组合数的两个性质
一、教学目的：
2 使学生掌握组合数的两个性质及其证明方法，培养学生的逻辑思维能力；
3 使学生能利用组合数的性质进行计算，培养学生的计算能力。 教学过程：
1、 复
2、 习提问：
1 组合数公式的两种形式是什么：
2 利用组合数的公式的第二种形式计算 ，根据学生的回答，教师板书如下：
（1） 组合数公式：
)!
(!!!
)1()1(m n m n m m n n n c
p
p c m n
m m
m n m n
-=
--⋅⋅⋅-=
=
} (n,m ∈N,且m ≤N)
二、新课讲授：
4 通过具体的实例，丰富学生对性质1的感性认识，并加以证明，再讲它的应用。
（1） 利用组合数的公式，（2） 考察： c 9
11与c 2
11， c 7
10与c 3
10， c 6
7与c 1
7
的关系，并能发现什么规律？（可以逐个叫学生回答，板书）
∵
!210
11!2!9!119
11⨯==
c ，
又
!210112
11
⨯=c ， ∴c 9
11=
c
2
11
；
∵!38910!3!7!107
10
⨯⨯==c
又!389103
10
⨯⨯=c
∴
c c 3
10710=；
∵
!1!6!76
7=
c
又
!171
7=
c
∴c 6
7=c
1
7。
由不完全归纳可得：从n 个不同的元素中取出m 个元素的组合数，等于从n 个不同的元素中取出n-m 个元素的组合数。即 定理1：c m
n =
c
m n n
-，(n,m ∈N,且m ≤N)
(2)定理1的证明。要证明这个等式成立，即证明两个量相等。那么，证明两个量相等有声么方法呢？（指明学生回答）
方法一：“若两个数都等于第三个数，则这两个数相等 ”。 我们知道，
)!(!!
m n m n c
m n
-=
，
!)!(!
)]!([)!(!m m n n m n n m n n c
m n n
-=
---=
-
显然，
!)!(!m m n n -等于!)!(!
m m n n -。于是可得下面的证明。
证明：∵
)!(!!
m n m n c
m n
-=
，
又
!)!(!
)]!([)!(!m m n n m n n m n n c
m n n
-=
---=
-，
∴
c m n
=c m
n n
-。
（3）性质1的另一种解释：从n 个不同的元素中取出m 个元素，并成一组，那么，剩下的n-m 个元素也成一组；反之，从n 个不同的元素中取出n-m 个元素并组成一组，那么剩下的m 个元素也成一组。所以，它们的组合是一一对应的，故有从n 个不同的元素中取出m 个的组合数是c m
n 等于从 n 个不同的元素中取出n-m 个元素的组合数
c
m n n
-，即
c m
n
=c
m n n
-。
（4）当
2
n m >
时，利用这个公式，可是c m
n 的计算简化。如：
36218
92
97
997
9=⨯⨯=
==-c c c ，
4950
2199
1002
10098100
=⨯⨯=
=c c
。
（5） 注意：当m=n 时，公式c m
n =
c
m n n
-变形为
c c n
n
n
=，
又c
n
n =1，所以规定：c n 0
=1即 0！=1 （6）在这样的一组组合数：
c
n
0，c n 1，c n 2……c n n 2-，c n n 1-，c n
n
中，性质1还说明了：与两端等距离的两个组合数相等。如：
c n
=c
n n
，c n 1=c n n 1-，c n 2=c n n 2
-，……。
6 用计算的方法验证下列各式成立，并加以证明。 （3）
（1）用计算的方法考察组合数：
c
3
5
与c
c 2
434
+， c 58与c
c 4
757+ 的关系，你能由此发现什么规律吗？（可指明学生回答，板书）
∵1021452
5
3
5=⨯⨯==c c
10
642
4142434=+=+=+C C c c
∴
c 3
5
=
c c 2
4
34+
∵563216783
85
8
=⨯⨯⨯⨯==c c
5635213215
6721673
72
74
75
7=+=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯=+=+c c c c
∴c
5
8=c c 4
7
57+
规律：若n 、,m 是自然数，m ≤n ，则
c c c m n
m
n m n 1
1-++=，（或
c c c m n m n m n 1
1
1---+=）
定理2
c c c m n
m
n m
n 1
1-++= (n,m ∈N,且m ≤N)
（4） 定理2的证明。要证明这个等式，（5）
只要根据组合数的公式变形即可。
证明：∵
)]!1([)!1(!
)!(!!1
---+
-=
+-m n m n m n m n c c m n m
n
)!1(!)
1(!)!1(!!)1(!m n m m m n n m n m m n m n n -++-+=
-++-+=
