第5章频率响应法(3)

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二阶微分因子的频率特性为 二阶微分因子的频率特性为
ω ω 2 ω2 2 ω 2 jϕ (ω ) G ( jω ) = 1 + j2ζ + ( j ) = (1 − 2 ) + (2ζ ) e ωn ωn ωn ωn ω 2ζ ωn ϕ (ω ) = arctan ω2 1− 2 ωn
ϕ (ω ) = arctan Tω
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下面证明其极坐标图为一个半圆，如图所示。 下面证明其极坐标图为一个半圆，如图所示。 因为
1 Tω G ( jω ) = −j = P (ω ) + jQ(ω ) 2 2 2 2 1+ T ω 1+ T ω 1 −T ω P (ω ) = ，Q(ω ) = 2 2 1+ T ω 1 + T 2ω 2
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2. 积分和微分因子
因为
1 1 − jπ G ( jω ) = = e 2 jω ω
G 的极坐标图是负虚轴。 所以 G ( jω ) = 1/ jω 的极坐标图是负虚轴。 ( jω ) = jω 的极坐标图是正虚轴。 的极坐标图是正虚轴。
相位滞后90 相位滞后90º 90º 低频放大， 低频放大，高频衰减
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5.3.1 典型因子的乃氏图 1. 比例因子
比例因子的频率特性为
G ( jω ) = K
由于K是一个与 由于 是一个与 ω 无关 的常数，它的相角为0° 的常数，它的相角为 °， 因而它的乃氏图为 G ( jω ) 平面实轴上的一个点。 平面实轴上的一个点。
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5. 滞后因子
滞后因子的频率特性为 滞后因子的频率特性为
G ( jω ) = e − jωτ
由于滞后因子的幅频值 恒为1， 恒为 ，其中相位与 ω 成比例变化， 成比例变化，因而它的 乃氏图是一个单位圆， 乃氏图是一个单位圆， 如图所示。 如图所示。
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1 P (ω ) + Q(ω ) = = P(ω ) 2 2 1+ T ω
2 2
1 1 ( P(ω ) − ) 2 + Q(ω ) 2 = ( ) 2 2 2
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4. 二阶因子
二阶因子振荡环节的频率特性为 二阶因子振荡环节的频率特性为
2 ω2 2 2 ω (1 − 2 ) + 4ζ ωn ωn2 ω 2ξ ωn ϕ (ω ) = − arctan ω2 1− 2 ωn 值已知， 当 ζ 值已知，则由上式可求得对应与不同 ω 值时 的 G ( jω ) 和ϕ (ω ) 值。
G ( jω ) =
ω ω 2 1 + j2ζ + (j ) ωn ωn
1
=
1
e jϕ (ω )
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G 值时乃氏图。 图为在不同 ζ 值时乃氏图。当 ω = ω n ， ( jω ) = 1/ j2ζ ， 其相角为–90°。当 ζ <0.707时，在乃氏图上距离原 其相角为 ° 点最远的点对应的频率就是振荡环节谐振频率 ω r ， 之比来表示。 其谐振峰值 M r 用 G ( jωr ) 与 G ( j0) 之比来表示。
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−1 在低频区， 在低频区，滞后因子 e 和惯性环节 (1 + jωT ) 的 频率特性很接近，如图所示。 频率特性很接近，如图所示。因为
− jωτ
e
− jωτ
=
1 e jωτ
1 = 1 1 + jωτ + ( jωτ ) 2 +⋯ 2!
当 ωτ << 1 时，上式可近似为
− jωτ
e
2
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A(ω) φ(ω)
A(ω) =
K (1+ω2T12 ) (1+ω2T22 )
ϕ(ω) = −arctanωT1 − arctanωT2
A (0 + ) = K , ϕ (0 + ) = 0 起点 π π A(∞ ) = 0,ϕ (∞ ) = − − = −π 终点 2 2
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5.3.1 奈氏图的制
一、系统奈氏图绘制基本步骤： 系统奈氏图绘制基本步骤：
写出A( 写出A(ω)和φ(ω)表达式 分别求奈氏图的起点( 和终点( 时的G( 分别求奈氏图的起点(ω＝0＋)和终点(ω＝∞)时的G(jω) 求奈氏图与实轴的交点，交点可利用G(jω)的虚部 求奈氏图与实轴的交点，交点可利用G( )]＝ 求得，也可利用∠ 求出。 Im[G(jω)]＝0求得，也可利用∠G(jω)＝nπ求出。 求出
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3. 一阶因子
一阶惯性环节的频率特性为 一阶惯性环节的频率特性为
1 1 G ( jω ) = = e jϕ ( ω ) 1 + jωT 1 + T 2ω 2
ϕ (ω ) = − arctan Tω
一阶微分因子的频率特性为 一阶微分因子的频率特性为
G ( jω ) = 1 + jωT = 1 + T 2ω 2 e jϕ (ω ) 一阶惯性环节： 一阶惯性环节： ω↑ | G(jω)| ↓ ∠ G(jω)↓ ω ω↓ 低通 高频衰减 相位滞后 一阶微分环节： 一阶微分环节：高频 放大 相位超前 相位超前0~90° °
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第五章 频率响应法
Chapter 5 Frequency Response Methods
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5.3
极 坐 标 图
极坐标图， 正弦传递函数 G ( jω ) 的极坐标图，是当 ω由 零变化到无穷大时， 零变化到无穷大时，表示在极坐标上 G ( jω ) 的幅值 相角的关系图 因此， 的关系图。 与 G ( jω ) 的相角的关系图。因此，极坐标图是当 ω 由零变化到无穷大时， 的轨迹。 由零变化到无穷大时，向量 G( jω)∠ ( jω)的轨迹。 G 极坐标图通常称为乃奎斯特图或乃奎斯特曲线 (nyquist diagram)。 。 极坐标图的优点表示出系统在整个频率范围 极坐标图的优点表示出系统在整个频率范围 内的频率响应特性；缺点是不能清楚地表明开环 内的频率响应特性；缺点是不能清楚地表明开环 传递函数中每个单独因子对系统的具体影响。 传递函数中每个单独因子对系统的具体影响。
式中 n > m ，即分母多项式的阶次大于分子多项 式的阶次，这类传递函数的极坐标图的一般形状 式的阶次， 有以下几种。 有以下几种。 (1) λ = 0 ，即0型系统：极坐标图的起点 对应 型系统： 型系统 极坐标图的起点(对应 是一个位于正实轴上的有限值。 于 ω = 0 )是一个位于正实轴上的有限值。在 ω = 0 处 是一个位于正实轴上的有限值 与极坐标图曲线相切的切线， 与极坐标图曲线相切的切线，是一条垂直于实轴的 垂线。 垂线。对于 ω = ∞ 的极坐标图曲线的终点位于坐标 原点，并且在这点上曲线与一个坐标轴相切。 原点，并且在这点上曲线与一个坐标轴相切。
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(2) λ = 1 ，即Ⅰ型系统：当 0 ≤ ω ≤ ∞ 时，在 G ( jω ) 型系统： 的总相角中， 产生的。 的总相角中，–90°的相角是分母中的 jω 产生的。 ° ω =， G ( jω ) 的幅值为无穷大，相角变为– 当 时0 的幅值为无穷大，相角变为 90°。在低频时，极坐标图是一条渐近于平行于 ° 在低频时， ω =时，幅值为零， ∞ 幅值为零， 负虚轴的直线的线段。 负虚轴的直线的线段。当 且曲线收敛于原点并与一个坐标轴相切。 且曲线收敛于原点并与一个坐标轴相切。 (3) λ = 2 ，相角中 相角中–180°相角是分母中的 ( j ω ) 2 ° G 产生的。 幅值无穷大，相角– 产生的。当 ω = 0 时， ( jω ) 幅值无穷大，相角 180°。在低频时，极坐标图趋近于一条平行于 ° 在低频时， 负实轴的直线。 幅值为零， 负实轴的直线。当 ω = ∞ 时，幅值为零，且与 一坐标轴相切。 一坐标轴相切。
1 ,代 代 T1T2
所在象限及单调性
由于是惯性环节单调地从0 90度变化， 由于是惯性环节单调地从0－90度变化，故该 度变化 系统奈氏图应在第三四象限，图形如图所示： 系统奈氏图应在第三四象限，图形如图所示：
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可以看出， 可以看出，如果 G ( jω )的分母多项式阶次高于分子多项 式阶次，那么 G ( jω )的轨迹将沿着顺时针方向收敛于原 式阶次， G 轨迹将与实轴或虚轴相切。 点。当 ω = ∞ 时， ( jω ) 轨迹将与实轴或虚轴相切。
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1 ≈ 1 + jωτ
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5.3.1 开环幅相特性曲线的绘制
奈氏图绘制方法大致有三种： 奈氏图绘制方法大致有三种： 由开环幅频特性A( 和相频特性 和相频特性φ( 表达式 表达式， 由开环幅频特性 ω)和相频特性 ω)表达式，用 计算法绘制。 计算法绘制。 由开环频率特性的实部和虚部表达式， 由开环频率特性的实部和虚部表达式，用计算法 绘制。 绘制。 由开环零点-极点分布图，用图解计算法绘制； 由开环零点 极点分布图，用图解计算法绘制； 极点分布图
与实轴交点
Im[G(jω )]＝ 令Im[G(jωx)]＝0，得ωx=0,即奈氏 即奈氏 处处与实轴无交点， 图除在ω=0处处与实轴无交点， 交点＝起点。 交点＝起点。