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5.某公司一年购买某种货物 400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x = __________ 吨.解析：设该公司一年内总共购买 n 次货物，则n = 400•••总运费与总存储费之和 f(x) = 4n + 4x = 1_600 + 4x ,令f ' (x)= 4 —1 600= 0,解得x x x=20, x =— 20(舍去),x = 20是函数f(x)的最小值点，故当 x = 20时，f(x)最小. 答案：206.一个帐篷，它下部的形状是高为1 m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3 m 的正六棱锥(如图所示)•当帐篷的顶点 O 到底面中心 O i 的距离为 __________ m 时，帐篷的体积最大.解析：设OO i 为x m ,底面正六边形的面积为 S m 2,帐篷的体积为 V m 3.则由题设可得正六棱锥底面边长为心2- (x - 1 丫 =p 8+ 2x -x 2 (m)，于是底面正六边形的面积为 S = 6 X 于(冷8+ 2x — x 2)2= ^2^(8 + 2x — x 2).帐篷的体积为1 3 323 3 2V = 3><宁(8 + 2x — x )(x — 1) + 歹(8 + 2x — x ) =说8 + 2x — x 2)[ x— 1 + 3]=说16 + 12x — x 3),V '="2?(12 — 3x 2).令V ' = 0，解得x = 2或x = — 2(不合题意，舍去).当 1 v x v 2 时，V ' > 0;当 2v x v 4 时，V ' v 0. 所以当x = 2时，V 最大. 答案：2会增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值 正比•已知商品单价降低 2元时，一星期多卖出 24件.(1)将一个星期的商品销售利润表示成 x 的函数；⑵如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？ 解：(1)若商品降彳氐x 元，则一个星期多卖出的商品为kx 2件.7.某产品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件.如果降低价格，销售量将x(单位：元，0W x < 21)的平方成由已知条件，得k 22= 24,解得k= 6.若记一个星期的商品销售利润为f(x)，则有f(x)= (30 —x-9)(432 + 6x2)=-6x3+ 126x2—432x + 9 072, x€ [0,21].2(2)由(1)得,f (x) = - 18x + 252x- 432.令f' (x)= 0，得x= 2 或x = 12.当x变化时，f' (x), f(x)的变化情况如表所示:因为f(0) = 9 072 , f(12) = 11 664, f(21) = 0,所以定价为30 - 12= 18(元)，能使一个星期的商品销售利润最大.8.两县城A和B相距20 km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧AB上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A和城B的总影响度为对城A与对城B的影响度之和•记C点到城A的距离为x km,建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y.统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4;对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k,当垃圾处理厂建在A~B的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065.(1) 将y表示成x的函数f(x)；(2) 讨论(1)中函数的单调性，并判断A B上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响最小？若存在，求出该点到城A的距离；若不存在，说明理由.解：⑴根据题意/ ACB= 90 ° , |AC|= x km , |BC|= 400- x2 km，且建在C处的垃4 k圾处理厂对城A的影响度为P,对城B的影响度为,x 400 —x4 k因此，总影响度y= (0v x v 20).x 400- x ' '又垃圾处理厂建在A~B的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065，故有■ 102+ 102 2十400 - . 102+ 102 2-0.065，4 9解得 k = 9,故 y = f(x)=子+ 400_X 2(0 v x v 20). 818x(2)f (x) =— -3+2~2x400— x18x 4— 8X 400 — x 2 2 =32~2x 400 — x2 2 X 2+ 800 10X 2— 1 600 -- I Q 二 0 0 *x (400— x j *令 f ' (x)= 0，解得 x = 4 10或 x =— 4 10(舍去). 所以当x € (0,4. 10)时，f ' (x)v 0, y 为减函数； 当 x € (4 10, 20)时，f ' (x) >0, y 为增函数.故在x - 4 10处，函数f(x)取得极小值，也是最小值.即垃圾场离城 A 的距离为4.10 m 时，对城A 和城B 的总影响最小.阶段质蚤检测(三)导教及其应用(时间：120分钟 满分：150分)、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分•在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 )1.若 f(x)= sin a — cosx ，则 f ' (x)等于(C . cos a+ sin x解析：选A 函数是关于x 的函数，因此sin a 是一个常数. 2.曲线y = f(x)= x 3— 3x 2 + 1在点(2, — 3)处的切线方程为()A . y =— 3x + 3 C . y =— 3D . x = 2解析：选C 因为y' = f ' (x) = 3x 2— 6x ，则曲线y = x 3— 3x 2 + 1在点(2,— 3)处的切线 的斜率k = f ' (2) = 3X 22 — 6X 2= 0，所以切线方程为 y =— 3.A . sin xB . cosx2sin a+ cosxB . y =— 3x + 1X 2, X 3且 a v X 1<X 2< X 3V b ,贝y f(x)在(a , x“,(X 2,X 3)上递增，在(X 1, X 2) , (X 3, b)上递减，因此，X 1 , X 3是极大值点，只有 X 2是极小值点.3.函数f(x)的定义域为开区间 数f(x)在开区间(a , b)内有极小值点(a , b),导函数f ' (x)在(a , b)内的图象如图所示，则函解析：选A 设极值点依次为X 1,(C . 3个6.函数f(x) = x 3 + ax 2 + 3x - 9,已知f(x)在x =- 3处取得极值，则 a =()A . 2B . 3C . 4D . 5解析：选 D f ' (x)= 3x 2 + 2ax + 3, v f ' (— 3) = 0.2•- 3x (— 3) + 2a x (— 3)+ 3= 0, • a = 5.7•已知物体的运动方程是S(t) = t 2+ $t 的单位：s, S 的单位：m)，则物体在时刻t = 2时的速度v 与加速度a 分别为( )解析：选 A S' (t)= 2t — 11 15• v = S z (2) = 2x 2— 4= — (m/s).令 g(t) = S' (t)= 2t —孑，.・.g ' (t) = 2+ 2t — 3, , 92…a = g (2) = 4 (m/s ).4.函数 A. f(x) = x — In x 的单调递减区间是( 0,舟C. D.「亚2 “1 2x — 1解析：选 A •/ f ' (x) = 2x —1=空 ，当x x0v减区间为0,三2 .35.函数 f(x) = 3x — 4x (x € [0,1])的最大值是(1B. 1解析：选 A f ' (x)= 3— 12x 2,令 f ' (x)= 0, 1 1则 x = — 2(舍去)或 x = 2 f(0)= 0, f(1) = — 1,3一 2=1- 2••• f(x)在［0,1］上的最大值为1.A.15m/s , 9 m/s 24 4畤 m/s ，1 m/s2m/s , 15m/s 2D.4 m/s , 154 m/s 2,f ' (x) w 0，故f(x)的单调递x <解析：选D 由导函数图象可知，当x<0时，函数f(x)递减，排除 A 、B ;当0<x<x 1时，f ' (x)>0，函数f(x)递增.因此，当 x = 0时，f(x)取得极小值，故选 D.19.定义域为 R 的函数f(x)满足f(1) = 1,且f(x)的导函数f ' (x)^1，则满足2f(x)vx + 1 的x 的集合为()A . {x|— 1<x<1}B . {x|x<1} C. {x|x< — 1 或 x>1}D . {x|x>1}1解析：选 B 令 g(x) = 2f(x)— x — 1,v f ' (x)>-, ••• g ' (x) = 2f ' (x)— 1>0,••• g(x)为单调增函数， •/ f(1) = 1,「. g(1) = 2f(1) — 1 — 1 = 0，•当 x<1 时， g(x)<0 ,即卩 2f(x)vx + 1，故选 B.10.某产品的销售收入 y 1(万元)是产量x(千台)的函数：屮=17x 2，生产成本y«万元)是 产量x(千台)的函数：y 2= 2x 3 — x 2(x >0),为使利润最大，应生产( )A . 6千台B . 7千台C . 8千台D . 9千台解析：选A 设利润为y ,则 y = y 1 — y 2= 17x 2— (2x 3— x 2)= 18x 2— 2x 3, y ' = 36x — 6x 2,令 y ' = 0 得 x = 6 或 x = 0(舍), f(x)在(0,6)上是增函数，在(6,+^)上是减函数， x = 6时y 取得最大值.11.若函数f(x)= x 2+ ax + x 在 ||_3， +m 上是增函数，则实数 a 的取值范围是()_ 25]A . [ — 1,0]B 」 D . [9 ,+^ )8.已知函数f(x)的导函数f ' (x)= a(x — b)2+ c 的图象如图所示，则函数解析：选C1f ' (x)= 2x + a —0 在f(x)的图象可能是寺+ a上恒成立，••• f' (x) = 2x + a —寺在1, + 上递增,二 f ' 1 = 3 — 9+ a > 0, • a > 25.故选 C.12.定义在(0,+^ )上的可导函数f(x)满足f ' (x) x v f(x),且f(2) = 0,则上严>0的解 集为()1 3 213•若 f(x)= ^x 3- f (1)x 2+ x + 5,贝V f (1)=2(x)= x 2-2f ' (1)x + 1,令 x = 1,得 f ' (1) = 3.32答案：2A . (0,2)B . (0,2) U (2C . (2 ,+^ )D . ?解析：选A •/也'=Lx• fxv 0,-xx• 在(0 ,+^)上为减函数.又T f(2) = 0,二号=0.• 4> 0的解集为0v x v 2, 故选 A.,+m)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上 ) •-x =4 时，y max^j 4 1= 1 4= 4. 15.已知函数f(x)满足f(x) = f( — x),且当x € n % ■■ 2, 2 时，f (x)= x + sin x ,设 a = f(1), b = f(2), c = f(3)，贝U a , b, c 的大小关系是 解析：f(2) = f( — 2), f(3) = f( n- 3)，因为 f ' (x)= 1+ cosx 》0,故 f(x)在 一 — —上是 2, 2上是增函数，••• n >n- 2>1> n- 3>0 ,• f(— 2)>f(1)>f( — 3),即卩 cvavb. 答案：cvavb4x16 .若函数 f(x) = 2~~.在区间(m,2m + 1)上单调递增，则实数 m 的取值范围是x + 1解析：f ' 14.函数 y = x - x(x > 0)的最大值为解析：y - 1 = 1-，令 y ' = 0 得 x =；即函数f(x)的增区间为(一1,1). 又f(x)在(m,2m + 1)上单调递增,m > — 1,所以 m < 2m + 1,解得—1< m W 0.2m + 1 W 1. 答案：(一1,0]三、解答题(本大题共6小题，共70分•解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤) 17.(本小题满分10分)若函数y = f(x)在x = x o 处取得极大值或极小值，则称X 。
