数值分析5-曲线拟合的最小二乘法

25
24
o
1 2 3 4 5 6 7 8
t
(0 , 0 ) (0 , 1 ) a0 (0 , f ) ( , ) ( , ) a ( , f ) 1 1 1 1 1 0
计算系数
(0 , 0 ) 1 8
bt y
则矛盾方程组为：
1 1 1 1 1 0.669131 0.370370 0.390731 0.500000 a 0.621118 0.121869 b 0.309017 0.833333 0.980392 0.587785
例1. 对彗星1968Tentax的移动在某极坐标系下有如 下表所示的观察数据，假设忽略来自行星的干扰,坐 r 标应满足： 1 e p 其中：p为参数，e为偏心率, cos
试用最小二乘法拟合p和e。

r
2.70 480
2.00 670
1.61 830
1.20 1080
1.02 1260
得正则方程组为：
5.0 0.284929 0.284929 a 3.305214 b 0.314887 1.056242
解得： a 0.688617
b 0.483880
1 则： p 1.452186 e bp 0.702684 a 1.452186 则拟合方程为： r 1 0.702684 cos
第六章 曲线拟合的最小二乘法
§6.1 引言
§6.2 线性代数方程组的最小二乘解
§6.3 曲线最小二乘拟合
§1 引言
如果实际问题要求解在[a,b]区间的每一点都 “很好地” 逼近f(x)的话，运用插值函数有时就要 失败。另外，插值所需的数据往往来源于观察测量， 本身有一定的误差。要求插值曲线通过这些本身有误 差的点，势必使插值结果更加不准确。 如果由试验提供的数据量比较大，又必然使得插 值多项式的次数过高而效果不理想。 从给定的一组试验数据出发，寻求函数的一个近 似表达式y=(x)，要求近似表达式能够反映数据的基 本趋势而又不一定过全部的点(xi,yi)，这就是曲线拟 合问题，函数的近似表达式y=(x)称为拟合曲线。本 章介绍用最小二乘法求拟合曲线。

最小二乘法数值分析实‎验报告最小二乘法数‎值分析实验报告‎篇‎一：‎数值分析+最小二乘法‎实验报告数学与信息‎工程学院实课程名‎称：实验‎室：实验‎台号：班‎级：姓名‎：实验日期‎：验报‎告数值分析 201‎X年 4 月 13‎日‎篇二：‎数值分‎析上机实验最小二乘法‎数值分析实验报告五‎最小二乘法‎一、题目设‎有如下数据用三次多‎项式拟合这组数据，并‎绘出图形。

二‎、方法最小二乘法‎三、程序‎M文件：s‎y ms x f; x‎x=input( 请‎输入插值节点 as ‎[x1,x2.‎..]\n ff=‎i nput( 请输入‎插值节点处对应的函数‎值 as [f1,f‎ 2...]\n‎ m=input(‎请输入要求的插值次‎数m= n=len‎g th(xx); f‎r i=1:(m+1‎) syms fai‎x; fai=x^‎(i-1); fr ‎j=1:n x=xx‎(j);H(i,j‎)=eval(fai‎); end end‎A=ff*(H) ‎*inv(H*(H)‎ syms x; ‎f=0; fr i=‎1:(m+1) f=‎f+A(i)*x^(‎i-1); end ‎f plt(xx,f‎f, * ) hld‎nezplt(f‎,[xx(1)‎,xx(n)])‎四、结果 sa‎v e and run‎之后：请‎输入插值节点 as ‎[x1,x2.‎..] [-3 -2‎-1 0 1 2 ‎3] 请输入插值节点‎处对应的函数值 as‎[f1,f2‎...] [-‎1.76 0.42 ‎1.2‎1.341.‎432.25‎4.38]‎请输入要求的插值次‎数m=3 f =1‎33/100+121‎469856021/‎3518437208‎8832*x-804‎2142191733‎/450359 96‎27370496*x‎^2+1020815‎915537309/‎9007199254‎740992*x^3‎五、拓展：‎最小二乘法计‎算方法比较简单，是实‎际中常用的一种方法，‎但是必须经计算机来实‎现，如果要保证精度则‎需要对大量数据进行拟‎合，计算量很大。

---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 数值分析论文--曲线拟合的最小二乘法曲线拟合的最小二乘法姓名：徐志超学号：2019730059 专业：材料工程学院：材料科学与工程学院科目：数值分析曲线拟合的最小二乘法一、目的和意义在物理实验中经常要观测两个有函数关系的物理量。

根据两个量的许多组观测数据来确定它们的函数曲线，这就是实验数据处理中的曲线拟合问题。

这类问题通常有两种情况：一种是两个观测量 x 与 y 之间的函数形式已知，但一些参数未知，需要确定未知参数的最佳估计值；另一种是 x 与 y 之间的函数形式还不知道，需要找出它们之间的经验公式。

后一种情况常假设 x 与 y 之间的关系是一个待定的多项式，多项式系数就是待定的未知参数，从而可采用类似于前一种情况的处理方法。

在两个观测量中，往往总有一个量精度比另一个高得多，为简单起见把精度较高的观测量看作没有误差，并把这个观测量选作x，而把所有的误差只认为是y 的误差。

设 x 和 y 的函数关系由理论公式 y＝f（x； c1， c2， cm）1 / 13（0-0-1）给出，其中 c1， c2， cm 是 m 个要通过实验确定的参数。

对于每组观测数据（xi， yi） i＝1， 2，， N。

都对应于 xy 平面上一个点。

若不存在测量误差，则这些数据点都准确落在理论曲线上。

只要选取m 组测量值代入式（0-0-1），便得到方程组yi＝f （x；c1，c2，cm）（0-0-2）式中 i＝1，2，， m.求 m 个方程的联立解即得 m 个参数的数值。

显然Nm 时，参数不能确定。

在 Nm 的情况下，式（0-0-2）成为矛盾方程组，不能直接用解方程的方法求得 m 个参数值，只能用曲线拟合的方法来处理。

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p1(x)y1yx2 2 xy11(xx1)（变形）
xx1xx22y1xx2xx11y2
A1(x)
A2(x)
插值基函数
X.Z.Lin
3.2.3 抛物线插值
已知：三点（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3） 求：其间任意 x 对应的 y 值
y (x3, y3)
y=f(x) (x2, y2) y=p2(x)
（1）算术平均值
n
xi
x i1 n
（2）标准偏差
n xi2 N xi 2 n
i1
i1
n1
（3）平均标准偏差
E
n
（4）剔出错误数据??可可疑疑数数 据据
Q 数据排序（升）：x1，x2，…，xn；
最大与最小数据之差；
值 可疑数据与其最邻近数据之间的差
法 求Q值：
Qxnxn1 或 Qx2x1
3.1 实验数据统计处理
3.1.1 误差
系统误差 经常性的原因
影响比较恒定
偶然误差
偶然因素
正态分布规律
校正
过失误差
统计分析
-3σ -2σ -σ 0 σ 2σ 3σ 图6.1 平行试验数据的正态分布图
操作、计算失误
错误数据
剔出
21:39 07.02.2021
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X.Z.Lin
3.1.2 数据的统计分析
A3(x)(x(x3 xx11))((xx3xx22))
21:39 07.02.2021
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X.Z.Lin
3.2.4 Lagrange插值的一般形式
已知：n点（x1，y1）、（x2，y2）……（xn，yn） 求：其间任意 x 对应的 y 值