湖北重点高中自主招生考试数学试题
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2019 年襄阳四中、五中自主招生考试数学试题一、选择题 (每题 5 分,合计 50 分)1.以下运算结果中正确的选项是1 x23A. 2x3? 1 x7B. x3 1 x 1 x2x 142C. a22a 1 a 1D.27x3的立方根是 3x2.直线y a2 x m21(此中a、m是常数)必定不经过的象限是A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.依据以下三视图 ,计算出该几何体的表面积是A.36 πB.34 πC.30 πD.40π4.我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题,“今有鸡兔同笼 ,上有三十五头 ,下有九十四足 ,问鸡兔几何” ,问鸡、兔的只数分别是A.21,14B.22,13C.23,12D.24,115.如图 ,正方形 ABCD 对角线交于一点O,又 O 是正方形A1B1C1O的一个极点 ,并且两个正方形的边长相等都为 a ,正方形A1B1C1O绕O在转动,则两正方形重叠部分的面积为A.不确立B. 1a2 C.1a2 84D. 1a266.在直角坐标系中 ,一束光芒经过点A(3,2),先后经过x轴、y轴反射后再经过点 B(1,4),则光芒从 A 到 B 经过的路线长为A.5B.2 13C.2 5D.2 67.以下五个图像中 ,能表示y是x的函数的图像的个数是A.1个B.2个C.3 个D.4 个8.如图 ,直线x a 从左往右运动,将△ABC分红左右两部分,左侧暗影部分的面积为 S,则 S 对于a的函数图像是9.有以下四个命题 :①若 x24,则x2;②若24则 x 1 ;2x14x2,2 1③命题“若 am2>bm2,则 a> b ”的抗命题;④若一元二次方程ax2bx c 0 的两根是1 和 2,则方程cx2bx a0 的两根是-1和12此中真命题的个数是A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个10.函数y x2 1 x 2 3 x 0 的最小值与最大值分别是A.3,9B. 3 ,9C.1,9D.3,104二、填空题 (每题 5 分,合计 30 分)11.函数y x2x0 2 x 中自变量x的取值范围是___________.x112. 423 27 4 2 3 4 2 3_________.13.方程x2x10 的较大的根为 a , a 的小数部分为 b ,则 a2b2ab______.14.⊙O 的内接梯形 ABCD ,AB 过点 O,AB ∥CD ,AC 交 BD 于 E,OD 交 AC 于 F,AB=10 ,∠ DAB=60 °,则 EF=____________.15.二次函数y x 22x m 与x轴有两个不一样的交点A、B, 现有以下四个命题 :① m 的取值范围是m<1;②A、B 的距离AB 2 1 m;③若 m15,当 y>0 时,x的取值范围是 x< 3 或x>5;④点 C 2,5m m> 5 ,△ABC的面最大 3.此中正确命的序号是________________.16.如所示 ,在直角坐系中的整点 (横坐整数 ):b1 1,0, b2 1, 1, b3 0, 1 ,b41, 1 ,b51,0 , b61,1, b70,1, b8 1,1, b9 2,1 ,⋯,以此推 , b2018【参照公式:1 23n1n n 1). ________2三、解答 (共 70 分)17.(6 分)已知14,求 a 1的.aa a18.(6 分)化境 ,引一批同的 ,三年后 ,些的干的周状况如所示 :(1)批共有 ________棵;(2)批干周的中位数在第________ (从左到右 );(3)从批数据中任取一个,落在 50~60 一的概率 __________;(4)求批干周的均匀数。
2022年湖北省武汉市华中师大一附中自主招生数学试卷一、选择题(本大题共5小题,共25.0分。
在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项1.已知:x2﹣4y2=﹣3xy,x>0,y>0,则=()A.B.﹣4C.D.2.如图,抛物线y=﹣x2+bx+c交y轴于点(0,5),对称轴为直线x=﹣2,若y>0,则x的取值范围是()A.﹣4<x<1B.﹣5<x<1C.x<﹣5或x>1D.x<﹣4或x>13.如图,在△ABC中,∠BAC=120°,∠ACB=20°,∠ACB的平分线与∠BAC的外角平分线交于点D,连接BD,则tan∠BDC的值是()A.1B.C.D.4.如图,⊙O的直径AB=2,AM和BN是它的两条切线,DE切⊙O于E,交AM于D,交BN于C,则四边形ABCD的面积S的最小值为()A.1B.C.2D.45.方程x2+4x﹣1=0的根可视为函数y=x+4的图象与函数的图象交点的横坐标,那么用此方法可推断出方程x3+x﹣1=0的实根x所在的范围是()A.﹣1<x0<0B.0<x0<C.<x0<1D.1<x0<2二、填空题(本大题共5小题,共25.0分)6.计算:已知2x+5y﹣5=0,则4x•32y的值是.7.已知实数m、n满足|4﹣m|+(n﹣2)2+=2m﹣4,则m+n=.8.从﹣2,﹣1,0,1,2这五个数中任取一个数,作为关于x的一元二次方程x2+2x+k=0中k的值,则所得方程中有两个不相等的实数根的概率为.9.在平面直角坐标中,点A(0,8),点B(6,0),动点C在x轴负半轴上,动点D在y轴负半轴上运动,且CD=10,若N、M分别为AB、CD的中点,则线段MN的最大值为.10.如图,在△ABO中,∠BAO=90°,AO=AB,且点A(2,4)在双曲线y=(x>0)上,OB边交双曲线于点C,则C点的坐标为.三、解答题11.先化简,再求值:,其中a=,.12.如图,在△ABC中,∠ABC=30°∠ADC=45°,BD=1,,将△ACD沿AD翻折得到△AED,连接BE.(1)求∠EBC;(2)求AB长.13.如图,抛物线y=ax2+bx+c的顶点为C(0,﹣),与x轴交于A、B两点,且A(﹣1,0).(1)求抛物线的解析式;(2)点P从点B出发,以每秒1个单位的速度向点A运动,同时点Q从点C出发,以每秒v个单位的速度向y轴负方向匀速运动,连接PQ交射线BC于点D,当点P到达点A时,点Q停止运动,以点P 为圆心,PB为半径的圆与射线BC交于点E,若在点P,Q运动的过程中,线段DE的长始终是一个定值,求v的值及DE长.。
(VIP&校本题库)2023年湖北省重点高中八校联考自主招生优录数学试卷(一)一、精心选一选(本题有10个小题,每小题3分,共30分)请将你认为正确的答案代号填在括号中A.1B.−4C.38D.3−π1.(3分)下列各式中,是二次根式的是()√√√A.3,4,5B.6,8,10C.7,24,25D.34,3,52.(3分)下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是()√√√√A.等腰梯形B.直角梯形C.菱形D.矩形3.(3分)顺次连接等腰梯形四边中点得到一个四边形,再顺次连接所得四边形四边的中点得到的图形是()A.B.C.D.4.(3分)下列曲线中不能表示y是x的函数的是()A.平均数B.中位数C.众数D.方差5.(3分)为了解某公司员工的年工资情况,小明随机调查了10位员工,其年工资如下(单位:万元):4,4,4,5,6,6,7,7,9,25.则下列统计量中,能合理反映该公司员工年工资中等水平的是()A.7B.11C.2D.16.(3分)若75与最简二次根式m+1是同类二次根式,则m的值为()√√A.x2-3=(10-x)2B.x2-32=(10-x)2C.x2+3=(10-x)2D.x2+32=(10-x)27.(3分)《九章算术》是我国古代的数学名著,书中的“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺.问折者高几何?意思是:一根竹子,原高一丈(一丈=10尺),一阵风将竹子折断,其竹梢恰好抵地,抵地处离竹子底部3尺远,问折断处离地面的高度是多少?设折断后离地面的高度为x尺,则可列方程为()8.(3分)如图,点E是矩形ABCD的边DC上的点,将△AED沿着AE翻折,点D刚好落在对角线AC的中点D′处,则∠AED的度数为()二、细心填一填(本题有6个小题,每小题3分,共18分)A .50°B .60°C .70°D .80°A .1<x <52B .1<x <3C .-52<x <1D .52<x <39.(3分)如图,直线y =kx 和y =ax +4交于A (1,k ),则不等式kx -6<ax +4<kx 的解集为( )A .B .C .D .10.(3分)如图,在矩形ABCD 中,AB =2,AD =3,点E 是BC 边上靠近点B 的三等分点,动点P 从点A 出发,沿路径A →D →C →E 运动,则△APE 的面积y 与点P 经过的路径长x 之间的函数关系用图象表示大致是( )11.(3分)若x +1x +2有意义,则x 的取值范围为 .√12.(3分)如果一组数据a 1,a 2,…,a n 的平均数是2,那么新数据3a 1,3a 2,…,3a n 的平均数是 .13.(3分)如果关于x 的一次函数y =mx +(4m -2)的图象经过第一、三、四象限,那么m 的取值范围是 .14.(3分)如图,CE 、BF 分别是△ABC 的高线,连接EF ,EF =6,BC =10,D 、G 分别是EF 、BC 的中点,则DG 的长为 .15.(3分)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲,如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较长直角边长为a ,较短直角边长为b ,若ab =8,大正方形的面积为25,则小正方形的边长为 .16.(3分)在一条笔直的公路上有A 、B 、C 三地,C 地位于A 、B 两地之间,甲车从A 地沿这条公路匀速驶向C 地,乙车从B 地沿这条公路匀速驶向A 地.在甲车出发至甲车到达C 地的过程中,甲、乙两车各自与C 地的距离y (km )与甲车行驶时间t (h )之间的函数关系如图所示.下列结论:①甲车出发2h 时,两车相遇;②乙车出发1.5h 时,两车相距170km ;③乙车出发257h 时,两车相遇;④甲车到达C 地时,两车相距40k m .其中正确的是 (填写所有正确结论的序号).三、耐心答一答(本题有9个小题,共72分)17.(7分)计算:12+3(3-1)-(3-5)0-|3-2|√√√√√√18.(7分)如图,在四边形ABDC 中,∠A =90°,AB =9,AC =12,BD =8,CD =17.(1)连接BC ,求BC 的长;(2)求△BCD 的面积.19.(7分)如图,菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ,BE ∥AC ,AE ∥BD ,OE 与AB 交于点F .(1)试判断四边形AEBO 的形状,并说明理由;(2)若OE =10,AC =16,求菱形ABCD 的面积.20.(7分)已知2y +1与3x -3成正比例,且x =10时,y =4(1)求y 与x 之间的函数关系式,并指出它是什么函数;(2)点P (4,3)在这个函数图象上吗?21.(8分)某中学在一次爱心捐款活动中,全体同学积极踊跃捐款.现抽查了九年级(1)班全班同学捐款情况,并绘制出如下的统计表和统计图:捐款(元)20 50 100150200 人数(人) 412 932求:(Ⅰ)m =,n = ;(Ⅱ)求学生捐款数目的众数、中位数和平均数;(Ⅲ)若该校有学生2500人,估计该校学生共捐款多少元?22.(8分)阅读下列材料,然后解答下列问题:在进行代数式化简时,我们有时会碰上如53,23+1这样的式子,其实我们还可以将其进一步化简:(一)53=5×33×3=533;(二)23+1=2×(3−1)(3+1)(3−1)=2(3−1)(3)2−1=3-1;(三)23+1=3−13+1=(3)2−123+1=(3+1)(3−1)3+1=3-1.以上这种化简的方法叫分母有理化.(1)请用不同的方法化简25+3;①参照(二)式化简25+3= .②参照(三)式化简25+3= .(请写出计算过程)(2)化简:13+1+15+3+17+5+…+121+19.√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√23.(9分)某年5月,我国南方某省A、B两市遭受严重洪涝灾害,1.5万人被迫转移,邻近县市C、D获知A、B两市分别急需救灾物资200吨和300吨的消息后,决定调运物资支援灾区.已知C市有救灾物资240吨,D市有救灾物资260吨,现将这些救灾物资全部调往A、B两市.已知从C市运往A、B两市的费用分别为每吨20元和25元,从D市运往A、B两市的费用别为每吨15元和30元,设从D市运往B市的救灾物资为x吨.(1)请填写下表A(吨)B(吨)合计(吨)C(吨)240D(吨)x260总计(吨)200300500(2)设C、D两市的总运费为w元,求w与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;(3)经过抢修,从D市到B市的路况得到了改善,缩短了运输时间,运费每吨减少m元(m>0),其余路线运费不变.若C、D两市的总运费的最小值不小于10320元,求m的取值范围.24.(9分)我们知道平行四边形有很多性质,现在如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折,会发现这其中还有更多的结论.【发现与证明】⏥ABCD中,AB≠BC,将△ABC沿AC翻折至△AB′C,连接B′D.结论1:△AB′C与⏥ABCD重叠部分的图形是等腰三角形;结论2:B′D∥AC;…(1)请证明结论1和结论2;【应用与探究】(2)在⏥ABCD中,已知BC=2,∠B=45°,将△ABC沿AC翻折至△AB′C,连接B′D.若以A、C、D、B′为顶点的四边形是正方形,求AC的长.(要求画出图形)25.(10分)如图,矩形OABC中,点A在x轴上,点C在y轴上,点B的坐标是(6,8),矩形OABC沿直线BD折叠,使得点C落在对角线OB上的点E处,折痕与OC交于点D.(1)求直线OB的解析式及线段OE的长;(2)求直线BD的解析式及点E的坐标;(3)若点P是平面内任意一点,点M是直线BD上的一个动点,过点M作MN⊥x轴,垂足为点N,在点M的运动过程中是否存在以P、N、E、O为顶点的四边形是菱形?若存在,直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.。
一.单项选择题(本题共10小题,每题5分,共50分).1.(5分)当x=8时,的值为()A.B.﹣C.D.2.(5分)若某多面体的三视图如图所示,则此多面体的表面积是()A.6B.C.D.3.(5分)从编号分别为1,2,3,4,5的5个红球和5个黑球中随机取出2个,则取出球的编号互不相同的概率为()A.B.C.D.4.(5分)荆州方特东方神画主题乐园,于2019年9月12日在荆州盛大开园.该景点位于荆州纪南文旅区,为湖北地区规模最大、档次最高的历史文化主题乐园.游客要从景点C走到D,现在景区内取两点A、B,经测量∠CAB=90°,AC=CD,BD=2CD,且AD=20米,则CD两点的距离为()米.A.B.C.D.305.(5分)x2﹣6x+8=±k只有两个实根,则k的取值范围是()A.k=0B.k>1C.0≤k<1D.k>1或k=06.(5分)在R上定义运算:a⊕b=(a+1)b,当1≤x≤2时,存在x使不等式2⊕mx<4成立,则实数m的取值范围为()A.B.C.m≤0D.7.(5分)某部影片的盈利额(即影片的票房收入与固定成本之差)记为y,观影人数记为x,其函数图象如图(1)所示.由于目前该片盈利未达到预期,相关人员提出了两种调整方案,图(2)、图(3)中的实线分别为调整后y与x的函数图象.给出下列四种说法:①图(2)对应的方案是:提高票价,并提高成本;②图(2)对应的方案是:保持票价不变,并降低成本;③图(3)对应的方案是:提高票价,并保持成本不变:④图(3)对应的方案是:提高票价,并降低成本.其中,正确的说法是()A.①③B.①④C.②③D.②④8.(5分)如图,等腰直角△ABC中,A为直角顶点,点D,E分别在线段AB和BC上,且满足AD=2BD,AE⊥CD,则CE:EB=()A.5:4B.5:3C.3:2D.2:19.(5分)圆O半径为5,弦AB⊥CD,且AB=CD=5,则黑色部分记为1,阴影部分记为Ⅱ,设Ⅰ、Ⅱ的面积分别记为S1,S2,则S1+S2为()A.B.C.D.10.(5分)德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著,以其名命名的函数y=被称为狄利克需函数,则关于此函数有如下三个命题(以下命题中的A、B、C三点均在此函数上):①存在三个点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)使得△ABC为等腰直角三角形;②存在三个点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)使得△ABC为等边三角形.③已知M(1,3),N(2,2),A(x1,y1),B(x2,y2)且为有理数,边无理数,则四边形MABN周长的最小值是.其中正确说法的个数是()A.0B.1C.2D.3二.填空题(本题共6小题,每题5分,共30分).11.(5分)如图,在半径为10的圆O中,∠AOB=90°,C为OB的中点,AC的延长线交圆O于点D,则线段CD的长为.12.(5分)如果方程x3﹣4x2+(3+k)x﹣k=0的三个根可以作为一个等腰三角形的边长,则实数k =.13.(5分)若关于x、y的方程组无解,则实数k=.14.(5分)如图,已知矩形ABCD顶点A(0,0)、B(1,0)、C(1,2),我们规定“把矩形ABCD先关于x轴翻转,再向x轴正方向滚动一次(无滑动)”为一次变换,例如:第一次变换是从初始位置先翻转至Ⅰ处,再向x轴正方向滚动至Ⅱ处.如此这样,经过2023次变换后,此时的A点坐标为.15.(5分)如图,在▱ABCD中,AB=3,BC=5且∠BAC=90°,点E在线段BC上运动,将△ABE沿AE翻折使点B落在B'处,当∠ADB′达到最大时,则sin∠ADB'=.16.(5分)设S=+++…+则不大于S的最大整数[S]等于.三.解答题(本题共6小题,共70分).17.(10分)一次函数y=﹣x+3与的第一象限的图象交于A,B两点.(1)求k的取值范围;(2)若k=2,求此时△OAB的面积.18.(10分)(1)求值:;(2)已知x2﹣x﹣1=0,求的值.19.(12分)如图,等边△ABC内接于⊙O,P是上任一点(点P不与点A、B重合),连接AP、BP、CP,CP与AB交于点D,过点C作CM∥BP交P A的延长线于点M.(1)求证:△ACM≌△BCP;(2)若P A=1,且AD:DB=1:2.求⊙O的半径.20.(12分)如图,在平面直角坐标系中,直线y=k1x+2与x、y轴分别交于A、B两点,直线y=k2x﹣1与x、y轴分别交于C、D两点,点P(﹣6,﹣4)是这两条直线的交点.(1)求k1和k2的值;(2)若Q是直线AB一动点(不与P重合),若△PBC和△PDQ相似时,求点Q的坐标.21.(12分)如图所示,在平面直角坐标系中,如图1,将线段AB平移至线段CD,点A在x轴的负半轴,点C在y轴的正半轴上,连接AC、BD.(1)若A(﹣3,0)、B(﹣2,﹣1),C(0,2),直接写出点D的坐标;(2)如图2,在直线EF上有点A,分别引两条射线AB、AC.∠BAF=110°,∠CAF=60°,射线AB、AC分别绕A点以1度/秒和3度/秒的速度同时顺时针转动,设时间为t,在射线AC转动一周的时间内,是否存在某时刻,使得AC与AB在同一条直线上?若存在,求出所有满足条件的时间t.(3)在(2)的条件下,是否存在某时刻,使得射线AC平分∠EAB?22.(14分)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(﹣6,0),B(2,0)两点,与y轴交于点C(0,c).(1)若此函数当﹣1≤x≤3时,函数值y的最大值是1,求a;(2)已知C(0,8)连接AC、BC,若点E是线段AB上的一个动点(与点A、点B不重合),过点E 作EF∥AC交BC于点F,连接CE,设AE的长为m,△CEF的面积为S,求S与m之间的函数关系式,并写出自变量m的取值范围;(3)已知c>0,若O为△ABC的外心,平面内存在点D使得OADB四点共圆且D点关于x轴的对称点恰好为△OAB的内心,求点C的坐标.。
2023年襄阳四中五中自主招生考试数学试题第一题:简答题
请简要回答以下问题:
1.什么是函数?
2.如何判断一个函数是奇函数还是偶函数?
3.什么是一次函数?
4.什么是二次函数?
5.如何求解一元一次方程?
6.如何求解一元二次方程?
7.什么是平方根?
8.如何求解三角形的面积?
9.什么是勾股定理?
10.如何计算两点之间的距离?
第二题:计算题
请计算以下数学问题:
1.计算:$2 + 3 \\times 5 - 8 \\div 2 + 4$ 的结果。
2.计算:$\\sqrt{16} + (8 - 4) \\times 2$ 的结果。
3.已知直角三角形的两条直角边分别为3cm和4cm,求斜边的长度。
4.已知一次函数y=2y+1,求当y=5时对应的y 的值。
5.已知二次函数y=y2+3y+2,求当y=−2时对应的y的值。
第三题:解答题
请解答以下问题:
1.证明勾股定理。
2.已知一元一次方程3y−2=4,求解y的值。
3.已知一列数的前三项分别为2、5、8,规律是每一
项比前一项增加3,求这个数列的通项公式。
4.已知一元二次方程y2+2y+1=0,求解y的值。
以上是2023年襄阳四中五中自主招生考试数学试题,请按要求完成。
2023年湖北省重点高中八校联考自主招生优录数学试卷(一)一、选择题(每小题3分,共24分)1.(3分)将x克含糖10%的糖水与y克含糖30%的糖水混合,混合后的糖水含糖()A.20%B.×100%C.×100%D.×100%2.(3分)如图,将长、宽分别为12cm,3cm的长方形纸片分别沿AB,AC折叠,点M,N恰好重合于点P.若∠α=60°,则折叠后的图案(阴影部分)面积为()A.(36)cm2B.(36)cm2C.24cm2D.36cm23.(3分)如图,Rt△ABC中,∠BAC=90°,cos B=,点D是边BC的中点,以AD为底边在其右侧作等腰三角形ADE,使∠ADE=∠B,连结CE,则的值为()A.B.C.D.24.(3分)如图,已知在矩形ABCD中,AB=1,BC=,点P是AD边上的一个动点,连接BP,点C 关于直线BP的对称点为C1,当点P运动时,点C1也随之运动.若点P从点A运动到点D,则线段CC 1扫过的区域的面积是()A.πB.π+C.D.2π5.(3分)超市货架上有一批大小不一的鸡蛋,某顾客从中选购了部分大小均匀的鸡蛋,设货架上原有鸡蛋的质量(单位:g)平均数和方差分别为,s2,该顾客选购的鸡蛋的质量平均数和方差分别为,,则下列结论一定成立的是()A.<B.>C.s2>D.s2<6.(3分)如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(﹣1,0),B(3,0),与y轴交于点C.下列结论:①ac>0;②当x>0时,y随x的增大而增大;③3a+c=0;④a+b≥am2+bm.其中正确的个数有()A.1个B.2个C.3个D.4个7.(3分)连接正六边形不相邻的两个顶点,并将中间的六边形涂成黑色,制成如图所示的镖盘,将一枚飞镖任意投掷到镖盘上,飞镖落在黑色区域的概率为()A.B.C.D.8.(3分)由12个有公共顶点O的直角三角形拼成的图形如图所示,∠AOB=∠BOC=…=∠LOM=30°.若OA=16,则OG的长为()A.B.C.D.二、填空题(每小题3分,共24分)9.(3分)如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长都是1,⊙O是△ABC的外接圆,点A,B,O在网格线的交点上,则sin∠ACB的值是.10.(3分)综合实践活动课上,小亮将一张面积为24cm2,其中一边BC为8cm的锐角三角形纸片(如图1),经过两刀裁剪,拼成了一个无缝隙、无重叠的矩形BCDE(如图2),则矩形的周长为cm.11.(3分)由沈康身教授所著,数学家吴文俊作序的《数学的魅力》一书中记载了这样一个故事:如图,三姐妹为了平分一块边长为1的祖传正方形地毯,先将地毯分割成七块,再拼成三个小正方形(阴影部分).则图中AB的长应是.12.(3分)幻方历史悠久,传说最早出现在夏禹时代的“洛书”当中.把洛书用今天的数学符号翻译出来,就是一个三阶幻方.将数字1~9分别填入如图所示的幻方中,要求每一横行,每一竖行以及两条对角线上的数字之和都是15,则m的值为.13.(3分)如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的顶点A在x轴正半轴上,顶点B,C在第一象限,顶点D的坐标(,2).反比例函数y=(常数k>0,x>0)的图象恰好经过正方形ABCD的两个顶点,则k的值是.14.(3分)如图,点E,F,G分别在正方形ABCD的边AB,BC,AD上,AF⊥EG.若AB=5,AE=DG =1,则BF=.15.(3分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC<BC.分别以点A,B为圆心,大于AB的长为半径画弧,两弧交于D,E两点,直线DE交BC于点F,连接AF.以点A为圆心,AF为半径画弧,交BC 延长线于点H,连接AH.若BC=3,则△AFH的周长为.16.(3分)已知△ABC与△ABD在同一平面内,点C,D不重合,∠ABC=∠ABD=30°,AB=4,AC=AD=2,则CD长为.三、解答题(共72分)17.(10分)如图,正比例函数y=x与反比例函数y=(x>0)的图象交于点A,过点A作AB⊥y轴于点B,OB=4,点C在线段AB上,且AC=OC.(1)求k的值及线段BC的长;(2)点P为B点上方y轴上一点,当△POC与△P AC的面积相等时,请求出点P的坐标.18.(12分)有公共顶点A的正方形ABCD与正方形AEGF按如图1所示放置,点E,F分别在边AB和A D上,连接BF,DE,M是BF的中点,连接AM交DE于点N.【观察猜想】(1)线段DE与AM之间的数量关系是,位置关系是;【探究证明】(2)将图1中的正方形AEGF绕点A顺时针旋转45°,点G恰好落在边AB上,如图2,其他条件不变,线段DE与AM之间的关系是否仍然成立?并说明理由.19.(12分)已知在△ACD中,P是CD的中点,B是AD延长线上的一点,连结BC,AP.(1)如图1,若∠ACB=90°,∠CAD=60°,BD=AC,AP=,求BC的长.(2)过点D作DE∥AC,交AP延长线于点E,如图2所示,若∠CAD=60°,BD=AC,求证:BC=2 AP.(3)如图3,若∠CAD=45°,是否存在实数m,当BD=mAC时,BC=2AP?若存在,请直接写出m 的值;若不存在,请说明理由.20.(12分)如图,BD是半径为3的⊙O的一条弦.BD=4,点A是⊙O上的一个动点(不与点B,D 重合),以A、B,D为顶点作平行四边形ABCD.(1)如图2,若点A是劣弧的中点.①求证:平行四边形ABCD是菱形;②求平行四边形ABCD的面积.(2)若点A运动到优弧上,且平行四边形ABCD有一边与⊙O相切.①求AB的长;②直接写出平行四边形ABCD对角线所夹锐角的正切值.21.(12分)今年以来,我市接待的旅客人数逐月增加,据统计,游玩某景区的游客人数二月份为4万人,四月份为5.76万人.(1)求三、四月份该景区游客人数的平均月增长率;(2)若该景区仅有A、B两个景点,售票处的三种购票方式如下表所示:购票方式甲乙丙可游玩景点A B A和B门票价格100元/人80元/人160元/人据预测,六月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别为2万、3万和2万,并且当甲、乙两种门票价格不变时,丙种门票价格每下降1元,将有600人原计划购买甲种门票的游客和400人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票.①若丙种门票价格下降10元,则景区六月份的门票总收入为万元;②问:将丙种门票价格下降多少元时,景区六月份的门票总收入有最大值?最大值是多少万元?22.(14分)如图,抛物线y=ax2+bx+c经过点A(﹣2,0),B(4,0),与y轴正半轴交于点C,且OC=2OA,抛物线的顶点为D,对称轴交x轴于点E.直线y=mx+n经过B,C两点.(1)求抛物线及直线BC的函数表达式;(2)点F是抛物线对称轴上一点,当F A+FC的值最小时,求出点F的坐标及F A+FC的最小值;(3)连接AC,若点P是抛物线上对称轴右侧一点,点Q是直线BC上一点,试探究是否存在以点E为直角顶点的Rt△PEQ,且满足tan∠EQP=tan∠OCA.若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.2023年湖北省重点高中八校联考自主招生优录数学试卷(一)参考答案与试题解析一、选择题(每小题3分,共24分)1.(3分)将x克含糖10%的糖水与y克含糖30%的糖水混合,混合后的糖水含糖()A.20%B.×100%C.×100%D.×100%【解答】解:由题意可得,混合后的糖水含糖:×100%=×100%,故选:D.2.(3分)如图,将长、宽分别为12cm,3cm的长方形纸片分别沿AB,AC折叠,点M,N恰好重合于点P.若∠α=60°,则折叠后的图案(阴影部分)面积为()A.(36)cm2B.(36)cm2C.24cm2D.36cm2【解答】解:根据翻折可知,∠MAB=∠BAP,∠NAC=∠P AC,∴∠BAC=∠P AB+∠P AC=(∠MAB+∠BAP+∠NAC+∠P AC)=180°=90°,∵∠α=60°,∴∠MAB=180°﹣∠BAC﹣∠α=180°﹣90°﹣60°=30°,∴AB==6(cm),AC==2(cm),∴阴影部分的面积=S长方形﹣S△ABC=12×3﹣6×=(36﹣6)(cm2),故选:A.3.(3分)如图,Rt△ABC中,∠BAC=90°,cos B=,点D是边BC的中点,以AD为底边在其右侧作等腰三角形ADE,使∠ADE=∠B,连结CE,则的值为()A.B.C.D.2【解答】解:设DE交AC于T,过点E作EH⊥CD于H.∵∠BAC=90°,BD=DC,∴AD=DB=DC,∴∠B=∠DAB,∵∠B=∠ADE,∴∠DAB=∠ADE,∴AB∥DE,∴∠DTC=∠BAC=90°,∵DT∥AB,BD=DC,∴AT=TC,∴EA=EC=ED,∴∠EDC=∠ECD,∵EH⊥CD,∴CH=DH,∵DE∥AB,∴∠EDC=∠B,∴∠ECD=∠B,∴cos∠ECH=cos B=,∴=,∴==2,方法二:证△AED∽△ADB,从而得AE:AD=AD:AB=2:1,再证ED为AC的垂直平分线,得EC=ED=AE,等量代换得CE:AD=2:1.故选:D.4.(3分)如图,已知在矩形ABCD中,AB=1,BC=,点P是AD边上的一个动点,连接BP,点C 关于直线BP的对称点为C1,当点P运动时,点C1也随之运动.若点P从点A运动到点D,则线段CC 1扫过的区域的面积是()A.πB.π+C.D.2π【解答】解:如图,当P与A重合时,点C关于BP的对称点为C′,当P与D重合时,点C关于BP的对称点为C″,∴点P从点A运动到点D,则线段CC1扫过的区域为:扇形BC'C''和△BCC'',在△BCD中,∵∠BCD=90°,BC=,CD=1,∴tan∠DBC=,∴∠DBC=30°,∴∠CBC″=60°,∵BC=BC'',∴△BCC''为等边三角形,∴S扇形BC′C″==π,作C''F⊥BC于F,∵△BCC''为等边三角形,∴BF=,∴C''F=tan60°×=,∴S△BCC''=,∴线段CC1扫过的区域的面积为:π+.故选:B.5.(3分)超市货架上有一批大小不一的鸡蛋,某顾客从中选购了部分大小均匀的鸡蛋,设货架上原有鸡蛋的质量(单位:g)平均数和方差分别为,s2,该顾客选购的鸡蛋的质量平均数和方差分别为,,则下列结论一定成立的是()A.<B.>C.s2>D.s2<【解答】解:∵超市货架上有一批大小不一的鸡蛋,某顾客从中选购了部分大小均匀的鸡蛋,∴货架上原有鸡蛋的质量的方差s2>该顾客选购的鸡蛋的质量方差,而平均数无法比较.故选:C.6.(3分)如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(﹣1,0),B(3,0),与y轴交于点C.下列结论:①ac>0;②当x>0时,y随x的增大而增大;③3a+c=0;④a+b≥am2+bm.其中正确的个数有()A.1个B.2个C.3个D.4个【解答】解:把点A(﹣1,0),B(3,0)代入二次函数y=ax2+bx+c,可得二次函数的解析式为:y=ax2﹣2ax﹣3a,∵该函数图象开口方向向下,∴a<0,∴b=﹣2a>0,c=﹣3a>0,∴ac<0,3a+c=0,①错误,③正确;∵对称轴为直线:x=﹣=1,∴x<1时,y随x的增大而增大,x>1时,y随x的增大而减小;②错误;∴当x=1时,函数取得最大值,即对于任意的m,有a+b+c≥am2+bm+c,∴a+b≥am2+bm,故④正确.综上,正确的个数有2个,故选:B.7.(3分)连接正六边形不相邻的两个顶点,并将中间的六边形涂成黑色,制成如图所示的镖盘,将一枚飞镖任意投掷到镖盘上,飞镖落在黑色区域的概率为()A.B.C.D.【解答】解:如图所示,令S△ABC=a,则S阴影=6a,S正六边形=18a,∴将一枚飞镖任意投掷到镖盘上,飞镖落在黑色区域的概率为=,故选:B.8.(3分)由12个有公共顶点O的直角三角形拼成的图形如图所示,∠AOB=∠BOC=…=∠LOM=30°.若OA=16,则OG的长为()A.B.C.D.【解答】解:由图可知,∠ABO=∠BCO=…=∠LMO=90°,∵∠AOB=∠BOC=…=∠LOM=30°,∴∠A=∠OBC=∠OCD=…=∠OLM=60°,∴AB=OA,OB=AB=OA,同理可得,OC=OB=()2OA,OD=OC=()3OA,…OG=OF=()6OA=()6×16=.故选:A.二、填空题(每小题3分,共24分)9.(3分)如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长都是1,⊙O是△ABC的外接圆,点A,B,O在网格线的交点上,则sin∠ACB的值是.【解答】解:如图,连接AO并延长交⊙O于D,由圆周角定理得:∠ACB=∠ADB,由勾股定理得:AD==2,∴sin∠ACB=sin∠ADB===,故答案为:.10.(3分)综合实践活动课上,小亮将一张面积为24cm2,其中一边BC为8cm的锐角三角形纸片(如图1),经过两刀裁剪,拼成了一个无缝隙、无重叠的矩形BCDE(如图2),则矩形的周长为22cm.【解答】解:延长AT交BC于点P,∵AP⊥BC,∴•BC•AP=24,∴×8×AP=24,∴AP=6(cm),由题意,AT=PT=3(cm),∴BE=CD=PT=3(cm),∵DE=BC=8cm,∴矩形BCDE的周长为8+8+3+3=22(cm).故答案为:22.11.(3分)由沈康身教授所著,数学家吴文俊作序的《数学的魅力》一书中记载了这样一个故事:如图,三姐妹为了平分一块边长为1的祖传正方形地毯,先将地毯分割成七块,再拼成三个小正方形(阴影部分).则图中AB的长应是﹣1.【解答】解:∵地毯面积被平均分成了3份,∴每一份的边长为=,∴CD=3×=,在Rt△ACD中,根据勾股定理可得AD==,又根据剪裁可知BD=CK=1,∴AB=AD﹣BD=﹣1.故答案为:﹣1.12.(3分)幻方历史悠久,传说最早出现在夏禹时代的“洛书”当中.把洛书用今天的数学符号翻译出来,就是一个三阶幻方.将数字1~9分别填入如图所示的幻方中,要求每一横行,每一竖行以及两条对角线上的数字之和都是15,则m的值为8.【解答】解:∵每一横行数字之和是15,∴第一行7后面的数字为15﹣2﹣7=6,∵每条对角线上的数字之和是15,∴中间的数字为15﹣6﹣4=5,∴2+5+m=15,解得m=8,故答案为:8.13.(3分)如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的顶点A在x轴正半轴上,顶点B,C在第一象限,顶点D的坐标(,2).反比例函数y=(常数k>0,x>0)的图象恰好经过正方形ABCD的两个顶点,则k的值是5或22.5.【解答】解:作DM⊥x轴于M,BN⊥x轴于N,过C点作x轴的平行线,交MD的延长线于E,交NB 的延长线于F,正方形ABCD中,∠BAD=90°,∴∠DAM+∠BAN=90°,∵∠ADM+∠DAM=90°,∴∠ADM=∠BAN,在△ADM和△BAN中,,∴△ADM≌△BAN(AAS),∴AM=BN,DM=AN,∵顶点D的坐标(,2).∴OM=,DM=2,同理:△ADM≌△DCE,∴AM=DE,CE=DM,∴AM=BN=DE,DM=AN=CE=2,设AM=BN=DE=m,∴ON=+m+2=4.5+m,∴B(4.5+m,m),C(4.5,2+m),当反比例函数y=(常数k>0,x>0)的图象经过点B、D时,则k=×2=5;当反比例函数y=(常数k>0,x>0)的图象经过点B、C时,则k=(4.5+m)•m=4.5•(2+m),解得m=3(负数已经舍去),∴k=4.5×(2+3)=22.5,故答案为5或22.5.14.(3分)如图,点E,F,G分别在正方形ABCD的边AB,BC,AD上,AF⊥EG.若AB=5,AE=DG=1,则BF=.【解答】解:∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD=5,∠ABC=∠BAD=90°,∵AE=DG=1,∴AG=4,∵AF⊥EG,∴∠BAF+∠AEG=90°=∠BAF+∠AFB,∴∠AFB=∠AEG,∴△ABF∽△GAE,∴,∴,∴BF=,故答案为.15.(3分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC<BC.分别以点A,B为圆心,大于AB的长为半径画弧,两弧交于D,E两点,直线DE交BC于点F,连接AF.以点A为圆心,AF为半径画弧,交BC 延长线于点H,连接AH.若BC=3,则△AFH的周长为6.【解答】解:由基本作图方法得出:DE垂直平分AB,则AF=BF,可得AF=AH,AC⊥FH,∴FC=CH,∴AF+FC=BF+FC=AH+CH=BC=3,∴△AFH的周长为:AF+FC+CH+AH=2BC=6.故答案为:6.16.(3分)已知△ABC与△ABD在同一平面内,点C,D不重合,∠ABC=∠ABD=30°,AB=4,AC=AD=2,则CD长为2±2或4或2.【解答】解:如图,当C,D同侧时,过点A作AE⊥CD于E.在Rt△AEB中,∠AEB=90°,AB=4,∠ABE=30°,∴AE=AB=2,∵AD=AC=2,∴DE==2,EC==2,∴DE=EC=AE,∴△ADC是等腰直角三角形,∴CD=4,当C,D异侧时,过C′作C′H⊥CD于H,∵△BCC′是等边三角形,BC=BE﹣EC=2﹣2,∴CH=BH=﹣1,C′H=CH=3﹣,在Rt△DC′H中,DC′===2,∵△DBD′是等边三角形,∴DD′=2+2,∴CD的长为2±2或4或2.故答案为:2±2或4或2.三、解答题(共72分)17.(10分)如图,正比例函数y=x与反比例函数y=(x>0)的图象交于点A,过点A作AB⊥y轴于点B,OB=4,点C在线段AB上,且AC=OC.(1)求k的值及线段BC的长;(2)点P为B点上方y轴上一点,当△POC与△P AC的面积相等时,请求出点P的坐标.【解答】解:(1)∵点A在正比例函数y=x上,AB⊥y轴,OB=4,∵点B的坐标为(0,4),∴点A的纵坐标是4,代入y=x,得x=8,∴A(8,4),∵点A在反比例函数y=(x>0)的图象上,∴k=4×8=32,∵点C在线段AB上,且AC=OC.设点C(c,4),∵OC==,AC=AB﹣BC=8﹣c,∴=8﹣c,解得:c=3,∴点C(3,4),∴BC=3,∴k=32,BC=3;(2)如图,设点P(0,p),∵点P为B点上方y轴上一点,∴OP=p,BP=p﹣4,∵A(8,4),C(3,4),∴AC=8﹣3=5,BC=3,∵△POC与△P AC的面积相等,∴×3p=×5(p﹣4),解得:p=10,∴P(0,10).18.(12分)有公共顶点A的正方形ABCD与正方形AEGF按如图1所示放置,点E,F分别在边AB和A D上,连接BF,DE,M是BF的中点,连接AM交DE于点N.【观察猜想】(1)线段DE与AM之间的数量关系是DE=2AM,位置关系是DE⊥AM;【探究证明】(2)将图1中的正方形AEGF绕点A顺时针旋转45°,点G恰好落在边AB上,如图2,其他条件不变,线段DE与AM之间的关系是否仍然成立?并说明理由.【解答】解:(1)∵四边形ABCD和四边形AEGF都是正方形,∴AD=AB,AF=AE,∠DAE=∠BAF=90°,∴△DAE≌△BAF(SAS),∴DE=BF,∠ADE=∠ABF,∵∠ABF+∠AFB=90°,∴∠ADE+∠AFB=90°,在Rt△BAF中,M是BF的中点,∴AM=FM=BM=BF,∴DE=2AM.∵AM=FM,∴∠AFB=∠MAF,又∵∠ADE+∠AFB=90°,∴∠ADE+∠MAF=90°,∴∠AND=180°﹣(∠ADE+∠MAF)=90°,即AN⊥DN;故答案为DE=2AM,DE⊥AM.(2)仍然成立,证明如下:延长AM至点H,使得AM=MH,连接FH,∵M是BF的中点,∴BM=FM,又∵∠AMB=∠HMF,∴△AMB≌△HMF(SAS),∴AB=HF,∠ABM=∠HFM,∴AB∥HF,∴∠HFG=∠AGF,∵四边形ABCD和四边形AEGF是正方形,∴∠DAB=∠AFG=90°,AE=AF,AD=AB=FH,∠EAG=∠AGF,∴∠EAD=∠EAG+∠DAB=∠AFG+∠AGF=∠AFG+∠HFG=∠AFH,∴△EAD≌△AFH(SAS),∴DE=AH,又∵AM=MH,∴DE=AM+MH=2AM,∵△EAD≌△AFH,∴∠ADE=∠FHA,∵△AMB≌△HMF,∴∠FHA=∠BAM,∴∠ADE=∠BAM,又∵∠BAM+∠DAM=∠DAB=90°,∴∠ADE+∠DAM=90°,∴∠AND=180°﹣(∠ADE+∠DAM)=90°,即AN⊥DN.故线段DE与AM之间的数量关系是DE=2AM.线段DE与AM之间的位置关系是DE⊥AM.19.(12分)已知在△ACD中,P是CD的中点,B是AD延长线上的一点,连结BC,AP.(1)如图1,若∠ACB=90°,∠CAD=60°,BD=AC,AP=,求BC的长.(2)过点D作DE∥AC,交AP延长线于点E,如图2所示,若∠CAD=60°,BD=AC,求证:BC=2 AP.(3)如图3,若∠CAD=45°,是否存在实数m,当BD=mAC时,BC=2AP?若存在,请直接写出m 的值;若不存在,请说明理由.【解答】解:(1)∵∠ACB=90°,∠CAD=60°,∴AB=,∵BD=AC,∴AD=AC,∴△ADC是等边三角形,∴∠ACD=60°,∵P是CD的中点,∴AP⊥CD,在Rt△APC中,AP=,∴,∴,(2)证明:连接BE,∵DE∥AC,∴∠CAP=∠DEP,在△CP A和△DPE中,∴△CP A≌△DPE(AAS),∴AP=EP=,DE=AC,∵BD=AC,∴BD=DE,又∵DE∥AC,∴∠BDE=∠CAD=60°,∴△BDE是等边三角形,∴BD=BE,∠EBD=60°,∵BD=AC,∴AC=BE,在△CAB和△EBA中,∴△CAB≌△EBA(SAS),∴AE=BC,∴BC=2AP,(3)存在这样的m,m=.理由如下:作DE∥AC交AP延长线于E,连接BE,由(2)同理可得DE=AC,∠EDB=∠CAD=45°,AE=2AP,当BD=时,∴BD=,作BF⊥DE于F,∵∠EDB=45°,∴BD=,∴DE=DF,∴点E,F重合,∴∠BED=90°,∴∠EBD=∠EDB=45°,∴BE=DE=AC,同(2)可证:△CAB≌△EBA(SAS),∴BC=AE=2AP,∴存在m=,使得BC=2AP,20.(12分)如图,BD是半径为3的⊙O的一条弦.BD=4,点A是⊙O上的一个动点(不与点B,D 重合),以A、B,D为顶点作平行四边形ABCD.(1)如图2,若点A是劣弧的中点.①求证:平行四边形ABCD是菱形;②求平行四边形ABCD的面积.(2)若点A运动到优弧上,且平行四边形ABCD有一边与⊙O相切.①求AB的长;②直接写出平行四边形ABCD对角线所夹锐角的正切值.【解答】(1)①证明:∵=,∴AD=AB,∵四边形ABCD是平行四边形,∴四边形ABCD是菱形;②解:连接OA交BD于J,连接OC.如图2,∵=,∴OA⊥BD,∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,∴A,O,C共线,在Rt△OJD中,DJ=BJ=2,OD=3,∴OJ===1,∴AJ=OA﹣OJ=3﹣1=2,∵四边形ABCD是菱形,∴AJ=CJ=2,∴S菱形ABCD=•AC•BD=×4×4=8;(2)①解:当CD与⊙O相切时,连接AC交BD于H,连接OH,OD,延长DO交AB于P,过点A 作AJ⊥BD于J.如图3,∵CD是⊙O的切线,∴OD⊥CD,∵CD∥AB,∴DP⊥AB,∴P A=PB,∴DB=AD=4,∵四边形ABCD是平行四边形,∴DH=BH=2,∴OH⊥BD,∴∠DHO=∠DPB=90°,∵∠ODH=∠BDP,∴△DHO∽△DPB,∴==,∴==,∴DP=,PB=,∴AB=2PB=,当BC与⊙O相切时,如图4,同理可证AB=BD=4.综上所述,AB的长为4或.②解:如图3,过点A作AJ⊥BD于J.∵•AB•DP=•BD•AJ,∴AJ=,∴BJ===,∴JH=BH﹣BJ=2﹣=,∴tan∠AHJ===,如图4中,同法可得平行四边形ABCD对角线所夹锐角的正切值为,综上所述,平行四边形ABCD对角线所夹锐角的正切值为.21.(12分)今年以来,我市接待的旅客人数逐月增加,据统计,游玩某景区的游客人数二月份为4万人,四月份为5.76万人.(1)求三、四月份该景区游客人数的平均月增长率;(2)若该景区仅有A、B两个景点,售票处的三种购票方式如下表所示:购票方式甲乙丙可游玩景点A B A和B门票价格100元/人80元/人160元/人据预测,六月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别为2万、3万和2万,并且当甲、乙两种门票价格不变时,丙种门票价格每下降1元,将有600人原计划购买甲种门票的游客和400人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票.①若丙种门票价格下降10元,则景区六月份的门票总收入为798万元;②问:将丙种门票价格下降多少元时,景区六月份的门票总收入有最大值?最大值是多少万元?【解答】解:(1)设四月和五月这两个月中该景区游客人数平均每月增长率为x,由题意,得4(1+x)2=5.76,解这个方程,得x1=0.2,x2=﹣2.2(舍去),答:四月和五月这两个月中该景区游客人数平均每月增长率为20%;(2)①由题意,得100×(2﹣10×0.06)+80×(3﹣10×0.04)+(160﹣10)×(2+10×0.06+10×0.04)=798(万元).答:景区六月份的门票总收入为798万元.②设丙种门票价格降低m元,景区六月份的门票总收入为W万元,由题意,得W=100(2﹣0.06m)+80(3﹣0.04m)+(160﹣m)(2+0.06m+0.04m),化简,得W=﹣0.1(m﹣24)2+817.6,∵﹣0.1<0,∴当m=24时,W取最大值,为817.6万元.答:当丙种门票价格下降24元时,景区六月份的门票总收入有最大值,最大值是817.6万元.22.(14分)如图,抛物线y=ax2+bx+c经过点A(﹣2,0),B(4,0),与y轴正半轴交于点C,且OC=2OA,抛物线的顶点为D,对称轴交x轴于点E.直线y=mx+n经过B,C两点.(1)求抛物线及直线BC的函数表达式;(2)点F是抛物线对称轴上一点,当F A+FC的值最小时,求出点F的坐标及F A+FC的最小值;(3)连接AC,若点P是抛物线上对称轴右侧一点,点Q是直线BC上一点,试探究是否存在以点E为直角顶点的Rt△PEQ,且满足tan∠EQP=tan∠OCA.若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.【解答】解:(1)由点A的坐标知,OA=2,∵OC=2OA=4,故点C的坐标为(0,4),将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得:,解得,故抛物线的表达式为y=﹣x2+x+4;将点B、C的坐标代入一次函数表达式得:,解得,故直线BC的表达式为y=﹣x+4;(2)∵点A、B关于抛物线的对称轴对称,设抛物线的对称轴交BC于点F,则点F为所求点,此时,当F A+FC的值最小,理由:由函数的对称性知,AF=BF,则AF+FC=BF+FC=BC为最小,当x=1时,y=﹣x+4=3,故点F(1,3),由点B、C的坐标知,OB=OC=4,则BC=BO=4,即点F的坐标为(1,3)、F A+FC的最小值为4;(3)存在,理由:设点P的坐标为(m,﹣m2+m+4)、点Q的坐标为(t,﹣t+4),①当点Q在点P的左侧时,如图2,过点P、Q分别作x轴的垂线,垂足分别为N、M,由题意得:∠PEQ=90°,∴∠PEN+∠QEM=90°,∵∠EQM+∠QEM=90°,∴∠PEN=∠EQM,∴∠QME=∠ENP=90°,∴△QME∽△ENP,∴=tan∠EQP=tan∠OCA===,则PN=﹣m2+m+4,ME=1﹣t,EN=m﹣1,QM=﹣t+4,∴==,解得m=±(舍去负值),当m=时,﹣m2+m+4=,故点P的坐标为(,).②当点Q在点P的右侧时,分别过点P、Q作抛物线对称轴的垂线,垂足分别为N、M,则MQ=t﹣1,ME=t﹣4,NE=﹣m2+m+4、PN=m﹣1,同理可得:△QME∽△ENP,∴=2,=2,解得m=(舍去负值),故m=,故点P的坐标为(,),故点P的坐标为(,)或(,).。
2023年湖北省武汉中学自主招生数学模拟试卷一.选择题(共7小题,满分28分,每小题4分)1.(4分)某种商品每件的标价是270元,按标价的八折销售时,仍可获利66元,则这种商品每件的进价为()A.180元B.200元C.225元D.150元2.(4分)下列说法正确的是()A.邻边相等的矩形是正方形B.对角线互相垂直的四边形是菱形C.矩形的对角线互相垂直且互相平分D.顺次连接一四边形各边中点所得到的四边形是菱形,则原四边形一定就是矩形3.(4分)如图,点B,C分别是反比例函数与的图象上的点,且BC ∥y轴,过点C作BC的垂线交y轴于点A,则△ABC的面积为()A.6B.4C.3D.24.(4分)汽车在行驶中,由于惯性作用,刹车后还要向前滑行一段距离才能停住,我们称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析事故的一个重要因素,某车的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间有下列关系:s=0.01x+0.01x2,在一个限速40km/h的弯道上的刹车距离不能超过()A.15.8m B.16.4m C.14.8m D.17.4m5.(4分)如果关于x的方程=1有正整数解,且关于y的不等式组至少有两个偶数解,则满足条件的整数a有()个.A.0B.1C.2D.36.(4分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点D在斜边AB上,以AD为直径的半圆O与BC相切于点E,与AC相交于点F,连接DE.若AC=8,BC=6,则DE的长是()A .B .C .D .7.(4分)在平面直角坐标系中,正方形ABCD的位置如图所示,点A的坐标为(1,0),点D的坐标为(0,2),延长CB交x轴于点A1,作正方形A1B1C1C,延长C1B1交x轴于点A2,作正方形A2B2C2C1…按这样的规律进行下去,第2019个正方形的面积为()A.5•B.5•C.5•D.5•二.填空题(共4小题,满分16分,每小题4分)8.(4分)今年五月上旬我市空气质量指数如下表,省外某单位组织了一次退休职工到我市旅游3天,则他们在我市旅游3天时,空气质量都是优良(空气质量指数不大于100表示空气质量优良)的概率是.日期123456789103042365880957011556101空气质量指数9.(4分)已知方程x2﹣8x﹣2=0的两根分别是x1和x2,那么x1+x2的值为.10.(4分)在菱形ABCD中,∠A=60°,AB=4,点P在菱形内,若PB=PD=4,则∠PDC 的度数为.11.(4分)甲、乙两人从A地出发在直线道路上匀速步行前往相距12600米的B地,若甲出发30分钟后,乙再出发,甲出发120分钟后两人第一次相遇,乙到B地后立即返回,并保持原来的速度继续行走,途中与甲再次相遇.如图,甲、乙两人离A地的距离之和y(米)与甲出发的时间x (分钟)的函数关系如图所示,那么乙到B 地后再经过 分钟与甲再次相遇.三.解答题(共5小题,满分56分)12.(10分)某校七(1)班学生为了解某小区家庭周平均用电情况,随机调查了该小区部分家庭,并将调查数据进行如下整理,请解答以下问题:级别 A B C D E F周平均用电量x (度) 0<x ≤55<x ≤1010<x ≤1515<x ≤2020<x ≤2525<x ≤30频数(户)612m1042(1)本次调查采用的方式是 (填“全面调查”或“抽样调查”);(2)若将周平均用电量的频数绘成扇形统计图,周平均用电量“15<x ≤20”组对应的圆心角度数是72°,则本次调查的样本容量是 ,补全频数分布直方图;(3)该小区有1000户家庭,求该小区周平均用电量不超过15度的家庭大约有多少户?13.(10分)王伟准备用一段长30米的篱笆围成一个三角形状的小圈,用于饲养家兔.已知第一条边长为a 米,由于受地势限制,第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米. (1)请用a 表示第三条边长;(2)问第一条边长可以为7米吗?请说明理由,并求出a 的取值范围;(3)能否使得围成的小圈是直角三角形状,且各边长均为整数?若能,说明你的围法;若不能,说明理由.14.(10分)如图,在⊙O中,半径OA与弦BD垂直,点C在⊙O上,∠AOB=80°(1)若点C在优弧BD上,求∠ACD的大小;(2)若点C在劣弧BD上,直接写出∠ACD的大小.15.(12分)如图,在平面直角坐标系中,点A、B在坐标轴上,且AO=4,AB=8,∠ABO=30°.动点P在线段AB上从点A向点B以每秒1个单位的速度运动,设动点P运动时间为t秒.在x轴上取两点M、N,使△PMN为等边三角形.(1)直接写出A点的坐标;(2)如图1,当等边△PMN的顶点M与原点O重合时,求PM的长;(3)设等边△PMN的边长为a(如图2),当1≤t≤5时,求的最大值和最小值.16.(14分)如图,已知直线y=﹣2x+4分别交x轴、y轴于点A、B,抛物线过A,B两点,抛物线y=﹣2x2+bx+c过A,B两点.(1)求抛物线的解析式;(2)如图1,点P是线段AB上一动点,过点P作PC⊥x轴于点C,交抛物线于点D,设其顶点为M,其对称轴交AB于点N.是否存在点P,使四边形MNPD为菱形?并说明理由;(3)如图2,点E(0,1)在y轴上,连接AE,抛物线上是否存在一点F,使∠FEO与∠EAO 互补?若存在,求点F的横坐标;若不存在,请说明理由.2023年湖北省武汉中学自主招生数学模拟试卷参考答案与试题解析一.选择题(共7小题,满分28分,每小题4分)1.(4分)某种商品每件的标价是270元,按标价的八折销售时,仍可获利66元,则这种商品每件的进价为()A.180元B.200元C.225元D.150元【答案】D【解答】解:设这种商品每件的进价为x元,由题意得270×0.8﹣x=66,解得:x=150.故这种商品每件的进价为150元.故选:D.2.(4分)下列说法正确的是()A.邻边相等的矩形是正方形B.对角线互相垂直的四边形是菱形C.矩形的对角线互相垂直且互相平分D.顺次连接一四边形各边中点所得到的四边形是菱形,则原四边形一定就是矩形【答案】A【解答】解:A、邻边相等的矩形是正方形,说法正确,符合题意;B、对角线互相垂直平分的四边形是菱形,故本选项说法错误,不符合题意;C、菱形的对角线互相垂直且互相平分,故本选项说法错误,不符合题意;D、顺次连接一四边形各边中点所得到的四边形是菱形,则这个四边形不一定是矩形,故本选项说法错误,不符合题意;故选:A.3.(4分)如图,点B,C分别是反比例函数与的图象上的点,且BC ∥y轴,过点C作BC的垂线交y轴于点A,则△ABC的面积为()A.6B.4C.3D.2【答案】B【解答】解:过点B作BD⊥y轴于点D,记BC交x轴于点E,∵BC∥y轴,AC⊥BC,∴S矩形AOEC=|﹣2|=2,S矩形DOEB=|6|=6,∴S矩形ACBD=S矩形AOEC+S矩形DOEB=2+6=8,∴S△ABC=S矩形ACBD=4.故选:B.4.(4分)汽车在行驶中,由于惯性作用,刹车后还要向前滑行一段距离才能停住,我们称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析事故的一个重要因素,某车的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间有下列关系:s=0.01x+0.01x2,在一个限速40km/h的弯道上的刹车距离不能超过()A.15.8m B.16.4m C.14.8m D.17.4m【答案】B【解答】解:将x=40代入s=0.01x+0.01x2得,s=0.01×40+0.01×402=16.4,即刹车距离不能超过16.4m.故选:B.5.(4分)如果关于x的方程=1有正整数解,且关于y的不等式组至少有两个偶数解,则满足条件的整数a有()个.A.0B.1C.2D.3【答案】C【解答】解:解方程=1得,x=,∵方程有正整数解,∴整数a=1,3,6,解不等式组得,∵关于y的不等式组至少有两个偶数解,∴a﹣1≤2,∴a≤3,∴满足条件的整数a有两个.故选:C.6.(4分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点D在斜边AB上,以AD为直径的半圆O与BC相切于点E,与AC相交于点F,连接DE.若AC=8,BC=6,则DE的长是()A.B.C.D.【答案】B【解答】解:在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,由勾股定理得:,连接AE,OE,设☉O的半径为r,则OA=OE=r,∴OB=AB﹣OA=10﹣r,∵BC与半圆相切,∴OE⊥BC,∵∠C=90°,即AC⊥BC,∴OE∥AC,∴△BOE∽△BAC,∴,即:,由得:,由得:,∴,在Rt△ACE中,AC=8,,由勾股定理得:,∵BE为半圆的切线,∴∠BED=∠BAE,又∠DBE=∠EBA,∴△BDE∽△BEA,∴,∴DE•AB=BE•AE,即:,∴.故选:B.7.(4分)在平面直角坐标系中,正方形ABCD的位置如图所示,点A的坐标为(1,0),点D的坐标为(0,2),延长CB交x轴于点A1,作正方形A1B1C1C,延长C1B1交x轴于点A2,作正方形A2B2C2C1…按这样的规律进行下去,第2019个正方形的面积为()A.5•B.5•C.5•D.5•【答案】C【解答】解:∵正方形ABCD的点A坐标为(1,0),点D的坐标为(0,2),∴OA=1,OD=2,由勾股定理得AD=,,∵∠ADO+∠DAO=90°,∠DAO+∠BAA1=90°,∴∠ADO=∠BAA1,又由题意可得∠DOA=∠ABA1=90°,则△DOA∽△ABA1,∴,∵AD=AB=,∴A1B=,则第一个正方形的面积为S1==()2=5;同理可得第二个正方形的面积为S2==()2=5;依此类推,则第2019个正方形的面积为:S2019=5,故选:C.二.填空题(共4小题,满分16分,每小题4分)8.(4分)今年五月上旬我市空气质量指数如下表,省外某单位组织了一次退休职工到我市旅游3天,则他们在我市旅游3天时,空气质量都是优良(空气质量指数不大于100表示空气质量优良)的概率是. 日期 123456 78910空气质 量指数 30 42 36 58 80 9570 115 56 101【答案】.【解答】解:由表格可得,所有的可能性是:(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(4,5,6),(5,6,7),(6,7,8),(7,8,9),(8,9,10),其中旅游3天,空气质量都是优良的有35种结果, 所以空气质量都是优良的概率是, 故答案为:.9.(4分)已知方程x 2﹣8x﹣2=0的两根分别是x 1和x 2,那么x 1+x 2的值为 8 . 【答案】8.【解答】解:∵方程x 2﹣8x ﹣2=0的两根分别是x 1和x 2, ∴x 1+x 2=8, 故答案为8.10.(4分)在菱形ABCD 中,∠A =60°,AB =4,点P 在菱形内,若PB =PD =4,则∠PDC的度数为 90°或30° . 【答案】见试题解答内容【解答】解:设AC 和BE 相交于点O . 当P 在OA 上时, ∵AB =AD ,∠A =60°, ∴△ABD 是等边三角形, ∴BD =AB =4,OB =OD =BD =2,∠ADO =60°,∴cos ∠PDO ==,∴∠PDO =30°,∴∠ADP=60°﹣30°=30°,∵四边形ABCD是菱形,∴AB∥CD,∴∠ADC=180°﹣60°=120°,∴∠PDC=120°﹣30°=90°,当P在OC上时,∵四边形ABCD是菱形,∴∠DCB=∠DAB=60°,DC=BC,∴△DBC是等边三角形,∴∠BDC=60°,∵∠PDO=30°,∴∠PDC=30°,故答案为:90°或30°.11.(4分)甲、乙两人从A地出发在直线道路上匀速步行前往相距12600米的B地,若甲出发30分钟后,乙再出发,甲出发120分钟后两人第一次相遇,乙到B地后立即返回,并保持原来的速度继续行走,途中与甲再次相遇.如图,甲、乙两人离A地的距离之和y(米)与甲出发的时间x(分钟)的函数关系如图所示,那么乙到B地后再经过51分钟与甲再次相遇.【答案】51.【解答】解:由图可知,甲的速度为630÷30=21(米/分), 则乙的速度为630÷(120﹣30)+21=28(米/分), 则乙到B 地需要的时间为12600÷28=450(分),从乙出发到与甲再次相遇的时间为(12600×2﹣630)÷(21+28)=501(分), 乙到B 地后与甲再次相遇再经过的时间为501﹣450=51(分). 故乙到B 地后再经过51分钟与甲再次相遇. 故答案为:51.三.解答题(共5小题,满分56分)12.(10分)某校七(1)班学生为了解某小区家庭周平均用电情况,随机调查了该小区部分家庭,并将调查数据进行如下整理,请解答以下问题:级别 A B C D E F周平均用电量x (度) 0<x ≤55<x ≤1010<x ≤1515<x ≤2020<x ≤2525<x ≤30频数(户)612m1042(1)本次调查采用的方式是 抽样调查 (填“全面调查”或“抽样调查”);(2)若将周平均用电量的频数绘成扇形统计图,周平均用电量“15<x ≤20”组对应的圆心角度数是72°,则本次调查的样本容量是 50 ,补全频数分布直方图;(3)该小区有1000户家庭,求该小区周平均用电量不超过15度的家庭大约有多少户?【答案】(1)抽样调查; (2)50,补图见解答;(3)680.【解答】解:(1)由于是随机调查了该小区部分家庭,所以本次调查采用的方式是抽样调查,故答案为:抽样调查;(2)本次调查的样本容量是:10÷=50,m=50﹣(6+12+10+4+2)=16(户),补全频数分布直方图如下:故答案为:50;(3)该小区周平均用电量不超过15度的家庭大约有1000×=680(户).13.(10分)王伟准备用一段长30米的篱笆围成一个三角形状的小圈,用于饲养家兔.已知第一条边长为a米,由于受地势限制,第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米.(1)请用a表示第三条边长;(2)问第一条边长可以为7米吗?请说明理由,并求出a的取值范围;(3)能否使得围成的小圈是直角三角形状,且各边长均为整数?若能,说明你的围法;若不能,说明理由.【答案】见试题解答内容【解答】解:(1)∵第二条边长为2a+2,∴第三条边长为30﹣a﹣(2a+2)=28﹣3a.(2)当a=7时,三边长分别为7,16,7,由于7+7<16,所以不能构成三角形,即第一条边长不能为7米,根据题意得:,解得:<a<.则a的取值范围是:<a<.(3)在(2)的条件下,注意到a为整数,所以a只能取5或6.当a=5时,三角形的三边长分别为5,12,13.由52+122=132知,恰好能构成直角三角形.当a=6时,三角形的三边长分别为6,14,10.由62+102≠142知,此时不能构成直角三角形.综上所述,能围成满足条件的小圈是直角三角形形状,它们的三边长分别为5米,12米,13米.14.(10分)如图,在⊙O中,半径OA与弦BD垂直,点C在⊙O上,∠AOB=80°(1)若点C在优弧BD上,求∠ACD的大小;(2)若点C在劣弧BD上,直接写出∠ACD的大小.【答案】见试题解答内容【解答】解:(1)∵AO⊥BD,∴=,∴∠AOB=2∠ACD,∵∠AOB=80°,∴∠ACD=40°;(2)①当点C1在上时,∠AC1D=∠ACD=40°;②当点C2在上时,∵∠AC2D+∠ACD=180°,∴∠AC2D=140°综上所述,∠ACD=140°或40°.15.(12分)如图,在平面直角坐标系中,点A、B在坐标轴上,且AO=4,AB=8,∠ABO=30°.动点P在线段AB上从点A向点B以每秒1个单位的速度运动,设动点P运动时间为t秒.在x轴上取两点M、N,使△PMN为等边三角形.(1)直接写出A点的坐标;(2)如图1,当等边△PMN的顶点M与原点O重合时,求PM的长;(3)设等边△PMN的边长为a(如图2),当1≤t≤5时,求的最大值和最小值.【答案】见试题解答内容【解答】解:(1)A点的坐标是(0,4).(2)在△AOB中,AB=8,AO=4,由勾股定理得:BO=4,∵∠ABO=30°,∠AOB=90°,∴∠OAB=180°﹣90°﹣30°=60°,∵等边三角形PMN,∴∠PMN=60°,∴∠AOP=90°﹣60°=30°,∴∠APM=180°﹣∠BAO﹣∠AOP=90°=∠AOB,∵∠OAB=∠OAB,∴△APO∽△AOB,∴=,=,∴PM=2,答:PM的长是2.(3)∵等边三角形PMN,∴PM=MN=PN,∠PNM=∠PMN=60°,∵∠ABO=30°,∴∠NPB=60°﹣30°=30°=∠ABO,∴PN=BN=MN=a,∵∠PMN=60°=∠OAB,∠ABO=∠ABO,∴△MPB∽△AOB,∴=,即=,解得:a=﹣t,∴y=a2﹣t2=﹣t2=﹣t+,∵k=﹣<0,∴y随t的增大而减小,∵1≤t≤5,∴当t=1时,y的最大值是:y=﹣×1+=16;当t=5时,y的最小值是:y=﹣×5+=﹣;答:当1≤t≤5时,求的最大值和最小值分别是16,﹣.16.(14分)如图,已知直线y=﹣2x+4分别交x轴、y轴于点A、B,抛物线过A,B两点,抛物线y=﹣2x2+bx+c过A,B两点.(1)求抛物线的解析式;(2)如图1,点P是线段AB上一动点,过点P作PC⊥x轴于点C,交抛物线于点D,设其顶点为M,其对称轴交AB于点N.是否存在点P,使四边形MNPD为菱形?并说明理由;(3)如图2,点E(0,1)在y轴上,连接AE,抛物线上是否存在一点F,使∠FEO与∠EAO 互补?若存在,求点F的横坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)抛物线解析式为y=﹣2x2+2x+4;(2)不存在点P,使四边形MNPD为菱形;理由见解析;(3)当点F的横坐标为或时,∠FEO与∠EAO互补.【解答】解:(1)当x=0时,y=4,当y=0时,x=2,∴点A(2,0),点B(0,4),把A(2,0),B(0,4)分别代入y=﹣2x2+bx+c中得,解之得,∴抛物线解析式为y=﹣2x2+2x+4;(2)不存在.理由如下:y=﹣2x2+2x+4=(x﹣)2+,∴抛物线顶点M(,),∵对称轴交AB于点N,∴N(,3),当x=时,y==﹣3,∴MN=﹣3=,∵点P是线段AB上一动点,∴设P点坐标为(m,﹣2m+4),则D(m,﹣2m2+2m+4),∴PD=﹣2m2+2m+4﹣(﹣2m+4)=﹣2m2+4m,∵PD∥MN,当PD=MN时,四边形MNPD为平行四边形,即﹣2m2+4m=,解得m1=(舍去),m2=,此时P点坐标为(,1),∵PN==,∴PN≠MN,∴平行四边形MNPD不为菱形,∴不存在点P,使四边形MNPD为菱形;(3)存在.如图,过点F作FH⊥y轴于点H,则∠FEO+∠FEH=180°,当∠FEO+∠EAO=180°时,∠FEH=∠EAO,又∵∠FHE=∠AOE=90°,∴△AOE∽△∠EFH,∴,设点F(t,﹣2t2+2t+4),则HE=﹣2t2+2t+4﹣1=﹣2t2+2t+3,当点F在y轴右侧时,BF=t,∴,解之得:t=,∵点F在y轴右侧,∴t=;当点F在y轴左侧时,BF=﹣t,∴,解之得:t=,∵点F在y轴左侧,∴t=.综上所述:当点F的横坐标为或时,∠FEO与∠EAO互补.。
一、单项选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)1.(5分)当a<0时,下列式子恒成立的是()A.|a|=a B.a3=﹣a3C.=a+1D.=﹣a2.(5分)圆O1内切于正三角形△ABC,半径为R,圆O2与O1及AB,AC均相切,圆O2的半径为r,则等于()A.4B.2C.3D.53.(5分)一个不透明口袋中有4个完全相同的小球,把它们分别标号为1,2,3,4,现随机取一个小球然后放回,再随机取出一个小球,则第一次取出的小球标号大于第二次取出的小球标号的概率为()A.B.C.D.4.(5分)两条直线相交,产生一个交点,已知9条直线相交最多产生36个交点,那么10条直线相交最多产生交点个数为()A.45B.46C.50D.605.(5分)如图正六边形的边长为2,分别以每一个顶点为圆心,以边长为半径画圆弧,则图中阴影部分面积为()A.8π﹣12B.4π﹣6C.8π﹣6D.4π﹣36.(5分)给出下列命题:①关于x的方程=的解为x=c;②存在唯一实数a,使方程组无解;③对任意实数x,y都有x2﹣xy+y2﹣x﹣y+1≥0成立;④方程x+=的解x,y一定都是无理数.其中正确命题个数有()A.4B.1C.2D.37.(5分)设方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个根x1和x2,且1<x1<2<x2<4,那么方程cx2﹣bx+a=0的较小根x3的范围为()A.<1B.﹣4<x3<﹣2C.﹣<x3<D.﹣1<x3<﹣8.(5分)如图有一条直角弯道河流,河宽为2,A、B两地到河岸边的距离均为1,AH=BF=1,AD=7,BE=9,现欲在河道上架两座桥MN、PQ,使AM+MN+NP+PQ+QB最小,则最小值为()A.B.+2C.14D.129.(5分)如图,函数y=ax2+2bx+c的图象过点(1,0),那么函数y=bx+a+c的图象是()A.B.C.D.10.(5分)如图,在边长为1的正方形ABCD中,点M,N分别在边AB,AD上运动,且△AMN周长为2,给出下列说法:①S△CMN=S△CDN+S△CBM;②∠MCN=45°;③C点到MN的距离恒为1.其中正确的个数是()A.0B.1C.2D.3二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)11.(5分)一个长方形的长减少10,宽增加4,就成为一个正方形,并且这两个图形的面积相等,则这个长方形的面积为.12.(5分)已知圆O的半径为5,其内部有一定点P,OP=2,过点P作互相垂直的两条弦AB,CD,当AB=CD时,则AB=.13.(5分)一个几何体三视图如图所示,则这个几何体的表面积等于.14.(5分)可以用配方法化简二重根式,例如:==,请化简式子:++=.15.(5分)如图,在直角梯形ABCD中,∠A=∠B=90°,点F在边CD上,AD=DF=3,BC=CF=1,E是AB的中点,则EF=.16.(5分)一个大于2的整数可分解成若干个1或2的和,也可有1又有2出现,现做如下变换:1可能异变成2,2也可能异变成1,例如:3=1+2,3=1+1+1,可能异变成:1+1;1+2;2+2;1+1+1;1+1+2;1+2+2;2+2+2,共计七种形式(不考虑加数的顺序),那么9可以分解异变成个形式.三、解答题(本大题共7小题,共70分)17.(6分)一次函数y=x+2与反比例函数y=都过点A(2,a).(1)求k值;(2)若函数y=mx+b(m>0)与也过点A,且与x轴交于B点,且S△AOB>8,求b的取值范围.18.(10分)(1)已知x2+x﹣1=0,计算x4+3x3+x2﹣2x+1的值;(2)四边形ABCD内接于圆,∠A=90°,AB=2,∠B=45°,求CD的取值范围.19.(10分)已知2x2﹣xy﹣y2﹣3x﹣3y+k能分解成两个一次因式之积.(1)求k值;(2)令两个一次因式分别等于0,视y为的函数,可以产生两个一次函数y1,y2当y1•y2<0,求x的取值范围.20.(10分)(1)如图1,AB是圆O的直径,AT⟘AB,过点T任作一条割线TPG,求证:AT2=TP•TG.(2)如图2,点C在线段DE上,直线DE⟘EB,DC=2CE=4,当BE为多长时,∠CBD最大?21.(10分)二次函数y=ax2+2bx+c(a>0)与x轴两个交点为A(3,0),B(x1,0)且满足0<x1<1.(1)当x=m时,y<0,那么当x=m+3时,判断函数值y的符号,并证明你的结论;(2)当a=1时,二次函数与y轴的交点为C,求三角形面积S△ABC的取值范围.22.(12分)如图在直角△ABC中,AC⟘BC,AC=BC=2,在BC上取一点D,使∠DAC=30°,延长AD 至E,使BE∥AC.(1)求的值;(2)求sin∠BAD.(注:不能用两角和差的正余弦公式)23.(12分)(1)如图在△ABC内部有一点P,△ABD是正三角形,连接P A、PB、PC,将线段AP绕A 顺时针反向旋转60°至AE.①求证:P A+PB=DE+EP;②调整P点的位置,使P A+PB+PC最小,求此时∠APB和∠APC的大小.(2)如图在直角三角形△RQT中,RQ⟘QT,RQ=QT=2,在其内部任取一点M,求MR+MQ+MT的最小值.。
2023年湖北省重点高中八校联考自主招生优录数学试卷(二)一、选择题(每小题3分,共24分)1.(3分)若一元二次方程ax2+2x+1=0有两个不相等的实数根,则实数a的取值范围是()A.a<1B.a≤1C.a≤1且a≠0D.a<1且a≠0 2.(3分)已知直线y=kx+2过一、二、三象限,则直线y=kx+2与抛物线y=x2﹣2x+3的交点个数为()A.0个B.1个C.2个D.1个或2个3.(3分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,BC=8,按下列步骤作图:步骤1:以点A为圆心,小于AC的长为半径作弧分别交AC、AB于点D、E.步骤2:分别以点D、E为圆心,大于DE的长为半径作弧,两弧交于点M.步骤3:作射线AM交BC于点F.则AF的长为()A.6B.3C.4D.64.(3分)已知抛物线y=a(x﹣h)2+k与x轴有两个交点A(﹣1,0),B(3,0),抛物线y=a(x﹣h﹣m)2+k与x轴的一个交点是(4,0),则m的值是()A.5B.﹣1C.5或1D.﹣5或﹣1 5.(3分)如图,正方形ABCD的对角线AC,BD交于点O,M是边AD上一点,连接OM,过点O作ON⊥OM,交CD于点N.若四边形MOND的面积是1,则AB的长为()A.1B.C.2D.26.(3分)如图,相邻两个山坡上,分别有垂直于水平面的通信基站MA和ND.甲在山脚点C处测得通信基站顶端M的仰角为60°,测得点C距离通信基站MA的水平距离CB 为30m;乙在另一座山脚点F处测得点F距离通信基站ND的水平距离FE为50m,测得山坡DF的坡度i=1:1.25.若ND=DE,点C,B,E,F在同一水平线上,则两个通信基站顶端M与顶端N的高度差为(参考数据:≈1.41,≈1.73)()A.9.0m B.12.8m C.13.1m D.22.7m7.(3分)若关于x的一元一次不等式组的解集为x≥6,且关于y的分式方程+=2的解是正整数,则所有满足条件的整数a的值之和是()A.5B.8C.12D.158.(3分)如图,在平面直角坐标系中,矩形ABCD的顶点A,B在x轴的正半轴上,反比例函数y=(k>0,x>0)的图象经过顶点D,分别与对角线AC,边BC交于点E,F,连接EF,AF.若点E为AC的中点,△AEF的面积为1,则k的值为()A.B.C.2D.3二、填空题(每小题3分,共24分)9.(3分)不透明袋子中装有黑球1个、白球2个,这些球除了颜色外无其他差别.从袋子中随机摸出一个球,记下颜色后放回,将袋子中的球摇匀,再随机摸出一个球,记下颜色,前后两次摸出的球都是白球的概率是.10.(3分)如图,在菱形ABCD中,对角线AC=12,BD=16,分别以点A,B,C,D为圆心,AB的长为半径画弧,与该菱形的边相交,则图中阴影部分的面积为.(结果保留π)11.(3分)如图,△ABC中,点D为边BC的中点,连接AD,将△ADC沿直线AD翻折至△ABC所在平面内,得△ADC′,连接CC′,分别与边AB交于点E,与AD交于点O.若AE=BE,BC′=2,则AD的长为.12.(3分)“盲盒”为消费市场注入了活力,既能够营造消费者购物过程中的趣味体验,也为商家实现销售额提升拓展了途径.某商家将蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22个,搭配为A,B,C三种“盲盒”各一个,其中A盒中有2个蓝牙耳机,3个多接口优盘,1个迷你音箱;B盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量,蓝牙耳机与迷你音箱的数量之比为3:2;C盒中有1个蓝牙耳机,3个多接口优盘,2个迷你音箱.经核算,A盒的成本为145元,B盒的成本为245元(每种“盲盒”的成本为该盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本之和),则C盒的成本为元.13.(3分)如图,三角形纸片ABC中,点D,E,F分别在边AB,AC,BC上,BF=4,CF=6,将这张纸片沿直线DE翻折,点A与点F重合.若DE∥BC,AF=EF,则四边形ADFE的面积为.14.(3分)如图,E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC上的动点,满足AE=BF,连接CE、DF,相交于点G,连接AG,若正方形的边长为2.则线段AG的最小值为.15.(3分)如图,在△ABC中,点D,E分别是BC,AC的中点,AD与BE相交于点F.若BF=6,则BE的长是.16.(3分)已知△ABC的三个顶点都是同一个正方形的顶点,∠ABC的平分线与线段AC 交于点D.若△ABC的一条边长为6,则点D到直线AB的距离为.三、解答题(共72分)17.(12分)如果一个自然数M的个位数字不为0,且能分解成A×B,其中A与B都是两位数,A与B的十位数字相同,个位数字之和为10,则称数M为“合和数”,并把数M 分解成M=A×B的过程,称为“合分解”.例如∵609=21×29,21和29的十位数字相同,个位数字之和为10,∴609是“合和数”.又如∵234=18×13,18和13的十位数字相同,但个位数字之和不等于10,∴234不是“合和数”.(1)判断168,621是否是“合和数”?并说明理由;(2)把一个四位“合和数”M进行“合分解”,即M=A×B.A的各个数位数字之和与B的各个数位数字之和的和记为P(M);A的各个数位数字之和与B的各个数位数字之和的差的绝对值记为Q(M).令G(M)=,当G(M)能被4整除时,求出所有满足条件的M.18.(12分)已知抛物线y=﹣2x2+bx+c经过点(0,﹣2),当x<﹣4时,y随x的增大而增大,当x>﹣4时,y随x的增大而减小.设r是抛物线y=﹣2x2+bx+c与x轴的交点(交点也称公共点)的横坐标,m=.(1)求b、c的值;(2)求证:r4﹣2r2+1=60r2;(3)以下结论:m<1,m=1,m>1,你认为哪个正确?请证明你认为正确的那个结论.19.(10分)如图,在一座山的前方有一栋住宅,已知山高AB=120m,楼高CD=99m,某天上午9时太阳光线从山顶点A处照射到住宅的点E外.在点A处测得点E的俯角∠EAM =45°,上午10时太阳光线从山顶点A处照射到住宅点F处,在点A处测得点F的俯角∠F AM=60°,已知每层楼的高度为3m,EF=40m,问:以当天测量数据为依据,不考虑季节天气变化,至少要买该住宅的第几层楼,才能使上午10时太阳光线照射到该层楼的外墙?(≈1.73)20.(12分)如图,已知△ABC内接于⊙O,AB是⊙O的直径,∠CAB的平分线交BC于点D,交⊙O于点E,连接EB,作∠BEF=∠CAE,交AB的延长线于点F.(1)求证:EF是⊙O的切线;(2)若BF=10,EF=20,求⊙O的半径和AD的长.21.(12分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BC=6cm,AC=12cm.点P是CA边上的一动点,点P从点C出发以每秒2cm的速度沿CA方向匀速运动,以CP为边作等边△CPQ(点B、点Q在AC同侧),设点P运动的时间为x秒,△ABC与△CPQ重叠部分的面积为S.(1)当点Q落在△ABC内部时,求此时△ABC与△CPQ重叠部分的面积S(用含x的代数式表示,不要求写x的取值范围);(2)当点Q落在AB上时,求此时△ABC与△CPQ重叠部分的面积S的值;(3)当点Q落在△ABC外部时,求此时△ABC与△CPQ重叠部分的面积S(用含x的代数式表示).22.(14分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+bx+c经过A(0,﹣1),B(4,1).直线AB交x轴于点C,P是直线AB下方抛物线上的一个动点.过点P作PD⊥AB,垂足为D,PE∥x轴,交AB于点E.(1)求抛物线的函数表达式;(2)当△PDE的周长取得最大值时,求点P的坐标和△PDE周长的最大值;(3)把抛物线y=x2+bx+c平移,使得新抛物线的顶点为(2)中求得的点P.M是新抛物线上一点,N是新抛物线对称轴上一点,直接写出所有使得以点A,B,M,N为顶点的四边形是平行四边形的点M的坐标,并把求其中一个点M的坐标的过程写出来.。
2023-2024学年湖北省黄冈中学自主招生数学模拟试卷一、选择题:本题共8小题,每小题4分,共32分。
在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.在数轴上和有理数a,b,c对应的点的位置如图示,有下列四个结论:;;;其中正确的结论有个.()A.4B.3C.2D.12.如图,在中,,,点C在边AB上,且,点D为OB的中点,点P为边OA上的动点,当点P在OA上移动时,使四边形PDBC周长最小的点P的坐标为()A.B.C.D.3.某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量单位:万人的数据,绘制了如图所示的折线图.根据该折线图,有下列四个结论:月接待游客量逐月增加;年接待游客量逐年增加;各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月;各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳,其中正确的结论有个.()A.4B.3C.2D.14.对于一个函数,自变量x取a时,函数值y也等于a,我们称a为这个函数的不动点.如果二次函数有两个相异的不动点,,且,则c的取值范围是()A. B. C. D.5.如图,在中,,,点D为内一点,,,连接BD,将绕点A逆时针方向旋转,使AB与AC重合,点D的对应点E,连接DE,DE交AC于点F,则CF的长为()A. B. C. D.6.如图①,在矩形ABCD中,,对角线AC,BD相交于点O,动点P由点A出发,沿向点D运动.设点P的运动路程为x,的面积为y,y与x的函数关系图象如图②所示,则AC边的长为()A.3B.4C.5D.67.对于实数x,符号表示不超过x的最大整数,如,若有正整数解,则正实数a的取值范围是()A.或B.或C.或D.或8.已知非零实数a,b,c满足,,,则()A. B. C. D.二、填空题:本题共8小题,每小题4分,共32分。
9.一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球,其上分别标有数字1,2,4,8,随机摸取一个小球后不放回,再随机摸取一个小球,则两次取出的小球上数字之积等于2或16的概率是______.10.如图所示,在中,D是边AC上的点,且,,,则的值为______.11.如图,在平面直角坐标系中,直线:与直线:交于点,过作x轴的垂线,垂足为,过作的平行线交于,过作x轴的垂线,垂足为,过作的平行线交于,过作x轴的垂线,垂足为…按此规律,则点的纵坐标为______.12.如图,正方形ABCD和,,,连接BF,DE,若绕点A旋转,当最大时,的面积=______.13.如图,平行四边形OABC的顶点A在反比例函数的图象上,顶点B,C在反比例函数的图象上,则平行四边形OABC的面积为______.14.如图,、都是等腰直角三角形,,,将绕点B逆时针方向旋转后得,当点恰好落在线段上时,则______.15.因式分解:______.16.已知二次函数的图象与x轴交于不同的两点A、B,C为二次函数的图象的顶点,,若是边长为3的等边三角形,则______.三、解答题:本题共7小题,共56分。
湖北重点高中20XX 年自主招生考试数学试题
一、选择题(本大题共8小题,每小题3分,共24分。
)。
1、若不等式组⎩⎨
⎧>-<+m
x x x 247的解集是3>x ,则m 的取值范围是( )
A 、3>m
B 、3≥m
C 、3≤m
D 、3<m
2、在ABC ∆中,090=∠ACB ,015=∠ABC ,1=BC ,则=AC ( )
A 、32+
B 、32-
C 、3.0
D 、23-
3、如图,AB 为⊙O 的一固定直径,自上半圆上一点C 作弦AB CD ⊥,OCD ∠的平分线交⊙O 于点P ,当点C 在上半圆(不包括A 、B 两点)上移动时,点P ( )
A 、到CD 的距离不变
B 、位置不变
C 、等分
D 、随C 点的移动而移动
4、已知x x y -+-=51(x ,y 均为实数),则y 的最大值与最小值的差为( ) A 、122- B 、224- C 、223- D 、222-
5、已知O 为圆锥的顶点,M 为圆锥底面圆上一点,点P 在OM 上。
一只蜗牛从P 点出发,绕圆锥侧面爬行,回到P 点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示,若沿OM 将圆锥侧面剪开并展平,所得侧面展开图是( )
6、已知一正三角形的边长是和它相切的圆的周长的两倍,当这个圆按箭头方向从某一位置沿正三角形的三边做无滑动的旋转,直至回到原出发位置时,则这个圆共转了( )
A 、6圈
B 、5.6圈
C 、7圈
D 、8圈
7、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示,现有以下结论:①0>abc ;②c a b +<;
③024>++c b a ;④b c 32<;⑤)(b am m b a +>+,)1(≠m 其中正确的结论有
( )
A 、4个
B 、3个
C 、2个
D 、1个
8、如图,正ABC ∆中,P 为正三角形内任意一点,
过P 作BC PD ⊥,AB PE ⊥,AC PF ⊥ 连结AP 、BP 、CP ,如果233=
++∆∆∆PCD BPE APF S S S ,那么ABC ∆的内切圆半径为( )
A 、1
B 、3
C 、2
D 、
2
3 二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分) 9、a a 13-
-与a a 13--是相反数,计算a a 1+= . 10、若[]x 表示不超过x 的最大整数,
,则[]A = . 11、如图,N M 、分别为ABC ∆两边BC AC 、的中点, 0444311311311⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+++-=A
AN 与BM 交于点O ,则的面积
的面积ABC BON ∆∆ = .
12、如图,已知圆O 的面积为3π,AB 为直径,弧AC 的度数为︒80,弧BD 的度数为︒20,点P 为直径AB 上任一点,则PD PC +的最小值为 .
13、从1,2,3,5,7,8中任取两数相加,在不同的和数中,是2的倍数的个数为a ,是3
的倍数的个数为b ,则样本96、、、b a 的中位数是 .
14、由直线12-+=k kx y 和直线12)1(+++=k x k y (k 是正整数)与x 轴及y 轴所围
成的图形面积为S ,则S 的最小值是 .
15、如图矩形纸片ABCD ,AB =5cm ,BC =10cm ,CD 上有一点E ,ED =2cm ,AD 上有
一点P ,PD =3cm ,过P 作PF ⊥AD 交BC 于F ,将纸片折叠,使P 点与E 点重合,折痕与PF 交于Q 点,则PQ 的长是____________cm.
16.将半径为4cm 的半圆围成一个圆锥,在圆锥内接一个圆柱(如图示),当圆柱的侧面的面积最大时,圆柱的底面半径是___________cm.
第15题图 第16题图
三、解答题(72) 17、(14分)已知抛物线 过点 ,且与直线x y 27-=只有
一个交点.
⑴ 求抛物线的解析式;
⑵ 若直线3+-=x y 与抛物线相交于两点B A 、,则在抛物线的对称轴上是否存在点Q ,使ABQ ∆是等腰三角形? 若存在,求出Q 点坐标;若不存在,说明理由.
18、有一河堤坝BCDF 为梯形,斜坡BC 坡度i BC = 3
3,坝高为5 m ,坝顶CD = 6 m ,现有一工程车需从距B 点50 m 的A 处前方取土,然后经过B —C —D 放土,为了安全起见,工程车轮只能停在离A 、D 处1 m 的地方即M 、N 处工作,已知车轮半经为1 m
,求车轮从取B A C N M
O P O A C
D B 第12题)0(2>++-=c c bx x y )0,1(-C A B
F
土处到放土处圆心从M 到N 所经过的路径长。
(tan150=2-3)
19、(14分)如图,过正方形ABCD 的顶点C 在形外引一条直线分别交AD AB 、延长线于
点N M 、,DM 与BN 交于点H ,DM 与BC 交于点E ,BN 与DC 交于点F . ⑴ 猜想:CE 与DF 的大小关系? 并证明你的猜想.⑵ 猜想:H 是AEF ∆的什么心? 并证明你的猜想.
20、(15分)如图,已知菱形ABCD 边长为36,︒=∠120ABC ,点P 在线段BC 延长线上,
半径为1r 的圆1O 与DP CP DC 、、分别相切于点N F H 、、,半径为2r 的圆2O 与PD 延长线、CB 延长线和BD 分别相切于点G E M 、、.
(1)求菱形的面积;(2)求证:MN EF =;(3)求21r r +的值.
A B M C E D F H N
B
A
D E C P
F O 1 O 2
M H G
N
21.(15 分)如图,已知抛物线的方程C1:y=-(x+2)(x-m)(m>0)与x 轴相交于 点B 、C ,与y 轴相交于点E ,且点B 在点C 的左侧.
(1)若抛物线C 1过点M(2,2),求实数m 的值.(2)在(1)的条件下,求△BCE 的面积.
(3)在(1)的条件下,在抛物线的对称轴上找一点H ,使BH+EH 最小,并求出点H 的坐标.
(4)在第四象限内,抛物线C 1上是否存在点F ,使得以点B 、C 、F 为顶点的三角形与△BCE 相似?若存在,求m 的值;若不存在,请说明理由.
一、选择题(8×3’=24’)
1~4 CBBD 5~8 DCBA
二、填空题(8×3’=24’)
9、5 10、-2 11、
61 12、3 13、5.5 14、4
7 15. 34 16. 三、解答题(本大题共5小题,27'15'1541'14'14'=++'++)
17、(14分)解:(1)322++-=x x y (6分)(2)Q )1,1()14,1()173,1(或或±±(14分) 18. 60+632π
+
19.1)DF CE =.(2分)
证:∵正方形ABCD ∴AD ∥BC,DC ∥AB ∴
NA
BC MN MC ND CE ==,(4分)NA ND AB DF =(6分) ∴
NA ND BC CE =∴BC
CE AB DF =又BC AB =∴DF CE =(7分) (2)垂心. (9分) 易证ADF ∆≌CE D ∆(11分)∴FDE DAF ∠=∠又
∴︒=∠+∠90ADE DAF ∴DE AF ⊥(13分)同理AE FB ⊥. H 为AEF ∆的垂心. (14分)
20.(1)∴菱形的面积=2S △DBC =543 (2)证明:∵PM 与PE 都是⊙O 1的切线,∴PM=PN ,又∵PN 与PF 都是⊙O 2的切线,∴PN=PE ,∴PM-PN=PE-PB ,即EF=MN ;
(3)∴r 1+r 2=9.
21.。