线性代数习题解答（周3）
说明：1，教材 赵树嫄 线性代数（第四版） 中国人民大学出版社 1997
2，本解答仅供参考；如有错误，望斧正。
习题一（A）
1，（6）
（7）
2，（3）－7
（4）0
4，，或者．
5，．
8,（1）4 （2）7 （3）13
（4） N( n(n-1)…21 )＝（n-1）+(n-2)+…+2+1=
10, 列号为3k42l,故k、l可以选1或5；若k=1,l=5,则N(31425)=3,为负号；故k=1,l=5.
12，（1）不等于零的项为
（2）！
13，（3）
（4）将各列加到第一列，
17，（1）从第二行开始每行加上第一行，得到
.
（2）…
（3）各列之和相等，各行加到第一行…
18，（3）
20，第一行加到各行得到上三角形行列式，
21，各行之和相等，将各列加到第一列并且提出公因式
从第二行开始各行减去第一行得到
22，最后一列分别乘以再分别加到第1，2，…n-1列得到上三角形行列式
23，按第一列展开
24，将第二列加第一列，然后第三列加第二列，….第n列加第n-1列，最后按第一行展开。
.
25，（1）
（2）各行之和相等…
（3）与22题类似…
（4）当时，代入行列式都会使行列式有两行相同，所以它们都是方程的根。
28，
29,其中1，3两行对应成比例，所以为零.
32，从第二行开始每一行乘以（－1）加到上一行然后按第一列展开
33，按第一列展开
34，原方程化为
….
35,
＝0
解得或者
36，（范德蒙行列式）
37，解
40，（3）D=63，D1=63，D2=126， D3=189
（6）D=20，D1=60，D2=-80， D3=-－20，D4=20
42，∵
∴原方程仅有零解。
43，令，
得 或；故当或时原齐次方程组有非零解。
44，原齐次方程组的系数行列式
即当且时原齐次方程组仅有零解。
习题二（A）
2，（1）
（2）
（3）
（4）由(2A—Y)+2(B—Y)=0得 3Y=2（A+B）
∴
3，因为得方程组
解得x＝－5，y＝－6，u＝4，v＝－2
5，（2）
（3） 14
（7）
11，（1）设，则
，得到方程组
解得，
与解得.
.
（2）
（3）设，，
，解得于是.
13．设所有可交换的
矩阵为则，
解得从而.
16，（3）因为，所以.
（4）因为用数学归纳法可以推得
.
（5）因为故可以推出
.
20，
21，.
28，因为，所以为对称矩阵.
因为，所以为对称矩阵.
31, (1)，原矩阵为，其中
；
；
；
（3），记原矩阵为，则有
．
33，
34，（2）因为，所以.
（4）因为，故可逆.，.
（6）因为,故可逆.
,
,.
40, (1).
(2)
(3).
42, 由得到,,
.
44, 两边同乘以.
45, 由得到,于是可逆并且
.
51, 因为,
.
52, .
53, (3),初等行变换得到
(6),.
54, (1)
,
所以 .
(4),
,
.
55, (1),,
.
(2),
,
.
56, ,
.
57, (1) ,秩为2.
(3)
秩为3.
(4)秩为3.
58, 初等行变换得到,因为秩为2必有
, .
59，
当当．
60, ,
因为,所以第二第三两行成比例从而得到
解得,
习题三（A）
1， 用消元法解下列线性方程组
（1）
解
，回代，
，方程组有唯一解：
（2）
解：，
系数矩阵的秩为2，而增广矩阵的秩为3；方程组无解．
（3）
解： （A，ｂ）＝
，得到同解方程组
设，，则得到一般解为
（6）
解：A＝
，得到同解的方程组
， 令，，
得到
2， 确定a,b的值使下列线性方程组有解，并求其解
（2）
解： 方程的系数行列式D=
当且时，,方程有唯一解,
，，
，于是得
当时,方程组为，，方程组有无穷多解，
；
当时，方程组为，其增广矩阵为
（A， b）＝，r(A)=2,r(A，b)=3,方程组无
解．
补充，
解：
①，此时，增广矩阵为
，解为；
②当,有无穷多解，
③当有无穷多解，
④有无穷多解，
3, (1)
(2)
4，（1），
（2）
6，（1）（a）设，
得
化为方程组，
∴
（b）对矩阵进行初等行变换：
可得
（2） ．
9，由题设得到
，∴＝
即，，．
10，（1）矩阵为，可知
；线性相关．
（2）矩阵为，线性无关．
11，由对应向量构成的矩阵的行列式等于
，线性无关．
12，由对应向量构成的矩阵，
∵ ，∴, 线性相关．
13, 证明:令,
整理得到.
因为线性无关, 所以有
, 解得, 从而向量组线性无关.
14，令，
当时，线性无关；当时，线性相关．
16，（1）对矩阵施以初等行变换，得到
，
∴是极大线性无关
组，－
（2）对矩阵施以初等行变换，得到
是极大线性无关组,
17，对施以初等行变换，得到
（1）
，∴ 是极大线性无关组；并且，
（2）
是极大线性无关组；并且，，
20，（1）对系数矩阵进行变换得
得方程组
令, 得．即为基础解系．
(2)
得方程组
．令得到：
再令得到于是基础解系为．
(3)
得到方程组
令得，得到基础解系为．
23，对系数或增广矩阵进行变换得
（1）得方程组
，令得到．
基础解系为，其中c为任意常数．
（2）
得方程组
，
对应的齐次线性方程组为
令，得特解，
再令得，
，得,基础解系为
原方程组的通解为，其中，为任意常数．
(3)，
得到方程组
，特解，基础解系，
于是全部解是．
24,
讨论如下：
（1） 当时，方程组无解；
（2） 当时有唯一解；
（3） 当时有无穷多解：此时方程组为
．基础解系为
，特解为，全部解为
．
25，将增广矩阵化为T阵，得
，可知
当且仅当＝0时方程组有解；一般解为
即（为任意实数）
习题四（A）
1，（1）由得到特征值为．
，，
．
（2）由
＝0，
即，
．
（3）
＝0
特征值为．
以代入得
．
得，
．
(4),
, 得到
,
当,得到基础解系,对应的全部特征向量为
(不全为零),
当时, 解方程组得到基础解系
, 全部特征向量为.
3，由题设，
（1），即的特征值为．
（2）由A可逆，
的特征值为．
（3）
的特征值为．
4，设，
5, 以代入
,得到.
代入
,解得
.
所以其他特征值为.
8，如果A可逆，则存在，并且
∴ ．
??
??
??
??