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一道课本习题的变式

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一道课本习题的演变与感悟
1教学目标：
➢ 进一步巩固弧长公式，熟练运用公式解决问题
➢ 在经历探索与求解的过程中，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法．
提高学生作图能力
➢ 初步渗透数形结合和转化的数学思想，并逐步学会用数学的眼光和运动的观
点去认识世界、解决问题.
2.习题呈现 新苏科版九年级上册 课本94页 如图，ABC ∆是边长为1cm 的正三角形。

（1）画图：将线段CA 绕点C 按顺时针方向旋转120°至1CP ，形成扇形1D ；将线段1BP 绕点B 按顺时针方向旋转120°至2BP ，形成扇形2D ；将线段2AP 绕点A 按顺时针方向旋转120°至3AP ，形成扇形3D ；将线段3CP 绕点C 按顺时针方向旋转120°至4CP ，形成扇形4D
图1
C
B
（2）设n l 为扇形n D 的弧长（ 3,2,1=n ）. 填表：
分析：本题为求弧长，弧长公式为180
l =
如图2，将经过四次旋转之后形成的四个扇形画出，观察对应的四段圆弧，找出
圆弧所在的圆的半径以及圆心角，带入弧长公式进行计算，
图2
解：ππ3218011201=⨯⨯=
l ππ3
4
18021202=⨯⨯=l
312036
1803l ππ⨯⨯== ππ3
818041204=⨯⨯=l
点评：解决本题的关键是能够正确找出四个圆弧所在的圆的半径以及所对的圆心角。

3.习题拓展
演变1 等边三角形的旋转
例1 有一个边长为3cm 的等边三角形，现将它按下图所示滚动，请问B 点从开始到结束，A B C A B (结束)，经过的路线的总长度是多少厘米？
图3
B
B
A A
C A
B
分析：有了上一题的启发，我们可以先把点B 所经过的路线画出来。

图4
B A
C A B
从画的路线图上，我们可以看到，B 点经过了2个120°的半径为3cm 的圆弧，即经过了1个240°的半径为3cm 的圆弧，代入弧长公式计算即可. 解：l =
180
3
240⨯⨯π=π4（厘米）
点评：解决本题的关键是能够正确找出点B 从开始至结束所走过的路线长是两个圆心角是120°的弧长.
感悟：本题相对原题，难度大很多.所求解的问题不像原题那么直接明了，一些隐含条件也需要去挖掘.解题的关键在于将B 点走过的路线画出来，确定求解的方法，进而寻找求解的条件. 将“数”与“形”完美的结合起来. 演变2 长方形的旋转
例2 将一长为8cm ，宽为6cm 的长方形ABCD 的四边在桌面上沿直线向右滚动（不滑动），
(1)当长方形滚动一周是，点A 经过的路线长为 cm
(2)最后一次滚动被桌上一小木块挡住，使木板与桌面成30°, 点A 经过的路线长为 cm 。

......
A
D
B
C
D
图5
图7图8
图6
分析：作出长方形滚动一周的草图，可知点A 所经过的路线分别是：以点D 为圆心，以AD 为半径的圆心角为90°的弧长，以点C 为圆心，以AC 为半径的圆心角为90°的弧长，以点B 为圆心，以AB 为半径的圆心角为90°的弧长，这三段弧长的和，再根据弧长公式进行列式计算
.
解：以点D 为圆心旋转的弧长为：
690
3180
cm ππ
⨯⨯= 因为矩形6,DC 8ABCD AD cm cm ==中，
10AC cm ==
以点C 为圆心旋转的弧长为：
1090
5180cm ππ⨯⨯=
以点B 为圆心旋转的弧长为：
890
4180
cm ππ⨯⨯= 所以点A 经过的路线长为：35412cm ππππ++=
感悟：解题的关键是根据长方形的转动过程以哪一点为圆心，转动多大的角度，
半径是哪条线段，从而确定其运动路线的形状，然后求解。

本题也可变式为：最后一次滚动被桌上一小木块挡住，使木板与桌面成30°。

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多题一解 殊途同归

多题一解 殊途同归

多题一解 殊途同归（专页冀七33期）河北省滦平县第六中学 宋凤云（王爱东撰稿）（068254）下面我们从不同的角度对一道课本练习题进行变式，借以使同学们能够达到举一反三、触类旁通的目的，并帮助同学们提高解题的应变能力．原题：（教材第70页练习题第（2）小题）用加减消元法解方程组：1237.m n m n -=⎧⎨+=⎩，① ②解：①×3＋②，得510m =，所以2m =．把2m =代入①，得21n -=，解得1n =．所以，方程组的解是21m n =⎧⎨=⎩，． 变式一、变为文字题．1．已知m 与n 的差是1，且m 的2倍与n 的3倍的和是7，求m 与n 的值． 分析：根据题意，即可转化为原题的方程组．变式二、根据非负数的性质变式．2．若∣1m n --∣＋2(237)m n +-＝0，求m 、n 的值．分析：因为∣1m n --∣≥0，2(237)m n +-≥0，所以由∣1m n --∣＋2(237)m n +-＝0，得102370.m n m n --=⎧⎨+-=⎩，　整理即转化为原题的方程组．变式三、根据“互为相反数的两个数之和为0”变式．3．若∣1m n --∣与2(237)m n +-互为相反数，求m 、n 的值．分析：因为∣1m n --∣与2(237)m n +-互为相反数，所以有∣1m n --∣＋2(237)m n +-＝0．这样即转化为变式二的问题． 变式四、结合同类项变式．4．若单项式72m n a b -与233m n ab +-是同类项，求m 、n 的值．分析：根据同类项的定义可知1m n -=且237m n +=．即1237.m n m n -=⎧⎨+=⎩， 变式五、结合一元一次方程变式．5．若关于x 的一元一次方程2237(1)43m n m n x x+----=是一元一次方程，求m 、n 的值．分析：由已知易知10m n --=且2370m n +-=．即1237.m n m n -=⎧⎨+=⎩，　变式六、结合二元一次方程变式．6．若关于x 、y 的方程236534m n m n x y -+--=是二元一次方程，求m 、n 的值． 分析：由二元一次方程的定义可得1m n -=且2361m n +-=．即1237.m n m n -=⎧⎨+=⎩， 变式七、结合二元一次方程组变式． 7．若23x y =⎧⎨=⎩是关于m 、n 的方程组111237mx ny mx ny ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，的解，求m 、n 的值． 分析：根据方程组解的意义，可得1237.m n m n -=⎧⎨+=⎩， 变式八、结合新运算变式．8．对于数a 、b 、c 、d ，我们规定一种新运算为：a b ad bc c d =-．已知111m n -=，和273n m=-同时成立，求m 、n 的值． 分析：由规定的运算法则可知111m n -=就是1m n -=，273n m=-就是237m n +=．由题意得1237.m n m n -=⎧⎨+=⎩， 由以上的变式，你是否感悟到了什么呢？。

一道课本习题的变式思考

一道课本习题的变式思考


ｂ＋ｃ ｃ＋ａ ａ＋ｂ） Ｓ Ｓ Ｓ π Δ（ ＋ ＋ ＝ ａ＋ ｂ＋ ｃ ＝２ ａ ｂ ｃ ｂ ａ） （ ｃ ｂ） （ ａ ｃ） （ ］ ２ ２ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ π Δ［ π Δ， ≥１ ａ ｂ ｂ ｃ ｃ ａ 由均值 不 等 式 的 等 号 成 立 的 条 件 知 ， 当且仅
当 ａ ＝ｂ ＝ｃ 时 ， 等号成立 ； （ ）在任意 △Ａ ３ Ｂ Ｃ 中， ａ＋ｂ ＞ｃ， ｂ＋ｃ ＞ａ， ｃ 所以 ＋ａ ＞ｂ， １ １ １ １ （ａ ｂ ｃ ） ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＜ Ｓ Ｓ Ｓ ２ π Δ ｂ ＋ｃ ｃ ＋ａ ａ ＋ｂ ａ ｂ ｃ ３ ． ２ π Δ 又由均值不等式得 １ １ １ １ （ａ ｂ ｃ ） ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ Ｓ Ｓ Ｓ ２ π Δ ｂ ＋ｃ ｃ ＋ａ ａ ＋ｂ ａ ｂ ｃ ＝ ＝ １ （ ａ＋ｂ＋ｃ ａ＋ｂ＋ｃ ａ＋ｂ＋ｃ ） ＋ ＋ －３ ２ ｃ ＋ａ ａ ＋ｂ π Δ ｂ ＋ｃ １ ｛ １［ （ ） ］ （１ ａ＋ ｂ） ｂ＋ ｃ ｃ＋ａ） ＋（ ＋（ ｂ＋ｃ ２ π Δ ２ １ １ ） ｝ ＋ ＋ －３ ｃ＋ａ ａ＋ｂ １ （ ９ ）＝ ３ ， －３ ２ ４ π Δ ２ π Δ 由均值 不 等 式 的 等 号 成 立 的 条 件 知 ， 当且仅 ≥ 当 ａ ＝ｂ ＝ｃ 时 ， 等号成立 ． 综上 ，３ ≤ １ ＋ １ ＋ １ ＜ ３ ． ４ Ｓ Ｓ ２ π Δ Ｓ π Δ ａ ｂ ｃ （ 下转 １ ０ ０ 页）
（ ）该问题能进一步推广到一般情形吗？ 能否 ５ 用同样的方法去求解？ （ ）有没有与此问题相类似或相关的问题？ ６ …… ． 探究数 学 问 题 就 好 像 在 大 山 里 找 蘑 菇 ， 当找 到一颗蘑菇时 ， 它旁边一定还有一群蘑菇 ． 对于任意 △Ａ 同样以三边所在的直线为 Ｂ Ｃ， 旋转 一 周 形 成 曲 面 围 成 的 三 个 旋 转 体 的 旋转轴 ， 体积之间还会 不 会 有 什 么 关 系？ 请同学们进一步 探讨 ． （ ） 收稿日期 ： ２ ０ １ ５－０ ３－０ ３
以相似为载体的课本习题的变式探究

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解题研究 ・
中‘ ７ （１ 第 期・ 中 ） 擞・ ２１ ９ 初 版 ０年
３ ３
相 为 载体 的 课 本 习题 的 变 式探 究
７ ３ ０ 甘 肃武威 市 十三 中学 宋盛 华 ３０ ０
人教九 年级数学下册复 习题 ２ ７第 １ 题 是一道应用 ３
分 析 如 图 １ Ｅ Ｇ ， Ｆ Ｈ为 正方 形 ， 肼 ∥Ｂ Ａ 则 Ｃ，Ｋ上
即正方形零件 的边长是 ４ ｒ ． ８ ｍ ａ
点评
Ｇ Ｄ Ｈ Ｃ
在应用相似三 角形 的性质解 题 时 ， 大家 比较
形零 件 ， 正方 形 的一 边在 Ｂ Ｂ 使 Ｃ 上， 其余两 个顶点分别在 Ａ Ａ Ｂ， Ｃ
上， 这个正方形零件的边长是多少？
熟悉 的性质是 对应 角相 等 、 对应 边成 比例 ， 而相 似三 角 形 中“ 对应高 的比等 于相似 比” 则不太熟悉． 在解决 相 但
经过点
同理 可证对角线 Ａ Ｃ也必经过 点 Ｐ 所 以对 角线 Ａ ，Ｄ必经过点 Ｐ ＣＢ ． 对 于文章开篇提 出的猜想 ， 过近一 年断断续 续 的 经 思索 ， 没有 找到简 洁 的证 明思 路 ， 仍 于是 把这个 猜 想发 到网上征 解． 踏 破铁 鞋 无 觅处 ， 来全 不 费工 夫 ” 在 “ 得 ，
似三角形的面积 问题或 内接 四边形 问题时 ， 我们一定要
图 １
已知 ： 图 ４ 若 点 ０是 如 ，
四边形 Ａ Ｃ Ｂ Ｄ内切圆的圆心 ，
相等的点的集合是一条直线 ” ．
所 以点 Ｂ必在直线 Ｄ Ｎ上 ， 即对角线 Ｂ Ｄ经过 点 Ｐ
切点分别为 Ｅ， ， ， 肌 与 Ｆ Ｇ Ｈ， Ｃ ， Ｅ相交于点 Ｐ ． 求证 ： 角线 Ａ ， Ｄ必 对 ＣＢ
数学九年级教材下册变式题

数学九年级教材下册变式题

九年级下册·课本亮题拾贝26．1 二次函数题目 如图，四边形的两条对角线AC 、BD 互相垂直，AC + BD10,当AC 、BD 的长是多少时，四边形ABCD 的面积最大？(人教课本 P 1810题）分析阅读理解题意，抓住AC 与BD 的位置关系（AC ⊥BD ）和数量关系（AC + BD= 10）去表达四边形ABCD 的面积． 解 设AC 与BD 相交于O ，AC = x ，则BD = 10－x (0＜x ＜10），因为四边形ABCD的两条对角线AC 与BD 互相垂直，所以四边形ABCD 的面积 OB AC OD AC S ⋅+⋅=2121=10(2121)(21x x BD AC OB OD AC -=⋅=+=)10(2152122x x x x --=+-=225)5(212+--x ． 因此，当AC = x = 5,BD = 5时，四边形ABCD 的面积最大，为225． 戊 点评 由于多边形的面积一般是转化为三角形的面积解决的，所以当题目文字和图形中有了垂直关系时，自然就联想到三角形的面积等于底乘以高的一半（底与高垂直），借助于主元思想，设AC = x ，则BD = 10－x ,则就可以统一用x 来表达四边形ABCD 的面积等一些量． 演变变式1 (图形变式）已知平面上两条线段AC 、BD 互相垂直，AC + BD = 10，问当AC 、BD 的长是多少时,多边形ABCD 的面积最大？并画出此时多边形可能具有的形状．分析 由于四边形具有对角线垂直且相等的特征,所以作出其图形形状（含特殊情况）如下： 乙 丙 丁解 如图甲、乙、丙、丁,问题显然．如上图戊，设AC 的延长线与BD 相交于O ,AC = x ，则BD = 10－x ,（0＜x ＜10），因为四边形ABCD 的两条对角线AC 与BD 互相垂直，所以四边形ABCD 的面积S = S △ABD －S △CBD =BD CO BD AO ⋅-⋅2121=x x AC BD CO AO BD )10(2121)(21-=⋅=- =)10(2152122x x x x --=+-=225)5(212+--x ． 因此，当AC = x = 5,BD = 5时，四边形ABCD 的面积最大，为225． 说明:如图所示，构成的多边形ABDC ,就没有最大值．根据解答，将题目中的关系特征抽象出来，即得: C A B D变式2 （关系变式）已知 x 、y 都是正数，如果和x + y 是定值S ,那么当x = y 时，积xy 有最大值241S ． 这是一个有着十分广泛应用的结论（均值定理）．由x + y = S ，得y = S －x ，代入xy 中有,xy = x (S －x ）=－x 2 + Sx =－2241)21(S S x +-，结论正确．变式3 （问题推广）如图，四边形的两条对角线AC 、BD 所成的角为α，AC + BD = m ，问当AC 、BD 的长等于多少时,四边形ABCD 的面积最大？解 过A 、C 作AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，E 、F 是垂足，则 四边形ABCD 的面积为 S = S △ABD + S △CBD =21BD ·AE +21BD ·CF =21BD （AE + CF ）=21BD （AO · sin α + CO · sin α=21BD （AO + CO )sin α =21BD ·AC ·sin α， ∴ 当BD = AC =21m 时，S 最大，为αsin 812m ．26。