高二数学12月月考试题

2023-2024学年第一学期高二质量监测数学（答案在最后）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：人教A 版必修第一册至选择性必修第一册第三章3.1．一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合{}{}2,4,1,3,4A B =-=-，则A B ⋃=（）A.{}4 B.{}2,1-- C.{}2,1,3-- D.{}2,1,3,4--2.在空间直角坐标系中，点B 是点()2,1,5A -在坐标平面Oyz 内的射影，则B 的坐标为（）A.()0,1,5- B.()2,0,5- C.()2,1,0 D.()2,1,5--3.直线270y --=的倾斜角为（）A.150B.30C.120D.604.若()()275f x x a x =+--为偶函数，则=a （）A.0B.5C.7D.95.已知椭圆22:1131x y M m +=-，则m 的取值范围为（）A.()1,+∞ B.()()1,1414∞⋃+ C.()0,∞+ D.()()1,1313∞⋃+6.已知直线0x y -=与圆22:(2)6M x y +-=交于,A B 两点，则AB =（）A.1 B.2 C.4D.7.有编号互不相同的五个砝码，其中3克、1克的砝码各两个，2克的砝码一个，从中随机选取两个砝码，则这两个砝码的总重量超过4克的概率为（）A.310B.15C.25D.128.已知椭圆22:153x y M +=，过点()1,P m ，斜率为35的直线l 与M 交于,A B 两点，且P 为AB 的中点，则m =（）A.1B.1- C.12D.12-二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知1F ，2F 分别是椭圆22:186y x M +=的上、下焦点，点P 在椭圆M 上，则（）A.M 的长轴长为B.M 的短轴长为C.1F 的坐标为()D.2PF 10.已知向量(),,2a m n =，()2,2,1b =- ，则下列结论正确的是（）A .若a b，则4,4m n ==- B.若a b，则4,4m n =-=C.若a b ⊥，则10-+=m n D.若a b ⊥，则10n m -+=11.若函数()πsin 28f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移π8个单位长度后得到函数()g x 的图象，则（）A.()g x 的最小正周期为πB.()g x 是奇函数C.()g x 的图象关于直线3π16x =对称D.()g x 在π0,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增12.在如图所示的直角坐标系中，五个大小相同的圆环排成两排从左到右环环相扣，若每个圆环的大圆半径为1.2，小圆半径为1，其中圆心135,,O O O 在x 轴上，且15O O 24O O ，133524 2.6O O O O O O ===，圆2O 与圆4O 关于y 轴对称，直线1524,O O O O 之间的距离为1.1，则给出的结论中正确的是（）A.设,M N 是图中五个圆环组成的图形上任意的两点，则,M N 两点间的距离的最大值为7.6B.小圆2O 的标准方程为22( 1.3)( 1.1)1x y +++=C.图中五个圆环覆盖的区域的面积为2.2πD.小圆1O 与小圆2O 的公共弦所在的直线方程为1301101930x y -+=三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.()i 59i +的虚部为__________．14.已知方程2222660x y x y m ++-++=表示一个圆，则m 的取值范围为__________，该圆的半径的最大值为__________．15.已知正方体的外接球的体积为92π，则该正方体的棱长为__________．16.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左､右焦点分别为12,F F ，其离心率12e =，P 和M 是椭圆C 上的点，且1260F PF ∠=，12F PF △的面积为3，O 是坐标原点，则1MF MO ⋅的最小值为__________．四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤．17.已知直线l 经过点(2,4)A --．（1）若l 经过点(1,1)B -，求l 的斜截式方程；（2）若l 在x 轴上的截距为4-，求l 在y 轴上的截距．18.已知圆M 的圆心的坐标为()1,2-，且经过点()2,1．（1）求圆M 的标准方程；（2）若P 为圆M 上的一个动点，求点P 到直线3150x y +-=的距离的最小值．19.已知,A B 分别是椭圆222:1(0)4y xM m m+=>的左顶点､上顶点，且5AB =（1）求点,A B 的坐标；（2）若直线l 与AB 平行，且l 与M 相切，求l 的一般式方程．20.如图，在直三柱111A B C ABC -中，1,2,4,6AC AB AC AB AA ⊥===，,E F 分别为1CA ，AB 的中点．（1）若11111EF xB B yB C zB A =++，求,,x y z 的值；（2）求1B C 与平面AEF 所成角的正弦值．21.已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且πsin cos cos 4A b A B ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．（1）求B ；（2）若b =，求ABC 面积的最大值．22.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左､右焦点分别为()()121,0,1,0F F -，其离心率为33，M 是E上的一点．（1）求椭圆E 的方程；（2）过右焦点2F 的直线l 与椭圆E 交于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线交直线l 于点P ，交直线2x =-于点Q ，求PQ AB的最小值．2023-2024学年第一学期高二质量监测数学注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：人教A 版必修第一册至选择性必修第一册第三章3.1．一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合{}{}2,4,1,3,4A B =-=-，则A B ⋃=（）A.{}4 B.{}2,1-- C.{}2,1,3-- D.{}2,1,3,4--【答案】D 【解析】【分析】由并集的定义求解.【详解】集合{}{}2,4,1,3,4A B =-=-，则{}2,1,3,4A B ⋃=--．故选：D2.在空间直角坐标系中，点B 是点()2,1,5A -在坐标平面Oyz 内的射影，则B 的坐标为（）A.()0,1,5- B.()2,0,5- C.()2,1,0 D.()2,1,5--【答案】A 【解析】【分析】根据已知条件可得出点B 的坐标.【详解】在空间直角坐标系中，点B 是点()2,1,5A -在坐标平面Oyz 内的射影，则点B 的坐标为()0,1,5-.故选：A.3.直线270y --=的倾斜角为（）A.150B.30C.120D.60【答案】D 【解析】【分析】设直线的倾斜角为α，根据题意，得到tan α=，即可求解.【详解】由题意，该直线270y --=的斜率为k =设直线270y --=的倾斜角为α，可得tan α=，因为0180α≤< ，所以所求的倾斜角为60α= ．故选：D.4.若()()275f x x a x =+--为偶函数，则=a （）A.0 B.5C.7D.9【答案】C 【解析】【分析】求出()f x -的表达式，根据偶函数定义即可求出a 的值.【详解】由题意，()()275f x x a x =+--为偶函数，∴()()()()227575f x x a x x a x -=-----=--，()()=f x f x -，∴()77a a -=--，解得：7a =，故选：C.5.已知椭圆22:1131x y M m +=-，则m 的取值范围为（）A.()1,+∞ B.()()1,1414∞⋃+ C.()0,∞+ D.()()1,1313∞⋃+【答案】B 【解析】【分析】根据题意，由椭圆的标准方程，列出不等式代入计算，即可得到结果.【详解】由题意得10,113,m m ->⎧⎨-≠⎩得1m >且14m ≠．故选：B6.已知直线0x y -=与圆22:(2)6M x y +-=交于,A B 两点，则AB =（）A.1 B.2C.4D.【答案】C 【解析】【分析】根据题意圆心M 为(0,2)，半径r =，圆心M (0,2)到直线0x y -=，利用垂径定理即可求得弦长.【详解】圆心M (0,2)到直线0x y -==又圆的半径r =4AB ==．故选：C7.有编号互不相同的五个砝码，其中3克、1克的砝码各两个，2克的砝码一个，从中随机选取两个砝码，则这两个砝码的总重量超过4克的概率为（）A.310B.15 C.25D.12【答案】A 【解析】【分析】用列举法列举出样本空间，结合古典概型概率计算公式即可求解.【详解】记3克的砝码为1A ，2A ，1克的砝码为1C ，2C ，2克的砝码为B ，从中随机选取两个砝码，样本空间()()()()()()()()()(){}1211112221221212,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A A A B A C A C A B A C A C B C B C C C Ω=，共有10个样本点，其中事件“这两个砝码的总重量超过4克”包含3个样本点，故所求的概率为310．故选：A.8.已知椭圆22:153x y M +=，过点()1,P m ，斜率为35的直线l 与M 交于,A B 两点，且P 为AB 的中点，则m =（）A.1B.1- C.12D.12-【答案】B 【解析】【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，因为()1,P m 为,A B 的中点，可得12122,2x x y y m +=+=，代入椭圆的方程，两式相减，得出关于m 的方程，即可求解.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，因为()1,P m 为,A B 的中点，可得12122,2x x y y m+=+=又由22112222153153x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得()()()()22221212121212125353x x x x y y y y x x y y -+-+--+=+()()121222053x x m y y --=+=，则()()1212113053535m y y m x x -+=+⨯=-，得1m =-．故选：B.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知1F ，2F 分别是椭圆22:186y x M +=的上、下焦点，点P 在椭圆M 上，则（）A.M的长轴长为 B.M的短轴长为C.1F的坐标为()D.2PF【答案】ABD 【解析】【分析】根据题意，结合椭圆的几何性质，即可求解.【详解】由椭圆22:186y x M +=，可得a =，b，则c ==，所以，椭圆M的长轴长为M的短轴长为1F的坐标为(，根据椭圆的几何性质，得到2PF的最小值为a c -=故选：ABD.10.已知向量(),,2a m n =，()2,2,1b =- ，则下列结论正确的是（）A.若ab，则4,4m n ==- B.若ab，则4,4m n =-=C.若a b ⊥，则10-+=m n D.若a b ⊥，则10n m -+=【答案】AC 【解析】【分析】根据向量平行的坐标表示计算得出,m n 的值判断A ，B ；根据向量垂直的坐标表示计算得出,m n 的关系判断C ，D.【详解】若a b，则2221m n ==-，得4,4m n ==-，故A 正确，B 错误；若a b ⊥ ，则2220a b m n ⋅=-+= ，即10-+=m n ，故C 正确，D 错误；故选：AC.11.若函数()πsin 28f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移π8个单位长度后得到函数()g x 的图象，则（）A.()g x 的最小正周期为πB.()g x 是奇函数C.()g x 的图象关于直线3π16x =对称D.()g x 在π0,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增【答案】ACD 【解析】【分析】根据题意，利用三角函数的图象变换，求得()πsin 28g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，结合三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，可得()πππsin 2sin 2888g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，则()g x 的最小正周期为π，且()g x 不是奇函数，所以A 正确，B 不正确；当3π16x =时，可得()3πππsin(2sin 11682g x =⨯+==，所以()g x 的图象关于直线3π16x =对称，所以C 正确；由π0,8x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得ππ3π2,888x ⎡⎤+∈⎢⎣⎦，所以()g x 在π0,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以D 正确．故选：ACD.12.在如图所示的直角坐标系中，五个大小相同的圆环排成两排从左到右环环相扣，若每个圆环的大圆半径为1.2，小圆半径为1，其中圆心135,,O O O 在x 轴上，且15O O 24O O ，133524 2.6O O O O O O ===，圆2O 与圆4O 关于y 轴对称，直线1524,O O O O 之间的距离为1.1，则给出的结论中正确的是（）A.设,M N 是图中五个圆环组成的图形上任意的两点，则,M N 两点间的距离的最大值为7.6B.小圆2O 的标准方程为22( 1.3)( 1.1)1x y +++=C.图中五个圆环覆盖的区域的面积为2.2πD.小圆1O 与小圆2O 的公共弦所在的直线方程为1301101930x y -+=【答案】ABD 【解析】【分析】根据五圆的位置，求,M N 两点间的距离的最大值判断选项A ；由圆心坐标和半径求小圆2O 的标准方程判断选项B ；求每个圆环的面积判断选项C ；作差法求两圆公共弦所在的直线方程判断选项D.【详解】设每个大圆的半径为R ，每个小圆的半径为r ．因为152 2.6 5.2O O =⨯=，所以M ，N 两点间距离的最大值应为2.622 5.22 1.27.6R ⨯+=+⨯=，A 选项正确．依题意可得小圆2O 的圆心为()1.3, 1.1--，半径1r =，所以小圆2O 的标准方程为22( 1.3)( 1.1)x y +++=1，B 选项正确．因为每个圆环的面积为()22π0.44πR r-=，即0.44π5 2.2π⨯=，而五个圆环有重合的部分，所以图中五个圆环覆盖的区域的面积小于2.2π，C 选项错误．又小圆1O 的方程为22( 2.6)1x y ++=，所以小圆1O 和小圆2O 两圆方程相减，可得公共弦所在直线方程2.6 2.2 3.860x y -+=，化简得1301101930x y -+=，D 选项正确．故选：ABD三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.()i 59i +的虚部为__________．【答案】5【解析】【分析】由复数的乘法和复数虚部的定义求解.【详解】由题意得()i 59i 95i +=-+，所以()i 59i +的虚部为5．故答案为：514.已知方程2222660x y x y m ++-++=表示一个圆，则m 的取值范围为__________，该圆的半径的最大值为__________．【答案】①.()2,2-②.2【解析】【分析】将圆的一般方程化为标准方程，得到240m -+>，求出m 的取值范围，并根据244m -+≤求出半径的最大值.【详解】该方程可化为圆的标准方程222(1)(3)4x y m ++-=-+．由240m -+>，得22m -<<．因为244m -+≤，2=．故答案为：()2,2-，215.已知正方体的外接球的体积为，则该正方体的棱长为__________．【答案】【解析】【分析】设该正方体的棱长为a ，由正方体的性质得得到对角线，也就是外接球的直径，进而得到半径，然后利用球的体积公式得到关于a 的方程，求解即得.【详解】设该正方体的棱长为a，则该正方体的外接球的半径为22=.由4π332⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，得a =.16.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左､右焦点分别为12,F F ，其离心率12e =，P 和M 是椭圆C 上的点，且1260F PF ∠=，12F PF △的面积为，O 是坐标原点，则1MF MO ⋅的最小值为__________．【答案】8【解析】【分析】设12,PF m PF n ==，由12F PF △的面积，解出mn ，在12F PF △中利用余弦定理，结合离心率12e =，求出,a c ，得椭圆方程，设()00,M x y ，表示出1MF MO ⋅ ，利用二次函数的性质求最小值.【详解】由12e =，得2a c =．设12,PF m PF n ==，则2m n a +=，121sin602F PF S mn == ，解得16mn =．在12F PF △中，()22222(2)2cos60343c m n mn m n mn a mn =+-=+-=- ，解得22212a c b -==，从而4,2a c ==，椭圆方程为2211612x y+=，()12,0F -，设()()-≤≤000,44M x y x ，则()2221000012484MF MO x x y x ⋅=++=++ ，当04x =-时，1MF MO ⋅的最小值是8．故答案为：8四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤．17.已知直线l 经过点(2,4)A --．（1）若l 经过点(1,1)B -，求l 的斜截式方程；（2）若l 在x 轴上的截距为4-，求l 在y 轴上的截距．【答案】（1）2y x =-（2）8-【解析】【分析】（1）根据斜率公式求解斜率，即可由点斜式求解；（2）根据截距式代入即可求解.【小问1详解】由题意得41121AB k -+==--，则l 的方程为11y x +=-，其斜截式方程为2y x =-．【小问2详解】设l 的截距式方程为1x ya b+=，由题意得241,4,a ba --⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得8b =-，所以l 在y 轴上的截距为8-．18.已知圆M 的圆心的坐标为()1,2-，且经过点()2,1．（1）求圆M 的标准方程；（2）若P 为圆M 上的一个动点，求点P 到直线3150x y +-=的距离的最小值．【答案】（1）22(1)(2)10x y -++=（2【解析】【分析】（1）根据题意，求得圆M的半径为r =，结合圆的标准方程，即可求解；（2）根据题意，求得圆心M到直线距离为，进而求得点P 到直线的距离的最小值．【小问1详解】解：因为圆M 的圆心的坐标为()1,2-，且经过点()2,1，可得圆M的半径为r ==，所以圆M 的标准方程为22(1)(2)10x y -++=．【小问2详解】解：由题意，圆心M 到直线3150x y +-=的距离为d ==，所以点P 到直线3150x y +-=的距离的最小值为=．19.已知,A B 分别是椭圆222:1(0)4y xM m m+=>的左顶点､上顶点，且AB =（1）求点,A B 的坐标；（2）若直线l 与AB 平行，且l 与M 相切，求l 的一般式方程．【答案】（1）()()1,0,0,2A B -（2）20x y -+=或20x y --=【解析】【分析】（1）根据椭圆的顶点可得22||54AB m ==+，求得m 即可得解；（2）根据直线得平行设:2l y x t =+，联立221,42,y x y x t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得228440x tx t ++-=，再利用Δ0=即可得解.【小问1详解】由题意得22||54AB m ==+，得21m =，又0m >，所以1m =，所以()()1,0,0,2A B -．【小问2详解】由题意得20201AB k -==+．因为l 与AB 平行，所以l 的斜率为2．设:2l y x t =+，联立221,42,y x y x t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得228440x tx t ++-=．因为l 与M 相切，所以()22Δ164840t t =-⨯-=，得t =±故l的一般式方程为20x y -+=或20x y --=．20.如图，在直三柱111A B C ABC -中，1,2,4,6AC AB AC AB AA ⊥===，,E F 分别为1CA ，AB 的中点．（1）若11111EF xB B yB C zB A =++，求,,x y z 的值；（2）求1B C 与平面AEF 所成角的正弦值．【答案】（1）11,,022x y z ==-=（2）33535【解析】【分析】（1）根据向量的运算法则，化简得到1111122EF B B BC =- ，结合11111EF xB B yB C zB A =++，即可求解；（2）以1A 为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得()12,4,6B C =- 和平面AEF 的法向量为()3,0,1n =，结合向量的夹角公式，即可求解.【小问1详解】解：由向量的线性运算法则，可得()11122EF AF AE AB AA AC =-=-+ ()111111112222AA AB AC B B B C =-+-=- ，又由11111EF xB B yB C zB A =++ ，所以11,,022x y z ==-=．【小问2详解】解：以1A 为坐标原点，11111,,AC A B A A 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则()()()()()10,0,6,2,0,6,0,4,0,1,0,3,0,2,6A C B E F ，所以()()()12,4,6,1,0,3,0,2,0B C AE AF =-=-=．设平面AEF 的法向量为(),,n x y z =r ，则3020n AE x z n AE y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩，取3x =，可得0,1y z ==，所以()3,0,1n =，设1B C与平面AEF所成的角为θ，可得11sin35||B C nB C nθ⋅==．21.已知ABC的内角,,A B C的对边分别为,,a b c，且πsin cos cos4A b A B⎛⎫+=⎪⎝⎭．（1）求B；（2）若b=，求ABC面积的最大值．【答案】（1）π3B=（2）【解析】【分析】（1）由πsin cos cos4A b A B⎛⎫+=+⎪⎝⎭，利用两角和的正弦公式得到sin cosb A B=，再利用正弦定理求解；（2）利用余弦定理，结合基本不等式得到8ac≤，然后利用三角形面积公式求解.【小问1详解】πsin cos cos4A b A B⎛⎫+=+⎪⎝⎭，所以sin cos cos cosb A b A b A B+=，即sin cosb A B=．由正弦定理得sin sin cosB A A B=．由()0,πA∈，得sin0A≠，则sintancosBBB==，由()0,πB∈，得π3B=．【小问2详解】由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，则228a c ac =+-．由2282a c ac ac ac =+-≥-，得8ac ≤，当且仅当a c ==时，等号成立．故13sin 24ABC S ac B ac ==≤ ABC面积的最大值为22.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左､右焦点分别为()()121,0,1,0F F -，其离心率为3，M 是E上的一点．（1）求椭圆E 的方程；（2）过右焦点2F 的直线l 与椭圆E 交于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线交直线l 于点P ，交直线2x =-于点Q ，求PQ AB的最小值．【答案】（1）22132x y +=（2）153【解析】【分析】（1）根据题意，得到1c =且3c a =，求得,a b 的值，即可求得椭圆的标准方程；（2）设方程为1x my =+，联立方程组，得到12122244,2323m y y y y m m --+==++，利用弦长公式，求得)22123m AB m +=+和224923m PQ m +=+，得到212PQ AB =结合换元法和基本不等式，即可求解.【小问1详解】解：由椭圆E 的左､右焦点分别为()()121,0,1,0F F -，其离心率为3，可得1c =且3c a =，解得2222a b a c ==-=，故椭圆E 的方程为22132x y +=．【小问2详解】解：由题意知直线l 的斜率不为0，设其方程为1x my =+，设点()()1122,,,A x y B x y ，联立方程221321x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，可得()2223440m y my ++-=，所以12122244,2323m y y y y m m --+==++，可得)22123m AB m +=+．又因为122223,122323P P Py y m y x my m m +-===+=++，所以2249223P m PQ x m +=--=+，可得212PQ AB =令1t t =≥，上式245541212123PQt t AB t t +⎛⎫=⨯=+≥⨯= ⎪⎝⎭，当且仅当54t t =，即12m =±时，PQ AB取得最小值153．【点睛】方法策略：解答圆锥曲线的最值与范围问题的方法与策略：（1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决；（2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）导数法等，要特别注意自变量的取值范围；3、涉及直线与圆锥曲线的综合问题：通常设出直线方程，与圆锥曲线联立方程组，结合根与系数的关系，合理进行转化运算求解，同时抓住直线与圆锥曲线的几何特征应用.。

湖北省武昌高二年级12月月考数学试卷（答案在最后）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.抛物线24y x =的焦点坐标是（）A.(0,1)B.(1,0)C.10,16⎛⎫⎪⎝⎭D.1,016⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】将抛物线化为标准方程可得焦点坐标.【详解】抛物线24y x =标准方程为214x y =，其焦点坐标为10,16⎛⎫⎪⎝⎭故选：C.2.设公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，4512a a =，则94S S =（）A.15 B.1C.1- D.9-【答案】D 【解析】【分析】设等差数列{}n a 的公差为,d 利用基本量代换求出()()19941494a a S S a a +⨯=+⨯，进而求解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为(),0d d >.∵4512a a =，∴()4412a a d =+，解得：4a d =，52a d =．∴4132a a d d =-=-，∴14a a d +=-．∴()()()199541414929499444a a S a d S a a a a d +⨯⨯⨯====-+⨯+⨯-⨯．故选：D ．3.设椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点分别为12,F F ，12||F F =P 是C 上一点，若12PF PF a -=，且121sin 3PF F ∠=，则椭圆C 的方程为（）A.22143x y += B.22163x y += C.22164x y += D.22142x y +=【答案】D 【解析】【分析】根据12||F F =c =，由椭圆的定义得到122PF PF a +=，结合12PF PF a -=，求得123,22aPF PF a ==，然后在12PF F △中，由余弦定理求得a 即可.【详解】因为12||F F =c =，P 是C 上一点，由椭圆的定义得：122PF PF a +=，又12PF PF a -=，所以123,22aPF PF a ==，又121sin 3PF F ∠=，则12cos 3PF F ∠=，所以在12PF F △中，由余弦定理得：2222112112122cos PF PF F F PF F F PF F =+-⋅⋅∠，即223322822223a a a ⎛⎫⎛⎫=+-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得：2440a a -+=，解得2a =，则2222b a c =-=，所以椭圆C 的方程为22142x y +=故选：D4.已知O 为坐标原点，F 为双曲线2222x y 1(a 0,b 0)a b-=>>的左焦点，过点F 且倾斜角为30 的直线与双曲线右支交于点P，线段PF 上存在不同的两点A，B 满足FA BP =，且OA OB =，则双曲线的离心率为()A.B.C.1D.1+【答案】D 【解析】【分析】设双曲线的右焦点为F '，连接PF '，取AB 的中点M ，可得M 为FP 的中点，运用中位线定理和双曲线的定义，结合离心率公式，计算可得所求值．【详解】设双曲线的右焦点为'F ，连接'F ，取AB 的中点M ，由|FA |＝|BP |，可得M 为FP 的中点，|OA |＝|OB |，可得OM ⊥AB ，由∠PFO ＝30°，可得'2PF OM c ＝＝，即有230PF ccos ︒=＝，﹣c ＝2a ，即有ec a ===1，故选D ．【点睛】本题考查双曲线的定义和性质，主要是离心率的求法，注意运用三角形的中位线定理和勾股定理，考查运算能力，属于中档题．5.对于集合,A B ，定义{A B x x A -=∈，且}x B ∉．若{|21,N}A x x k k ==+∈，{|31,N}B x x k k ==+∈，将集合A B -中的元素从小到大排列得到数列{}n a ，则730a a +=（）A.55B.76C.110D.113【答案】C 【解析】【分析】根据集合的特征列出集合A 与B 的前若干项，找出集合A B -中元素的特征，进而即可求解.【详解】因为{}{}1,3,5,7,9,11,,1,4,7,10,13,16,19,22,25,A B == ，所以{}3,5,9,11,15,A B -= ，所以721a =．A B -相当于集合A 中除去()*65x n n =-∈N 形式的数，其前45项包含了15个这样的数，所以3089a =．则730110a a +=，故选：C .6.已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线交C 于P ，Q 两点，PH l ⊥于H ，若HF PF =，O 为坐标原点，则PFH △与OFQ 的面积之比为（）A.6B.8C.12D.16【答案】C 【解析】【分析】根据给定的条件，求出直线PQ 的方程，与抛物线方程联立求出PF ，QF 的长即可求解作答.【详解】依题意，由PH l ⊥于H ，得||P H H P F F ==，即PFH △是正三角形，60PFx FPH ∠=∠= ，而(2,0)F ，则直线PQ 的方程为2)y x =-，由22)8y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，消去y 并整理，得2320120x x -+=，令1122(,),(,)P x y Q x y ，解得1226,3x x ==，又准线:2l x =-，因此128||28,||23PF x QF x =+==+=，所以PFH △与OFQ 的面积之比221||sin 60821218||||sin 60223PFH OFQPF S S QF OF ===⋅⨯ .故选：C.7.大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．已知数列{}n a 满足：22ππcos sin 33n n n a =-，记()31n n b n a =-，n *∈N ，则数列{}n b 的前60项和是（）A.130B.845-C.90D.860-【答案】C 【解析】【分析】结合二倍角余弦公式和余弦函数的周期性可推导证得数列{}n a 是以3为周期的周期数列，采用分组求和的方式即可求得数列{}n b 的前60项和.【详解】22ππ2πcossin cos 333n n n n a =-= ，()323π2π2πcoscos 2πcos 333n n n n n a a ++⎛⎫∴==+== ⎪⎝⎭，∴数列{}n a 是以3为周期的周期数列，又12π1cos32a ==-，24π1cos 32a ==-，3cos 2π1a ==，{}nb ∴的前60项和为()()()147555825856593695760b b b b b b b b b b b b b b b +++⋅⋅⋅++++++⋅⋅⋅++++++⋅⋅⋅++()()()11211201735142317681726179122⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+⨯-++++⋅⋅⋅+⨯-++++⋅⋅⋅+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()2021732051762081791187590518709022222⨯+⨯+⨯+=-⨯-⨯+=--+=.故选：C.8.已知椭圆221:113x y C m n +=+-与双曲线222:1x y C m n+=有相同的焦点，则双曲线2C 的一条斜率为正的渐近线的倾斜角的取值范围为A.(,)42ππ B.(,]42ππ C.(0,4π D.(,)43ππ【答案】A 【解析】【分析】分焦点在x 轴上和焦点在y 轴上，由椭圆221:113x y C m n +=+-与双曲线222:1x yC m n+=有相同的焦点求解.【详解】当焦点在x 轴上时，由题意知：0,0m n ><，椭圆221:113x y C m n+=+-中，22111,3a m b n =+=-，则2221112c a b m n =-=+-；双曲线222:1x y C m n-=-中，2222,a m b n ==-，则222222c a b m n =+=-；由题意，2m n m n +-=-，解得1n =，这与0n <矛盾；当焦点在y 轴上时，由题意知10,03m n -<<<<，椭圆221:131y x C n m +=-+中，22113,1a n b m =-=+，则2221112c a b m n =-=--+；双曲线222:1x y C m n -=-可化为222:1y x C n m-=-，2222,a n b m ==-，则222222c a b n m =+=-；由题意，2m n n m --+=-，解得1n =，双曲线2C的一条斜率为正的渐近线的斜率为22a kb ===又因为10m -<<，所以11m ->1>，即双曲线2C 的一条斜率为正的渐近线的倾斜角的取值范围为(,)42ππ，故选：A.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1263a a S +=，则（）A.70a =B.268a a a +=C.130S = D.68S S =【答案】AC 【解析】【分析】由1263a a S +=，用基本量表示得160a d +=，然后对每一个选项进行判断即可.【详解】由题意有1612362a a a a ++=⨯，化简整理得160a d +=，所以70a =，选项A 正确；261266a a a d d +=+=-，817a a d d =+=，由于0d ≠，所以268a a a +≠，故选项B 不正确；113137131302a S a a +=⨯==，故选项C 正确；1666212a a S d +=⨯=-，1888202a aS d +=⨯=，由于0d ≠，所以68S S ≠，故D 不正确.故选：AC10.已知曲线C 的方程为2216x y k k+=-（R k ∈），则下列说法正确的是（）A.当06k <<时，曲线C 表示椭圆B.“0k <”是“曲线C 表示焦点在y 轴上的双曲线”的充分必要条件C.存在实数，使得曲线C 的离心率为2D.存在实数k ，使得曲线C 表示渐近线方程为y x =±的双曲线【答案】BC 【解析】【分析】当3k =时可判断A ；根据充分条件和必要条件的定义以及表示双曲线的等价条件可判断B ；根据曲线表示椭圆的条件可得k 的范围，再讨论椭圆焦点在x 轴和y 轴上，由离心率公式列方程求得k 的值可判断C ；根据曲线表示双曲线的条件可得k 的范围，再由焦点在x 轴和y 轴上由a b =列方程求k 的值可判断D ，进而可得正确选项.【详解】对于A ，当3k =时，曲线C 为223x y +=，曲线C 表示圆，故选项A 不正确；对于B ，曲线C 表示焦点在y 轴上的双曲线，则060k k <⎧⎨->⎩，可得0k <，若0k <，则060k k <⎧⎨->⎩，曲线C 表示焦点在y 轴上的双曲线，所以“0k <”是“曲线C 表示焦点在y 轴上的双曲线”的充分必要条件，故选项B 正确；对于C ，假设存在实数k ，使得曲线C的离心率为2，曲线C 表示椭圆，则0606k k k k >⎧⎪->⎨⎪≠-⎩，可得：(0,3)(3,6)k ∈⋃，若椭圆焦点在x 轴上，由()226626k k a k c k k k ⎧>-⎪=⎨⎪=--=-⎩，可得2222262c k e a k ⎛⎫-=== ⎪ ⎪⎝⎭，可得4k =符合题意，若椭圆焦点在y 轴上，由()2266662k k a k c k k k ⎧->⎪=-⎨⎪=--=-⎩，可得22226262c k e a k ⎛⎫-=== ⎪ ⎪-⎝⎭，可得2k =符合题意，所以存在2k =或4，使得曲线C的离心率为2，故选项C 正确；对于D ，假设存在实数k ，使得曲线C 表示渐近线方程为y x =±的双曲线，此时有(6)0k k ⋅-<，得0k <或6k >，当0k <时，6k k -=-，无解；当6k >时，(6)k k =--，无解，所以满足题意的实数k 不存在，故选项D 不正确．故选：BC.11.首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，则下列4个命题中正确的有（）A.若100S =，则50a >，60a <；B.若412S S =，则使0n S >的最大的n 为15；C.若150S >，160S <，则{}n S 中7S 最大；D.若89S S <，则78S S <.【答案】ABD 【解析】【分析】利用等差数列的求和公式及等差数列的性质，逐一检验选项，即可得答案.【详解】对于A ：因为正数，公差不为0，且100S =，所以公差0d <，所以1101010()02a a S +==，即1100a a +=，根据等差数列的性质可得561100a a a a +=+=，又0d <，所以50a >，60a <，故A 正确；对于B ：因为412S S =，则1240S S -=，所以561112894()0a a a a a a ++⋅⋅⋅++=+=，又10a >，所以890,0a a ><，所以115815815()15215022a a a S a +⨯===>，116891616()16()022a a a a S ++===，所以使0n S >的最大的n 为15，故B 正确；对于C ：因为115815815()15215022a a a S a +⨯===>，则80a >，116891616()16()022a a a a S ++===，则890a a +=，即90a <，所以则{}n S 中8S 最大，故C 错误；对于D ：因为89S S <，则9980S a S =->，又10a >，所以8870a S S =->，即87S S >，故D 正确，故选：ABD【点睛】解题的关键是先判断d 的正负，再根据等差数列的性质，对求和公式进行变形，求得项的正负，再分析和判断，考查等差数列性质的灵活应用，属中档题.12.已知抛物线:C 24y x =的焦点为F ，准线l 交x 轴于点D ，直线m 过D 且交C 于不同的A ，B 两点，B 在线段AD 上，点P 为A 在l 上的射影．线段PF 交y 轴于点E ，下列命题正确的是（）A .对于任意直线m ，均有AE ⊥PFB.不存在直线m ，满足2BF EB=uu u r uu rC.对于任意直线m ，直线AE 与抛物线C 相切D.存在直线m ，使|AF |+|BF |=2|DF |【答案】AC【解析】【分析】A 选项由E 为线段PF 的中点以及抛物线定义即可判断；B 选项由2BF EB =uu u r uu r及抛物线方程求出,A B坐标，再说明,,D B A 三点共线，即存在直线m 即可；C 选项设()11,A x y ，表示出直线AE ，联立抛物线，利用Δ0=即可判断；D 选项设出直线m ，联立抛物线得到121=x x ，通过焦半径公式结合基本不等式得4AF BF +>即可判断.【详解】A 选项，如图1，由抛物线知O 为DF 的中点，l y ∥轴，所以E 为线段PF 的中点，由抛物线的定义知AP AF =，所以AE PF ⊥，所以A正确；B 选项，如图2，设()11,A x y ，()22,B x y ，12x x >，(1,0)F ，1(1,)P y -，E 为线段PF 的中点，则10,2y E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，12222(1,),(,)2y BF x y EB x y =--=- ，由2BF EB =uu u r uu r 得22122122()2x x y y y -=⎧⎪⎨-=-⎪⎩，解得213x =，123y y =，又2211224,4y x y x ==，故13B ⎛ ⎝，(3,A ，又(1,0)D -，可得233312DA k ==+，31213DB k==+，故存在直线m ，满足2BF EB =uu u r uu r ，选项B 不正确．C 选项，由题意知，E 为线段PF 的中点，从而设()11,A x y ，则10,2y E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线AE 的方程：()1112y y x x x =+，与抛物线方程24y x =联立可得：211124y y y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由2114y x =代入左式整理得：22311120y y y y y -+=，所以43111440y y y ∆=-=，所以直线AE 与抛物线相切，所以选项C 正确．D 选项，如图3，设直线m 的方程()()10y k x k =+≠，()11,A x y ，()22,B x y ，12x x >，由()214y k x y x⎧=+⎨=⎩，得()2222240k x k x k +-+=．当()224224416160k k k ∆=--=->，即11k -<<且0k ≠时，由韦达定理，得212242k x x k-+=，121=x x ．因为11AF x =+，21BF x =+，所以12224AF BF x x +=++≥=，又12x x ≠，2DF =，所以2AF BF DF +>成立，故D 不正确．故选：AC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.参考《九章算术》中“竹九节”问题，提出：一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共2升，下面3节的容积共3升，则第5节的容积为______升．【答案】811【解析】【分析】设自上而下的竹子容量依次为n a ，可得{}n a 为等差数列，根据42S =，7893a a a ++=，可得数列的通项公式及5a 【详解】设自上而下的竹子容量依次为n a ，可得{}n a 为等差数列，则41234178914623213S a a a a a d a a a a d =+++=+=⎧⎨++=+=⎩，解得1411111a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故()13111n n a a n d +=+-=，518411a a d =+=，故答案为：811.14.若双曲线22221()00a x y a b b >-=>，的离心率与椭圆2211612x y +=的离心率互为倒数，则椭圆的焦点到双曲线的渐近线的距离是__________.【解析】【分析】根据椭圆方程求出焦点坐标、离心率，得到双曲线的离心率，求出双曲线渐近线，由点到直线距离求解.【详解】由2211612x y +=知椭圆中4,a b ''==，所以2c '==，即椭圆的焦点为(20)±,，所以12c e a ''=='，由题意知双曲线的离心率12c e a e ===='，所以223b a=，故双曲线的渐近线方程为y =，不妨取椭圆左焦点(2,0)-，则由点到直线距离可得232d ==，，15.已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，过F 的直线交抛物线于,A B 两点（A 在x 轴上方），延长BO 交抛物线的准线于点C ，若||3||,||3AF BF AC ==，则抛物线的方程为_____.【答案】23y x =【解析】【分析】根据抛物线的定义及性质，即可求得直线AB 的斜率，求得直线AB 的方程，代入抛物线方程，求得直线OB 的方程，即可求得C 点坐标，即可求得p 的值，求得抛物线方程．【详解】由题意得：,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，当直线AB 的斜率不存在时，AF BF =，因为3AF BF =，所以直线AB 的斜率存在，因为A 在x 轴上方，所以直线AB 的斜率大于0，设直线:2p AB y k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，0k >，与抛物线方程联立可得：()22222204k p k x k p p x -++=，()22222222244404k p k p p k k p p ∆=+-⋅=+>恒成立，设()()1122,,,A x y B x y ，则1222p x x p k +=+，2124p x x =，由抛物线定义可知：12,22p p AF x BF x =+=+，因为3AF BF =，所以123322p px x +=+，即123x x p =+，将123x x p =+代入1222p x x p k +=+，2124p x x =中，222p x k =，()22243p x x p =+，所以2222234p p p p k k⎛⎫⎪⎭=+ ⎝，解得：23k =，因为0k >，所以k =则2123,362p x x x p p ==+=，12,3y y p ∴==-，所以36OB pk p -==-，所以直线OB方程为y =-，当2px =-时，C y =，1C y y ∴=，∴直线AC 与x 轴平行，3322p AC p ∴=+=，∴32p =，23y x ∴=.故答案为：23y x =.16.已知圆锥曲线k C 的方程：22194x y k k+=--.当m 、n 为正整数，且m n <时，存在两条曲线m C 、n C ，其交点P与点1(F、2F 满足12PF PF ⊥，写出满足题意的所有有序实数对(,)m n ：_____.【答案】17m n =⎧⎨=⎩，26m n =⎧⎨=⎩，35m n =⎧⎨=⎩【解析】【分析】圆锥曲线的定义，易得到1C ，2C ，3C 是椭圆，5C ，6C ，7C ，8C 是双曲线，从而根据题意可得{1m ∈，2，3}，{5n ∈，6，7，8}，再结合椭圆与双曲线的定义与12PF PF ⊥即可得8m n +=，从而得到答案．【详解】由题意得1C ，2C ，3C 是椭圆，5C ，6C ，7C ，8C 是双曲线，结合椭圆与双曲线的几何性质可知本题中的任意两椭圆与两双曲线均无公共点，从而m n <时，存在两条曲线m C 、n C 有交点P ，必然有{1m ∈，2，3}，{5n ∈，6，7，8}，设11||PF d =，22||PF d =，则由椭圆与双曲线的定义可得，12d d +=，12||d d -=，且12PF PF ⊥，12F F =，故221220d d +=，即2121221212()2023648()202364d d d d mm n d d d d n⎧+=+=-⇒+=⎨-=-=-⎩，所以存在两条曲线m C 、n C ，且17m n =⎧⎨=⎩，26m n =⎧⎨=⎩，35m n =⎧⎨=⎩．故答案为：17m n =⎧⎨=⎩，26m n =⎧⎨=⎩，35m n =⎧⎨=⎩．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.数列{}n a 中，131a =，12n n a a +=-，（1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；（2）求数列{}n a 的前n 项和n T ．【答案】（1）332n a n =-，232n S n n=-（2）221632,1651232,n n n n T n n n ≤⎧-=⎨>-+⎩【解析】【分析】（1）根据条件可得数列是等差数列，利用等差数列的通项公式和求和公式可得答案；（2）先找出数列正负的分界线，分类讨论，去掉绝对值，把n T 转化为n S 求解.【小问1详解】因为12n n a a +=-，即12n n a a +-=-，所以数列{}n a 是等差数列，所以()()3112332n a n n =+-⨯-=-，231332322n nS n n n +-=⨯=-.【小问2详解】令0n a >得16n ≤，12n n T a a a =+++ ；当16n ≤时，2121232n n n n T a a a a a a S n n =+++=+++==- ；当16n >时，()116171616n n n T a a a a S S S =++---=-- 216251232n S S n n =-=-+.综上可得，221632,1651232,n n n n T n n n ≤⎧-=⎨>-+⎩18.已知点()2,0P ，圆C ：226440x y x y +-++=.（1）若直线l 过点P 且被圆C 截得的弦长为，求直线l 的方程；（2）设直线10ax y -+=与圆C 交于A ，B 两点，过点()2,0P 的直线2l 垂直平分弦AB ，这样的实数a 是否存在，若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）3460x y +-=或2x =（2）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）设出直线方程，求出圆心到直线的距离，由勾股定理得弦长求得参数，注意考虑直线斜率不存在的情形；（2）过点()2,0P 的直线2l 垂直平分弦AB ，则圆心在直线2l 上，由此可得直线2l 的斜率，然后由垂直求得a ，由直线与圆相交求得a 的范围，比较可得．【小问1详解】∵点()2,0P ，直线l 过点P ，∴设直线l 的斜率为k （k 存在），则方程为()02y k x -=-.又题C 的圆心为()3,2-，半径3r =，由弦长为，故弦心距1d =1=，解得34k =-.所以直线方程为()324y x =--，即3460x y +-=.当l 的斜率不存在时，l 的方程为2x =，经验证2x =也满足条件.故l 的方程为3460x y +-=或2x =.【小问2详解】把直线10ax y -+=，即1y ax =+.代入圆C 的方程，消去y ，整理得()()2216190a x a x ++-+=.由于直线10ax y -+=交圆C 于A ，B 两点，故()()223613610a a ∆=--+>，即720a ->，解得0a <.设符合条件的实数a 存在，由于2l 垂直平分弦AB ，故圆心()3,2C -必在2l 上.所以2l 的斜率2PC k =-，而1AB PC k a k ==-，所以12a =.由于()1,02∉-∞，故不存在实数a ，使得过点()2,0P 的直线2l 垂直平分弦AB .19.设各项均为正数的数列{}n a 满足nnS pn r a =+（,p r 为常数），其中n S 为数列{}n a 的前n 项和.（1）若1,0p r ==，求证：{}n a 是等差数列；（2）若11,23p a ==，求数列{}n a 的通项公式.【答案】（1）证明见解析；（2）2n a n n =+.【解析】【分析】（1）把1,0p r ==代入，结合“12,n n n n S S a -≥-=”计算推理作答.（2）把13p =代入，结合“12,n n n n S S a -≥-=”求出{}n a 相邻两项间关系，再构造常数列作答.【小问1详解】当1,0p r ==时，n n S na =，当2n ≥时，()111n n S n a --=-，两式相减，得1(1)n n n a na n a -=--，整理得10n n a a --=，所以{}n a 是等差数列.【小问2详解】当13p =时，1()3n n S n r a =+，令1n =，而12a =，得113r +=，解得23r =，于是12()33n n S n a =+，当2n ≥时，1111()33n n S n a --=+，两式相减，得111()312(333n n n a n n a a -+=-+，整理得1(1)(1)n n n a n a --=+，即111n n a an n -=+-，因此1(1)(1)n n a a n n n n -=+-，数列{}(1)n a n n+是常数列，从而11(1)21n a a n n ==+⨯，2n a n n =+，显然12a =满足上式，所以数列{}n a 的通项公式是2n a n n =+.20.设双曲线C ：22x a－y 2＝1(a >0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点A ，B ．(1)求双曲线C 的离心率e 的取值范围；(2)设直线l 与y 轴的交点为P ，且512PA PB =，求a 的值．【答案】（1）e >62且e ；（2）a ＝1713.【解析】【分析】（1）由直线与双曲线联立得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0，结合条件得()2422104810.a a a a ⎧-≠⎪⎨+->⎪⎩，，从而可得离心率范围；（2）设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由512PA PB = 可得x 1＝512x 2，由根与系数的关系可得－2221a a-＝28960，从而得解.【详解】(1)将y ＝－x ＋1代入双曲线22x a －y 2＝1中，得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0.①∴()2422104810.a a a a ⎧-≠⎪⎨+->⎪⎩，解得0<a且a ≠1.又双曲线的离心率e＝a =，∴e>2且e.(2)设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．有P (0,1)．∵512PA PB = ，∴(x 1，y 1－1)＝512(x 2，y 2－1)．由此得x 1＝512x 2.由于x 1，x 2都是方程①的根，且1－a 2≠0，因此由根与系数的关系，得1712x 2＝－2221a a -，51222x ＝－2221a a-.消去x 2，得－2221a a -＝28960.由a >0，得a ＝1713.【点睛】本题考查双曲线的几何性质、向量问题坐标化，直线与双曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、考查化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想，属于中档题.21.如图，已知动圆M 过定点()1,0F 且与y 轴相切，点F 关于圆心M 的对称点为F '，点F '的轨迹为H.（1）求曲线H 的方程；（2）一条直线AB 经过点F ，且交曲线H 于A 、B 两点，点C 为直线1x =-上的动点.①求证：ACB ∠不可能是钝角；②是否存在这样的点C ，使得ABC 是正三角形？若存在，求点C 的坐标；否则，说明理由.【答案】（1）24y x =；（2）①证明见解析；②存在，且(1,C -±.【解析】【分析】（1）设(),F x y '，则可得1,22x y M +⎛⎫⎪⎝⎭，圆M 的直径为FF '=，利用动圆M 与y轴相切，即可求得曲线C 的方程；（2）①设直线AB 的方程为1x my =+，点()11,A x y 、()22,B x y 、()1,C n -，联立直线AB 的方程与抛物线方程，进而利用韦达定理结合向量的数量积运算，得到0CA CB ⋅≥恒成立，可得结论；②由①知()221,2N m m +，根据CN 与AB 垂直，斜率积为1-，可得324n m m =+，再由CN =，求出m 值.【小问1详解】设(),F x y '，因为点()1,0F 在圆M 上，且点F '关于圆心M 的对称点为F ，则1,22x y M +⎛⎫⎪⎝⎭，而FF '=因为动圆M 过定点()1,0F 且与y 轴相切，则11122FF x '=+，1x =+，化简得24y x =，所以曲线C 的方程为24y x =.【小问2详解】①若直线AB 与x 轴重合，则直线AB 与抛物线24y x =有且只有一个公共点，不合乎题意.设直线AB 的方程为1x my =+，设点()11,A x y 、()22,B x y 、()1,C n -，联立214x my y x=+⎧⎨=⎩，可得2440y my --=，216160m ∆=+>，由韦达定理可得124y y m +=，124y y =-，()()11111,2,CA x y n my y n =+-=+- ，同理可得()222,CB my y n =+- ，所以，()()()()121222CA CB my my y n y n ⋅=+++-- ()()()221212124m y y m n y y n =++-+++()()()22222414244420m m m n n m mn n m n =-++-++=-+=-≥，故ACB ∠不可能为钝角；②假设存在这样的点C 满足条件，因为()21212242x x m y y m +=++=+，则线段AB 的中点为()221,2N m m +，若0m =，则AB x ⊥轴，此时，直线AB 的方程为1x =，联立214x y x =⎧⎨=⎩可得12x y =⎧⎨=±⎩，则AB 4=，此时，NC 位于x 轴上，则122NC AB ==，所以，ABC 为直角三角形，不合乎题意，所以，0m ≠，则221122CN AB m n k k m m -=⋅=-+，可得324n m m =+，则()31,24C m m -+，则(221CN m =+，而()()212122441AB x x m y y m =++=++=+，由CN =，可得(())2223214112m m m +=+=+，解得m =，所以，存在点(1,C -±满足条件.【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法：（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；（3）相关点法：用动点Q 的坐标x 、y 表示相关点P 的坐标0x 、0y ，然后代入点P 的坐标()00,x y 所满足的曲线方程，整理化简可得出动点Q 的轨迹方程；（4）参数法：当动点坐标x 、y 之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x 、y 与某一参数t 得到方程，即为动点的轨迹方程；（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.22.已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的右焦点F 的坐标为()1,0，离心率2e =．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点P 、Q 为椭圆上位于第一象限的两个动点，满足PF QF ⊥，C 为PQ 的中点，线段PQ 的垂直平分线分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点．（ⅰ）求证：A 为BC 的中点；（ⅱ）若35ABO BCF S S =△△（S 为三角形的面积），求直线PQ 的方程．【答案】（Ⅰ）2212x y +=；（Ⅱ）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）3y x =-+．【解析】【分析】（Ⅰ）由已知得1c =，再由e 的值，求a ，即可求出椭圆的方程；（Ⅱ）（ⅰ）设直线PQ 方程为,0,0y kx m k m =+<>，与椭圆方程联立，设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，得出12,x x 的坐标关系，求出点C 坐标，得到PQ 垂直平分线AB 方程，求出点,A B 坐标，即可证明结论；（ⅱ）由35ABO BCF S S =△△结合（ⅰ）的结论，求出点A 的坐标，再由PF QF ⊥，得到,m k 关系，代入A 点坐标，求出,m k 的值即可．【详解】（Ⅰ） 椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点F 的坐标为()1,0，1c ∴=，又离心率,12c e a b a ==∴==，∴椭圆的方程为2212x y +=；（Ⅱ）（ⅰ）依题意，设直线PQ 方程为,0,0y kx m k m =+<>，联立2222y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，消去y ，得222(21)4220k x kmx m +++-=，222222168(1)(21)8(21)0k m m k k m ∆=--+=-+>，设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则()2121222214,2121m km x x x x k k -+=-⋅=++，设PQ 中点00(,)C x y ，则12022221x x km x k +==-+，00221m y kx m k =+=+，即C 点坐标为222(,2121km m k k -++），线段PQ 的垂直平分线AB 方程为2212(2121m km y x k k k -=-+++，令0y =，得2(,0)21km A k -+，令0x =，得2(0,21m B k -+，,22B c B c A A x x y y x y ++== ，A ∴为BC 中点；（ⅱ）由（ⅰ）得A 为BC 中点，()||36,22||21511ABO ABO A A BCF ABF A S S x AO x S S AF x ∆∆∆∆∴====∴=-，1212,(1)(1)PF QF PF QF x x y y ⊥∴⋅=--+ 221212(1)(1)()1k x x mk x x m =++-+++222222(1)(1)4(1)(1)(21)021k m mk mk m k k +---+++==+，整理得23140m km -+=，即2134m k m -=，又222222222132(13)641321(13)8112()14A m km m m x m k m m m --=-=-=-=-+-++ ，整理得4261730m m --=，解得23m =或216m =-（舍去），0,3m m k >∴==- ，此时0∆>，∴直线PQ 方程为3y x =-+。

山东省烟台第二中学2023-2024学年高二上学期12月月考数
学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
四、解答题
15．已知：等差数列{n a }中，4a =14，前10项和10185S =.
（Ⅰ）求n a ；
（Ⅱ）将{n a }中的第2项，第4项，…，第2n 项按原来的顺序排成一个新数列，求此数列
的前n 项和n G .
16．设()()2
56ln f x a x x =-+()R a Î，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与y 轴相交于
点()0,6，求函数()f x 的极值．
17．数列{}n
a 的前n 项和为n S ，11a =，12(),n n
a S n N *+=Î，
(1)求数列{}n a 的通项n a ;
(2)求数列{}n
na 的前n 项和n T .
18．已知函数()()2e x f x x ax b -=++在1x =处取得极值．
(1)求b
的值；
(2)讨论函数()f x 的单调性．
19．一个仓库由上下两部分组成：上部分形状是正四棱锥P- A 1B 1C 1D 1，下部分形状是正四
棱柱1111ABCD A B C D -（如图所示），并且正四棱柱的高1OO 是正四棱锥的高PO 1的4倍．
(1)若AB＝6 m，PO1＝2 m，则仓库的容积是多少？
(2)若正四棱锥的侧棱长为6m，当PO1为多少时，仓库的容积最大？。

中学2021-2021学年(xuénián)高二数学12月月考试题〔含解析〕一、选择题(本大题一一共12个小题，每一小题5分，一共60分)1.如下图，正方体的棱长为1，那么的坐标是〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】B的坐标是(1,1,1)。

试题分析：由空间直角坐标系和棱长为1，可得那么1考点：1．空间直角坐标系；的倾斜角为〔〕A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°【答案】D【解析】【分析】先求得直线的斜率，利用倾斜角和斜率的对应关系得出倾斜角.【详解】直线的斜率为，设倾斜角为，那么.应选D.【点睛】本小题主要考察由直线方程的一般式求得直线的斜率，考察倾斜角和斜率的对应关系.对应直线的一般方程，化为斜截式得到，其中是斜率，是纵截距.直线的斜率，是倾斜角的正切值.要注意的是当倾斜角为时，斜率不存在.3.某校老年、中年和青年老师的人数(rén shù)见右表，采用分层抽样的方法调查老师的身体状况，在抽取的样本中，老年老师一共有180人，那么该样本中的青年老师人数为〔〕A. 320B. 360C. 90D. 180【答案】A【解析】【分析】先求得老年老师抽样的比例，用青年老师人数乘以这个比例得到样本中青年老师的人数. 【详解】老年老师抽样的比例为，故样本中青年老师的人数为人.应选A.【点睛】本小题主要考察分层抽样，利用分层抽样中某一层的抽样比例，得到总体的抽样比例，由此计算的其它层抽样的样本数.属于根底题.1，a2，…，a n的平均数为a，方差为s 2，那么数据2a1，2a2，…，2a n的平均数和方差分别为( )A. a，s2B. 2a，s2C. 2a，2s2D. 2a，4s2【答案】D【解析(jiě xī)】【分析】考虑到数据2a1，2a2，…，2a n的各个数据是原数据的2倍，充分利用两者的关系结合平均数、方差的计算公式计算即可．【详解】数据a1，a2，…，a n的平均数为a，方差为S2，那么另一组数据2a1，2a2，…，2a n的平均数为，方差是s′2，∵S2=[〔x1﹣〕2+〔x2﹣x〕2+…+〔x n﹣x〕2]，∴S′2=1n[〔2x1﹣2x〕2+〔2x2﹣2x〕2+…+〔2x n﹣2x〕2]=1n[4〔x1﹣x〕2+4〔x2﹣x〕2+…+4〔x n﹣x〕2]，=4S2应选：D．【点睛】此题考察了当数据都乘以一个数时，方差变成这个数的平方倍，平均数也乘以这个数，属于根底题．5.先后抛掷两枚均匀的正方体骰子〔它们六个面上分别标有点数1，2，3，4，5，6〕，骰子朝上的点数分别为X，Y，那么log2X Y＝1的概率为〔〕．A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由题意知、应满足，所以满足题意的有三种，所以概率为．考点：1．古典概型；6.以下(yǐxià)说法正确的选项是( )A. 命题“假设x2＝1，那么x＝1〞的否命题是“假设x2＝1，那么x≠1〞B. 假设命题p：∃x0∈R，，那么：∀x∈R，x2－2x－1＜0C. 命题“假设x＝y，那么sin x＝sin y〞的逆否命题为真命题D. “x＝－1〞是“x2－5x－6＝0〞的必要不充分条件【答案】C【解析】【分析】A中，写出该命题的否命题，即可判断A是否正确；B中，写出该命题的否认命题，即可判断B是错误的；C中，判断原命题的真假，由此得出它的逆否命题的真假．D中，判断充分性和必要性是否成立即可；【详解】对于A，该命题的否命题是：假设x2≠1，那么x≠1，∴A错误；对于B，命题的否认是：“〞，∴B错误；对于C，∵命题“假设x=y，那么sin x=sin y〞是真命题，∴它的逆否命题也为真命题．∴C正确；对于D，x=-1时，x2-5x-6=0，∴充分性成立，x2-5x-6=0时，x=-1或者x=6，必要性不成立，是充分不必要条件，D 错误应选：C．【点睛】此题通过命题真假的判断，考察了命题与命题的否认，四种命题之间的关系，充分与必要条件等问题，是综合题．7.直线y ＝kx －k ＋1与椭圆的位置关系为( )A. 相切B. 相离C. 相交(xiāngjiāo)D. 不确定 【答案】C 【解析】 【分析】求得直线过的定点，这个定点在椭圆内部，由此判断直线和椭圆相交. 【详解】依题意，直线方程为，所以直线过点，这个点在椭圆的内部，故直线和椭圆一定相交，应选C.【点睛】本小题主要考察直线和椭圆的位置关系，考察含有参数的直线方程过定点的问题，属于根底题.和都相切的直线条数是〔 〕A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 试题分析: 圆，，，圆和圆外相切，所以与圆1O 和圆2O 相切的直线有3条.应选B ． 考点：1、直线与圆的位置关系；2、两圆的位置关系．满足条件 ，那么z=2x-y 的最大值为〔 〕A. 2B.C.D. 1【答案】D【解析】【分析(fēnxī)】画出可行域，通过向下平移基准直线到可行域边界的位置，由此求得目的函数的最大值.【详解】画出可行域如以下图所示，由图可知，目的函数在点处获得最大值，且最大值为.应选D【点睛】本小题主要考察利用线性规划求线性目的函数的最大值.这种类型题目的主要思路是：首先根据题目所给的约束条件，画图可行域；其次是求得线性目的函数的基准函数；接着画出基准函数对应的基准直线；然后通过平移基准直线到可行域边界的位置；最后求出所求的最值.属于根底题.10.在区间[0，1]上任取两个实数a，b，那么函数f(x)＝x2＋ax＋b2无零点的概率为( )A. 12B. C. D.【答案】B【解析】【分析】函数f〔x〕=x2+ax+b2无零点的条件，得到a，b满足的条件，利用几何概型的概率公式求出对应的面积即可得到结论．【详解】∵a，b是区间[0，1]上的两个数，∴a，b对应区域面积为1×1=1假设(jiǎshè)函数f〔x〕=x2+ax+b2无零点，那么△=a2-4b2＜0，对应的区域为直线a-2b=0的上方，面积为，那么根据几何概型的概率公式可得所求的概率为34．应选：B．【点睛】此题主要考察几何概型的概率计算，根据二次函数无零点的条件求出a，b满足的条件是解决此题的关键．2＋ny2＝1与直线y＝1－x交于M，N两点，过原点与线段MN中点所在直线的斜率为，那么的值是( )A.22B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设的中点为，利用点差法，列出直线MN的斜率和直线斜率的关系式，由此求得mn的值.【详解】设，设MN中点为，直线MN的斜率为，直线OA的斜率为.由于在椭圆上，故，两式相减得，化简为，即.应选A.【点睛】本小题主要(zhǔyào)考察利用点差法，解有关直线和椭圆相交所得弦的中点有关的问题，属于根底题.内，过点有条弦的长度成等差数列，最短的弦长为数列的首项，最长的弦长为，假设公差，那么n的取值集合为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】由题设圆的圆心坐标与半径分别为，最长弦与最短弦分别为，所以，解之得，即，应选答案A。