推理与证明练习题
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合情推理与演绎推理
1．下列说法正确的是 （ ）
A.类比推理是由特殊到一般的推理
B.演绎推理是特殊到一般的推理
C.归纳推理是个别到一般的推理
D.合情推理可以作为证明的步骤
2．下列推理是归纳推理的是 （ ）
A ．A 、
B 是定点，动点P 满足||||2||PA PB a ab +=>，得P 点的轨迹是椭圆
B ．由11,31n a a n ==-，求出123,,S S S ，猜想出数列的前n 项和n S 的表达式
C ．由圆2222
x y r r π+==猜想出椭圆22
221x y a b +=的面积为ab π D ．利学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇
3．已知2()(1),(1)1()2
f x f x f f x +==+ *x N ∈（），猜想(f x ）的表达式为 （ ） A ．4()22x
f x =+ B.2()1f x x =+ C.1()1f x x =+ D.2()21
f x x =+ 4．下面使用类比推理结论正确的是 ( ) A ．“若33a b ⋅=⋅,则a b =”类推出“若00a b ⋅=⋅,则a b =”；
B ．“若()a b c ac bc +=+”类推出“()a b c ac bc ⋅=⋅”；
C ．“若()a b c ac bc +=+” 类推出“
a b a b c c c +=+ （c ≠0）”； D ．“
n n a a b =n （b ）” 类推出“n n a a b +=+n
（b ）” 5．设⊕是R 的一个运算，A 是R 的非空子集.若对于任意,a b A ∈，有a b A ⊕∈，则称A 对运算⊕封闭.下列数集对加法、减法、乘法和除法（除数不等于零）四则运算都封闭的是（ ）
A ．自然数集
B ．整数集
C ．有理数集
D ．无理数集
6．在等差数列{}n a 中，有4857a a a a +=+，类比上述性质，在等比数列{}n b 中，有（ ）
A ．4857b b b b +=+
B ．4857b b b b ⋅=⋅
C ．4578b b b b ⋅=⋅
D ．4758b b b b ⋅=⋅
7．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密）.已知加密规则为：明文,,,a b c d 对应密文2,2,23,4a b b c c d d +++，例如，明文1,2,3,4，对应密文5,7,18,16，当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为（ ）
A ．4,6,1,7
B ．7,6,1,4
C ．6,4,1,7
D ．1,6,4,7
8．观察以下各式：⋅⋅⋅=++++++=++++=++=;710987654;576543,3432;112222，你得到的一般性结论是______________________________________________________. 9．若不全为0的实数n k k k ,,, 21满足向量02211=+++n n a k a k a k 成立，则称向量n a a a ,,,21为“线性相关”。
依据此规定，能说明向量),(),,(),,(221101321===a a a 线性相关的321k k k ,,依次可以取____________________________(写出一组数值即可).
10．半径为r 的圆的面积S(r)＝πr 2,周长C(r)=2πr ，若将r 看作(0，＋∞)上的变量，则(πr 2)/＝2πr ○
1，○1式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。
对于半径为R 的球，若将R 看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于○
1的式子： ○2，○2式可以用语言叙述为： .
11．若数列{a n }，(n ∈N *)是等差数列,则有数列b n =n
a a a n +⋯++21(n ∈N *)也是等差数列，类比上述性质，相应地：若数列{C n }是等比数列,且C n ＞0(n ∈N *),则有d n =______________ (n ∈N *)也是
等比数列.
12．设函数221
)(+=x x f ，利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求得
(4)(0)(5)f f f -+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+的值为 .
13．已知02π
θ<<，由不等式1tan 2tan θθ
+≥， 22
222tan tan 2tan 3tan 22tan θθθθθ
+=++≥，33
333tan tan tan 3tan 4tan 333tan θθθθθθ
+=+++≥，……，启发我们得到推广结论： *tan 1()tan n a n n N θθ
+≥+∈，则a =___________。
14．在等差数列{}n a 中，若010=a ，则有等式n a a a +⋅⋅⋅++21n a a a 1219-=++⋅⋅⋅+ (,)n n N +<19∈成立，类比上述性质，相应地：在等比数列{}n b 中，若19=b ，则有等式
成立.
15．观察 下列两式：①4350cos 20sin 50cos 20sin 000202=
⋅++； ②4
345cos 15sin 45cos 15sin 000202=⋅++ 分析上面的两式的共同特点，写出反映一般规律的等式
直接证明与间接证明
1．设m ≠n ，x=m 4-m 3n ，y=n 3m-n 4，则x 与y 的大小关系为（ ）。
A ．x>y
B ．x=y
C ．x<y
D ．x ≠y
2．实数a 、b 、c 不全为0的条件是（ ）。
A ．a 、b 、c 均不为0
B ．a 、b 、c 中至少有一个为0
C ．a 、b 、c 至多有一个为0
D ．a 、b 、c 至少有一个不为0
3．对任意的锐角,αβ，下列不等式成立的是（ ）
A ．()sin sin sin αβαβ+>+
B ．cos()cos cos αβαβ+>+
C ．cos()sin sin αβαβ+<+
D ．cos()cos cos αβαβ+<+
4．设+,,,,,a b c R P a b c Q b c a R c a b ∈=+-=+-=+-，则“PQR ＞0”，是“P 、Q 、R 同时大于0”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
5．设111,,,,,x y z R a x b y c z y z x
∈=+=+=+，则,,a b c 三数（ ） A ．至少有一个不大于2 B ．都小于2 C ．至少有一个不小于2 D ．都小于2 6．已知实数,,a b c 满足0,0a b c abc ++=>，则
111a b c ++的值（ ） A ．一定是正数 B ．一定是负数 C ．可能是0 D ．正负不能确定
7．若a 、b 、c ∈R ，a >b ，则下列不等式成立的是（ ）
A ．b a 11<
B ．22b a >
C ．||||c b c a >
D ．1
122+>+c b c a 8．命题“△ABC 中，若∠A>∠B ，则a >b ”的结论的否定是
9．设函数()f x 满足2()(1)()2
f n n f n n N +++=∈且(1)2f =，则(20)________.f = 10．已知,,a b c 成等比数列，,,a x b 成等差数列，,,b y c 成等差数列，则_________.a c x y
+= 11．已知两个正实数,x y 满足4x y +=，则使不等式
14m x y
+≥恒成立的实数m 的取值范围是 .
12．已知0a b c ++=，求证：0.ab bc ca ++≤
13.已知：0,0>>b a ，求证：
b a a
b b a +≥+
14.如图所示，已知ABC ∆是锐角三角形，直线SA ⊥平面ABC ，AH ⊥平面SBC ，求证：H 不可能是SBC ∆的垂心。
15.如图所示，设ABCD 是空间四边形，AB ＝AD ，CB ＝CD.
求证：.AC BD ⊥
16.在ABC ∆中，已知2222
()sin()()sin()a b A B a b A B +-=-+，求证：ABC ∆为等腰三角形或直
角三角形。
17.在锐角ABC ∆中，已知3sin b B =且cos cos B C =，求证：ABC ∆是等边三角形。
18
19实数,,,a b c d 满足1,1a b c d ac bd +=+=+>，求证：,,,a b c d 中至少有一个是负数。
20.已知0,0a b >>，且1a b +=，证明不等式1125
()().4a b a b ++≥
21．假设,,,,a b c d R ∈且1ad bc -=，求证：2222 1.a b c d ab cd +++++≠。
