。

②正数的立方根是正数/0的立方根是0/负数的立方根是负数。

③求一个数A的立方根的运算叫开立方，其中A叫做被开方数。

9. 有理数的运算加法：①同号相加，取相同的符号，把绝对值相加。

②异号相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

③一个数与0相加不变。

减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。

乘法：①两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。

初中数学有理数和实数有什么区别有理数和实数是数学中两个重要的数集，它们之间有着明确的区别。

下面我将详细介绍有理数和实数的定义、性质和区别。

1. 有理数：有理数是可以表示为两个整数的比的数，其中分子和分母都是整数，且分母不为零。

有理数包括整数、有限小数和无限循环小数。

例如，1、2/3、-5、0.25和3.1416（无限循环小数）都是有理数。

性质：-有理数的加法、减法、乘法和除法都是封闭的，即两个有理数之间进行运算仍然得到一个有理数。

-有理数可以用分数形式表示，且可以化简为最简分数。

-有理数可以进行精确计算，因为有理数的小数表示形式要么是有限的，要么是循环的。

2. 实数：实数是包括有理数和无理数在内的所有数的集合。

实数包括有理数和无理数，可以表示为有限小数、无限循环小数和无限不循环小数。

实数是数学中最常用的数集，包括所有的测量结果和数学运算的结果。

性质：-实数的加法、减法、乘法和除法都是封闭的，即两个实数之间进行运算仍然得到一个实数。

-实数可以用小数形式表示，可以是有限的、循环的或无限不循环的。

-实数具有完备性，即实数集中的任何一个非空子集都有上确界和下确界。

区别：-有理数是可以表示为两个整数的比的数，而实数包括有理数和无理数。

-有理数的小数表示要么是有限的，要么是循环的，而实数的小数表示可以是有限的、循环的或无限不循环的。

-有理数的运算是精确的，而实数的运算可以进行精确计算或近似计算。

在数学中，实数是最基本的数集，它们广泛应用于各个领域，包括计算、几何、物理、工程等。

希望以上内容能够帮助你深入理解有理数和实数的定义、性质和区别。

1.1.01实数的概念【知识要点】一、实数的概念：1.有理数：可以写成p /q 的形式的重要特征，其中p 、q 是互质的整数。

2.无理数：要抓住“无限不循环”这一实质。

常见有四类：开不尽的方根；特定结构的数；特定意义的数；某些三角函数。

注意：判断实数的类型不能仅凭表面上的感觉，要根据循环性进行判断。

二、实数的三宝：1.数轴：三要素是 、 、 ；实数和数轴上的点是 关系。

2.相反数：(1)a 的相反数是 ；(2)a 、b 互反⇔a ＋b ＝ ；(3) a 、b 互反⇔a 、b 在数轴上的点 。

倒数：(1)a (a ≠0)的倒数是 ；(2)a 、b 互倒⇔ab ＝ ；(3)0无倒数，a 与a 的倒数符号 。

3.绝对值：(1)代数意义： ()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=000＜＝＞a a a a ，因此，实数的绝对值是一个 数。

(2)几何意义：从数轴上看，|a |就是表示a 的点到 的距离。

注意：去绝对值符号(化简)时，必须要对符号里面的数进行数性(正、负)分析。

三、实数的比较：1.在数轴上，右边的数总比左边的数大。

2.正数大于0；负数小于0；正数大于一切负数；两个负数绝对值大的反而小。

【典型例题】1.相反数等于本身的数是 ，倒数等于本身的数是 ，绝对值等于本身的数是 ，绝对值等于相反数的数是 ，绝对值等于倒数的数是 ，1.平方等于本身的数是 ，平方根等于本身的数是 ，算术平方根等于本身的数是 ，立方等于本身的数是 ，立方根等于本身的数是 ，平方根等于算术平方根的数是 ，立方根等于倒数的数是 。

2.实数a 、b 在数轴上的对应位置如图所示，且b a 。

化简：a b b a a --+-3.若333)43(,)43(,)43(--=-=-=c b a ，比较a 、b 、c 的大小。

4.已知a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，m 的绝对值是1，求2m cd m b a +-+的值。

【课后练习】1.在下列各组中， 表示互为相反意义的量。

实数与有理数的关系知识点实数与有理数是数学中的两个重要概念，它们在数学中有着密切的联系和关系。

有理数是可以表示为两个整数之比的数，而实数则包括了有理数和无理数。

在本文中，我们将探讨实数与有理数之间的关系及其相关的知识点。

一、实数的定义实数是包括有理数和无理数的数集。

有理数是可以表示为两个整数之比的数，而无理数则不能表示为这种比值。

实数可以用无限的十进制小数来表示，例如π和黄金分割比就是无理数。

二、有理数的定义与性质有理数是可以写成两个整数之比的数，即可以表示为分数的形式。

有理数的定义可以表示为：多项式方程的根是有理数。

有理数的性质如下：1. 加法性质：有理数的加法满足交换律、结合律和消去律。

2. 减法性质：有理数的减法可以转化为加法运算。

3. 乘法性质：有理数的乘法也满足交换律、结合律和消去律。

4. 除法性质：有理数的除法可以转化为乘法运算，并且除以非零有理数的结果还是有理数。

三、实数与有理数的关系实数包括了有理数和无理数，因此每个有理数也是一个实数。

换句话说，实数是有理数的一个更广泛的概念。

实数与有理数的关系可以用以下公式表示：实数集 = 有理数集 + 无理数集由于实数集包括了有理数和无理数，所以实数集比有理数集更为庞大和广泛。

实数是一种更加完备和包容的数集。

四、实数的分类实数可以进一步被分类为代数数和超越数。

1. 代数数：代数数是可以表示为一个多项式方程的根的实数。

代数数包括有理数和一些无理数，例如平方根、立方根等。

2. 超越数：超越数是无法表示为任何多项式方程的根的实数。

超越数包括无理数中的大多数，如π和e等。

五、实数与有理数的运算实数与有理数的运算遵循相应的运算法则，如加法、减法、乘法和除法等。

对于有理数的运算，由于有理数集合本身具有封闭性，所以运算结果也一定是有理数。

六、实数与有理数的应用实数和有理数在科学、工程、经济学等领域具有广泛的应用。

在测量、计算和建模等方面，更是离不开实数和有理数的运用。

有理数剖析1.什么是有理数有理数是整数和分数的统称，除了无限不循环小数以外的数都统称有理数。

它可分为整数和分数，也可分为正有理数，零，负有理数。

有理数是整数和分数的集合，但是一切有理数又都可以化成分数的形式，因为整数也可看做是分母为一的分数。

有理数的小数部分是有限或者无限循环的数。

不是有理数的实数称为无理数，即无理数的小数部分是无限不循环的数。

2.有理数例子以下都是有理数：(1)自然数：数0,1,2,3,……叫做自然数.(2)正整数：+1,+2,+3,……叫做正整数.(3）整数：正整数、0、负整数统称为整数.(4）分数：正分数、负分数统称为分数.(5）奇数：不能被2整除的整数叫做奇数.如-3,-1,1,5等.所有的奇数都可用2n-1或2n+1表示,n为整数.(6）偶数：能被2整除的整数叫做偶数.如-2,2,4,8等.所有的偶数都可用2n表示,n为整数.(7）质数：如果一个大于1的整数,除了1和它本身外,没有其他因数,这个数就称为质数,又称素数,如2,3,11,13等.2是最小的质数.(8）合数：如果一个大于1的整数,除了1和它本身外,还有其他因数,这个数就称为合数,如4,6,9,15等.4是最小的合数.一个合数至少有3个因数.如3,-98.11,5.72727272……,7/22都是有理数.全体有理数构成一个集合,即有理数集,用粗体字母Q表示,较现代的一些数学书则用空心字母Q表示.有理数集是实数集的子集,即Q?R.相关的内容见数系的扩张.有理数集是一个域,即在其中可进行四则运算（0作除数除外）,而且对于这些运算,以下的运算律成立（a、b、c等都表示任意的有理数）：①加法的交换律 a+b=b+a；②加法的结合律 a+(b+c)=(a+b)+c；③存在数0,使 0+a=a+0=a；④乘法的交换律 ab=ba；⑤乘法的结合律 a(bc)=(ab)c；⑥乘法的分配律 a(b+c)=ab+ac.0a=0 一个数乘0还等于0.此外,有理数是一个序域,即在其上存在一个次序关系≤.0的绝对值还是0.有理数还是一个阿基米德域,即对有理数a和b,a≥0,b>0,必可找到一个自然数n,使nb>a.由此不难推知,不存在最大的有理数.值得一提的是有理数的名称.“有理数”这一名称不免叫人费解,有理数并不比别的数更“有道理”.事实上,这似乎是一个翻译上的失误.有理数一词是从西方传来,在英语中是（rational number）,而（rational）通常的意义是“理性的”.中国在近代翻译西方科学著作,依据日语中的翻译方法,以讹传讹,把它译成了“有理数”.但是,这个词来源于古希腊,其英文词根为（ratio）,就是比率的意思（这里的词根是英语中的,希腊语意义与之相同）.所以这个词的意义也很显豁,就是整数的“比”.与之相对,而“无理数”就是不能精确表示为两个整数之比的数,而并非没有道理（无理数就是无限不循环小数,π也是其中一个无理数）.。

是：1/a （a≠0）(1)代数式：代数式是由运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连结而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式．带有“<(≤)”“>(≥)”“=”“≠”等符号的不是代数式。

(2)代数式的值；用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果p叫做代数式的值．求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．(3)代数式的分类2．整式的有关概念(1)单项式：只含有数与字母的积的代数式叫做单项式．对于给出的单项式，要注意分析它的系数是什么，含有哪些字母，各个字母的指数分别是什么。

(2)多项式：几个单项式的和，叫做多项式对于给出的多项式，要注意分析它是几次几项式，各项是什么，对各项再像分析单项式那样来分析(3)多项式的降幂排列与升幂排列把一个多项式按某一个字母的指数从大列小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列把—个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列，给出一个多项式，要会根据要求对它进行降幂排列或升幂排列．(4)同类项所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项，叫做同类顷．要会判断给出的项是否同类项，知道同类项可以合并．即其中的X可以代表单项式中的字母部分，代表其他式子。

3．整式的运算(1)整式的加减：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接．整式加减的一般步骤是：(i)如果遇到括号．按去括号法则先去括号：括号前是“十”号，把括号和它前面的“+”号去掉。

括号里各项都不变符号，括号前是“一”号，把括号和它前面的“一”号去掉．括号里各项都改变符号．(ii)合并同类项：同类项的系数相加，所得的结果作为系数．字母和字母的指数不变．(2)整式的乘除：单项式相乘(除)，把它们的系数、相同字母分别相乘(除)，对于只在一个单项式(被除式)里含有的字母，则连同它的指数作为积(商)的一个因式相同字母相乘(除)要用到同底数幂的运算性质：多项式乘(除)以单项式，先把这个多项式的每一项乘(除)以这个单项式，再把所得的积(商)相加．多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．(3)因式分解：把多项式写成几个整式相乘的积的形式。