矩形专题培优训练

四边形--矩形专题培优训练

基础与巩固

1．下列条件中，不能判定四边形ABCD 为矩形的是（ ）．

A ．A

B ∥CD ，AB=CD ，AC=BD B ．∠A=∠B=∠D=90°

C ．AB=BC ，AD=C

D ，且∠C=90° D ．AB=CD ，AD=BC ，∠A=90°

2．已知点A 、B 、C 、D 在同一平面内，有6个条件：①AB ∥CD ，②AB=CD ，③BC ∥AD ，? ④BC=AD ，⑤AC=BD ，⑥∠A=90°．从这6个条件中选出（直接填写序号）_______3

个，能使四边形ABCD 是矩形

拓展与延伸

4．已知：如图，在Y

ABCD 中，以AC 为斜边作Rt △ACE ，且∠BED 为直角．?

求证：?四边形ABCD 是矩形．

例5、已知：如图，O 是矩形ABCD 对角线的交点，AE 平分∠BAD ，∠AOD=120°，求∠AEO 的度数．

智力操 如图，以△ABC 的三边为边，在BC?的同侧分别作3?个等边三角形，?即△ABD 、△BCE 、△ACF ．请回答问题并说明理由：

（1）四边形ADEF 是什么四边形？

（2）当△ABC 满足什么条件时，四边形ADEF 是矩形？

B A

C E

D O B A C

E D https://www.doczj.com/doc/8d9044527.html, F

一．选择题（共7小题）

1．（2009?绥化）在矩形ABCD中，AB=1，AD=，AF平分∠DAB，过C点作CE⊥BD于E，延长AF、EC交于点H，下列结论中：①AF=FH；②BO=BF；③CA=CH；④BE=3ED．正确的是（）

A．②③B．③④C．①②④D．②③④

2．如图，矩形ABCD中，DE⊥AC于E，且∠ADE：∠EDC=3：2，则∠BDE的度数为（）

A．36°B．18°C．27°D．9°

3．（2007?莱芜）如图，四边形ABCD为矩形纸片，把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF，若CD=6，则AF等于（）

A．B．C．D．8

4．如图，矩形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边上的F点处，如果∠BAF=60°，则∠AEF=（）

A．60°B．70°C．75°D．80°

5．如图，矩形纸片ABCD的边AD=9，AB=3，将其折叠，使点D与点B重合，则折叠后DE的长与折痕EF的长分别为（）

A．4，B．5，C．4，2D．5，2

6．已知下列命题中：（1）矩形是轴对称图形，且有两条对称轴；（2）两条对角线相等的四边形是矩形；（3）有两个角相等的平行四边形是矩形；（4）两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形．其中正确的有（）

A．4个B．3个C．2个D．1个

7．（2007?河池）在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上的动点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF的值为（）

A．B．2C．D．1

二．填空题（共7小题）

8．（2009?长春）如图，l∥m，矩形ABCD的顶点B在直线m上，则∠α=_________度．

9．如图，过矩形ABCD的对角线BD上一点K分别作矩形两边的平行线MN与PQ，那么图中矩形AMKP的面积S1与矩形QCNK的面积S2的大小关系是S1_________S2；（填“＞”或“＜”或“=”）

10．如图，在矩形ABCD中，AD=5，AB=4，点E、G、H、F分别在AB、BC、CD、AD上，且AF=CG=2，BE=DH=1，点P是直线EF、GH之间任意一点，连接PE、PF、PG、PH，则△PEF和△PGH的面积和等于_________．

11．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点P为AB边上任一点，过P分别作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，则线段EF的最小值是_________．

12．如图在△ABC中，BC=8，AC=6，AB=10，它们的中点分别是点D、E、F，则CF的长为_________．

13．如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，E、F、G、H分别是各边的中点，若AC=8，BD=6，则四边形EFGH 的面积是_________．

14．如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为_________．

三．解答题（共16小题）

15．如图，已知Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，P是BC延长线上一点，PE⊥AB交BA延长线于E，PF⊥AC 交AC延长线于F，D为BC中点，连接DE，DF．求证：DE=DF．

16．如图，在矩形ABCD中，AB=24cm，BC=8cm，点P从A开始沿折线A﹣B﹣C﹣D以4cm/s的速度移动，点Q从C开始沿CD边以2cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s）．当t为何值时，四边形QPBC为矩形？

21．（2008?咸宁）如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．

（1）求证：EO=FO；

（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．

23．如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD=12cm，AC=16cm，AC，BD相交于点O，若E，F是AC上两动点，分别从A，C两点以相同的速度向C、A运动，其速度为0.5cm/s．

（1）当E与F不重合时，四边形DEBF是平行四边形吗？说明理由；

（2）点E，F在AC上运动过程中，以D、E、B、F为顶点的四边形是否可能为矩形？如能，求出此时的运动时间t的值；如不能，请说明理由．

24．如图所示．矩形ABCD中，F在CB延长线上，且BF=BC，E为AF中点，CF=CA．求证：BE⊥DE．

初二下矩形专题培优训练

参考答案与试题解析

一．选择题（共7小题）

1．（2009?绥化）在矩形ABCD中，AB=1，AD=，AF平分∠DAB，过C点作CE⊥BD于E，延长AF、EC交于点H，下列结论中：①AF=FH；②BO=BF；③CA=CH；④BE=3ED．正确的是（）

A．②③B．③④C．①②④D．②③④

考点：矩形的性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质．

分析：这是一个特殊的矩形：对角线相交成60°的角．利用等边三角形的性质结合图中的特殊角度解答．

解答：解：∵AB=1，AD=，

∴BD=AC=2，OB=OA=OD=OC=1．

∴OB=OA=OD=OC=AB=CD=1，

∴△OAB，△OCD为等边三角形．

∵AF平分∠DAB，

∴∠FAB=45°，即△ABF是一个等腰直角三角形．

∴BF=AB=1，BF=BO=1．

∴∠FAB=45°，

∴∠CAH=45°﹣30°=15°．

∵∠ACE=30°（正三角形上的高的性质）

∴∠AHC=15°，

∴CA=CH

由正三角形上的高的性质可知：DE=OD÷2，OD=OB，

∴BE=3ED．

故选D．

点评：本题主要考查了矩形的性质及正三角形的性质．

2．如图，矩形ABCD中，DE⊥AC于E，且∠ADE：∠EDC=3：2，则∠BDE的度数为（）

A． 36°B． 18°C． 27°D． 9°

考点：矩形的性质；三角形内角和定理．

分析：本题首先根据∠ADE：∠EDC=3：2可推出∠ADE以及∠EDC的度数，然后求出△ODC各角的度数便可求出∠BDE．

解答：解：已知∠ADE：∠EDC=3：2?∠ADE=54°，∠EDC=36°，

又因为DE⊥AC，所以∠DCE=90°﹣36°=54°，

根据矩形的性质可得∠DOC=180°﹣2×54°=72°

所以∠BDE=180°﹣∠DOC﹣∠DEO=18°

故选B．

点评：本题考查的是三角形内角和定理以及矩形的性质，难度一般．

3．（2007?莱芜）如图，四边形ABCD为矩形纸片，把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF，若CD=6，则AF等于（）

A．B．C．D． 8

考点：矩形的性质．

专题：操作型．

分析：先图形折叠的性质得到BF=EF，AE=AB，再由E是CD的中点可求出ED的长，再求出∠EAD的度数，设FE=x，则AF=2x，在△ADE中利用勾股定理即可求解．

解答：解：由折叠的性质得BF=EF，AE=AB，

因为CD=6，E为CD中点，故ED=3，

又因为AE=AB=CD=6，

所以∠EAD=30°，

则∠FAE=（90°﹣30°）=30°，

设FE=x，则AF=2x，

在△AEF中，根据勾股定理，（2x）2=62+x2，

x2=12，x1=2，x2=﹣2（舍去）．

AF=2×2=4．

故选A．

点评：解答此题要抓住折叠前后的图形全等的性质解答．

4．如图，矩形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边上的F点处，如果∠BAF=60°，则∠AEF=（）

A． 60°B． 70°C． 75°D． 80°

考点：矩形的性质．

专题：计算题．

分析：根据矩形的性质，求出∠EAF=15°，从而得出∠AEF的度数即可．

解答：解：∵∠EAF是∠DAE折叠而成，

∴∠EAF=∠DAE，∠ADC=∠AFE=90°，∠EAF===15°，

在△AEF中∠AFE=90°，∠EAF=15°，

∠AEF=180°﹣∠AFE﹣∠EAF=180°﹣90°﹣15°=75°．

故选C．

点评：本题考查了矩形的性质，图形的折叠实际上相当于把折叠部分沿着折痕所在直线作轴对称，所以折叠前后的两个图形是全等三角形，复合的部分就是对应量．

5．如图，矩形纸片ABCD的边AD=9，AB=3，将其折叠，使点D与点B重合，则折叠后DE的长与折痕EF的长分别为（）

A．4，B．5，C．4，2D．5，2

考点：矩形的性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）．

专题：计算题．

分析：利用直角三角形ABE可求得BE，也就是DE长，构造EF为斜边的直角三角形，进而利用勾股定理求解．

解答：解：连接BD交EF于点O，连接DF．

根据折叠，知BD垂直平分EF．

根据ASA可以证明△DOE≌△BOF，

得OD=OB．

则四边形BEDF是菱形．

设DE=x，则CF=9﹣x．

在直角三角形DCF中，根据勾股定理，得：x2=（9﹣x）2+9．

解得：x=5．

在直角三角形BCD中，根据勾股定理，得BD=3，则OB=．

在直角三角形BOF中，根据勾股定理，得OF==，则EF=．

故选B．

点评：此题主要是能够根据对角线互相垂直平分得菱形DEBF，根据菱形的性质得到边之间的关系，熟练运用勾股定理进行计算．

6．已知下列命题中：（1）矩形是轴对称图形，且有两条对称轴；（2）两条对角线相等的四边形是矩形；（3）有两个角相等的平行四边形是矩形；（4）两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形．其中正确的有（）

A． 4个B． 3个C． 2个D． 1个

考点：矩形的判定与性质．

分析：根据矩形的轴对称性、矩形的判定和矩形的性质逐项分析即可得到正确命题的个数．

解答：解：已知如图：

（1）矩形是轴对称图形，对边中点连线所在的直线是它的对称轴，并且有两条，故该选项正确；

（2）只有两条对角线相等的平行四边形是矩形；故该选项错误；

（3）所有的平行四边形对角都相等，但不一定是矩形，故该选项错误；

（4）两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，再加对角线相等则为矩形，故该选项正确；

所以其中正确的有（1）和（4）．

故选C．

点评：本题考查了矩形的轴对称性以及矩形的性质和矩形的判定，准确掌握其性质和判定是解题的关键．

7．（2007?河池）在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上的动点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF的值为（）

A．B． 2 C．D． 1

考点：矩形的性质；相似三角形的判定与性质．

专题：动点型．

分析：根据△AEP∽△ADC；△DFP∽△DAB找出关系式解答．

解答：解：设AP=x，PD=4﹣x．

∵∠EAP=∠EAP，∠AEP=∠ADC；

∴△AEP∽△ADC，故=①；

同理可得△DFP∽△DAB，故=②．

①+②得=，

∴PE+PF=．故选A．

点评：此题比较简单，根据矩形的性质及相似三角形的性质解答即可．

二．填空题（共7小题）

8．（2009?长春）如图，l∥m，矩形ABCD的顶点B在直线m上，则∠α=25度．

考点：矩形的性质；平行线的性质；三角形内角和定理．

专题：计算题；证明题．

分析：建立已知角和未知角之间的联系是关键．作平行线的截线，根据平行线的性质建立它们之间的联系．

解答：解：延长DC交直线m于E．

∵l∥m，∴∠CEB=65°．

在Rt△BCE中，∠BCE=90°，∠CEB=65°，

∴∠α=90°﹣∠CEB=90°﹣65°=25°．

点评：此题很简单，只要熟知两直线平行的性质及三角形内角和定理即可．

9．如图，过矩形ABCD的对角线BD上一点K分别作矩形两边的平行线MN与PQ，那么图中矩形AMKP的面积S1与矩形QCNK的面积S2的大小关系是S1=S2；（填“＞”或“＜”或“=”）

考点：矩形的性质；三角形的面积；三角形中位线定理．

专题：证明题；几何综合题．

分析：根据矩形的性质，首先设矩形的边长分别为a，b，S1的边长分别为x，y，利用比例得出xy=ab﹣by．要使矩形的面积最大，故让S1的边长分别是△ABC，△ADC的中位线，得出边长的值，然后求出面积即可（也可用矩形的对角线平分矩形的面积分析得出答案）．

解答：解：设矩形ABCD的边长分别为a，b，S1的边长分别为x，y．

∵MK∥AD

∴=，即，则x=?a．

同理：y=?b．

则S1=xy=ab．

同理S2=ab．

所以S1=S2．故答案为S1=S2．

点评：本题的关键是利用函数分析最大取值，即都是三角形的中位线．然后利用三角形的面积公式即可求得相等．

10．如图，在矩形ABCD中，AD=5，AB=4，点E、G、H、F分别在AB、BC、CD、AD上，且AF=CG=2，BE=DH=1，点P是直线EF、GH之间任意一点，连接PE、PF、PG、PH，则△PEF和△PGH的面积和等于．

考点：矩形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质．

分析：连接EG、FH，易证得△AEF≌△CHG，△FHD≌△GEB，即可得FH=EG、EF=GH，由此可证得四边形EFHG是平行四边形，可过P作EF、GH的垂线，可发现所求的两个三角形的面积和实际等于平行四边形EFHG面积的一半，按此思路进行求解即可．

解答：解：连接FH、EG；

∵AF=CG=2，AE=CH=4﹣1=3，∠A=∠C=90°，

∴△AEF≌△CHG，S△AEF=S△CHG=3；

同理可证：△FHD≌△GEB，S△FHD=S△GEB=1.5；

∴FH=EG，EF=GH，即四边形EFHG是平行四边形；

且S平行四边形=S矩形﹣2S△AEF﹣2S△FHD=11；

过P作EF、GH的垂线，交EF于M，GH于N；

则S△EFP+S△GHP=EF（PM+PN）=EF?MN=S?EFHG=．

故答案为：．

点评：此题考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质以及图形面积的求法，能够判断出四边形EFHG 是平行四边形是解答此题的关键所在．

11．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点P为AB边上任一点，过P分别作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，则线段EF的最小值是．

考点：矩形的判定与性质；垂线段最短；三角形的面积；勾股定理．

专题：计算题．

分析：根据勾股定理求出AB，证矩形EPFC，推出EF=CP，过C作CD⊥AB，得到CD=EF，求出CD的长即可．

解答：

解：连接CP，

∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，由勾股定理得：AB=5，

∵PE⊥AC，PF⊥BC，

∴∠PEC=∠PFC=∠ACB=90°，

∴四边形EPFC是矩形，

∴EF=CP，

即EF表示C与边AB上任意一点的距离，

根据垂线段最短，

过C作CD⊥AB，

当EF=DC最短，

根据三角形面积公式得：AC×BC=AB×CD，

∴CD=，

故答案为：．

点评：本题主要考查对矩形的性质和判定，三角形的面积，垂线段最短，勾股定理等知识点的理解和掌握，能得到CD=EF是解此题的关键．

12．如图在△ABC中，BC=8，AC=6，AB=10，它们的中点分别是点D、E、F，则CF的长为5．

考点：矩形的判定与性质；勾股定理的逆定理；三角形中位线定理．

分析：利用勾股定理的逆定理可以推知∠ACB=90°；然后利用三角形中位线定理可以求得平行四边形CEFD是矩形、EF与CE的长度；最后在直角三角形DFC中利用勾股定理求得CF的长度．

解答：解：∵在△ABC中，BC=8，AC=6，AB=10，

∴AB2=AC2+BC2，

∴∠ACB=90°；

又∵点D、E、F分别是BC、AC、AB的中点，

∴EF∥BC，且EF=BC=4，

FD∥AC，且FD=AC=3，

∴四边形CEFD是矩形，

∴EF=CD，

∴CF==5；

故答案是：5．

点评：本题综合考查了矩形的判定与性质、勾股定理的逆定理、三角形中位线定理．解答该题的突破口是根据已知条件“在△ABC 中，BC=8，AC=6，AB=10”利用勾股定理的逆定理推知△ABC是直角三角形．

13．如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，E、F、G、H分别是各边的中点，若AC=8，BD=6，则四边形EFGH的面积是12．

考点：矩形的判定与性质；三角形中位线定理．

专题：计算题．

分析：根据E、F、G、H分别是各边的中点，利用三角形中位线定理求出EH和EF，判定四边形EFGH是矩形，然后即可四边形EFGH的面积．

解答：解：∵E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点，

∴EH∥BD且EH=BD，FG∥BD且=BD，

∴EH∥FG，EH=FG，

同理EF∥HG，EF=HG，

又∵AC⊥BD，

∴四边形EFGH是矩形，

∴四边形EFGH=EF×EH=AC×BD=×8××6=12．

点评：此题主要考查学生对三角形中位线定理和矩形的判定与性质等知识点的理解和掌握，此题难度不大，属于中档题．

14．如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为．

考点：翻折变换（折叠问题）；勾股定理．

分析：根据勾股定理可得BD=5，由折叠的性质可得△ADG≌△A'DG，则A'D=AD=3，A'G=AG，则A'B=5﹣3=2，在Rt△A'BG中根据勾股定理求AG的即可．

解答：解：在Rt△ABD中，AB=4，AD=3，

∴BD===5，

由折叠的性质可得，△ADG≌△A'DG，

∴A'D=AD=3，A'G=AG，

∴A'B=BD﹣A'D=5﹣3=2，

设AG=x，则A'G=AG=x，BG=4﹣x，

在Rt△A'BG中，x2+22=（4﹣x）2

解得x=，

即AG=．

点评：此题主要考查折叠的性质，综合利用了勾股定理的知识．认真分析图中各条线段的关系，也是解题的关键．

三．解答题（共16小题）

15．如图，已知Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，P是BC延长线上一点，PE⊥AB交BA延长线于E，PF⊥AC交AC延长线于F，D为BC中点，连接DE，DF．求证：DE=DF．

考点：矩形的判定与性质；三角形内角和定理；全等三角形的判定与性质．

专题：证明题．

分析：连接AD，由题意可判断出四边形AEPF是矩形，再根据矩形的性质可得出AE=FP，由Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D为BC中点可得出AD=BC，∠1=∠2=45°=∠3，再由全等三角形的判定定理可得出△ADE≌△CDF，进而可得出结论．

解答：证明：连接AD（如图），

∵∠BAC=90°，PE⊥AB，PF⊥AC

∴四边形AEPF是矩形，

∴AE=FP，

∵AB=AC，∠BAC=90°，D为BC中点，

∴AD=DC，∠1=∠2=45°=∠3，

∴∠EAD=∠FCD=135°，∠CPF=45°=∠3，

∴CF=PF=AE，

∴△ADE≌△CDF（SAS）

∴DE=DF．

点评：本题考查的是矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，涉及面较广，难度适中．

16．如图，在矩形ABCD中，AB=24cm，BC=8cm，点P从A开始沿折线A﹣B﹣C﹣D以4cm/s的速度移动，点Q从C开始沿CD 边以2cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s）．当t为何值时，四边形QPBC为矩形？

考点：矩形的判定与性质．

专题：计算题；动点型．

分析：求出CQ=2t，AP=4t，BP=24﹣4t，由已知推出∠B=∠C=90°，CD∥AB，推出CQ=BP时，四边形QPBC是矩形，得出方程2t=24﹣4t，求出即可．

解答：解：根据题意得：CQ=2t，AP=4t，

则BP=24﹣4t，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B=∠C=90°，CD∥AB，

∴只有CQ=BP时，四边形QPBC是矩形，

即2t=24﹣4t，

解得：t=4，

答：当t=4s时，四边形QPBC是矩形．

点评：本题考查了矩形的性质和判定的应用，主要考查学生的理解能力和运用定理进行推理的能力，题目比较典型，难度适中．

21．（2008?咸宁）如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．

（1）求证：EO=FO；

（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．

考点：矩形的判定．

专题：几何综合题．

分析：（1）根据平行线性质和角平分线性质及，由平行线所夹的内错角相等易证．

（2）根据矩形的判定方法，即一个角是直角的平行四边形是矩形可证

解答：（1）证明：∵CE平分∠ACB，

∴∠1=∠2，

又∵MN∥BC，

∴∠1=∠3，

∴∠3=∠2，

∴EO=CO，（2分）

同理，FO=CO，（3分）

∴EO=FO．（4分）

（2）解：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．（5分）

∵EO=FO，点O是AC的中点．

∴四边形AECF是平行四边形，（6分）

∵CF平分∠BCA的外角，

∴∠4=∠5，

又∵∠1=∠2，

∴∠2+∠4=×180°=90°．

即∠ECF=90度，（7分）

∴四边形AECF是矩形．（8分）

点评：本题涉及矩形的判定定理，解答此类题的关键是要突破思维定势的障碍，运用发散思维，多方思考，探究问题在不同条件下的不同结论，挖掘它的内在联系，向“纵、横、深、广”拓展，从而寻找出添加的条件和所得的结论．

23．如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD=12cm，AC=16cm，AC，BD相交于点O，若E，F是AC上两动点，分别从A，C两点以相同的速度向C、A运动，其速度为0.5cm/s．

（1）当E与F不重合时，四边形DEBF是平行四边形吗？说明理由；

（2）点E，F在AC上运动过程中，以D、E、B、F为顶点的四边形是否可能为矩形？如能，求出此时的运动时间t的值；如不能，请说明理由．

考点：矩形的判定；平行四边形的判定与性质．

专题：探究型．

分析：（1）根据已知的AE=CF，推出OE=OF，根据平行四边形的性质得出OD=OB，根据平行四边形的判定推出即可；

（2）根据矩形的性质得出EF=BD=12，得出方程16﹣0.5t﹣0.5t=12，求出即可；当E和F交换位置时得出方程0.5t﹣12+0.5t=16，求出即可．

解答：解：（1）当E与F不重合时，四边形DEBF是平行四边形，

理由是：∵E，F是AC上两动点，分别从A，C两点以相同的速度向C、A运动，

∴AE=CF，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OD=OB，OA=OC，

∴OA﹣AE=OC﹣CF，

∴OE=OF，

∴四边形DEBF是平行四边形；

（2）当运动时间t=4或28时，以D、E、B、F为顶点的四边形是矩形，

理由是：分为两种情况：①∵四边形DEBF是矩形，

∴BD=EF=12cm，

即AE=CF=0.5tcm，

则16﹣0.5t﹣0.5t=12，

解得：t=4；

②当E到F位置上，F到E位置上时，AE=AF=0.5tcm，

则0.5t﹣12+0.5t=16，

t=28，

即当运动时间t=4s或28s时，以D、E、B、F为顶点的四边形是矩形

点评：本题考查了矩形的性质和判定，平行四边形的性质和判定等知识点，主要考查学生运用性质进行推理和计算的能力，题目比较好．

24．如图所示．矩形ABCD中，F在CB延长线上，且BF=BC，E为AF中点，CF=CA．求证：BE⊥DE．

考点：矩形的性质；等腰三角形的性质．

专题：证明题．

分析：连接BD，EO，证明AF=AC，根据AC=CF得△ACF为等边三角形，进而求证EO=BO=DO，根据斜边的中线长是斜边长的一半的性质即可求得∠BED=90°，即BE⊥DE．

解答：证明：连接BD，EO

∵BF=BC

∴B为CF的中点，

∵AB⊥CF，∴△AFC为等腰三角形，即AF=AC，

又∵CF=CA，∴△AFC为等边三角形，

∵E、O分别为AF、AC的中点，

∴EO=CF=BD，

即EO=BO=DO，即BD边上的中线为BD的一半，

△BDE为直角三角形，即∠BED=90°，

∴BE⊥DE．

实数培优题

实数培优题 【知识点精讲】 1，有关平方根、立方根的概念及运算中稍加综合的题目。 2，一些较为简单的关于平方根、立方根的应用问题。 【解题方法指导】 例1，已知 a ?b +1 + 2a ?3b ?4=0，求4a +b 2的立方根。 例2，计算： ?2 3× ?4 2+ ?4 33× ?12 2 ? 81 例3，求10×11×12×13+1的平方根。 【典型例题分析】 例1，已知M = a +32a ?b+4是a +3的算术平方根，N = b ?3a +2b ?3的立方根，试 求M-N 的值。

例2，一个自然数的一个平方根是m，求比它大1的自然数的平方根。例3，已知3x+16的立方根是4，求2x+4的平方根。 例4，已知10404=102，x=0.102。则x等于（） A 10.404 B 1.0404 C 0.10404 D 0.010404 例5，（1）已知a是m（m≠0）的平方根，求m的算术平方根。 3=n2，那么x有意义吗？如果有意义，数值等于多少？（2）如果x （3）已知?90x是一个正整数，那么x可取的最大整数值是多少？ 例6，求5? ?x2+4的最大值和最小值。

【综合测试】 A 卷 1，等式 a+3 2a+3=?1成立的条件是 。 2，当x 为 时，它的算术平方根比x 大。 3，计算： ?183 ? 0.25 3+ ? 2.89 2? 1 64?13 4，代数式11? a 在实数范围内有意义的条件是 。 5，如果a 是非零实数，则下列格式中一定有意义的是（ ） A a B 2 ?a C 2 D 1 a 2 6，若x ?12+ =x ?12+x ?5，则x 的取值范围是 。 7，一个等腰三角形的两条边长分别为5 3和3 2，则此等腰三角形的周长是多少？ B 卷 1，下列说法错误的是（ ） A a 2和 ?a 2相等 B a 2和 ?a 2互为相反数 C a 3和 ?a 3是互为相反数 D a 和 ?a 互为相反数 2，若 a 2=?a ，则实数a 在数轴上的对应点一定在（ ） A 原点左侧 B 原点右侧 C 原点或原点左侧 D 原点或原点右侧 3，一个正方形的面积变为原来的m 倍，则边长变成原来的 倍；一个立方体的体积变为原来的n 倍，则棱长变为原来的 倍。 4，已知a ，b 满足 2a +8+ b ? 3 =0，解关于x 的方程 a +2 x +b 2=a ?1. 5，已知y =2+1.求xy 的平方根。 6，（1）当a<0时，化简： a 2?a a 的结果是 。 （2）化简 m ?1 ?1 m ?1的结果是 。 7，当x<2时， 2?4x +4= ；若x>1时， 1x 2+x 2?2= 。

实数培优训练含答案

浙教七上数学第三章：实数培优训练 一．选择题： 1.下列各数中无理有（ ） 10 π 14159.3 81 3 27 32+ 73 169 121 A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2.①64的立方根是4±；②x x =33；③64的平方根为8±；④()4832 ±=± 其中正确的有（ ）个 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 的值等于则若n m n m --==,3,23( ) A. 31 B. 31- C. 332+ D. 332- 4.计算：=---+-π14.35351（ ） A.π+-5286.0 B. π-14.5 C. π+-14.752 D. π+-14.1 的整数有而小于大于53.5-( ) A. 2,1,0,1,2-- B. 3,2,1,0,1- C. 3,2,1,0,1,2-- D. 2,1,0,1- 则下列各式正确的是若,0.6>a ( ) A. a a > B. a a >1 C. a a 1 1< D. a a < 的大小关系是则若c b a c b a ,,2,3),3(22.72--=-=-?+-=（ ） A. c a b >> B. c a b >> C. c b a >> D. b c a >> =-=+ x x x x 1 ,71.8则已知( ) A. 3 B. 3- C. 3± D. 5± 9.一个自然数的算术平方根是a ，则与这个自然数相邻的后续自然数的平方根是（ ） A. 1+a B. 12+a C. 1+±a D. 12+±a 10.若1212=a ,1692 =b ，且0

实数典型例题(培优)

相交实数典型问题精析(培优) 例1.(2009年乌鲁木齐市中考题 ( ) A. C. D. 分析:本题考查实数得概念――相反数,要注意相反数与倒数得区 别,实数a 得相反数就是-a,选A 、要谨防将相反数误认为倒数,错选D 、例2.(2009年江苏省中考题)下面就是按一定规律排列得一列数: 第1个数: 11122-??-+ ???;第2个数:2311(1)(1)1113234????---??-+++ ??? ???????; 第3个数:234511(1)(1)(1)(1)11111423456????????-----??-+++++ ??????? ??????????? ; ……第n 个数:232111(1)(1)(1)111112342n n n -??????----??-++++ ??? ? ?+????????. 那么,在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中,最大得数就 是(A ) A.第10个数 B.第11个数 C.第12个数 D.第13个 数 解析:许多考生对本题不选或乱选,究其原因就是被复杂得运算式子吓住了,不善于从复杂得式子中寻找出规律,应用规律来作出正确得判断、也有一些考生尽管做对了,但就是通过写出第10个数、第11个数、第12个数、第13个数得结果后比较而得出答案得,费时费力,影响了后面试题得解答,造成了隐性失分、本题貌似复杂,其实只要认真观察,就会发现,从第二个数开始,减数中得因数就是成对增加得,且增加得每一对数都就是互为倒数,所以这些数得减数 都就是21,只要比较被减数即可,即比较141131121111、 、、得大小,答案一目了然、例3(荆门市)定义a ※b ＝a2－b,则(1※2)※3＝＿＿＿、 解 因为a ※b ＝a2－b,所以(1※2)※3＝(12－2)※3＝(－1)※3＝(－

实数典型例题(培优)

实数典型问题精析（培优） 例1．（2009的相反数是（ ） A ． B C ．2 - D ． 2 分析：本题考查实数的概念――相反数，要注意相反数与倒数的区别，实数a 的相反数是-a ，选A.要谨防将相反数误认为倒数，错选D. 例2．（2009年江苏省中考题）下面是按一定规律排列的一列数： 第1个数：11122-??-+ ???；第2个数：2311(1)(1)1113234????---??-++ + ??? ??????? ； 第3个数：234511(1)(1)(1)(1)11111423456???????? -----??-++ +++ ??????? ??????????? ； ……第n 个数：23 2111(1)(1)(1)111112342n n n -???? ?? ----??-++++ ??? ? ?+?????? ?? ． 那么，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是（A ） A ．第10个数 B ．第11个数 C ．第12个数 D ．第13个数 解析：许多考生对本题不选或乱选，究其原因是被复杂的运算式子吓住了，不善于从复杂的式子中寻找出规律，应用规律来作出正确的判断.也有一些考生尽管做对了，但是通过写出第10个数、第11个数、第12个数、第13个数的结果后比较而得出答案的，费时费力，影响了后面试题的解答，造成了隐性失分.本题貌似复杂，其实只要认真观察，就会发现，从第二个数开始，减数中的因数是成对增加的，且增加的每一对数都是互为倒数，所以这些数的减数都是 21，只要比较被减数即可，即比较14 1 131121111、、、的大小，答案一目了然. 例3（荆门市）定义a ※b ＝a 2 －b ，则(1※2)※3＝＿＿＿. 解 因为a ※b ＝a 2 －b ，所以(1※2)※3＝(12 －2)※3＝(－1)※3＝(－1)2 －3＝－2.故应填上－2. 说明：求解新定义的运算时一定要弄清楚定义的含义，注意新定义的运算符号与有理数运算符号之间的关系，及时地将新定义的运算符号转化成有理数的运算符号. 例4（河北省）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10、…，这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16、…，这样的数称为“正方形数”.从如图所示中可以发现，任何一个大于

(完整版)实数培优专题

实数培优拓展 1、利用概念解题： 例1. 已知：18-+=b a M 是a +8的算术数平方根，423+--=b a b N 是b -3立方根，求N M +的平方根。 练习：1.若一个数的立方根等于它的算术平方根，则这个数是 。 2.已知234323-=-=+y x y x ， ，求x y +的算术平方根与立方根。 3．若2a ＋1的平方根为±3，a －b ＋5的平方根为±2，求a+3b 的算术平方根。 例2、解方程（x+1）2=36. 练习：（1）9)1(2=-x （2）2515 1 3=+）（x 2、利用性质解题： 例1 已知一个数的平方根是2a －1和a －11，求这个数． 变式：①已知2a －1和a －11是一个数的平方根，则这个数是 ； ②若2m －4与3m －1是同一个数两个平方根，则m 为 。 例2．若y =x -3＋3-x ＋1，求（x ＋y ）x 的值 例3．x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义。 ⑴ ⑵ ⑶ ⑷

例4．已知321x -与323-y 互为相反数，求y x 21+的值. 例5.若a a +=+3)3(2，则a 的取值范围是 例6.对于每个非零有理数c b a ,,式子 abc abc c c b b a a +++的所有可能__________________. 练习： 1.若一个正数a 的两个平方根分别为x +1和x +3，求a 2005的值。 2. 若（x －3）2＋1-y =0，求x ＋y 的平方根； 3. 已知,22421+-+-=x x y 求y x 的值. 4. 当x 满足下列条件时，求x 的范围。 ① 2)2(x -=x －2 ② x -3=3-x ③x =x 5. 若3 38 7=-a ，则a 的值是 3、利用取值范围解题： 例1.已知 052522=--+-x x x y ，求7（x ＋y ）－20的立方根。 例2. 已知有理数a 满足a a a =-+-20052004，求a -20042的值。 4、比较大小、计算： 例1．比较大小 216- 212+.310; 83-13 71 说明：比较大小的常用方法还有： ①差值比较法： 如：比较1－2与1－3的大小。 ②商值比较法（适用于两个正数） 如：比较 51-3与5 1的大小。

《实数》培优材料

七年级数学培优讲义（2） 一、实数： （一）【内容解析】 （1）概念：平方根、算术平方根、立方根、无理数、实数； 要准确、深刻理解概念。如平方根的概念：①文字概念：若一个数x的平方是a，那么x是a的平方根； ②符号概念：若，那么；③逆向理解：若x是a的平方根，那么。 （2）性质：①在平方根、算术平方根中，被开方数a≥0式子有意义； ②在算术平方根中，其结果是非负数，即≥0； ③计算中的性质1：（a≥0）； ④计算中的性质2：； ⑤在立方根中，（符号法则） ⑥计算中的性质3：； （3）实数的分类： （二分法）（三分法） （二）【典例分析】 1、利用概念解题： 例1. 已知：是的算术数平方根，是立方根，求的平方根。 练习：1. 已知，求的算术平方根与立方根。 2．若2a＋1的平方根为±3，a－b＋5的平方根为±2，求a+3b的算术平方根。 例2、解方程（x+1）2=36. 练习：（1）（2） 2、利用性质解题： 例1 已知一个数的平方根是2a－1和a－11，求这个数．

变式：①已知2a－1和a－11是一个数的平方根，则这个数是； ②若2m－4与3m－1是同一个数两个平方根，则m为。 例2．若y=＋＋1，求（x＋y）x的值 例3．x取何值时，下列各式在实数范围内有意义。 ⑴⑵⑶⑷ 例4．已知与互为相反数，求的值. 练习：1.若一个正数a的两个平方根分别为和，求的值。 2.若（x－3）2＋=0，求x＋y的平方根； 3.已知求的值. 4.当x满足下列条件时，求x的范围。 ① =x－2 ② = ③=x 5.若，则的值是 3、利用取值范围解题： 例1. 已知有理数a满足，求的值。 3、利用估算比较大小、计算： 估算法的基本是思路是设a，b为任意两个正实数，先估算出a，b两数或两数中某部分的取值范围，再进行比较。 例1．比较与的大小

浙教版七上数学第三章：实数培优训练试题(附答案)-

一．选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分） 温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！ 1．一个正数的算术平方根是8，则这个数的相反数的立方根是( ) A ．4 B ．－4 C ．±4 D ．±8 2.16的平方根为（ ） A. 4± B. 4 C. 2 D. 2± 3．一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在( ) A ．2与3之间 B ．3与4之间 C ．4与5之间 D ．5与6之间 4.下列说法中不正确的是( ) ①．－1的立方根是－1，－1的平方是1；②．两个有理数之间必定存在着无数个无理数， ③．在1和2之间的有理数有无数个，但无理数却没有；④．如果x 2＝6，则x 一定不是有理数 A.②③ B.①④ C.③ D.③④ 5.如果b a ,表示两个实数，那么下列式子正确的是( ) A ．若b a =，则b a = B ．若b a <，则22b a < C ．若33b a =，则b a = D ．若b a >，则33b a > 6.如果642 =x ，那么=3x （ ） A. 4± B. 2± C.2 D. 2- 7.一个正奇数的算术平方根是a ，那么与这个正奇数相邻的下一个正奇数的算术平方根是( ) A ．2+a B ．22 +a C.22+a D ．2+±a 8.已知35.703.54=，则005403.0的算术平方根是( ） A ． B ． C ． D ． 9.已知实数139-的整数部分为a ，小数部分为b ，则=-b a 32 （ ） A. 39343- B.3937- C.39343+ D.3937+ 10．正方形ABCD 在数轴上的位置如图所示，点D 、A 对应的数分别为0和1，若正方形ABCD 绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B 所对应的数为2；则翻转2018次后，数轴上数2018所对应的点是（ ） A ．点C B ．点D C ．点A D ．点B 二．填空题（本题共6小题，每题4分，共24分） 温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！ 11．已知一个正数的两个平方根分别为62-m 和m +3，则()2018 m -的值为_________ 12.如果15=，5.1=，那么______00015.0=

实数培优训练A

实数培优训练A 一、填空题 1、把下列各数填入相应的集合内： 3.14，л， ， ，0.12 ， 1.1515515551 。 正整数集合{ } 整数集合{ } 无理数集合{ } 有理数集合{ } 正无理数集合{ } 非负有理数集合{ } 2、将－π，0，23，－3.15，3.5用“＞”连接： ； 3、如图，则 | a |－2a －2b ＝ 。 4、若x =x= ；1 -的倒数是 。1-的相反数是 ；1-的绝对值是 。 5、绝对值最小的实数是 ，最大的负整数是 。数轴上的点与 具有一一对应关系，－3.14在数轴上的点在表示－π的点的 侧。数轴上与原点相距个单位的点表示的数是 。 □6的数有 ，绝对值等于的数有 。 7A 对应数轴上的点是B ，则A 、B 两点的距离为 。 □8、△ABC 的三边长为a 、b 、c ，且a 、b 满足09622 =+-+-b b a ，则△ABC 的周长x 的取值范围是 ； 9、若12)1(212 -+-+-=x x x y ，则代数式2004) (y x += ； 10、已知x 为实数，且x= 。当x= 时，有最大值是 . 11、若0≤a ≤4，的取值范围是 . 若a a -=-2)2(2，则a 的取值范围是 ； 12、若实数a 满足 =-1，则a 是 . 当10≤≤x 时，化简__________12=-+x x 13、设7的小数部分为b ，则b(4+b)= 。当_______x 有意义。 二、选择题 1、和数轴上的点一一对应的数是（ ）. A.整数 B.有理数 C.无理数 D.实数 2、下列说法正确的是（ ）. A.整数和分数、零统称为有理数 B.正数和负数统称为实数 C.整数、有限小数和无限小数统称为实数 D.无限小数就是无理数 3a 是一个（ ）. A.非负数 B.正实数 C.正有理数 D.非完全平方数 4、下列计算正确的是（ ）； A 、)9()4(-?-＝4－×9－ B 、6＝24＋＝2＋2 C 、2a ＝|－a| D 5、下列说法正确的是（ ）； A 、任何有理数均可用分数形式表示 ； B 、数轴上的点与有理数一一对应 ； C 、1和2之间的无理数只有2 ； D 、无理数与无理数间的运算结果是无理数。 6、下列说法正确的是（ ） A 、3.14是无理数 B C 是无理数 D 是无理数 7、下列说法：①无理数是无限小数，②带根号的数不一定是无理数，③任何实数都可以开方，④有理数是实数。其中，正确的个数有（ ）个 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 13 32π ||a 1

实数的混合运算(培优)含答案

2017.10.08实数 1、一组按一定规律排列的式子如下：2 a -，52a ，83a -，11 4a ，…，(0)a ≠，则第n 个式子是________。 2、已知数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，化简|2||2|a b c b +--的结果是________。 答案：a+c 3、观察下面一列数，1,2,3,4,5,6,7---- 将这列数排成下列形式，按照上述规律排下去，那么第11行从左边第7个数是_____________。 答案：－107 4、下列说法错误的是（ ） A 、28是的立方根 B 、464±是的立方根 C 、1139-是 的平方根 D 、4的算术平方根 答案：B 5、2(8)-的立方根是（ ） A 、－2 B 、2± C 、4 D 、4± 答案：C 6、若b a -是的立方根，那么下面结论正确的是（ ） A 、b a --也是 的立方根 B 、b a 是 的立方根 C 、b a -也是 的立方根 D 、b a ±都是 的立方根 答案：C 7、点A 、B 分别是数3-、12 -在数轴上对应的点，把线段AB 沿数轴向右移动到A'B'，且线段A'B'的中点对应的数是3，则点A'对应的数是（ ） A 、0 B 、 12 C 、314 D 、144 答案：C 8、已知1101101,,,,mn m n m n n m n n m <->->>+++且那么的大小关系是（ ）

A 、11m n n n m <<+< B 、11m n n m n <+<< C 、11n m n m n +<<< D 、11m n n m n <+<< 9__________________________。 10、已知一个正数x 的平方根是3225a a +-与，则a ＝_______，x 的立方根为_______。 11、若,a b 均为正整数，且a b >a b +的最小值是（ ） A 、6 B 、7 C 、8 D 、9 答案：B

北师大版八年级数学上册第2章实数(培优试题)

第二章实数 2.1认识无理数 专题无理数近似值的确定 1. 设面积为3的正方形的边长为x，那么关于x的说法正确的是（） A．x是有理数 B．x取0和1之间的实数 C．x不存在 D．x取1和2之间的实数 2．（1）如图1，小明想剪一块面积为25cm2的正方形纸板，你能帮他求出正方形纸板的边长吗？ （2）若小明想将两块边长都为3cm的正方形纸板沿对角线剪开，拼成如图2所示的一个大正方形，你能帮他求出这个大正方形的面积吗？它的边长是整数吗？若不是整数，那么请你估计这个边长的值在哪两个整数之间． 3.你能估测一下我们教室的长、宽、高各是多少米吗？你能估测或实际测量一下数学课本的长、宽和厚度吗？请你再估算一下我们的教室能放下多少本数学书？这些数学书可供多少所像我们这样的学校的初一年级学生使用呢？请你对每一个问题给出估测的数据，再把估算的过程结果一一写出来．

答案： 1．D 【解析】∵面积为3的正方形的边长为x，∴x2=3，而12=1，22=4，∴1＜x2＜4，∴1＜x＜2，故选D. 2．解：（1）边长为5cm. （2）设大正方形的边长为x，∵大正方形的面积=32+32=18，而42=16，52=25， ∴16＜x2＜25，∴4＜x＜5,故正方形的边长不是整数,它的值在4和5之间. 3．解：估算的过程：教室的长、宽、高可以用我们的身高估计出来；数学课本的长、宽和厚度可以用我们的手指估计出来，也可以用直尺测量出来；我们用长宽高相乘估计出教室的容积与课本的体积相除算出能放下多少本数学书，就是能供多少名学生使用，再用本班人数乘一年级班数估计本校一年级人数，然后相处就可以估计出这些数学书可供多少所像我们这样的学校的初一年级学生使用了．估测的数据、估算的结果略.

《实数》培优材料

④计算中的性质 2： a 2 = a = ? ； - a(a ≤ 0) ?负无理数 （二分法） 实数? （三分法） 实数?零 ?无理数 ?负实数??负有理数 ?正无理数 ?负无理数 ? ? ?负无理数 练习：（1） ( x - 1) 2 = 9 （2） （x + 1）3 = 25 3 2017 春七年级数学实数培优 一、实数： （一）【内容解析】 （1）概念：平方根、算术平方根、立方根、无理数、实数； 要准确、深刻理解概念。如平方根的概念：①文字概念：若一个数 x 的平方是 a ，那么 x 是 a 的平方 根；②符号概念：若 x 2 = a ，那么 x = ± a ；③逆向理解：若 x 是 a 的平方根，那么 x 2 = a 。 （2）性质：①在平方根、算术平方根中，被开方数 a ≥0 ? 式子有意义； ②在算术平方根中，其结果 a 是非负数，即 a ≥0； ③计算中的性质 1： ( a ) 2 = a （a ≥0）； ?a(a ≥ 0) ? ⑤在立方根中， 3 - a = -3 a （符号法则） ⑥计算中的性质 3： (3 a ) 3 = a ； 3 a 3 = a （3）实数的分类： ? ?正有理数 ? ?正有理数 ? ? ?正实数? ?有理数?零 ? ?正无理数 ? ? ? ? ? ? ? ? （二）【典例分析】 1、利用概念解题： 例 1. 已知：M = b -1 a + 8 是 a + 8 的算术数平方根，N = 2a -b +4 b - 3 是 b - 3 立方根，求 M + N 的平方根。 练习：1. 已知 x + 2 y = 3，4 x - 3 y = -2 ，求 x + y 的算术平方根与立方根。 2．若 2a ＋1 的平方根为±3，a －b ＋5 的平方根为±2，求 a+3b 的算术平方根。 例 2、解方程（x+1）2=36. 1 5

【数学】数学一元二次方程的专项培优 易错 难题练习题含答案解析

一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．“父母恩深重，恩怜无歇时”，每年5月的第二个星期日即为母亲节，节日前夕巴蜀中学学生会计划采购一批鲜花礼盒赠送给妈妈们． （1）经过和花店卖家议价，可在原标价的基础上打八折购进，若在花店购买80个礼盒最多花费7680元，请求出每个礼盒在花店的最高标价；（用不等式解答） （2）后来学生会了解到通过“大众点评”或“美团”同城配送会在（1）中花店最高售价的基础上降价25%，学生会计划在这两个网站上分别购买相同数量的礼盒，但实际购买过程 中，“大众点评”网上的购买价格比原有价格上涨5 2 m%，购买数量和原计划一样：“美团”网 上的购买价格比原有价格下降了9 20 m元，购买数量在原计划基础上增加15m%，最终，在 两个网站的实际消费总额比原计划的预算总额增加了15 2 m%，求出m的值． 【答案】（1）120；（2）20． 【解析】 试题分析：（1）本题介绍两种解法： 解法一：设标价为x元，列不等式为0.8x?80≤7680，解出即可； 解法二：根据单价=总价÷数量先求出1个礼盒最多花费，再除以折扣可求出每个礼盒在花店的最高标价； （2）先假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a个礼盒，表示在“大众点评” 网上的购买实际消费总额：120a（1﹣25%）（1+5 2 m%），在“美团”网上的购买实际消费 总额：a[120（1﹣25%）﹣9 20 m]（1+15m%）；根据“在两个网站的实际消费总额比原计划 的预算总额增加了15 2 m%”列方程解出即可． 试题解析：（1）解：解法一：设标价为x元，列不等式为0.8x?80≤7680，x≤120； 解法二：7680÷80÷0.8=96÷0.8=120（元）． 答：每个礼盒在花店的最高标价是120元； （2）解：假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a个礼盒，由题意得： 120×0.8a（1﹣25%）（1+5 2 m%）+a[120×0.8（1﹣25%）﹣ 9 20 m]（1+15m%）=120×0.8a （1﹣25%）×2（1+ 15 2 m%），即72a（1+ 5 2 m%）+a（72﹣ 9 20 m）（1+15m%）=144a （1+ 15 2 m%），整理得：0．0675m2﹣1.35m=0，m2﹣20m=0，解得：m1=0（舍）， m2=20． 答：m的值是20．

实数典型例题(培优)

相交实数典型问题精析（培优） 例1．（2009 ） A ． B C ． D ． 分析：本题考查实数的概念――相反数，要注意相反数与倒数的区 别，实数a 的相反数是-a ，选A.要谨防将相反数误认为倒数，错选D. 例2．（2009年江苏省中考题）下面是按一定规律排列的一列数： 第1个数：11122-??-+ ???；第2个数：2311(1)(1)1113234????---??-+++ ??? ???????； 第3个数：234511(1)(1)(1)(1)11111423456????????-----??-+++++ ??????? ???????????； ……第n 个数：232111(1)(1)(1)111112342n n n -??????----??-++++ ??? ? ?+????????． 那么，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数 是（A ） A ．第10个数 B ．第11个数 C ．第12个数 D ．第13个 数 解析：许多考生对本题不选或乱选，究其原因是被复杂的运算式子吓住 了，不善于从复杂的式子中寻找出规律，应用规律来作出正确的判断.也有一些考生尽管做对了，但是通过写出第10个数、第11个数、第12个数、第13个数的结果后比较而得出答案的，费时费力，影响了后面试题的解答，造成了隐性失分.本题貌似复杂，其实只要认真观察，就会发现，从第二个数开始，减数中的因数是成对增加的，且增加的每一对数都是互为倒数，所以这些数的减数 都是21，只要比较被减数即可，即比较141131121111、、、的大小，答案一目了然. 例3（荆门市）定义a ※b ＝a2－b ，则(1※2)※3＝＿＿＿. 解 因为a ※b ＝a2－b ，所以(1※2)※3＝(12－2)※3＝(－1)※3＝(－

七(下)培优训练(二)实数(提高版)

培优训练二：实数（提高篇） （一）【内容解析】 （1）概念：平方根、算术平方根、立方根、无理数、实数； 要准确、深刻理解概念。如平方根的概念：①文字概念：若一个数x 的平方是a ，那么x 是a 的平方根；②符号概念：若a x =2，那么a x ±=；③逆向理解：若x 是a 的平方根，那么a x =2。 （2）性质：①在平方根、算术平方根中，被开方数a ≥0?式子有意义； ②在算术平方根中，其结果a 是非负数，即a ≥0； ③计算中的性质1：a a =2)(（a ≥0）； ④计算中的性质2：???≤-≥==) 0()0(2a a a a a a ； ⑤在立方根中，33a a -=-（符号法则） ⑥计算中的性质3：a a =33)(；a a =3 3 （3）实数的分类： ?????????????? ? ??负无理数正无理数无理数负无理数 零正有理数 有理数实数 ??? ? ???????????负无理数负有理数负实数零正无理数正有理数正实数实数 （二）【典例分析】 1、利用概念解题： 例1. 已知：18-+=b a M 是a +8的算术数平方根，423+--=b a b N 是b -3立方根，求N M +的平方根。 练习：1. 已知234323-=-=+y x y x ， ，求x y +的算术平方根与立方根。 2．若2a ＋1的平方根为±3，a －b ＋5的平方根为±2，求a+3b 的算术平方根。 例2、已知x 、y 互为倒数，c 、d 互为相反数，a 的绝对值为3，z 的算术平方根是5 ，求22c d xy a -++ 的值。 2、利用性质解题： 例1 已知一个数的平方根是2a －1和a －11，求这个数．

实数的混合运算(培优)含答案

2017、1０、08实数 １、一组按一定规律排列得式子如下:,,,,…,,则第个式子就是__＿＿_＿__。 2、已知数,,在数轴上得位置如图所示,化简得结果就是______＿_。 答案:a+c 3、观察下面一列数,将这列数排成下列形式,按照上述规律排下去,那么第１１行从左边第７个数就是________＿＿___。 答案:—107 ４、下列说法错误得就是( ) A、得立方根 B、得立方根 C、得平方根Ｄ、得算术平方根 答案:B 5、得立方根就是( ) A、-2 B、C、4 D、 答案:C 6、若得立方根,那么下面结论正确得就是( ) A、得立方根 B、得立方根 Ｃ、得立方根D、得立方根 答案:C ７、点A、B分别就是数、在数轴上对应得点,把线段AＢ沿数轴向右移动到A＇Ｂ’,且线段Ａ＇Ｂ’得中点 对应得数就是３,则点A＇对应得数就是( ) A、0B、C、D、 答案:Ｃ 8、已知得大小关系就是( ) A、B、C、Ｄ、 9、得算术平方根就是____＿__＿___＿_,得平方根就是___＿＿____＿___。

１0、已知一个正数得平方根就是,则＝＿＿＿_＿＿_,得立方根为_＿__＿__、 11、若均为正整数,且,则得最小值就是( ) A、６ B、7 C、８Ｄ、9 答案:B 12、已知:得平方根就是,得立方根就是３,则得算术平方根为＿＿＿__＿_。 １3、已知实数满足,则得立方根为______＿。 １4、比较大小:(填)

1５、将用不等号连接起来为( ) A、B、Ｃ、D、 答案:D 1６、若得小数部分就是,若得小数部分就是,则___________。 答案:2 17、已知得整数部分就是,小数部分就是,则得平方根为_＿________＿。 18、若得小数部分就是,若得小数部分就是,则＿______＿_＿＿。 1９、下图为魔术师在小美面前表演得经过

《实数》培优专题训练

《实数》培优专题训练1 一．填空题 1 的算术平方根是。 2．已知一块长方形的地长与宽的比为3：2，面积为3174平方米，则这块地的长为米。 3.把下列各数填入相应的集合内： 3.14，л，， ，0.12 ， 1.1515515551 。 正整数集合{ } 整数集合{ } 无理数集合{ } 有理数集合{ } 正无理数集合{ } 非负有理数集合{ } 4.将－π，0，23，－3.15，3.5用“＞”连接：； 5．如图，则| a |－2a－2b＝。 6的数有，绝对值等于的数有。 7A对应数轴上的点是B，则A、B两点的距离为。 8．△ABC的三边长为a、b、c，且a、b满足0 9 6 22= + - + -b b a，则△ABC的周长x的取值范围是； 9．若1 2 )1 ( 2 12- + - + - =x x x y，则代数式2004 ) (y x+= ； 10．已知x为实数，且，则x= 。当x= 时，有最大值是 . 11．若0≤a≤4，的取值范围是 .若a a- = -2 )2 (2，则a的取值范围是；12．已知x、y是有理数，且x、y满足2 2323 x y ++=-x+y= 。 二．选择题 1．和数轴上的点一一对应的数是（）. A.整数 B.有理数 C.无理数 D.实数 2．下列说法正确的是（）. A.整数和分数、零统称为有理数 B.正数和负数统称为实数 C.整数、有限小数和无限小数统称为实数 D.无限小数就是无理数 3．a是一个（）. A.非负数 B.正实数 C.正有理数 D.非完全平方数 4．下列计算正确的是（）； A．)9 ( )4 (- ? -＝4 －×9 －B．6＝2 4＋＝2＋2 C．2a＝|－a| D．= 5．下列说法正确的是（）； A、任何有理数均可用分数形式表示； B、数轴上的点与有理数一一对应； C、1和2之间的无理数只有2； D、无理数与无理数间的运算结果是无理数。6．下列说法正确的是（） A、3.14是无理数B C是无理数D是无理数 1 3 3 2 π

初二实数培优竞赛训练(可用) (1)

实数提高训练 例1 已知一个立方体盒子的容积为216cm3,问做这样的一个正方体盒子（无盖）需要多少平方厘米的纸板？ 例2 若某数的立方根等于这个数的算术平方根，求这个数。 例3 下列说法中：①无限小数是无理数；②无理数是无限小数；③无理数的平方一定是无理数；④实数与数轴上的点是一一对应的。正确的个数是（）A、1 B、2 C、3 D、4 例4 （1） 已知2 2(4)0,()y x y xz -++=求的平方根。 （2 a2 ，小数部分为b，求-16ab-8b的立方根。 （3 ,, 4 x y m m = - 试求的算术平方根。 （4）设a、b 是有理数还是无理数，并说明理由。 例5 （1）已知2m-3和m-12是数p的平方根，试求p的值。 （2）已知m，n 是有理数，且2)(370 m n +-+=，求m，n的值。 （3）△ABC的三边长为a、b、c，a和b 2440 b b +-+=，求c的取值范围。 （4 ）已知1993 2 ( 4 a x a - = + ，求x的个位数字。

训练题： 一、填空题 1的算术平方根是 。 2、已知一块长方形的地长与宽的比为3：2，面积为3174平方米，则这块地的长为 米。 32(1)0,b -== 。 4、已知4,1 x y y x +=+则= 。 5在实数范围内成立，其中a 、x 、y 是两两不相等的实数，则22 223x xy y x xy y +--+的值是 。 6、已知a 、b 为正数，则下列命题成立的： 若32,1;3,6, 3.2 a b a b a b +=≤+=+=≤若；若 根据以上3个命题所提供的规律，若a+6=9≤ 。 7、已知实数a 满足21999,1999a a a -=-=则 。 8、已知实数211,,a-b 0,24c a b c c c ab -+=满足则的算术平方根是 。 9、已知x 、y 是有理数，且x 、y 满足22323x y ++=-x+y= 。 10、由下列等式： ===…… 所揭示的规律，可得出一般的结论是 。 11、已知实数a 满足0,11a a a =-++=那么 。 12、设A B ==则A 、B 中数值较小的是 。 1312 5.28,y -=则x= ,y= . 14 有意义的x 的取值范围是 。 15、若101,6,a a a +=且的值为 。 16、一个正数x 的两个平方根分别是a+1和a-3，则a= ,x= . 17、写出一个只含有字母的代数式，要求：（1）要使此代数式有意义，字母必须取全体实数；（2）此代数式的值

中考数学二轮复习数学第六章 实数的专项培优练习题(含答案

中考数学二轮复习数学第六章 实数的专项培优练习题(含答案 一、选择题 1．已知1x ，2x ，…，2019x 均为正数，且满足 ()()122018232019M x x x x x x =++++++， ()()122019232018N x x x x x x =++ +++ +，则M ，N 的大小关系是( ) A ．M N < B ．M N > C ．M N D ．M N ≥ 2．已知x 、y 为实数，且34x ++（y ﹣3）2＝0．若axy ﹣3x ＝y ，则实数a 的值是（ ） A ． 14 B ．﹣ 14 C ． 74 D ．﹣ 74 3．实数a ，b ，c ，d 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ） A ．ac ＞0 B ．|b |＜|c | C ．a ＞﹣d D ．b +d ＞0 4．给出下列各数①0.32，② 22 7 ，③π，④5，⑤0.2060060006（每两个6之间依 次多个0），⑥327，其中无理数是（ ） A ．②④⑤ B ．①③⑥ C ．④⑤⑥ D ．③④⑤ 5．在如图所示的数轴上，点B 与点C 关于点A 对称，A 、B 两点对应的实数分别是3和﹣1，则点C 所对应的实数是( ) A ．3 B ．3 C ．3 1 D ．3 6．2a+b b-4=0，则a +b 的值为( ) A ．﹣2 B ．﹣1 C ．0 D ．2 7．估计20的算术平方根的大小在（ ） A ．2与3之间 B ．3与4之间 C ．4与5之间 D ．5与6之间 8．已知一个正数的两个平方根分别是3a ＋1和a ＋11，这个数的立方根为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 9．下列判断中不正确的是（ ） A 37 B ．无理数都能用数轴上的点来表示 C 174 D 5510．下列运算正确的是（ ）

实数的概念与性质 初中数学培优专题汇编

专题12 实数的概念与性质 阅读与思考 人类对数的认识是在生活中不断加深和发展的。数系的每一次扩张都源于实际生活的需要，在非负有理数知识的基础上引进负数，数系发展到有理数，这是数系的第一次扩张；但随着人类对数的认识不断加深和发展，人们发现现实世界中确实存在不同于有理数的数——无理数。在引人无理数的概念后，数系发展到实数，这是数系的第二次扩张. 理篇无理数是学好实数的关键，为此应注意： 1. 把握无理数的定义：无理数是无限不循环小数，不能写成分数p q 的形式（这里p ，q 是互质的整数，且p ≠0）； 2．掌握无理数的表现形式：无限不循环小数，与π相关的数，开方开不尽得到的数等； 3. 有理数对加、减、乘、除是封闭的，即任何两个有理数的和、差、积、商还是有理数；无理数对四则运算不具有封闭性，即两个无理数的和、差、积、商不一定是无理数； 4．明确无理数的真实性. 克菜因认为：“数学是人类最高超的智力成就，也是人类心灵最独特的创作，音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上的一切.” 想一想： 下列说法是否正确？ ①带根号的数是无理数； ②两个无理数的和、差、积、商一定还是无理数； ③一个无理数乘以一个有理数，一定得无理数； ④一个无理数的平方一定是有理数. 例题与求解 【例1】 已知02)4(22=-++++-c b a b a ．则b ac )(的平方根是________. （湖南省长沙市“学用杯”竞赛试题） 解题思路：运用式子的非负性，求出a ，b ，c 的值． 【例2】若a ，b 是实数，且42212 +-+-= b b a ．则b a +的值是( ). A ．3或－3 B ．3或－1 C ．－3或－1 D ．3或1 （湖北省黄冈市竞赛试题） 解题思路：由算术根的双非负性，可得1-b ≥0，b 22-≥0，求出b ＝1．代入原式中可得a ＝±2． 由算术平方根的定义可得到算术平方根的双非负性： ①a 中a ≥0； ②a ≥0. 运用算术平方根的双非负性是挖掘隐含条件的常用方法. 【例3】 已知实数m ，n ，p 满足等式

中考数学实数培优专题拓展训练

中考数学实数培优专题拓展训练 1、利用概念解题： 例1. 已知：18-+=b a M 是a +8的算术数平方根，423+--=b a b N 是b -3立方根，求N M +的平方根。 练习：1.若一个数的立方根等于它的算术平方根，则这个数是 。 2.已知234323-=-=+y x y x ， ，求x y +的算术平方根与立方根。 3．若2a ＋1的平方根为±3，a －b ＋5的平方根为±2，求a+3b 的算术平方根。 例2、解方程（x+1）2 =36. 练习：（1）9)1(2=-x （2）2515 1 3 =+）（x 2、利用性质解题： 例1 已知一个数的平方根是2a －1和a －11，求这个数． 变式：①已知2a －1和a －11是一个数的平方根，则这个数是 ； ②若2m －4与3m －1是同一个数两个平方根，则m 为 。 例2．若y =x -3＋ 3-x ＋1，求（x ＋y ）x 的值 例3．x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义。

⑴⑵ ⑶

⑷ 例4．已知321x -与323-y 互为相反数，求 y x 21+的值. 例5.若a a +=+3)3(2，则a 的取值范围是 例6.对于每个非零有理数c b a ,,式子 abc abc c c b b a a + ++的所有可能__________________. 练习： 1.若一个正数a 的两个平方根分别为x +1和x +3，求a 2005 的值。

2. 若（x －3）2＋1-y =0，求x ＋y 的平方根； 3. 已知,22421+-+-=x x y 求y x 的值. 4. 当x 满足下列条件时，求x 的范围。 ① 2)2(x -=x －2 ② x -3=3-x ③x =x 5. 若3 38 7 =-a ，则a 的值是 3、利用取值范围解题： 例1.已知0525 22=--+-x x x y ，求7（x ＋y ）－20的立方根。 例2. 已知有理数a 满足a a a =-+-20052004，求a -20042 的值。 4、比较大小、计算： 例1．比较大小 216- 2 12+.3 10; 83-13 7 1 说明：比较大小的常用方法还有： ①差值比较法： 如：比较1－2与1－3的大小。 ②商值比较法（适用于两个正数） 如：比较 51-3与5 1 的大小。 ③倒数法： ④取特值验证法：比较两个实数的大小，有时取特殊值会更简单。 如：当0