曲线拟合的最小二乘法论文

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最小二乘法拟合曲线在工程中的应用摘要：应用MATLAB数值逼近的方法到工程实际中。

本文介绍了MATLAB中最小二乘法相关函数的使用方法。

关键字：最小二乘法MATLAB曲线拟合工程应用1引言：工程实验中常遇到一些相关数据的分析处理，并要求拟合曲线以便反映数组规律和扩大应用范围。

工程实验中，常常会取得一些相关数据，这些数据往往来自与施工密切相关的测量或试验中，比如用拉伸法测暈金属丝杨氏模暈实验中金属丝长度与舷码总质暈存在线性关系，又如预应力千斤顶与油表的配套校验中，油表读数与千斤顶实际张拉力又有一种关系，这些原始数据一般是5组以上。

2方法原理介绍现实中通过测量或试验取得的各组数据其本身不可避免地带有测试误差，如果构造一个较为简单的插值法P(x)来逼近真实函数f(x),当个别数对误差影响较大时就会引起插值函数发生严重波动，从而影响逼近精度，因为插值法要求插值函数通过插值节点，即P(x7) = f(x y),j = 0,1,这时候，为尽可能减小测试误差对逼近精度的影响，我们可以用另一种方法构造一个经验公式，使得该公式在每一个节点上所求得的结果与原测试结果的差的平方和最小，即曲线拟合的误差最小，精度最高，这就是最小二乘法原理，用定义表述为：设有n对数据石、x t (j = 0,1,••- ,n),通过这些数据找一个m次P(x) = a0 +a1x+ ••• + a m x m (m < n),适当选取系数使得詆％"…,％)= -力］'为最小值，则称p(x)为最小二乘拟合多项式，或称x、yZ间的经验公式。

3仿真结果分析比较(1)求解张拉千斤顶与油表读数的回归方程预应力千斤顶与油表的配套校验中，分级张拉数据可达到5〜20组，而张拉力与油表读数实际为线性关系，一般只需两组数据便可确定其关系式，但数据越多，回归方程越真实，越精确。

此时采用最小二乘法可使每一组数据参与回归。

经验公式：y=ax+b某千斤顶校验数据见下表(z7)MATLAB 程序：x=[0 100 300 500 700 900 1100]; y=[0 11 11.2 18.4 25.1 32.2 39.0]; plot(x,y；o,)；xlabelC标准压力值(kN)*);ylabelf 油表读数(MPa)');4035200 400600800 1000 1200标准压力值(kN)从图中可以看出第二组数据偏离直线，误差较大，回归时舍君亥组数据,取n=6组。

最小二乘法曲线拟合原理最小二乘法曲线拟合是一个重要的数值分析方法，它是通过最小二乘法对样本点与直线或曲线之间的关系进行拟合和分析，从而估算出一个函数的一组参数。

最小二乘法曲线拟合是一种经典的数值分析方法，可以用来拟合函数和曲线，估算出参数，预测数据，分析函数，优化模型，甚至可以分析复杂多变量函数。

最小二乘法曲线拟合的核心方法是使用最小二乘法把拟合的曲线拟合到观察到的数据，通过求解方程的最小二乘法，把一系列的观察数据点拟合为最小二乘法曲线，计算出拟合曲线的最佳系数，满足拟合效果的最佳拟合曲线。

最小二乘法曲线拟合的核心目标是通过计算拟合曲线的最小均方误差(SSE)、平均均方误差(MSE)、最大均方误差(MAXE)等方法，使拟合曲线与观察数据点之间的差距最小，从而求解出最佳拟合曲线系数。

最小二乘法曲线拟合具有很强的解析性，可以用数学计算方法快速求解，可以满足各种不同应用场景的需求，因而被广泛应用于科学研究、工程设计、市场分析等领域。

最小二乘法曲线拟合最常见的应用场景有：根据观察数据拟合和估计函数的参数；分析函数的性质；优化模型的能力；预测数据等等。

当应用最小二乘法拟合函数时，首先需要把观察数据用直线或曲线拟合，然后使用极小化残差平方和的方法，来求解参数，这是一个典型的最优化问题，利用一般最优化算法来求解，如梯度下降算法、牛顿法等。

此外，在应用最小二乘法曲线拟合的过程中，还可以考虑几种情况，比如样本数据受到误差的影响，具有某种偏差性；偏差是否服从正态分布；样本数据的分布是否同分布；拟合曲线的拟合是否收敛，参数计算是否准确等等。

总之，最小二乘法曲线拟合是一种重要的数值分析方法，可以用来拟合函数和曲线、估算参数、预测数据、优化模型等。

在应用最小二乘法曲线拟合时，需要考虑一些影响因素，比如样本数据受到误差的影响、偏差是否服从正态分布等，因此，它是一种有效的数值分析方法。

实验三曲线拟合的最小二乘法1、实验目的：在科学研究与工程技术中，常常需要从一组测量数据出发，寻找变量的函数关系的近似表达式，使得逼近函数从总体上与已知函数的偏差按某种方法度量能达到最小而又不一定过全部的点。

这是工程中引入最小二曲线拟合法的出发点。

充分掌握：1．最小二乘法的基本原理；2．用多项式作最小二乘曲线拟合原理的基础上，通过编程实现一组实验数据的最小二乘拟合曲线。

2、实验要求:1)认真分析题目的条件和要求，复习相关的理论知识，选择适当的解决方案和算法；2)编写上机实验程序，作好上机前的准备工作；3)上机调试程序，并试算各种方案，记录计算的结果（包括必要的中间结果）；4)分析和解释计算结果；5)按照要求书写实验报告；3、实验内容：1) 给定数据如下：x ：0.15，0.4，0.6 ，1.01 ，1.5 ，2.2 ，2.4，2.7，2.9，3.5 ，3.8 ，4.4，4.6 ，5.1 ，6.6，7.6；y ：4.4964，5.1284，5.6931 ，6.2884 ，7.0989 ，7.5507 ，7.5106，8.0756，7.8708，8.2403 ，8.5303 ，8.7394，8.9981 ，9.1450 ，9.5070，9.9115；试作出幂函数拟合数据。

2) 已知一组数据：x ：0，0.1，0.2 ，0.3 ，0.4 ，0.5 ，0.6，0.7，0.8，0.9 ，1y ：-0.447，1.978，3.28 ，6.16 ，7.08 ，7.34 ，7.66，9.56，9.48，9.30 ，11.2；试用最小二乘法求多项式函数，使与此组数据相拟合。

4、题目：曲线拟合的最小二乘法5、原理：从整体上考虑近似函数同所给数据点(i=0,1,…,m)误差(i=0,1,…,m) 的大小，常用的方法有以下三种：一是误差(i=0,1,…,m)绝对值的最大值，即误差向量的∞—范数；二是误差绝对值的和，即误差向量r的1—范数；三是误差平方和的算术平方根，即误差向量r的2—范数；前两种方法简单、自然，但不便于微分运算，后一种方法相当于考虑2—范数的平方，因此在曲线拟常采用误差平方和来度量误差(i=0，1，…，m)的整体大小.。

数值分析曲线拟合的最小二乘法实验报告数值分析曲线拟合的最小二乘法实验报告篇一：数值分析设计曲线拟合的最小二乘法曲线拟合的最小二乘法一、目的和意义在科学实验的统计方法研究中，往往要从一组实验数据?xi,yi??i?0,1,2,?,m?中，寻找自变量x与因变量y之间的函数关系y?F?x?。

由于观测数据往往不准确，因此不要求y?F?x?经过所有点?xi,yi?，而只要求在给定点xi上误差而只要求所在所有给定点xi上的误差?i?F(xi)?yi ?i?0,1,2,?,m?按某种标准最小。

若记????0,?1,?2,?,?m?，就是要求向量?的范数如果用最大范数，计算上困难较大，通常采用欧式范数?最小。

2T 作为误差度量的标准。

F?x?的函数类型往往与实验的物理背景以及数据的实际分布有关，它一般含有某些待定参数。

如果F?x?是所有待定参数的线性函数，那么相应的问题称为线性最小二乘问题，否则称为非线性最小二乘问题。

最小二乘法还是实验数据参数估计的重要工具。

这是因为这种方法比其他方法更容易理解，即使在其他方法失效的情况下，用最小二乘法还能提供解答，而且从统计学的观点分析，用该方法求得各项估计具有最优统计特征，因此这一方法也是系统识别的重要基础。

线性最小二乘问题可以借助多元微分学知识通过求解法方程组得到解答。

用最小二乘法求拟合曲线时，首先要确定S?x?的形式。

这不单纯是数学问题，还与所研究问题的运动规律以及所得观测数据?xi,yi?有关；通常要从问题的运动规律以及给定数据描图，确定S?x?的形式，并通过实际计算选出较好的结果。

为了使问题的提法更有一般性，通常把最小二乘法中的? 22 都考虑为加权平方和22 ? ????xi???S?xi??f?xi??? i?0 m 2 这里??xi??0是?a,b?上的加权函数，它表示不同点?xi,f?xi?处的数据比重不同。

?二、计算方法在某冶炼过程中，根据统计数据的含碳量与时间关系，试求含碳量y与时间t的拟合曲线。

基于最小二乘原理的分段曲线拟合法是一种常用的曲线拟合方法，它可以将曲线分成若干段，每一段都用一个简单的函数模型来拟合数据点，从而得到整条曲线的拟合结果。

本文将介绍基于最小二乘原理的分段曲线拟合法的原理、算法和应用，并探讨该方法的优缺点和改进方向。

1. 基本原理基于最小二乘原理的分段曲线拟合法的基本原理是将整条曲线分成若干段，每一段用一个简单的函数模型来拟合数据点。

假设有n个数据点(xi, yi)，我们希望用一个分段函数模型y=f(x)来拟合这些数据点。

分段函数模型可以表示为：y = f1(x), x∈[x1, x2]y = f2(x), x∈[x2, x3]...y = fk(x), x∈[xk, xn]其中f1(x), f2(x), ..., fk(x)分别是每一段的函数模型。

我们的目标是找到使得拟合误差最小的分段函数模型，即最小化残差平方和：minimize Σ(yi - fi(xi))^2, i=1, 2, ..., n2. 算法基于最小二乘原理的分段曲线拟合法的算法通常采用迭代优化的方法来求解。

具体步骤如下：（1）初始化分段点，可以均匀地将曲线分成若干段，或者根据数据点的分布情况来选择分段点；（2）对每一段的函数模型进行参数估计，可以用最小二乘法或其他优化方法来求解每一段的最佳参数；（3）计算拟合曲线的残差平方和；（4）根据残差平方和的大小来更新分段点，可以合并相邻的段或者分割某一段；（5）重复步骤（2）-（4），直到满足停止条件为止。

3. 应用基于最小二乘原理的分段曲线拟合法在实际中有着广泛的应用。

在工程领域中，分段曲线拟合可以用来对传感器采集的数据进行平滑处理和趋势分析；在经济学领域中，可以用来对经济指标的变化趋势进行拟合和预测。

4. 优缺点基于最小二乘原理的分段曲线拟合法有着一些优点和缺点。

其优点在于可以较好地拟合非线性曲线，并且可以灵活地调整分段点来适应数据的变化。

然而，该方法也存在一些缺点，例如对初始分段点的选择敏感，容易陷入局部最优解，且对噪声数据比较敏感。

基于最小二乘法的曲线拟合及其在Matlab中的应用【摘要】物理量之间的函数关系的确定在实际研究工作中有很重要的作用。

目前我们用于曲线拟合的方法主要是三次多项式插值法，抛物线加权平均法，张力样条函数插值法等，但这些方法计算量大。

本文结合最小二乘法的基本原理，利用最小二乘方法进行曲线拟合，计算过程简便。

首先介绍了最小二乘法拟合的基本原理，然后介绍了用Matlab实现曲线拟合以得到函数关系的方法和步骤，最后举例详细介绍了该方法的应用。

【关键词】最小二乘法；Matlab；曲线拟合1.引言在现代科学研究中，物理量之间的相互关系通常是用函数来描述的。

有些函数关系是由经典理论分析推导得出的，这些函数关系为我们进一步的分析研究工作提供了理论基础。

在现实的科学研究过程中，有一些问题很难由经典理论推导出物理量的函数表达式，或者此推导出的表达式也十分复杂，不利于进一步的分析，但又很希望能得到这些量之间的函数关系，这时就可以利用曲线拟合的方法，用实验数据结合数学方法得到物理量之间的近似函数表达式。

Matlab是Math Works公司推出的一种科学计算软件，是集数值计算、符号运算及出色的图形处理、程序语言设计等强大功能于一体的科学计算语言。

应用Matlab处理既克服了最小二乘法计算量大等缺点，又使繁琐、枯燥的数值计算变成种简单、直观的可视化操作过程，且能较准确地标记实验数据点和绘出拟合曲线。

2.最小二乘法拟合的基本原理曲线拟合又称函数逼近，是指对一个复杂函数，求出一个简单的便于计算的函数，要求使与的误差在某种度量意义下最小。

我们把近似值和测得值的差值称为残余误差。

即显然，残差的大小是衡量拟合好坏的重要标志。

经常采用的三种衡量的准则为：（1）使残差的最大绝对值最小：；（2）使残差的绝对值之和最小：；（3）使残差的平方和最小：。

分析上面的三种准则，准则（1）、（2）的提法都比较自然，但是由于含有绝对值，所以不利于实际计算，而按照准则（3）来确定参数，得到拟合曲线的方法称作曲线拟合的最小二乘法，它的计算比较简单，是工程实际当中常用的一种函数逼近的方法。

基于Matlab实现最小二乘曲线拟合一、本文概述在数据分析和科学计算中，曲线拟合是一种常见且重要的技术。

通过拟合，我们可以根据已知数据建立数学模型，预测未知数据，以及深入理解数据背后的规律。

最小二乘法是曲线拟合中最常用的一种方法，其原理是通过最小化预测值与实际值之间的平方误差来寻找最佳拟合曲线。

本文旨在介绍如何使用Matlab这一强大的数学计算软件，实现最小二乘曲线拟合，包括其理论基础、实现步骤以及实际应用案例。

通过本文的学习，读者将能够掌握在Matlab环境中进行最小二乘曲线拟合的基本方法，提高数据处理和分析能力。

二、最小二乘曲线拟合原理最小二乘法（Least Squares Method）是一种数学优化技术，它通过最小化误差的平方和来寻找数据的最佳函数匹配。

在曲线拟合中，最小二乘法被广泛应用于通过一组离散的数据点来估计一个连续函数的形状。

这种方法的基本思想是通过选择一个模型函数（通常是多项式、指数函数、对数函数等），使得该模型函数与实际数据点之间的差距（即残差）的平方和最小。

假设我们有一组数据点 ((x_1, y_1), (x_2, y_2), \ldots,(x_n, y_n))，我们希望通过一个模型函数 (y = f(x, \mathbf{p})) 来拟合这些数据点，其中 (\mathbf{p}) 是模型的参数向量。

最小二乘法的目标就是找到最优的参数向量 (\mathbf{p}^*)，使得残差平方和 (S(\mathbf{p})) 最小：S(\mathbf{p}) = \sum_{i=1}^{n} [y_i - f(x_i,\mathbf{p})]^2]为了使 (S(\mathbf{p})) 达到最小，我们需要对(S(\mathbf{p})) 求偏导数，并令其等于零。

这样，我们就得到了一个关于 (\mathbf{p}) 的方程组。

解这个方程组，就可以得到最优的参数向量 (\mathbf{p}^*)。

最小二乘法在数据拟合中的应用数据拟合是科学研究、工程设计等领域中常见的问题，它是指根据已知的数据，通过一定的方法，建立一个能够描述数据特征的数学模型。

通常情况下，这些数据点之间存在着一些误差，因此拟合出的模型不可能完全精确地描述实际情况。

在这种情况下，最小二乘法就成了处理数据拟合问题的重要工具之一。

最小二乘法是一种数学优化方法，它的主要思想是寻求一种数学函数，使得该函数与一组给定的数据点之间的误差平方和最小。

这个方法的应用范围非常广泛，不仅可以用于数据拟合问题，还可以用于解决图像处理、信号处理、回归分析等许多实际问题。

需要注意的是，最小二乘法只适用于某些类型的函数拟合问题。

具体来说，当我们希望拟合的函数可以表示为线性组合形式时，最小二乘法就成为了一种有效的求解方法。

在最小二乘法中，我们通常会选择一种函数形式，然后调整函数中的参数，使得该函数与所有数据点之间的距离最小。

为了达到这个目标，我们通常会计算每个数据点到拟合函数的垂直距离，即残差，然后将所有的残差平方相加，得到误差平方和。

最终我们需要调整函数中的参数，使得误差平方和最小。

例如，我们可以尝试使用一个一阶多项式函数拟合一组数据点：$y = ax + b$对于每一个数据点 $i$，我们可以计算该数据点到拟合的直线上的垂直距离为：$e_i = y_i - (ax_i + b)$我们可以将所有的残差平方相加，得到误差平方和：$S(a,b) = \sum\limits_{i}^n e_i^2 = \sum\limits_{i}^n (y_i - ax_i - b)^2$现在的问题是如何求解 $a$ 和 $b$，使得误差平方和$S(a,b)$ 最小。

这时候，最小二乘法就派上用场了。

我们可以使用偏导数的方法，求得误差平方和对 $a$ 和 $b$ 的导数，然后令它们等于零，解出最小二乘估计值。

具体来说，我们可以得到以下两个方程：$\dfrac{\partial S}{\partial a} = -2\sum\limits_{i}^n (y_i - ax_i - b)x_i = 0$$\dfrac{\partial S}{\partial b} = -2\sum\limits_{i}^n (y_i - ax_i - b) = 0$解这两个方程得到：$a = \dfrac{\sum\limits_{i}^n x_i y_i -\dfrac{1}{n}(\sum\limits_{i}^n x_i)(\sum\limits_{i}^ny_i)}{\sum\limits_{i}^n x_i^2 - \dfrac{1}{n}(\sum\limits_{i}^nx_i)^2}$$b = \bar{y} - a\bar{x}$其中，$\bar{x}$ 和 $\bar{y}$ 分别是 $x$ 和 $y$ 的平均值。

编号2009011121毕业论文 (设计)（2013届本科）论文题目: 对最小二乘法的探究学院: 数学与统计学院专业: 数学与应用数学班级: 2009级本科1班作者姓名: 张凯指导教师: 史存琴职称：讲师完成日期: 2013 年 5 月 10 日目录陇东学院本科毕业论文（设计）诚信说明 (1)摘要 (2)关键词 (2)1 最小二乘法的历史简介 (2)2 探究最小二乘法的意义 .................................. 错误!未定义书签。

3 最小二乘法的定义 (3)4 最小二乘法的原理 (4)5 应用最小二乘法解决实际问题 (4)5.1多项式拟合实例 (4)5.2一元线性拟合实例 (5)5.3非线性拟合实例 (6)6 加权最小二乘法 (7)6.1加权最小二乘法的定义............................... 错误!未定义书签。

6.2加权最小二乘法的原理............................... 错误!未定义书签。

7 结论 (7)参考文献 (9)英文摘要 (10)致谢 (11)陇东学院本科毕业论文（设计）诚信说明本人郑重声明：本人所呈交的毕业论文（设计），是在导师的指导下独立进行研究所完成.毕业论文（设计）中凡引用他人已经发表或未发表的成果、数据、观点等，均已明确注明出处.特此声明.论文（设计）作者签名：日期：对最小二乘法的探究张凯(陇东学院数学与统计学院甘肃庆阳 745000)摘要：最小二乘法(又称最小平方法）是一种数学优化技术，是从误差拟合角度对回归模型进行参数估计或系统辨识，并在参数估计、系统辨识、以及预测预报等众多领域中得到极为广泛的应用.它通过最小误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配.利用最小二乘法可以简便地求知数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和最小.本文就是对最小二乘法的发展历史、原理、及其简单的应用进行归纳和总结.关键词：最小二乘法；历史；应用；简单原理1 最小二乘法的历史简介1801年，意大利天文学家朱塞普.皮亚齐发现了第一颗小行星谷神星.经过40多天的跟踪观测后，由于谷神星运行至太阳背后，使得皮亚齐失去了谷神星的位置.随后全世界的科学家利用皮亚齐的观测数据开始寻找谷神星，但是根据大多数人计算的结果来寻找谷神星都没有结果，时年24岁的高斯利用最小二乘法的方法计算了谷神星的轨道，奥地利天文学家海因里希.奥尔伯斯根据高斯计算出来的轨迹重新发现了谷神星.高斯使用的最小二乘法发表于1809年他的著名作品《天体运动论》中.其实，早在1806年，法国科学家勒让德便独立地发现了“最小二乘法”但因不为世人所知而默默无闻.在此后，法国科学家勒让德曾多次与高斯为谁最早创立最小二乘法原理发生争执.但最终，1829年，高斯提供的最小二乘法的证明方法强于其他各界学者的证明方法.因此最小二乘法也被称为高斯—马尔可夫定理.于是“最小二乘法”便被高斯这样的数学天才带入了数学的世界，并为人们所探索、发现、理解与应用.2 探究最小二乘法的意义目前，最小二乘法在参数估计、系统辨识、以及预测预报等众多领域中都得到了极为广泛的应用.尤其是在近代统计估计理论的概念、矩阵符号表示法和近代线性代数的概念及大型快速数字计算机的应用三个领域，更是得到了越来越广泛地应用和发展.而在这众多领域的广泛应用与发展也给最小二乘法的估计理论和实用都带来了深刻的影响.在每个领域中，对于最小二乘法的应用，其观测数值不可能完整无误，而观测精度总是存在一个极限值，若超过这个极限值，就会导致不是计算量的数学模型失效，就是测量仪器的分辨力失效，或者两者都失效，且超过这个精度极限值，重复观测结果之间不会相互符合.处理不一致的数据的方法叫做统计学，确定唯一估值以及其优度的方法叫做统计估值法，最小二乘法是使不符值的平方和为最小的一种统计估计法.应当指出的是，还有其他方法也能得到唯一的估值.例如：使不符值的绝对值的和为最小的估值法，或使最大的不符值为最小的估值法.但与最小二乘法相比，这些方法都存在着许多不足和缺陷.因此，最小二乘法几乎成为获得唯一估值的标准方法.并在如今普遍运用于天文、运输、预测、物理等各个领域.所以，对最小二乘法的探究对各个领域的发展和应用都有着极为重要的意义.3 最小二乘法的定义定义1（残差）：i i i y x -=)(ϕδ),,2,1(m i ⋯=，希望i δ尽可能小，常见方法有： (1)选取)(x ϕ，使偏差最大绝对值之和最小，即∑∑==-=mi iim i iyx 11)(ϕδ最小.(2)选取)(x ϕ，使偏差最大绝对值最小，即i i mi i mi y x -=≤≤≤≤)(max max 11ϕδ最小.(3)选取)(x ϕ，使偏差平方和最小，即∑∑==-=mi i i mi iy x 1212])([ϕδ最小.我们称(3)为最小二乘法原则.定义2（最小二乘法）：根据已知数据组),(i i y x ),,2,1(m i ⋯=选取一个近似函数)(x ϕ，使得∑∑==-=mi mi i i iy x 1122])([ϕδ最小.这种求近似函数的方法称为曲线拟合的最小二乘法，函数)(x ϕ称为这组数据的最小二乘函数.4 最小二乘法的原理在实际应用中，我们经常需要观测两个函数关系的变量，根据两个量的许多组观测数据来确定他们的函数曲线.这类问题通常有两种处理方法：一种是两个观测量x 与y 之间的函数形式已知，但一些参数未知，需确定位置参数的最佳估计值；另一种是x 与y 之间的函数关系未知，需要找出它们之间的未知参数，后一种情况通常假设x 与y 之间的关系是一个待定的多项式，多项式系数就是待定的未知参数，从而可采取类似于前一种情况的处理方法.在两个观测量中，往往总有一个量精确度比另一个高得多，为简单起见把精确量较高的观测量看做没有误差，并把这个观测量选作x ，而把所有误差只认为是y 的误差，设x 和y 的函数关系由理论公式：f y =（ x ；c1. c2 .c3 ...cm ） （0—0—1）给出，其中c1. c2 .c3 ...cm 是m 个需要通过试验确定的参数，对于每组观测数据),(i i y x i=1.2.3...N.都对应于xy 平面上的一个点，若不存在测量误差，则这些数据点都准确落在理论曲线上，只要选取m 组测量值带入（0—0—1）中便得到方程组f y i =（ xi ；c1. c2 .c3 ...cm ） （0—0—2）其中i=1.2.3...m ，求m 个方程的联立解即可得m 个参数的数值，显然N<m 时，参数不能确定.在N>m 的情况下，式（0—0—2)成为矛盾方程组，不能直接用解方程的方法求得m 个参数值，只能用曲线拟合的方法来处理.5 应用最小二乘法解决实际问题5.1多项式拟合实例 已知实验数据如表所示：试用最小二乘法求它的二次拟合多项式解：设；拟合曲线方程为 2210x a x a a y ++=列表如下：得正规方程组：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡253173017381301738152381529⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡210a a a =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡102514732解得：4597.130=a 6053.31-=a 2676.02=a故拟合多项式为：22676.06053.34597.13x y +-=5.2一元线性拟合实例测得铜导线在温度)(C T i ︒时的电阻)(Ωi R 如表，用最小二乘法求电阻R 与温度T 的近似函数关系.解：画出散点图，可见测得的数据接近一条直线，故取n=1，拟合函数为T a a R 10+=列表如下正规方程组为⎥⎦⎤⎢⎣⎡83.93253.2453.2457⎥⎦⎤⎢⎣⎡10a a =⎥⎦⎤⎢⎣⎡445.200295.565 解方程组得：572.700=a 921.01=a故R 与T 的拟合直线为：T R 921.0572.70+=利用上述关系，可以预测不同温度时铜导线的电阻值. 5.3非线性拟合实例已知一组数据如下表，在},,1{xx e e span -=Φ中求其拟合函数.解 设拟合函数为 ： xx e a e a a x p -++=210)(即,1)(0=x ϕ ,)(1x e x =ϕ xe x -=)(2ϕ代入得：G =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡54881.082212.1160665.064872.1167032.049182.1174082.034986.1120254.222140.1190484.010517.11111， y =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡28876.305448.383096.261592.240715.220254.22所以：G G T =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡15627.49999.629005.59999.679927.1363909.929005.563909.97， y G T =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡45687.1315718.2639981.18 解正规方程组y G G G Ta T =得,98614.10=a ,01700.11=a 00304.12-=a故所求拟合曲线为：x x e e y --+=00304.101700.198614.16 加权最小二乘法如今，最小二乘法出现了越来越的的形式，我们将给出加权最小二乘法的定义和原理，将最小二乘法用模糊数学思想进行计算，使计算精度更加准确. 6.1加权最小二乘法的定义此法是应用于实验测量值i y 非等精度的情况下的拟合方法。

曲线拟合的最小二乘法姓名：学号：专业：材料工程学院：材料科学与工程学院科目：数值分析曲线拟合的最小二乘法一、目的和意义在物理实验中经常要观测两个有函数关系的物理量。

根据两个量的许多组观测数据来确定它们的函数曲线，这就是实验数据处理中的曲线拟合问题。

这类问题通常有两种情况：一种是两个观测量x 与y 之间的函数形式已知，但一些参数未知，需要确定未知参数的最佳估计值；另一种是x 与y 之间的函数形式还不知道，需要找出它们之间的经验公式。

后一种情况常假设x 与y 之间的关系是一个待定的多项式，多项式系数就是待定的未知参数，从而可采用类似于前一种情况的处理方法。

在两个观测量中，往往总有一个量精度比另一个高得多，为简单起见把精度较高的观测量看作没有误差，并把这个观测量选作 x，而把所有的误差只认为是y的误差。

设 x 和 y 的函数关系由理论公式y＝f（x；c1，c2，……cm）（0-0-1）给出，其中 c1，c2，……cm 是 m 个要通过实验确定的参数。

对于每组观测数据（xi，yi）i＝1，2，……，N。

都对应于xy 平面上一个点。

若不存在测量误差，则这些数据点都准确落在理论曲线上。

只要选取 m 组测量值代入式（0-0-1），便得到方程组yi ＝ f （x ；c1 ，c2 ，……cm）（0-0-2）式中 i＝1，2，……，m.求 m 个方程的联立解即得 m 个参数的数值。

显然N<m 时，参数不能确定。

y 2 y 在 N>m 的情况下，式（0-0-2）成为矛盾方程组，不能直接用解方程的方法求得 m 个参数值，只能用曲线拟合的方法来处理。

设测量中不存在着系统误差，或者说已经修正，则 y 的观测值 yi 围绕着期望值 <f （x ；c1，c2，……cm）> 摆 动，其分布为正态分布，则 yi 的概率密度为p y i1 exp,式中i是分布的标准误差。

为简便起见，下面用 C 代表（c1，c2，……cm ）。

2013届本科毕业论文(设计)论文题目：关于曲线拟合与最小二乘法原理的探讨学院：数学科学学院专业班级：学生姓名：指导老师：答辩日期：年月日新疆师范大学教务处目录引言 (2)1 最小二乘法拟合 (5)1.1 最小二乘法 (5)1.2 最小二乘多项式曲线拟合的基本原理 (5)1.2.1 线性拟合原理 (6)1.2.2 多项式拟合原理 (8)2 分段曲线拟合的原理 (10)2.1 分段曲线拟合 (11)2.2 分段三次曲线拟合 (11)3 几种具体的拟合曲线类型3.1指数函数拟合..........................................................................................3.2幂函数拟合.............................................................................................3.3双曲型拟合...............................................................................................4 总结 (20)参考文献 (21)引言在物理实验中,经常要把离散的测量数据转化为直观的便于研究的曲线方程,即曲线拟合。

正交基函数因涵盖了幂函数,切比雪夫多项式,拉盖尔函数,多元正交函数系列等而常被采用为拟合函数。

如在曲线拟合中最常见的二次曲线,采用二元正交基函数系列:1,x,y,x2,y2,xy,…进行拟合。

最小二乘法在确定各拟合函数的系数时,尽管拟合的次数不是很高,但它可使误差较大的测量点对拟合曲线的精度影响较小,而且实现简单,便于物理分析和研究,故成为最常用的方法之一。

本文从最小二乘法的基本原理出发,给出了多元正交函数拟合的实现方法,并结合实例给出了最常用的二次曲线拟合的程序流程图。

“数值计算方法与算法”论文题目：浅谈曲线拟合的最小二乘法院系：化学与材料工程学院20系姓名：学号：时间：2015年春季学期浅谈曲线拟合的最小二乘法【摘要】数值计算方法，一种研究并解决数学问题的数值近似解的方法，主要解决那些理论上有解但是无法轻易且准确求解的数学问题。

在当今计算机技术日渐成熟的背景下，数值计算方法的应用被大大的推广，并且极大的推动了自然科学的规律探索及理论验证。

本文主要探讨了一种重要的数值计算方法——曲线拟合的最小二乘法的历史发展、理论核心以及应用价值。

关键词：数值计算方法最小二乘法应用【正文】数值计算方法，是一种研究并解决数学问题的数值近似解方法，现在通常在计算机上使用来求解数学问题。

它主要的计算对象是那些在理论上有解而又无法直接手工计算的数学问题【1】。

例如，用已知的数据点来构造合适的插值函数或拟合出合适的曲线来近似代替原函数，从而解决了因难以求得原函数表达式而无法计算相关函数值的难题；又如，对于一个一般的非线性方程f(x)=0，可能在计算方程的根时既无一定章程可循，也无理论解法可言，那么这时就可以构造合适的迭代格式如Newton迭代，通过对一个近似的初值进行有限次迭代，就可以得到较精准的根值，从而有效避免了冗长而又复杂的理论求解的过程。

在学习完计算方法与算法这门课程后，我收获了许多实用的计算方法、技巧和思想，而对书中的某些问题的解法的深入思考也让我加深了对这门课程的理解。

由于专业的相关需要，我对曲线拟合的最小二乘法这部分知识点进行了重点的学习和深刻的反思，也收获了许多。

1.最小二乘法的发展历史18世纪中期以后，欧拉（L. Euler, 1707-1783）、梅耶（T. Meiyer, 1723-1762）、拉普拉斯(P. S. Laplace, 1749—1827)等科学家在研究一些天体运动规律时，都得到了一些含有m个变量n个（m≪n）方程的线性方程组（也就是我们现在所说的线性矛盾方程组），并且各自运用了一些方法解出了方程组的较优解。

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C++作为一种高级编程语言，广泛应用于科学计算和工程领域。

而最小二乘法则是一种常用的数学方法，用于拟合数据点，并找到最符合这些数据点的曲线方程。

在C++中，结合最小二乘法进行三次曲线拟合，可以帮助我们更好地理解数据之间的关系，从而进行更准确的预测和分析。

让我们来了解一下最小二乘法的基本原理。

最小二乘法是一种通过最小化数据点与拟合曲线之间的距离来确定曲线参数的方法。

在三次曲线拟合中，我们需要找到一个三次多项式方程，使得该方程与数据点的残差平方和最小。

在C++中，我们可以利用数值计算库如Eigen或者使用第三方库如GSL来实现最小二乘法的计算，从而得到拟合的三次曲线方程。

让我们来探讨C++中如何实现最小二乘法拟合三次曲线的具体步骤。

我们需要准备好需要拟合的数据点，这些数据点可以来自于实验测量、观测数据等。

我们需要定义一个三次多项式的模型函数，并初始化该函数的参数。

我们可以利用最小二乘法的公式，计算出最优的参数值，从而得到拟合的三次曲线方程。

我们可以通过绘图库如Matplotlib或者gnuplot来将拟合的曲线与原始数据点进行可视化比较，以验证拟合效果的好坏。

在完成了以上步骤后，我们可以对C++最小二乘法拟合三次曲线的实现进行总结和回顾。

通过本文的介绍，我们不仅深入了解了最小二乘法的原理和C++中的实现方法，还学会了如何利用C++进行数据拟合和分析。

在实际应用中，我们可以将这些知识运用到科学研究、工程设计和数据分析等领域，从而更好地理解数据的特性，并进行更精准的预测和分析。

我想共享一下我对C++最小二乘法拟合三次曲线的个人观点和理解。

作为一名编程人员，我认为掌握最小二乘法和C++编程技能是非常重要的，因为这可以帮助我们更好地处理和分析实际数据，从而做出更为准确的决策。

基于最小二乘法的曲线拟合研究陈良波;郑亚青【期刊名称】《无锡职业技术学院学报》【年(卷),期】2012(011)005【摘要】在工程应用和科学实验中，曲线拟合是对系统做出结论或预测的重要手段。

因此拟合误差变得非常重要，而最小二乘法作为曲线拟合最常用的方法，因其更为准确、实用而被广泛应用。

该文就最小二乘法对实验所获得的数据进行曲线拟合，并对整个拟合过程进行归纳和总结，其中一些主要步骤是在Matlab中实现的。

%In engineering applications and scientific experiments, curving fitting is an important method to make a summary or prediction for a system. Therefore, the error of curving fitting becomes extremely im- portant. The most popular method in curving fitting is least square method, which is widely used because it is more accurate and practical. The article curve-fits the data of experiment by way of least square meth od, and concludes and summarizes the whole process of curving fitting, in which some main procedures are processed in matlab.【总页数】4页(P52-55)【作者】陈良波;郑亚青【作者单位】华侨大学机电学院,福建厦门361100;华侨大学机电学院,福建厦门361100【正文语种】中文【中图分类】O241.5【相关文献】1.基于最小二乘法的Pt100曲线拟合算法的研究 [J], 吴大军;杨姗姗;邱成军2.基于最小二乘法的自动分段多项式曲线拟合方法研究 [J], 刘霞;王运锋3.基于LabVIEW8．5的最小二乘法曲线拟合研究 [J], 吴顺秋4.基于最小二乘法的宿州市GDP曲线拟合及预测研究 [J], 段彦君;周西凤5.基于最小二乘法的曲线拟合及其在Matlab中的应用研究 [J], 程良萍;万美华因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。