高中数学第1章解三角形章末过关检测卷苏教版必修51

学业分层测评(一)(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．在△ABC 中，a ＝5，b ＝3，C ＝120°，则sin A ∶sinB 的值是________．【解析】　由正弦定理可知，sin A ∶sin B ＝a ∶b ＝5∶3.【答案】　5∶32．在△ABC 中，若A ＝75°，B ＝60°，c ＝2，则b ＝________.【解析】　在△ABC 中，C ＝180°－A －B ＝45°，∴b ＝＝＝.c sin Bsin C 2sin 60°sin 45°6【答案】63．在△ABC 中，若＝，则C 的值为________．　sin Aa cos C c 【解析】　由正弦定理可知，＝，sin Aa sin Cc 又＝，sin Aa cos Cc ∴＝，sin Cc cos Cc 即tan C ＝1,0°<C <180°，∴C ＝45°.【答案】　45°(或π4)4．(2015·北京高考)在△ABC 中，a ＝3，b ＝，∠A ＝，则62π3∠B ＝________.【解析】　在△ABC 中，根据正弦定理＝，有＝，可得asin A bsin B 3sin2π36sin B sin B ＝.因为∠A 为钝角，所以∠B ＝.22π4【答案】　π45．在△ABC 中，已知a ＝4，b ＝4，A ＝60°，则c ＝________.32【导学号：91730002】【解析】　由＝，得sin B ＝sin A ＝×＝.asin A bsin B ba 42433222∵b <a ，∴B ＝45°，C ＝180°－A －B ＝75°，∴c ＝a ＝4×sin Csin A 3sin 75°sin 60°＝2(＋)．26【答案】　2(＋)266．在△ABC 中，已知a ＝18，b ＝16，A ＝150°，则满足条件的三角形有________个．【解析】　A ＝150°>90°，∵a >b ，∴满足条件的三角形有1个．【答案】　17．在△ABC 中，B ＝45°，C ＝60°，c ＝1，则最短边的长为________．【解析】　易得A ＝75°，∴B 为最小角，即b 为最短边，∴由＝，得b ＝.csin C bsin B 63【答案】　638．(2016·苏州高二检测)在△ABC 中，若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，则a ∶b ∶c ＝________.【解析】　由A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，可知A ＝，B ＝，C ＝.π6π3π2∴a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝∶∶11232＝1∶∶2.3【答案】　1∶23二、解答题9．在△ABC 中，若a ＝2，A ＝30°，讨论当b 为何值时(或在什么范围内)，3三角形有一解，有两解或无解？【解】　当a <b sin 30°，即b >4时， 无解；3当a ≥b 或a ＝b sin A ，即b ≤2或b ＝4时，有一解；33当b sin A <a <b ，即2<b <4时，有两解．3310．在△ABC 中，b ＝2a ，B ＝A ＋60°，求角A .【解】　根据正弦定理＝，把b ＝2a 代入得＝，asin A bsin B asin A 2asin B ∴sin B ＝2sin A .又∵B ＝A ＋60°，∴sin(A ＋60°)＝2sin A ，展开得－sin A ＋cos A ＝0，3232∴sin(A －30°)＝0，解得A ＝30°.能力提升]1．(2016·南通高二检测)在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b .若2a sin B ＝b ，则角A 等于________．3【解析】　由正弦定理可得，2a sin B ＝b 可化为2sin A sin B ＝sin B ，33又sin B ≠0，即sin A ＝，又△ABC 为锐角三角形，得A ＝.32π3【答案】　π32．(2014·广东高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知b cos C ＋c cos B ＝2b ，则＝________.ab 【解析】　因为b cos C ＋c cos B ＝2b ，所以sin B cos C ＋sin C cos B ＝2sin B ，故sin(B ＋C )＝2sin B .故sin A ＝2sin B ，则a ＝2b ，即＝2.ab 【答案】　23．在△ABC 中，a ＝x ，b ＝2，B ＝45°，若三角形有两解，则x 的取值范围是____________.【导学号：91730003】【解析】　因为三角形有两解，所以a sin B <b <a ，即x <2<x ，∴2<x <2.222【答案】　(2,2)24．在△ABC 中，a cos ＝b cos ，判断△ABC 的形状．(π2－A)(π2－B )【解】　法一　∵a cos ＝b cos ，(π2－A )(π2－B )∴a sin A ＝b sin B .由正弦定理可得a ·＝b ·，a2R b2R∴a 2＝b 2，即a ＝b ，∴△ABC 为等腰三角形．法二　∵a cos ＝b cos ，(π2－A)(π2－B )∴a sin A ＝b sin B .由正弦定理可得2R sin 2A ＝2R sin 2B ，即sin A ＝sin B .∴A ＝B .(A ＋B ＝π不合题意舍去)故△ABC 为等腰三角形．。

解三角形一、 知识点梳理：1、正弦定理：在△ABC 中，R Cc B b A a 2sin sin sin === 注：①R 表示△ABC 外接圆的半径 ②正弦定理可以变形成各种形式来使用2、余弦定理：在△ABC 中， A bc c b a cos 2222-+= B ac c a b cos 2222-+= C ab b a c cos 2222-+= 也可以写成第二种形式：bc a c b A 2cos 222-+=，ac b c a B 2cos 222-+=，abc b a C 2cos 222-+= 3、△ABC 的面积公式，B ac A bc C ab S sin 21sin 21sin 21===二、题组训练： 1、在△ABC 中， a=12，A=060，要使三角形有两解，则对应b 的取值范围为2、判定下列三角形的形状在△ABC 中，已知38,4,3===c b a ，请判断△ABC 的形状。

在△ABC 中，已知C B A 222sin sin sin <+，请判断△ABC 的形状。

在△ABC 中，已知bc a A ==2,21cos ，请判断△ABC 的形状。

在△ABC 中，已知C B bc B c C b cos cos 2sin sin 2222=+，请判断△ABC 的形状。

在△ABC 中，,sin sin 3)sin sin )(sin sin sin (sin C B A C B C B A =-+++请判断△ABC 的形状。

3、在△ABC 中，已知030,4,5===A b a ，求△ABC 的面积。

4、在△ABC 中，若△ABC 的面积为S ，且22)(2c b a S -+=，求tanC 的值。

5、在△ABC 中，已知87cos ,6,0222===--A a c bc b ，求△ABC 的面积。

6、在△ABC 中，已知,sin sin ,360C B ab ==△ABC 的面积为315，求边b 的长。

(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．将答案填在题中的横线上) 1．已知△ABC 中，a ＝2，b ＝ 3 ，B ＝60°，那么角A ＝________. 解析：由正弦定理得：a sin A ＝b sin B ，sin A ＝a sin B b ＝2sin60°3＝22，又a <b ,∴A <B ，∴A ＝45°. 答案：45°2．在△ABC 中，已知(a ＋c )(a －c )＝b 2＋bc ， 则A ＝________. 解析：a 2－c 2＝b 2＋bc ， ∴b 2＋c 2－a 2＝－bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－bc 2bc ＝－12，∴A ＝120°. 答案：120°3．(2011·上海高考)在相距2千米的A ，B 两点处测量目标点C .若∠CAB ＝75°，∠CBA ＝60°，则A ，C 两点之间的距离是________千米．解析：如图所示，由∠CAB ＝75°，∠CBA ＝60°，可得∠ACB ＝180°－75°－60°＝45，则由正弦定理可得AC sin ∠CBA ＝ABsin ∠ACB ， 即得AC ＝AB sin ∠CBA sin ∠ACB＝2×3222＝ 6.答案： 64．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，面积为3，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝________.解析：∵三角形ABC 的面积为3，即12bc sin A ＝ 3.∴12×1×c ×sin60°＝3，∴c ＝4. ∴a ＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝1＋16－2×1×4×12＝13，a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝13sin60°＝2393. 答案：23935．(2011·临沂高二检测)某人向正东方向走了x 千米，他右转150°，然后朝新方向走了3千米，结果他离出发点恰好3千米，那么x 的值是________千米． 解析：作出示意图，如图 由题意得∠ABC ＝30°，AB ＝x 千米， BC ＝3千米，AC ＝3千米， 由余弦定理得(3)2＝x 2＋32－2×3×x cos30°， 即x 2－33x ＋6＝0. 解得x ＝23或x ＝ 3. 答案：3或2 36．在△ABC 中，三边长分别为a －2，a ，a ＋2，最大角的正弦值为32，则这个三角形的面积为________． 解析：∵三边不等， ∴最大角大于60°.设最大角为α，故α对的边长为a ＋2， ∵sin α＝32，∴α＝120°. 由余弦定理得(a ＋2)2＝(a －2)2＋a 2＋a (a －2)， 即a 2＝5a . 解得a ＝5. ∴三边长为3,5,7.∴S ＝12×3×5×sin120°＝1534.答案：15347．(2012·洛阳高二检测)在△ABC 中，b ＝2a ，B ＝2A ，则△ABC 为________三角形． 解析：由正弦定理知：sin B ＝2sin A ， 又∵B ＝2A ， ∴sin2A ＝2sin A . ∴2cos A ·sin A ＝2sin A . ∴cos A ＝22. ∴A ＝45°，B ＝90°.故△ABC 为等腰直角三角形． 答案：等腰直角8．在△ABC 中，已知b ＝1，sin C ＝35，b cos C ＋c cos B ＝2，则AC ·BC ＝________. 解析：由余弦定理推论知cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac.∵b cos C ＋c cos B ＝2，∴a 2＋b 2－c 22a ＋a 2＋c 2－b 22a ＝2，∴a ＝2，即|BC |＝2. 又∵b ＝1，∴|AC |＝1.∵sin C ＝35，0°<C <180°，∴cos C ＝45或cos C ＝－45.∴AC ·BC ＝85或AC ·BC ＝－85. 答案：85或－859．已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝(3，－1)，n ＝(cos A ，sin A )．若m ⊥n ，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则角B ＝________. 解析：∵m ⊥n ，∴3cos A －sin A ＝0， 即tan A ＝3，∴A ＝π3.又∵a cos B ＋b cos A ＝a ·a 2＋c 2－b 22ac ＋b ·b 2＋c 2－a 22bc＝c ＝c sin C ， ∴sin C ＝1，∴C ＝π2.∴B ＝π6.答案：π610．(2011·北京高考)在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，tan A ＝2，则sin A ＝____；a ＝____.解析：因为在△ABC 中，tan A ＝2，所以A 是锐角，且sin Acos A＝2，sin 2A ＋cos 2A ＝1，联立解得sin A ＝255，再由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，代入数据解得a ＝210.答案：255210 11.如图所示，在山底测得山顶仰角∠CAB ＝45°，沿倾斜角为30°的斜坡走1 000米至S 点，又测得山顶仰角∠DSB ＝75°，则山高BC 为________米．解析：由题可知，∠SAB ＝45°－30°＝15°， 又∠SBD ＝15°，∴∠ABS ＝45°－15°＝30°，AS ＝1 000. 由正弦定理可知BS sin15°＝1 000sin30°，∴BS ＝2 000sin15°，∴BD ＝BS ·sin75°＝2 000sin15°cos15°＝1 000sin30°＝500， 且DC ＝1 000sin30°＝500. ∴BC ＝DC ＋DB ＝1 000米 答案：1 00012．在△ABC 中，A ＝60°，最大边与最小边是方程3x 2－27x ＋32＝0的两个实根，那么BC 边的长为________．解析：由已知可设最大边与最小边分别为b ，c ， 则b ＋c ＝9，b ·c ＝323.因为A ＝60°，所以BC 既不是最大边也不是最小边， 所以BC 2＝b 2＋c 2－2bc cos60°＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ＝81－32＝49， 即BC ＝7. 答案：713．(2012·江西师大附中月考)在△ABC 中，∠A ＝60°，且角A 的角平分线AD 将BC 分成两段BD 、DC ，且BD ∶DC ＝2∶1，若AD ＝43，则C ＝________.解析：因为AD 是角A 的角平分线，所以AC ∶AB ＝CD ∶DB ＝1∶2，设AC ＝x ，则AB ＝2x .易知3S △ACD ＝S △ABC ，即3×12×43x ×sin30°＝12×2x 2sin60°，解得x ＝6，所以AB＝12.由余弦定理得BC ＝6 3.又因为AC 2＋BC 2＝AB 2，所以C ＝π2.答案：π214．某人在C 点测得塔AB 在南偏西80°，仰角为45°，沿南偏东40°方向前进10米到O ，测得塔A 仰角为30°，则塔高为________．解析：画出示意图，如图所示，CO ＝10，∠OCD ＝40°，∠BCD ＝80°，∠ACB ＝45°，∠AOB ＝30°， AB ⊥平面BCO ，令AB ＝x ，则BC ＝x ，BO ＝3x ， 在△BCO 中，由余弦定理得(3x )2＝x 2＋100－2x ×10×cos(80°＋40°)， 整理得x 2－5x －50＝0，解得x ＝10，x ＝－5(舍去)，所以塔高为10米． 答案：10米二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分14分)在△ABC 中，a ＝7，b ＝8，cos C ＝1314，求c 及最大角的余弦值． 解：由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝72＋82－2×7×8×1314＝9.∴c ＝3.∵b >a >c ，∴在△ABC 中，B 最大． ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac＝72＋32－822×7×3＝－17.16．(本小题满分14分)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，cos A ＝45，B＝60°，b ＝ 3. (1)求sin C 的值； (2)求△ABC 的面积．解：(1)∵角A ，B ，C 为三角形内角， 且B ＝60°，cos A ＝45.∴C ＝120°－A ，sin A ＝35.∴sin C ＝sin(120°－A )＝32cos A ＋12sin A ＝3＋4310. (2)由(1)知sin A ＝35，sin C ＝3＋4310.又∵B ＝60°，b ＝ 3.∴由正弦定理，得a ＝b sin A sin B ＝65∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×65×3×3＋4310＝36＋9350.17．(本小题满分14分)(2011·辽宁高考)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a . (1)求ba ；(2)若c 2＝b 2＋3a 2，求B .解：(1)由正弦定理得，sin 2A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，即sin B (sin 2A ＋cos 2A )＝2sin A . 故sin B ＝2sinA ，所以ba ＝ 2.(2)由余弦定理和c 2＝b 2＋3a 2，得cos B ＝(1＋3)a 2c.由(1)知b 2＝2a 2，故c 2＝(2＋3)a 2.可得cos 2B ＝12，又cos B >0，故cos B ＝22，所以B ＝45°.18．(本小题满分16分)某观测站在城A 南偏西20°方向的C 处，由城A 出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C 处测得公路距C 31千米的B 处有一人正沿公路向城A 走去，走了20千米后到达D 处，此时CD 间的距离为21千米，问这人还要走多少千米可到达城A?解：如图所示，设∠ACD ＝α， ∠CDB ＝β.在△CBD 中，由余弦定理得 cos β＝BD 2＋CD 2－CB 22BD ·CD＝202＋212－3122×20×21＝－17，∴sin β＝437.而sin α＝sin(β－60°) ＝sin βcos60°－sin60°cos β ＝437·12＋32·17＝5314. 在△ACD 中，21sin60°＝AD sin α， ∴AD ＝21×sin αsin60°＝15(千米)．所以这人再走15千米就可到城A .19．(本小题满分16分)已知a 、b 、c 分别是△ABC 中角A 、B 、C 的对边，且 (sin B ＋sin C ＋sin A )(sin B ＋sin C －sin A )＝185sin B sin C ，边b 和c 是关于x 的方程x 2－9x ＋25cos A ＝0的两根(b >c )。

第二章 水平测试本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．在△ABC 中，周长为7.5 cm ，且sin A ∶sin B ∶sin C ＝4∶5∶6，下列结论：①a ∶b ∶c ＝4∶5∶6；②a ∶b ∶c ＝2∶5∶6；③a ＝2 cm ，b ＝2.5 cm ，c ＝3 cm ，其中成立的个数是( )A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个[解析] 由正弦定理可知：a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ，所以可知a ∶b ∶c ＝4∶5∶6，故①正确，②错误；可设三边长是4x,5x,6x ，则4x ＋5x ＋6x ＝7.5，所以x ＝12，可得a ＝2 cm ，b ＝2.5 cm ，c ＝3 cm ，故③正确，可知选C.[答案] C2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，∠A ＝π3，a ＝3，b ＝1，则c ＝( )A. 1B. 2C. 3－1D. 3[解析] 由正弦定理可得sin B ＝12，又a >b ，所以∠A >∠B ，故∠B ＝π6，所以∠C ＝π2，故c ＝2，选B.[答案] B3. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a cos A ＝b sin B ，则sin A cos A ＋cos 2B ＝( )A. －12B. 12C. －1D. 1[解析] 根据正弦定理，由a cos A ＝b sin B ，得sin A cos A ＝sin 2B ，∴sin A cos A ＋cos 2B ＝sin 2B ＋cos 2B ＝1，故选D.[答案] D4．在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝13，AC ＝4，则边AC 上的高为( )A. 32 2 B. 323 C. 32D. 3 3[解析] 由余弦定理，得cos A ＝9＋16－132×3×4＝1224＝12，∴sin A ＝32.∴AC 边上的高＝AB ·sin A ＝3×32＝32 3.[答案] B5．若满足条件C ＝60°，AB ＝3，BC ＝a 的△ABC 有两个，那么a 的取值范围是( )A. (1，2)B. (2，3)C. (3，2)D. (1,2)[解析] 由正弦定理得：AB sin C ＝BCsin A ，∴a ＝2sin A .∵C ＝60°，∴0°<∠CAB <120°.又∵△ABC 有两个，∴a sin60°<3<a ，即3<a <2.故选C. [答案] C6．已知△ABC ，a ＝5，b ＝15，∠A ＝30°，则c ＝( ) A. 2 5 B. 5 C. 25或 5 D. 均不正确[解析] ∵a sin A ＝bsin B ， ∴sin B ＝b sin A a ＝155·sin30°＝32.∵b >a ，∴B ＝60°或120°. 若B ＝60°，C ＝90°， ∴c ＝a 2＋b 2＝2 5.若B ＝120°，C ＝30°， ∴a ＝c ＝ 5. [答案] C7．设a 、b 、c 分别是△ABC 中角A 、B 、C 的对边长，则直线l 1：sin A ·x ＋ay ＋c ＝0与直线l 2：bx －sin B ·y ＋sin C ＝0的位置关系是( )A. 平行B. 垂直C. 重合D. 相交但不重合[解析] l 1的斜率k 1＝－sin A a ，l 2的斜率k 2＝b sin B .又因为a sin A ＝bsin B .所以k 1·k 2＝－1.[答案] B8．△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a cos C，b cos B，c cos A成等差数列，则角B等于()A. 30°B. 60°C. 90°D. 120°[解析]依题意得a cos C＋c cos A＝2b cos B，根据正弦定理得，sin A cos C＋sin C cos A＝2sin B cos B，则sin(A＋C)＝2sin B cos B，即sin B＝2sin B cos B，又0°<B<180°，所以cos B＝12，所以B＝60°，选B.[答案] B9．△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若cb<cos A，则△ABC为()A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 等边三角形[解析]依题意得sin Csin B<cos A，sin C<sin B cos A，所以sin(A＋B)<sin B cos A，即sin B cos A＋cos B sin A－sin B cos A<0，所以cos B sin A<0.又sin A>0，于是有cos B<0，B为钝角，△ABC是钝角三角形，选A.[答案] A10．甲船在湖中B岛的正南A处，AB＝3 km，甲船以8 km/h的速度向正北方向航行，同时乙船从B岛出发，以12 km/h的速度向北偏东60°方向驶去，则行驶15分钟时，两船的距离是()A. 7 kmB. 13 kmC. 19 kmD. 10－3 3 km[解析]如图，由题意知AM ＝8×1560＝2，BN ＝12×1560＝3，MB ＝AB －AM ＝3－2＝1，所以由余弦定理得MN 2＝MB 2＋BN 2－2MB ·BN cos120°＝1＋9－2×1×3×(－12)＝13，所以MN ＝13 km.[答案] B11．△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，设向量m ＝(b ＋a ，c )，n ＝(b －a ，c －b )，若m ⊥n ，则sin B ＋sin C 的取值范围为( )A. (12，1] B. (32，3] C. [12，1)D. [32，1)[解析] 由m ⊥n 可得(b ＋a )(b －a )＋c (c －b )＝0， 即b 2＋c 2－a 2＝bc ，利用余弦定理可得2cos A ＝1， 即cos A ＝12⇒A ＝π3，sin B ＋sin C ＝sin B ＋sin(23π－B ) ＝32sin B ＋32cos B ＝3sin(B ＋π6)，因为0<B <23π，所以π6<B ＋π6<56π，所以12<sin(B ＋π6)≤1，32<3sin(B ＋π6)≤3，故选B. [答案] B12．某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为113，111，15，则此人( )A. 不能作出这样的三角形B. 能作出一个锐角三角形C. 能作出一个直角三角形D. 能作出一个钝角三角形[解析] 设三角形的面积为S ，则12a ×113＝S ，所以a ＝26S ，同理可得另两边长b ＝22S ，c ＝10S ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝(22S )2＋(10S )2－(26S )22×22S ×10S ＝－23110<0，所以A 为钝角． [答案] D第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上．)13．在△ABC 中，若角B ＝60°，sin A ＝13，BC ＝2，则AC ＝________.[解析] 由条件根据正弦定理得AC ＝sin Bsin A ·BC ＝3 3. [答案] 3 314．若△ABC 的面积为3，BC ＝2，C ＝60°，则边AB 的长度等于________．[解析] 在△ABC 中，由面积公式得S ＝12BC ·CA ·sin C ＝12×2·AC ·sin60°＝32AC ＝3，∴AC ＝2.再由余弦定理，得AB 2＝BC 2＋AC 2－2·AC ·BC ·cos C ＝22＋22－2×2×2×12＝4.∴AB ＝2.[答案] 215．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________[解析] 由sin B ＋cos B ＝2得1＋2sin B cos B ＝2，即sin2B ＝1，因为0<B <π，所以B ＝45°，又因为a ＝2，b ＝2，所以在△ABC 中，由正弦定理得：2sin A ＝2sin45°，解得sin A ＝12，又a <b ，所以A <B ＝45°，所以A ＝30°.[答案] 30°16．在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 的最大值为________．[解析] 在△ABC 中，根据AB sin C ＝AC sin B ＝BC sin A ，得AB ＝AC sin B ·sin C＝332sin C ＝2sin C ，同理BC ＝2sin A ，因此AB ＋2BC ＝2sin C ＋4sin A ＝2sin C ＋4sin(23π－C )＝4sin C ＋23cos C ＝27sin(C ＋φ)(tan φ＝32)，因此AB ＋2BC 的最大值为27.[答案] 27三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤).17．(本小题满分10分)在△ABC 中，已知(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6，试求△ABC 的最大内角．[分析] 根据(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6，可求出a ∶b ∶c 的值，转化为三边的长后再用余弦定理求解．[解] ∵(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6，∴可设b ＋c ＝8k ，c ＋a ＝10k ，a ＋b ＝12k ，∴a ＝7k ，b ＝5k ，c ＝3k (k >0)．∴三角形中A 为最大角．∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝(5k )2＋(3k )2－(7k )22·5k ·3k ＝－12， ∴A ＝120°.18. (本小题满分12分)在△ABC 中，a 3＋b 3－c 3a ＋b －c ＝c 2，且a cos B ＝b cos A ，试判断△ABC 的形状．[解] 由a 3＋b 3－c 3a ＋b －c＝c 2，得a 3＋b 3－c 3＝c 2(a ＋b )－c 3， ∴a 2＋b 2－ab ＝c 2， ∴cos C ＝12， ∴C ＝60°.又由正弦定理及a cos B ＝b cos A ， 得2R sin A cos B ＝2R sin B cos A ， ∴sin(A －B )＝0，知A －B ＝0， ∴A ＝B ＝C ＝60°， ∴△ABC 为等边三角形．19. (本小题满分12分)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a .(1)求b a ；(2)若c 2＝b 2＋3a 2，求B .[解] (1)由正弦定理得，sin 2A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，即sin B (sin 2A ＋cos 2A )＝2sin A .故sin B ＝2sin A ，所以ba ＝ 2.(2)由余弦定理和c 2＝b 2＋3a 2，得cos B ＝(1＋3)a2c .由(1)知b 2＝2a 2，故c 2＝(2＋3)a 2.可得cos 2B ＝12，又cos B >0，故cos B ＝22，所以B ＝45°. 20. (本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知3a cos A ＝c cos B ＋b cos C .(1)求cos A 的值；(2)若a ＝1，cos B ＋cos C ＝233，求边c 的值．[解] (1)由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， 有c cos B ＋b cos C ＝a ，代入已知条件得3a cos A ＝a ，即cos A ＝13. (2)由cos A ＝13得sin A ＝223，则cos B ＝－cos(A ＋C )＝－13cos C ＋223sin C ，代入cos B ＋cos C ＝233，得cos C ＋2sin C ＝3，从而得sin(C ＋φ)＝1，其中sin φ＝33，cos φ＝63，0<φ<π2.则C ＋φ＝π2，于是sin C ＝63， 由正弦定理得c ＝a sin C sin A ＝32.21．(本小题满分12分)在△ABC 中，A 、B 为锐角，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且sin A ＝55，sin B ＝1010.(1)求A ＋B 的值；(2)若a －b ＝2－1，求a 、b 、c 的值．[解] (1)∵A 、B 为锐角，sin A ＝55，sin B ＝1010，∴cos A ＝1－sin 2A ＝255，cos B ＝1－sin 2B ＝31010，cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝255×31010－55×1010＝22.∵0<A ＋B <π，∴A ＋B ＝π4.(2)由(1)知C ＝3π4，∴sin C ＝22，由a sin A ＝b sin B ＝c sin C 得，5a ＝10b ＝2c ，即a ＝2b ，c ＝5b ， 又∵a －b ＝2－1，∴2b －b ＝2－1，∴b ＝1，∴a ＝2，c ＝ 5.22．(本小题满分12分)在海岛A 上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P ，上午11时，测得一轮船在该岛北偏东30°，俯角为30°的B 处，到11时10分，又测得此船在该岛的北偏西60°，俯角为60°的C 处，如图所示．(1)求船的航行速度；(2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D 处，此时船距离A 有多远？[解] (1)在Rt △P AB 中，∠APB ＝60°，P A ＝1，∴AB ＝32，在Rt △P AC 中，∠APC ＝30°，∴AC ＝12，在△ACB 中∠CAB ＝90°，∴BC ＝AC 2＋AB 2＝1(千米)，∴船的航行速度116＝6(千米/小时)．(2)在△ADC 中∠DAC ＝90°－60°＝30°，∠ACD ＝180°－∠ACB ＝180°－60°＝120°，∴∠ADC ＝30°，∴ADsin120°＝ACsin30°，∴AD＝1212×32＝32(千米)．。

解三角形一、填空题：（每小题5分，共70分）1．一个三角形的两个内角分别为30º和45º，如果45º角所对的边长为8，那么30º角所对的边长是2．若三条线段的长分别为7，8，9；则用这三条线段组成 三角形3．在△ABC 中，∠A.∠B.∠C 的对边分别是a .b .c ，若1a =，b ∠A ＝30º；则△ABC 的面积是4．在三角形ABC中，若sin :sin :sin 2A B C =，则该三角形的最大内角等于5．锐角三角形中,边a,b是方程220x -+=的两根,且c =则角C =6. 钝角三角形ABC 的三边长为a ,a +1,a +2(a N ∈)，则a=7．∆ABC 中，(sin sin )(sin sin )(sin sin )a B C b C A c A B -+-+-=8. 在△ABC 中，若cos cos cos 222ab c ABC==，那么∆ABC 是 三角形9．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 的对边，cc b A 22cos 2+=，则△ABC 的形状为______ 10．在△ABC 中，若2lg sin lg cos lg sin lg =--C B A ，则△ABC 的形状是__________11. 在∆ABC 中，若tan 2,tan A c b B b-=，则A= 12．海上有A 、B 两个小岛，相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60º的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75º的视角；则B 、C 间的距离是 海里.13．某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A 处获悉后，测得该渔轮在方位角45º、距离为10海里的C 处，并测得渔轮正沿方位角105º的方向、以每小时9海里的速度向附近的小岛靠拢。

我海军舰艇立即以每小时21海里的速度前去营救；则舰艇靠近渔轮所需的时间是 小时.14．已知ABC ∆中,,2,45a x b B ===,若该三角形有两解,则x 的取值范围是二、解答题：（共80分）15.在△ABC 中,∠A.∠B.∠C 的对边分别是a .b .c ；求证：22sin 2sin 22sin a B b A ab C +=.16.如图在ABC ∆中,32,1,cos 4AC BC C ===;(1)求AB 的值(2)求sin(2)A C +A B C17．2003年伊拉克战争初期,美英联军为了准确分析战场形势,有分别位于科威特和沙特的两个距离为2的军事基地C 和D 测得伊拉克两支精锐部队分别在A 处和B 处,且30ADB ∠= 30BDC ∠= 60DCA ∠= 45ACB ∠= ,如图所示,求伊军这两支精锐部队的距离.18. 在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，且222b c a bc +=+（1）求∠A 的大小；（2）若a =，3b c +=，求b 和c 的值.A D C B19. 设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，；2sin a b A =． （Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）求cos sin A C +的取值范围．20． ABC ∆的三边a 、b 、c 和面积满足22()S c a b =--，且a + b=2,求面积S 的最大值一、填空题：1.锐角 3.424.1205.606.27.08.等边 9直角三角形 10. 等腰三角形11.60 12.23 14.2x << 二、解答题：15．证明：由正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C===； 左边＝22222(2sin sin 22sin sin 2)2[(1cos2)sin 2(1cos2)sin 2]R A B B A R A B B A +=-+-＝222[sin 2sin 2(sin 2cos2cos2sin 2)]2[sin 2sin 2sin(22)]R B A B A B A R B A A B +-+=+-+＝28sin sin sin R A B C =右边＝28sin sin sin R A B C = 原题得证。

第1章解三角形单元测试基础检测1．在△ABC 中，A ∶B ∶C=3∶1∶2，则a ∶b ∶c = （ ）A ．1:2:3 B ．3:2:1C ．1:3:2D ．2:1:32．在△ABC 中，若BC=5，CA=7，AB=8，则△ABC 的最大角与最小角之和是 （ ） A ．90° B ．120 C ．135° D ．150° 3．在△ABC 中，若30A =o，8a =，83b =，则ABC S ∆等于 （ ）A ．323B ．163C ．323或163D ．1234．若三条线段的长分别为7、8、9，则用这三条线段（ ） A ．能组成直角三角形 B ．能组成锐角三角形 C ．能组成钝角三角形 D ．不能组成三角形5．根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是（ ）A ．8a =，16b =，30A =o，有两解 B ．18a =，20b =，60A =o，有一解 C ．5a =，2b =，90A =o，无解 D ．30a =，25b =，150A =o ，有一解 6．一飞机沿水平方向飞行，在位置A 处测得正前下方地面目标C 的俯角为30°，向前飞行了10000米，到达位置B 时测得正前下方地面目标C 的俯角为75°，这时飞机与地面目标的距离为 米． 7．在△ABC 中，在下列表达式中恒为定值的是 ． ① sin()sin A B C +- ② cos()cos B C A ++③ sincos 22A B C+- ④ tan tan 22A B C+⋅8．在平行四边形ABCD 中，已知AB=1，AD=2，1AB AD ⋅=u u u r u u u r ，则||AC u u u r= ．9．在△ABC 中，已知AB=2，∠C=50°，当∠B= 时，BC 的长取得最大值． 10．在△ABC 中，已知2a b c =+，2sin sin sin A B C =，则△ABC 的形状是 ．11．在△ABC 中，a b c <<，60B =o，面积为103cm 2，周长为20 cm ，求此三角形的各边长．12．在△ABC 中，已知3)sin sin )(sin sin sin (sin =-+++C B A C B A ，a b <，且cos cos cos a A b B c C +=，求△ABC 的各内角的大小．13．已知△ABC 中，2222(sin sin )()sin A C a b B -=-，△ABC 的外接圆半径为2．⑴ 求角C ；⑵求△ABC 的面积的最大值．14．如图，一人在C 地看到建筑物A 在正北方向，另一建筑物B 在北偏西45°方向，此人向北偏西75°方向前进30km 到达D ，看到A 在他的北偏东45°方向，B 在其的北偏东75°方向，试求这两座建筑物之间的距离．选修检测15．在△ABC 中，若3a =2b sin A ,则B 为（ ）A. 3πB. 6πC. 3π或32πD. 6π或65π16．△ABC 中，∠A 、∠B 的对边分别为a 、b ，5,4a b ==，且∠A=60°，那么满足条件的△ABC （ ）A ．有一个解B ．有两个解C ．无解D ．不能确定 17．△ABC 的内角A 满足,0sin tan ,0cos sin <->+A A A A 且则A 的取值范围是（ ） A ．（0，4π） B ．（4π，2π） C ．（2π，π43） D ．（34π，π）18．关于x 的方程22cos cos cos 02Cx x A B -⋅⋅-=有一个根为1，则△ABC 一定是（ ） A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形19．在△ABC中，60,14B b a ===o ，则A = ； 20．在△ABC 中，已知AB=4，AC=7，BC边的中线27=AD ，那么BC= ； 21．在△ABC 中，A =60°, b =1, 面积为3，则sin sin sin a b cA B C++++= ；22．在锐角△ABC 中，已知B A 2=，则的ba取值范围是 ．23．在△ABC 中，已知b =，c =1，45B =︒，求a ，A ，C ．10．△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b ac =，43cos =B ．（Ⅰ）求CA tan 1tan 1+的值； （Ⅱ）设c a +=⋅求,23的值。

第1章 解三角形§1.1正弦定理、余弦定理重难点：理解正、余弦定理的证明，并能解决一些简单的三角形度量问题．考纲要求：①掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．经典例题：半径为R 的圆外接于△ABC ，且2R(sin 2A-sin 2C)＝(3a-b)sinB ．(1)求角C ；(2)求△ABC 面积的最大值．当堂练习：1．在△ABC 中，已知a=5 2 , c=10, A=30°, 则∠B= ( )(A) 105° (B) 60° (C) 15° (D) 105°或15° 2．在△ABC 中，若a=2, b=2 2 , c= 6 + 2 ,则∠A 的度数是 ( )(A) 30° (B) 45° (C) 60° (D) 75° 3．在△ABC 中，已知三边a 、b 、c 满足(a+b+c)·(a+b －c)=3ab, 则∠C=( )(A) 15° (B) 30° (C) 45° (D) 60° 4．边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为 ( )(A) 90° (B) 120° (C) 135° (D) 150° 5．在△ABC 中，∠A=60°, a= 6 , b=4, 那么满足条件的△ABC ( )(A) 有 一个解 (B) 有两个解 (C) 无解 (D)不能确定 6．在平行四边形ABCD 中，AC= 3 BD, 那么锐角A 的最大值为 ( )(A) 30° (B) 45° (C) 60° (D) 75° 7. 在△ABC 中，若cos2a A =cos2b B =cos2c C ，则△ABC 的形状是 ( )(A) 等腰三角形 (B) 等边三角形 (C) 直角三角形 (D) 等腰直角三角形 8．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（ ）(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 由增加的长度决定 9．在△ABC 中，若a=50，b=25 6 , A=45°则B= .10．若平行四边形两条邻边的长度分别是4 6 cm 和4 3 cm ，它们的夹角是45°，则这个平行四边形的两条对角线的长度分别为 .11.在等腰三角形 ABC 中，已知sinA ∶sinB=1∶2，底边BC=10，则△ABC 的周长是 。

第1章 解三角形(测试时间：120分钟 评价分值：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．(2013·天津卷)在△ABC 中，∠ABC ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则sin∠BAC ＝( )A.1010B.105C.31010D.55解析：由余弦定理得AC 2＝32＋22－2×3×2cos π4⇒AC ＝ 5.再由正弦定理5sinπ4＝3sin∠BAC ⇒sin∠BAC ＝31010.答案：C2．在△ABC 中，若a ＝7，b ＝8，cos C ＝1314，则最大角的余弦是( )A ．－15B ．－16C ．－17D ．－18解析：由c 2＝72＋82－2×7×8×1314，得c ＝3，∴B 是最大角，cos B ＝72＋32－822×7×3＝－17.答案：C3．△ABC 中，a ＝2，A ＝30°，C ＝45°，则△ABC 的面积为( )A. 2 B ．2 2 C.3＋1 D.12(3＋1)解析：由正弦定理，得2si n 30°＝csin 45°，解得c ＝22，∴△ABC 的面积 S ＝12ac ×sin B ＝12×2×22×sin 105° ＝22(sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°)＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫32×22＋12×22＝3＋1.答案：C4．已知三角形的两边之差是2，这两边夹角的余弦值为35，且这个三角形的面积为14，那么这两边的长分别为( )A ．3,5B ．4,6C ．6,8D ．5,7解析：设三角形的两边为a ，b ，夹角为α，由cos α＝35可知，sin α＝45，由三角形面积公式，得12ab ×45＝14，得ab ＝35，观察选项知选D.答案：D5．(2013·辽宁卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，又a sin B cosC ＋c sin B cos A ＝12b ，且a ＞b ，则∠B ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：由正弦定理得，sin A sin B cos C ＋sin C sin B cos A ＝12sin B ，即sin A cos C ＋cos A sin C ＝12⇒sin(A ＋C )＝12，亦即sin B ＝12，又a ＞b ，∴B ＝π6.答案：A6．在△ABC 中，三边长AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6，则AB →·BC →的值为( ) A ．19 B ．－14 C ．－18 D ．－19解析：AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos〈AB →，BC →〉＝|AB →|·|BC →|·cos(π－B )＝－|AB →|·|BC→|·cos B ＝－|AB →|·|BC →|·|AB →|2＋|BC →|2－|AC →|22·|AB →|·|BC →|＝－49＋25－362＝－19.答案：D7．在△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝60°，c ＝1，则最短边的边长等于( )A.63B.62C.12D.32解析：由大边对大角知A ＝75°，故边a 最长，边b 最短，由正弦定理b sin B ＝csin C，得b＝6 3.答案：A8．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角之和为( ) A．90° B．120° C．135° D．150°解析：求最大、最小角之和即求中间角大小，由余弦定理知，cos B＝52＋82－722×5×8＝12，∴B＝60°，即最大角、最小角之和为A＋C＝180°－B＝120°.答案：B9．在△ABC中，A＝60°，且最大边长和最小边长是方程x2－7x＋11＝0的两个根，则第三边的长为( )A．2 B．3 C．4 D．5解析：∵A＝60°，∴第三边即为a，又b＋c＝7，bc＝11，∴a2＝b2＋c2－2bc cos A＝(b＋c)2－3bc＝72－3×11＝16，∴a＝4.答案：C10．在某海域，一货轮航行到M处，测得灯塔P在货轮的北偏东15°并与灯塔P相距20 n mile，随后货轮按北偏西30°方向航行30分钟，又测得灯塔P在货轮的东北方向，则货轮的速度为( )A．20(6＋2) n mile/h B．20(6－2) n mile/hC．20(6＋3) n mile/h D．20(6－3) n mile/h解析：如右图，由题意可知，∠M ＝15°＋30°＝45°，∠N ＝60°＋45°＝105°，故知∠P ＝30°，由正弦定理，得20sin 105°＝MNsin 30°，∴MN ＝10sin 60°＋45°＝406＋2＝10(6－2)，故知速度为20(6－2) nmile/h.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)11．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且a ＝2，b ＝3，cos C ＝13，则其外接圆半径为________．解析：∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4＋9－2×2×3×13＝9，∴c ＝3，sin C ＝-⎛⎫ ⎪⎝⎭2113＝223， ∴R ＝c 2 sin C ＝98 2.答案：98212．在△ABC 中，A 、B 、C 是三个内角，C ＝30°，那么sin 2A ＋sin 2B －2sin A sin B cosC 的值是________．解析：sin 2A ＋sin 2B －2sin A sin B cosC ＝2⎛⎫ ⎪⎝⎭12R ×(a 2＋b 2－2ab cos C )＝2⎛⎫ ⎪⎝⎭12R ×c 2＝sin 2C ＝2⎛⎫⎪⎝⎭12＝14. 答案：1413．三角形的一边为14，这条边所对的角为60°，另两边之比为8∶5，则这个三角形的面积为________．解析：设另外两边分别为8x 、5x ，由余弦定理，得cos 60°＝64x 2＋25x 2－1422×5x ×8x ，解得x 2＝4，S △ABC ＝12×8×5x 2×sin 60°＝40 3.答案：40314．(2013·安徽卷)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b ＋c ＝2a ，且3sin A ＝5sin B ，则角C ＝________.解析：由3sin A ＝5sin B ⇒3a ＝5b ，又b ＋c ＝2a ⇒b ＝35a ，c ＝75a ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，∴C ＝2π3.答案：2π3三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤)15．(12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos A 2＝255，AB →·AC→＝3.(1)求△ABC 的面积；解析：(1)cos A ＝2cos 2A2－1＝2×2⎛⎫⎪⎝⎭5－1＝35，∴sin A ＝45，AB →·AC →＝bc ×35＝3.∴bc ＝5.故面积S ＝12bc sin A ＝12×5×45＝2.(2)若c ＝1，求a 的值．解析：(2)由bc ＝5和c ＝1得b ＝5， ∴a ＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝52＋1－2×5×1×35＝2 5.16．(12分)在锐角三角形中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，cos A ＝55，sin B ＝31010.(1)求角C ；解析：(1)∵A ，B ，C 为锐角，∴sin A ＝1－cos 2A ＝255，cos B ＝1－sin 2B ＝1010.∴cos C ＝－cos(A ＋B )＝－cos A cos B ＋sin A sin B ＝22， ∴C ＝π4.(2)若a ＝4，求△ABC 的面积．解析：(2)由a sin A ＝c sin C 得c ＝a sin Csin A ＝4×22255＝10，∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12×4×10×31010＝6.17.(14分)在△ABC 中，m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos C 2，sin C 2，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos C2，－sin C 2，且m 与n 的夹角为π3.(1)求C ；解析：(1)∵m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos C2，sin C 2，n ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos C2，－sin C 2，∴m·n ＝cos 2C2－sin 2C2＝cos C .又m·n ＝|m|·|n |cos π3＝cos π3＝12，∴cos C ＝12，C ＝π3.(2)已知c ＝3，三角形面积S ＝433，求a ＋b .解析：( (2)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，c ＝3，∴9＝a 2＋b 2－ab ，由S ＝12ab sin C ＝34ab ＝433，得ab ＝163，从而(a ＋b )2＝9＋3ab ＝25，∴a ＋b ＝5.18．(14分)如图，货轮在海上以35 n mile/h 的速度沿方位角(从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为152°的方向航行．为了确定船位，在B 点处观测到灯塔A 的方位角为122°.半小时后，货轮到达C 点处，观测到灯塔A 的方位角为32°.求此时货轮与灯塔之间的距离．解析：在△ABC 中，∠B ＝152°－122°＝30°，∠C ＝180°－152°＋32°＝60°，∠A＝180°－30°－60°＝90°，BC ＝352，∴AC ＝352si n 30°＝354.∴船与灯塔间的距离为354n mile.19.(14分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos(A －C )＋cos B ＝1，a ＝2c ，求C .解析：由A ＋B ＋C ＝π，得cos B ＝－cos(A ＋C )，于是cos(A －C )＋cos B ＝cos(A －C )－cos(A ＋C )＝2sin A sin C ＝1⇒sin A sin C ＝12，①由a ＝2c 得sin A ＝2sin C ，②由①②得sin C ＝12，又a ＝2c ＞c ，∴C ＝π6.20．(14分)在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin A ＝223.(1)求tan 2B ＋C 2＋sin 2 A 2的值；解析：(1)在锐角三角形ABC 中，由sin A ＝223，得cos A ＝13，∴tan 2B ＋C 2＋sin 2 A 2＝sin 2 B ＋C 2cos2B ＋C 2＋sin 2 A 2.＝1－cos B ＋C 1＋cos B ＋C ＋12(1－cos A ) ＝1＋cos A 1－cos A ＋12(1－cos A ) ＝1＋131－13＋12×⎝⎛⎭⎪⎫1－13＝73.(2)若a ＝2，S △ABC ＝2，求b 的值．解析：(2)因为S △ABC ＝2，11 又S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc ·223＝2，则bc ＝3. 将a ＝2，cos A ＝13，c ＝3b代入a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 得b 4－6b 2＋9＝0，解得b ＝ 3.。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作一、填空题（共14题，每题4分共70分）1．在△ABC 中，A ＝45°，B ＝60°，a ＝10，则b ＝________.2．在△ABC 中，若S △ABC ＝14(a 2＋b 2－c 2)，那么角C ＝________. 3．在△ABC 中，a ＝6，B ＝30°，C ＝120°，则△ABC 的面积是________．4. 轮船A 和轮船B 在中午12时同时离开海港C ，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25 n mile/h ，15 n mile/h ，则下午2时两船之间的距离是________n mile.5． 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若sin A ＝3sin C ，B ＝30°，b ＝2，则△ABC 的面积是________．6．在△ABC 中，已知cos A ＝513，sin B ＝35，则cos C 的值为________． 7. 在一个塔底的水平面上某点测得塔顶的仰角为θ，由此点向塔底沿直线行走了30 m ，测得塔顶的仰角为2θ，再向塔底前进10 3 m ，又测得塔顶的仰角为4θ，则塔的高度为________ m.图88．如图8，已知A ，B 两点的距离为100 n mile ，B 在A 的北偏东30°方向，甲船自A 以50 n mile/h 的速度向B 航行，同时乙船自B 以30 n mile/h 的速度沿方位角150°方向航行，航行________ h ，两船之间的距离最小．9．从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α、β的关系为________．10．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68 n mile 的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船的航行速度为 n mile/h.图1111．如图11所示，要测量河对岸A 、B 两点间的距离，今沿河岸选取相距40 m 的C 、D 两点，测得∠ACB ＝60°，∠BCD ＝45°，∠ADB ＝60°，∠ADC ＝30°，则A 、B 间的距离是________ m.12．某海岛周围38 n mile 有暗礁，一轮船由西向东航行，初测此岛在北偏东60°方向，航行30 n mile 后测得此岛在东北方向．若不改变航向，则此船________触礁的危险(填“有”或“无”)．13．在△ABC 中，若AB ＝AC ，则cos A ＋cos B ＋cos C 的取值范围为________．14．在三角形ABC 中，A ，B ，C 是其三个内角，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，c ＝2，C ＝π3，记m ＝(sin C ＋sin(B －A )，2)，n ＝(sin2A,1)，若m 与n 共线，则△ABC 的面积为________．二、解答题（本题共6题，共90分）15．(14分)在△ABC 中，C －A ＝π2，sin B ＝13. (1)求sin A 的值；(2)设AC ＝6，求△ABC 的面积．16.（14分）如图16，某河段的两岸可视为平行，为了测量该河段的宽度，在河的一边选取两点A 、B ，观察对岸的点C ，测得∠CAB ＝75°，∠CBA ＝45°，且AB ＝100 m.(1)求sin75°；(2)求该河段的宽度．图1617．(15)在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且2a sin A＝(2b＋c)sin B＋(2c ＋b)sin C.(1)求A的大小；(2)若sin B＋sin C＝1，试判断△ABC的形状．18．(5分)如图18，在一条海防警戒线上的点A、B、C处各有一个水声监测点，B、C两点到点A的距离分别为20 km和50 km.某时刻，B收到发自静止目标P的一个声波信号，8 s后A、C同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5 km/s.设A到P的距离为x km，用x表示B，C到P的距离，并求x的值；图1819．(16分)在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc.(1)求A；(2)若B－C＝90°，c＝4，求b.(结果用根式表示)20．(16分) 已知a，b，c分别为△ABC的三内角A，B，C的对边，且a cos C＋c cos A＝2b cos B.(1)求角B的大小；(2)求sin A＋sin C的取值范围．。

第1章 解三角形(A) (时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．在△ABC 中，2a sin A －b sin B －csin C＝________.2．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 2＋c 2－b 2＝3ac ，则角B 的值为________．3.在△ABC 中，AB=3，AC=2，BC=10，则BA →·AC →＝________. 4．在△ABC 中，已知a ＝5，b ＝15，A ＝30°，则c ＝________. 5．在下列情况中三角形解的个数唯一的有________． ①a ＝8，b ＝16，A ＝30°； ②b ＝18，c ＝20，B ＝60°； ③a ＝5，c ＝2，A ＝90°； ④a ＝30，b ＝25，A ＝150°.6．△ABC 的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的半径为________．7．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边．若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则sin C ＝________.8．在△ABC 中，已知b 2－bc －2c 2＝0，a ＝6，cos A ＝78，则△ABC 的面积S 为________．9．若sin A a ＝cos B b ＝cos C c，则△ABC 的形状是________________三角形．10．已知△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若a ＝c ＝6＋2，且A ＝75°，则b ＝________.11．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为_____________________________________________________________．12．已知△ABC 的周长为2＋1，且sin A ＋sin B ＝2sin C ．若△ABC 的面积为16sin C ，角C 的度数为________．13．钝角三角形的三边为a ，a ＋1，a ＋2，其最大角不超过120°，则a 的取值范围是________．14．满足条件AB ＝2，AC ＝2BC 的三角形ABC 的面积的最大值是________．二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)我艇在A 处发现一走私船在方位角45°且距离为12海里的B 处正以每小时10海里的速度向方位角105°的方向逃窜，我艇立即以14海里/小时的速度追击，求我艇追上走私船所需要的时间．16．(14分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别是a 、b 、c ，且cos A ＝45.(1)求sin 2 B ＋C2＋cos 2A 的值；(2)若b ＝2，△ABC 的面积S ＝3，求a .17．(14分)如图所示，△ACD 是等边三角形，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，BD 交AC 于E ，AB ＝2. (1)求cos ∠CBE 的值； (2)求AE .18．(16分)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos B ＝35.(1)若b ＝4，求sin A 的值；(2)若△ABC 的面积S △ABC ＝4，求b ，c 的值．19．(16分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C . (1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．20．(16分)已知△ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量m ＝(a ，b )，n ＝(sin B ，sin A )，p ＝(b －2，a －2)．(1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若m ⊥p ，边长c ＝2，角C ＝π3，求△ABC 的面积．第1章 解三角形(A)答案1．0 2.π6解析 ∵a 2＋c 2－b 2＝3ac ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3ac 2ac ＝32，∴B ＝π6.3．－32解析 由余弦定理得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝9＋4－1012＝14.∴AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos A ＝3×2×14＝32.∴·BA →·AC →＝－AB →·AC →＝－32.4．25或 5解析 ∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴5＝15＋c 2－215×c ×32.化简得：c 2－35c ＋10＝0，即(c －25)(c －5)＝0，∴c ＝25或c ＝ 5. 5．①③④解析 ①中，因为a sin A ＝bsin B ，所以sin B ＝16×sin 30°8＝1，∴B ＝90°，即只有一解；②中，sin C ＝20sin 60°18＝539，且c >b ，∴C >B ，故有两解；③中，∵A ＝90°，a ＝5，c ＝2，∴b ＝a 2－c 2＝25－4＝21，有一解．④∵A ＝150°，a >b ，∴有一解． 6.928解析 设另一条边为x ，则x 2＝22＋32－2×2×3×13，∴x 2＝9，∴x ＝3.设cos θ＝13，则sin θ＝223.∴2R ＝3sin θ＝3223＝924，R ＝928.7．1解析 在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，A ＋C ＝2B .∴B ＝π3.由正弦定理知，sin A ＝a sin B b ＝12.又a <b .∴A ＝π6，C ＝π2.∴sin C ＝1.8.152解析 由b 2－bc －2c 2＝0可得(b ＋c )(b －2c )＝0. ∴b ＝2c ，在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即6＝4c 2＋c 2－4c 2·78.∴c ＝2，从而b ＝4.∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×2×4×1－⎝⎛⎭⎫782＝152. 9．等腰直角解析 ∵sin A a ＝cos Bb，∴a cos B ＝b sin A ，∴2R sin A cos B ＝2R sin B sin A,2R sin A ≠0. ∴cos B ＝sin B ，∴B ＝45°.同理C ＝45°，故A ＝90°.10．2解析 sin A ＝sin 75°＝sin(30°＋45°)＝6＋24， 由a ＝c 知，C ＝75°，B ＝30°.sin B ＝12.由正弦定理：b sin B ＝asin A ＝6＋26＋24＝4.∴b ＝4sin B ＝2. 11.π3或2π3解析 ∵(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，∴a 2＋c 2－b 22ac ·tan B ＝32，即cos B ·tan B ＝sin B ＝32.∵0<B <π，∴角B 的值为π3或2π3.12．60°解析 由题意及正弦定理得AB ＋BC ＋AC ＝2＋1，BC ＋AC ＝2AB ，两式相减，得AB ＝1.由△ABC 的面积可得12BC ·AC ·sin C ＝16sin C ，可得BC ·AC ＝13，而BC ＋AC ＝2，由余弦定理得cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC ＝(AC ＋BC )2－2AC ·BC －AB 22AC ·BC ＝12，所以C ＝60°，即填60°. 13.32≤a <3 解析 由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋(a ＋1)>a ＋2a 2＋(a ＋1)2－(a ＋2)2<0a 2＋(a ＋1)2－(a ＋2)22a (a ＋1)≥－12.解得32≤a <3.14．2 2解析 设BC ＝x ，则AC ＝2x ，根据面积公式得S △ABC ＝12AB ·BC sin B ＝12×2x 1－cos 2B ，根据余弦定理得cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝4＋x 2－(2x )24x ＝4－x 24x，将其代入上式得S △ABC ＝x 1－⎝⎛⎭⎫4－x 24x 2＝128－(x 2－12)216，由三角形三边关系有⎩⎨⎧2x ＋x >2，x ＋2>2x ，解得22－2<x <22＋2，故当x ＝23时，S △ABC 取得最大值2 2.15．解 设我艇追上走私船所需时间为t 小时，则 BC ＝10t ，AC ＝14t ，在△ABC 中， 由∠ABC ＝180°＋45°－105°＝120°，根据余弦定理知：(14t )2＝(10t )2＋122－2·12·10t cos 120°，∴t ＝2. 答 我艇追上走私船所需的时间为2小时．16．解 (1)sin 2B ＋C 2＋cos 2A ＝1－cos (B ＋C )2＋cos 2A ＝1＋cos A 2＋2cos 2 A －1＝5950. (2)∵cos A ＝45，∴sin A ＝35.由S △ABC ＝12bc sin A ，得3＝12×2c ×35，解得c ＝5.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得a 2＝4＋25－2×2×5×45＝13，∴a ＝13.17．解 (1)∵∠BCD ＝90°＋60°＝150°，CB ＝AC ＝CD ，∴∠CBE ＝15°.∴cos ∠CBE ＝cos(45°－30°)＝6＋24.(2)在△ABE 中，AB ＝2，由正弦定理得AE sin ∠ABE ＝ABsin ∠AEB，即AE sin (45°－15°)＝2sin (90°＋15°)，故AE ＝2sin 30°cos 15°＝2×126＋24＝6－ 2.18．解 (1)∵cos B ＝35>0，且0<B <π，∴sin B ＝1－cos 2B ＝45.由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，sin A ＝a sin Bb ＝2×454＝25.(2)∵S △ABC ＝12ac sin B ＝4，∴12×2×c ×45＝4，∴c ＝5.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝22＋52－2×2×5×35＝17，∴b ＝17.19．解 (1)由已知，根据正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ， 即a 2＝b 2＋c 2＋bc .由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故cos A ＝－12，A ＝120°.(2)由(1)得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ，又A ＝120°，∴sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ＝34，∵sin B ＋sin C ＝1，∴sin C ＝1－sin B .∴sin 2B ＋(1－sin B )2＋sin B (1－sin B )＝34，即sin 2B －sin B ＋14＝0.解得sin B ＝12.故sin C ＝12.∴B ＝C ＝30°.所以，△ABC 是等腰的钝角三角形．20．(1)证明 ∵m ∥n ，∴a sin A ＝b sin B ，即a ·a 2R ＝b ·b2R，其中R 是△ABC 外接圆半径，∴a ＝b . ∴△ABC 为等腰三角形． (2)解 由题意知m ·p ＝0，即a (b －2)＋b (a －2)＝0.∴a ＋b ＝ab . 由余弦定理可知，4＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ， 即(ab )2－3ab －4＝0.∴ab ＝4(舍去ab ＝－1)，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×4×sin π3＝ 3.。