初二实数培优竞赛训练(可用) (1)

八年级数学竞赛试卷一、选择题（6分×7=42分）1、实数x,y,m ，适合关系式3x+5y-2-m +2x+3y-m =x-199+y ．199-x-y ，则m 等于（ ）A 100 B 200 C 201 D 20012、设x 1,x 2是方程x 2-2003x+2005=0的两个实根（x 1+x 2=2003, x 1x 2=2005），实数a,b 满足ax 12003+bx 22003=2003, ax 12004+bx 22004=2004，则ax 12005+bx 22005 的值为（ ） A 2005 B 2003 C -2005 D -20033、已知a,b 均为实数，且关于x 的不等式︱(a+2)x-2a+1︱<b 的解集为-1<x<3，则a+b 的值为（ ）A 3或7 B 3或13 C 7和8 D 8或13 4、在凸2005边形中，不大于111°的内角最多有（ ） A 3个 B 4个 C 5个 D 6个5、设一次函数y=1-kx1+k （k 为正整数）的图像与两坐标轴围成的三角形的面积为s k ，则s 1+s 2+s 3+……+s 20的值为（ ）A 10 B 20 C 2110 D 10216、如图，△ABC 中，D 在BC 上，F 是AD 中点，连CF 并延长交AB 于E ，已知CD BD =n ，则AEBE 等于（ ）A 13B n+1nC n n+1D 127、P 是正△ABC 内部一点，∠APB 、∠BPC 、∠CPA 的大小之比是5︰6︰7，则以PA 、PB 、PC 的长为边的三角形的三个内角的大小之比是（ ）A 2︰3︰4 B 3︰4︰5 C 4︰5︰6 D 5︰6︰7二、填空题（7分×7=49分）8、已知a,b 为实数，且(a 2+b 2)2-2(a 2+b 2)-3=0，则a 2+b 2= 9、当x=1+2005 2时，多项式(x 3-2x 2-500x+502)2009= 10、若Rt △ABC 的三边a,b,c 满足a+1a =b+1b =c+1c ，则此三角形斜边上的高为 11、如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点B 的坐标为（15，6），直线y=13 x+b 恰好将矩形OABC 分成面积相等的两部分，那么b=12、已知x,y,z 满足x-12 =y+13 =z-24 ，当x= ,y= z= 时，x 2+y 2-z 2达到最大值。

【讲练课堂】20222023学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【苏科版】专题4.4实数【名师点睛】1.无理数：无限不循环小数叫做无理数．说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等．2.实数（1）实数的定义：有理数和无理数统称实数．（2）实数的分类：3.实数的性质（1）在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样．实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．（2）实数的绝对值：正实数a的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．4.实数大小比较（1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小．（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．5.实数的运算（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．【典例剖析】【考点1】实数的运算【例1】（2022·江苏·八年级专题练习）计算： (1)√3(√3)2+(π+√3)0−√27+|√3−2|(2)(√3+2)(2−√3)+(√3−√2)2 【变式1】（2022·江苏盐城·八年级期末） （1）计算：√(−3)2−√3383+(√5)2−|√2−2|；（2）求式中的x ：(3−x)2=64． 【考点2】实数的分类【例2】（2022·江苏·八年级）把下列各数填入相应的大括号里． π，2，﹣12，|﹣√2|，2.3，30%，√4，√−83． (1)整数集：{ …}； (2)有理数集：{ …}； (3)无理数集：{ …}．【变式2】（2020·江苏·灌南县新知双语学校八年级阶段练习）把下列各数填入相应的大括号内．3√2，−35，√83，(√3)2，2π，√643，3.14159265，−|−√25|，1.03030030003…（相邻两个3之间依次多1个0）．（1）有理数集合：{ } （2）无理数集合：{ } （3）整数集合：{ } （4）负实数集合：{ } 【考点3】实数的性质【例3】（2022·江苏·八年级）已知|x |＝√5，y 是11的平方根，且x >y ，求x +y 的值．【变式3】（2018·江苏泰州·八年级期中）已知实数x 、y 、m 满足√x +2+|3x +y +m |=0,且y 是负数，求m 取值范围．【考点4】实数与数轴【例4】（2021·江苏·沭阳县怀文中学八年级阶段练习）实数a ，b ，c 是数轴上三点A ，B ，C 所对应的数，如图，化简：√a 2+√(a +b )33−|b −c |【变式4】（2021·江苏·苏州市吴江区青云中学八年级阶段练习）（1）计算√32= ；√(−6)2= ；√(−12)2= ；√02=（2）利用上述规律计算：实数a 、b 在数轴上的位置，化简 √a 2−√b 2−√(a −b )2．【考点5】实数的大小比较【例5】（2022·江苏·八年级）数学课上，老师出了一道题：比较√19−23与23的大小．小华的方法是：因为√19＞4，所以√19﹣2_____2，所以√19−23_____23（填“＞”或“＜”）；小英的方法是：√19−23﹣23＝√19−43，因为19＞42＝16，所以√19﹣4____0，所以√19−43____0，所以√19−23_____23（填“＞”或“＜”）．（1）根据上述材料填空；（2）请从小华和小英的方法中选择一种比较√6−14与12的大小．【变式5】（2020·江苏·淮安市浦东实验中学八年级期中）（1）用“<”“>”或“=”填空：√1 √2，√2 √3；（2）由以上可知： ①|1−√2|= ； ①|√2−√3|= ．（3）计算：|1−√2|+|√2−√3|+|√3−√4|+⋯+|√35−√36|． 【考点6】实数的整数部分与小数部分【例6】（2022·江苏·八年级）阅读下面的文字后回答问题：我们知道无理数是无限不循环小数，例如√2=1.414…，√2的小数部分我们无法全部出来，但可以用√2−1来表示．请解答下列问题： (1)√17的整数部分是 ，小数部分是 ；(2)若√5的小数部分是a ，√6的整数部分是b ，求a(b +√5)的值．【变式6】（2022·江苏·八年级）我们用[a]表示不大于a 的最大整数，a −[a]的值称为数a 的小数部分，如[2.13]=2，2.13的小数部分为2.13−[2.13]=0.13． (1)[√3]= ，[√7]= ，π的小数部分= ． (2)设√5的小数部分为a ，则a +[√13]−√5= ．(3)已知：10+√3=x +y ，其中x 是整数；且0<y <1，则x −y 的相反数是 ．【满分训练】1．（2022春•海安市期末）下列各数中，无理数是（ ） A ．3.2B ．27C ．√4D ．π﹣3.142．（2022春•海门市期末）如果m ＜√17−1＜m +1，那么正整数m 的值是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．43．（2022•工业园区校级模拟）下列实数中，最小的是（ ） A ．﹣πB ．﹣1C ．−√2D ．−√34．（2022•泰州）下列判断正确的是（ ） A ．0＜√3＜1B ．1＜√3＜2C ．2＜√3＜3D ．3＜√3＜45．（2022春•灌云县期末）如图，数轴上有三个点A 、B 、C ，分别表示实数a 、a +5、5，则原点的位置在（ ）A ．点A 和点B 之间 B ．点B 和点C 之间 C ．点A 的左侧D ．点C 的右侧6．（2022•玄武区二模）下列整数，在√7与√15之间的是（ ） A ．5B ．4C ．3D ．27．（2022•建邺区二模）数m 在数轴上的位置如图所示，则m 、﹣m 、1m这三个数的大小关系为（ ）A ．﹣m ＜m ＜1mB ．1m＜m ＜﹣mC ．﹣m ＜1m ＜mD ．m ＜1m ＜−m8．（2022•苏州模拟）√2+2的整数部分是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．49．（2022春•锡山区期中）已知x 满足条件√11＜x ＜√111，若x 为整数，则满足条件的整数x 的个数为（ ） A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个10．（2022•五华区一模）《九章算术》是中国传统数学中最早记载无理数的著作，书中指出：“若开之不尽者为不可开，当以面命之”，作者给这种开方开不尽的数起了一个专门名词——“面”．例如面积为7的正方形的边长称为7“面”，关于7“面”的说法正确的是（ ） A ．它是0和1之间的实数 B ．它是1和2之间的实数C ．它是2和3之间的实数D ．它是3和4之间的实数二．填空题（共8小题）11．（2022春•海安市期末）无理数√7的整数部分是 ． 12．（2022春•海门市期末）计算：√−13+√9= ． 13．（2022春•如皋市期末）写一个比2小的无理数为 ．14．（2021秋•吴江区月考）比较大小：2√3 4（填“＞”，“＜”或“＝”）． 15．（2022春•鼓楼区期末）与7−√15最接近的整数是 ． 16．（2022•宿迁）满足√11≥k 的最大整数k 是 ．17．（2022春•仪征市期末）若a ＜√13＜b ，且a ，b 是两个连续整数，则a +b 的值为 ． 18．（2022春•靖江市校级月考）公元3世纪，我国古代数学家刘徽就能利用近似公式√a 2+r ≈a +r2a得到无理数的近似值，其中r 取正整数，且a 取尽可能大的正整数．例如：把√11化成√32+2，再根据近似公式得出√11≈3+23×2=103，若利用此公式计算√17的近似值时，则√17≈ ．三．解答题（共6小题）19．（2022春•吴中区校级期末）计算：.(√3−1)0−√4+|1−√2|． 20．（2022春•江都区月考）计算： （1）√18−4√12+√32；（2）√243−|1−√2|+（√2−1）0+√8．21．（2022春•崇川区校级期中）计算： （1）|√3−√2|+|√3−2|﹣|√2−1|； （2）√83+√(−2)2−√14+（﹣1）2018．22．（2020秋•青田县期末）计算： （1）﹣2﹣3×（﹣1）；（2）(−1)2012+(−9)×|−29|−42÷(−2)；（3）√16−(√−83+4)．23．若已知x，y，z为实数，并且√x+3+√(y−1)2+√z2−2z+1=0，试求（x+y+z）2021的值．24．（2020秋•江干区期末）如果一个正方形ABCD的面积为69．（1）求正方形ABCD的边长a．（2）正方形ABCD的边长满足m＜a＜n，m，n表示两个连续的正整数，求m，n的值．（3）m，n在满足（2）的条件下，求√−m3−√n的值．。

实数培优拓展1、利用概念解题：例1. 已知：18-+=b a M 是a +8的算术数平方根，423+--=b a b N 是b -3立方根，求N M +的平方根。

练习：1.若一个数的立方根等于它的算术平方根，则这个数是 。

2.已知234323-=-=+y x y x ，，求x y +的算术平方根与立方根。

3．若2a ＋1的平方根为±3，a －b ＋5的平方根为±2，求a+3b 的算术平方根。

例2、解方程（x+1）2=36.练习：（1）9)1(2=-x （2）251513=+）（x2、利用性质解题：例1 已知一个数的平方根是2a －1和a －11，求这个数．变式：①已知2a －1和a －11是一个数的平方根，则这个数是 ；②若2m －4与3m －1是同一个数两个平方根，则m 为 。

例2．若y =x -3＋3-x ＋1，求（x ＋y ）x 的值例3．x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义。

⑴⑵ ⑶ ⑷例4．已知321x -与323-y 互为相反数，求yx 21+的值. 例5.若a a +=+3)3(2，则a 的取值范围是例6.对于每个非零有理数c b a ,,式子abc abc c c b b a a +++的所有可能__________________.练习： 1.若一个正数a 的两个平方根分别为x +1和x +3，求a2005的值。

2. 若（x －3）2＋1-y =0，求x ＋y 的平方根；3. 已知,22421+-+-=x x y 求y x 的值.4. 当x 满足下列条件时，求x 的范围。

①2)2(x -=x －2 ② x -3=3-x ③x =x5. 若3387=-a ，则a 的值是 3、利用取值范围解题： 例1.已知052522=--+-x x x y ，求7（x ＋y ）－20的立方根。

例2. 已知有理数a 满足a a a =-+-20052004，求a -20042的值。

3．3 实数专题一实数与数轴1．设a是一个无理数，且a,b满足ab－a－b+1=0，则b是一个 ( ) A．小于0 的有理数 B．大于0 的有理数C．小于0 的无理数 D．大于0 的无理数2．如图，数轴上表示－1，A、B，点C在数轴上，且AC=AB，则点C所表示的数是（）1 B. 1223．已知，实数a、b在数轴上表示的位置如下：化简a b+．专题二 实数的运算4. 已知,a b 均为有理数，且(23a +=，则（ ） A ．9,12a b == B ．11,6a b ==- C ．11,0a b == D ．9,6a b ==5.定义运算“@”的运算法则为：x @y则（2@6）@8=______________.6．设[]x 表示不大于x 的最大整数，如[]3.153=，[]2.73-=-，[]44=，计算： 1002++⋅⋅⋅+⎣⎦⎣⎦⎣⎦．7．探究题：（1）计算下列各式：32=，1133+=12______,333++=123______,33331234______,+++=……（2）猜想：333333+++++=123456______,（3）用含n的等式表示上述规律：__________________________；（4）化简=________.专题三 非负数性质的应用8．已知：x 和2(y 互为相反数，则2013()xy 的值是（ ） A . 1 B . 1- C . 2013 D . 2013-9. 若a 2＋b －2a －2b＋2＝0，则代数式b a a ＋+b a b －的值是 ． 10.△ABC 的三边长为a 、b 、c , a 和b 满足2(2)0b -=， 求ｃ的取值范围.．11．若实数x 、y 、z 满足1()2x y z =++，求3()x yz -的立方根．状元笔记【知识要点】1．实数：有理数和无理数统称为实数．2．实数和数轴上的点一一对应．3．实数分为正实数、0、负实数，0和正实数叫做非负数．【温馨提示】1．有理数的运算法则和运算律对于实数仍然适用．2．在实数运算中要注意符号．【方法技巧】1．互为相反数的两个数的和为零．2．几个非负数的和为零，那么这几个非负数都为零.3. 在实数运算中，常利用非负数的和为零的性质和方程模型解决求字母的值的问题.参考答案：1. B 解析：由ab －a －b +1=0得(1)(1)0a b --=，因为a 是无理数，所10a -≠，所以10b -=，所以1b =．2. D 解析：由题意和图意可知：AB =1，又AC =AB ，所以AC 1，所以OC =11)2-=，所以点C 表示的数是2，故选D .3．解：由图意知： 0,0,0a b a b <>+<.所以原式a b +[]()a b a b =-+--+2a b a b b =-+++=．4. Ｂ 解析：由(23＝2232311-⨯=-所以11,6a b ==-，故选B .5．6 解析：4=，所以（2@6）@8=4@8=6=，故填6.6．解：因为22(1)(1)n n n n <+<+，所以,1)1(+<+<n n n n所以n =，所以1=，2=，3=，所以原式=1220032003(12003)400610021002++⋅⋅⋅+⨯+==.7. 解：（1） 23 26 210（2）221（3）33332123(123)n n +++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+（4）5050 解析5050=.8．B 解析：由题意可知：2(0x y ++=，所以00x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以2013()1xy =-，故选B .9．2 解析：由a 2＋b －2a －2b ＋2＝0得：22(1)1)0a -+=，所以1,1a b ==, 所以原式=21+01=2.10. 解：由2(2)0b -=，故1020a b -=⎧⎨-=⎩ ，所以12a b =⎧⎨=⎩ ．所以C 的取值范围是1＜C ＜3 ．11．解：由1()2x y z =++得：x y z=++，即(1)(11)(21)0x y z -+--+--=，所以2221)1)1)0+-+-=，所以101010=== ， 解得123x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∴33()(5)x yz -=-，∴3()x yz -的立方根是5-.。

第四章 实数 培优训练一、选择题1．若230x y ++-=，则x ·y 的值为( )A ．－8B ．－6C ．5D ．6 2．方程480x x y m -+--=，当y>0时，m 的取值范围是( )A.0<m<1B.m ≥2C.m<2D.m ≤23．在实数范围内，代数式()2523x -+--的值为( )A.1B ．2C ．3D ．以上答案都不对4．a 、b 、c 为有理数，且等式23526a b c ++=+成立，则2a ＋999b ＋1001c 的值是( )A.1999B ．2000C ．2001D ．不能确定5.若a 、b 是实数，且a 2＝1224b b -+-+，则a ＋b 的值是 ( )A.3或－3B ．3或－1C ．－3或－1D ．3或16.已知实数557+的小数部分为a ，735-的小数部分为b ，则7a ＋5b 的值为( ) A ．5＋3B ．0.504C ．2－3D ．5－37．代数式122x x x -+-++的最小值是( )A ．0B ．3C ．3D ．不存在 8．a 、b 为有理数，且满足等式a ＋b 3＝6·1423++，则a ＋b 的值为( )A. 2B. 4C. 6D. 89．已知非零实数a 、b 满足()2242342a b a b a -+++-+=，则a ＋b 等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．2 10．若实数a 、b 、c 满足等式23 6.4a b +=，496a b c -=，则c 可能取的最大值为( )A.0B.1C.2D.3二、填空题11．若x 、y 都是实数，且21124x x y -+-+=，则xy ＝_______．12．若a 、b 满足35a b +＝7，则s ＝23a b -的取值范围是_______．13．已知a 、b 为两个连续整数，且a<7<b ，则a ＋b ＝_______．14．设a 、b 是有理数，且满足等式a 2＋3b ＋b 3＝21－53，则a ＋b ＝_______．15．已知实数满足20132014a a a -+-=，则22013a -=_______．16．已知0<a<1，且满足[]122918303030a a a x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦表示不超过x 的最大整数），则[10a]的值等于_______． 17．设a 是一个无理数，且a 、b 满足ab ＋a －b ＝1，则b ＝_______．18．若117122-的整数部分为a ，小数部分为b ，那么a 2－ab ＋b 2的值为_______．三、解答题19．设2426y x x x =-+---，其中2≤x ≤8，求y 的最大值和最小值．20.已知1a b +=，且2a b a m -=+，2a b b n -=-，其中m 、n 均为有理数，求m 2＋n 2的值．21．已知实数a 、b 满足222136121032a a a a b b -++-+=-+--，求a 2＋b 2的最大值．22．已知a、b、c为正整数，且33a bb c++为有理数，证明222a b ca b c++++为整数．参考答案1．B 2.C 3．A 4．B 5．B 6．D 7．B 8．B 9．C 10．C11．2 12．－215≤s≤14313.5 14.1或－1115. 2014 16.6 17. b＝－1 18. 47－18219．y最大2 y最小0．20．1 221．45．22．略。

第二章实数专题无理数近似值的确定1. 设面积为3的正方形的边长为x，那么关于x的说法正确的是（）A．x是有理数 B．x取0和1之间的实数C．x不存在 D．x取1和2之间的实数2．（1）如图1，小明想剪一块面积为25cm2的正方形纸板，你能帮他求出正方形纸板的边长吗？（2）若小明想将两块边长都为3cm的正方形纸板沿对角线剪开，拼成如图2所示的一个大正方形，你能帮他求出这个大正方形的面积吗？它的边长是整数吗？若不是整数，那么请你估计这个边长的值在哪两个整数之间．3.你能估测一下我们教室的长、宽、高各是多少米吗？你能估测或实际测量一下数学课本的长、宽和厚度吗？请你再估算一下我们的教室能放下多少本数学书？这些数学书可供多少所像我们这样的学校的初一年级学生使用呢？请你对每一个问题给出估测的数据，再把估算的过程结果一一写出来．答案：1．D 【解析】 ∵面积为3的正方形的边长为x ，∴x 2=3，而12=1，22=4，∴1＜x 2＜4，∴1＜x ＜2，故选D.2．解：（1）边长为5cm. （2）设大正方形的边长为x ，∵大正方形的面积=32+32=18，而42=16，52=25，∴16＜x 2＜25，∴4＜x ＜5,故正方形的边长不是整数,它的值在4和5之间.3．解：估算的过程：教室的长、宽、高可以用我们的身高估计出来；数学课本的长、宽和厚度可以用我们的手指估计出来，也可以用直尺测量出来；我们用长宽高相乘估计出教室的容积与课本的体积相除算出能放下多少本数学书，就是能供多少名学生使用，再用本班人数乘一年级班数估计本校一年级人数，然后相处就可以估计出这些数学书可供多少所像我们这样的学校的初一年级学生使用了．估测的数据、估算的结果略.专题一 非负数问题1. 若2(a +与1+b 互为相反数，则a b -的值为（ ）A B1C1-D．1-2．设a，b，c都是实数，且满足（2-a）2，ax2+bx+c=0，求式子x2+2x的算术平方根．3.若实数x，y，z= 14(x+y+z+9)，求xyz的值．专题二探究题4.研究下列算式，你会发现有什么规律？=2=5；…请你找出规律，并用公式表示出来．5.先观察下列等式，再回答下列问题：答案：(a+与|b+1|互为相反数，1．D 【解析】∵2(a++|b+1|=0，∴2a=0且b+1=0，∴+-=1 D.∴a=2，b=﹣1，a b2．解：由题意，得2-a=0，a2+b+c=0，c+8=0．∴a=2，c=-8，b=4．∴2x2+4x-8=0．∴x2+2x=4．∴式子x2+2x的算术平方根为2．3．解：将题中等式移项并将等号两边同乘以4得+9=0，∴+4)=0,∴-2)2-2)2-2)2=0,-2=0-2=0,=2,∴x=4,y-1=4 ,z-2=4,∴x=4,y=5,z=6.∴xyz=120．专题立方根探究性问题专题比较无理数大小2. 观察下列一组等式，然后解答后面的问题：(121++132++143++…+ 120132012+)•( 2013+1). （2）利用上面的规律，试比较1211-与1312-的大小．3. 先填写下表，通过观察后再回答问题．问： （1）被开方数a 的小数点位置移动和它的算术平方根a 的小数点位置移动有无规律？ 若有规律，请写出它的移动规律；（2）已知：a =1800，- 3.24 =-1.8，你能求出a 的值吗？（3）试比较a 与a 的大小．答案：1．D 【解析】 ∵a 2=2000+21003997⨯，b 2=2000+21001999⨯，c 2=4004=2000+2×1002，1003×997=1 000 000-9=999 991，1001×999=1 000 000-1=999 999，10022=1 004 004． ∴c ＞b ＞a ．故选D ．2．解：（1）由上面的解题规律可直接写出111n n n n=+-++， 则(121++132++143++…+ 120132012+)•( 2013+1)=[(2-1)+ (3- 2)+(4-3)+…+(2013-2012)](2013+1)=( 2013-1) ( 2013+1)=2012.（2）∵11211-=1211+，11312-=1312+, 又1211+＜1312+，∴11211-＜11312-， ∴1211-＞1312-. 3．解：依次填:0.001，0.01，0.1，1，10，100，1000．（1）有规律，当被开方数的小数点每向左（或向右）移动2位，算术平方根的小数点向左（或向右）移动1位.（2）观察1.8和1800，小数点向右移动了3位，则a 的值小数点向右移动6位,即a=3240000；（3）当0＜a ＜1时，a ＞a ；当a=1或0时，a =a ；当a ＞1时，a ＜a ．专题 实数与数轴1.如图，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数2的点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴于点A ，则点A 表示的数是（ ）A ．2B ．22C ．12D ．122.如图所示，直线L 表示地图上的一条直线型公路，其中A 、B 两点分别表示公路上第140公里处及第157公里处．若将直尺放在此地图上，使得刻度15，18的位置分别对准A ，B 两点，则此时刻度0的位置对准地图上公路的第（ ）公里处3. 一个等腰直角三角形三角板沿着数轴正方向向前滚动，起始位置如图，顶点C 和A 在数轴上的位置表示的实数为-1和1．那么当顶点C 下一次落在数轴上时，所在的位置表示的实数是___________．4. 如图，已知A 、B 、C 三点分别对应数轴上的数a 、b 、c ．（1）化简：|a-b|+|c-b|+|c-a|；（2）若a=4x y ，b=-z 2，c=-4mn ．且满足x 与y 互为相反数，z 是绝对值最小的负整数，m 、n 互为倒数，试求98a+99b+100c 的值；（3）在（2）的条件下，在数轴上找一点D ，满足D 点表示的整数d 到点A ，C 的距离之和为10，并求出所有这些整数的和．答案：1．B 【解析】 由勾股定理得：正方形的对角线为2，设点A 表示的数为x ，则2-x=2，解得x=2-2．故选B ．2．B 【解析】 根据题意，数轴上刻度15，18的位置分别对准A ，B 两点，而AB 两点间距离157-140=17（公里），即数轴上的3个刻度对应实际17公里的距离.又有数轴上刻度0与15之间有15个刻度，故刻度0的位置对准地图上公路的位置距A 点有15×173=85(公里), 140-85=55,故刻度0的位置对准地图上公路的55公里处.故选B ．3．3+22 【解析】 在直角△ABC 中，AC=CB=2，根据勾股定理可以得到AB=22，则当顶点C下一次落在数轴上时，所在的位置表示的实数是4+22-1=3+22．故答案为：3+22．4．解：（1）由数轴可知：a-b＞0，c-b＜0，c-a＜0，所以原式=（a-b）-（c-b）-（c-a）=a-b-c+b-c+a=2a-2c.（2）由题意可知：x+y=0，z=-1，mn=1，所以a=0，b=-（-1）2=-1，c=-4，∴98a+99b+100c=-99-400=-499.（3）满足条件的D点表示的整数为-7、3，它们的和为-4．专题一与二次根式有关的规律探究题1.将1、2、3、6按如图所示的方式排列.若规定（m，n）表示第m排从左到右第n个数，则（4,2）与（21,2）表示的两数之积是（）A.1B.2C.232. 观察下列各式及其验证过程：322322=+=======． （1）按照上述两个等式及其验证过程，猜想1544+的变形结果并进行验证； （2）针对上述各式反映的规律，写出用a （a 为任意自然数，且2a ≥）表示的等式，并给出验证；（3）针对三次根式及n 次根式（n 为任意自然数，且2n ≥）,有无上述类似的变形，如果有，写出用a （a 为任意自然数，且2a ≥）表示的等式，并给出验证．3. 阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+22=221）（+，善于思考的小明进行了以下探索：设a+b 2=22）（n m +（其中a 、b 、m 、n 均为正整数）,则有a+b 2=m 2+2n 2+2mn 2, ∴a=m 2+2n 2,b=2mn.这样小明就找到了一种把部分a+b 2的式子化为平方式的方法. 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a 、b 、m 、n 均为正整数时，若a +b 3=2)3(n m +,用含m 、n 的式子分别表示a 、b ，得：a = ，b = ；（2）利用所探索的结论，找一组正整数a 、b 、m 、n 填空： +=（ ＋2；（3）若a +43=2)3(n m +，且a 、m 、n 均为正整数，求a 的值.专题二 利用二次根式的性质将代数式化简4. 化简二次根式22a a a 的结果是（ ） A. 2a B. 2a C. 2a D. 2a5.如图，实数a ．b 在数轴上的位置，化简：222)(b a b a -+-．答案：1.D 【解析】 从图示中知道，（4，2）所表示的数是6.∵前20排共有1+2+3+4+…+20=210个数，∴（21，2）表示的是第210+2=212个数.∵这些数字按照1、2、3、6的顺序循环出现，212÷4=53，∴（21，2）表示的数是6.∴（4，2）与（21，2）表示的两数之积是666⨯=.2.解：（14441515+=24644444415151515⨯+===． （22211a a a a a +=--（a 为任意自然数，且2a ≥）． 3322221111a a a a a a a a a a a a -++===---- （3）333311-=-+a a a a a a （a 为任意自然数，且2a ≥）．验证：a === =2a a =2a ．故选 5.解：由图知，a ＜0，b ＞0，∴a ﹣b ＜0，222)(b a b -+-=|a |。

初二第四章. 实数培优卷 济宁学院附属中学李涛1.估算728-的值在A 、7和8之间B 、6和7之间C 、 3和4之间D 、2和3之间2.若10<<x ，则x xx x 、、、12中，最小的数是 A 、x B 、x1 C 、x D 、2x 3.下列各组数中，不能作为一个三角形的三边长的是A 、1、1000、1000B 、2、3、5C 、222543、、 D 、33364278、、 4.若51=+m m ，则mm 1-的平方根是 A 、2± B 、1± C 、1 D 、25. 某位老师在讲“实数”时，画了一个图（如图1），即“以数轴的单位线段为边做一个正方形，然后以O 为圆心，正方形的对角线长为半径画弧交x 轴上于一点A”。

则OA个单位长度，想一想：作这样的图可以说明什么？（ ）A.数轴上的点和有理数一一对应B.数轴上的点和实数一一对应C.D.不能说明什么6a =，则a 的取值范围是( )A . a ＞0B . a ≥0C . a ＜0D . a ≤07、若实数x 满足｜x ｜+x=0，则x 是（ ）A. 零或负数B. 非负数C. 非零实数D.负数． 8. 11的整数部分为3，小数部分为b ，则b 为( )A ．0.3B ．0.32C ．11－3D ．0.3169．计算3332-+-得出结果为（ ） A.1 B.－1 C.325- D.532-10．如图，数轴上表示2C 、B ，点C 是AB 的中点，则点A 表示的数是（ ）．A． B．4 C．2 D211．已知a 、b 为有理数，m 、n 分别表示75-的整数部分和小数部分，且9=+bn amn ，则=+b a ．12．如图，将1，2，3，6按下列方式排列．若规定(m ，n)表示第m 排从左向右第n 个数，则(5，4)与(15，7)表示的两数之积是__________.13.若实数a b ，满足0a b a b +=，则________ab ab=。

第2章实数（单元测试·培优卷）一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．下列实数中，（）是无理数．A ．3.14B C D ．2272．下列式子中是二次根式的是（）A BCD 3．下列运算正确的是（）A =B ．4=CD 2=4）A ．2和3B ．4和5C ．5和6D ．6和75．如果一个比m 小2的数的平方等于2(4)-，那么m 等于（）A ．4-B ．4±C ．2-D ．2-或66．下列二次根式在实数范围内有意义，则x 的取值范围是1x ≥的选项是（）AB C ．2x -D 7．若2m =，则m n-=（）A ．425B ．254C ．254-D ．425-8．化简|2）A ．5B 1C ．2D ．29．若0,0mn m n >+<=（）A ．mB ．-mC ．nD ．-n10．下列说法中，正确的是（）AB ．若)21x ->则x >C3x +与3不一定相等D ．若0a b +<=二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．36的平方根是，的立方根是．12．比较大小：1．13=．14．若两个代数式M 与N 满足1M N ⋅=-，则称这两个代数式为“互为友好因式”“互为友好因式”是．15．如图，在数轴上，1OB =，过O 作直线l OB ⊥于点O ，在直线l 上截取2OA =，且A 在OC 上方．连接AB ，以点B 为圆心，AB 为半径作弧交直线OB 于点C ，则C 点的横坐标为．16．如图，某品牌的计算器上三个按键是并列的按键，是算术平方根按键；是倒数按键；是平方按键．计算器显示屏上现在显示100这个数字，小敏第一下按，第二下按，第三下按，之后以的顺序轮流按，当他共按2023下后，该计算器荧幕显示的数是．17．观察上表中的数据信息：则下列结论： 1.51=；1=；③只有3个正整数a 满足15.215.3<<； 1.510<．其中正确的是．（填写序号）a 1515.115.215.315.4…a 2225228.01231.04234.09237.16…18．仔细观察图，认真分析各式，然后请利用用上述变化规律求出2322221n S S S S +++⋯+的值为．222212OA =+=，12S=222313OA =+=，22S =222414OA =+=，3S =三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）（1）已知27-的立方根是12m -，2是3n -的一个平方根，求m n +的值．（2）若a 、b 、c 是三角形ABC 的三条边长，且222c a b =+，其中25c =，15b =，求a 的值．20．（8分）计算：(1)(2)())(21111-++-．21．（10分）完成下列各小题：（1）已如1,1x y ==-，求22232x xy y ++的值；（2）已知210x -+=，求式子1x x-的值；22．（10分）（1）已知x 1x +=121()x x-的值；（2）已知x ﹣2(x ﹣1)2﹣2(x ﹣1)+1的值．23．（10分）在数学课本36页的阅读材料中，运用反证法说明是一个无理数”，请模仿这种方法，说明阅读材料：“无理数”的由来是一个有理数，a b =，其中a 、b 是整数且a 、b 互素且0b ≠，这时，就有：22a b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，于是222a b =，则a 是2的倍数．再设2a m =，其中m 是整数，就有：222)2(m b =，也就是：222b m =，所以b也是2的倍数，可见a、b不是互素数，与前面所假设的a与b不可能是一个有理数．ab+=（a、b是整数且a、b互素且0b≠），ab=-两边同时平方得：_____________，所以：21ab⎛⎫=-⎪⎝⎭，可得：a bb a=-，=______________，因为：______________，是一个无理数．24．（12分）【阅读材料】小华根据学习“二次根式“及”乘法公式“积累的经验，通过“由特殊到一般”的方法，探究”当00a b>>、与a b+的大小关系”．下面是小单的深究过程：①具体运算，发现规律：当00a b>>、时，特例1：若2a b+=，则2≤；特例2：若3a b+=，则3≤；特例3：若6a b+=，则0≤．②观察、归纳，得出猜想：当00a b>>、时，a b+．③证明猜想：当00a b>>、时，∵20a b =-+≥，∴2a b ab a b +≥≥++，∴a b ≤+．当且仅当a b =时，a b =+．请你利用小华发现的规律解决以下问题：(1)当0x ＞时，1x x+的最小值为(2)当0x ＜时，2x x--的最小值为；(3)当0x ＜时，求226x x x++的最大值．参考答案1．B【分析】无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判断选项．【详解】解：A.3.14是有理数，故A 不符合题意；是无理数，故B 符合题意；2=是有理数，故C 不符合题意；D.227是有理数，故D 不符合题意；故选：B ．【点拨】本题主要考查无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开不尽方的数；以及像0.101001000100001…等有这样规律的数．2．C【分析】利用二次根式的定义进行解答即可．【详解】A 中，当0a <时，不是二次根式，故此选项不符合题意；B1x <-时，不是二次根式，故此选项不符合题意；C ，()210x +≥恒成立，因此该式是二次根式，故此选项符合题意；D20-<，不是二次根式，故此选项不符合题意；故选：C ．0a ≥)的式子叫做二次根式．3．C【分析】根据二次根式的加减法法则，乘除法法则计算并依次判断．【详解】解：A 选项：A 选项不符合题意；B 选项：=B 选项不符合题意；C 选项：原式C 选项符合题意；D 选项：原式=，故D 选项不符合题意．故选：C ．【点拨】此题考查二次根式的运算，掌握二次根式的加减法法则，乘除法法则是解题的关键．4．A【分析】根据469<<<23<<，即可得．【详解】解：∵469<<，<<23<<∴最接近的两个整数是2和3，故选：A ．【点拨】本题考查了运用算术平方根知识对无理数进行估算的能力，关键是能准确理解并运用该知识．5．D【分析】根据题意得出22(2)(4)m -=-，解方程即可．【详解】解：根据题意得：22(2)(4)m -=-，即2(2)16m -=，∴24m -=±，∴2m =-或6，故选：D ．【点拨】本题考查了平方根，根据题意列出方程结合平方根的意义求解是关键．6．B【分析】根据二次根式有意义的条件，A 选项保证被开放式大于等于0，且分母不为0；B 选项保证被开放式大于等于0；C 选项保证被开放式大于等于0，且坟墓不为0；D 选项保证被开放式大于等于0，且分母不为0，求出x 的取值范围即可．【详解】解：A.x 的取值范围是1x >，故此项不符合题意；B.x 的取值范围是1x ≥，故此项符合题意；C.x 的取值范围是1x ≥，且2x ≠，故此项不符合题意；D.x 的取值范围是1x >，故此项不符合题意；故选B ．【点拨】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．7．A【分析】先根据二次根式的意义求出n ，再求出m ，最后根据负整数指数幂的运算法则得到最终解答．【详解】解：由题意可得：2n-5=5-2n=0，∴52n=，m=0+0+2=2，∴n-m=22524 2525-⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选A．【点拨】本题考查二次根式和负整数指数幂的综合应用，熟练掌握二次根式有意义的条件及负整数指数幂的计算方法是解题关键．8．A【分析】先化简各数，再求和即可．【详解】解：|2235-=-故选：A．【点拨】本题考查了立方根和绝对值，掌握相关运算法则是解题的关键．9．B【分析】先由已知条件得到m、n的符号，再根据二次根式的乘除法则化简计算即可．【详解】解：由已知条件可得：m<0，n<0，∴原式=|m|=-m，故选：B．【点拨】本题考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的乘除法是解题关键．10．C【分析】根据二次根式的性质及运算法则计算判断即可．【详解】1-，不是互为倒数，选项错误；B.若)21x>20<，则xC.3x +与3不一定相等，选项正确；D.0a b ≥，结合0a b +<可得0a ≤，0b <=故选：C【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，熟记相关概念是解题是解题的关键．11．6±2-【分析】根据平方根的定义，立方根的定义，开平方运算解答即可．【详解】解：①∵()2636±=，∴36的平方根是6±，故答案为6±；②∵8=-，∴()328-=-，∴8-的立方根为2-，∴2-，故答案为2-．【点拨】本题考查了平方根的定义，开平方运算，立方根的定义，掌握平方根的定义是解题的关键．12．<【分析】可得()11=10<，即可求解．【详解】解：()11=1<10∴<，()10∴<()1∴<，故答案：<．【点拨】本题主要考查了用作差法比较实数的大小，掌握比较的方法是解题的关键．13．0【分析】根据二次根式有意义的条件可得2210,10a a -=-=，进而即可求解．都是二次根式，∴2210,10a a -≥-≥∴2210,10a a -=-=，=0，故答案为：0．【点拨】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．14．2/2【分析】根据“互为友好因式”的概念解答即可．“互为友好因式”为：()112-´-´===-，【点拨】本题考查了定义新运算，二次根式的分母有理化，解题的关键是掌握二次根式的分母有理化的方法．15．11+【分析】根据勾股定理求得AB ，根据题意可得BC AB ==【详解】解：∵l OB ⊥，1OB =，2OA =，在Rt AOB △中，AB ===∴BC AB ==∴1OC OB BC =+=O 为原点，OC 为正方向，则C 点的横坐标为1故答案为：1．【点拨】本题考查了勾股定理与无理数，实数与数轴，熟练掌握勾股定理是解题的关键．16．10【分析】根据题中的按键顺序确定出显示的数的规律，即可得出结论．10=，10.110=，20.10.01=，0.1=，1100.1=，210100=，……，∵202363371=⨯+，∴当他共按2023下后，该计算器荧幕显示的数是10，故答案为：10．【点拨】本题考查了求一个数的算术平方根，倒数，有理数的乘方，找到规律是解题的关键．17．①②③【分析】由表格中的信息：①利用被开方数的小数点与其算术平方根的小数点之间的变化规律解答即可；②利用被开方数的小数点与其算术平方根的小数点之间的变化规律，分别确定被减数和减数的值，再相减即可；③先确定a④【详解】解：①∵15.1222801=，1.51=，故①正确；②∵215.3234.09=，215.2231.04=，1531521=-=，故②正确；③∵15.215.3<，∴231.04234.09a <<，其中整数有：232，233，234共3个，故③正确；④由①1.51=，1.510=，故④错误．综上，正确的是：①②③，故答案为：①②③．【点拨】本题考查无理数的估计，解答时需要从表格中获取信息，运用到无理数大小比较，有理数的运算，整数的概念等，熟练掌握被开方数的小数点与其算术平方根的小数点之间的变化规律是解题的关键．18．()18n n +【分析】由题意得到122124S ⎛== ⎝⎭，222224S ⎛== ⎝⎭，223324S ⎛== ⎝⎭，……，2224n n S ⎛== ⎝⎭，求和即可得到2322221n S S S S +++⋯+的值．【详解】解：由题意知，222212OA =+=，1S =122124S == ⎪⎝⎭，222313OA =+=，22S =，222224S ⎛== ⎝⎭，222414OA =+=，32S =，22334S ==⎝⎭，……222111n OA n +=+=+，2n S =，2224n n S ⎛== ⎝⎭，∴()()23222211112314444428n S S S n S n n n n ++=++++=⨯=+++⋯+⋯，故答案为：()18n n +【点拨】此题考查了勾股定理的规律题，还考查了二次根式的运算，熟练掌握勾股定理和二次根式的运算法则是解题的关键．19．（1）16；（2）20【分析】（1）根据立方根、平方根的意义可得到123m -=-，34n -=，进而得到m 、n 的值，再将m 、n 的值代入m n +即可求得答案；（2）将b 、c 的值代入222c a b =+中即可得到a 的值．【详解】解：（1）27- 的立方根是12m -，2是3n -的一个平方根，123m ∴-=-，34n -=，9m ∴=，7n =，9716m n ∴+=+=．（2）222c a b =+ ，且25c =，15b =，2222515a ∴=+，2400a ∴=，20a ∴=±，a 是三角形ABC 的边长，0a ∴>，20a ∴=．【点拨】本题考查了平方根、立方根，熟练掌握平方根、立方根的意义是解题的关键．20．(1)-(2)21-【分析】（1）根据二次根式的混合运算进行计算即可求解；（2）根据完全平方公式以及平方差公式，零指数幂进行计算即可求解．【详解】（1()2-＝＝-（2）解：())(21111++-＝181211-+-+＝21-【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，零指数幂，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．21．（1）15；（2）±4【分析】（1）利用完全平方公式把原式变形，代入计算得到答案．（2）根据已知等式可得1x x+=【详解】解：（1）∵1,1x y ==-，∴x y +=)111xy ==，∴原式=2（x +y ）2-xy =15．（2）∵210x -+=，∴1x x+=∴(222114416x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴1x x-=±4．【点拨】本题考查的是二次根式的化简求值，一元二次方程的解，掌握二次根式的混合运算法则、完全平方公式是解题的关键．22．（1）（2）(x ﹣2)2，2．【分析】（1）利用完全平方公式222)2(a ab b a b ±+=±推出2211()()4x x x x-=+-，然后整体代入即可；（2）先对原代数式利用完全平方公式2222()a ab b a b -+=-进行化简，然后整体代入求值即可．【详解】（1）∵22211(2x x x x -=+-，22211()2x x x x +=++∴2211()()4x x x x-=+-∵x 1x+=1∴原式=2(14(13)4-=++-=（2）(x ﹣1)2﹣2(x ﹣1)+1=(x ﹣2)2，把x ﹣2=)2=2．【点拨】本题主要考查代数式求值，掌握完全平方公式和整体代入法是解题的关键．23．232ab ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；12a b b a ⎛⎫- ⎪⎝⎭；,a b b a 为有理数，a b b a -盾【分析】仿照题干方法进行证明即可．+是一个有理数．a b +=（a 、b 是整数且a 、b 互素且0b ≠），a b=-两边同时平方得：232a b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以：21a b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，可得：a b b a =-，=12a b b a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为：,a b b a 为有理数，a b b a-为无理数，与前面所设矛盾，是一个无理数．【点拨】本题考查了无理数的证明，能够理解并运用题干的反证法是解题的关键．24．(1)2(2)(3)2-+【分析】（1）直接由题中规律即可完成；（2）当0x <时，200x x->->，，则可由题中规律完成；（3）原式226x x x++变形为62x x ++，由0x <，计算出6()x x ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭的最小值，即可求得6x x +的最大值，则最后可求得原式的最大值．【详解】（1）解：当0x >时，1x x，均为正数，由题中规律得：12x x +≥=，当且仅当1x x=，即1x =时，12x x +=，∴当x ＞0时，1x x +的最小值为2；故答案为：2；（2）解：当0x <时，200x x->->，，由题中规律得：22()x x x x ⎛⎫--=-+-≥= ⎪⎝⎭当且仅当2x x-=-，即x =2x x --=，∴当x ＜0时，2x x--的最小值为故答案为：（3）解：∵2226266622x x x x x x x x x x x x ++⎛⎫=++=++=++ ⎪⎝⎭，∴当0x <时，600x x ->->，，∴6()x x ⎛⎫-+-≥= ⎪⎝⎭，当且仅当6x x -=-，即x =6x x--=，∵6()x x ⎛⎫-+-≥ ⎪⎝⎭，∴6x x +≤-∴622x x++≤-，∴2262x x x++≤-，当且仅当x =226x x x++的最大值为2-+，∴当0x <时，226x x x++的最大值为2-．【点拨】本题考查了求代数式的最大值或最小值问题，读懂题目中的规律是解题的关键，另外特别注意规律中两个字母均为正数，在使用时要注意．。

专题03 4.3实数培优训练班级：___________姓名：___________得分：___________一、选择题1.在−1.414，√2，π，√3，3.212212221…，3.14这些数中，无理数的个数为()A. 5B. 2C. 3D. 4【解析】略【答案】D2.估计√2(√8+1)的值应在()A. 3和4之间B. 4和5之间C. 5和6之间D. 6和7之间【答案】C【解析】估算确定出所求即可．此题考查了估算无理数的大小，弄清估算的方法是解本题的关键．【解答】解：原式=4+√2，∵1<2<4，∴1<√2<2，即5<4+√2<6，故选：C．3.若面积为3的正方形的边长为a，下列两句判断：①a一定是一个无理数；②1.7<a<1.8.下列说法正确是()A. 只有①对B. 只有②对C. ①②都对D. ①②都错【答案】C【解析】此题主要考查了实数的性质，正确掌握实数有关性质是解题关键．直接利用得出正方形的边长，再利用实数的性质分析得出答案．【解答】解：∵面积为3的正方形的边长为a，∴a=√3，故①a一定是一个无理数，正确；②因为√3≈1.732，所以1.7<a<1.8，正确，则说法正确的是①②．故选C．4.下列说法正确的是()①0是绝对值最小的实数②相反数大于本身的数是负数③数轴上原点两侧的数互为相反数④带根号的数是无理数A. ①②③④B. ①②③C. ①③D. ①②【答案】D【解析】依据绝对值、相反数、无理数的概念进行判断即可．本题主要考查的是实数的相关概念，熟练掌握相关知识是解题的关键．【解答】解：①0是绝对值最小的实数，故①正确；②相反数大于本身的数是负数，故②正确；③数轴上原点两侧且到原点距离相等的数互为相反数，故③错误；④带根号的数不一定是无理数，故④错误．故选：D．5.数轴上A，B两点表示的数分别为−1和√5，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数为()A. −2+√5B. −1−√5C. −2−√5D. 1+√5【答案】C【解析】本题主要考查了实数与数轴，数轴上两点之间的距离，同时也利用对称点的性质及利用数形结合思想解决问题．由于A，B两点表示的数分别为−1和√5，先根据对称点可以求出OC的长度，根据C在原点的左侧，进而可求出C的坐标．【解答】解：∵对称的两点到对称中心的距离相等，∴CA=AB=|√5−(−1)|=√5+1，∴OC=OA+AC=1+√5+1=2+√5，∵C点在原点左侧，∴C表示的数为：−2−√5．故选C．6.实数√19−1的整数部分为a，小数部分为b，则3a+2b=()A. 2√19+5B. 2√19+1C. 2√19−1D. 2√19−5【答案】B【解析】本题主要考查了估算无理数的大小，正确得出无理数接近的整数是解题的关键．首先得出√19的取值范围，进而分别得出a，b的值最后得出答案．【解答】解：∵4<√19<5，∴3<√19−1<4，∴a=3，b=√19−1−3=√19−4∴3a+2b=3×3+2(√19−4)=2√19+1故答案为B．二、填空题7.已知√23≈4.80,√230≈15.17，则√0.0023的值约为______．【答案】0.048【解析】由于当被开方数两位两位地移，它的算术平方根相应的向相同方向就一位一位地移，由此即可求解．此题主要考查了算术平方根的性质和无理数的估算，关键是利用了被开方数与其算术平方根之间位数的移动关系．【解答】解：把0.0023向右移动4位，即可得到23，显然只需对4.80向左移动2位得到0.048．故答案为：0.048．8.如图，四边形OABC为长方形，OA=1，则点P表示的数为______．【答案】√10【解析】根据勾股定理即可得到结论．本题考查了实数与数轴，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【解答】解：∵OA =1，OC =3， ∴OB =√32+12=√10， 故点P 表示的数为√10， 故答案为：√10．9. 如图，在一张长方形纸条上画一条数轴．若将此纸条沿虚线处剪开，将中间的一段纸条对折，使其左右两端重合，这样连续对折n 次后，再将其展开，则最左端的折痕与数轴的交点表示的数为___________.(用含n 的代数式表示) 【答案】−3+82n (或−3+12n−3) 【解析】本题考查数轴，探索数式规律问题，关键是理解题意，探索出规律． 由对折一次、对折二次、对折三次⋯得到一般规律即可解答． 【解答】解：∵5−(−3)=8对折1次分成2段，每一小段的长度为82，最左端的折痕与数轴的交点表示的数为−3+82； 对折2次分成4段，每一小段的长度为84，最左端的折痕与数轴的交点表示的数为−3+84=−3+822；对折3次分成23段，每一小段的长度为823，最左端的折痕与数轴的交点表示的数为−3+82；⋯对折n 次以后有2n 条小段，，每一小段的长度为5−(−3)2n=82n ，最左端的折痕与数轴的交点表示的数是−3+82n =−3+12n−3．故答案为：−3+82n (或−3+12n−3).10. 设a ，b 是有理数，且满足等式a 2+3b +b √3=21−5√3，则 a +b = ． 【答案】1或−11 【解析】本题考查的是实数的运算，根据题意得出关于a 、b 的方程组是解答此题的关键，根据题意得出关于a 、b 的方程组，求出a 、b的值即可．【解答】解：∵a 、b 是有理数，且满足等式a 2+3b +b √3=21−5√3，∴{a 2+3b =21b =−5， 解得：{a =±6b =−5，当a =6，b =−5时，a +b =6−5=1； 当a =−6，b =−5时，a +b =−11． 故答案为1或−11．11. 定义新运算“☆”：a ☆b =√ab +1，则2☆(3☆5)=______．【答案】3【解析】先根据新定义求出3☆5，再计算2☆4即可． 本题考查了实数的运算，读懂新定义的运算是解题的关键． 【解答】解：∵3☆5=√3×5+1=√16=4； ∴2☆(3☆5)=2☆4=√2×4+1=3． 故答案为：3．12. 设{x }表示大于x 的最小整数，如{3}=4,{−1.2}=−1,则下列结论中正确的是 .(填写所有正确结论的序号)①{0}=0；②{x}−x的最小值是0；③{x}−x的最大值是1；④存在实数x，使{x}−x=0.5成立．【答案】③④【解析】此题考查了实数的运算，新定义运算，仔细审题，理解{x}表示大于x的最小整数是解答本题的关键，难度一般．根据题意{x}表示大于x的最小整数，结合各项进行判断即可得出答案．【解答】解：①{0}=1，故本项错误；②{x}−x>0，但是取不到0，故本项错误；③{x}−x≤1，即最大值为1，故本项正确；④存在实数x，使{x}−x=0.5成立，例如x=0.5时，故本项正确．故答案为③④．三、解答题13.操作探究：已知在纸面上有一数轴(如图所示)(1)折叠纸面，使表示的点1与−1重合，则−2表示的点与______表示的点重合；(2)折叠纸面，使−1表示的点与3表示的点重合，回答以下问题：①5表示的点与数______表示的点重合；②√3表示的点与数______表示的点重合；③若数轴上A、B两点之间距离为9(A在B的左侧)，且A、B两点经折叠后重合，此时点A表示的数是______、点B表示的数是______(3)已知在数轴上点A表示的数是a，点A移动4个单位，此时点A表示的数和a是互为相反数，求a的值．【答案】2 −32−√3−3.5 5.5【解析】(1)求出表示两个数的点的中点所对应的数，利用方程可以求出在此条件下，任意一个数所对应的数；(2)求出−1表示的点与3表示的点重合时中点表示的数，在利用方程或方程组求出在此条件下，任意一个数所对应的数；(3)分两种情况进行解答，向左移动4个单位，向右移动4个单位，列方程求解即可．考查数轴表示数的意义和方法，数轴上两个数的中点所表示数的计算方法，示解决问题的关键．【解答】解：(1)折叠纸面，使表示的点1与−1重合，折叠点对应的数为−1+12=0，设−2表示的点所对应点表示的数为x，于是有−2+x2=0，解得x=2，故答案为2；(2)折叠纸面，使表示的点−1与3重合，折叠点对应的数为−1+32=1，①设5表示的点所对应点表示的数为y，于是有5+y2=1，解得y=−3，②设√3表示的点所对应点表示的数为z，于是有z+√32=1，解得z=2−√3，③设点A所表示的数为a，点B表示的数为b，由题意得：a+b2=1且b−a=9，解得：a=−3.5，b=5，5，故答案为：−3，2−√3，−3.5，5.5；(3)①A往左移4个单位：(a−4)+a=0.解得：a=2．②A往右移4个单位：(a+4)+a=0，解得：a=−2．答：a的值为2或−2．14.已知A、B在数轴上对应的数分别用a、b表示，且(12ab+100)2+|a−20|=0，P 是数轴上的一个动点。