条件充分性判断黄金原则

充分性判断题目（03.01才开始有这种题型，为MBA的特色题型）A ，对两个命题A和B而言，若由命题A成立，肯定可以推出命题B成立，即B 则称命题A是命题B成立的充分条件。

当条件给定的参数范围落入题干成立范围内，即判断该条件是充分（子集充分）。

二、解题说明与各选项含义本类题要求判断所给出的条件能否充分支持题干中陈述的结论，即只要分析条件是否充分即可，而不必考虑条件是否必要。

（A）条件（1）充分，但条件（2）不充分（B）条件（2）充分，但条件（1）不充分（C）条件（1）和（2）单独都不充分，但条件（1）和条件（2）联合起来充分（D）条件（1）充分，条件（2）也充分（E）条件（1）和（2）单独都不充分，条件（1）和条件（2）联合起来也不充分例1．（2008-01-19）申请驾驶执照时，必须参加理论考试和路考，且两种考试均通过。

若在同一批学员中有60。

80的人通过了路考，则最后领到驾驶执照的人有% %70的人通过了理论考试，%10的人两种考试都没有通过（1）%20的人仅通过了路考（2）%条件：10的人两种考试都没有通过（1）%20的人仅通过了路考（2）%题干：申请驾驶执照时，必须参加理论考试和路考，且两种考试均通过。

若在同一批学员中有%70的人通过了理论考试，%80的人通过了路考，则最后领到驾驶执照的人有%60。

题干中陈述的结论：则最后领到驾驶执照的人有%60三、阅读题目的方法亚里士多德在逻辑学上最重要的工作就是三段论的学说。

一个三段论就是一个包括 有大前提、小前提和结论三个部分的论证。

三段论有许多不同的种类，其中每一种经院 学者都给起了一个名字。

最为人所熟知的就是称为“Barbara ”的那一种： 凡人都有死（大前提）。

苏格拉底是人（小前提）。

所以：苏格拉底有死（结论）。

例2．若x 和y 是整数，那么1xy +能被3整除。

（1）当x 被3除时，其余数为1 （2）当y 被9除时，其余数为8 这里：如果整除（结论）能被（小前提）除时，其余数为被是整数（大前提）和 3 1 1 3 +⇒⎭⎬⎫xy x y x 这样，称条件（1）充分。

充分条件与必要条件的四种判定方法充分条件与必要条件是逻辑学中的重要概念，用于描述一个命题的条件关系。

充分条件指的是一个条件成立可以推导出另一个条件成立，而必要条件则是一个条件成立可以推导出另一个条件成立。

关于充分条件与必要条件的判定有四种方法，分别是充分性原则、必要性原则、充要条件等价原则和等价条件原则。

首先是充分性原则，充分性原则指的是如果一个命题P蕴含另一个命题Q，也就是P成立可以推导出Q成立，那么就说P是Q的充分条件，或者说Q是P的必要条件。

在判定中，我们可以根据已知的P成立推导出Q成立，以此证明P是Q的充分条件。

其次是必要性原则，必要性原则指的是如果一个命题P成立可以推导出另一个命题Q成立，那么就说P是Q的必要条件，或者说Q是P的充分条件。

在判定中，我们可以根据已知的P成立推导出Q成立，以此证明P是Q的必要条件。

接下来是充要条件等价原则，充要条件等价原则指的是如果两个命题P和Q相互蕴含，也就是P成立可以推导出Q成立且Q成立可以推导出P成立，那么就说P是Q的充要条件。

在判定中，我们可以根据已知的P成立推导出Q成立，并且根据已知的Q成立推导出P成立，以此证明P是Q的充要条件。

最后是等价条件原则，等价条件原则是充分性原则和必要性原则的结合，通过充分性和必要性的双向推导来判定条件关系。

在判定中，我们既要根据已知的P成立推导出Q成立，又要根据已知的Q成立推导出P成立，以此证明P是Q的等价条件。

综上所述，充分条件与必要条件的判定有四种方法，包括充分性原则、必要性原则、充要条件等价原则和等价条件原则。

在使用这些方法进行判定时，需要根据已知的条件进行推导和证明，以确定条件之间的关系。

这些方法在数学推导、逻辑推理以及证明论中有着广泛的应用，可以帮助我们更好地理解和分析命题之间的条件关系。

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条件充分性判断终极解题技巧
条件充分性判断题目,共十道,包含A、B、C、D、E五个选项,根据历年真题总结,其中选择A、B两选项的题目一般为4道,最多5道；选择C选项的题目一般3道；D项2道左右,E项1道不超过两道;根据以上总结,基础不好的考友可根据以下技巧先将选择A、B、C 项的题目做出来,其余根据技巧不能确定的题目就空着,最后统一选择D即可;基础较好的考友,可继续了解掌握选择D、E项的技巧;
一、选A或B选项只有一个条件充分,另一个不充分
考试中10道题里最多5道,一般是4道,如果两条件复杂程度有明显差异时,可以使用以下技巧快速解答;
1、印刷的长度明显不同时,选复杂的选项简言之,哪个长选那个
例题：直线L的方程为3x-y-20=0.
（1）过点5,-2且与直线3x-y-2=0平行的直线方程是L；
（2）平行四边形ABCD的一条对角线固定在A3,-1,C2,-3两点,D点在直线3x-y+1=0上移动,则B点轨迹所在的方程为L;
解析：算都不算,直接选B;
2、印刷长度相当时;包含考点相对较难、公式相对复杂、方法较难、运算量大的项更充分;。

充分性判断题解题技巧充分条件基本概念1.定义 对两个命题A 和B 而言,若由命题A 成立,肯定可以推出命题B 也成立即B A ⇒为真命题,则称命题A 是命题B 成立的充分条件;2.条件与结论 两个数学命题中,通常会有“条件”与“结论”之分,若由“条件命题”的成立,肯定可以推出“结论命题”也成立,则称“条件”充分.若由“条件命题”不一定能推出或不能推出“结论命题”成立,则称“条件”不充分.例如:不等式0652<--x x 能成立.131<<x 27>x35=x 46<x561<<-x此例中,题干“0652<--x x 能成立”,这个命题是“结论”,下面分别给出了5个命题都是不同的“条件”.现在我们可以把它们按充分与否分为两类:条件1、3、5充分.条件2、4不充分.3.知识点评述 1.充分条件的判断:从给定的条件出发去分析,在此条件下,结论是否一定成立,若是,则条件充分,若否,则条件不充分.我们在做充分性判断的试题时,不可从“结论”入手去求解那样只能得出“条件”对“结论”的“必要性”,而与充分性判断相背离.如:在此例中,由结论命题: 0652<--x x 能成立,可解得61<<-x .这只证明条件5是必要的.事实上,条件5是结论0652<--x x 能成立的充分必要条件,才“歪打正着”被你找到了一个充分条件. 充分性判断基本概念本书中,所有充分性判断题的A 、B 、C 、D 、E 五个选项所规定的含义,均以下列呈述为准,即:A 条件1充分,但条件2不充分;B 条件2充分,但条件1不充分;C 条件1和2充分单独都不充分,但条件1和2联合起来充分;D 条件1充分,条件2也充分;E 条件1和2单独都不充分,条件1和2联合起来也不充分.上述5个选项,把条件1和2以及两条件联立起来同时都满足即⎩⎨⎧)2()1(的充分性的所有情况都包括了,但其中“联合”不是数学名词,没有准确的定义,改为“联立”与原题意比较贴切.比如:不等式4)56(<+x x 成立.11->x 231<x 分析 由题干4)56(<+x x解上述不等式,得 2134<<-x 显然1、2单独都不满足 联立1和2得出311<<-x ,从而原不等式成立.因此,答案是C.常用的求解方法有以下几种: 解法一 直接法即由A 推导B .若由A 可推导出出B ,则A 是B 的充分条件;若由A 推导出与B 矛盾的结论,则A 不是B 的充分条件.解法一是解“条件充分性判断”型题的最基本的解法,应熟练掌握.例1 要保持某种货币的币值不变.(1) 贬值10%后又升值10%;(2) 贬值20%后又升值25%;分析 设该种货币原币值为)0(≠a a 元.由条件1经过一次贬值又一次升值后的币值为:.99.01.19.0%)101(%)101(a a a =⋅⋅=+⋅-显然与题干结论矛盾. 所以条件1不充分.由条件2经过一次贬值又一次升值后的币值为:a a a =⋅⋅=+⋅-4554%)251(%)201( 即 题干中的结论成立,所以条件2充分,故应选择B.例2 等差数列{}n a 中可以确定25010021100=+++=a a a S1 10999832=+++a a a a2 10989752=+++a a a a解 据等差数列性质有由条件1 M a a a a a a 29839921001=+=+=+250100410100100=⨯=⨯=∴M S .条件1充分. 由条件2 51975509822,2a a a a a a =+=+52105150==+∴a a 又 551501001=+=+a a a a250100251002)(1001100=⨯=⨯+=∴a a S 所以条件2也充分.故应选择D. 解法二 定性分析法由题意分析,得出正确的选择.当所给题目比较简单明了,又无定量的结论时,可以分析当条件成立时,有无结论成立的可能性,从而得出正确选择,而无需推导和演算.例3 对于一项工程,丙的工作效率比甲的工作效率高.1甲、乙两人合作,需10天完成该项工程;2乙、丙两人合作,需7天完成该项工程;解 条件1中无甲与丙间的关系,条件2中亦无甲与丙间的关系,故条件1和2显然单独均不充分.将两条件联合起来分析:在完成相同工作量的前提下,甲与乙合作所需时间比乙与丙合作所需时间多,故甲的工作效率当然比丙的工作效率低,题干结论成立,所以条件1和2联合起来充分.故应选择C.例4 在一个宴会上,每个客人都免费获得一份冰淇淋或一份水果沙拉,但不能同时获得二者,可以确定有多少客人能获得水果沙拉.(1) 在该宴会上,60%的客人都获得了冰淇淋;(2) 在该宴会上,免费提供的冰淇淋和水果沙拉共120份.解 由于条件1中不知客人总数,所以无法确定获得水果沙拉的客人的人数.而由于条件2中只给出客人总数,所以仍无法确定获得水果沙拉的客人的人数,故条件1和2单独显然均不充分.由条件2知客人总数,由条件1可获得水果沙拉的客人点总客人数的百分比,必可确定获水果沙拉的客人的人数,所以条件1和2联合起来充分.故应选择C.解法三 逆推法由条件中变元的特殊值或条件的特殊情况入手,推导出与题干矛盾的结论,从而得出条件不充分的选择.注意 此种方法绝对不能用在条件具有充分性的肯定性的判断上. 例5 要使不等式a x x >++-11的解集为R .13>a 232<≤a .解 由条件1 3>a ,取4=a ,原式即411>++-x x ,此不等式化为: ⎩⎨⎧>--<⎩⎨⎧><≤-⎩⎨⎧>≥,42,1,42,11,42,1x x x x x x 或或 所以 22-<∅∈>x x x 或或.所以不等式的解为22>-<x x 或,所解集为R 矛盾.所以条件1不充分.由条件2, 32<≤a ,取2=a ,不等式化为211>++-x x ,此不等式化为: ⎩⎨⎧>--<⎩⎨⎧><≤-⎩⎨⎧>≥,22,1,22,11,22,1x x x x x x 或或所以11-<∅∈>x x x 或或.所以不等式的解为11>-<x x 或与解集为R 矛盾.所以条件2也不充分.条件1和2联合,得⎩⎨⎧<≤>,32,3a a 所以∅∈a ,显然条件1和2联合起来也不充分.故应选择E.注意 条件1的充分性,是用解法一判断的,只有当条件不充分时,才可用解法三,如对条件2不充分的判断.解法四 一般分析法寻找题干结论的充分必要条件.即:要判断A 是否是B 的充分条件,可找出B 的充要条件C ,再判断A 是否是C 的充分条件.例6 要使62⎪⎭⎫ ⎝⎛+x a x 的展开式中的常数项为60. 1a =1 2a =2解 设62⎪⎭⎫ ⎝⎛+x a x 展开式的常数项为1+r T ,因为 r r r rr rr x a C x a x C T 3662661--+=⎪⎭⎫ ⎝⎛=. 所以 .2,036==-r r因为 60226=a C ,所以 .2,60152±==a a所以题干中结论的充要条件是2±=a .所以条件11=a 不充分;条件22=a 充分.故应选择B.此题用解法一需要将1=a 和2=a 代入,推算两次,而用此种方法只推算一次得出2±=a 即可.例7 要使关于x 的一元方程0224=+-k x x 有四个相异的实根;1210<<k ； 221<<k ; 解 方程0224=+-k x x 有四个相异的实根,设0,2≥=t x t ,则方程022=+-k t t 应有两个不等正实根0,021>>t t ,所以⎩⎨⎧>>∆>=+,0,0,022121t t t t 即 ⎩⎨⎧>>-,0,044k k所以 .10,0,1<<⎩⎨⎧><k k k所以题干中结论的充要条件是,10<<k所以条件1充分,条件2不充分故应选择A..一道条件充分性判断试题有时可以用多种方法求解,如上面的例2也可求解如下:条件充分性判断题的解题技巧解题技巧之一：直接检验法将满足条件1和2分别代入结论C 中检验,根据检验结果来判别．也可以抽几个样本试算．代入检验法,是直接检验法中最简单的一种,还有样本检验法无法直接从条件出发代 人,而是从满足条件的集合中抽取有代表性的样本,再代入题干检验．应该说明的是,样本检验属于不完全检验,不能严格证明,考生应作为辅助办法使用,或实在没辙了可以试一试． 解题技巧之二：直接逻辑推理法有时条件1,2及结论C 都是描述性的判断,实际上该类题属于纯逻辑题,可能会有点绕,但比起MBA 联考正宗的逻辑题目来说,也是“小巫见大巫”了．因此考生在复习逻辑时要认真准备,因为数学部分的充分性判断题本身就非常需要考生加强在逻辑方面的知识和素养． 例8 小李比小张年龄大．1小张的哥哥今年刚满18岁,可以参加选举了2小李昨天刚度过了自己的30岁生日题干中涉及到小李和小张的年龄比较问题,而条件1完全不涉及小李,条件2完全不涉及小张,因此单独使用1或2都不能独立推出结论．根据条件1的表述,我们可以由小张年龄<小张哥哥年龄=18岁推出小张年龄<18岁,根据条件2的表述,得到小李年龄=30岁；这两个判断联在一起,由小张年龄<18岁<30岁=小李年龄可以得到小李年龄比小张年龄大．即此题应选C ．解题技巧之三：化繁就简法有时或者是条件1、2,或者是结论G ,可能表述或形式上比较复杂,不容易看清楚,这时候应该考虑用一些办法化繁就简,更易于比较和推理．事实上,化简以后,题目答案甚至一目了然了．例9 2611612432323=-+-+--x x x x x x 成立. 1202=+x x 223222=--+x x x x 由题目看出,这几个式子都比较繁杂,难以看出彼此关系,通过化简将6656)3(4)3(611612432322323-++----=-+-+--x x x x x x x x x x x x x),12,3(212)3)(2)(1()3)(2)(2()65)(1()3)(2)(2()1(6)5)(1()3)(2)(2()1(6)56()3)(4(222≠≠≠=-+=-----+=+----+=-+----+=-++---=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 且其中进一步得x =4.对条件1化简为54,0)5)(4(,0202-===+-=-+x x x x x x 或得.对条件2化简为),10(3342222≠≠-=-+x x x x x x 且其中进一步得0)4)(1(=--x x ,由于1≠x ,所以4=x ,则1不充分,2充分.解题技巧之四:直观画图法有些题目涉及到集合的相互关系,涉及到空间关系,还有彼此之间循环的逻辑关系等,这类题通常都比较绕,光在脑子里想着想着就乱了,又得重来,实际上这类题的难度并不大,要养成在纸上画图的习惯,把逻辑关系、空间关系等各种纷繁复杂的关系画出来,就可清楚地找出规律来了.例10 设A 、B 为随机事件,A = B 成立.10)(=B A P20)(=B A P本题如果用计算或推理都很难下手,我们考虑作图.先考虑条件1,阴影部分为A ,而0)(=B A P 即指A 与B 不相交,则B 只能躲藏于A 的内部,这样可以得到B A ⊆.同理根据条件2可以得到A B ⊆.显然由A B ⊆且B A ⊆,可以得到A B =,即可选 C.这就是画图的妙用.脑子里很难想明白的关系,纸上一画图,有豁然开朗的感觉,考生们不妨一试.解题技巧之五:证伪排除法数学上的证伪就是举反例.比如证明条件1充分需要数学上严格的证明,但如果我们能找出某个例子满足条件1,但不满足结论,就可以说条件1充分是错误的,可以立刻把A 和D 排除掉.这样考生的选择范围大大缩小,进一步可以用其他方法从剩下的3个答案中选出正确答案,实在不行的话,从3个答案中猜一个,猜中的概率也大大增加了.例11 不等式0342<+-x x 成立 152=--y x 22=x对于条件22=x ,直接代入不等式0132422<-=+⨯-成立,条件2充分.对于条件1,不好直接解答,可考虑举反例,令2,5==y x ,代入原不等式,035452<+⨯-不成立,则1不充分,最后结果应选B.。

2018管综数学考点分析：条件充分性判断对于数学我们都并不陌生，陪伴了我们几乎所有的学习生涯，考研数学属于知识型考试，对于同一道题目，有的人理解得深，有的人理解得浅，换言之，我们的知识储备决定着我们的得分。

而考研分数划分开了考生的档次，是选拨人才的一种重要依据，因此我们的首要目标就是在考研的时候得更多的分。

所以如何在考场中有效地利用好时间，在有限的时间内尽可能得到更高的分，是我们面临的第一个问题。

为了帮助广大考生在考场上争秒夺“分”，凯程刘老师整理近几年的考试真题，总结出一些解题技巧，供广大考生参考。

管理类联考数学基础部分有两种题型：问题求解和条件充分性判断。

今天重点分析条件充分性判断的解题技巧。

一、题目命题形式题号，题干（条件部分），结论部分（1）条件（1）的内容（2）条件（2）的内容二、选项设置：（A）条件（1）充分，但条件（2）不充分（B）条件（2）充分，但条件（1）不充分（C）条件（1）和条件（2）单独都不充分，但条件（1）和条件（2）联合起来充分（D）条件（1）充分，条件（2）充分（E）条件（1）和条件（2）单独都不充分，但条件（1）和条件（2）联合起来也不充分对于以上的五个选项，要求各位同学必须熟练的背诵下来，因为这五个选项，只在第16题的上面出现一次，后面试卷当中是不会再次出现这五个选项的，为了节约大家的答题时间，这五个选项必须背诵下来。

三、解题步骤：1、判断条件（1）单独充分性是否成立；2、判断条件（2）单独充分性是否成立；3、条件（1）和（2）单独充分性均不成立，则将条件（1）和（2）联合，判断其充分性是否成立。

四、解题技巧：1、直接法：简单来说，就是由条件直接推出结论首先，将条件（1）的内容插入到题干当中，看看是否能推出结论，若可以，则条件（1）的充分性就成立，反之，不成立；再将条件（2）的内容插入到题干当中，看看是否能推出结论，若可以，则条件（2）的充分性就成立，反之，不成立；若条件（1）和条件（2）单独的充分性都不成立，最后将条件（1）和条件（2）的内容都插入到题干当中，看看是否能推出结论，若可以，则条件（1）和（2）联合的充分性就成立，反之，不成立。

行测充分必要条件推理规则1. 充分必要条件推理规则是什么？在我们的日常生活中，我们经常会遇到一些问题，需要我们根据已知的条件来推断出未知的结果。

这时候，我们就需要运用到充分必要条件推理规则。

那么，充分必要条件推理规则到底是什么呢？简单来说，就是指在一定的条件下，某个事物的存在是另一个事物存在的充分必要条件。

换句话说，如果A是B的充分必要条件，那么只要有了A,就一定能得到B;而只要有了B,就一定能得到A。

下面，我们就来具体了解一下充分必要条件推理规则。

2. 什么是充分条件？充分条件是指在一定的条件下，某个事物的存在是另一个事物存在的充分条件。

也就是说，只要有了充分条件，就一定能得到另一个事物的存在。

比如说，如果我们知道今天是星期一，那么就可以说是今天是周一的充分条件。

因为只要今天是星期一，那么就一定是周一。

3. 什么是必要条件？必要条件是指在一定的条件下，某个事物的存在是另一个事物存在的必要条件。

也就是说，只有有了必要条件，才能得到另一个事物的存在。

比如说，如果我们知道今天要下雨，那么就可以说今天下雨是明天要下雨的必要条件。

因为只有明天要下雨了，今天才可能下雨。

4. 如何运用充分必要条件推理规则？运用充分必要条件推理规则时，我们需要先找出两个事物之间的充分条件和必要条件。

然后根据这两个条件来进行推理。

比如说，我们要证明“如果小明吃了早饭，那么他会去上学”这个结论。

我们可以找出“小明吃了早饭”这个充分条件和“小明去上学”这个必要条件。

接下来，我们就可以根据这两个条件来进行推理了：既然小明吃了早饭是他去上学的充分条件(因为只要吃了早饭，就一定能去上学),那么反过来看也是成立的(因为只要去了学校，就一定会吃早饭)。

这样一来，我们就可以得出结论：“如果小明吃了早饭，那么他会去上学”。

5. 举例说明充分必要条件推理规则的应用让我们来看一个例子吧：假设有一个人叫李华，他是一个程序员。

现在我们知道他的工作时间是从早上9点到晚上6点。

2017数学-讲义-条件充分性判断秒杀技巧充分性判断题目（03.01才开始有这种题型，为MBA的特色题型）一、充分性命题定义对两个命题A和B而言，若由命题A成立，肯定可以推出命题B成立，即BA ，则称命题A是命题B成立的充分条件。

当条件给定的参数范围落入题干成立范围内，即判断该条件是充分（子集充分）。

二、解题说明与各选项含义本类题要求判断所给出的条件能否充分支持题干中陈述的结论，即只要分析条件是否充分即可，而不必考虑条件是否必要。

（A）条件（1）充分，但条件（2）不充分（B）条件（2）充分，但条件（1）不充分（C）条件（1）和（2）单独都不充分，但条件（1）和条件（2）联合起来充分（D）条件（1）充分，条件（2）也充分（E）条件（1）和（2）单独都不充分，条件（1）和条件（2）联合起来也不充分例1．（2008-01-19）申请驾驶执照时，必须参加理论考试和路考，且两种考试均通过。

若在同一批学员中有%70的人通过了理论考试，%80的人通过了路考，则最后领到驾驶执照的人有%60。

（1）%10的人两种考试都没有通过（2）%20的人仅通过了路考条件：（1）%10的人两种考试都没有通过（2）%20的人仅通过了路考题干：申请驾驶执照时，必须参加理论考试和路考，且两种考试均通过。

若在同一批学员中有%70的人通过了理论考试，%80的人通过了路考，则最后领到驾驶执照的人有%60。

题干中陈述的结论：则最后领到驾驶执照的人有%60三、阅读题目的方法亚里士多德在逻辑学上最重要的工作就是三段论的学说。

一个三段论就是一个包括有大前提、小前提和结论三个部分的论证。

三段论有许多不同的种类，其中每一种经院学者都给起了一个名字。

最为人所熟知的就是称为“Barbara”的那一种： 凡人都有死（大前提）。

苏格拉底是人（小前提）。

所以：苏格拉底有死（结论）。

例2．若x 和y 是整数，那么1xy +能被3整除。

（1）当x 被3除时，其余数为1 （2）当y 被9除时，其余数为8 这里：如果整除（结论）能被（小前提）除时，其余数为被是整数（大前提）和 3 1 1 3 +⇒⎭⎬⎫xy x y x这样，称条件（1）充分。

考研联考逻辑条件充分性判断三方法条件充分性判断重点在于判断条件是否充分，通常有三种判断方法：1、举反例。

举反例是数学中说明一个命题不成立的常用方法。

如果一个命题是“所有的天鹅都是白的”，那么只需要找到一只黑天鹅就可以说明这个命题是错的。

对应到条件充分性判断这类题：无非是找一个例子，该例子满足条件但是不满足结论。

如果能找到这样的例子，那么这个条件肯定不充分。

但问题是这样的例子怎么找?怎么在有限的时间内快速找到?根据老师的经验，常用的有效方法是通过看书、听课，积累经典例子。

什么是积累?是不是用笔记下来就算积累了?显然不是。

积累指通过思考弄明白三个问题：“是什么”，“为什么”和“怎么用”(这也是学习其它方法的要求)，即想明白例子本身的意思，为什么它可以在此处作为反例，以及什么时候想到用这个例子。

以上三个问题想明白了，可以算作把这种举反例的方法消化吸收了，但还没做到创新。

何为创新?数学家范剑青说过：“当你真正理解一件事情为什么如此时，你才能举一反三，无师自通。

”可见“举一反三”可算作创新了。

如何能达到这种境界?让我们向卖油翁学习“无他，唯手熟耳”。

这里的“手熟”不是重复性工作，而是在练习中查漏补缺，体会本质。

有时我们会被假象蒙蔽：觉得自己掌握了，而实际有的地方没理解到位。

这就像站在一个不牢固的地方，下面是虚空的，更悲催的是当事人还自我感觉良好，结果可想而知。

考研初数需要考生对内容和方法理解到一定深度，不进行足量的练习是难以达到的。

另外，所谓熟能生巧，熟练的重要性不言自明。

对例子比较熟悉并且理解为什么用其作为反例。

这样，遇到类似的题型，可用类似的思路找反例，并且熟练之后尝试创新，比如2013年1月真题：p=mq+1为质数(1)m为正整数，q为质数(2)m，q均为质数【解析】条件(1)反例(满足“m为正整数，q为质数”)：m=2，q=7。

则p=mq+1=15显然为合数，不是质数，即此反例满足条件但推不出结论。

充分条件和必要条件的口诀充分条件和必要条件是数学推理中常用的概念，用于描述一个事物是否可能发生或具有某种性质。

下面我将介绍一些口诀，帮助大家记忆和理解充分条件和必要条件。

1、充分不必要，必要不充分，充要匹配才符合要求。

这是最基本的区分充分条件和必要条件的口诀。

它告诉我们，在数学中，充分条件并不一定是必要条件，而必要条件也不一定是充分条件。

只有当它们同时成立时，我们才能得出正确的结论。

2、必要条件反面，充分条件否定，结论相反，此法最准。

这个口诀告诉我们，如果我们要推导某个结论，我们可以尝试反过来考虑。

如果我们能够证明它的必要条件不成立，或者证明它的充分条件不成立，则可以推出结论的反面。

这种方法在推导问题中常常会用到。

3、充分条件加强，必要条件减弱，结论不变，这样来求。

这个口诀告诉我们，如果我们想证明一个结论，但是我们的必要条件或充分条件太过宽松或不够严格，我们可以尝试加强充分条件或减弱必要条件，来保证结论的正确性。

4、做充分条件要从定性，做必要条件要从定量。

这个口诀告诉我们，在证明充分条件时，我们需要从事物的特征、属性、本质等方面入手，进行分析和推导；在证明必要条件时，我们需要从统计数据、具体情况等方面入手，进行定量分析和推导。

5、充分条件从始到终，必要条件从终到始。

这个口诀告诉我们，在证明充分条件时，我们需要从前面的条件入手，一步步推导到最终结果；在证明必要条件时，我们需要从最终结果入手，一步步推导到前面的条件。

6、充要条件一一对应，一定要掌握。

这个口诀告诉我们，在充要条件的推导中，必须确保充分条件和必要条件之间的对应关系是正确的。

只有这样，我们才能正确地得出结论。

7、充要条件离不开，缺一不可行。

这个口诀告诉我们，在推导充要条件时，必须同时考虑充分条件和必要条件，而不能只考虑其中任意一个部分。

8、充要条件五要素，掌握重在挖。

这个口诀告诉我们，在掌握充要条件的基础上，我们还需要关注条件之间的细微差别和联系，包括何时才需要进行反向推导、何时才需要加强或减弱条件等等。