第五章课后习题及解答
1. 求下列矩阵的特征值和特征向量：
(1) ;1332⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛-- 解：,0731
3
3
2
2=--=--=
-λλλλλA I
2
37
3,237321-=+=
λλ ,00
13
36
37
123712
137
1⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛→→⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=-++- A I λ 所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)371,6(T
-
因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：).0()371,6(11≠-k k T
,00
13
36
37
12371237
12⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛→→⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=---+ A I λ 所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)371,6(T
+
因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：).0()371,6(22≠+k k T
(2) ;211102113⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--
解：2)2)(1(2
11
121
13--==------=-λλλλ
λλ A I
所以，特征值为：11=λ(单根)，22=λ(二重根)
⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=-0001100011111121121 A I λ
所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)1,1,0(T
因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：).0()1,1,0(11≠k k T
⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=-0001000110111221112 A I λ
所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)0,1,1(T
因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：).0()0,1,1(22≠k k T
(3) ;311111002⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-
解：3)2(3
1
111
1
02
-==------=-λλλλλ A I
所以，特征值为：21=λ(三重根)
⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛-→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-0000001111111110001 A I λ
所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)1,0,1(,)0,1,1(T
T -
因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：T
T k k )1,0,1()0,1,1(21-+(21,k k 为不全为零的任 意常数)。
(4) ;1000210032104321
⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛
解：4)1(1
2
1003
2
1
04
321
-=----------=
-λλλλλλA I 所以，特征值为：11=λ(四重根)
⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛------=-00002
000320043201A I λ 所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)0,0,0,1(T
因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：T
k )0,0,0,1(1(01≠k )
(5) ;111122254⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-----
解：3)1(1
1
1
12
22
54
-==--+--=
-λλλλλ A I
所以，特征值为：11=λ(三重根)
⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛-→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-0001101010111322531 A I λ 所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)1,1,1(T
-
因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：T
k )1,1,1(1-(01≠k )
(6) ;020212022⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛----
解：)2)(4)(1(202120
22
+--==--=
-λλλλ
λλλ A I 所以，特征值为：11=λ(单根), 42=λ(单根), 23-=λ(单根),
⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-0001201011202020211 A I λ
所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)2,1,2(T
--
因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：T
k )2,1,2(1--(01≠k )
⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-0002102014202320222 A I λ
所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)1,2,2(T
-
因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：T
k )1,2,2(2-(02≠k )
⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛--→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-0001101022202320243 A I λ
所以，0)(3=-x A I λ的基础解系为：.)2,2,1(T
