第1课时用“SSS”判定三角形全等课时目标1.经历探索三角形全等的判定过程,通过减少条件后的图形比较形成几何直观,发展抽象能力.2.通过动手操作理解基本事实:三边分别相等的两个三角形全等,经历验证数学结论的过程,培养抽象概括能力.3.能用尺规作图:作一个角等于已知角;已知三边作三角形,并理解尺规作图的基本原理.学习重点会用“SSS”判定三角形全等.学习难点在探索条件减少的情况下,经历图形比较得到三角形全等的判定方法.课时活动设计问题导入组成三角形的元素有哪些?什么样子的两个三角形是全等三角形?设计意图:从复习上一节课的内容着手,引导学生进一步回顾全等三角形的几何特征.复习回顾结合下图说一说:从数量关系上怎样理解“能够完全重合的两个三角形全等”?设计意图:引导学生从数量关系上刻画全等的特征,为进一步探索全等三角形的判定条件奠定基础.探究新知从三角形全等的概念我们发现,要得到三角形全等需要6个元素对应相等,能不能用较少的边或者角的条件判定三角形全等呢?探究1满足这六个条件中的一个(一边或一角分别相等)或两个(两边,一边一角或两角分别相等),△ABC和△A'B'C'是否全等?根据下面表中给出的△ABC和△A'B'C'边和角的相等条件及对应的图形,判断△ABC和△A'B'C'是否全等,并把结果写在表中.设计意图:给学生探索的空间和时间,充分调动学生探索的热情,让学生经历条件从一个到两个的过程,通过对图形的比较分析两个三角形是否全等,培养学生分类讨论的思想,思维的严谨性,发展几何直观.探究新知探究2满足这六个条件中的三个(三边或三角分别相等),△ABC和△A'B'C'是否全等?问题1:有三个角对应相等的两个三角形是否全等?如图,已知△A'B'C'和△ABC,∠A'=∠A,∠B'=∠B,∠C'=∠C,观察这两个三角形是否全等.解:△A'B'C'和△ABC不全等,即有三个角对应相等的两个三角形不全等.问题2:有三条边对应相等的两个三角形是否全等?先任意画出一个△ABC,再画一个△A'B'C',使A'B'=AB,B'C'=BC,C'A'=CA(即三边分别相等).把画好的△A'B'C'剪下来,放到△ABC上,它们全等吗?学生先独立思考,再相互交流讨论如何画出△A'B'C',教师及时给予指导,最后给出△A'B'C'的画法.如图,画一个△A'B'C',使A'B'=AB,B'C'=BC,C'A'=CA:1.画B'C'=BC;2.以点B'为圆心,AB长为半径画弧,以点C'为圆心,AC长为半径画弧,两弧交点为点A';3.连接A'B',C'A';△A'B'C'即为所求.教师引导学生将画好的△A'B'C'和△ABC进行对比,得出结论:解:△A'B'C'和△ABC全等,即三边分别相等的两个三角形全等.设计意图:先直观猜想三条边分别相等的两个三角形全等,再引导学生经历尺规作图验证猜想,让学生感悟更理性的数学.归纳总结基本事实一:“边边边”判定方法.三边分别相等的两个三角形全等(简记为“边边边”或“SSS”). 几何语言:在△ABC 和△DEF 中,{AB =DE,BC =EF,CA =FD,∴△ABC ≌△DEF (SSS).设计意图:引导学生将操作验证所得到的结论抽象概括出三角形全等的基本事实一,并尝试用几何语言描述基本事实内容,培养学生抽象概括的能力.拓展应用用三边分别相等判定三角形全等的结论,还可以得到一个用直尺和圆规作一个角等于已知角的方法.已知∠AOB ,求作:∠A'O'B',使∠A'O'B'=∠AOB.解:①作射线O'A';②以点O 为圆心,以任意长为半径作弧,交OA 于点C ,交OB 于点D ; ③以点O'为圆心,以OC 长为半径作弧,交O'A'于点C'; ④以点C'圆心,以CD 长为半径作弧,交③中所画弧于点D'; ⑤经过点D'作射线O'B',∠A'O'B'就是所求的角.设计意图:通过拓展延伸,将新知识与旧知识联系起来,得到新方法,体现了知识之间的联系性.典例精讲例1已知:如图,有一个三角形钢架,AB=AC,AD是连接点A与BC中点D的支架.求证:(1)△ABD≌△ACD;(2)∠BAD=∠CAD.证明:(1)∵D是BC的中点,∴BD=DC.在△ABD和△ACD中,∵{AB=AC, BD=CD, AD=AD,∴△ABD≌△ACD(SSS).(2)由(1),得∠BAD=∠CAD.例2如图是一个风筝模型的框架,由DE=DF,EH=FH,就能说明∠DEH=∠DFH.试用你所学的知识说明理由.解:如图,连接DH,在△DEH和△DFH中,{DE =DF,EH =FH,DH =DH,∴△DEH ≌△DFH (SSS). ∴∠DEH =∠DFH.例3 已知:如图,点A ,D ,B ,F 在一条直线上,AC =FE ,BC =DE ,AD =FB. 求证:△ABC ≌△FDE.证明:∵AD =FB ,∴AD +DB =FB +DB ,即AB =FD. 在△ABC 与△FDE 中,{AC =FE,AB =FD,BC =DE,∴△ABC ≌△FDE (SSS).设计意图:设置有层次的例题,让学生在动手解决问题的过程中理解全等三角形判定的基本事实一,培养学生的应用意识.巩固训练1.已知:如图,AB =AD ,CB =CD.求证:△ABC ≌△ADC.证明:在△ABC 和△ADC 中,{AB =AD,CB =CD,AC =AC,∴△ABC ≌△ADC (SSS).2.如图,点B ,E ,C ,F 在一条直线上,AB =DE ,AC =DF ,BE =CF.求证:∠A =∠D.证明:∵BE =CF ,∴BE +EC =CF +EC ,即BC =EF. 在△ABC 和△DEF 中,{AB =DE,BC =EF,AC =DF,∴△ABC ≌△DEF (SSS). ∴∠A =∠D.设计意图:通过对具体问题的解决,进一步提高学生解决问题的能力,发展推理能力.课堂小结基本事实一:“边边边”判定方法:三边分别相等的两个三角形全等(简记为“边边边”或“SSS”). 符号语言:在△ABC 和△A'B'C'中,{AB =A'B',BC =B'C',AC =A'C',∴△ABC ≌△A'B'C'(SSS).设计意图:通过对本节课知识的总结归纳,加深学生对全等三角形的“边边边”判定方法的理解和掌握,培养学生归纳总结的能力.课堂8分钟.1.教材第37页练习第1,2题.2.作业.第1课时 用“SSS”判定三角形全等全等三角形的判定(SSS){基本事实:三边分别相等的两个三角形全等应用{证明两个三角形全等作一个角等于已知角教学反思第2课时 用“SAS”判定三角形全等课时目标1.经历作图过程,理解基本事实:两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等,体会数学的逻辑性,培养抽象概括能力.2.通过动手操作,理解两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等,体会图形的比较,发展几何直观. 学习重点会用“SAS”判定三角形全等. 学习难点理解“两边和其中一边的对角对应相等”不能判定三角形全等. 课时活动设计情境引入如图,三角形的一边被墨迹污染了,小明想画一个与原来完全一样的三角形,他该怎么办呢?请你帮助小明想一个办法,并说明你的理由.问题:三角形有六个要素,我们从这个残损的图形中能得到几个呢?设计意图:通过残损图形引起学生的兴趣,使学生无法确定三角形的三边,引导学生观察分析,继而引导学生分析“SAS”是否能确定唯一的三角形,为学习新课作铺垫.探究新知先任意画出一个△ABC,再画出一个△A'B'C',使A'B'=AB,A'C'=AC,∠A'=∠A(即使两边和它们的夹角分别相等).把画好的△A'B'C'剪下,放到△ABC上,它们全等吗?学生先独立思考,再互相交流讨论如何画出△A'B'C',教师及时给予指导,最后给出△A'B'C'的画法.如图,画一个△A'B'C',使A'B'=AB,A'C'=AC,∠A'=∠A:1.画∠DA'E=∠A;2.在射线A'D上截取A'B'=AB,在射线A'E上截取A'C'=AC;3.连接B'C'.△A'B'C'即为所求.教师引导学生将画好的△A'B'C'和△ABC进行对比,得出结论.解:△A'B'C'和△ABC全等,即两边及它们的夹角分别相等的两个三角形全等.设计意图:先直观猜想两条边及夹角对应相等的两个三角形全等,再引导学生经历尺规作图验证猜想,让学生感悟更理性的数学.归纳总结基本事实二:“边角边”判定方法.两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(简记为“边角边”或“SAS”).符号语言:在△ABC 和△A'B'C'中,{AB =A'B',∠A =∠A',AC =A'C',∴△ABC ≌△A'B'C'(SAS).设计意图:引导学生将操作验证所得到的结论抽象概括出三角形全等的基本事实二,并尝试用几何语言描述基本事实内容,培养学生抽象概括能力.典例精讲例1 如图,有一池塘,要测池塘两端A ,B 的距离,可先在平地上取一个点C ,从点C 不经过池塘可以直接到达点A 和B.连接AC 并延长到点D ,使CD =CA.连接BC 并延长到点E ,使CE =CB.连接DE ,那么量出DE 的长就是A ,B 的距离.为什么?证明:在△ACB 与△DCE 中,{CA =CD,∠1=∠2,CB =CE,∴△ACB ≌△DCE (SAS).∴AB =DE. 即DE 的长就是A ,B 的距离.例2 如图,把一长一短的两根木棍的一端固定在一起,摆出△ABC.固定住长木棍,转动短木棍,得到△ABD.这个实验说明了什么?解:图中的△ABC 与△ABD 满足两边和其中一边的对角分别相等,即AB =AB ,AC =AD ,∠B =∠B ,但△ABC 与△ABD 不全等.这说明,有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等.设计意图:通过对实际问题的解决,给学生探索的空间和时间,让学生经历直观感知,在熟练应用全等三角形“边角边”判定方法的基础上,理解两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等,发展学生的几何直观,培养理性精神和抽象概括能力.巩固训练1.下列条件中,不能证明△ABC≌△DEF的是(C)A.AB=DE,∠B=∠E,BC=EFB.AB=DE,∠A=∠D,AC=DFC.BC=EF,∠B=∠E,AC=DFD.BC=EF,∠C=∠F,AC=DF追问画一画:请画出满足C选项的两个不全等的三角形.解:如图所示.2.已知:如图,BC∥EF,BC=BE,AB=FB,∠1=∠2,若∠1=60°,求∠C的度数.解:∵∠1=∠2,∴∠1+∠ABE=∠2+∠ABE,即∠ABC=∠FBE.在△ABC和△FBE中,{BC=BE,∠ABC=∠FBE, AB=FB,∴△ABC≌△FBE(SAS).∴∠C=∠BEF.∵EF∥BC,∴∠BEF=∠1=60°, ∴∠C=60°.设计意图:通过对具体问题的解决,特别是再次经历画一画的过程,让学生加深对两边及夹角与两边及其中一边对角与两三角形全等的关系的理解.而第2题,在旋转的背景下应用基本事实二对三角形全等进行证明,并应用全等三角形的性质得到角的大小,使学生在知识的综合应用过程中加深对全等的理解,进一步培养学生的几何直观与应用意识.课堂小结基本事实二“边角边”判定方法:两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(简记为“边角边”或“SAS”).符号语言:在△ABC和△A'B'C'中,{AB=A'B',∠A=∠A', AC=A'C',∴△ABC≌△A'B'C'(SAS).设计意图:通过对本节课知识的总结归纳,加深学生对全等三角形的“边角边”判定方法的理解和掌握,培养学生归纳总结的能力.课堂8分钟.1.教材第39页练习第1,2题,第43,44页习题12.2第2,10题.2.作业.教学反思第3课时用“ASA”或“AAS”判定三角形全等课时目标1.经历作图过程,理解基本事实:两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等,体会数学的逻辑性,培养抽象概括能力.2.经历用“角角边”判定两三角形全等的证明过程,发展推理能力.学习重点会用“ASA”“AAS”判定三角形全等.学习难点选择恰当的方法判定两个三角形全等.课时活动设计复习回顾判定三角形全等的方法:设计意图:通过复习,体现数学的逻辑关系,让学生感悟知识间的联系,为新知识的探索奠定基础.探究新知先任意画出一个△ABC,再画一个△A'B'C',使A'B'=AB,∠A'=∠A,∠B'=∠B(即两角和它们的夹边分别相等).把画好的△A'B'C'剪下,放到△ABC上,它们全等吗?学生先独立思考,再互相交流讨论如何画出△A'B'C',教师及时给予指导,最后给出△A'B'C'的画法.如图,画一个△A'B'C',使A'B'=AB,∠A'=∠A,∠B'=∠B:1.画A'B'=AB;2.在A'B'的同旁画∠DA'B'=∠A,∠EB'A'=∠B,A'D,B'E交于点C'.△A'B'C'即为所求.教师引导学生将画好的△A'B'C'和△ABC进行对比,得出结论.解:△A'B'C'和△ABC全等,即两角及它们的夹边分别相等的两个三角形全等.设计意图:先直观猜想两角及它们的夹边分别相等的两个三角形全等,再引导学生经历尺规作图验证猜想,让学生感悟更理性的数学.归纳总结基本事实三:两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(可简记为“角边角”或“ASA”).符号语言:在△ABC和△A'B'C'中,{∠A=∠A', AB=A'B',∠B=∠B',∴△ABC≌△A'B'C'(ASA).设计意图:引导学生将操作验证所得到的结论抽象概括出三角形全等的基本事实三,并尝试用几何语言描述基本事实三的内容,培养学生抽象概括的能力.典例精讲例如图,小明不慎将一块三角形玻璃打碎为三块,他只带其中的一块碎片到商店去,就可以配一块与原来一样的三角形玻璃吗?如果可以,带哪块去合适?你能说明其中的理由吗?解:可以.带1号去.理由:如图,1号有完整的两角与夹边,根据“ASA”可以作出与原三角形全等的三角形.设计意图:设计有生活情境的数学问题,通过解决实际问题,激发学生的兴趣.探究新知已知:如图,在△ABC和△A'B'C'中,∠A=∠A',∠B=∠B',BC=B'C'.求证:△ABC≌△A'B'C'.证明:在△ABC中,∠A+∠B+∠C=180°,∴∠C=180°-∠A-∠B.同理∠C'=180°-∠A'-∠B'.又∵∠A=∠A',∠B=∠B',∴∠C=C'.在△ABC和△A'B'C'中,{∠B=∠B', BC=B'C',∠C=∠C',∴△ABC≌△A'B'C'(ASA).设计意图:通过对具体问题的解决,基于“ASA”的基本事实推理得出“AAS”,提高学生解决问题的能力,发展推理能力.归纳总结判定定理:两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(简记为“角角边”或“AAS”).几何语言:在△ABC 和△A'B'C'中,{∠A =∠A',∠C =∠C',CB =C'B',∴△ABC ≌△A'B'C'(AAS).设计意图:培养学生概括总结的能力,有利于进一步巩固新知识.拓展应用1.已知:如图,点D 在AB 上,点E 在AC 上,AB =AC ,∠B =∠C.求证:AD =AE.证明:在△ABE 与△ACD 中,{∠A =∠A,AB =AC,∠B =∠C,∴△ABE ≌△ACD (ASA). ∴AD =AE.2.已知:如图,在△ABC 中,∠BAC =90°,AB =AC ,直线m 经过点A ,BD ⊥直线m ,CE ⊥直线m ,垂足分别为D ,E.(1)求证:△BDA ≌△AEC.(2)线段BD ,CE ,DE 有怎样的数量关系?请说明理由.(1)证明:∵BD ⊥直线m ,CE ⊥直线m , ∴∠BDA =∠CEA =90°.∵∠BAC =90°,∴∠BAD +∠CAE =90°.∵∠BAD+∠ABD=90°, ∴∠CAE=∠ABD.在△BDA和△AEC中,{∠ABD=∠CAE,∠ADB=∠CEA, AB=AC,∴△BDA≌△AEC(AAS).(2)解:DE=BD+CE.理由:∵△BDA≌△AEC,∴AE=BD,AD=CE.∴DE=AE+AD=BD+CE.设计意图:学生归纳得到全等三角形的判定定理后,通过解决具体问题加深对定理的应用和理解,同时对全等的模型有一个初步的认识,发展学生的几何直观.课堂小结1.基本事实三:两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(可简记为“角边角”或“ASA”).几何语言:在△ABC和△A'B'C'中,{∠A=∠A', AB=A'B',∠B=∠B',∴△ABC≌△A'B'C'(ASA).2.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(简记为“角角边”或“AAS”).几何语言:在△ABC和△A'B'C'中,{∠A=∠A',∠C=∠C', CB=C'B',∴△ABC≌△A'B'C'(AAS).设计意图:通过对本节课知识的总结归纳,加深学生对全等三角形的“角边角”以及“角角边”判定方法的理解和掌握,培养学生归纳总结的能力.课堂8分钟.1.教材第44,45页习题12.2第5,6,11,12题.2.作业.教学反思第4课时用“HL”判定直角三角形全等课时目标1.经历探索直角三角形全等的判定方法的过程,感悟具有传递性的数学逻辑,发展几何直观.2.应用恰当的方法判定两直角三角形全等.学习重点会用“HL”判定直角三角形全等.学习难点探索直角三角形全等的判定方法.课时活动设计复习回顾引导学生思考,判定三角形全等的方法有哪些?两边和其中一边的对角相等设计意图:通过复习,体现数学的逻辑关系,让学生感悟知识间的联系,为新知识的探索奠定基础.问题导入已知Rt△ABC和Rt△A'B'C',BC=B'C',补充条件后Rt△ABC≌Rt△A'B'C',依据是.追问:若补充条件AB=A'B',两个直角三角形是否全等?请作图验证.设计意图:创设开放性的问题,培养学生思维的发散性,通过追问,引发学生思考斜边与直角边对应相等的两个直角三角形是否全等.探究新知先任意画一个Rt△ABC,使∠C=90°,再画一个Rt△A'B'C',使∠C'=90°,B'C'=BC,A'B'=AB,然后把画好的Rt△A'B'C'剪下来放到Rt△ABC上,它们全等吗?学生先独立思考,再互相交流讨论如何画出△A'B'C',教师及时给予指导,最后给出△A'B'C'的画法.如图,画一个Rt △A'B'C',使∠C'=90°,B'C'=BC ,A'B'=AB : 1.画∠MC'N =90°;2.在射线C'M 上取B'C'=BC ;3.以点B'为圆心,AB 长为半径画弧,交射线C'N 于点A';4.连接A'B'. Rt △A'B'C'即为所求.教师引导学生将画好的Rt △A'B'C'和Rt △ABC 进行对比,得出结论. 解:Rt △A'B'C'和Rt △ABC 全等,即斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.设计意图:先直观猜想斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等,再引导学生经历尺规作图验证猜想,让学生感悟更理性的数学.重复性的动手操作,让学生感悟全等探索的一致性与合理性.归纳总结基本事实四:斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“HL”).几何语言:在Rt △ABC 和Rt △A'B'C'中,{AB =A'B',BC =B'C',∴Rt △ABC ≌Rt △A'B'C'(HL).设计意图:引导学生将操作验证所得到的结论抽象概括出直角三角形全等的基本事实四,并尝试用几何语言描述基本事实四的内容,培养学生抽象概括的能力.典例精讲例1 如图,C 是路段AB 的中点,两人从点C 同时出发,以相同的速度分别沿两条直线行走,并同时到达D ,E 两地.DA ⊥AB ,EB ⊥AB.D ,E 与路段AB 的距离相等吗?为什么?解:D ,E 与路段AB 的距离相等. 理由:∵C 是路段AB 的中点, ∴AC =CB.∵两人从点C 同时出发,以相同的速度分别沿两条直线行走,并同时到达D ,E 两地,∴DC =EC.∵DA ⊥AB ,EB ⊥AB , ∴∠A =∠B =90°.在Rt △ACD 和Rt △BCE 中,{AC =CB,CD =CE,∴Rt △ACD ≌Rt △BCE (HL). ∴AD =BE.例2 已知:如图,AB =CD ,AE ⊥BC ,DF ⊥BC ,垂足分别为E ,F ,CE =BF.求证:AE =DF.证明:∵AE ⊥BC ,DF ⊥BC , ∴∠DFC =∠AEB =90°. 又∵CE =BF ,∴CE -EF =BF -EF ,即CF =BE. 在Rt △DFC 和Rt △AEB 中,{CF =BE,DC =AB,∴Rt △DFC ≌Rt △AEB (HL). ∴AE =DF.设计意图:通过例题的讲解,让学生更加深刻地理解全等直角三角形“HL”的判定方法,培养学生的应用意识.巩固训练1.已知:如图,AC ⊥BC ,BD ⊥AD ,AC =BD.求证:BC =AD.证明:∵AC ⊥BC ,BD ⊥AD , ∴∠C =∠D =90°.在Rt △ABC 和Rt △BAD 中, ∵{AB =BA,AC =BD,∴Rt △ABC ≌Rt △BAD (HL). ∴BC =AD.2. 已知:如图,AC ,BD 相交于点E ,AC ⊥BC ,BD ⊥AD ,垂足分别为C ,D ,AD =BC.求证:AC =BD.解:如图,连接线段AB. 证明:∵AC ⊥BC ,BD ⊥AD , ∴∠D =∠C =90°.在Rt △ADB 和Rt △BCA 中,{AB =BA,AD =BC,∴Rt △ADB ≌Rt △BCA (HL).∴AC =BD.3.已知:如图,在△ABC 中,AB =CB ,∠ABC =90°,F 为AB 延长线上一点,点E 在BC 上,且AE =CF.求证:Rt △ABE ≌Rt △CBF.证明:∵∠ABC =90°,∴在Rt △ABE 和Rt △CBF 中,{AE =CF,AB =CB,∴Rt △ABE ≌Rt △CBF (HL).设计意图:通过设计有层次的问题,提高学生对定理的应用和理解,培养学生的应用意识,发展学生的几何直观,提升学生的几何思维能力.课堂小结直角三角形全等的判定方法:斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“HL”).符号语言:在Rt △ABC 和Rt △A'B'C'中,{AB =A'B',BC =B'C',∴Rt △ABC ≌Rt △A'B'C'(HL).设计意图:通过对本节课知识的总结归纳,加深学生对全等直角三角形“斜边、直角边”的判定方法的理解和掌握,培养学生归纳总结的能力.课堂8分钟.1.教材第44页习题12.2第7,8题. 2.作业.教学反思。
