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自然数的性质与运算定律自然数是人们日常生活中最常见的数，即从1开始一直向正无穷方向延伸的数集。
它们具有一些独特的性质和运算定律，对于我们理解数学的基本概念和推理方法有着重要的作用。
本文将介绍自然数的几个重要性质和运算定律，并探讨它们在实际问题中的应用。
1. 自然数的性质1.1 唯一性：每个自然数都是独一无二的。
不同的自然数具有不同的值，不存在两个自然数是相同的。
1.2 顺序性：自然数按照从小到大的顺序排列。
后面的自然数总是比前面的自然数大。
1.3 无穷性：自然数是无限多的，不存在最大自然数。
无论我们取多大的自然数作为起点，总能找到比它更大的自然数。
1.4 基数性：每个自然数都表示某个集合中元素的个数。
例如，自然数3表示一个集合中有3个元素。
2. 自然数的运算定律2.1 加法运算加法是自然数最基本的运算之一，表示两个自然数的求和。
对于任意自然数a、b和c，满足以下运算定律：（1）交换律：a + b = b + a，即加法的顺序不影响最终的结果。
（2）结合律：(a + b) + c = a + (b + c)，即无论加法的括号如何分配，最终的结果是相同的。
（3）零元素：存在一个自然数0，使得 a + 0 = a 对于任意自然数a 成立。
0被称为加法的零元素。
2.2 乘法运算乘法是自然数中另一个重要的运算，表示两个自然数的相乘。
对于任意自然数a、b和c，满足以下运算定律：（1）交换律：a × b = b × a，即乘法的顺序不影响最终的结果。
（2）结合律：(a × b) × c = a × (b × c)，即无论乘法的括号如何分配，最终的结果是相同的。
（3）单位元素：存在一个自然数1，使得 a × 1 = a 对于任意自然数a 成立。
1被称为乘法的单位元素。
（4）分配律：a × (b + c) = a × b + a × c，即乘法对于加法具有分配律。
(2) l 与C 0,1 的一个子空间是等距同构的．23n 2,2 1 注折线函数在每一个折线段上的最大值由端点值决定.(x )t是否完备？a ,b 作为BC 0, 上的范数是不等价的．证明不妨假设b a 0,显然有 f b f a ,由使得只需证称Decard笛卡尔空间. 规定线性运算如下：x 1,x 2 y 1,y 2 x 1 y 1, x 2 y 2对收敛.显然.x n 存在一串收敛子列.事实上, 对 k ,取因为 x n 是基本列,改写a是否唯一?请对结果作出几何解释．y1.4.11 设X是线性赋范空间，函数 :x 1称为凸的，如果不等式x 1 x x 1 x成立. 求证凸函数的局部极小值必然是全空间最小值．证明用反证法. 设x0是局部极小点, 则x1 U x0 x1 x0 .如果 x2 Xx 2 x 0 ,那么()()()()102x x 1x x 1x x ,+ < + = 证明()()()F c1F c. = +x M c c 1,c 2, ,c n ,x g minx M x g minc1,c2, ,c n nF c F c1.4.13 设X是B 空间，X0是X的线性子空间，假定 c 0,1 ，使得inf x X0 y x c y求证: X0在X中稠密.证C0表示以0为极限的函数全体，并在C0中赋故x 1, 2, , k, M.x 0 y 2 1, 2, , k , ,x 0 y 1| k | 1k 22 1 1.注本题提供---个例子说明：对于无穷维闭线性子空间M 来说，给定其外一点x 0，未必能在其上找到一点y 适合x 0 yx 0,M .换句话说，给定M 外一点x 0 ,未必能在M 上找到最佳逼近元．1.4.15 设X 是B 空间, M 是X 的有限维真子空间，求证:y X , y 1,使得 y x 1.证y 0 X\M ,dinf x My 0 x 0,x n y 0 x n y 0 y 0 d1 , 即 x n 有界. 又 M 是有穷维的, 所以 x n 有收敛子列, 不妨就是整个序列. 设x n x 0 M ,则 y 1,对 x M,如下：x y x y X0 x , y X/X0;x x X0 x X/X0, K,其中x和y表示等价类 x , y 的任一元素. 又规定范数x inf x |x x x X/X0,求证 X/X0, 是一个线性赋范空间.(3) x x inf x X0 |X0 X0 x .(4) 定义映射 :X X/X0为x x是线性连续映射. (5) x X/X0，求证x X使得 x x ，且 x 2 x . (6) 设X是Banach空间，求证X/X0也是Banach空间.(7) 设X C 0,1 , X0 f X|f 0 0 ，求证：X/X0与K等距同构.解(1) X0 X ,x z X|z x X0 x X0x y x y X0z x z x X0z x z x X0(2)x0 infz xz , xx ,x0 0, x 0 0 infz xz 0infz xz 0 z n x , z n 0 z n x x X0. x x , y yx yinfx xy yx y x y x y先对后式 x x取下确界, 再对y y取下确界，上式保持不变，即得x y 0inf x xx infy yy x 0 y 0.(3) x 0 x ,X 0 .x x ,x x x ,X 0 x 0 x ,X 0 ;0,x x ,z X 0, x z x ,X 0 .x x z z X 0, x z x x .x 0 x z x ,X 0 0x 0 x ,X 0 .(4) x x :X X X 0.x x 0 x 连续．(5)x X X 0,x ,inf z xz x 0,根据定义，下确界是最大下界，所以2 x 0非下界．于是存在z x ,使 z 2 x 0(6) 设x n是X X 0的基本列，不妨设n 1x n 1x n 0收敛．由 (5),y n x n 1 x n , x n 1 x n 0补充 x 0 .n 0y n收敛n 0y n收敛, 令xn 0y n .则x lim n x n ||||xn 0y nn 0x n 1x n(7) f X X 0,f f ,f 0 f 0 K .T :X X 0 K ,T f f 0.下证：|T f |f 0.事实上， f 0 inf f fff x f 0 f|f 0|; 0,f 1 f ,使得[][]()()[]11100t 0,1000f f max f t f 0f f f .+ >= = 于是f 0 |f 0|.,即|T f | |f 0|.。
《电磁场与电磁波基础教程》（第2版）习题解答第1章1.1 解：（1）==A B=C（2）)))23452A x y zB y zC x z ==+-=+=-，，；A a a a a a -a a a a a A（3）()()+2431223x y z x y z =+-+-+=--=+；A B a a a a a a A B （4）()()23411x y z y z ⋅=+-⋅-+=-；A B a a a a a （5）()()234104x y z y z x y z ⨯=+-⋅-+=---；A B a a a a a a a a （6）()()()1045242x y z x z ⨯⋅=-++⋅-=-；A B C a a a a a（7）()()()x 2104522405x y z x z y ⨯⨯=-++⨯-=-+A B C a a a a a a a a 。
1.2解：cos 68.56θθ⋅===︒；A B A BA 在B 上的投影cos 1.37B A θ===A ；B 在A 上的投影cos 3.21A B θ===B 。
1.3 解：()()()()()()()4264280⋅=-++-=正交A B 。
1.4 解：1110x x y y z z x y y z z y ⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=，，；；a a a a a a a a a a a a 0x x y y z z ⨯=⨯=⨯=；a a a a a a x y z y z x z x y ⨯=⨯=⨯=；，a a a a a a a a a 。
1.5 解：（1）111000z z z z ρρϕϕρϕϕρ⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=，，；，，a a a a a a a a a a a a ；000z z z z z ρρϕϕρϕϕρρϕ⨯=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯=，，；，，a a a a a a a a a a a a a a a 。
常微分方程解的存在唯一性定理常微分方程解的存在唯一性定理一阶微分方程⑴其中. 是在矩形域丄」’叭」上的连续函数。
定义1如果存在常数二11，使得不等式”（础）-/（砒）冏肝川对于所有--■■-1--- 都成立，贝U函数/、?称为在二上关于：'满足Lipschitz 条件。
定理1如果「二，在二上连续且关于「满足Lipschitz 条件，则方程（1）存在唯一的解y=叭心，定义于区间M ■阳卜月上，连续且满足初始条件W八-卄 A = r—）M = max' ■-.，这里」f，?心「。
Picard逐步逼近法来证明这个定理的主要思想首先证明求微分方程的初值冋题的解等价于求积分方程的连续解。
然后去证明积分方程的解的存在唯一性。
任取一个连续函数代入上面积分方程右端的,就得到函数俅沪）Vp（Z（）⑴）必，显然J 也是连续函数，如果,那末l:-'就是积分方程的解。
否则，我们又把J二代入积分方程右端的「，得到汀0恥）皿，如果氛沪仍⑴，那末仇⑴就是积分方程的解。
否则我们继续这个步骤。
一般地作函数惦（3.1.1.4）这样就得到连续函数序列，...，〔「」，…如果二, 那末就是积分方程的解。
如果始终不发生这种情况，我们可以证明上面的函数序列有一个极限函数厂：;；1，即'厂…I存在，因而对?Ji/）取极限时，就得到f「打「X FJr=y0+l=y0+祕幼必Jf祕x）=y n+/（X 矶兀））必/ 、即?血，这就是说机x）是积分方程的解。
这种一步一步地求出方程的解的方法就称为逐步逼近法。
函数''■■■■■'称为初值问题的第：次近似解。
命题1设—是方程（1）的定义于区间V —'■'‘上，满足初始条件Jf瞅）=刃的解，则厂曲）是积分方程y=y°+y （2曲碳心砒的定义于V ——'■上的连续解。
反之亦然。
现在取，构造皮卡逐步逼近函数序列如下: 京（X）=丹；保（方=丹+ f于（乙矶_1?）時从“英肿hJ*D（聊=12…）1命题2对于所有的卜，函数在J■:上有定义、连续且满足不等式命题3 函数序列"I「在J ------------ '."上是一致收敛的。
一阶微分方程解的存在性定理的其它证明方法姜旭东摘要 本文在文[1]对一阶微分方程初值问题解得存在唯一性定理证明的基础上,应用压缩映像原理，Schauder 不动点定理，以及Euler 折线法，给出了一阶微分方程解得存在唯一性定理的其它几种证法.关键词 一阶微分方程 不动点定理 解的存在性 唯一性 1、引言微分方程来源于生活实际，研究微分方程的目的在于掌握它所反映的客观规律。
在文[1]第二章里,介绍了能用初等解法求解的一阶方程的若干类型,但同时指出,大量的一阶方程一般是不能用初等解法求解它的通解,而实际问题需要的往往是要求满足某种初始条件的解. 本文在文[1]对一阶微分方程初值问题解的存在唯一性定理证明的基础上,应用压缩映像原理，Schauder 不动点定理，以及Euler 折线法，给出了一阶微分方程解的存在唯一性定理的其它几种证法.考虑一阶微分方程 (,)dyf x y dx= (1.1)这里(,)f x y 是在矩形区域00:||,||R x x a y y b -≤-≤ (1.2)上的连续函数.函数(,)f x y 在R 上满足Lipschitz 条件，即存在常数L ＞0，使得不等式1212|(,)(,)|||f x y f x y L y y -≤- (1.3)对所有12(,),(,)x y x y R ∈都成立, L 称为Lipschitz 常数。
定理1.1、如果(,)f x y 在R 上连续且关于y 满足Lipschitz 条件，则方程(1.1)存在唯一的解()y x ϕ=,定义于区间0||x x h -≤上,连续且满足初始条件00()x y ϕ=这里min(,)bh a M=,(,)max |(,)|x y R M f x y ∈=.文[1]中采用皮卡逐步逼近法来证明这个定理.为了简单起见,只就区间00x x x h≤≤+来讨论,对于00x h x x -≤≤的讨论完全一样.分五个命题来证明这个定理:命题1、设()y x ϕ=是方程(1.1)定义于区间00x x x h ≤≤+上满足初始条件00()x y ϕ=的解,则()y x ϕ=是积分方程0(,)xx y y f x y dx =+⎰ 00x x x h ≤≤+ (1.4)的定义于00x x x h ≤≤+上的连续解.反之亦然. 现在取00()x y ϕ=,构造皮卡逐步逼近函数序列如下:0000100()()(,())x nn x x y x y f d x x x hϕϕξϕξξ-=⎧⎪⎨=+≤≤+⎪⎩⎰ (1.5)(n=1,2,…)命题2 、对于所有的n ，(1.5)中()n x ϕ在00x x x h ≤≤+上有定义、且满足不等式0|()|n x y b ϕ-≤命题3 、函数序列{}()n x ϕ在00x x x h ≤≤+上是一致收敛的. 命题4 、()x ϕ是积分方程(1.4)的定义于00x x x h ≤≤+上的连续解.命题5 、()x ψ是积分方程(1.4)的定义于00x x x h ≤≤+上的一个连续解，则()()x x ϕψ=，00x x x h ≤≤+.综合命题1—5，即得到存在唯一性定理.本文在方程(1.1)在满足定理1.1条件下,应用应用压缩映像原理，Schauder 不动点定理，以及Euler 折线法，给出了一阶微分方程解得存在唯一性定理的其它几种证法.2、预备知识定义 2.1、 定义在t αβ≤≤上的实值(m 维)向量函数族{}()F f t =,如果存在数M ＞0，使得对任一f F ∈，都有()f t M ≤，当t αβ≤≤时，则称函数族F 在t αβ≤≤上是一致有界的.定义2.2 、定义在t αβ≤≤上的实值(m 维)向量函数族{}()F f t =，如果对于任给的ε﹥0，总存在δ﹥0，使得对任一f F ∈和任意的12,[,]t t αβ∈，只要12|,|t t -＜δ就有12()()f t f t -＜ε则称函数族F 在 t αβ≤≤上是同等连续.定义2.3、设X 是度量空间，M 是X 中子集，若M 是X 中紧集，则称M 是X 中相对紧集。
应用数学MATHEMATICA APPLICATA2021,34(1):123-129二维趋化N-S方程解的唯一性准则郭猫驼,苑佳(北京航空航天大学数学科学学院,北京100191)摘要：本文研究一类二维趋化N-S方程解的唯一性问题.利用Littlewood-Paley理论和Besov空间理论以及做差法,获得这一类二维趋化N-S方程弱解唯一性的唯一性准则.关键词：趋化N-S方程;正则性;唯一性准则中图分类号：O175.26AMS(2000)主题分类：35A05;35K10文献标识码：A文章编号：1001-9847(2021)01-0123-071.引言在本文中,我们研究的是不可压趋化Navier-Stokes方程（简称为趋化N-S方程）,其表达式如下：∂t n+u·∇n−∆n=−∇·(χ(c)n∇c),∂t c+u·∇c−∆c=−f(c)n,∂t u+κ(u·∇u)−∆u+∇P=−n∇Φ,∇·u=0,(n,c,u)|t=0=(n0,c0,u0).(1.1)系统(1.1)描述的是不可压流体中微生物的趋化现象,关于这类方程的解的适定性问题有很多的研究工作.在2010年,DUAN和Lorz[3]证明了系统(1.1)在二维以及三维的有界区域（不含通量的边界条件）内弱解的局部存在性；随后,LIU和Lorz[4]在关于χ(c),f(c)的假设χ(c)>0,dd c(χ(c))≥0,f(c)>0,d2d c2(f(c)χ(c))<0以及c0,Φ的初值很小的条件下,得到了系统(1.1)在二维空间中的整体存在性.在2013年,系统(1.1)的古典解在二维和三维空间中的局部存在性在文[5]中被建立.在2014年,Chae, KANG和Lee[6]证明了在二维以及三维空间中,系统(1.1)光滑解的局部适定性并且在H m,m≤3的框架中建立了解的某些爆破准则.之后,ZHANG[7]把该结果拓展到了Besov空间.同样在2014年,在κ=1且χ(c)为常数的情况下,ZHANG和ZHENG[8]获得了能量解的整体适定性.在2017年,对系统(1.1)考虑一个额外的细菌密度增长源时,Braukhoff[9]在二维空间上建立了古典解的整体存在性和唯一性以及在三维空间下弱解的整体存在性.同时在2018年,在满足∥n0∥L1(R2)足够小并且对于χ(c),f(c)满足χ(c),f(c),χ′(c),f(c)≥0时,解的整体适定性以及时间衰减估计在文[10]中被建立.但是在三维条件下,系统(1.1)带有大初值问题的解是否整体存在、是否爆破依然是一个公开的问题.∗收稿日期：2020-01-12基金项目：国家自然科学基金(11871087,11771423)作者简介：郭猫驼,男,汉族,江西人,研究方向：偏微分方程.124应用数学2021我们要研究的是二维趋化N-S方程系统中的一类,其表达式如下：∂t n+u·∇n=−∇·(n∇c)+g(n),∂t c+u·∇c−∆c=−cn,∂t u+u·∇u−∆u+∇P=−n∇Φ,∇·u=0,(n,c,u)|t=0=(n0,c0,u0),(1.2)其中g(n)=n(1−n)(n−a),0<a<12.对于上述系统(1.2),在初值属于X0 {(n0,c0,u0)|n0∈L1∩L2(R2),n0>0;c0∈L2∩L∞(R2),c0>0;u0∈H1(R2)}时,从文[1]中已经有了弱解的存在性的结果,其结果如下：n∈L∞loc (R+;L1(R2)∩L2(R2))∩L3loc(R+;L3(R2))∩L4loc(R+;L4(R2)),c∈L∞(R+;L∞(R2))∩L∞loc (R+;H1(R2))∩L2loc(R+;H2(R2)),u∈L∞loc (R+;H1(R2))∩L2loc(R+;H1(R2))∩L2loc(R+;H2(R2)),并且满足n(x,t)>0,c(x,t)>0.但是系统(1.2)弱解的唯一性研究依然是一个公开的问题,本文主要工作就是为系统(1.2)的唯一性研究做进一步的推进工作,我们得到了系统(1.2)的唯一性准则,结果如下.定理1.1对于任意的(n0,c0,u0)∈X0以及∇ϕ∈L∞(R2),若系统(1.2)的弱解满足∫t||∇3c||2L3dτ≤C(t),那么系统(1.4)的弱解具有唯一性.2.预备知识首先引入如下的单位分解定理[2]：定理2.1设Ψ是一个以原点为中心,长半径为83,短半径为34的环,则存在两个径向函数χ(ξ)∈℘(B43(0)),ˆϕ(ξ)∈℘(Ψ)满足0≤χ(ξ),ˆϕ(ξ)≤1,且χ(ξ)+∑j≥0ˆϕ(2−jξ)=1,∀ξ∈R d∑j∈Zˆϕ(2−jξ)=1,∀ξ∈R d\{0}.在以上单位分解定理的基础上,引入一些记号如下：∆−1u=χ(D)u=F−1(χ(ξ)ˆu(ξ));∆j u=0,j≤−2∆j u=ˆϕ(2−j D)u=2jd∫R dϕ(2j y)u(x−y)d y,j≥0S j u=χ(2−j D)u=2jd∫R dh(2j y)u(x−y)d y,j∈N∪{0}.根据以上的Littlewood-Paley算子∆j的定义,有如下的非齐次Littlewood-Paley分解u=∆−1u+∞∑j=0∆j u.同时可以有如下非齐次Besov空间的定义：定义2.1设(p,r)∈[1,+∞]2,s∈R,那么非齐次Besov空间B sp,r(R d)定义为：B sp,r ∆=u(x)u∈S′(R d),||u||B s p,r(R d)∆=(∑q≥−12qsr||∆q u||r L p(R2))1r<∞.并且B s2,2与Sobolev空间H s是范数等价的.同时本文引入两种混合时空的Besov空间.第1期郭猫驼等：二维趋化N-S 方程解的唯一性准则125定义2.2当T >0,ρ≥1时,记L ρT B sp,r 表示满足下列表达式的所有缓增广义函数的集合,∥u ∥L ρT B s p,r (R 2)∆= (∑q ≥−12qsr ∥∆q u ∥r L p (R 2))1rL ρT<∞.定义2.3当T >0,ρ≥1时,我们记˜L ρTB s p,r 表示满足如下条件的缓增广义函数u 的集合∥u ∥˜L ρT B s p,r(R 2)∆=(∑q ≥−12qsr∥∆q u ∥r L ρTL p (R 2))1r <∞.根据Minkowski 不等式,发现：当s ∈R ,ρ≥1且(p,r )∈[1,∞]2时,如果r ≥ρ,L ρT B sp,r 嵌入到˜L ρT B s p,r ;如果ρ≥r ,˜L ρT B s p,r 嵌入到L ρT B s p,r .在本文定理证明的过程中需要用到以下引理.引理2.1(Bernstein 不等式)令1≤p ≤q ≤∞,假设f ∈L p ,那么存在一个不依赖于f 和j 的常数C ,满足1)若supp ˆf⊂{|ξ|≤C 2j },则||∂αf ||L q ≤C 2j |α|+2j (1p−1q )||f ||L p ;2)若supp ˆf⊂{C −12j ≤|ξ|≤C 2j },则||f ||L p ≤C 2−j |α|sup β=α||∂βf ||L p .3.定理1.1的证明为证明定理1.1,我们需要首先证明以下的引理3.1与引理3.2,这两个定理对于定理1.1的证明有很重要的作用.引理3.1在初值属于X 0条件下,系统(1.2)的弱解有如下正则性:∫t∥∇u ∥L ∞d τ<∞且∫t 0∥∇c ∥L ∞d τ<∞.证首先用算子∆q (q ≥0)作用系统(1.2)的第三个方程两边,从而有∂t ∆q u +∆q (u ∇u )−∆∆q u +∆q ∇P =−∆q (n ∇Φ).(3.1)然后在上述式子(3.1)两边同时乘以∆q u ,并且对于空间变量积分,应用Bernstein 不等式,可以得到12d ||∆q u ||2L 2d t +22q ||∆q u ||2L 2≤−∫R 2∆q (n ∇Φ)∆q u d x −∫R 2∆q (u ∇u )∆q u d x.(3.2)将方程式子(3.2)的两边同时乘以t α22q ,0<α<1,方程变为1222q d(t α||∆q u ||2L 2)d t +24q t α||∆q u ||2L 2≤−22q t α∫R 2∆q (n ∇Φ)∆q u d x −22q t α∫R 2∆q (u ∇u )∆q u d x +12α22q t α−1||∆q u ||2L 2=I +II +III.(3.3)对于(3.2)中I,II 式使用H¨o lder 不等式和Young 不等式,得到I ≤22q t α||∆q (n ∇Φ)||L 2||∆q u ||L 2≤C (ε)t α||∆q (n ∇Φ)||2L 2+ε24q t α||∆q u ||2L 2,(3.4)II ≤23q t α||∆q (u ⊗u )||L 2||∆q u ||L 2≤C (ε)22q t α||∆q (u ⊗u )||2L 2+ε24q t α||∆q u ||2L 2.(3.5)把I,II 的估计式(3.4),(3.5)式代入到(3.3)式,并且两边同时对于时间t 进行积分,从而有22q t α||∆q u ||2L 2+∫t24q τα||∆q u ||2L 2d τ≤∫t 022q τα−1||∆q u ||2L 2d τ+C (ε)∫t 022q τα||∆q (u ⊗u )||2L 2d τ+C (ε)∫tτα||∆q (n ∇Φ)||2L 2d τ.(3.6)126应用数学2021对式(3.6)两边同时对q ≥0进行求和,可以把(3.6)式转化为如下(3.7)式∑q ≥022q t α||∆q u ||2L 2+∑q ≥0∫t24q τα||∆q u ||2L 2d τ≤∑q ≥0∫t22q τα−1||∆q u ||2L 2d τ+C (ε)∑q ≥0∫t22q τα||∆q (u ⊗u )||2L 2d τ+C (ε)∑q ≥0∫tτα||∆q (n ∇Φ)||2L 2d τ=J 1+J 2+J 3.(3.7)对于上述(3.7)式右边的J 1,J 2,J 3项,利用Besov 空间与Sobolev 空间的嵌入关系,以及H¨o lder 不等式,有如下估计J 1≤∫tτα−1||u ||2H 1d τ≤||u ||2L ∞tH 1x ∫t 0τα−1d τ≤C (t ),J 2≤∫t 0τα||u ⊗u ||2H 1d τ≤Ct α∫t0||u ||2L ∞||u ||2H 1d τ≤Ct α||u ||2L ∞t L 2x ||u ||2L 2t H 2x ≤C (t ),J 3≤t α∫t 0||n ∇Φ||2L 2d τ≤t α∫t 0||n ||2L 2||∇Φ||2L ∞d τ≤Ct α||n ||2L 2t L 2x≤C (t ).把上述J 1,J 2,J 3所得到的估计结果累加到(3.7)式中,有如下(3.8)式：∑q ≥022q t α||∆q u ||2L 2+∑q ≥0∫t 024q τα||∆q u ||2L 2d τ≤C (t ).(3.8)通过使用非齐次的Littlewood-Paley 分解,成立∫t 0||∇u ||L ∞d τ≤∫t 0∑q ≥−1||∆q (∇u )||L ∞d τ≤∫t||∆−1(∇u )||L ∞d τ+∫t 0∑q ≥0||∆q (∇u )||L ∞d τ.使用Bernstein 不等式和H¨o lder 不等式以及混合时空的嵌入关系,就有∑q ≥0∫t 0||∆q (∇u )||L ∞d τ≤∑q ≥022q ∫t 0||∆q u ||L 2d τ=∑q ≥022q∫tτ−α2τα2||∆q u ||L 2d τ≤∑q ≥0(∫t0(τ−α2)2d τ)12(∫t 024q τα||∆q u ||2L 2d τ)12≤(∫t 0τ−αd τ)12(∫t 0∑q ≥024q τα||∆q u ||2L 2d τ)12≤C (t ).由于∫t0∥∆−1(∇u )∥L ∞d τ≤∫t||u ||L 2d τ,所以可以得到∫t0∥∇u ∥L ∞d τ≤C (t ).利用同样的方法,也可以得到∫t 0∥∇c ∥L ∞d τ<∞.第1期郭猫驼等：二维趋化N-S 方程解的唯一性准则127引理3.2若系统(1.2)的弱解(n,c,u )满足∫t0||∇3c ||2L 3d τ≤C (t ),那么有||∇n ||2L 3+∫t||∇n ||2L 3d τ≤C (t ).证首先对系统(1.2)的第一个方程两边用∂i 作用,并把g (n )=n (1−n )(n −a )代入,就有∂t ∂i n +u ·∇∂i n =−∇·∂i (n ∇c )−∂i (n 3)+(1+a )∂i (n 2)−a∂i n −∂i u ∇n.(3.9)对于上述(3.9)式做L 3-估计得13d ||∂i n ||3L3d t +3∫R 2n 2|∂i n |3d x +a ||∂i n ||3L 3=−∫R 2∇·∂i (n ∇c )|∂i n |∂i n d x +2(1+a )∫R 2n |∂i n |3d x −∫R 2∂i u ∇n |∂i n |∂i n d x=N 1+N 2+N 3.(3.10)对于N 1,N 2,N 3,分别利用H¨o lder 不等式和Young 不等式,有N 1=−∫R2∇·∂i (n ∇c )|∂i n |∂i n d x=−∫R 2∇·(∂i n ∇c )|∂i n |∂i n d x −∫R 2∇·(n ∇∂i c )|∂i n |∂i n d x ≤2||∆c ||L ∞||∂i n ||3L 3+||∇2c ||L ∞∫R2∇n |∂i n |∂i n d x +C (ε)||∆∂i c |||2L 3||∂i n ||L 3+ε||n 2/3∂i n ||3L 3,N 2=2(1+a )∫R 2n |∂i n |3d x ≤2ε(1+a )∫R 2n 2|∂i n |3d x +2C (ε)(1+a )||∂i n ||3L 3,N 3=−∫R 2∂i u ∇n |∂i n |∂i n d x ≤||∇u ||L ∞∫R 2∇n |∂i n |∂i n d x.把N 1,N 2,N 3估计带入到(3.10)式,并且两边同时对于i 求和,能够得到13d ||∇n ||3L 3d t+C 1||n 2/3∇n ||3L 3+C 2||∇n ||3L 3≤||∇u ||L ∞||∇n ||3L 3+2||∆c ||L ∞||∇n ||3L 3+||∇2c ||L ∞||∇n ||3L 3+C (ε)||∇3c ||2L 3||∇n ||L 3.对于上式两边同时除以||∇n ||L 3,可以得到12d ||∇n ||2L 3d t+C 2||∇n ||2L 3≤||∇u ||L ∞||∇n ||2L 3+2||∆c ||L ∞||∇n ||2L 3+||∇2c ||L ∞||∇n ||2L 3+C (ε)||∇3c ||2L 3.联系已经证明的引理3.1的结果和引理3.2已给的条件,由Gronwall 不等式可得||∇n ||2L 3+∫t||∇n ||2L 3d τ≤C (t ).定理1.1的证明假设系统(1.2)有两个弱解(n 1,c 1,u 1)和(n 2,c 2,u 2),利用做差法,令δn =n 1−n 2,δc =c 1−c 2,δu =u 1−u 2,由此我们可以建立系统(1.2)的差分方程组∂t δn +u 1∇δn =−∇·(∇c 1δn )−∇·(n 1∇δc )−δu ∇n 1+g (n 1)−g (n 2),∂t δc +u 1∇δc −∆δc =−c 1δn −n 1δc −δu ∇c 1,∂t δu +u 1∇δu −∆δu +∇δP =−δn ∇Φ−δu ∇u 1,∇·u =0,(n,c,u )|t =0=(n 0,c 0,u 0).(3.11)分别对于上述系统(3.11)的第一个,第二方和第三个方程做L 2-估计,可以得12d ||δn ||2L 2d t =−∫R 2∇·(n 1∇δc )δn d x −∫R2∇·(δn ∇c 1)δn d x128应用数学2021−∫R2[g(n1)−g(n2)]δn d x−∫R2δu∇n1δn d x=S1+S2+S3+S4,(3.12)1 2d||δc||2L2d t+||∇δc||2L2=−∫R2δu∇c1δc d x−∫R2c1δnδc d x−∫R2n1(δc)2d x=K1+K2+K3,(3.13)1 2d||δu||2L2d t+||∇δu||2L2=−∫R2δu∇u1δu d x−∫R2δn∇Φδu d x=M1+M2.(3.14)对于S1,S2,S3,S4应用利用H¨o lder不等式以及Young不等式,就有S1=−∫R2∇n1∇δcδn d x−∫R2n1∆δcδn d x≤C(ε)||∇n1||2L3||δn||2L2+C(ε)||∇δc||2L2+C(ε)||n1||2L∞||δn||2L2+ε||∆δc||2L2,S2=∫R2δn∇c1∇δn d x=−12∫R2∆c1(δn)2d x≤12||∆c1||L∞||δn||2L2,S3=−∫R2(n31−n32)δn d x+(1+a)∫R2(n21−n22)δn d x−a∫R2(n1−n2)δn d x≤−a ∫R2(δn)2d x−∫R2(n21+n22+n1n2)(δn)2d x+(1+a)C(ε)∫R2(δn)2d x+(1+a)ε∫R2(n21+n22)(δn)2d x≤[(1+a)C(ε)−a]||δn||2L2+[(1+a)ε−1]∫R2(n21+n22)(δn)2d x−∫R2n1n2(δn)2d x≤C||δn||2L2,S4=−∫R2δu∇n1δn d x≤||∇n1||L3||δu||L6||δn||L2≤||∇n1||L3||δu||1/3L2||∇δn||2/3L2||δn||L2≤C(ε)||∇n1||2L3||δn||2L2+ε||δu||2/3L2||∇δu||4/3L2≤C(ε)||∇n1||2L3||δn||2L2+εC(ε)||δu||2L2+ε2||∇δu||2L2.同理对于K1,K2,K3,M1,M2利用H¨o lder不等式以及Young不等式,可以得到K1=−∫R2δu∇c1δc d x≤||∇c1||L∞||δu||L2||δc||L2≤12||∇c1||2L∞||δu||2L2+12||δc||2L2,K2=−∫R2c1δnδc d x≤||c1||L∞||δn||L2||δc||L2≤12||c1||2L∞||δn||2L2+12||δc||2L2,K3=−∫R2n1(δc)2d x≤0,M1=−∫R2δu∇u1δu d x≤||∇u1||L∞||δu||2L2,M2=−∫R2δn∇Φδu d x≤||∇Φ||L∞||δn||L2||δu||L2≤12||∇Φ||2L∞||δn||2L2+12||δu||2L2.把上述得到的S1,S2,S3,S4,K1,K2,K3,M1,M2估计导入到(3.12),(3.13),(3,14)式,并且把得到的三个式子累加,就有12(d||δc||2L2d t+d||δn||2L2d t+d||δu||2L2d t+d||∇δc||2L2d t)+C (∥∇δu∥2L2+∥∇δc∥2L2+∥∆δc∥2L2)≤E(t)·(||∇δc||2L2+||δn||2L2+||δu||2L2+||∇δc||2L2),第1期郭猫驼等：二维趋化N-S方程解的唯一性准则129其中E(t)=C1∥∇u1∥L∞+C2∥∇Φ∥2L∞+C3||c1||2L∞+C4∥∇n1∥2L3+C5∥∇c1∥2L∞+C6∥∆c1∥L∞+C7||n1||2L∞+C8||n1||4L4+C0.而C,C0,C1,C2,C3,C4,C5,C6,C7,C8分别代表不同非负常数.又由于∫t0||n1||2L∞dτ≤C∫t∥∇n1∥4/3L3||n1||2/3L3dτ≤23∫t∥∇n1∥2L3dτ+13∫t||n1||2L3dτ≤C(t),所以联系所证明的引理3.1与引理3.2,能够推出E(t)是非负可积的.所以利用Gronwall不等式,就有||δn||2L2=||δc||2L2=||δu||2L2=0,所以n1=n2,c1=c2,u1=u2,在任意的时间[0,T]内成立,由此我们完成了定理1.1的证明.参考文献：[1]MENG L,YUAN J,ZHENG X.Global existence of almost energy solution to the two dimension-al chemotaxis-Navier-Stokes equations with partial diffusion[J].Discrete&Continuous Dynamical Systems A,2019,39(6):3413-3441.[2]苗长兴.现代调和分析及其应用讲义[M].北京：高等教育出版社,2018.[3]DUAN R,LORZ A,MARKOWICH P.Global solutions to the coupled chemotaxis-fluid equations[J].Communications in Partial Differential Equations,2010,35(9):1635-1673.[4]LIU J,LORZ A.A coupled chemotaxis-fluid model:global existence[J].Annales de l’IHP Analysenonlinéaire,2011,28(5):643-652.[5]CHAE M,KANG K,LEE J.Existence of smooth solutions to coupled chemotaxis-fluid equations[J].Discrete Contin.Dyn.Syst.Ser.A2013,33(6):2271-2297.[6]CHAE M,KANG K,LEE J.Global existence and temporal decay in Keller-Segel models coupled tofluid equations[J].Communications in Partial Differential Equations,2014,39(7):1205-1235.[7]ZHANG Q.Local well-posedness for the chemotaxis-Navier-Stokes equations in Besov spaces[J].Non-linear Analysis:Real World Applications,2014,17:89-100.[8]ZHANG Q,ZHENG X.Global well-posedness for the two-dimensional incompressible chemotaxis-Navier-Stokes equations[J].SIAM Journal on Mathematical Analysis,2014,46(4):3078-3105.[9]BRAUKHOFF M.Global(weak)solution of the chemotaxis-Navier-Stokes equations with non-homogeneous boundary conditions and logistic growth[J].Annales de I’Institut Henri Poincaré(C) Non Linear Analysis,2017,34(4):1013-1039.[10]CHAE M,KANG K,LEE J,et al.A regularity condition and temporal asymptotics for chemotaxis-fluid equations[J].Nonlinearity,2018,31(2):351-387.Uniqueness Criterion for Two-Dimensional Chemotactic N-SEquationGUO Maotuo,YUAN Jia(School of Mathematical Sciences,Beihang University,Beijing100191,China)Abstract:This paper studies the uniqueness of solution to a class of two-dimensional chemotactic N-S equations.By using the Littlewood-Paley theory,the Besov space theory and the difference method, the uniqueness criterion for the uniqueness of the weak solution of this class of two-dimensional chemotactic N-S equations is obtained.Key words:Chemotactic N-S equation;Regularity;Uniqueness criterion。
第一章习题解答1.1 用图解法求解下列线性规划问题。
并指出问题具有惟一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解。
+=32min 21x x Z +=23max 21x x Z ⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≥+0,422664.)1(212121x x x x x x st ⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≤+0,124322.)2(212121x x x x x x st ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤++=85105120106.max )3(212121x x x x st x x Z ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+−≥−+=0,23222.65max )4(21212121x x x x x x st x x Z 第一章习题解答无穷多最优解，,422664.32min )1(21212121⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≥++=x x x x x x st x x Z 是一个最优解3,31,121===Z x x 该问题无解⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≤++=0,124322.23max )2(21212121x x x x x x st x x Z 第一章习题解答85105120106.max )3(212121⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤++=x x x x st x x Z 唯最优解16,6,1021===Z x x 唯一最优解，该问题有无界解⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+−≥−+=0,23222.65max )4(21212121x x x x x x st x x Z 第一章习题解答1.2 将下述线性规划问题化成标准形式。
1422245243min )1(432143214321⎪⎪⎧≤+−+−=−+−+−+−=x x x x x x x x x x x x Z .,0,,23243214321⎪⎪⎩⎨≥≥−++−无约束x x x x x x x x st ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤−+−=++−+−=无约束321321321321,0,0624322min )2(x x x x x x x x x st x x x Z 第一章习题解答.2321422245243min )1(4321432143214321⎪⎪⎪⎨⎧≥−++−≤+−+−=−+−+−+−=x x x x x x x x x x x x st x x x x Z ,0,,4321⎪⎩≥无约束x x x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=−+−++−=+−+−+=−+−+−+−+−=0,,,,,232142222455243max 64241321642413215424132142413214241321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x st x x x x x Z 第一章习题解答⎪⎪⎨⎧≥≤≤−+−=++−+−=无约束321321321321,0,0624322min)2(x x x x x x x x x st x x x Z ⎩⎪⎩⎪⎨⎧≥=++−+=−++−+−+=0,,,,6243322max 43231214323121323121323121x x x x x x x x x x x x x x st x x x x Z第一章习题解答634334max )3(3212121⎪⎪⎧=−+=++=x x x x x st x x Z 517,0,1,59,524,,1,0424321421=====⎪⎪⎩⎨=≥=++Z x x x x j x x x x j 该题是唯一最优解：）（"第一章习题解答⎪⎧≤++−≤++++=151565935121510max 321321x x x x x x x x x Z 该题无可行解。
1.4 场解答的唯一性讨论场解答的唯一性，其意义有两方面： 1. 确定场方程组的完备程度方程组是完备的，以消除多值性，不需要添加任何其他条件。
2. 满足实际应用的需要保证各种方法所取得的解是等价的、合理的，是实际问题所需要的。
如何讨论唯一性问题呢？尽管Maxwell 方程组是对电磁问题的全面描述和总结，但由于所研究的对象不同，求解的变量不同，提法不同，形成的偏微分方程的形式不同，对场解答的唯一性讨论不能统一进行而需要分别来分析讨论。
另外，要注意的两个前提：1.在讨论中，除了基于Maxwell 方程组外(包括由它推导的边界条件)，不添加任何其他条件。
2.研究在各向同性、线性、均匀媒质中进行。
1.4.1静电场在封闭面S 上电位或电场强度值为已知，在S 面内体积V 中的分布电荷为已知， V 中任意一点的电位和相应的电场强度是否具有唯一解呢？我们将S 面上的边界条件表示为(1) 给定S 面上的电位ϕ——即第一类边界条件(相当于给定电偶极矩密度)； (2) 给定S 面上的电场强度——即第二类边界条件 (相当于给定面电荷密度)；(3) 给定S 面上一部分的ϕ值、一部分的n∂∂ϕ——相当于混合边界条件。
在以上三种情况下，S 面内V 中的泊松方程的解是唯一的。
证明：采用反正法。
假定对于相同的场源分布和边界条件，泊松方程有两个解1ϕ和2ϕερϕ-=∇12， ερϕ-=∇22令：21ϕϕ-=u ，以上面两式相减应有 02=∇u又222)()()(u u u u u u ∇=∇+∇=∇⋅∇在S 面内作体积分()⎰⎰⎰⎰∇=∂∂=⋅∇=∇⋅∇S V S V V u S nu u S u u V u u d d d d 2)( 因1ϕ和2ϕ均满足边界条件，在S 面上应有 0=u 或 0=∂∂n u故：⎰=∇VdV u 0)(2式中：2)(u ∇为非负被积函数，要求它在V 内体积分为零，只有一种可能：2)(u ∇在V 内处处为零，亦即0=∇u ，表示u 至多是一个常数：k u =。
对于第一类边界条件，在S 面上0=u ，即0=k ，有21ϕϕ=，也即解答是唯一的。
对于第二类边界条件，在S 上0=∂∂n u，即nn ∂∂=∂∂21ϕϕ ⇒ 021ϕϕϕ+=；表明两个解答最多相差一个常数0ϕ。
只需要在V 内或S 面上任取一点为电位参考点。
就可以使00=ϕ，于是，解答也是唯一的。
按上述道理可以证明满足混合边界条件的泊松方程的解是唯一的。
应当指出的是：(1) 在闭合面上不能同时任意给定ϕ和它的法向导数n ∂∂ϕ，一般而言，它们是不相容的。
(2) 在证明中，其有第二类边界条件的边值问题，其解答不定，须要有电位参考点的选择，也就是说，须要有第一类边界条件作为约束处理条件。
1.4.2 静磁场(恒定磁场)标量位的问题，情况与静电场完全相同。
讨论用磁矢量位问题。
设场域内有电流密度J，讨论在已知边界条件下，旋度旋度方程J Aμ=⨯∇⨯∇的解是唯一的。
证明：反证法。
假定在相同边界条件下有两个磁矢量位1A 和2A ，它们确定了1B 和2B11A B ⨯∇=、 22A B⨯∇=它们的差值21A A F-=应满足V F ∈=⨯∇⨯∇0对于恒等式()()()()Q P P Q Q P⨯∇⨯∇⋅-⨯∇⋅⨯∇=⨯∇⨯⋅∇运用高斯散度定理有dS n Q P dV Q P P Q SV⋅⨯∇⨯=⨯∇⨯∇⋅-⨯∇⋅⨯∇⎰⎰)()(令 F Q P==，代入上式应有dSF F n dS F F n dSn F F dV F SSS V⋅⨯∇⨯-=⨯∇⋅⨯=⋅⨯∇⨯=⨯∇⎰⎰⎰⎰)()()()(2 上式若要使体积分为零，必须是0=⨯∇F这可能是0=F ，即21A A=，或者是o A A ϕ∇±=21可以采取措施来进行必要处理，以使磁矢量位的解答唯一。
可分三种情况讨论(1) 边界面上给定第一类边界条件o A A =，则边界上有0=F，面积分必为零，则21A A=，解答唯一；(2) 边界面上给定A n ⨯∇⨯，应有0=⨯∇⨯F n，所以21A n A n⨯∇⨯=⨯∇⨯这也能使积分方程的面积分项为零，进而使21A A =解唯一。
而条件A n⨯∇⨯，其大小等于t B ，方向由B n⨯确定。
可见在S 面上给定了t B ，即n A ∂∂ ——第二类边界条件，或给定了t H ，即nA∂∂μ1——仍是第二类边界条件，场域中的A的解唯一。
(3) 在边界上给定A n⨯，有21A n A n⨯=⨯也可以使面积分项为零。
而A n⨯的大小即为t A ，方向由A n ⨯确定。
即正确给定边界上A n⨯，则V 域中A 有唯一解。
1.4.3 时变场关于时变场解答的唯一性问题，提供几篇典型的论文，大家可以查阅参考。
由于时变场的种类多，类型不同所建立的控制方程不同，因而需分别讨论。
在这儿以涡流场问题为例进行讨论。
1. 考虑涡流场问题，场域为导电媒质，忽略位移电流，没有源电流区，采用动态位时应有控制方程：ϕγμγμ∇-∂∂-=⨯∇⨯∇tAA(1) 若给定边界上的t H ，或给定边界上的ϕ及t A ，可以证明解答E 和H是唯一的，若ϕ已确定，则只需给定边界上t A ，同时应使t A 的确定满足下面的约束条件()()⎰⎰⎰=⨯∇=⨯V VSdV J dV H dS H n由可证明E、H 解答的唯一性。
(2) 当场域内的电导率为常数时，可以不用标量值，而由A 直接求得H 和E。
此时当给定边界上的n A⨯⨯∇)(1μ(即t H )，或者给定边界的tA ，其解答是唯一的。
2. 上述有关论证，文献中提到的较多，可参看以下文献：[1] R.L.Stoll ，The Analysis of Eddy Currents, Oxford University Press, 1974.[2] 谢德馨，时变电磁场场矢量解答的唯一性，《哈尔滨电工学院学报》，V ol.7, No.2，1984 [3] 陈伟华，三维正弦涡流场方程解答的唯一性，《哈尔滨电工学院学报》, V ol.7, No.2, 1984 [4] 朱涤心等, 关于电磁场唯一解的条件，《哈尔滨电工学院学报》，V ol.10,No.4，19871.4.4 已知散度和旋度的矢量场如果矢量场F 在场域V 中的散度和旋度是已知的，其有何种边界条件能保证F的解是唯一的呢？论证：采用反正法。
(1) 设场域V 中的矢量场F 有两个解1F 和2F，且21F F ⋅∇=⋅∇， 21F F ⨯∇=⨯∇ 令：21*F F F-=，则在V 内0*=⋅∇F ，0*=⨯∇F即*F必为调和场，可用一标量场ϕ来描述：0**2=-∇=⋅∇⇒-∇=ϕϕF F由格林第一公式得⎰⎰∇+∇=∇⋅∇VV dV dV ])([)(22ϕϕϕϕϕ()⎰⎰∂∂=∇=V S dS ndV ϕϕϕ2(2) 分析上式：只要使积分为零，就必有0=∇ϕ，就有0*=-∇=ϕF ，F有唯一解。
分为以下两种情况讨论：① 在给定边界S 上在n F 情况下，有0)(*21=∂∂-=-∇=-=SSnSnS n SnnF F F ϕϕ公式中的面积分为零。
② 在给定边界S 上的t F 情况下 0)(*21=∂∂-=-∇=-=SStStStSttF F F ϕϕϕ 沿S 面的切向偏导数为零，说明S 面是ϕ标量位函数的等值面，于是：⎰⎰⎰⎰=∇⋅∇=⋅∇=∂∂=∂∂V S S S dV S d ds n ds n 0ϕϕϕϕϕϕϕϕ 由上可知，当给定边界面S 上在n F 或t F 时，均可使0)(2=∇⎰VdV ϕ又2ϕ∇为非负函数，要使体积分为零，只能是 0=∇ϕ即 0*21=-=-∇=F F Fϕ∴21F F=结论：给定边界面上场矢量的n F 或t F 分量，场矢量F的解答是唯一的。
上面的分析是直接求解一矢量场，使其具有唯一解答需要什么样的边界条件。
这对于静态场、时谐场的求解是适用的。
1.4.5 关于混合问题的唯一性讨论所谓混合问题指的是初值、边值问题。
对于被研究的问题，如果某一时刻的初始条件和在此之后全部的研究时间内的边界条件是已知的，则混合问题的解答是唯一的。
设定一种情况：在场域V 内0=t 时的电磁场强度初始值)0,(r E 和)0,(r H已知，在0>t 时，边界上的电磁场强度切向分量t E 和t H 已知，证明混合问题的解答是唯一的。
证明：仍然采用反证法(1) 若有两种不同的解答1E、1H 和2E 、2H ，都满足同一初始条件和边界条件。
令21*E E E -=， 21*H H H-=则**H E和必为该电磁场的解，且0=t 时，有0**==H E(在V 内)在0>t 时0**==t t H E (在S 上)(2)由无外源区存在的坡印亭定理，应有s d H E dV J dV H E tSV V ⋅⨯-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂⎰⎰⎰*)*(*1*21*21222γμε 分析上式：其面积中的被积函数()n H E E n H H E n⨯⋅=⨯⋅=⨯⋅**)(**)*(显然有： ⎪⎭⎪⎬⎫∝⨯⋅∝⨯⋅t t E E n H H n H E **)(**)*(*，而*t E 和*t H 都为零。
即面积项为零，该定理为dV J dV H E t t W V V 222*1*21*21*⋅-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂=∂∂⎰⎰γμε 应注意到上式右端项只可能小于或等于零；而左端项在0=t 时刻，由0*0**=⇒==W H E ，在0>t 时，*W 只可能从零值增加，tW ∂∂*不可能小于零，要保证0>t 的任何时刻上式都成立，只能是0**==H E，即21E E =，21H H =如果是无界空间，边界条件用无限远处的条件代替，2R E 、2R H 在∞→R 时，保持有限值同样可得上面的结论。
由前面五个方面的问题的讨论分析和论证，可见Maxwell 方程组是完备的，由它确定的场的控制方程和场的边界条件决了场的存在和唯一性。
1.4.6 不适定问题前面研究的问题，是场解的唯一性问题，它对边界条件的取舍有一定的要求。
或者说用数学模型对于物理问题的描述，是比较符合实际情况，解答的唯一性保证了解答的正确性。
在地球物理勘探和生物医学工程等领域中，人们只能从对实际问题表面的形态的认识来分析、模拟该问题，所建立的数学模型不具有通常给定的常规边界条件，或者说在这儿使边值问题具有唯一解答的边界条件确定不出来，或说用边界条件来体现的场源的分布，并不都为已知。
这种情况下，按通常的数学手段，既不能论证该问题解答的唯一性，也不能解得唯一的解答，此类问题称为“不适定问题”。
比如人脑电场的研究，通过测量只能得到人脑头皮表面各点的电位ϕ值和相应的n∂∂ϕ值，脑皮层的内边界上的分界面衔接条件都不得而知。
