北师大版九年级数学上专项训练：特殊的平行四边形同步测试题.docx

3.2特殊平行四边形（时间100分钟满分：100分）教材跟踪训练（一）填空题（共16分）1. （2分）矩形除了具备平行四边形的性质外，还有一些特殊性质：四个角_______ ，对角线2. （1分）在矩形ABCD中，对角线ACBD交于点0,若AOB 100°，则OAB .3. （1分）已知菱形一个内角为120°，且平分这个内角的一条对角线长为8cm,则这个菱形的周长为4. （3分）矩形的两条对角线把这个矩形分成了四个_____________ 三角形.菱形的两条对角线把这个菱形分成了四个___________ 三角形.正方形的两条对角线把这个正方形分成了四个三角形.5. （2分）如图，把两个大小完全相同的矩形拼成“ L”型图案，则FAC _ 「FCA6. （2分）正方形的边长为a，则它的对角线长___________ ，若正方形的对角线长为b，它的边长为______ . _____7. （1分）边长为a的正方形，在一个角剪掉一个边长为的b正方形，则所剩余图形的周长为8. （4分）顺次连接四边形各边中点，所得的图形是顺次连接对角线的四边形的各边中点所得的图形是矩形.顺次连接对角线______________ 的四边形的各边中点所得的四边形是菱形.顺次连接对角线________________ 的四边形的各边中点所得的四边形是正方形.（二）选择题（每小题2分，共14分）1. 正方形具备而菱形不具备的性质是（）A.对角线互相平分B. 对角线互相垂直C.对角线相等D. 每条对角线平分一组对角2. 下列命题是真命题的是（）A.有一个角是直角的四边形是矩形B.有一组邻边相等的四边形是菱形C.有三个角是直角的四边形是矩形D. 有三条边相等的四边形是菱形3. 从菱形的钝角顶点，向对角的两边条垂线，垂足恰好在该边的中点，则菱形的内角中钝角的度数是（）A.150oB. 135oC. 120oD. 100o4. 顺次连接一个四边形的各边中点，得到了一个矩形，则下列四边形满足条件的是（）①平行四边形②菱形③等腰梯形④对角线互相垂直的四边形A.①③B.②③C.③④D. ②④5. 在平行四边形、菱形、矩形、正方形中，能够找到一个点，使该点到各顶点距离相等的图形是（）A.平行四边形和菱形B.菱形和矩形C.矩形和正方形D.菱形和正方形6. 矩形的边长为10cm和15cm,其中一个内角的角平分线分长边为两部份，这两部份的长为（）A.6cm 和9cmB. 5cm 和10 cmC. 4cm 和11cmD. 7cm 和8cm7. 如图，点E是正方形ABCD寸角线AC上一点，AF BE于点F,交BD于点G,则下述结论中不成立的是（）A.AG=BEB. △ABG^A BCEC.AE=DGD.Z AGD2 DAG（三）解答题（每小题3分，共21分）1. 已知：如图Rt △ ABC中，/ ACB= 90°, CD为/ ACB的平分线，DEI BC于点E, DF丄AC于点F.求证：四边形CEDF是正方形.2. 已知，AD>^ ABC的角平分线，DE// AC交AB于点E, DF// AB交AC于点F. 求证：四边形AEDF 是菱形.3. 求证：顺次连接一个等腰梯形的各边中点，所得到的四边形是菱形4. 如图，△ ABC中，BD。

第一章 特殊平行四边形一 选择题(共10小题,每小题3分,共30分.每小题有四个选项,其中只有一个选项符合题意)1.如图,在矩形ABCD 中,对角线AC ,BD 相交于点O ,下列说法不正确的是 ( )A.AB ∥DCB.AC=BDC.AC ⊥BDD.OA=OB(第1题) (第2题)2.如图,菱形ABCD 的对角线AC ,BD 相交于点O ,E 为AD 的中点,连接OE ,若OE=3,则菱形ABCD 的周长为 ( )A.10B.12C.16D.243.如图,正方形ABCD 的对角线AC ,BD 相交于点O ,P 为边BC 上一点,且BP=OB ,则∠COP= ( ) A.15° B.22.5° C.25°D.17.5°(第3题) (第4题)4.如图,在矩形ACBE 中,∠ABC=30°,AB 交CE 于点D ,若AC=2,则CD 的长为 ( )A.2B.3C.4D.55.如图,EF 过矩形ABCD 的对角线的交点O ,且分别交AB ,CD 于点E ,F ,那么阴影部分的面积是矩形ABCD 面积的 ( )A.15B.14C.13D.310(第5题) (第6题)6.如图,已知▱ABCD 的对角线AC ,BD 相交于点O ,下列说法正确的是( ) A.当OA=OB 时,▱ABCD 为菱形 B.当AB=AD 时,▱ABCD 为正方形 C.当∠ABC=∠BCD 时,▱ABCD 为矩形 D.当AC ⊥BD 时,▱ABCD 为正方形7.如图,在矩形ABCD 中,BC=8,AB=4,点E ,F 分别为AD 和BC 的中点,连接CE ,DF ,交于点O ,连接AO ,则AO 的长为( )A.2√10B.5√2C.32√10 D.4√2(第7题)(第8题)8.如图,在四边形ABCD中,点E,F,G,H分别是AB,BD,CD,AC的中点,要使四边形EFGH是菱形,四边形ABCD应满足的一个条件是()A.AD=BCB.AC⊥BDC.AC=BDD.AB=CD9.如图,边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB'C'D',边B'C'与DC 相交于点O,则OC的长是() A.2√2-2 B.2+√2 C.2-√2 D.√2(第9题)(第10题)10.如图,把矩形ABCD沿EF翻折,点B恰好落在AD边的B'处,若AE=2,DE=6,∠EFB=60°,则矩形ABCD的面积是() A.12 B.24 C.12√3 D.16√3二填空题(共5小题,每小题3分,共15分)11.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB的中点,若∠A=26°,则∠DCA=.(第11题)(第12题)12.如图,在平面直角坐标系中,矩形木框OABC的顶点B的坐标为(1,2),若固定OA,向左推矩形木框OABC,使点B落在y轴上的点B'处,则点C的对应点C'的坐标为.13.对下列现象中蕴含的数学原理阐述正确的是(填序号).图(1)图(2)图(3)①如图(1),工人师傅在做矩形门窗时,不仅要测量出两组对边的长度相等,还要测量出两条对角线的长度相等,以确保门窗是矩形.其依据是“对角线相等的四边形是矩形”.②如图(2),将两张等宽的矩形纸条交叉叠放在一起,重合部分构成的四边形ABCD一定是菱形.其依据是“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”.③把一张矩形纸片按图(3)的方式折一下,然后沿EF裁剪,打开就可以得到正方形.其依据是“有一组邻边相等的矩形是正方形”.14.如图,P是正方形ABCD的对角线BD上一点,PE⊥DC于点E,PF⊥BC于点F,若CF=3,CE=4,则AP的长是.(第14题)(第15题)15.如图,在边长为6的菱形ABCD中,∠DAB=60°,E为AB的中点,F为AC上一动点,连接EF,BF,则EF+BF的最小值是.三解答题(共6小题,共55分)16.(7分)如图,正方形ABCD中,点E,F分别在边CD,AD上,DE=AF,BE与CF相交于点G.(1)求证:BE=CF.(2)若BC=4,DE=1,求CF的长.17.(8分)如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点B作AC的平行线交DC的延长线于点E.(1)求证:BD=BE.(2)若BE=10,CE=6,连接OE,求△ODE的面积.18.(8分)如图,在矩形ABCD中,AB=3 cm,BC=6 cm.点P从点D出发向点A运动,运动到点A即停止;同时,点Q从点B出发向点C运动,运动到点C即停止.点P,Q的速度都是1 cm/s.连接PQ,AQ,CP.设点P,Q运动的时间为t s.(1)当t为何值时,四边形ABQP是矩形?(2)当t为何值时,四边形AQCP是菱形?19.(9分)如图(1),在菱形纸片ABCD中,∠A=45°.对其进行如下操作:如图(2),现将纸片进行折叠,使点A与点D重合,点C与点D重合,折痕分别为EG,FH,且两条折痕的延长线交于点O.(1)求∠EOF的度数;(2)四边形DGOH是菱形吗?请说明理由.图(1)图(2)20.(10分)我们给出如下定义:把对角线互相垂直的四边形叫做“对角线垂直四边形”.如图(1),在四边形ABCD中,AC⊥BD于点O,四边形ABCD就是“对角线垂直四边形”.(1)下列四边形,一定是“对角线垂直四边形”的是.①平行四边形,②矩形,③菱形,④正方形.(2)如图(2),在“对角线垂直四边形ABCD”中,点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点.求证:四边形EFGH是矩形.图(1)图(2)(3)小明说:计算“对角线垂直四边形”的面积可以仿照求菱形的面积的方法,其面积是对角线长的乘积的一半.小明的说法正确吗?如果正确,请结合图(1)说明理由;如果不正确,请给出反例.21.(13分)如图(1),矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点D作DP∥OC,且DP=OC,连接CP.(1)猜想:请你判断四边形CODP的形状,并说明理由.(2)证明:如果将矩形变为菱形,如图(2),请你判断四边形CODP的形状,并说明理由.(3)应用:如果将矩形变为正方形,如图(3),请你判断四边形CODP的形状,并说明理由.图(1)图(2)图(3)答案解析1.C根据矩形的性质可知,矩形的对角线不一定互相垂直.故选C.【归纳总结】矩形的有关性质①边,矩形的对边平行且相等;②角,矩形的四个角都是直角;③对角线,矩形的对角线互相平分且相等.2.D根据菱形的性质可知,O是AC的中点.∵E为AD的中点,∴OE为△ACD的中位线,∴CD=2OE=6.又菱形的四边相等,∴菱形ABCD的周长为6×4=24.故选D.【一题多解】由题意得∠AOD=90°.在Rt△AOD中,∵E为AD的中点,∴AD=2OE=2×3=6,∴菱形ABCD的周长为6×4=24.故选D.3.B∵四边形ABCD是正方形,∴∠BOC=90°,∠OBC=45°.∵BP=OB,∴∠BOP=∠BPO=12(180°-45°)=67.5°,∴∠COP=90°-67.5°=22.5°.故选B.4.A∵四边形ACBE是矩形,∴∠ACB=90°,D为AB的中点.∵AC=2,∠ABC=30°,∴AB=2AC=4,∴CD=12AB=2,故选A.5.B∵四边形ABCD为矩形,∴OB=OD,AB∥CD,∴∠EBO=∠FDO.在△EBO与△FDO中,∵∠EOB=∠FOD,OB=OD,∠EBO=∠FDO,∴△EBO≌△FDO,∴S阴影部分=S△AEO+S△EBO=S△AOB.∵S△AOB=12S△ABC=14S矩形ABCD,∴S阴影部分=14S矩形ABCD.故选B.【数学思想】本题利用全等三角形把不规则图形的面积转化为较简单的规则图形的面积,进而利用整体思想求解.6.C∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD.又OA=OB,∴AC=BD,由“对角线相等的平行四边形是矩形”,可判定▱ABCD为矩形,故选项A中说法错误.当AB=AD时,由菱形的定义可知,▱ABCD为菱形,故选项B中说法错误.∵在▱ABCD中,AB∥CD,∴∠ABC+∠BCD=180°.又∠ABC=∠BCD,∴∠ABC=90°.由矩形的定义,可判定▱ABCD为矩形,故选项C中说法正确.当AC⊥BD时,根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”,可判定▱ABCD为菱形,但无法判定其为正方形,故选项D中说法错误.故选C.7.A连接EF,过点O作OM⊥AD于点M,易证四边形EFCD为正方形,∴OM=MD=12AB=2,∴AM=6.在Rt△AOM中,由勾股定理,得AO=√AM2+OM2=2√10.8.A∵点E,F,G,H分别是AB,BD,CD,AC的中点,∴GH∥AD,EF∥AD,FG∥BC,HE∥BC,且GH=12AD,EH=12BC,∴EF∥GH,HE∥FG,∴四边形EFGH是平行四边形.当AD=BC时,GH=EH,此时平行四边形EFGH是菱形.故选A.9.C如图,连接B'C,AC.∵旋转角∠BAB'=45°,∠BAC=45°,∴点B'在对角线AC上.∵AB=AB'=BC=1,∴AC=√2,∴B'C=√2-1.在等腰直角三角形OB'C中,OB'=B'C=√2-1,∴OC=√2(√2-1)=2-√2.故选C.10.D在矩形ABCD中,∵AD∥BC,∴∠DEF=∠EFB=60°.由翻折可知,∠EFB'=60°,∠A'B'F=∠B=90°,∠A'=∠A=90°,A'E=AE=2,A'B'=AB.在△EFB'中,∵∠B'EF=∠EFB'=60°,∴△EFB'是等边三角形.在Rt△A'EB'中,∵∠A'B'E=90°-60°=30°,∴B'E=2A'E=4,∴A'B'=2√3,即AB=2√3.∵AE=2,DE=6,∴AD=AE+DE=2+6=8,∴矩形ABCD的面积=AB·AD=2√3×8=16√3.故选D.AB=AD,∴∠DCA=∠A=26°.11.26°【解析】∵∠ACB=90°,D是AB的中点,∴DC=1212.(-1,√3)【解析】∵四边形OABC是矩形,点B的坐标为(1,2),∴OA=1,AB=2.由题意得AB'=AB=2,四边形OAB'C'是平行四边形,∴OB'=√AB'2-OA2=√3,B'C'=OA=1,∴点C的对应点C'的坐标为(-1,√3).13.②③【解析】①∵两组对边的长度相等,∴四边形是平行四边形.又对角线相等,∴该平行四边形是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形),故①错误.②如图,由矩形的对边平行,可得AB∥CD,AD∥BC,∴四边形ABCD是平行四边形.过点D分别作AB,BC边上的高DE,DF,则DE=DF.∵平行四边形ABCD的面积=AB×DE=BC×DF,∴AB=BC,∴平行四边形ABCD为菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形),故②正确.③根据折叠可知,所得到的四边形有三个直角,∴该四边形为矩形.又有一组邻边相等,∴该矩形为正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形),故③正确.故正确的阐述为②③.14.5【解析】如图,连接PC.∵四边形ABCD是正方形,∴AD=DC,∠ADP=∠CDP.∵PD=PD,∴△APD≌△CPD,∴AP=CP.∵四边形ABCD是正方形,∴∠DCB=90°.∵PE⊥DC,PF⊥BC,∴四边形PFCE是矩形,∴PC=EF.在Rt△CEF中,EF=√CE2+CF2=√42+32=5,∴AP=CP=EF=5.15.3√3【解析】∵四边形ABCD是菱形,∴点B,D关于AC对称,AB=AD.如图,连接BD,ED,则ED 的长即为EF+BF的最小值.∵∠DAB=60°,∴△ABD是等边三角形.∵E为AB的中点,∴DE⊥AB,AE=12AB=3.在Rt△ADE中,根据勾股定理,得ED=√AD2-AE2=√62-32=3√3,∴EF+BF 的最小值为3√3.16.【参考答案】(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴BC=CD=DA,∠BCE=∠CDF=90°.(2分)∵DE=AF,∴CE=DF.(3分)在△BCE和△CDF中,{BC=CD,∠BCE=∠CDF, CE=DF,∴△BCE≌△CDF,∴BE=CF.(5分) (2)∵CD=AD=BC=4,AF=DE=1,∴DF=3.在Rt△CDF中,CF=√CD2+DF2=5.(7分) 17.【参考答案】(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴AC=BD,AB∥CD.又BE∥AC,∴四边形ABEC是平行四边形,∴AC=BE,∴BD=BE.(3分)(2)如图,过点O作OF⊥CD于点F.∵四边形ABCD是矩形,∴∠BCD=90°,∴∠BCE=90°.在Rt△BCE中,根据勾股定理可得BC=8.∵BE=BD,∴CD=CE=6,∴DE=12.∵OD=OC,∴CF=DF.又OB=OD,∴OF为△BCD的中位线,∴OF=12BC=4,∴S△ODE=12DE·OF=12×12×4=24.(8分)18.【参考答案】(1)由题意得,BQ=DP=t,AP=CQ=6-t.在矩形ABCD中,∠B=90°,AD∥BC.要使四边形ABQP是矩形,则BQ=AP,即t=6-t,解得t=3.故当t=3时,四边形ABQP是矩形.(4分) (2)由题意得,四边形AQCP是平行四边形.要使平行四边形AQCP是菱形,则AQ=CQ,即√32+t2=6-t,解得t=94.故当t=94时,四边形AQCP是菱形.(8分)19.【参考答案】(1)由折叠可知∠DEG=∠DFH=90°.∵四边形ABCD是菱形,∴AB∥CD,∠C=∠A=45°,∴∠A+∠ADC=180°,∴∠ADC=135°.∵∠EOF+∠DEG+∠DFH+∠ADC=360°,∴∠EOF=360°-90°-90°-135°=45°.(4分) (2)是菱形.(5分)理由:由折叠可知∠ADG=∠A=45°,∠CDH=∠C=45°.∵∠ADC=135°,∴∠GDC=∠ADH=90°.∵∠AEG=∠CFH=90°,∴GE∥DH,GD∥HF,∴四边形DGOH是平行四边形.(7分)∵∠A=∠C,AD=CD,∠ADG=∠CDH,∴△ADG≌△CDH,∴DG=DH,∴四边形DGOH是菱形.(9分)20.【参考答案】(1)③④(2分) (2)∵点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点,∴HG∥AC,EF∥AC,∴HG∥EF.同理可得HE∥GF.∴四边形EFGH是平行四边形.(4分)∵DB⊥AC,∴HE⊥HG,∴∠EHG=90°,∴四边形EFGH是矩形.(6分) (3)正确.(7分)理由:S四边形ABCD=S△ADC+S△BAC=12AC·OD+12AC·BO=12AC(OD+OB)=12AC·BD,即“对角线垂直四边形”的面积是对角线长的乘积的一半.(10分)【提分技法】解决中点四边形的有关方法(1)解决中点四边形问题,往往借助三角形的中位线的性质证明四边形的对边相等或平行.(2)中点四边形的形状由原来四边形对角线的特征决定.连接矩形各边中点得到的四边形是菱形;连接菱形各边中点得到的四边形是矩形;连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.21.【解题思路】(1)由DP∥OC且DP=OC,得四边形CODP是平行四边形,根据矩形的性质得OC=OD,从而可证得四边形CODP是菱形;(2)由DP∥OC且DP=OC,得四边形CODP是平行四边形,又根据菱形的性质得∠DOC=90°,从而证得四边形CODP是矩形;(3)由DP∥OC且DP=OC,得四边形CODP 是平行四边形,又由正方形的性质得∠DOC=90°,OD=OC,从而证得四边形CODP是正方形.【参考答案】(1)四边形CODP是菱形.(1分)理由:∵DP∥OC,DP=OC,∴四边形CODP是平行四边形.(2分)∵四边形ABCD是矩形,∴AC=BD,OC=12AC,OD=12BD,∴OC=OD,∴四边形CODP是菱形.(4分) (2)四边形CODP是矩形.(5分)理由:∵DP∥OC,DP=OC,∴四边形CODP是平行四边形.∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,∴∠DOC=90°,∴四边形CODP是矩形.(8分) (3)四边形CODP是正方形.(9分)理由:∵DP∥OC,DP=OC,∴四边形CODP是平行四边形.∵四边形ABCD是正方形,∴AC⊥BD,AC=BD,OC=12AC,OD=12BD,∴∠DOC=90°,OC=OD,(12分)∴四边形CODP是正方形.(13分)。

北师大版九年级数学上册第一章特殊的平行四边形复习测试一．选择题1．对角线互相垂直平分的四边形是（）A．平行四边形B．菱形C．矩形D．任意四边形2．如图，剪两张对边平行且宽度相同的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则下列结论中不一定成立的是（）A．∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD B．AB＝BCC．AB＝CD，AD＝BC D．∠DAB+∠BCD＝180°3．下列关于∠ABCD的叙述，正确的是（）A．若AB∠BC，则∠ABCD是菱形B．若AC＝BD，则∠ABCD是矩形C．若AC平分∠BAD，则∠ABCD是正方形D．若AC∠BD，则∠ABCD是正方形4．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（）A．AB＝BE B．CE∠DE C．∠ADB＝90°D．BE∠DC5．如图，把一张矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为B′，AB′与DC相交于点E，则下列结论一定正确的是（）A．∠DAB′＝∠CAB′ B．∠ACD＝∠B′CD C．AD＝AE D．AE＝CE 6．菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AD，CD边上的中点，连接EF．若EF＝，BD＝2，则菱形ABCD的面积为（）A．2B．C．6D．87．如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠CBF为（）A．75°B．60°C．55°D．45°8．如图，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，则∠ABC的周长是（）A．14B．16C．18D．209．若顺次连接四边形ABCD四边的中点，得到的图形是一个矩形，则四边形ABCD 一定是（）A．矩形B．菱形C．对角线相等的四边形D．对角线互相垂直的四边形10．如图，在正方形ABCD中，∠ABE和∠CDF为直角三角形，∠AEB＝∠CFD ＝90°，AE＝CF＝5，BE＝DF＝12，则EF的长是（）A．7B．8C．7D．711．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，连接OE．若OE＝3，则菱形ABCD的周长是（）A．6B．12C．18D．2412．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE∠BD，垂足为点E，若∠EAC＝2∠CAD，则∠BAE＝（）A．60°B．45°C．30°D．22.5°二．填空题13．如图，在Rt∠ABC中，E是斜边AB的中点，若AC＝8，BC＝6，则CE＝．14．如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB请你添加一个条件，使四边形DBCE是矩形．15．如图，正方形ABCD的边长为2，点E为边BC的中点，点P在对角线BD 上移动，则PE+PC的最小值是．16．如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E．若∠CBF ＝20°，则∠AED等于度．17．如图，在四边形ABCD中，AC=BD=6，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，连接EG，HF交于点O．则EG2+FH2=．18．已知，如图，∠MON＝45°，OA1＝1，作正方形A1B1C1A2，周长记作C1；再作第二个正方形A2B2C2A3，周长记作C2；继续作第三个正方形A3B3C3A4，周长记作C3；点A1、A2、A3、A4…在射线ON上，点B1、B2、B3、B4…在射线OM上，…依此类推，则第n个正方形的周长Cn＝___ ．三．解答题19．如图，在菱形ABCD中，CE＝CF．求证：AE＝AF．20．如图，将∠ABCD的边AB延长至点E，使AB＝BE，连接DE，EC，DE交BC于点O．（1）求证：∠ABD∠∠BEC；（2）连接BD，若∠BOD＝2∠A，求证：四边形BECD是矩形．21．已知：如图，在∠ABCD中，E，F分别是边AD，BC上的点，且AE＝CF，直线EF分别交BA的延长线、DC的延长线于点G，H，交BD于点O．（1）求证：∠ABE∠∠CDF；（2）连接DG，若DG＝BG，则四边形BEDF是什么特殊四边形？请说明理由．22．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，MN过点O且与边AD、BC分别交于点M和点N．（1）请你判断OM和ON的数量关系，并说明理由；（2）过点D作DE∠AC交BC的延长线于点E，当AB＝6，AC＝8时，求∠BDE 的周长．23．如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，且∠EAF＝45°，将∠ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到∠ABQ，连接EQ，求证：（1）EA是∠QED的平分线；（2）EF2＝BE2+DF2．24．如图，平行四边形ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，∠B＝60°，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连接CE，DF．（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；（2）∠当AE＝cm时，四边形CEDF是矩形；∠当AE＝cm时，四边形CEDF是菱形．（直接写出答案，不需要说明理由）25．在正方形ABCD中，E是边CD上一点（点E不与点C、D重合），连接BE．【感知】如图∠，过点A作AF∠BE交BC于点F．易证∠ABF∠∠BCE．（不需要证明）【探究】如图∠，取BE的中点M，过点M作FG∠BE交BC于点F，交AD于点G．（1）求证：BE＝FG．（2）连接CM，若CM＝1，则FG的长为．【应用】如图∠，取BE的中点M，连接CM．过点C作CG∠BE交AD于点G，连接EG、MG．若CM＝3，则四边形GMCE的面积为．北师大版九年级数学上册第一章特殊的平行四边形复习测试答案提示一．选择题1．对角线互相垂直平分的四边形是（）选：B．A．平行四边形B．菱形C．矩形D．任意四边形2．如图，剪两张对边平行且宽度相同的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则下列结论中不一定成立的是（）选：D．A．∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD B．AB＝BCC．AB＝CD，AD＝BC D．∠DAB+∠BCD＝180°3．下列关于∠ABCD的叙述，正确的是（）选：B．A．若AB∠BC，则∠ABCD是菱形B．若AC＝BD，则∠ABCD是矩形C．若AC平分∠BAD，则∠ABCD是正方形D．若AC∠BD，则∠ABCD是正方形4．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（）选：D．A．AB＝BE B．CE∠DE C．∠ADB＝90°D．BE∠DC5．如图，把一张矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为B′，AB′与DC相交于点E，则下列结论一定正确的是（）选：D．A．∠DAB′＝∠CAB′B．∠ACD＝∠B′CDC．AD＝AE D．AE＝CE6．菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AD，CD边上的中点，连接EF．若EF＝，BD＝2，则菱形ABCD的面积为（）选：A．A．2B．C．6D．87．如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠CBF为（）选：A．A．75°B．60°C．55°D．45°8．如图，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，则∠ABC的周长是（）选：C．A．14B．16C．18D．209．若顺次连接四边形ABCD四边的中点，得到的图形是一个矩形，则四边形ABCD 一定是（）选：D．A．矩形B．菱形C．对角线相等的四边形D．对角线互相垂直的四边形10．如图，在正方形ABCD中，∠ABE和∠CDF为直角三角形，∠AEB＝∠CFD ＝90°，AE＝CF＝5，BE＝DF＝12，则EF的长是（）选：C．A．7B．8C．7D．7解：如图所示：∠四边形ABCD是正方形，∠∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，∠∠BAE+∠DAG＝90°，在∠ABE和∠CDF中，，∠∠ABE∠∠CDF（SSS），∠∠ABE＝∠CDF，∠∠AEB＝∠CFD＝90°，∠∠ABE+∠BAE＝90°，∠∠ABE＝∠DAG＝∠CDF，同理：∠ABE＝∠DAG＝∠CDF＝∠BCH，∠∠DAG+∠ADG＝∠CDF+∠ADG＝90°，即∠DGA＝90°，同理：∠CHB＝90°，在∠ABE和∠ADG中，，∠∠ABE∠∠ADG（AAS），∠AE＝DG，BE＝AG，同理：AE＝DG＝CF＝BH＝5，BE＝AG＝DF＝CH＝12，∠EG＝GF＝FH＝EF＝12﹣5＝7，∠∠GEH＝180°﹣90°＝90°，∠四边形EGFH是正方形，∠EF＝EG＝7；11．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，连接OE．若OE＝3，则菱形ABCD的周长是（）选：D．A．6B．12C．18D．2412．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE∠BD，垂足为点E，若∠EAC＝2∠CAD，则∠BAE＝（）选：D．A．60°B．45°C．30°D．22.5°二．填空题13．如图，在Rt∠ABC中，E是斜边AB的中点，若AC＝8，BC＝6，则CE＝5．14．如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB请你添加一个条件EB＝DC，使四边形DBCE是矩形．15．如图，正方形ABCD的边长为2，点E为边BC的中点，点P在对角线BD 上移动，则PE+PC的最小值是．16．如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E．若∠CBF ＝20°，则∠AED等于65度．17．如图，在四边形ABCD中，AC=BD=6，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，连接EG，HF交于点O．则EG2+FH2=．答案36解析连接EF，FG，GH，HE，∠点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，AC=3，∠EF∠AC∠GH，EF=GH=12BD=3，EH∠BD∠FG，EH=FG=12∠EF=FG=GH=EH，∠四边形EFGH是菱形．∠EG∠FH，OE=OG，OH=OF．∠EG2+FH2=(2OE)2+(2OH)2=4OE2+4OH2=4(OE2+OH2)=4EH2=36．18．已知，如图，∠MON＝45°，OA1＝1，作正方形A1B1C1A2，周长记作C1；再作第二个正方形A2B2C2A3，周长记作C2；继续作第三个正方形A3B3C3A4，周长记作C3；点A1、A2、A3、A4…在射线ON上，点B1、B2、B3、B4…在射线OM上，…依此类推，则第n个正方形的周长Cn＝__2n＋1__．三．解答题19．如图，在菱形ABCD中，CE＝CF．求证：AE＝AF．证明：如图，连接AC，∠四边形ABCD是菱形，∠∠BCA＝∠DCA，∠CE＝CF，AC＝AC，∠∠ECA∠∠FCA（SAS），∠AE＝AF．20．如图，将∠ABCD的边AB延长至点E，使AB＝BE，连接DE，EC，DE交BC于点O．（1）求证：∠ABD∠∠BEC；（2）连接BD，若∠BOD＝2∠A，求证：四边形BECD是矩形．证明：（1）在平行四边形ABCD中，AD＝BC，AB＝CD，AB∠CD，则BE∠CD．又∠AB＝BE，∠BE＝DC，∠四边形BECD为平行四边形，∠BD＝EC．∠在∠ABD与∠BEC中，，∠∠ABD∠∠BEC（SSS）；（2）由（1）知，四边形BECD为平行四边形，则OD＝OE，OC＝OB．∠四边形ABCD为平行四边形，∠∠A＝∠BCD，即∠A＝∠OCD．又∠∠BOD＝2∠A，∠BOD＝∠OCD+∠ODC，∠∠OCD＝∠ODC，∠OC＝OD，∠OC+OB＝OD+OE，即BC＝ED，∠平行四边形BECD为矩形．21．已知：如图，在∠ABCD中，E，F分别是边AD，BC上的点，且AE＝CF，直线EF分别交BA的延长线、DC的延长线于点G，H，交BD于点O．（1）求证：∠ABE∠∠CDF；（2）连接DG，若DG＝BG，则四边形BEDF是什么特殊四边形？请说明理由．（1）证明：∠四边形ABCD是平行四边形，∠AB＝CD，∠BAE＝∠DCF，在∠ABE和∠CDF中，，∠∠ABE∠∠CDF（SAS）；（2）解：四边形BEDF是菱形；理由如下：如图所示：∠四边形ABCD是平行四边形，∠AD∠BC，AD＝BC，∠AE＝CF，∠DE＝BF，∠四边形BEDF是平行四边形，∠OB＝OD，∠DG＝BG，∠EF∠BD，∠四边形BEDF是菱形．22．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，MN过点O且与边AD、BC分别交于点M和点N．（1）请你判断OM和ON的数量关系，并说明理由；（2）过点D作DE∠AC交BC的延长线于点E，当AB＝6，AC＝8时，求∠BDE 的周长．解：（1）∠四边形ABCD是菱形，∠AD∠BC，AO＝OC，∠，∠OM＝ON．（2）∠四边形ABCD是菱形，∠AC∠BD，AD＝BC＝AB＝6，∠BO＝＝2，∠，∠DE∠AC，AD∠CE，∠四边形ACED是平行四边形，∠DE＝AC＝8，∠∠BDE的周长是：BD+DE+BE＝BD+AC+（BC+CE）＝4+8+（6+6）＝20即∠BDE的周长是20．23．如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，且∠EAF＝45°，将∠ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到∠ABQ，连接EQ，求证：（1）EA是∠QED的平分线；（2）EF2＝BE2+DF2．证明：（1）∠将∠ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到∠ABQ，∠QB＝DF，AQ＝AF，∠BAQ＝∠DAF，∠∠EAF＝45°，∠∠DAF+∠BAE＝45°，∠∠QAE＝45°，∠∠QAE＝∠F AE，在∠AQE和∠AFE中，∠∠AQE∠∠AFE（SAS），∠∠AEQ＝∠AEF，∠EA是∠QED的平分线；（2）由（1）得∠AQE∠∠AFE，∠QE＝EF，由旋转的性质，得∠ABQ＝∠ADF，∠ADF+∠ABD＝90°，则∠QBE＝∠ABQ+∠ABD＝90°，在Rt∠QBE中，QB2+BE2＝QE2，又∠QB＝DF，∠EF2＝BE2+DF2．24．如图，平行四边形ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，∠B＝60°，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连接CE，DF．（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；（2）∠当AE＝ 3.5cm时，四边形CEDF是矩形；∠当AE＝2cm时，四边形CEDF是菱形．（直接写出答案，不需要说明理由）（1）证明：∠四边形ABCD是平行四边形，∠CF∠ED，∠∠FCG＝∠EDG，∠G是CD的中点，∠CG＝DG，在∠FCG和∠EDG中，，∠∠FCG∠∠EDG（ASA）∠FG＝EG，∠CG＝DG，∠四边形CEDF是平行四边形；（2）∠解：当AE＝3.5时，平行四边形CEDF是矩形，理由是：过A作AM∠BC于M，∠∠B＝60°，AB＝3，∠BM＝1.5，∠四边形ABCD是平行四边形，∠∠CDA＝∠B＝60°，DC＝AB＝3，BC＝AD＝5，∠AE＝3.5，∠DE＝1.5＝BM，在∠MBA和∠EDC中，，∠∠MBA∠∠EDC（SAS），∠∠CED＝∠AMB＝90°，∠四边形CEDF是平行四边形，∠四边形CEDF是矩形，故答案为：3.5；∠当AE＝2时，四边形CEDF是菱形，理由是：∠AD＝5，AE＝2，∠DE＝3，∠CD＝3，∠CDE＝60°，∠∠CDE是等边三角形，∠CE＝DE，∠四边形CEDF是平行四边形，∠四边形CEDF是菱形，故答案为：2．25．在正方形ABCD中，E是边CD上一点（点E不与点C、D重合），连接BE．【感知】如图∠，过点A作AF∠BE交BC于点F．易证∠ABF∠∠BCE．（不需要证明）【探究】如图∠，取BE的中点M，过点M作FG∠BE交BC于点F，交AD于点G．（1）求证：BE＝FG．（2）连接CM，若CM＝1，则FG的长为2．【应用】如图∠，取BE的中点M，连接CM．过点C作CG∠BE交AD于点G，连接EG、MG．若CM＝3，则四边形GMCE的面积为9．解：感知：∠四边形ABCD是正方形，∠AB＝BC，∠BCE＝∠ABC＝90°，∠∠ABE+∠CBE＝90°，∠AF∠BE，∠∠ABE+∠BAF＝90°，∠∠BAF＝∠CBE，在∠ABF和∠BCE中，，∠∠ABF∠∠BCE（ASA）；探究：（1）如图∠，过点G作GP∠BC于P，∠四边形ABCD是正方形，∠AB＝BC，∠A＝∠ABC＝90°，∠四边形ABPG是矩形，∠PG＝AB，∠PG＝BC，同感知的方法得，∠PGF＝∠CBE，在∠PGF和∠CBE中，，∠∠PGF∠∠CBE（ASA），∠BE＝FG，（2）由（1）知，FG＝BE，连接CM，∠∠BCE＝90°，点M是BE的中点，∠BE＝2CM＝2，∠FG＝2，故答案为：2．应用：同探究（2）得，BE＝2ME＝2CM＝6，∠ME＝3，同探究（1）得，CG＝BE＝6，∠BE∠CG，∠S四边形CEGM＝CG×ME＝×6×3＝9，故答案为9．。

北师大版九年级数学上册《1.1特殊平行四边形》同步测试题及答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，且AC ＝12，BD ＝16，则菱形的高AE 为（ ） A ．9.6 B ．4.8 C ．10 D ．52．如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，若16AC =，BD=8，则菱形ABCD 的边长为（ ）A ．45B ．85C ．8D ．103．菱形不具备的性质是（ ）A ．四条边都相等B ．对角线一定相等C ．对角线平分对角D ．是中心对称图形4．若顺次连接四边形ABCD 各边中点所得的四边形是菱形，则下列结论中正确的是（ ）A ．AB∥CDB ．AB∥BC C ．AC∥BD D ．AC ＝BD5．如图，在菱形ABCD 中，下列式子可以求出在菱形ABCD 面积的是（ ）A ．12AE BC ⋅B ．12AF CD ⋅C ．AC BD ⋅ D ．BC DG ⋅6．如图，在菱形ABCD 中，对角线8,10AC BD ==，则AOD △的面积为（ ）A ．9B ．10C ．11D ．127．如图，菱形的边长为2，=45ABC ∠︒则点A 的坐标为（ ）A ．()2,2B ．()2,2C ．()2,2D ．()2,2 8．如图，四边形ABCD 是菱形，AC =8，DB=6，DH AB ⊥于点H ，则DH 等于（ ）A ．245B ．125C ．5D ．49．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，已知AO =2，OB =5，则菱形ABCD 的面积是（ ）A ．45B ．85C ．4D ．910．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 为CD 的中点．若OE ＝3，则菱形ABCD 的周长为（ ）A ．6B ．12C ．24D ．4811．如图1，在菱形ABCD 中60A ∠=︒，动点P 从点A 出发，沿折线AD DC CB →→方向匀速运动，运动到点B 停止．设点P 的运动路程为x ，APB △的面积为y ，y 与x 的函数图象如图2所示，则AB 的长为（ ）A ．3B ．23C ．33D ．4312．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝5，AC ＝6，过点D 作DE ∥BA ，交BA 的延长线于点E ，则线段DE 的长为（ ）A ．125B ．185C ．4D ．24513．如图，在菱形ABCD 中，AC BD 、交于O 点8,6AC BD ==，点P 为线段AC 上的一个动点．过点P 分别作PM AD ⊥于点M ，作PN DC ⊥于点N ，则PM PN +的值为（ ）A ．485B ．15C ．245D ．2314．如图，在平面直角坐标系xOy 中，菱形OABC 的顶点C 在x 轴的正半轴上．若点A 的坐标是()3,4，则点B 的坐标为（ ）A ．()5,4B ．()5,3C ．()8,3D ．()8,415．如图，菱形ABCD 的对角线交于点O ，过点A 作AE CD ⊥于点E ，连接OE ．若AB=3，2OE =则DE 的长度为（ ） A ．53 B ．32 C ．43 D ．14216．如图，△ABC 中，D 为BC 上一点，DE ∥AB ，DF ∥AC ．增加下列条件能判定四边形AFDE 为菱形的是（ ）A ．点D 在∥BAC 的平分线上B ．AB AC = C ．90A ∠=︒D ．点D 为BC 的中点17．如图，菱形AOBC 的边长为2，OB 边在x 轴上45AOB ∠=︒，对角线AB 、OC 相交于点D ，则点D 的坐标是（ ） A ．()12,2+ B ．221,22⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭ C ．21,22⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭ D ．()2,2 18．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的顶点D 在x 轴上，边BC 在y 轴上，若点A的坐标为（12，13），则点C 的坐标是（ ）A ．（0， -8）B ．（0， -5）C ．（-5，0）D ．（0， -6）19．如图，菱形ABCD 对角线交点与坐标原点O 重合，点()2,5A -，则点C 的坐标为（ ）A ．()5,2-B ．()2,5-C ．()2,5D ．()2,5--20．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ．点E 为BC 的中点，连接EO 并延长交AD 于点F 60ABC ∠=︒，BC=2AB ．下列结论：∥AB AC ⊥；∥4AD OE =；∥四边形AECF 是菱形；∥14BOE ABC S S =△△．其中正确结论的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．121．如图，四边形ABCD 是菱形60DAB ∠=︒，点E 是DA 中点，F 是对角线AC 上一点，且45DEF ∠=︒，则:AF FC 的值是（ ）A ．3B ．51+C ．221+D ．23+22．如图，在菱形ABCD 中，P 是对角线AC 上一动点，过点P 作PE ∥BC 于点E ，PF ∥AB 于点F ．若菱形ABCD 的周长为20，面积为24，则PE ＋PF 的值为( )A ．4B ．245C ．6D ．48523．如图，菱形ABCD ，点A 、B 、C 、D 均在坐标轴上120ABC ∠=︒，点()30A -,，点E 是CD 的中点，点P 是OC 上的一动点，则PD PE +的最小值是（ ）A ．3B ．5C ．22D ．33224．如图，菱形ABCD 的边长为4，60BAD ∠=︒过点B 作BE AB ⊥交CD 于点E ，连接AE ，F 为AE 的中点，H 为BE 的中点，连接FH 和CF ，CF 交BE 于点G ，则GF 的长为（ ）A ．3B ．5C ．23D ．19225．如图，菱形ABCD 中，AC ＝6，DB ＝8，AH ∥BC ，则AH 等于（ ）A ．245B ．125C ．5D ．426．如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 折叠，使点C 落在F 处，BF 交AD 于点E ．若62BDC ∠=°，则DBF ∠的度数为（ ）A ．31︒B ．28︒C ．62︒D ．56︒27．如图，O 是矩形ABCD 的对角线BD 的中点，E 是AB 边的中点．若8,3AB OE ==，则线段OC 的长为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．628．如图，矩形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线分别交AD 、AC 、BC 于点E 、O 、F ，若1216AB BC ==，，则EF 的长为（ ）A ．8B ．15C ．16D ．2429．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AE BD ⊥交BD 于点E ，110AOB ∠=︒则DAE ∠的度数为（ ）A ．40°B ．35°C ．30°D ．25°30．已知ABCD 中，下列条件：∥AB BC =；∥AC BD =；∥AC BD ⊥；∥AC 平分BAD ∠，其中能说明ABCD 是矩形的是（ ）A ．∥B ．∥C ．∥D ．∥31．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝1，对角线AC 与BD 相交于点O ，AE ∥BD ，垂足为E ，若BE ＝EO ，则AD 的长是（ ）A ．32B ．3C ．33D ．532．如图，在矩形ABCD 中，AB=3，AD=4，点E 在边BC 上，若AE 平分BED ∠，则EC 的长为( )A ．35B ．938C ．7D ．47-33．如图，把矩形纸片ABCD 纸沿对角线折叠，设重叠部分为EBD △，那么下列说法错误的是（ ）A ．EBD △是等腰三角形B ．ABE CBD ∠=∠C ．折叠后得到的图形是轴对称图形D ．EBA EDC ≅34．如图，在ABC 中90ACB ∠=︒，点D 是AB 的中点，连接CD ，若AC=4，BC=3，则CD 的长度是（ ）A ．1.5B ．2C ．2.5D ．535．已知：如图，折叠矩形ABCD ，使点B 落在对角线AC 上的点F 处，若BC ＝8，AB ＝6，则线段CE 的长度是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．636．如图，矩形ABCD 中，DE ∥AC 于E ，若∥ADE ＝2∥EDC ，则∥BDE 的度数为（ ）A ．36°B ．30°C ．27°D ．18°37．如图，在Rt ABC △中=90ACB ∠︒，CD 是斜边AB 上的中线，若=3CD ，AB 的长为（ ）A ．6B ．5C ．3D ．1.538．如图，已知在锐角∥ABC 中，AB ＝AC ，AD 是∥ABC 的角平分线，E 是AD 上一点，连结EB ，E C ．若∥EBC ＝45°，BC ＝6，则∥EBC 的面积是（ ）A ．12B ．9C ．6D ．32 39．如图，在四边形ABCD 中，∥A =∥B =90°，AD =10cm ，BC =8cm ，点P 从点D 出发，以1cm/s 的速度向点A 运动，点M 从点B 同时出发，以相同的速度向点C 运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P 的运动时间为t （单位：s ），下列结论正确的是（ ）A ．当4s t =时，四边形ABMP 为矩形B ．当5s =t 时，四边形CDPM 为平行四边形C ．当CD PM =时4s t =D ．当CD PM =时，4s t =或6s40．如图，矩形ABCD为一个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面与CD的交点为E，当水杯底面BC与水平面的夹角为27°时，∥AED的大小为（）A．27°B．53°C．57°D．63°41．一块直角三角板按如图所示方式放置在一张长方形纸条上，若128∠=︒，则2∠的度数为（）A．28°B．56°C．36°D．62°42．如图，在∥ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点连接AF，BF，∥AFB =90°，且AB=8，BC= 14，则EF的长是（）A．2B．3C．4D．543．如图，点E，F，G，H分别为四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．下列三种说法：∥ .四边形EFGH一定是平行四边形；∥.若AC＝BD，则四边形EFGH是菱形；∥.若AC∥BD，则四边形EFGH是矩形．其中正确的是（）A．∥B．∥∥C．∥∥D．∥∥∥44．如图，在Rt ABC中，D为斜边AC的中点，E为BD上一点，F为CE中点．若AE AD=，DF=则BD的长为（）2A．22B．3C．23D．445．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为AD的中点，连接OE60∠=︒ABC43BD=则OE=（）A．4B．23C．2D．346．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，AD＝8，折叠该纸片，使得AB边落在对角线AC上，点B落在点F处，折痕为AE，则线段EF的长为（）A．3B．4C．5D．647．如图，在RtΔABC 中，∥ACB =90，AC =6、BC =4，点F 为射线CB 上一动点，过点C 作CM ∥AF 于M 交AB 于E ， D 是AB 的中点，则DM 长度的最小值是( )A ．3B ．2C ．1D ．6-248．菱形ABCD 如图所示，对角线AC 、BD 相交于点O ，若BD =6，菱形ABCD 面积等于24，且点E 为AD 的中点，则线段OE 的长为（ ）A ．2B ．2.5C ．4D ．549．如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，过点D 作DH ∥AB 于点H ，连接OH ，若OA =6，OH =4，则菱形ABCD 的面积为（ ）A ．247B ．48C ．72D ．9650．如图，在Rt∥ABC 中，∥A ＝90°，M 为BC 的中点，H 为AB 上一点，过点C 作CG ∥AB ，交HM 的延长线于点G ，若AC ＝8，AB ＝6，则四边形ACGH 周长的最小值是（ ）A ．24B ．22C ．20D ．1851．下列说法中正确的是（ ）A ．矩形的对角线平分每组对角；B ．菱形的对角线相等且互相垂直；C ．有一组邻边相等的矩形是正方形；D ．对角线互相垂直的四边形是菱形．52．有下列四个命题：∥两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；∥两条对角线相等的四边形是菱形；∥两条对角线互相垂直平分的四边形是正方形；∥两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形． 其中正确的个数为（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个53．如图，四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中错误的是（ ）A ．当90ABC ∠=︒，ABCD 是矩形 B ．当AB BC =，ABCD 是菱形 C ．当AC BD ⊥，ABCD 是菱形D ．当AC BD =，ABCD 是正方形 54．下列4个命题：∥对角线互相垂直平分的四边形是菱形；∥对角线互相垂直的四边形是平行四边形；∥对角线相等的四边形是矩形；∥对角线相等且互相垂直的四边形是正方形．其中正确命题的个数是（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．455．如图，在正方形ABCD 中，AE 平分BAC ∠交BC 于点E ，点F 是边AB 上一点，连接DF ，若BE AF =，则CDF ∠的度数为（ ）A ．45︒B ．60︒C ．67.5︒D ．775︒.56．如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ． E 、F 分别为AC 、BD 上一点，且OE OF =，连接AF ，BE ，EF ．若25AFE ∠=︒，则CBE ∠的度数为（ ）A ．50°B ．55°C ．65°D ．70°57．顺次连接矩形ABCD 各边中点得到四边形EFGH ，它的形状是（ ）A ．平行四边形B ．矩形C ．菱形D ．正方形58．如图，正方形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，M 是边AD 上一点，连接OM ，过点O作ON ∥OM ，交CD 于点N ．若四边形MOND 的面积是1，则AB 的长为（ ）A ．1B ．2C ．2D ．2259．如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中5AE =，BE=13，则2EF 的值是（ ）A ．128B ．64C ．32D ．14460．如图，正方形ABCD 中，点F 为AB 上一点，CF 与BD 交于点E ，连接AE ，若∥BCF =20°，则∥AEF 的度数（ ）A ．35°B ．40°C ．45°D ．50° 61．如图，在正方形ABCD 外侧，作等边三角形ADE ，AC ，BE 相交于点F ，则∥BFC 为（ ）A ．75°B ．60°C ．55°D ．45°62．在平面直角坐标系中，点()3,0A ，()0,4B 以AB 为一边在第一象限作正方形ABCD ，则对角线BD 所在直线的解析式为（ ）A ．147y x =-+B ．144y x =-+C ．142y x =-+D ．4y =63．如图，正方形ABCD 的边长为4，点M 在DC 上，且DM =1，N 是AC 上一动点，则DN +MN 的最小值为（ ）A ．4B ．42C ．25D ．564．如图，P 为线段AB 上任意一点，分别以AP 、PB 为边在AB 同侧作正方形APCD 、PBEF 若28CBE ∠=︒，则AFP ∠的度数为（ ）A ．56︒B ．62︒C ．73︒D ．76︒65．如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在DC，BC上4BF CE==，连接AE、DF，AE与DF相交于点G，连接AF，取AF的中点H，连接HG，则HG的长为（）A．52B．13C．5D．21366．如图，在正方形ABCD中，AB=3，点E，F分别在边AB，CD上60EFD∠=︒．若将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上点B'处，则BE的长度为（）A．1B．2C．3D．267．如图，正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且2DM=，N是AC上一动点，则DN MN+的最小值为（）．A．8B．82C．217D．1068．七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，如图，在正方形纸板ABCD中，BD为对角线，E，F分别为BC，CD的中点，AP EF⊥分别交BD，EF于O，P两点，M，N分别为BO，DC 的中点，连接AP，NF，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板，则在剪开之前，关于该图形，下列说法：∥图中的三角形都是等腰直角三角形；∥四边形MPEB是菱形；∥四边形PFDM的面积占正方形ABCD面积的14．正确的有（）A．只有∥B．∥∥C．∥∥D．∥∥69．如图，E、F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，BD=10，DE=BF=2，则四边形AECF的周长等于（）A．20B．202C．30D．43470．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为（）A．16B．17C．18D．19参考答案：1．A2．A3．B4．D5．D6．B7．D8．A9．A10．C11．B12．D 13．C14．D15．A16．A17．B18．B19．B20．A21．D22．B23．A24．D 25．A26．B27．C28．B29．B30．B31．B32．C33．B34．C35．C36．B 37．A38．B39．D40．D41．D42．B43．D44．D45．C46．A47．C48．B 49．B50．B51．C52．D53．D54．A55．C56．C57．C58．C59．A60．D 61．B62．A63．D64．B65．B66．D67．D68．C69．D70．B第11页共11页。

北师大版九年级数学上册第一章特殊的平行四边形综合练习题（含答案,教师版）北师大版九年级数学上册第一章特殊的平行四边形综合练习题1.如图，以正方形ABCD的顶点A为坐标原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，对角线AC与BD相交于点E，P为BC上一点，点P坐标为(a，b)，则点P绕点E顺时针旋转90°得到的对应点P′的坐标是(D)A．(a－b，a) B．(b，a) C．(a－b，0) D．(b，0)2.如图，菱形ABCD边长为6，∠BAD＝120°，点E，F分别在AB，AD上且BE＝AF，则EF的最小值为(A)．A．B．．D3.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C4.如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A′B′D′，分别连接A′C，A′D，B′C，则A′C＋B′C5.菱形OBCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B(2，0)，∠DOB＝60°，点P是对角线OC上一个动点，E(0，－1)，当EP＋BP最短时，点P6.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边OA ，OC 分别在x 轴和y 轴上，并且OA ＝5，OC ＝3.若把矩形OABC 绕着点O 逆时针旋转，使点A 恰好落在BC 边上的A 1处，则点C 的对应点C 1的坐标为(－95，125)．7.如图，∠MON ＝90°，矩形ABCD 的顶点A ，B 分别在边OM ，ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在边OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB ＝4，BC ＝1，在运动过程中，点D 到点O8.如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝8，BC ＝6，点E 是AD 的中点，点F 是AB 上一动点．将△AEF 沿直线EF 折叠，点A 落在点A ′处．在EF 上任取一点G ，连接GC ，GA ′，CA ′，则△CGA ′周长的最小值为9.如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，BD 为AC 的中线，过点C 作CE ⊥BD 于点E ，过点A 作BD 的平行线，交CE 的延长线于点F ，在AF 的延长线上截取FG ＝BD ，连接BG ，DF.(1)求证：四边形BDFG 为菱形；(2)若AG ＝13，CF ＝6，则四边形BDFG 的周长为20．证明：∵∠ABC ＝90°，BD 为AC 的中线，∴BD ＝12AC.∵AG ∥BD ，BD ＝FG ，∴四边形BDFG 是平行四边形．∵CF ⊥BD ，∴CF ⊥AG.又∵点D 是AC 中点，∴DF ＝12AC.∴BD ＝DF.∴四边形BDFG 是菱形．10.如图，E ，F 分别是矩形ABCD 的边AD ，AB 上的点，EF ＝EC ，且EF ⊥EC. (1)求证：AE ＝DC ； (2)若DC ＝2，则BE ＝2．证明：在矩形ABCD 中，∠A ＝∠D ＝90°，∴∠EFA ＋∠AEF ＝90°. ∵EF ⊥EC ，∴∠FEC ＝90°. ∴∠AEF ＋∠CED ＝90°. ∴∠EFA ＝∠CED. 在△AEF 和△DCE 中，∠A ＝∠D ，∠EFA ＝∠CED ，EF ＝CE ，∴△AEF ≌△DCE(AAS)．∴AE ＝DC.11.已知：在矩形ABCD 中，BD 是对角线，AE ⊥BD 于点E ，CF ⊥BD 于点F. (1)如图1，求证：AE ＝CF ；(2)如图2，当∠ADB ＝30°时，连接AF ，CE ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形ABCD 面积的18.解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ，AB ∥CD ，AD ∥BC. ∴∠ABE ＝∠CDF. ∵AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，∴∠AEB ＝∠CFD ＝90°.在△ABE 和△CDF 中，∠ABE ＝∠CDF ，∠AEB ＝∠CFD ，AB ＝CD ，∴△ABE ≌△CDF(AAS)．∴AE ＝CF. (2)S △ABE ＝S △CDF ＝S △BCE ＝S △ADF ＝18S 矩形ABCD .12.如图，在四边形ABCD 中，BC ∥AD ，BC ＝12AD ，点E 为AD 的中点，点F 为AE 的中点，AC⊥CD ，连接BE ，CE ，CF.(1)判断四边形ABCE 的形状，并说明理由；(2)如果AB ＝4，∠D ＝30°，点P 为BE 上的动点，求△PAF 周长的最小值．解：(1)四边形ABCE 是菱形，理由如下：∵点E 是AD 的中点，∴AE ＝12AD.∵BC ＝12AD ，∴AE ＝BC.∵BC ∥AD ，∴四边形ABCE 是平行四边形．∵AC ⊥CD ，点E 是AD 的中点，∴CE ＝AE ＝DE. ∴四边形ABCE 是菱形．(2)∵四边形ABCE 是菱形．∴AE ＝EC ＝AB ＝4，点A ，C 关于BE 对称．2AE＝2.∴当PA＋PF最小时，△PAF的周长最小，即点P为CF与BE的交点时，△PAF的周长最小．此时△PAF的周长为PA＋PF＋AF＝CF＋AF.∵CE＝DE，∴∠ECD＝∠D＝30°，∠ACE＝90°－30°＝60°.∴△ACE是等边三角形．∴AC＝AE＝CE＝4.∵AF＝EF，∴CF⊥AE.∴CF＝AC2－AF2＝2 3.△PAF周长的最小值为CF＋AF＝23＋2.13.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D 作DE⊥BC，垂足为F，交直线MN于点E，连接CD，BE.(1)求证：CE＝AD；(2)当D为AB的中点时，四边形CDBE是什么特殊四边形？说明你的理由；(3)若D为AB的中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形CDBE是正方形？请说明你的理由．解：(1)证明：∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DFB.∴AC∥DE.∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形．∴CE＝AD.(2)四边形CDBE是菱形．理由：∵CE＝AD，∴BD＝CE.∵BD∥CE，∴四边形CDBE是平行四边形．∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，∴CD＝BD.∴四边形CDBE是菱形．(3)当∠A＝45°时，四边形CDBE是正方形．理由：∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，∴∠ABC＝∠A＝45°.∴AC＝BC.∵D为AB的中点，∴CD⊥AB.∴∠CDB＝90°.又∵四边形CDBE是菱形，∴四边形CDBE是正方形．14.如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连接EC，连接AP并延长交CD于点F，连接BP，交CE于点H.(1)若∠PBA∶∠PBC＝1∶2，判断△PBC的形状，并说明理由；(2)求证：四边形AECF为平行四边形．解：(1)△PBC是等边三角形，理由如下：在矩形ABCD中，∠ABC＝90°，∵∠PBA∶∠PBC＝1∶2，∴∠PBC＝60°.由折叠的性质，得PC＝BC.∴△PBC是等边三角形．(2)证明：由折叠的性质，得△EBC≌△EPC.∴BE＝PE.∴∠EBP＝∠EPB.∵E为AB的中点，∴BE＝AE.∴AE＝PE.∴∠EPA＝∠EAP.∵∠EBP ＋∠EPB ＋∠EPA ＋∠EAP ＝180°，∴∠EPB ＋∠EPA ＝90°. ∴∠BPA ＝90°，即BP ⊥AF.由折叠的性质，得BP ⊥CE ，∴AF ∥CE. ∵四边形ABCD 是矩形，∴AE ∥CF. ∴四边形AECF 为平行四边形．15.如图，将一张矩形纸片ABCD 沿直线MN 折叠，使点C 落在点A 处，点D 落在点E 处，直线MN 交BC 于点M ，交AD 于点N.(1)求证：CM ＝CN ；(2)若△CMN 的面积与△CDN 的面积比为3∶1，求MNDN的值．解：(1)证明：由折叠的性质，得∠ENM ＝∠DNM ，又∵∠ANE ＝∠CND ，∴∠ANM ＝∠CNM. ∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC. ∴∠ANM ＝∠CMN. ∴∠CMN ＝∠CNM. ∴CM ＝CN.(2)过点N 作NH ⊥BC 于点H ，则四边形NHCD 是矩形，∴HC ＝DN ，NH ＝DC. ∵S △CMN S △CDN ＝12MC ·NH12ND ·NH ＝MC ND＝3，∴MC ＝3ND ＝3HC.∴MH ＝2HC.设DN ＝x ，则HC ＝x ，MH ＝2x. ∴CM ＝CN ＝3x.在Rt △CDN 中，DC ＝CN 2－DN 2＝22x. 在Rt △MNH 中，MN ＝MH 2＋HN 2＝23x. ∴MN DN ＝23x x＝2 3. 16.在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边BC ，AD 上，DE ＝EF ，过点D 作DG ⊥EF 于点H ，交AB 边于点G.(1)如图1，求证：DE ＝DG ；(2)如图2，将EF 绕点E 逆时针旋转90°得到EK ，点F 对应点K ，连接KG ，EG.若H 为DG 的中点，在不添加任何辅助线及字母的情况下，请直接写出图中所有与EG 长度相等的线段(不包括EG)．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝DC ，AD ∥BC ，∠DAG ＝∠DCE ＝90°. ∴∠DEC ＝∠EDF.∵DE ＝EF ，∴∠EFD ＝∠EDF. ∴∠EFD ＝∠DEC.∵DG ⊥EF ，∴∠GHF ＝90°. ∴∠DGA ＋∠AFH ＝180°. ∵∠AFH ＋∠EFD ＝180°，∴∠DGA ＝∠EFD ＝∠DEC. 在△DAG 和△DCE 中，∠DGA ＝∠DEC ，∠DAG ＝∠DCE ，DA ＝DC ，∴△DAG ≌△DCE(AAS)．∴DG ＝DE.(2)与线段EG 相等的线段有：DE ，DG ，GK ，KE ，EF.17.如图，BD 是正方形ABCD 的对角线，线段BC 在其所在的直线上平移，将平移得到的线段记为PQ ，连接PA ，过点Q 作QO ⊥BD ，垂足为O ，连接OA ，OP.(1)如图1所示，求证：AP ＝2OA ；(2)如图2所示，PQ 在BC 的延长线上，如图3所示，PQ 在BC 的反向延长线上，猜想线段AP ，OA 之间有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ，∠ABD ＝∠CBD ＝45°. ∵QO ⊥BD ，∴∠BOQ ＝90°. ∴∠BQO ＝∠CBD ＝45°.∴OB ＝OQ. ∵PQ ＝BC ，∴AB ＝PQ.在△ABO 和△PQO 中，OB ＝OQ ，∠ABO ＝∠PQO ，AB ＝PQ ，∴△ABO ≌△PQO(SAS)．∴OA ＝OP ，∠AOB ＝∠POQ. ∵∠BOP ＋∠POQ ＝90°，∴∠BOP ＋∠AOB ＝90，即∠AOP ＝90°. ∴△AOP 是等腰直角三角形．∴AP ＝2OA.(2)当PQ 在BC 的延长线上时，线段AP ，OA 之间的数量关系为AP ＝2OA ；当PQ 在BC 的反向延长线上时，线段AP ，OA 之间的数量关系为AP ＝2OA.。

九年级数学上册《第一章特殊平行四边形》单元测试卷-附带答案(北师大版)一、选择题（12小题，每小题3分，共36分）1．下列命题中，真命题是（）A．两条对角线垂直的四边形是菱形B．对角线垂直且相等的四边形是正方形C．两条对角线相等的四边形是矩形D．两条对角线相等的平行四边形是矩形2．菱形具有而矩形不一定具有的性质是（）A．对角线互相垂直B．对角线相等C．对角线互相平分D．对角互补3．顺次连接一个四边形的各边中点，得到了一个矩形，则下列四边形满足条件的是（）①平行四边形②菱形③对角线相等的四边形④对角线互相垂直的四边形．A．①③ B．②③ C．③④ D．②④4．既是中心对称图形又是轴对称图形，且只有两条对称轴的四边形是（）A．正方形B．矩形 C．菱形 D．矩形或菱形5．（2018•大连）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AB＝5，AC＝6，则BD的长是（）A．8 B．7 C．4 D．36．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1、S2，则S1+S2的值为（）A．16 B．17 C．18 D．197．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=cm，则AB边上的中线为（）A．1cm B．2cm C．1.5cm D．cm8．如图，在正方形ABCD外侧作等边三角形CDE，AE、BD交于点F，则∠AFB的度数为（）A．45°B．55°C．60°D．75°9．如图，▱ABCD中，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E、F，∠EDF=60°，AE=2cm，则AD=（）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm10．如图：长方形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如图的方式折叠，使点B与点D重合．折痕为EF，则DE长为（）A．4.8 cm B．5 cm C．5.8 cm D．6 cm11．如图，将一个长为10cm，宽为8cm的矩形纸片先按照从左向右对折，再按照从下向上的方向对折，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下（如图（1）），再打开，得到如图（2）所示的小菱形的面积为（）A．10cm2B．20cm2C．40cm2D．80cm212．（2018•威海）矩形ABCD与CEFG如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连接AF，取AF 的中点H，连接GH．若BC＝EF＝2，CD＝CE＝1，则GH＝（）A．1 B．C．D．二、填空题（每小题3分，共12分）13．（2018•锦州）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，连接OH，若OB＝4，S菱形ABCD＝24，则OH的长为．14．（2018•本溪）如图，矩形OABC的顶点A，C分别在坐标轴上，B（8，7），D（5，0），点P是边AB 或边BC上的一点，连接OP，DP，当△ODP为等腰三角形时，点P的坐标为．15．如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，第n个正方形的边长为．16．如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一点，BE=1，F为AB上的一点，AF=2，P为AC上一个动点，则PF+PE的最小值为．三、解答题（共52分）17．（6分）已知：如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，且BE=DF．求证：∠AEF=∠AFE．18．（7分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∠AOD=60°，AB=，AE⊥BD于点E，求OE的长．19．（7分）如图，在△ABC中，AB=BC，BD平分∠ABC．四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE．求证：四边形BECD是矩形．20．（8分）如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．（1）求证：AE=DF；（2）若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由．21．（8分）如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，AE=CF，连接EF、BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC．（1）求证：OE=OF；（2）若BC=2，求AB的长．22．（8分）正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF=45°．将△DAE绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM．（1）求证：EF=FM；（2）当AE=1时，求EF的长．23．（8分）已知，如图1，BD是边长为1的正方形ABCD的对角线，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使CF=CE，连接DF，交BE的延长线于点G．（1）求证：△BCE≌△DCF；（2）求CF的长；（3）如图2，在AB上取一点H，且BH=CF，若以BC为x轴，AB为y轴建立直角坐标系，问在直线BD 上是否存在点P，使得以B、H、P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的P点坐标；若不存在，说明理由．参考答案一、选择题（12小题，每小题3分，共36分）1．下列命题中，真命题是（）A．两条对角线垂直的四边形是菱形B．对角线垂直且相等的四边形是正方形C．两条对角线相等的四边形是矩形D．两条对角线相等的平行四边形是矩形【分析】本题要求熟练掌握平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质以及之间的相互联系．【解答】解：A、两条对角线垂直并且相互平分的四边形是菱形，故选项A错误；B、对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，故选项B错误；C、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故选项C错误；D、根据矩形的判定定理，两条对角线相等的平行四边形是矩形，为真命题，故选项D正确；故选D．【点评】本题考查的是普通概念，熟练掌握基础的东西是深入研究的必要准备．2．菱形具有而矩形不一定具有的性质是（）A．对角线互相垂直B．对角线相等C．对角线互相平分D．对角互补【考点】矩形的性质；菱形的性质．【专题】推理填空题．【分析】根据菱形对角线垂直平分的性质及矩形对交线相等平分的性质对各个选项进行分析，从而得到最后的答案．【解答】解：A、菱形对角线相互垂直，而矩形的对角线则不垂直；故本选项符合要求；B、矩形的对角线相等，而菱形的不具备这一性质；故本选项不符合要求；C、菱形和矩形的对角线都互相平分；故本选项不符合要求；D、菱形对角相等；但菱形不具备对角互补，故本选项不符合要求；故选A．【点评】此题主要考查了学生对菱形及矩形的性质的理解及运用．菱形和矩形都具有平行四边形的性质，但是菱形的特性是：对角线互相垂直、平分，四条边都相等．3．顺次连接一个四边形的各边中点，得到了一个矩形，则下列四边形满足条件的是（）①平行四边形②菱形③对角线相等的四边形④对角线互相垂直的四边形．A．①③ B．②③ C．③④ D．②④【考点】矩形的定义及性质．【分析】已知梯形四边中点得到的四边形是矩形，则根据矩形的性质及三角形的中位线的性质进行分析，从而不难求解．【解答】解：如图点E，F，G，H分别是梯形各边的中点，且四边形EFGH是矩形．∵点E，F，G，H分别是梯形各边的中点，且四边形EFGH是矩形．∴∠FEH=90°，EF∥BD∥HG，FG∥AC∥EH，EF≠GH．∴AC⊥BD．①平行四边形的对角线不一定互相垂直，故①错误；②菱形的对角线互相垂直，故②正确；③对角线相等的四边形，故③错误；④对角线互相垂直的四边形，故④正确．综上所述，正确的结论是：②④．故选：D．【点评】此题主要考查矩形的性质及三角形中位线定理的综合运用，正确掌握矩形的判定方法是解题关键．4．既是中心对称图形又是轴对称图形，且只有两条对称轴的四边形是（）A．正方形B．矩形 C．菱形 D．矩形或菱形【考点】菱形的性质，矩形的定义及性质，正方形的定义及性质．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：正方形是轴对称图形，也是中心对称图形，有4条对称轴；矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，有2条对称轴；菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，有2条对称轴．故选D．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．5．（2018•大连）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AB＝5，AC＝6，则BD的长是（）A．8 B．7 C．4 D．3【考点】L8：菱形的性质．【分析】根据菱形的对角线互相垂直，利用勾股定理列式求出OB即可；【解答】解：∵四边形ABCD是菱形∴OA＝OC＝3，OB＝OD，AC⊥BD在Rt△AOB中，∠AOB＝90°根据勾股定理，得：OB＝＝＝4∴BD＝2OB＝8故选：A．【点评】本题考查了菱形性质，勾股定理的应用等知识，比较简单，熟记性质是解题的关键．6．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1、S2，则S1+S2的值为（）A．16 B．17 C．18 D．19【考点】正方形的性质．【分析】由图可得，S2的边长为3，由AC=BC，BC=CE=CD，可得AC=2CD，CD=2，EC=2；然后，分别算出S1、S2的面积，即可解答．【解答】解：如图设正方形S1的边长为x∵△ABC和△CDE都为等腰直角三角形∴AB=BC，DE=DC，∠ABC=∠D=90°∴sin∠CAB=sin45°==，即AC=BC，同理可得：BC=CE=CD∴AC=BC=2CD又∵AD=AC+CD=6∴CD==2∴EC2=22+22，即EC=2；∴S1的面积为EC2=2×2=8；∵∠MAO=∠MOA=45°∴AM=MO∵MO=MN∴AM=MN∴M为AN的中点∴S2的边长为3∴S2的面积为3×3=9∴S1+S2=8+9=17．故选B．【点评】本题考查了正方形的性质，找到相等的量，再结合三角函数进行解答．7．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=cm，则AB边上的中线为（）A．1cm B．2cm C．1.5cm D．cm【考点】直角三角形斜边上的中线．【专题】计算题．【分析】由直角三角形的性质知：斜边上的中线等于斜边的一半；已知了直角三角形的两条直角边，由勾股定理可求得斜边的长，由此得解【解答】解：∵Rt△ABC中，AC=cm，且∠ACB=90°，∠B=30°∴AB=2∴AB边上的中线CD=AB=cm．故选D．【点评】此题主要考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识点的理解和掌握，难度不大，属于基础题．8．如图，在正方形ABCD外侧作等边三角形CDE，AE、BD交于点F，则∠AFB的度数为（）A．45°B．55°C．60°D．75°【考点】正方形的性质．【分析】根据正方形以及等边三角形的性质可得出AD=DE，∠ADF=45°，∠ADC=90°，∠CDE=60°，根据等腰三角形的性质即可得出∠DAE=∠DEA=15°，再结合三角形外角性质即可算出∠AFB的值．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，△CDE为等边三角形∴AD=CD=DE，∠ADF=∠ABF=45°，∠ADC=90°，∠CDE=60°∴∠ADE=150°．∵AD=DE∴∠DAE=∠DEA=15°∴∠AFB=∠ADF+∠DAF=45°+15°=60°．故选C．【点评】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质以及三角形外角的性质，解题的关键是求出∠ADF=45°、∠DAF=15°．本题属于基础题，解决该题型题目时，通过正方形、等边三角形以及等腰三角形的性质计算出角的度数是关键．9．如图，▱ABCD中，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E、F，∠EDF=60°，AE=2cm，则AD=（）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm【考点】含30度角的直角三角形；多边形内角与外角；平行四边形的性质．【分析】根据四边形ABCD是平行四边形，得出AB∥CD，∠A=∠C，∠CDE=∠AED，根据DE⊥AB，得出∠AED和∠CDE是直角，求出∠CDF的度数，最后根据DF⊥BC，求出∠C、∠A的度数，最后根据∠ADE=30°，AE=2cm，即可求出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥CD，∠A=∠C∴∠CDE=∠AED∵DE⊥AB∴∠AED=90°∴∠CDE=90°∵∠EDF=60°∴∠CDF=30°∵DF⊥BC∴∠DFC=90°∴∠C=60°∴∠A=60°∴∠ADE=30°∴AD=2DE∵AE=2∴AD=2×2=4（cm）；故选A．【点评】此题考查了平行四边形的性质和含30°角的直角三角形，用到的知识点是平行四边形的性质和垂直的定义30°角的直角三角形的性质，关键是求出∠ADE=30°．10．如图：长方形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如图的方式折叠，使点B与点D重合．折痕为EF，则DE长为（）A．4.8 cm B．5 cm C．5.8 cm D．6 cm【考点】矩形的定义及性质．【分析】在折叠的过程中，BE=DE，从而设BE=DE=x，即可表示AE，在直角三角形ADE中，根据勾股定理列方程即可求解．【解答】解：设DE=xcm，则BE=DE=x，AE=AB﹣BE=10﹣x在Rt△ADE中，DE2=AE2+AD2即x2=（10﹣x）2+16．解得：x=5.8．故选C．【点评】此题主要考查了翻折变换的问题，解答本题的关键是掌握翻折前后对应线段相等，另外要熟练运用勾股定理解直角三角形．11．如图，将一个长为10cm，宽为8cm的矩形纸片先按照从左向右对折，再按照从下向上的方向对折，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下（如图（1）），再打开，得到如图（2）所示的小菱形的面积为（）A．10cm2B．20cm2C．40cm2D．80cm2【考点】菱形的性质．【分析】利用折叠的方式得出AC，BD的长，再利用菱形面积公式求出面积即可．【解答】解：由题意可得：图1中矩形的长为5cm，宽为4cm∵虚线的端点为矩形两邻边中点∴AC=4cm，BD=5cm∴如图（2）所示的小菱形的面积为：×4×5=10（cm2）．故选：A．【点评】此题主要考查了菱形的性质以及剪纸问题，得出菱形对角线的长是解题关键．翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．12．（2018•威海）矩形ABCD与CEFG如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连接AF，取AF 的中点H，连接GH．若BC＝EF＝2，CD＝CE＝1，则GH＝（）A．1 B．C．D．【考点】KQ：勾股定理；LB：矩形的性质．【分析】延长GH交AD于点P，先证△APH≌△FGH得AP＝GF＝1，GH＝PH＝PG，再利用勾股定理求得PG＝，从而得出答案．【解答】解：如图，延长GH交AD于点P∵四边形ABCD和四边形CEFG都是矩形∴∠ADC＝∠ADG＝∠CGF＝90°，AD＝BC＝2、GF＝CE＝1∴AD∥GF∴∠GFH＝∠P AH又∵H是AF的中点∴AH＝FH在△APH和△FGH中∵∴△APH≌△FGH（ASA）∴AP＝GF＝1，GH＝PH＝PG∴PD＝AD﹣AP＝1∵CG＝2、CD＝1∴DG＝1则GH＝PG＝×＝故选：C．【点评】本题主要考查矩形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理等知识点．二、填空题（每小题3分，共12分）13．（2018•锦州）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，连接OH，若OB＝4，S菱形ABCD＝24，则OH的长为3．【考点】L8：菱形的性质．【分析】根据菱形面积＝对角线积的一半可求AC，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．【解答】解：∵ABCD是菱形∴BO＝DO＝4，AO＝CO，S菱形ABCD＝＝24∴AC＝6∵AH⊥BC，AO＝CO＝3∴OH＝AC＝3．【点评】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，关键是灵活运用这些性质解决问题．14．（2018•本溪）如图，矩形OABC的顶点A，C分别在坐标轴上，B（8，7），D（5，0），点P是边AB 或边BC上的一点，连接OP，DP，当△ODP为等腰三角形时，点P的坐标为（8，4）或（，7）．【分析】分两种情形分别讨论即可解决问题；【解答】解：∵四边形OABC是矩形，B（8，7）∴OA＝BC＝8，OC＝AB＝7∵D（5，0）∴OD＝5∵点P是边AB或边BC上的一点∴当点P在AB边时，OD＝DP＝5∵AD＝3∴P A＝＝4∴P（8，4）．当点P在边BC上时，只有PO＝PD，此时P（，7）．综上所述，满足条件的点P坐标为（8，4）或（，7）．故答案为（8，4）或（，7）．【点评】本题考查矩形的性质、坐标与图形性质、等腰三角形的判定等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．15．如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，第n个正方形的边长为（）n﹣1．【分析】首先求出AC、AE、HE的长度，然后猜测命题中隐含的数学规律，即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形∴AB=BC=1，∠B=90°∴AC2=12+12，AC=；同理可求：AE=（）2，HE=（）3…∴第n个正方形的边长a n=（）n﹣1．故答案为（）n﹣1．【点评】该题主要考查了正方形的性质、勾股定理及其应用问题；应牢固掌握正方形有关定理并能灵活运用．16．如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一点，BE=1，F为AB上的一点，AF=2，P为AC上一个动点，则PF+PE的最小值为．【考点】正方形的性质．【分析】作E关于直线AC的对称点E′，连接E′F，则E′F即为所求，过F作FG⊥CD于G，在Rt△E′FG 中，利用勾股定理即可求出E′F的长．【解答】解：作E关于直线AC的对称点E′，连接E′F，则E′F即为所求过F作FG⊥CD于G在Rt△E′FG中GE′=CD﹣BE﹣BF=4﹣1﹣2=1，GF=4所以E′F==．故答案为：．【点评】本题考查的是最短线路问题，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键．三、解答题（共52分）17．（6分）已知：如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，且BE=DF．求证：∠AEF=∠AFE．【考点】菱形的性质．【专题】证明题．【分析】在菱形中，由SAS求得△ABE≌△ADF，再由等边对等角得到∠AEF=∠AFE．【解答】证明：∵ABCD是菱形∴AB=AD，∠B=∠D．又∵EB=DF∴△ABE≌△ADF∴AE=AF∴∠AEF=∠AFE．【点评】本题利用了菱形的性质和全等三角形的判定和性质，等边对等角求解．18．（7分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∠AOD=60°，AB=，AE⊥BD于点E，求OE的长．【考点】矩形的性质．【专题】计算题．【分析】矩形对角线相等且互相平分，即OA=OD，根据∠AOD=60°可得△AOD为等边三角形，即OA=AD，∵AE⊥BD，∴E为OD的中点，即可求OE的值．【解答】解：∵对角线相等且互相平分∴OA=OD∵∠AOD=60°∴△AOD为等边三角形，则OA=ADBD=2DO，AB=AD∴AD=2∵AE⊥BD，∴E为OD的中点∴OE=OD=AD=1答：OE的长度为1．【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了等边三角形的判定和等腰三角形三线合一的性质，本题中求得E为OD的中点是解题的关键．19．（7分）如图，在△ABC中，AB=BC，BD平分∠ABC．四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE．求证：四边形BECD是矩形．【考点】矩形的判定．【专题】证明题．【分析】根据已知条件易推知四边形BECD是平行四边形．结合等腰△ABC“三线合一”的性质证得BD⊥AC，即∠BDC=90°，所以由“有一内角为直角的平行四边形是矩形”得到▱BECD是矩形．【解答】证明：∵AB=BC，BD平分∠ABC∴BD⊥AC，AD=CD．∵四边形ABED是平行四边形∴BE∥AD，BE=AD∴BE=CD∴四边形BECD是平行四边形．∵BD⊥AC∴∠BDC=90°∴▱BECD是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．20．（8分）如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．（1）求证：AE=DF；（2）若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由．【考点】菱形的判定．【专题】证明题．【分析】（1）利用AAS推出△ADE≌△DAF，再根据全等三角形的对应边相等得出AE=DF；（2）先根据已知中的两组平行线，可证四边形DEFA是▱，再利用AD是角平分线，结合AE∥DF，易证∠DAF=∠FDA，利用等角对等边，可得AE=DF，从而可证▱AEDF实菱形．【解答】证明：（1）∵DE∥AC，∠ADE=∠DAF同理∠DAE=∠FDA∵AD=DA∴△ADE≌△DAF∴AE=DF；（2）若AD平分∠BAC，四边形AEDF是菱形∵DE∥AC，DF∥AB∴四边形AEDF是平行四边形∴∠DAF=∠FDA．∴AF=DF．∴平行四边形AEDF为菱形．【点评】考查了全等三角形的判定方法及菱形的判定的掌握情况．21．（8分）如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，AE=CF，连接EF、BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC．（1）求证：OE=OF；（2）若BC=2，求AB的长．【考点】矩形的性质．【分析】（1）根据矩形的对边平行可得AB∥CD，再根据两直线平行，内错角相等求出∠BAC=∠FCO，然后利用“角角边”证明△AOE和△COF全等，再根据全等三角形的即可得证；（2）连接OB，根据等腰三角形三线合一的性质可得BO⊥EF，再根据矩形的性质可得OA=OB，根据等边对等角的性质可得∠BAC=∠ABO，再根据三角形的内角和定理列式求出∠ABO=30°，即∠BAC=30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC，再利用勾股定理列式计算即可求出AB．【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，AB∥CD∴∠BAC=∠FCO在△AOE和△COF中∴△AOE≌△COF（AAS）∴OE=OF；（2）解：如图，连接OB∵BE=BF，OE=OF∴BO⊥EF∴在Rt△BEO中，∠BEF+∠ABO=90°由直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半可知：OA=OB=OC∴∠BAC=∠ABO又∵∠BEF=2∠BAC即2∠BAC+∠BAC=90°解得∠BAC=30°∵BC=2∴AC=2BC=4∴AB===6．【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，综合题，但难度不大，（2）作辅助线并求出∠BAC=30°是解题的关键．22．（8分）正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF=45°．将△DAE绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM．（1）求证：EF=FM；（2）当AE=1时，求EF的长．【考点】正方形的性质．【专题】计算题．【分析】（1）由旋转可得DE=DM，∠EDM为直角，可得出∠EDF+∠MDF=90°，由∠EDF=45°，得到∠MDF为45°，可得出∠EDF=∠MDF，再由DF=DF，利用SAS可得出三角形DEF与三角形MDF全等，由全等三角形的对应边相等可得出EF=MF；（2）由第一问的全等得到AE=CM=1，正方形的边长为3，用AB﹣AE求出EB的长，再由BC+CM求出BM的长，设EF=MF=x，可得出BF=BM﹣FM=BM﹣EF=4﹣x，在直角三角形BEF中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为EF的长．【解答】解：（1）证明：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM∴∠FCM=∠FCD+∠DCM=180°∴F、C、M三点共线∴DE=DM，∠EDM=90°∴∠EDF+∠FDM=90°∵∠EDF=45°∴∠FDM=∠EDF=45°在△DEF和△DMF中∴△DEF≌△DMF（SAS）∴EF=MF；（2）设EF=MF=x∵AE=CM=1，且BC=3∴BM=BC+CM=3+1=4∴BF=BM﹣MF=BM﹣EF=4﹣x∵EB=AB﹣AE=3﹣1=2在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2=EF2即22+（4﹣x）2=x2解得：x=则EF=．【点评】此题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理，利用了转化及方程的思想，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．23．（8分）已知，如图1，BD是边长为1的正方形ABCD的对角线，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使CF=CE，连接DF，交BE的延长线于点G．（1）求证：△BCE≌△DCF；（2）求CF的长；（3）如图2，在AB上取一点H，且BH=CF，若以BC为x轴，AB为y轴建立直角坐标系，问在直线BD 上是否存在点P，使得以B、H、P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的P点坐标；若不存在，说明理由．【考点】正方形的性质．【分析】（1）利用正方形的性质，由全等三角形的判定定理SAS即可证得△BCE≌△DCF；（2）通过△DBG≌△FBG的对应边相等知BD=BF=；然后由CF=BF﹣BC=即可求得；（3）分三种情况分别讨论即可求得．【解答】（1）证明：如图1在△BCE和△DCF中∴△BCE≌△DCF（SAS）；（2）证明：如图1∵BE平分∠DBC，OD是正方形ABCD的对角线∴∠EBC=∠DBC=22.5°由（1）知△BCE≌△DCF∴∠EBC=∠FDC=22.5°（全等三角形的对应角相等）；∴∠BGD=90°（三角形内角和定理）∴∠BGF=90°；在△DBG和△FBG中∴△DBG≌△FBG（ASA）∴BD=BF，DG=FG（全等三角形的对应边相等）∵BD==∴BF=∴CF=BF﹣BC=﹣1；（3）解：如图2，∵CF=﹣1，BH=CF∴BH=﹣1①当BH=BP时，则BP=﹣1∵∠PBC=45°设P（x，x）∴2x2=（﹣1）2解得x=1﹣或﹣1+∴P（1﹣，1﹣）或（﹣1+，﹣1+）；②当BH=HP时，则HP=PB=﹣1∵∠ABD=45°∴△PBH是等腰直角三角形∴P（﹣1，﹣1）；③当PH=PB时，∵∠ABD=45°∴△PBH是等腰直角三角形∴P（，）综上，在直线BD上是否存在点P，使得以B、H、P为顶点的三角形为等腰三角形，所有符合条件的P点坐标为（1﹣，1﹣）、（﹣1+，﹣1+）、（﹣1，﹣1）、（，）．【点评】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定，熟练掌握性质定理是解题的关键．。

【单元复习】第一章特殊平行四边形知识精讲第一章特殊平行四边形一、平行四边形1.平行四边形的定义:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

2.平行四边形的性质（1）平行四边形的对边平行且相等。

（对边）（2）平行四边形相邻的角互补，对角相等（对角）（3）平行四边形的对角线互相平分。

（对角线）（4）平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。

常用点：（1）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段的中点是对角线的交点，并且这条直线二等分此平行四边形的面积。

（2）推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。

3.平行四边形的判定（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

（对边）（2）定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

（对边）（3）定理2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

（对边）（4）定理3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

（对角）（5）定理4：对角线互相平分的四边形是平行四边形。

（对角线）4.两条平行线的距离两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。

注意：平行线间的距离处处相等。

5.平行四边形的面积: S平行四边形=底边长×高=ah二、菱形1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2.菱形的性质（1）菱形的四条边相等，对边平行。

（边）（2）菱形的相邻的角互补，对角相等。

（对角）（3）菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角。

（对角线）（4）菱形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点（对称中心到菱形四条边的距离相等）；对称轴有两条，是对角线所在的直线。

3.菱形的判定（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形。

（边）（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

（对角线）（4）定理3：对角线垂直且平分的四边形是菱形。

（对角线）4.菱形的面积：S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半三、矩形1.矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

2022-2023学年北师大版九年级数学上册《第1章特殊的平行四边形》单元综合达标测试题（附答案）一．选择题（共9小题，满分36分）1．下列说法中，不正确的是（）A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形B．一组对边平行另外一组对边相等的四边形是平行四边形C．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形D．有一组邻边相等的矩形是正方形2．已知四边形ABCD中，AC⊥BD，再补充一个条件使得四边形ABCD为菱形，这个条件可以是（）A．AC＝BD B．AB＝BCC．AC与BD互相平分D．∠ABC＝90°3．如图，平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A（3，0），B（﹣2，0），顶点D在y轴正半轴上，则点C的坐标为（）A．（﹣3，4）B．（﹣4，5）C．（﹣5，5）D．（﹣5，4）4．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，点E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，则四边形EFGH是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．平行四边形5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P为斜边AB上一动点，过点P作PE⊥AC于E，PF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值为（）A．24B．3.6C．4.8D．56．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C作CE⊥BD，垂足为E．已知∠BCE＝4∠DCE，则∠COE的度数为（）A．36°B．45°C．60°D．67.5°7．在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，则∠CBE的度数为（）A．80°B．75°C．70°D．65°8．如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE＝BF＝CG＝DH＝5，则四边形EFGH的面积是（）A．30B．34C．36D．409．如图，矩形ABCD和矩形BDEF，点A在EF边上，设矩形ABCD和矩形BDEF的面积分别为S1、S2，则S1与S2的大小关系为（）A．S1＝S2B．S1＞S2 C．S1＜S2D．3S1＝2S2二．填空题（共8小题，满分32分）10．如图，菱形ABCD中，若BD＝24，AC＝10，则AB的长等于．菱形ABCD的面积等于．11．如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE，如果∠ADB＝30°，则∠E＝度．12．如图，P是矩形ABCD的边AD上一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是．13．如图所示，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC，且∠EDO等于15°，∠DOE＝°．14．菱形OBCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），∠DOB＝60°，点P是对角线OC上一个动点，E（0，﹣1），当EP+BP最短时，点P的坐标为．15．将n个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A1、A2…A n分别是各正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积的和为cm2．16．如图是阳光广告公司为某种商品设计的商标图案，图中阴影部分为红色．若每个小长方形的面积都是1，则红色的面积是．17．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是．三．解答题（共7小题，满分52分）18．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连接BG、DF．（1）求证：BD＝DF；（2）求证：四边形BDFG为菱形；（3）若AG＝13，CF＝6，求四边形BDFG的周长．19．如图，点P是菱形ABCD中对角线AC上的一点，且PE＝PB．（1）求证：PE＝PD；（2）求证：∠PDC＝∠PEB；（3）若∠BAD＝80°，连接DE，试求∠PDE的度数，并说明理由．20．如图，过△ABC的顶点A分别作∠ACB及其外角的平分线的垂线，垂直分布为E、F，连接EF交AB于点M，交AC于点N，求证：（1）四边形AECF是矩形；（2）MN＝BC．21．某校数学兴趣小组开展了一次课外活动，过程如下：如图①，正方形ABCD中，AB＝4，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点与D点重合．三角板的一边交AB 于点P，另一边交BC的延长线于点Q．（1）求证：AP＝CQ；（2）如图②，小明在图1的基础上作∠PDQ的平分线DE交BC于点E，连接PE，他发现PE和QE存在一定的数量关系，请猜测他的结论并予以证明；（3）在（2）的条件下，若AP＝1，求PE的长．22．如图，平行四边形ABCD中，AD＝9cm，CD＝3cm，∠B＝45°，点M、N分别以A、C为起点，1cm/秒的速度沿AD、CB边运动，设点M、N运动的时间为t秒（0≤t≤6）（1）求BC边上高AE的长度；（2）连接AN、CM，当t为何值时，四边形AMCN为菱形；（3）作MP⊥BC于P，NQ⊥AD于Q，当t为何值时，四边形MPNQ为正方形．23．如图①，在正方形ABCD中，E为CD上一动点，连接AE交对角线BD于点F，过点F 作FG⊥AE交BC于点G．（1）求证：AF＝FG；（2）如图②，连接EG，当BG＝3，DE＝2时，求EG的长．24．如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且P A ＝PE，PE交CD于F．（1）证明：PC＝PE；（2）求∠CPE的度数；（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC＝120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．参考答案一．选择题（共9小题，满分36分）1．解：A、正确．两组对边分别平行的四边形是平行四边形；B、错误．比如等腰梯形，满足条件，不是平行四边形；C、正确．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形；D、正确．有一组邻边相等的矩形是正方形；故选：B．2．解：∵在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形．故选：C．3．解：∵菱形ABCD的顶点A（3，0），B（﹣2，0），∴CD＝AD＝AB＝5，OA＝3，∴OD＝＝＝4∵AB∥CD，∴点C的坐标为（﹣5，4）故选：D．4．解：∵在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，∴EF∥AD，HG∥AD，∴EF∥HG，同理：HE∥GF，∴四边形EFGH是平行四边形，∵E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，∴GH＝AD，GF＝BC，∵AD＝BC，∴GH＝GF，∴平行四边形EFGH是菱形；故选：B．5．解：连接PC，∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴∠PEC＝∠PFC＝∠C＝90°，∴四边形ECFP是矩形，∴EF＝PC，∴当PC最小时，EF也最小，即当CP⊥AB时，PC最小，∵AC＝8，BC＝6，∴AB＝10，∴PC的最小值为：＝4.8．∴线段EF长的最小值为4.8．故选：C．6．解：∵四边形ABCD为矩形，∴∠BCD＝90°，OC＝OB，∵∠BCE＝4∠DCE，∴5∠DCE＝90°，∴∠DCE＝18°，∴∠BCE＝72°，∵CE⊥BD，∴∠EBC＝90°﹣∠BCE＝18°，∵OB＝OC，∴∠OCB＝18°，∴∠COE＝36°，故选：A．7．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝∠ABC＝90°，AB＝AD，∵△ADE是等边三角形，∴∠EAD＝60°，AE＝AD，∴∠BAE＝150°，AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB＝15°，∴∠CBE＝90°﹣15°＝75°，故选：B．8．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝DA，∵AE＝BF＝CG＝DH，∴AH＝BE＝CF＝DG．在△AEH、△BFE、△CGF和△DHG中，，∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS），∴EH＝FE＝GF＝GH，∠AEH＝∠BFE，∴四边形EFGH是菱形，∵∠BEF+∠BFE＝90°，∴∠BEF+∠AEH＝90°，∴∠HEF＝90°，∴四边形EFGH是正方形，∵AB＝BC＝CD＝DA＝8，AE＝BF＝CG＝DH＝5，∴EH＝FE＝GF＝GH＝＝，∴四边形EFGH的面积是：×＝34，故选：B．9．解：∵矩形ABCD的面积S1＝2S△ABD，S△ABD＝S矩形BDEF，∴S1＝S2．故选：A．二．填空题（共8小题，满分32分）10．解：∵菱形ABCD中，BD＝24，AC＝10，∴BO＝12，AO＝5，AC⊥BD，∴AB＝＝13，∴菱形ABCD的面积＝＝120故答案为：13，12011．解：连接AC，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BE，AC＝BD，且∠ADB＝∠CAD＝30°，∴∠E＝∠DAE，又∵BD＝CE，∴CE＝CA，∴∠E＝∠CAE，∵∠CAD＝∠CAE+∠DAE，∴∠E+∠E＝30°，即∠E＝15°，故答案为：15．12．解：连接OP，∵矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，∴S矩形ABCD＝AB•BC＝48，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD＝＝10，∴OA＝OD＝5，∴S△ACD＝S矩形ABCD＝24，∴S△AOD＝S△ACD＝12，∵S△AOD＝S△AOP+S△DOP＝OA•PE+OD•PF＝×5×PE+×5×PF＝（PE+PF）＝12，解得：PE+PF＝4.8．故答案为：4.8．13．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝∠BAD＝90°，AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD，∴OA＝OD，∵DE平分∠ADC∴∠CDE＝∠ADE＝45°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴AD＝AE，又∵∠EDO＝15°，∴∠ADO＝60°；∴△OAD是等边三角形，∴∠AOD＝∠OAD＝60°，∴AD＝AO＝DO，∴AO＝AE，∴∠AOE＝∠AEO，∵∠OAE＝90°﹣∠OAD＝30°，∴∠AOE＝∠AEO＝（180°﹣30°）＝75°，∴∠DOE＝60°+75°＝135°，故答案为：135．14．解：连接ED，如图，∵点B关于OC的对称点是点D，∴DP＝BP，∴ED即为EP+BP最短，∵四边形OBCD是菱形，顶点B（2，0），∠DOB＝60°，∴点D的坐标为（1，），∴点C的坐标为（3，），∴可得直线OC的解析式为：y＝x，∵点E的坐标为（0，﹣1），∴可得直线ED的解析式为：y＝（1+）x﹣1，∵点P是直线OC和直线ED的交点，∴点P的坐标为方程组的解，解方程组得：，所以点P的坐标为（），故答案为：（）．15．解：由题意可得阴影部分面积等于正方形面积的，即是，5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为×4，n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为×（n﹣1）＝cm2．故答案为：．16．解：设每个小长方形长为a，宽为b，则ab＝1．用大长方形的面积减去三个空白部分的三角形面积，就等于阴影部分的面积．4a×4b﹣a×4b﹣3a×3b﹣×3a×3b＝5ab＝5．故填5．17．解：∵正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，∴AB＝BC＝1，CE＝EF＝3，∠E＝90°，延长AD交EF于M，连接AC、CF，则AM＝BC+CE＝1+3＝4，FM＝EF﹣AB＝3﹣1＝2，∠AMF＝90°，∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形，∴∠ACD＝∠GCF＝45°，∴∠ACF＝90°，∵H为AF的中点，∴CH＝AF，在Rt△AMF中，由勾股定理得：AF＝＝＝2，∴CH＝，故答案为：．三．解答题（共7小题，满分52分）18．（1）证明：∵∠ABC＝90°，BD为AC的中线，∴BD＝AC，∵AG∥BD，BD＝FG，∴四边形BGFD是平行四边形，∵CF⊥BD，∴CF⊥AG，又∵点D是AC中点，∴DF＝AC，∴BD＝DF；（2）证明：∵BD＝DF，∴四边形BGFD是菱形，（3）解：设GF＝x，则AF＝13﹣x，AC＝2x，∵在Rt△ACF中，∠CF A＝90°，∴AF2+CF2＝AC2，即（13﹣x）2+62＝（2x）2，解得：x＝5，∴四边形BDFG的周长＝4GF＝20．19．（1）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，AB∥CD，∠DCP＝∠BCP，在△DCP和△BCP中，，∴△CDP≌△CBP（SAS），∴PB＝PD，∵PE＝PB，∴PE＝PD；（2）证明：∵PE＝PB，∴∠PBC＝∠PEB，∵△CDP≌△CBP，∴∠PDC＝∠PBC，∴∠PDC＝∠PEB；（3）解：如图所示：∠PDE＝40°；理由如下：在四边形DPEC中，∵∠DPE＝360°﹣（∠PDC+∠PEC+∠DCB）＝360°﹣（∠PEB+∠PEC+∠DCB）＝360°﹣（180°+80°）＝100°，∴∠PDE＝∠PED＝40°．20．证明：（1）∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ACE＝∠BCE＝∠ACB，∠ACF＝∠ACD，∵∠ACB+∠ACD＝180°，∴∠ACE+∠ACF＝90°，即∠ECF＝90°，又∵AE⊥CE，AF⊥CF，∴∠AEC＝∠AFC＝90°，∴四边形AECF是矩形；（2）∵四边形AECF是矩形，∴EN＝FN，AN＝CN＝AC，∴CN＝EF＝EN，∴∠NEC＝∠ACE＝∠BCE，∴EN∥BC，∴＝＝，∴MN＝BC．21．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC＝∠A＝∠B＝∠BCD＝∠DCQ＝90°，AD＝BC＝CD＝AB＝4，∵∠PDQ＝90°，∴∠ADP＝∠CDQ，在△APD和△CQD中，，∴△APD≌△CQD（ASA），（2）解；PE＝QE，理由如下：由（1）得：△APD≌△CQD，∴PD＝QD，∵DE平分∠PDQ，∴∠PDE＝∠QDE，在△PDE和△QDE中，，∴△PDE≌△QDE（SAS），∴PE＝QE；（3）解：由（2）得：PE＝QE，由（1）得：CQ＝AP＝1，∴BQ＝BC+CQ＝5，BP＝AB﹣AP＝3，设PE＝QE＝x，则BE＝5﹣x，在Rt△BPE中，由勾股定理得：32+（5﹣x）2＝x2，解得：x＝3.4，即PE的长为3.4．22．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝3cm．在直角△ABE中，∵∠AEB＝90°，∠B＝45°，∴AE＝AB•sin∠B＝3×＝3（cm）；（2）∵点M、N分别以A、C为起点，1cm/秒的速度沿AD、CB边运动，设点M、N运动的时间为t秒（0≤t≤6），∴AM＝CN＝t，∵AM∥CN，∴四边形AMCN为平行四边形，∴当AN＝AM时，四边形AMCN为菱形．∵BE＝AE＝3，EN＝6﹣t，∴AN2＝32+（6﹣t）2，∴32+（6﹣t）2＝t2，解得t＝．故当t为时，四边形AMCN为菱形；（3）∵MP⊥BC于P，NQ⊥AD于Q，QM∥NP，∴四边形MPNQ为矩形，∴当QM＝QN时，四边形MPNQ为正方形．∵AM＝CN＝t，BE＝3，∴AQ＝EN＝BC﹣BE﹣CN＝9﹣3﹣t＝6﹣t，∴QM＝AM﹣AQ＝|t﹣（6﹣t）|＝|2t﹣6|（注：分点Q在点M的左右两种情况），∵QN＝AE＝3，∴|2t﹣6|＝3，解得t＝4.5或t＝1.5．故当t为4.5或1.5秒时，四边形MPNQ为正方形．23．（1）证明：如图①，连接CF，在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABF＝∠CBF＝45°，在△ABF和△CBF中，，∴△ABF≌△CBF（SAS），∴AF＝CF，∠BAF＝∠BCF，∵FG⊥AE，∴在四边形ABGF中，∠BAF+∠BGF＝360°﹣90°﹣90°＝180°，又∵∠BGF+∠CGF＝180°，∴∠BAF＝∠CGF，∴∠CGF＝∠BCF，∴AF＝FG；（2）如图②，把△ADE顺时针旋转90°得到△ABH，则AH＝AE，BH＝DE，∠BAH＝∠DAE，∵AF＝FG，FG⊥AE，∴△AFG是等腰直角三角形，∴∠EAG＝45°，∴∠HAG＝∠BAG+∠DAE＝90°﹣45°＝45°，∴∠EAG＝∠HAG，在△AHG和△AEG中，，∴△AHG≌△AEG（SAS），∴HG＝EG，∵HG＝BH+BG＝DE+BG＝2+3＝5，∴EG＝5．24．（1）证明：在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝45°，在△ABP和△CBP中，，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴P A＝PC，∴PC＝PE；（2）由（1）知，△ABP≌△CBP，∴∠BAP＝∠BCP，∴∠DAP＝∠DCP，∵P A＝PE，∴∠DAP＝∠E，∴∠DCP＝∠E，∵∠CFP＝∠EFD（对顶角相等），∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF＝180°﹣∠DFE﹣∠E，即∠CPF＝∠EDF＝90°；（3）在菱形ABCD中，AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝60°，在△ABP和△CBP中，，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴P A＝PC，∠BAP＝∠BCP，∵P A＝PE，∴PC＝PE，∴∠DAP＝∠DCP，∵P A＝PC，∴∠DAP＝∠AEP，∴∠DCP＝∠AEP∵∠CFP＝∠EFD（对顶角相等），∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF＝180°﹣∠DFE﹣∠AEP，即∠CPF＝∠EDF＝180°﹣∠ADC＝180°﹣120°＝60°，∴△EPC是等边三角形，∴PC＝CE，。

第一章特殊的平行四边形一．选择题（共12小题）1．下列说法正确的是（）A．有两个角为直角的四边形是矩形B．矩形的对角线相等C．平行四边形的对角线相等D．对角线互相垂直的四边形是菱形2．关于平行四边形ABCD的叙述，正确的是（）A．若AB⊥BC，则平行四边形ABCD是菱形B．若AC⊥BD，则平行四边形ABCD是正方形C．若AC＝BD，则平行四边形ABCD是矩形D．若AB＝AD，则平行四边形ABCD是正方形3．如果平行四边形的四个内角的平分线能够围成一个四边形，那么这个四边形一定是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形4．在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果再添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，这个条件可以是（）A．BC＝CD B．AB＝CD C．∠D＝90°D．AD＝BC5．如图，菱形ABCD的周长为28，对角线AC，BD交于点O，E为AD的中点，则OE的长等于（）A．2 B．3.5 C．7 D．146．如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得A，C之间的距离为6cm，点B，D之间的距离为8cm，则线段AB的长为（）A．5 cm B．4.8 cm C．4.6 cm D．4 cm7．如图，在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点，要判定四边形DBFE是菱形，下列所添加条件不正确的是（）A．AB＝AC B．AB＝BC C．BE平分∠ABC D．EF＝CF8．在△ABC中，点D是边BC上的点（与B，C两点不重合），过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是（）A．若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形B．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形C．若BD＝CD，则四边形AEDF是菱形D．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形9．如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE＝BF＝CG＝DH＝5，则四边形EFGH 的面积是（）A．30 B．34 C．36 D．4010．如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于E，若∠EAO＝15°，则∠BOE的度数为（）A．85°B．80°C．75°D．70°11．如图，以正方形ABCD的顶点A为坐标原点，直线AB为x轴建立直角坐标系，对角线AC与BD相交于点E，P为BC上一点，点P坐标为（a，b），则点P绕点E顺时针旋转90°得到的对应点P′的坐标是（）A．（a﹣b，a）B．（b，a）C．（a﹣b，0）D．（b，0）12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P为斜边AB上一动点，过点P作PE⊥AC于E，PF⊥BC于点F，连结EF，则线段EF的最小值为（）A．24 B．3.6 C．4.8 D．5二．填空题（共9小题）13．已知菱形ABCD，O是两条对角线的交点，AC＝8cm，DB＝6cm，菱形的边长是cm，面积是cm2．14．已知菱形的周长为40cm，两个相邻角度数比为1：2，则较短的对角线长为，面积为．15．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC＝130°，则∠AOE的大小为．16．如图，四边形ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB＝OD，请你添加一个适当的条件，使四边形ABCD是菱形．（只需添加一个即可）17．如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD＝，平行四边形CDEB为菱形．18．如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．且AD交EF于O，则∠AOF＝度．19．如图，在∠MON的两边上分别截取OA、OB，使OA＝OB；分别以点A、B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC、BC、AB、OC．若AB＝2cm，四边形OACB的面积为4cm2．则OC的长为cm．20．如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED，AB＝1，∠ABE＝45°，则BC 的长等于．21．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°，对角线AC与BD相交于点O．若不增加任何字母与辅助线，要使得四边形ABCD是正方形，则还需增加的一个条件是．三．解答题（共5小题）22．已知：菱形ABCD中，对角线AC＝16cm，BD＝12cm，BE⊥DC于点E，求菱形ABCD的面积和BE的长．23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、CD．求证：EF＝CD．24．已知，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F．求证：四边形AEDF是菱形．25．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC，CE∥DB．求证：四边形OBEC 是矩形．26．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，CE∥AD且CE＝AD．（1）求证：四边形ADCE是矩形；（2）若△ABC是边长为4的等边三角形，AC，DE相交于点O，在CE上截取CF＝CO，连接OF，求线段FC的长及四边形AOFE的面积．参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．【解答】解：A、错误．有3个角为直角的四边形是矩形．B、正确．矩形的对角线相等．C、错误．平行四边形的对角线不一定相等．D、错误．对角线互相垂直的四边形不一定是菱形．故选：B．2．【解答】解：A、错误．若AB⊥BC，则平行四边形ABCD是矩形；B、错误．若AC⊥BD，则平行四边形ABCD是菱形；C、正确．D、错误．若AB＝AD，则平行四边形ABCD是菱形；故选：C．3．【解答】解：因为“平行四边形的两组对角分别相等”，“邻角互补”所以相邻两个角的平分线组成角是直角，即平行四边形的四个内角的平分线围成的四边形四个角都是直角，是矩形．故选：B．4．【解答】解：∵∠A＝∠B＝∠C＝90°，∴四边形ABCD是矩形，∴当BC＝CD时，四边形ABCD是正方形，故选：A．5．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，且周长为28，∴AB＝AD＝BC＝CD＝7，BO＝DO，AC⊥BD，∵点EAD中点，BO＝DO，∴OE＝AB＝3.5故选：B．6．【解答】解：如图，作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，连接AC，BD交于点O，由题意知，AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形．∵两张纸条等宽，∴AR＝AS．∵AR•BC＝AS•CD，∴BC＝CD，∴平行四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD．在Rt△AOB中，OA＝3，OB＝4，∴AB＝＝5．故选：A．7．【解答】解：当AB＝BC时，四边形DBFE是菱形；理由：∵点D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点，∴DE∥BC，EF∥AB，∴四边形DBFE是平行四边形，∵DE＝BC，EF＝AB，∴DE＝EF，∴四边形DBFE是菱形．故B正确，不符合题意，当BE平分∠ABC时，可证BD＝DE，可得四边形DBFE是菱形，当EF＝FC，可证EF＝BF，可得四边形DBFE是菱形，故C、D不符合题意，故选：A．8．【解答】解：若AD⊥BC，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是矩形；选项A错误；若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是菱形，不一定是矩形；选项B错误；若BD＝CD，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是菱形；选项C错误；若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形；正确；故选：D．9．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝DA，∵AE＝BF＝CG＝DH，∴AH＝BE＝CF＝DG．在△AEH、△BFE、△CGF和△DHG中，，∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS），∴EH＝FE＝GF＝GH，∠AEH＝∠BFE，∴四边形EFGH是菱形，∵∠BEF+∠BFE＝90°，∴∠BEF+∠AEH＝90°，∴∠HEF＝90°，∴四边形EFGH是正方形，∵AB＝BC＝CD＝DA＝8，AE＝BF＝CG＝DH＝5，∴EH＝FE＝GF＝GH＝＝，∴四边形EFGH的面积是：×＝34，故选：B．10．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠ABC＝90°，OA＝AC，OB＝BD，AC＝BD，∴OA＝OB，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AB＝BE，∵∠EAO＝15°，∴∠BAO＝45°+15°＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴∠ABO＝60°，OB＝AB，∴∠OBE＝90﹣60°＝30°，OB＝BE，∴∠BOE＝（180°﹣30°）＝75°．故选：C．11．【解答】解：如图，连接PE，点P绕点E顺时针旋转90°得到的对应点P′在x轴上，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，∴∠AEB＝90°，AE＝BE，∠EAP′＝∠EBP＝45°，∵点P坐标为（a，b），∴BP＝b，∵∠PEP′＝90°，∴∠AEP′＝∠PEB，在△AEP′与△BEP中，，∴△AEP′≌△BEP（ASA），∴AP′＝BP＝b，∴点P′的坐标是（b，0），故选：D．12．【解答】解：连接PC，∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴∠PEC＝∠PFC＝∠C＝90°，∴四边形ECFP是矩形，∴EF＝PC，∴当PC最小时，EF也最小，即当CP⊥AB时，PC最小，∵AC＝8，BC＝6，∴AB＝10，∴PC的最小值为：＝4.8．∴线段EF长的最小值为4.8．故选：C．二．填空题（共9小题）13．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝4，BO＝DO＝BD＝3，在Rt△ABO中，AB＝＝＝5（cm），菱形的面积＝×6×8＝24（cm2）．故答案为：5，24．14．【解答】解：根据已知可得，菱形的边长AB＝BC＝CD＝AD＝10cm，∠ABC＝60°，∠BAD＝120°，∴△ABC为等边三角形，∴AC＝AB＝10cm，AO＝CO＝5cm，在Rt△AOB中，根据勾股定理得：BO＝＝5，∴BD＝2BO＝10（cm），则S菱形ABCD＝×AC×BD＝×10×10 ＝50（cm2）；故答案为：10cm，50cm2．15．【解答】解：在菱形ABCD中，∠ADC＝130°，∴∠BAD＝180°﹣130°＝50°，∴∠BAO＝∠BAD＝×50°＝25°，∵OE⊥AB，∴∠AOE＝90°﹣∠BAO＝90°﹣25°＝65°．故答案为：65°．16．【解答】解：OA＝OC，∵OB＝OD，OA＝OC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，故答案为：OA＝OC．17．【解答】解：如图，连接CE交AB于点O．∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝＝5（勾股定理）．若平行四边形CDEB为菱形时，CE⊥BD，且OD＝OB，CD＝CB．∵AB•OC＝AC•BC，∴OC＝．∴在Rt△BOC中，根据勾股定理得，OB＝＝＝，∴AD＝AB﹣2OB＝．故答案是：．18．【解答】证明：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF为平行四边形，∴OA＝OD，OE＝OF，∠2＝∠3，∵AD是△ABC的角平分线，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴AE＝DE．∴▱AEDF为菱形．∴AD⊥EF，即∠AOF＝90°．故答案为：90．19．【解答】解：根据作图，AC＝BC＝OA，∵OA＝OB，∴OA＝OB＝BC＝AC，∴四边形OACB是菱形，∵AB＝2cm，四边形OACB的面积为4cm2，∴AB•OC＝×2×OC＝4，解得OC＝4cm．故答案为：4．20．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC．∴∠DEC＝∠BCE．∵EC平分∠DEB，∴∠DEC＝∠BEC．∴∠BEC＝∠ECB．∴BE＝BC．∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°．∵∠ABE＝45°，∴∠ABE＝AEB＝45°．∴AB＝AE＝1．∵由勾股定理得：BE＝，∴BC＝BE＝．故答案为：21．【解答】解：由题意可确定，ABCD为一四个角都是90°的四边形，即可能存在矩形的情况，若使AB＝AC．可进一步确定其为正方形，故答案为：AB＝AC．三．解答题（共5小题）22．【解答】解：菱形ABCD的面积S＝×16×12＝96，∵AC⊥BD，∴AB＝10，∴CD＝AB＝10，∴×CD×BE＝48，∴BE＝cm，所以菱形ABCD的面积为96cm2，BE的长为cm．23．【解答】证明：∵DE、DF是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DF∥AC，∴四边形DECF是平行四边形，又∵∠ACB＝90°，∴四边形DECF是矩形，∴EF＝CD．24．【解答】证明：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∠EDA＝∠FAD，∵AD是△ABC的角平分线，∴∠EAD＝∠FAD，∴∠EAD＝∠EDA，∴EA＝ED，∴四边形AEDF为菱形．25．【解答】证明：∵BE∥AC，CE∥DB，∴四边形OBEC是平行四边形，又∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠AOB＝90°，∴平行四边形OBEC是矩形．26．【解答】（1）证明：∵CE∥AD且CE＝AD，∴四边形ADCE是平行四边形，∵在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC（等腰三角形三线合一性质），∴∠ADC＝90°，∴四边形ADCE是矩形；（2）解：∵△ABC是等边三角形，边长为4，∴AC＝4，∠DAC＝30°，∴∠ACE＝30°，AE＝2，CE＝2，∵四边形ADCE为矩形，∴OC＝OA＝2，∵CF＝CO，∴CF＝2，过O作OH⊥CE于H，∴OH＝OC＝1，∴S四边形AOFE＝S△AEC﹣S△COF＝×2×2﹣×2×1＝2﹣1．。

北师大版九年级数学上第1章《特殊平行四边形》单元试题（100分钟，120分）一、选择题1．下列给出的条件中，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB∥CD，AD=BC B．∠A=∠C，∠B=∠D C．AB∥CD，AD∥BC D．AB=CD，AD=BC 2．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若BD、AC的和为18cm，CD：DA=2：3，△AOB的周长为13cm，那么BC的长是（）A．6cm B．9cm C．3cm D．12cm3．如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置，若∠EFB=65°，则∠AED′等于（）A．50° B．55° C．60° D．65°4．给出以下三个命题：①对角线相等的四边形是矩形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③对角线互相垂直的矩形是正方形；④菱形对角线的平方和等于边长平方的4倍．其中真命题的是（）A．③B．①② C．②③D．③④5．如图，矩形ABCD中，E在AD上，且EF⊥EC，EF=EC，DE=2，矩形的周长为16，则AE的长是（）A．3B．4 C．5 D．76．已知一矩形的两边长分别为10cm和15cm，其中一个内角的平分线分长边为两部分，这两部分的长为（）A．6 cm和9 cm B．5 cm和10 cm C．4 cm和11 cm D．7 cm和8 cm7．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是（）A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD8．如图为菱形ABCD与△ABE的重叠情形，其中D在BE上．若AB=17，BD=16，AE=25，则DE的长度为何？（）A．8 B．9 C．11 D．129．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45度后得到正方形AB′C′D′，边B′C′与DC交于点O，则四边形AB′OD的周长是（）A．2B．3 C．D．1+10．如图，正方形ABCD的面积为4，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）A．2B．3 C．D．二、填空题11．等边三角形、平行四边形、矩形、正方形四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是矩形、正方形．12．已知菱形的两条对角线长分别为2cm，3cm，则它的面积是3cm2．【解答】解：∵菱形的两条对角线长分别为2cm，3cm，∴它的面积是：×2×3=3（cm2）．13．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是45°．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°．∵等边三角形ADE，∴AD=AE，∠DAE=∠AED=60°．∠BAE=∠BAD+∠DAE=90°+60°=150°，AB=AE，∠AEB=∠ABE=（180°﹣∠BAE）÷2=15°，∠BED=∠DAE﹣∠AEB=60°﹣15°=45°，故答案为：45°．14．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于 3.5 ．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA，AC⊥BD，∴∠AOD=90°，∵AB+BC+CD+DA=28，∴AD=7，∵H为AD边中点，∴OH=AD=3.5；15．如图，点E在正方形ABCD的边CD上．若△ABE的面积为8，CE=3，则线段BE的长为5．【解答】解：过E作EM⊥AB于M，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=BC=CD=AB，∴EM=AD，BM=CE，∵△ABE的面积为8，∴×AB×EM=8，解得：EM=4，即AD=DC=BC=AB=4，∵CE=3，由勾股定理得：BE===5，三、解答题（15题12分，16题12分，17题16分）16．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6cm，BC=8cm，求△AEF的周长。