第一章证明二练习题及答案全套

第一章证明二练习题及答案全套一、填空题1、 如图1，若⊿ABE ≅⊿ADC ，则AD = AB ，DC = ；∠D = ∠； ∠BAE = ∠ ；2、如图2，在△ABC 中，AD ＝DE ，AB ＝BE ，∠A ＝80°则∠DEC ＝ ．3、等腰三角形的两边分别是7 cm 和3 cm ，则周长为_________；4、在等腰三角形中顶角为40°时底角等于_________，一个底角为50°，则顶角等于_________；5、如图，∠AOB 是一钢架，且∠AOB=10°，为了使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管EF 、FG 、GH ……添加的钢管长度都与OE 相等，则最多能添加如此的钢管 根。

二、选择题6、给出下列命题，正确的（ ） ①等腰三角形的角平分线、中线和高重合； ②等腰三角形两腰上的高相等； ③等腰三角形最小边是底边；④等边三角形的高、中线、角平分线都相等；⑤等腰三角形差不多上锐角三角形（ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个7、满足下列条件的两个三角形一定全等的（ ） A 、腰相等的两个等腰三角形 B 、一个角对应相等的两个等腰三角形 C 、斜边对应相等的两个直角三角形 D 、底相等的两个等腰直角三角形8、已知如图3，在△ABC 中，AB ＝AC ，BC＝BD ，AD ＝DE ＝EB ，则∠A 的度数是（ ）（A ）30°（B ） 36°（C ）45°（D ）54° 9、如图4，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=36，BD 、CE 分别为∠ABC 与∠ACB 的角平分线，且交于点F ，则图中的等腰三角形有（ ）（A ）6个 （B ）7个 （C ）8个 （D ）9个 10、如图5，等边△ABC 中，BD=CE ，AD 与BE 相交于点P ，则∠APE 的度数是（ ） （A ）45°（B ）55° （C ）60°（ D ）75° 三、解答题11、阅读下题及其证明过程：已知：如图，D 是△ABC 中BC 边上一点，EB=EC ，∠ABE=∠ACE ，求证：∠BAE=∠CAE.证明：在△AEB 和△AEC 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AE AE ACEABE EC EB ∴△AEB ≌△AEC(第一步) ∴∠BAE=∠CAE(第二步) 问：上面证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理依照；若不正确，请指出错在哪一步？并写出你认为正确的推理过程； 12、已知：线段a 、h (如图) 求作：△ABC ，使AB=AC ，且BC=a ，高AD=h . 请你用尺规作图，并补全作法 作法：(1)作线段BC= . (2)作 . (3) . (4)连结 . 则△ABC 为所求等腰三角形. §1.1.2证明(二)一、填空题 1、等腰三角形底边上的__________，底边上的__________，顶角__________，均把它分成两个全等三角形 2、已知△ABC ，如下左图所示，其中∠B =∠C ，则_______=________.. 3、如上中图，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =120°，D 是BC 的中点，DE ⊥AC ，则∠C =__________°;CE ∶EA =__________. 4、如上右图，已知AD 是△ABC 的外角平分线，且AD ∥BC ，则∠1__________∠B ， ∠2__________∠C ，△ABC 是__________三角形.5、在△ABC 中，∠A =∠B=21∠C ，则△ABC是__________三角形. 二、选择题6、假如一个三角形的一个外角是130°，且它恰好等于一个不相邻的内角的2倍，那么那个三角形是（ ） A.钝角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形7、如下左图，在△ABC 中，AB=AC ，∠C =2∠A ，BD 是∠ABC 的平分线，则图中共有等腰三角形（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个8、如上右，△BD C ′是将矩形ABCD ，沿对角线BD 折起得到的，图中（包括实线、虚线图形），共有全等三角形（ ）A.2对 B 、3 对 C.4对 D.5对9、如下左图，在△ABC 中，∠B =∠C =40°，D ，E 是BC 上两点，且∠ADE =∠AED =80°，则图中共有等腰三角形（ ）A.6个B.5个C.4个D.3个10、如上右图，已知△ABC 中，CD 平分∠ACB 交AB 于D ，又DE ∥BC ，交AC 于E ，若DE =4 cm ，AE =5 cm ，则AC 等于（ ） A.5 cm B.4 cm C.9 cm D.1 cm 三、解答题11、已知，如左下图，△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，DE ∥AC 交AB 于E ，DF ∥AB 交AC 于F ，AE =6，求四边形AFDE 的周长.12、如图，DE ∥BC ，CG =GB ，∠1=∠2，求证：△DGE 是等腰三角形.13、.如右图所示，△ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB ，垂足是D ，∠A =60°.求证：BD =3AD .EC DAD CBA 21EA C BDC BA C一、填空题1、已知，等腰△ABC，AB=AC：（1）若AB=BC，则△ABC为_________三角形；（2）若∠A=60°，则△ABC为_______三角形；（3）若∠B=60°，则△ABC为_______三角形.2、在线段、直角、等腰三角形、直角三角形中，成轴对称图形的是__________.3、底与腰不等的等腰三角形有__________条对称轴，等边三角形有__________条对称轴.请你在图（1）中作出等腰△ABC，等边△DEF的对称轴.4、如图上右图，已知△ABC是等边三角形，AD∥BC，CD⊥AD，垂足为D，E为AC的中点，AD=DE=6cm则∠ACD=_____°,AC=______cm,∠DAC=_______°，△ADE是______三角形.5、如左下图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC，DE⊥AB，垂足分别为D，E，假如AB=8 cm，则BD=_______cm，∠BDE=_____°,BE=______cm.6、如右上图，Rt△ABC中，∠A=30°,AB+BC=12 cm，则AB=__________cm.二、选择题7、下列说法不正确的是A.等边三角形有三条对称轴B.线段AB只有一条对称轴C.等腰三角形的对称轴是底边上的中线D.等腰三角形的对称轴是底边上的高所在的直线8、下列命题不正确的是A.等腰三角形的底角不能是钝角B.等腰三角形不能是直角三角形C.若一个三角形有三条对称轴，那么它一定是等边三角形D.两个全等的且有一个锐角为30°的直角三角形能够拼成一个等边三角形9、在Rt△ABC中，如右图所示，∠C=90°，∠CAB=60°，AD平分∠CAB，点D到AB的距离DE=3.8 cm，则BC等于A.3.8 cmB.7.6 cmC.11.4 cmD.11.2 cm三、解答与证明10、如下图，在△ABC中，∠A=20°，D在AB上，AD=DC，∠ACD∶∠BCD=2∶3，求：∠ABC的度数.11、如下图，在△ABC中，∠B=90°，M是AC上任意一点（M与A不重合）MD⊥BC，交∠BAC的平分线于点D，求证：MD=MA.12、如右图，已知△ABC和△BDE差不多上等边三角形，求证：AE=CD.§1.1.3证明(二)一、判定题1.假如一个命题正确，那么它的逆命题也正确2.定理不一定有逆定理3.在直角三角形中，任意给出两条边的长能够求第三边的长 二、填空题4、Rt △ABC 中，∠C =90°，如图下左图，若b =5，c =13，则a =__________；若a =8，b =6，则c =__________.5、等边△ABC ，AD 为它的高线，下中图所示，若它的边长为2，则它的周长为__________，AD =__________，BD ∶AD ∶AB =__________∶__________∶__________.5、上右图所示，正方形ABCD ，AC 为它的一条对角线，若AB =2，则AC =__________；若AC =2，则AB =__________；AC ∶AB =__________∶__________.6、如右图，△ABC 中，∠A +∠C =2∠B ，∠A =30°，则∠C =__________；若AB =6，则BC =__________. 7、若直角三角形的三条边长分别是6，8，a 则（1）当6,8均为直角边时，a =__________； （2）当8为斜边，6为直角边时，a =__________. 三、选择题8、如右图，等腰直角△ABC ，AB =2，则S △ABC 等于( ) A.2 B.1 C.4 D.29、若三角形的三边分别为a ,b ,c ，则下面四种情形中，构成直角三角形的是()A.a=2,b =3,c =4 B.a =12,b =5,c =13 C.a =4,b =5,c =6 D.a =7,b =18,c =1710、如左下图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，BD =5，DC =1，AC =5，那么AB 的长度是A.27B.27C.10D.2511、如右上图，AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，E 是BC 上一点，∠BAE =∠DE C=60°，AB =3，CE =4，则AD 等于( )A.4 8B.24C.10D.12 四、解答题12、已知，如下图，等边三角形ABC ，AD 为BC 边上的高线，若AB =2，求△ABC 的面积.13、已知：如下图，△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，AC =4，BC =3，DB =59. （1）求DC 的长；（2）求AD 的长； （3）求AB 的长；（4）求证：△ABC 是直角三角形.14、如右图，为修铁路需凿通隧道AC ，测得∠A =50°，∠B =40°，AB =5 km,BC =4§1.2.1证明(二)km，若每天凿隧道0.3 km，问几天才能把隧道凿通？一、填空题1、如图，Rt△ABC和Rt△DEF，∠C=∠F=90（1）若∠A=∠D，BC=EF，则Rt△ABC≌Rt △DEF的依据是__________.（2）若∠A=∠D，AC=DF，则Rt△ABC≌Rt △DEF的依据是__________.（3）若∠A=∠D，AB=DE，则Rt△ABC≌Rt △DEF的依据是__________.（4）若AC=DF，AB=DE，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是__________.（5）若AC=DF，CB=F E，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是__________.2、如右图，在Rt△ABC和Rt△DCB中，AB=DC，∠A=∠D=90°，AC与BD交于点O，则有△__________≌△__________，其判定依据是__________，还有△__________≌△__________，其判定依据是__________.3、已知：如图下左图，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，AE=DF，AB=DC，则△__________≌△__________（HL）.4、已知：如上中图，BE，CF为△ABC的高，且BE=CF，BE，CF交于点H，若BC=10，FC=8，则EC=__________.5、已知：如上右图，AB=CD，DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，且DE=BF，∠D=60°，则∠A=______°.二、选择题6、如下左图，O是∠BAC内一点，且点O到AB，AC的距离OE=OF，则△AEO≌△AFO 的依据是( ) A.HL B.AAS C.SSS D.ASA7、在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，如上右图，那么下列各条件中，不能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的是( )A.AB=A′B′=5，BC=B′C′=3B.AB=B′C′=5，∠A=∠B′=40°C.AC=A′C′=5，BC=B′C′=3D.AC=A′C′=5，∠A=∠A′=40°8、下列条件不能够判定两个直角三角形全等的是( ) A.两条直角边对应相等面B.有两条边对应相等C.一条边和一锐角对应相等D.一条边和一个角对应相等三、证明题9、如下图，CD⊥AD，CB⊥AB，AB=AD，求证：CD=CB.10、已知：如下图，CD、C′D′分别是Rt △ABC，Rt△A′B′C′斜边上的高，且CB= C′B′，CD=C′D′.求证：△ABC≌△A′B′C′.§1.2.2证明(二)11、如下图，已知∠ABC=∠AD C=90°，E是AC上一点，AB=AD，求证：EB=ED.一、填空题1、如下左图，已知直线MN是线段AB的垂直平分线，垂足为D，点P是MN上一点，若AB=10 cm，则BD=__________cm；若P A=10 cm，则PB=__________cm；现在，PD=__________cm.2、如下中图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AC于E，交BC于D，△ABD的周长是12 cm，AC=5cm，则AB+BD+AD=________cm；AB+BD+DC=__________cm；△ABC的周长是__________cm.3、如上右图，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠B=15°,DE是AB的中垂线，垂足为D，交BC 于E，BE=5，则AE=_________，∠AEC=_________，AC=__________ .4、已知线段AB及一点P，P A=PB=3cm，则点P在__________上.5、假如P是线段AB的垂直平分线上一点，且PB=6cm，则P A=__________cm.6、如图下左图，P是线段AB垂直平分线上一点，M为线段AB上异于A，B的点，则P A，PB，PM的大小关系是P A________PB________PM.7、如图下中图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD平分∠ABC交BC于D，则点D 在__________上.8、如图上右图，BC是等腰△ABC和等腰△DBC 的公共底，则直线AD必是__________的垂直平分线.二、选择题9、下列各图形中，是轴对称图形的有多少个①等腰三角形②等边三角形③点④角⑤两个全等三角形A.1个B.2个C.3个D.4个10、如下左图，AC=AD，BC=BD，则A.CD垂直平分ADB.AB垂直平分CDC.CD平分∠ACBD.以上结论均不对11、如上右图，△ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，假如AC=5 cm，BC=4cm，那么△DBC的周长是A.6 cmB.7 cmC.8 cmD.9 cm12、假如三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部，那么，那个三角形是A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等边三角形三、解答题13、如右图，P是∠AOB的平分线OM上任意一点，PE⊥CA于E，PF⊥OB于F，连结EF.求证：OP垂直平分EF.§1.3.1证明(二)一、判定题1、三角形三条边的垂直平分线必交于一点2、以三角形两边的垂直平分线的交点为圆心，以该点到三角形三个顶点中的任意一点的距离为半径作圆，必通过另外两个顶点3、平面上只存在一点到已知三角形三个顶点距离相等4、三角形关于任一边上的垂直平分线成轴对称二、填空题5、如左下图，点P为△ABC三边中垂线交点，则P A__________PB__________PC.6、如右上图，在锐角三角形ABC中，∠A=50°，AC、BC的垂直平分线交于点O，则∠1_______∠2，∠3______∠4，∠5______∠6，∠2+∠3=________度，∠1+∠4=______度，∠5+∠6=_______度，∠BOC=_______度.7、如左下图，D为BC边上一点，且BC=BD+AD，则AD__________DC，点D在__________的垂直平分线上.8、如右上图，在△ABC中，DE、FG分别是边AB、AC的垂直平分线，则∠B__________∠1，∠C__________∠2；若∠BAC=126°，则∠EAG=__________度.9、如左下图，AD是△ABC中BC边上的高，E是AD上异于A，D的点，若BE=CE，则△__________≌△__________(HL)；从而BD=DC，则△________≌△_________(SAS)；△ABC是__________三角形.10、如右上图，∠BAC=120°，AB=AC，AC 的垂直平分线交BC于D，则∠AD B=_________度.三、作图题11、（1）分别作出点P，使得P A=PB=PC（2）观看各图中的点P与△ABC的位置关系，并总结规律：当△ABC为锐角三角形时，点P在△ABC 的__________；当△ABC为直角三角形时，点P在△ABC 的__________；当△ABC为钝角三角形时，点P在△ABC 的__________；反之也成立，且在平面内到三角形各顶点§1.3.2证明(二)距离相等的点只有一个. 四、类比联想12、既然任意一个三角形的三边的垂直平分线交于一点，那三角形的三边上的中线是否也交于一点；三个角的平分线是否也交于一点；试通过折纸或用直尺、圆规画图验证这种猜想.一、判定题1、角的平分线上的点到角的两边的距离相等2、到角的两边距离相等的点在角的平分线上3、角的平分线是到角两边距离相等的点的集合4、角平分线是角的对称轴 二、填空题5、如图下左图，AD 平分∠BAC ，点P 在AD 上，若PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，则PE __________PF .6、如图下中图，PD ⊥AB ，PE ⊥AC ，且PD =PE ，连接AP ，则∠BAP __________∠CAP.7、如图上右图，∠BAC =60°，AP 平分∠BAC ，PD ⊥AB ，PE ⊥AC ，若AD =3，则PE =______.8、已知，如图（4），∠AOB =60°,CD ⊥OA 于D ，CE ⊥OB 于E ，若CD =CE ，则∠COD +∠AOB =__________度. 9、如图（5），已知MP ⊥OP 于P ，MQ ⊥OQ 于Q ，S △DOM =6 cm 2，OP =3 cm ，则MQ =__________cm.三、选择题10、下列各语句中，不是真命题的是( ) A.直角都相等 B.等角的补角相等 C.点P 在角的平分线上 D.对顶角相等 11、下列命题中是真命题的是( )A.有两角及其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等B.相等的角是对顶角C.余角相等的角互余D.两直线被第三条直线所截，截得的同位角相等12、如左下图，在△ABC 中，∠ACB =90°,BE 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于D ，假如AC =3 cm ，那么AE +DE 等于A.2 cmB.3 cmC.4 cmD.5 cm13、如右上图，已知AB =AC ，AE =AF ，BE 与CF 交于点D ，则①△ABE ≌△ACF②△BDF ≌△CDE ③D 在∠BAC 的平分线上，以上结论中，正确的是A.只有①B.只有②C.只有①和②D.①，②与③ 四、解答题14、试用对称的观点分析说明线段的垂直平分线和角平分线的联系与区别.§1.4.1证明(二)15、如右图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若BD=CD.求证：AD平分∠BAC.一、判定题1、在同一平面内，到三角形三边距离相等的点只有一个2、在同一平面内，到三角形三边所在直线距离相等的点只有一个3、三角形三条角平分线交于一点4、等腰三角形底边中点到两腰的距离相等5、三角形是以它的角平分线为对称轴的轴对称图形二、填空题6、如图（1），点P为△ABC三条角平分线交点，PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，则PD__________PE__________PF.7、如图（2），P是∠AOB平分线上任意一点，且PD=2cm，若使PE=2cm，则PE与OB的关系是__________.8、如图（3），CD为Rt△ABC斜边上的高，∠BAC的平分线分别交CD、CB于点E、F，FG ⊥AB，垂足为G，则CF__________FG，∠1+∠3=__________度，∠2+∠4=__________度，∠3__________∠4，CE__________CF.9、如右图，E、D分别是AB、AC上的一点，∠EBC、∠BCD的角平分线交于点M，∠BED、∠EDC的角平分线交于N.求证：A、M、N在一条直线上.证明：过点N作NF⊥AB，NH⊥ED，NK⊥AC 过点M作MJ⊥BC，MP⊥AB，MQ⊥AC∵EN平分∠BED，DN平分∠EDC∴NF__________NH，NH__________NK∴NF__________NK∴N在∠A的平分线上又∵BM平分∠ABC，CM平分∠ACB∴__________=__________，__________=__________∴__________=__________∴M在∠A的__________上∴M、N都在∠A的__________上∴A、M、N在一条直线上三、作图题10、利用角平分线的性质，找到△ABC内部距三边距离相等的点.11、在下图△ABC所在平面中，找到距三边所在直线．．距离相等的点.12、如下图，一个工厂在公路西侧，在河的南§1.4.2证明(二)岸，工厂到公路的距离与到河岸的距离相等，且与河上公路桥南首（点A ）的距离为300米.请用量角器和刻度尺在图中标出工厂的位置.四、解答题13、已知：如下图在△ABC 中，∠C =90°，AD 平分∠BAC ，交BC 于D ，若BC =32，且BD ∶CD =9∶7，求：D 到AB 边的距离.班级：_______姓名：________得分：__________ 一、填空题1.一个等腰三角形有一角是70°，则其余两角分别为_________.2.一个等腰三角形的两边长为5和8，则此三角形的周长为_________.3.如下左图，△ABC 中，∠C =90°，AM 平分∠CAB ，CM =20 cm ，则点M 到AB 的距离是_________.4.如上右图，等边△ABC 中，F 是AB 中点，EF ⊥AC 于E ，若△ABC 的边长为10，则AE =_________，AE ∶EC =_________.5.如下左图，△ABC 中，DE 垂直平分BC ，垂足为E ，交AB 于D ，若AB =10 cm ，AC =6 cm ，则△ACD 的周长为_________.6.如上右图，∠C =90°，∠ABC =75°，∠CDB =30°，若BC =3 cm ，则AD =_________ cm.7.如下左图，B 在AC 上，D 在CE 上，AD =BD =BC ，∠ACE =25°，∠ADE=_________.8.等腰直角三角形一条边长是1 cm ，那么它斜边上的高是_________ cm. 9.如上右图，在∠AOB 的两边OA 、OB 上分别取OQ =OP ，OT =OS ，PT 和QS 相交于点C ，则图中共有_________对全等三角形.10.等腰三角形两腰上的高相等，那个命题的逆命题是________________，那个逆命题是_________命题.11.三角形三边分别为a 、b 、c ，且a 2－bc =a (b －c )，则那个三角形（按边分类）一定是_________三角形. 二、选择题12.等边三角形的高为23，则它的边长为单元测试证明(二)（ ）面A.4 B.3 C.2 D.5 13.等腰三角形的顶角是n °，那么它的一腰上的高与底边的夹角等于（ ）A.290 nB.90－2nC.2n D.90°－n ° 14.下列由线段a 、b 、c 组成的三角形，不是直角三角形的是（ ） A.a =3，b =4，c =5B.a =1，b =34，c =35 C.a =9，b =12，c =15 D.a =3，b =2，c =5 15.直角三角形的三边长为连续自然数，则它的面积为（ ） A.6 B.7.5 C.10 D.1216.△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C =1∶2∶3，最小边BC =4 cm ，最长边AB 的长是（ ）A.5 cmB.6 cmC.5 cmD.8 cm17.如右图，△ABC 中， AB =AC ，BC =BD ， AD =DE =EB ，则∠A 的度数为（ ）A.55°B.45°C.36°D.30°18.等腰△ABC 中，AC =2BC ，周长为60，则BC 的长为（ ）A.15B.12C.15或12D.以上都不正确19.直角三角形两直角边分别是5 cm 、12 cm ，其斜边上的高是（ ） A.13 cmB.1330cm C.1360 cm D.9 cm20.直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积分别为30和20，则以斜边为边长的正方形的面积为（ ） A.25 B.50 C.100 D.60 21.等腰三角形的底边为a ，顶角是底角的4倍，则腰上的高是（ ） A.23a B.33 a C.63a D. 21a 22.若一个三角形的三条高线交点恰好是此三角形的一个顶点，则此三角形一定是（ ） A.等腰三角形 B.等边三角形 C.等腰直角三角形 D.直角三角形23.等腰三角形ABC 中，∠A =120°，BC 中点为D ，过D 作DE ⊥AB 于E ，AE =4 cm ，则AD 等于（ ）A.8 cmB.7 cmC.6 cmD.4 cm 24.下列说法中，正确的是（ ）A.两边及一对角对应相等的两个三角形全等B.有一边对应相等的两个等腰三角形全等C.两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等D.两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等25.如右图，AB ⊥CD ，△ABD 、△BCE 差不多上等腰三角形，假如CD =8，BE =3，那么AC 长为（ ） A.8 B.5C.3D.3426.将两个全等的有一个角为30°的直角三角形拼成下右图，其中两条长直角边在同一直线上，则图中等腰三角形的个数是（ ） A.4 B.3 C.2 D.127.下列定理中逆定理不存在的是（ ） A.角平分线上的点到那个角的两边距离相等 B.在一个三角形中，假如两边相等，那么它们所对的角也相等C.同位角相等，两直线平行D.全等三角形的对应角相等*28.已知一个直角三角形的周长是4+26，斜边上中线长为2，则那个三角形的面积为（ ） A.5B.2C.45 D.1三、解答题29.已知：如图，AB =AC ，DE ∥AC ，求证：△DBE是等腰三角形.30.已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠BAD =21∠BAC ，过点D 作DE ⊥AB ，DE 恰好是∠ADB 的平分线，求证：CD =21DB .31.已知三角形的三边分别是n 2+n ，n +21和n 2+n +21(n ＞0)，求证：那个三角形是直角三角形.32.如图，△ABC 中，AB =AC ，∠1=∠2，求证：AD 平分∠BA C.33.如图，以等腰直角三角形ABC 的斜边AB 与边面内作等边△ABD ，连结DC ，以DC 当边作等边△DCE ，B 、E 在C 、D 的同侧，若AB =2，求BE 的长.*34.①在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于N，交BC的延长线于M，∠A=30°，求∠NMB的大小.②假如将①中的∠A的度数改为70°，其余条件不变，再求∠NMB的大小.③你感到存在什么样的规律性？试证明.（请同学们自己画图）④将①中的∠A改为钝角，对那个问题规律性的认识是否需要加以修改？参考答案1.1.1全等与等腰三角形一、1、BE B DAC 2、100 3、17㎝4、70 805、8二、6、B 7、D 8、C 9、C 10、C三11、略12略1.1.2等腰三角形性质一、1.锐角2.AB AC3.高线中线平分线4.30 3∶15.= = 等腰6.等腰直角二、1.C 2.C 3.C 4.C 5.C三、1.解：∵AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠F AD，且DF∥AE∴∠EAD=∠ADF，∴∠F AD=∠ADF∴AF=FD.同理，可得AE=ED，∠EAD=∠EDA∴在△ADE和△ADF中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠FDAEDAADADFADEAD∴△ADE≌△ADF（ASA）∴AE=AF，DE=DF综上，AE=ED=DF=AF=6∴四边形AFDE的周长为4AE=4×6=24.2.证明：∵∠1=∠2，∴AD=AE又∵DE∥BC，∴∠1=∠B，∠2=∠C且∠B=∠C∴AB=AC，∴AB－AD=AC－AE即DB=EC∴在△DBG和△ECG中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CGBGCBECDB∴△DBG≌△ECG（SAS）∴DG=GE，∴△DGE是等腰三角形3.证明：∵CD⊥AB，∴∠ADC=90°，又∵∠A=60°，∴∠ACD=30°∴在Rt△ACD中，AD=21AC，又∵∠ACB=90°，在Rt△ACB中，∴∠B=30°，∴AC=21AB∴AD=4AB，则AD=31BD，即BD=3AD.1.1.3等腰三角形判别一、1.（1）等边（2）等边（3）等边2.线段、直角、等腰三角形3.一三4.30 12 60 等边5.4 30 26.8二、1.C 2.B 3.C三、1.解：∵AD=DC，且∠A=20°，∴∠A=∠ACD=20°，又∵∠ACD ∶∠BCD =2∶3∴∠BCD =30°，∴∠ACB =50° ∴∠ABC =180°－∠A －∠ACB =180°－20°－50°=110°2.证明：∵MD ⊥BC ，且∠B =90°， ∴AB ∥MD ，∴∠BAD =∠D 又∵AD 为∠BAC 的平分线∴∠BAD =∠MAD ，∴∠D =∠MAD ， ∴M A=MD3.证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴AB =BC ，∠ABE =60° 又∵△BDE 是等边三角形， ∴BE =BD ，∠DBE =60°， ∴∠ABE =∠DBE∴在△ABE 和△CBD 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=BD BE DBE ABE BC AB ∴△ABE ≌△CBD （SAS ），∴AE =CD 1.2.1勾股定理一、1.× 2.√ 3.√ 二、1.12 10 2.6 3 1 3 23.222 2 1 4.90° 35.(1)10 (2)27.三、1.B 2.B 3.C 4.C四、1.解：∵△ABC 为等边三角形，且AD ⊥BC ，∴AD 平分∠BAC ，即∠BAD =∠C AD =30°. ∴BD =21AB =1,而BD 2+AD 2=AB 2 ∴AD 2=AB 2－BD 2=3 ∴AD =3∴S △ABC =21AD ·BC =21×3×2=3∴△ABC 的面积为3.2.（1）解：在Rt △DCB 中，DC 2+DB 2=BC 2 ∴DC 2=9－251442581=∴DC =512（2）解：在Rt △ACD 中，AD 2+CD 2=AC 2∴AD 2=16－2525625144=∴AD =516（3）解：AB =AD +DB=516+59=5 （4）证明：∵AC 2+BC 2=16+9=25，AB 2=25∴AC 2+BC 2=AB 2 ∴∠ACB =90°， ∴△ABC 是直角三角形.3.解：∵∠A =50°，∠B =40°，∴∠C =90°，∴AC 2=AB 2－BC 2=（3 km ）2∴AC =3 km ∵3.03=10天 ∴10天才能将隧道凿通. 1.2.2直角三角形全等的判定一、1.（1）AA S （2）ASA （3）AA S （4）HL （5）SAS 2.ABC DCB HL ABO DCO AAS 3.ABE DCF 4.6 5.30 二、1.A 2.B 3.D三、1.证明：连结AC ，CD ⊥AD ，CB ⊥AB∴在Rt △ADC 和Rt △ABC 中⎩⎨⎧==AC AC ABAD ∴Rt △ADC ≌△Rt △ABC (HL ) ∴CD =CB .（本题也可用勾股定理直截了当证明） 2.证明：∵CD ⊥AB ，C ′D ′⊥A ′B ′ ∴在Rt △CDB 和Rt △C ′D ′B ′中，⎩⎨⎧''=''=C B BC D C CD ∴Rt △CDB ≌Rt △C ′D ′B ′(HL )∴∠B =∠B ′∴在△ABC 和△A ′B ′C ′中，⎪⎩⎪⎨⎧'∠=∠''='''∠=∠B B C B BC B C A ACB ∴△ABC ≌△A ′B ′C ′(ASA ).3.证明：在Rt △ADC 和Rt △ABC 中，⎩⎨⎧==ACAC ADAB∴Rt △ABC ≌Rt △ADC (HL ) ∴∠DCE =∠BCE∴在△DCE 和△BCE中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CE CE BCE DCE BC DC ∴△DCE ≌△BCE （SAS ），∴EB =ED 1.3.1线段的垂直平分线一、1.× 2. × 3.× 4.√二、1.5 10 53 2.12 12 17 3.5 30° 215 4.线段AB 的垂直平分线 5.6 6.= ＞ 7.线段AB 的垂直平分线 8.线段BC 三、1.D 2.B 3.D 4.C四、证明：∵PE ⊥OA 于E ，DF ⊥OB 于F∴∠PEO =90°=∠PFO ∴在△PEO 和△PFO 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠OP OP FOP EOP PFOPEO ∴△PEO ≌△PFO ，∴PE =PF ，EO =FO ∴O 、P 在EF 的中垂线上， ∴OP 垂直平分EF .1.3.2三角形三条中垂线交于一点 一、1.√2.√3.√4.× 二、1.= = 2.= = = 50 50 80 100 3.= AC 4.= = 72°5.BED CED BAD C AD 等腰6.60°三、1.略 （2）内部 斜边的中点 外部 四、类比联想：略 1.4.1角的平分线一、1.√ 2.√ 3.√ 4.× 二、1.= 2.= 3.1 4.90 5.4 三、1.C 2.A 3.B 4.D四、1.提示：联系：说出线段的垂直平分线和角的平分线所在直线差不多上相应图形的对称轴即可.区别：说出线段垂直平分线的性质与角平分线的性质即可.2.证明：在△BDF 和△CDE 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠︒=∠=∠CD BD CDEBDF CED BFD 90 ∴△BDF ≌△CDE ，∴DF =DE ∴D 在∠A 的平分线上，∴AD 平分∠BAC . 1.4.2三角形三角的平分线交于一点 一、1.√ 2.× 3.√ 4.√ 5. ×二、1.= = 2.垂直 3.= 90 90 = = 4.= = = MP MJ MQ MJ MP MQ 平分线 平分线三、提示：1.三个内角平分线交点2.一个内角平分线与另外两个角外角平分线的交点3.略四、解：过点D 作DE ⊥AB ，则DE 是点D 到AB 的距离∵BD ∶CD =9∶7，∴CD =BC ·16732167⨯==14 而AD 平分∠CAB ，∴DE =CD =14 第一章单元测试卷 一、1.55°，55°或70°，40° 2.18或21 3.20 cm 4.251∶3 5.16 cm 6.6 7.75° 8.22或219.4 10.假如一个三角形两边上的高相等，那么那个三角形是等腰三角形 真 11.等腰二、12.A 13.C 14.D 15.A 16.D 17.B 18.B 19.C 20.B 21.D 22.D 23.A 24.C 25.D 26.B 27.D 28.B三、29.略 30.略 31.略 32.略 33.134.①15° ②35° ③AB 的垂直平分线与底边BC 所夹的锐角等于∠A 的一半 ④不需要修改。