2016-2017年广东省东莞市虎门捷胜中学八年级(上)数学期中试卷及参考答案

广东省东莞市八年级上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共9题；共9分)1. （1分）下列图形中，既是轴对称又是中心对称的图形是（）A . 矩形B . 平行四边形C . 等腰三角形D . 直角三角形2. （1分） (2017八上·南宁期末) 如图，为估计池塘岸边A、B两点的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，测得OA=15米，OB=10米，A、B间的距离不可能是（）A . 5米B . 10米C . 15米D . 20米3. （1分）若方程组的解为x，y，且x＋y＞0，则k的范围是（）A . k＞－4B . k＞4C . k＜4D . k＜－44. （1分） (2020八下·姜堰期末) 在▱ABCD中，∠ABC的角平分线交线段AD于点E，DE=1，点F是BE中点，连接CF，过点F作FG⊥BC，垂足为G，设AB=x，若▱ABCD的面积为8，FG的长为整数，则整数x的值为（）A . 1B . 2C . 3D . 2或35. （1分）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则该等腰三角形的顶角是（）A . 50°B . 100°C . 130°D . 50°或130°6. （1分） (2019八下·合浦期中) 以下说法正确的是（）A . 各边都相等的多边形是正多边形B . 到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上C . 角的平分线就是角的对称轴D . 形状相同的两个三角形是全等三角形7. （1分）把不等式x+2≤0的解集在数轴上表示出来，则正确的是（）A .B .C .D .8. （1分）(2019·咸宁模拟) 如图图中，不能用来证明勾股定理的是（）A .B .C .D .9. （1分）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=40，CB=9，M、N在AB上且AM=AC，BN=BC，则MN的长为（）A . 6B . 7C . 8D . 9二、填空题 (共10题；共10分)10. （1分） (2019八上·绍兴月考) 如图，在△ABC中，∠A＝20°，∠ABC与∠ACB的角平分线交于D1 ，∠ABD1与∠ACD1的角平分线交于点D2 ，依此类推，∠ABD4与∠ACD4的角平分线交于点D5 ，则∠BD5C的度数是________.11. （1分） (2018八上·天河期末) 如图，点A，B，C在同一直线上，在这条直线同侧作等边△ABD和等边△BCE，连接AE和CD，交点为M，AE交BD于点P，CD交BE于点Q，连接PQ、BM，有4个结论：①△ABE≌△DBC，②△DQB≌△ABP，③∠EAC=30°，④∠AMC=120°，请将所有正确结论的序号填在横线上________.12. （1分） (2019八上·阳东期中) 如图，在△ABC中，∠A＝40°，点D为AB的延长线上一点，且∠CBD ＝120°，则∠C＝________．13. （1分）不等式2（x﹣2）≤x﹣2的非负整数解为________．14. （1分） (2016八上·东营期中) 如图，在Rt△ABC中，D，E为斜边AB上的两个点，且BD=BC，AE=AC，则∠DCE的大小为________（度）．15. （1分） (2018八下·深圳期中) 在一张长为8cm,宽为6cm的矩形纸片上,现要剪下一个腰长为5cm的等腰三角形(要求:等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合,其余的两个顶点在矩形的边上),则剪下的等腰三角形的面积为________.16. （1分） (2019八下·武汉月考) 如图，已知的平分线与的垂直平分线相交于点，，，垂足分别为，，，，则的长为________.17. （1分） (2017八上·鄞州月考) 如图，在△ABC中，D是BC上一点，AC＝AD＝DB，∠BAC＝102°，则∠ADC ＝________．18. （1分） (2019九上·桥东月考) 已知扇形AOB的圆心角为150°，半径OA为2，则A到OB的距离为________，若点C是扇形AOB弧AB上一点．则∠C的度数为________．19. （1分）(2017·高邮模拟) 如图，正方形ABCD的四个顶点A、B、C、D正好分别在四条平行线l1、l3、l4、l2上．若从上到下每两条平行线间的距离都是2cm，则正方形ABCD的面积为________ cm2 ．三、解答题 (共6题；共11分)20. （1分） (2019八下·兰州期中) 已知方程组的解x、y满足x+y＞0，求m的取值范围.21. （2分） (2020九下·吉林月考) 如图，在下列网格中，横、纵坐标均是整数的点叫格点，例如都是格点．（1）直接写出的面积；（2）仅用无刻度的直尺在图中画出一条线段，使它满足以下条件：①E点在内；②点都是格点；③ 三等分；④ ，请写出点的坐标．22. （1分）某商店第一次用3000元购进某款书包，很快卖完，第二次又用2400元购进该款书包，但这次每个书包的进价是第一次进价的1.2倍，数量比第一次少了20个．（1）求第一次每个书包的进价是多少元？（2）若第二次进货后按80元/个的价格销售，恰好销售完一半时，根据市场情况，商店决定对剩余的书包全部按同一标准一次性打折销售，但要求这次的利润不少于480元，问最低可打几折？23. （2分） (2019九上·黄石期中) 已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E.（1）如图①，若CD＝8，BE＝2，求⊙O的半径；（2）如图②，点G是上一点，AG的延长线与DC的延长线交于点F，求证：∠AGD＝∠FGC.24. （3分）(2017·吉林模拟) 如图，已知△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，∠BAD=∠BCE=90°，点M 为DE的中点，过点E与AD平行的直线交射线AM于点N．（1）当A，B，C三点在同一直线上时（如图1），直接写出线段AD与NE的数量关系为________．（2）将图1中的△BCE绕点B旋转，当A，B，E三点在同一直线上时（如图2），判断△ACN是什么特殊三角形并说明理由．（3）将图1中△BCE绕点B旋转到图3位置，此时A，B，M三点在同一直线上．若AC=3 ，AD=1，则四边形ACEN的面积为________．25. （2分） (2017八下·仙游期中) 如图，在矩形ABCO中，点O为坐标原点，点B的坐标为（4，3），点A、C在坐标轴上，点P在BC边上，直线l1：y=2x+3，直线l2：y=2x﹣3．（1）分别求直线l1与x轴，直线l2与AB的交点坐标；（2）已知点M在第一象限，且是直线l2上的点，若△APM是等腰直角三角形，求点M的坐标；参考答案一、单选题 (共9题；共9分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、二、填空题 (共10题；共10分)10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、18-1、19-1、三、解答题 (共6题；共11分)20-1、21-1、21-2、22-1、23-1、23-2、24-1、24-2、24-3、25-1、。

东莞市捷胜学校2016—2017学年度第一学期八年级第三次月考数学试卷一、选择题（3分×10 共30分）1，已知如图中的两个三角形全等，则∠α度数是……【】A．72°B．60°C．58°D．50°2，下列图案是轴对称图形的有…………………………【】A．1个B．2个C．3个D．4个3，已知三角形的两边长分别为4cm和9cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是【】A．13cm B．6cm C．5cm D．4cm 4，,六边形的内角和是【】A. 720° B.180° C.540° D.360°5，如图1-4，P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，下列结论中不正确的是【】A．PE PF=B．AE AF=C．△APE≌△APF D．AP PE PF=+6玻璃，那么最省事的办法是【】A.带①去B.带②去C.带③去D.带①和②去AD C B图1-4E FP7，如图所示，共有等腰三角形 【 】A 、5个B 、4个C 、3个D 、2个8，已知有两边相等的三角形两边长分别为6cm 、4cm,则该三角形的周长是 【 】 A.16cm B.14cm C.16cm 或14cm D.10cm9，全等三角形又叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形与镜面合同三角形，假设△ABC 和△A 1B 1C 1是全等(合同)三角形，点A 与点A 1对应，点B 与点B 1对应，点C 与点C 1对应，当沿周界A →B →C →A ，及A 1→B 1→C 1→A 1环绕时，若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形(如图1)，若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形(如图2)，两个真正合同三角形都可以在平面内通过平移或旋转使它们重合，两个镜面合同三角形要重合，则必须将其中一个翻转1800(如图)，下列各组合同三角形中，是镜面合同三角形的是 【 】10，如图，直线1l 、2l 、3l 表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有 【 】A 、一处B 、二处C 、三处D 、四处 二、填空题(4分×6，共24分)11，如图，一面小红旗其中∠A=60°, ∠B=30°,则∠BCD= 。

赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.P 2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。

DBC2016-2017学年广东省东莞市虎门捷胜中学八年级（上）期中数学试卷一．选择题1．（3分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）下列计算正确的是（）A．a2a3=a6B．（3a3）2=6a6C．3a3÷a3=3a3D．a2×a3=a53．（3分）下列计算正确的是（）A．a4b﹣6a3b+9a2b=a2b（a2﹣6a+9）B．x2﹣2x+1=（x﹣1）2C．x2﹣2x+4=（x﹣2）2D．4x2﹣y2=（4x+y）（4x﹣y）4．（3分）如果三角形的一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形5．（3分）如图，如果∠A=∠D，∠1=∠2，则可判定△ABC≌△DCB，这是根据（）A．（SSS）B．（ASA）C．（AAS）D．（SAS）6．（3分）若x，y均为正整数，且2x+1•4y=128，则x+y的值为（）A．3 B．5 C．4或5 D．3或4或57．（3分）如图，△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，将△ABC折叠，使点B落在点A处，DE为折痕，在下列结论中：①△ADE≌△BDE，②DE垂直平分AB，③△ADC是等边三角形，④AE垂直平分CD，⑤BE=2EC，⑥AB=4CE；正确的结论有（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个8．（3分）若坐标平面上点P（a，1）与点Q（﹣4，b）关于x轴对称，则（）A．a=4，b=﹣1 B．a=﹣4，b=1 C．a=﹣4，b=﹣1 D．a=4，b=19．（3分）如果4x2+mx+9是一个完全平方式，则m等于（）A．6 B．±6 C．12 D．±1210．（3分）如图，直线L是一条河，P，Q是两个村庄．欲在L上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（）A． B．C．D．二．填空题11．（3分）如果一个等腰三角形的两边分别长为6cm和10cm，那么它的周长是cm．12．（3分）若x2+kxy+16y2是一个完全平方式，则k=．13．（3分）已知2x+3y﹣5=0，则9x•27y的值为．14．（3分）如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等的三角形的对数是．15．（3分）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，∠BAC的平分线交BC于D，若AD=6cm，则BC=cm．16．（3分）如图，△ABC中，AB=AC，AC的垂直平分线交AC于D，交BC于E，若∠BAE=2∠EAC，则∠B=．三．解答题17．化简：（x+y）（x﹣y）+（2x3y﹣4xy3）÷2xy．18．先阅读下面的内容，再解决问题，例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9=0，求m和n的值．解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9=0∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9=0∴（m+n）2+（n﹣3）2=0∴m+n=0，n﹣3=0∴m=﹣3，n=3问题：（1）若x2+2y2﹣2xy﹣4y+4=0，求xy的值．（2）已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2+b2=10a+8b﹣41，且c是△ABC 中最长的边，求c的取值范围．19．如图，在正方形网格中，△ABC的各顶点的坐标是A（﹣1，3）、B（﹣3，0）、C（3，﹣2），有一个△A′B′C′与△ABC关于x轴对称．（1）△A′B′C′各顶点的坐标是：A′，B′，C′；（2）在图中画出△A′B′C′．20．如图，某轮船以20海里/小时的速度自西向东航行，在A处测得有一小岛P 在北偏东60°的方向上；航行了2小时到达B处，这时测得该小岛P在北偏东30°的方向上，求∠APB的度数及轮船在B处时与小岛P的距离．21．在△ABC中，∠C=90°．（1）用尺规作图作∠BAC的平分线交BC于D（保留作图痕迹）；（2）如果，AD=BD=12cm，求CD的长．22．如图，△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，CD是AB边上的中线．求证：△ACD是等边三角形．23．已知：如图，C是线段AB上一点，分别以AC．BC为边作等边△DAC和等边△ECB，AE与BD．CD相交于点F、G，CE与BD相交于点H．（1）求证：△ACE≌△DCB；（2）求∠AFB的度数．24．把四块长为a，宽为b的长方形木板围成如图所示的正方形，请解答下列问题：（1）按要求用含、的两种方式表示空心部分的正方形的面积S（结果不要化简保留原式）：①用大正方形面积减去四块木板的面积表示：S=；②直接用空心部分的正方形边长的平方表示：S=；（2）由①、②可得等式；（3）试证明（2）中的等式成立．25．已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．（1）直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G（如图1），求证：AE=CG；（2）直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M（如图2），找出图中与BE相等的线段，并证明．2016-2017学年广东省东莞市虎门捷胜中学八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题1．（3分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、是轴对称图形，故A符合题意；B、不是轴对称图形，故B不符合题意；C、不是轴对称图形，故C不符合题意；D、不是轴对称图形，故D不符合题意．故选：A．2．（3分）下列计算正确的是（）A．a2a3=a6B．（3a3）2=6a6C．3a3÷a3=3a3D．a2×a3=a5【解答】解：A、a2a3=a5，错误；B、（3a3）2=9a6，错误；C、3a3÷a3=3，错误；D、a2×a3=a5，正确；故选：D．3．（3分）下列计算正确的是（）A．a4b﹣6a3b+9a2b=a2b（a2﹣6a+9）B．x2﹣2x+1=（x﹣1）2C．x2﹣2x+4=（x﹣2）2D．4x2﹣y2=（4x+y）（4x﹣y）【解答】解：A、a4b﹣6a3b+9a2b=a2b（a2﹣6a+9）=a2b（a﹣3）2，故此选项不合题意；B、x2﹣2x+1=（x﹣1）2，正确，符合题意；C、x2﹣2x+4，无法分解因式，故此选项不合题意；D、4x2﹣y2=（2x+y）（2x﹣y）故此选项不合题意；故选：B．4．（3分）如果三角形的一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形【解答】解：如图，∵DC平分∠ACE，且AB∥CD，∴∠ACD=∠DCE，∠A=∠ACD，∠B=∠DCE∴∠B=∠A，∴△ABC为等腰三角形．故选：B．5．（3分）如图，如果∠A=∠D，∠1=∠2，则可判定△ABC≌△DCB，这是根据（）A．（SSS）B．（ASA）C．（AAS）D．（SAS）【解答】解：∵∠A=∠D，∠1=∠2，且BC=CB，∴在△ABC和△DCB中，满足AAS，故选：C．6．（3分）若x，y均为正整数，且2x+1•4y=128，则x+y的值为（）A．3 B．5 C．4或5 D．3或4或5【解答】解：∵2x+1•4y=2x+1+2y，27=128，∴x+1+2y=7，即x+2y=6∵x，y均为正整数，∴或∴x+y=5或4，故选：C．7．（3分）如图，△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，将△ABC折叠，使点B落在点A处，DE为折痕，在下列结论中：①△ADE≌△BDE，②DE垂直平分AB，③△ADC是等边三角形，④AE垂直平分CD，⑤BE=2EC，⑥AB=4CE；正确的结论有（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【解答】解：①∵△ADE由△BDE翻折而成，∴△ADE≌△BDE，故本小题正确；②∵△ADE≌△BDE，∴∠ADE=∠BDE=90°，AE=BE，∴DE垂直平分AB，故本小题正确；③∵∠B=30°，∴∠BAC=60°，AC=AB，∴AC=AD，∴△ADC是等边三角形，故本小题正确；④∵△ADE≌△BDE，∠B=30°，∴∠DAE=30°，∴AD是∠BAC的平分线．∵△ACD是等边三角形，∴AE垂直平分CD，故本小题正确；⑤∵AE是∠BAC的平分线，DE⊥AB，AC⊥BC，∴DE=CE．∵∠B=30°，∴DE=BE，∴BE=2EC，故本小题正确；⑥∵∠CAE=30°，∴AC=．∵∠B=30°，∴AB=2AC，∴AB=2×=2CE，故本小题错误．故选：C．8．（3分）若坐标平面上点P（a，1）与点Q（﹣4，b）关于x轴对称，则（）A．a=4，b=﹣1 B．a=﹣4，b=1 C．a=﹣4，b=﹣1 D．a=4，b=1【解答】解：∵点P（a，1）与点Q（﹣4，b）关于x轴对称，∴a=﹣4，b=﹣1．故选：C．9．（3分）如果4x2+mx+9是一个完全平方式，则m等于（）A．6 B．±6 C．12 D．±12【解答】解：根据题意得：△=0，即m2﹣4×4×9=0，解得：m=±12．故选：D．10．（3分）如图，直线L是一条河，P，Q是两个村庄．欲在L上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（）A． B．C．D．【解答】解：作点P关于直线L的对称点P′，连接QP′交直线L于M．根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道，则所需管道最短．故选：D．二．填空题11．（3分）如果一个等腰三角形的两边分别长为6cm和10cm，那么它的周长是22或26cm．【解答】解：根据题意，①当腰长为6cm时，周长=6+6+10=22（cm）；②当腰长为10cm时，周长=10+10+6=26（cm）．故答案为：22或26．12．（3分）若x2+kxy+16y2是一个完全平方式，则k=±8．【解答】解：∵x2+kxy+16y2=x2+kxy+（4y）2，∴kxy=±2•x•4y，解得k=±8．故答案为：±8．13．（3分）已知2x+3y﹣5=0，则9x•27y的值为243．【解答】解：∵2x+3y﹣5=0，∴2x+3y=5，∴9x•27y=32x•33y=32x+3y=35=243．故答案为：243．14．（3分）如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等的三角形的对数是4．【解答】解：∵AB=AC，D是BC的中点，∴∠CAD=∠BAD，AD⊥BC，∴OC=OB，在△ACD和△ABD中，，∴△ACD≌△ABD（SAS）；同理：△COD≌△BOD，在△AOC和△AOB中，，∴△OAC≌△OAB（SSS）；∵EF是AC的垂直平分线，∴OA=OC，∠OEA=∠OEC=90°，在Rt△OAE和Rt△OCE中，，∴Rt△OAE≌Rt△OCE（HL）．故答案为：4．15．（3分）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，∠BAC的平分线交BC于D，若AD=6cm，则BC=9cm．【解答】解：∵∠ADC=60°，∴∠CAD=90°﹣60°=30°，∵AD=6cm，∴CD=3cm，根据勾股定理，AC==3，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAC=2∠CAD=2×30°=60°，∴∠B=90°﹣60°=30°，∴BC=AC=9．故答案为：9．16．（3分）如图，△ABC中，AB=AC，AC的垂直平分线交AC于D，交BC于E，若∠BAE=2∠EAC，则∠B=36°．【解答】解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵AD是线段AC的垂直平分线，∴AE=EC，∴∠EAD=∠C，∵∠BAE=2∠EAC，∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∴5∠B=180°，∴∠B=36°，故答案为36°．三．解答题17．化简：（x+y）（x﹣y）+（2x3y﹣4xy3）÷2xy．【解答】解：原式=x2﹣y2+x2﹣2y2=2x2﹣3y2．18．先阅读下面的内容，再解决问题，例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9=0，求m和n的值．解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9=0∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9=0∴（m+n）2+（n﹣3）2=0∴m+n=0，n﹣3=0∴m=﹣3，n=3问题：（1）若x2+2y2﹣2xy﹣4y+4=0，求xy的值．（2）已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2+b2=10a+8b﹣41，且c是△ABC 中最长的边，求c的取值范围．【解答】解：（1）∵x2+2y2﹣2xy﹣4y+4=0，∴（x﹣y）2+（y﹣2）2=0，∴x﹣y=0，y﹣2=0∴x=﹣2，y=2，∴xy=4．（2）∵a2+b2=10a+8b﹣41，∴a2﹣10a+25+b2﹣8b+16=0，即（a﹣5）2+（b﹣4）2=0，a﹣5=0，b﹣4=0，解得a=5，b=4，∵c是△ABC中最长的边，∴5≤c＜9．19．如图，在正方形网格中，△ABC的各顶点的坐标是A（﹣1，3）、B（﹣3，0）、C（3，﹣2），有一个△A′B′C′与△ABC关于x轴对称．（1）△A′B′C′各顶点的坐标是：A′（﹣1，﹣3），B′（﹣3，0），C′（3，2）；（2）在图中画出△A′B′C′．【解答】解：（1）△A’B’C’各顶点的坐标是：A’（﹣1，﹣3），B’（﹣3，0），C’（3，2）．故答案为：（﹣1，﹣3），（﹣3，0），（3，2）；（2）如图，△A’B’C’为所求画的三角形．20．如图，某轮船以20海里/小时的速度自西向东航行，在A处测得有一小岛P 在北偏东60°的方向上；航行了2小时到达B处，这时测得该小岛P在北偏东30°的方向上，求∠APB的度数及轮船在B处时与小岛P的距离．【解答】解：（1）∵∠DAP=60°，∴∠PAB=90°﹣60°=30°，∵∠PBE=30°，∴∠ABP=90°+30°=120°，∴∠APB=180°﹣∠PAB﹣∠ABP=180°﹣30°﹣120°=30°，∴∠APB的度数为30°；（2）∵∠PAB=∠APB=30°，∴△PAB为等腰三角形，∴PB=AB=20×2=40（海里）∴B处时与小岛P的距离为40海里．21．在△ABC中，∠C=90°．（1）用尺规作图作∠BAC的平分线交BC于D（保留作图痕迹）；（2）如果，AD=BD=12cm，求CD的长．【解答】解：（1）如图，AD即为∠BAC的平分线；（2）∵AD=BD=12cm，∴∠1=∠B．∵∠1=∠2，∠1+∠2+∠B=90°，∴∠2=30°，∴CD=AD=6cm．22．如图，△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，CD是AB边上的中线．求证：△ACD是等边三角形．【解答】证明：∵∠C=90°，∠B=30°，∴AC=AB，∵CD是AB边上的中线，∠C=90°，∴CD=AB=AD，∴AC=DC=AD，∴△ACD是等边三角形．23．已知：如图，C是线段AB上一点，分别以AC．BC为边作等边△DAC和等边△ECB，AE与BD．CD相交于点F、G，CE与BD相交于点H．（1）求证：△ACE≌△DCB；（2）求∠AFB的度数．【解答】解：（1）∵△DAC是等边三角形，∴AC=DC，∠ACD=60°，∵△BCE为等边三角形，∴CE=CB，∠ECB=60°，∴∠ACD=∠ECB=60°，∴∠ACD+∠DCE=∠ECB+∠DCE，即∠ACE=∠DCB，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△DCB（SAS）；（2）由（1）得∠AEC=∠DBC，又∵∠EHF=∠BHC，∴∠EFH=∠BCH=60°，∴∠AFB=180°﹣60°=120°．24．把四块长为a，宽为b的长方形木板围成如图所示的正方形，请解答下列问题：（1）按要求用含、的两种方式表示空心部分的正方形的面积S（结果不要化简保留原式）：①用大正方形面积减去四块木板的面积表示：S=（a+b）2﹣4ab；②直接用空心部分的正方形边长的平方表示：S=（a﹣b）2；（2）由①、②可得等式（a+b）2﹣4ab=（a﹣b）2；（3）试证明（2）中的等式成立．【解答】解：（1）①用大正方形面积减去四块木板的面积表示：S=（a+b）2﹣4ab．故答案为（a+b）2﹣4ab；②直接用空心部分的正方形边长的平方表示：S=（a﹣b）2．故答案为（a﹣b）2；（2）由①、②可得等式（a+b）2﹣4ab=（a﹣b）2．故答案为（a+b）2﹣4ab=（a﹣b）2；（3）∵左边=（a+b）2﹣4ab=a2+2ab+b2﹣4ab=a2﹣2ab+b2，右边=（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，∴左边=右边，∴等式成立．25．已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．（1）直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G（如图1），求证：AE=CG；（2）直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M（如图2），找出图中与BE相等的线段，并证明．【解答】（1）证明：∵点D是AB中点，AC=BC，∠ACB=90°，∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°，∴∠CAD=∠CBD=45°，∴∠CAE=∠BCG，又∵BF⊥CE，∴∠CBG+∠BCF=90°，又∵∠ACE+∠BCF=90°，∴∠ACE=∠CBG，在△AEC和△CGB中，∴△AEC≌△CGB（ASA），∴AE=CG，（2）解：BE=CM．证明：∵CH⊥HM，CD⊥ED，∴∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，∴∠CMA=∠BEC，又∵∠ACM=∠CBE=45°，在△BCE和△CAM中，，∴△BCE≌△CAM（AAS），∴BE=CM．。

八年级（上）期中数学试卷一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．因式分解x2﹣9的结果是（）A．（x+9）（x﹣9）B．（x+3）（x﹣3）C．（3+x）（3﹣x）D．（x﹣3）22．有一组数据如下：3，5，4，6，7，那么这组数据的方差是（）A．10 B． C．2 D．3．对与实数，﹣π，，3.1415，0.333…，2.010101…（相邻两个1之间0的个数逐个加1），其中无理数的个数是（）A．3个B．4个C．5个D．6个4．对与3+的运算结果的估计正确的是（）A．1＜3+＜2 B．2＜3+＜3 C．3＜3+＜4 D．4＜3+＜55．下列说法正确的是（）A．﹣4是16的平方根B．的算术平方根是4C．0没有算术平方根D．2的平方根是6．直角三角形两边长分别是3、4，则这个直角三角形的第三边是（）A．5 B．C．5或D．无法确定7．适合下列条件的△ABC的三边a、b、c，不能组成直角三角形的是（）A．a=3，b=3，c=3 B．a=7，b=24，c=25C．a=8，b=15，c=17 D．a=，b=，c=8．如图，数轴上A，B两点表示的数分别为﹣1和，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数为（）A．B．C．D．9．若实数x、y满足+（y+3）2=0，则x+y的值为（）A．1 B．﹣1 C．7 D．﹣710．如表是某地区某月份的气温数据表，这组数据的中位数和众数分别是（）A．21；21 B．21；21.5 C．21；22 D．22；2211．对于a2﹣2ab+b2﹣c2的分组中，分组正确的是（）A．（a2﹣c2）+（﹣2ab+b2）B．（a2﹣2ab+b2）﹣c2C．a2+（﹣2ab+b2﹣c2）D．（a2+b2）+（﹣2ab﹣c2）12．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，且a、b、c满足a4﹣b4=a2c2﹣b2c2，则△ABC一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）13．某同学在对关于x的二次三项式x2+3x﹣10分解因式时，正确的分解成了（x﹣b）（x﹣2），则b= ．14．若二次三项式x2+（m﹣2）x+9是关于x的一个完全平方式，则m= ．15．如图所示的圆柱体中底面圆的半径是，高为3，若一只小虫从A点出发沿着圆柱体的侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路程是．16．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别是4、6、3、4，则最大正方形E的面积是．17．在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，则△ABC的面积为．18．若a、b、c为△ABC的三边，且a、b、c满足a2+b2+c2+200=12a+16b+20c，则△ABC的最长边的高的长度等于．三、解答题19．（16分）计算化简（1）﹣（2）﹣（﹣2+）（3）×﹣5（4）（）2．20．将下列各多项式因式分解（1）15a2+5a（2）x5﹣x3（3）a3b﹣4a2b2+4ab3（4）1﹣x2﹣y2+x2y2．21．已知：x=，y=，①x+y；②xy；③x2+y2；④（x2+x+2）（y2+y﹣2）22．根据平方根、立方根的定义解下列方程①x2=9；②（x﹣2）2=4；③（2x+1）2=12；④（x+1）3=﹣2．23．如图所示，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AC⊥CD，以CD为直径作半圆O，AB=4cm，BC=3cm，AD=13cm．求图中阴影部分的面积：24．已知网格中每个小正方形的边长是1，在网格中作△ABC，使得AB=，BC=，CA=，．并求S△ABC25．探究题：．（1）在正△ABC中（图1），AB=2，AD⊥BC于D，求S△ABC（2）在正△AB1C1中（图2），B1C1=2，AB2⊥B1C1于B2，以AB2为边作正△AB2C2，AC1、B2C2交于B3，以AB3为边作正△AB3C3，依此类推．①写出第n个正三角形的周长；（用含n的代数式表示）②写出第n个正三角形的面积．（用含n的代数式表示）26．在正方形ABCD中，AB=4，E为BC的中点，F在CD上，DF=3CF，连结AF、AE、EF．（1）如图1，求出△AEF的三条边的长度；（2）判断△AEF的形状；并说明理由；（3）探究S△ECF +S△ABE与S△AEF的关系，并说明理由；（4）如图2，作EG⊥AF于G，①试求出FG、AG、EG的长度；②试探究EG2与FG×AG的关系？并说明理由．参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分） 1．因式分解x 2﹣9的结果是（ ）A ．（x+9）（x ﹣9）B ．（x+3）（x ﹣3）C ．（3+x ）（3﹣x ）D ．（x ﹣3）2 【考点】因式分解-运用公式法．【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案． 【解答】解：x 2﹣9=（x+3）（x ﹣3）． 故选：B ．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．2．有一组数据如下：3，5，4，6，7，那么这组数据的方差是（ ）A ．10B ．C ．2D ．【考点】方差．【分析】先由平均数的公式计算出x 的值，再根据方差的公式计算． 【解答】解： =（3+5+4+6=7）=5，S 2= [（3﹣5）2+（5﹣5）2+（4﹣5）2+（6﹣5）2+（7﹣5）2]=2， 故选：C ．【点评】本题考查方差的定义：一般地设n 个数据，x 1，x 2，…x n 的平均数为，则方差S 2= [（x 1﹣）2+（x 2﹣）2+…+（x n ﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立． 3．对与实数，﹣π，，3.1415，0.333…，2.010101…（相邻两个1之间0的个数逐个加1），其中无理数的个数是（ ）A．3个B．4个C．5个D．6个【考点】无理数．【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【解答】解：﹣π，，2.010101…（相邻两个1之间0的个数逐个加1）是无理数，故选：A．【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．4．对与3+的运算结果的估计正确的是（）A．1＜3+＜2 B．2＜3+＜3 C．3＜3+＜4 D．4＜3+＜5【考点】估算无理数的大小．【分析】根据被开方数越大算术平方根越大，可得的范围，根据不等式的性质1，可得答案．【解答】解：由被开方数越大算术平方根越大，得1＜2，3+1＜3+＜2+3，故选：D．【点评】本题考查了估算无理数的大小，利用被开方数越大算术平方根越大得出的范围是解题关键．5．下列说法正确的是（）A．﹣4是16的平方根B．的算术平方根是4C．0没有算术平方根D．2的平方根是【考点】算术平方根；平方根．【分析】依据平方根和算术平方根的性质求解即可．【解答】解：A、﹣4是16的平方根，故A正确；B、=4，4的算术平方根是2，故B错误；C、0的算术平方根是0，故C错误；D、2的平方根是±．故选：A．【点评】本题主要考查的是算术平方根和平方根，掌握相关定义和性质是解题的关键．6．直角三角形两边长分别是3、4，则这个直角三角形的第三边是（）A．5 B．C．5或D．无法确定【考点】勾股定理．【分析】已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论：①3是直角边，4是斜边；②3、4均为直角边；可根据勾股定理求出上述两种情况下，第三边的长．【解答】解：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时：第三边的长为： =；②长为3、4的边都是直角边时：第三边的长为： =5；综上，第三边的长为：5或．故选C．【点评】此题主要考查的是勾股定理，要注意的是由于已知的两边是直角边还是斜边并不明确，所以一定要分类讨论，以免漏解．7．适合下列条件的△ABC的三边a、b、c，不能组成直角三角形的是（）A．a=3，b=3，c=3 B．a=7，b=24，c=25C．a=8，b=15，c=17 D．a=，b=，c=【考点】勾股定理的逆定理．【分析】根据直角三角形的判定，符合a2+b2=c2即可；反之不符合的不能构成直角三角形．【解答】解：A、因为32+32=（3）2，所以能组成直角三角形；B、因为72+242=252，所以能组成直角三角形；C、因为82+152=172，所以能组成直角三角形；D、因为（）2+（）2≠（）2，所以不能组成直角三角形；故选D．【点评】本题考查了直角三角形的判定，运用勾股定理的逆定理判定是解答此题的关键．8．如图，数轴上A，B两点表示的数分别为﹣1和，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数为（）A．B．C．D．【考点】实数与数轴．【分析】设点C表示的数是x，然后根据中点公式列式求解即可．【解答】解：设点C表示的数是x，∵A，B两点表示的数分别为﹣1和，C，B两点关于点A对称，∴=﹣1，解得x=﹣2﹣．故选：A．【点评】本题考查了实数与数轴，根据点B、C关于点A对称列出等式是解题的关键．9．若实数x、y满足+（y+3）2=0，则x+y的值为（）A．1 B．﹣1 C．7 D．﹣7【考点】非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：偶次方．【分析】根据非负数的性质列方程求出x、y的值，然后相加计算即可得解．【解答】解：∵ +（y+3）2=0，∴=0，（y+3）2=0，∴x+y﹣1=0，y+3=0，解得x=4，y=﹣3，故x+y=4+（﹣3）=1．故选A．【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．10．如表是某地区某月份的气温数据表，这组数据的中位数和众数分别是（）A．21；21 B．21；21.5 C．21；22 D．22；22【考点】众数；中位数．【分析】根据中位数和众数的定义分别进行解答即可．【解答】解：把这些数从小到大排列为，最中间的数是第15、16个数的平均数，则中位数是： =22；∵22出现了8次，出现的次数最多，∴众数在22．故选D．【点评】此题考查了中位数和众数；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．11．对于a2﹣2ab+b2﹣c2的分组中，分组正确的是（）A．（a2﹣c2）+（﹣2ab+b2）B．（a2﹣2ab+b2）﹣c2C．a2+（﹣2ab+b2﹣c2）D．（a2+b2）+（﹣2ab﹣c2）【考点】因式分解-分组分解法．【分析】当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解．本题a2﹣2ab+b2是完全平方，再可利用平方差公式分解．【解答】解：a2﹣2ab+b2﹣c2=（a2﹣2ab+b2）﹣c2=（a﹣b）2﹣c2=（a﹣b+c）（a﹣b﹣c）．故选B．【点评】本题考查了分组分解法分解因式．注意难点是采用两两分组还是三一分组．12．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，且a、b、c满足a4﹣b4=a2c2﹣b2c2，则△ABC一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形【考点】因式分解的应用．【分析】将等式右边的移项到方程左边，然后提取公因式将方程左边分解因式，根据两数相乘积为0，两因式中至少有一个数为0转化为两个等式；根据等腰三角形的判定，以及勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形或等腰三角形．【解答】解：∵a4﹣b4=a2c2﹣b2c2，∴a4﹣b4﹣a2c2+b2c2=0，∴（a2+b2）（a2﹣b2）﹣c2（a2﹣b2）=0，∴（a2﹣b2）[（a2+b2）﹣c2]=0，则当a2﹣b2=0时，a=b；当a2﹣b2≠0时，a2+b2=c2；所以△ABC是等腰三角形或直角三角形．故选D．【点评】此题考查因式分解和勾股定理逆定理的实际运用，掌握平方差公式和完全平方公式是关键．二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）13．某同学在对关于x的二次三项式x2+3x﹣10分解因式时，正确的分解成了（x﹣b）（x﹣2），则b= ﹣5 ．【考点】因式分解-十字相乘法等．【分析】由题意二次三项式x2+3x﹣10分解因式的结果为（x﹣2）（x﹣b），将整式（x﹣b）（x﹣2）相乘，然后根据系数相等求出b．【解答】解：∵关于x的二次三项式x2+3x﹣10分解因式的结果为（x﹣b）（x﹣2），∴（x﹣b）（x﹣2）=x2﹣（b+2）x+2b=x2+3x﹣10，∴2b=﹣10，∴b=﹣5．故答案为﹣5．【点评】本题考查了因式分解的意义，紧扣因式分解的定义，是一道基础题．14．若二次三项式x2+（m﹣2）x+9是关于x的一个完全平方式，则m= 8或﹣4 ．【考点】完全平方式．【专题】计算题；整式．【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值．【解答】解：∵二次三项式x2+（m﹣2）x+9是关于x的一个完全平方式，∴m﹣2=±6，解得：m=8或﹣4．故答案为：8或﹣4．【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．15．如图所示的圆柱体中底面圆的半径是，高为3，若一只小虫从A点出发沿着圆柱体的侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路程是4．【考点】平面展开-最短路径问题．【分析】先将图形展开，再根据两点之间线段最短，由勾股定理可得出．【解答】解：圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，C是边的中点，矩形的宽即高等于圆柱的母线长．∵AB=π•=4，CB=4．∴AC==4．故答案为：4．【点评】此题主要考查了平面展开图最短路径问题，此矩形的长等于圆柱底面周长，矩形的宽即高等于圆柱的母线长．本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．16．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别是4、6、3、4，则最大正方形E的面积是17 ．【考点】勾股定理．【分析】根据正方形的面积公式，运用勾股定理可以证明：四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积，由此即可解决问题．【解答】解：如图记图中两个正方形分别为P、Q．根据勾股定理得到：C与D的面积的和是Q的面积；A与B的面积的和是P的面积；而P，Q的面积的和是E的面积，即A、B、C、D的面积之和为E的面积，∴正方形E的面积=4+6+3+4=17，故答案为：17．【点评】本题考查了勾股定理的应用．能够发现正方形A，B，C，D的边长正好是两个直角三角形的四条直角边，根据勾股定理最终能够证明正方形A，B，C，D的面积和即是最大正方形的面积．17．在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，则△ABC的面积为48 ．【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．【分析】作底边上的高，构造直角三角形．运用等腰三角形性质及三角形的面积公式求解．【解答】解：如图，作AD⊥BC于点D，则BD=BC=6．在Rt△ABD，∵AD2=AB2﹣BD2，∴AD=8，∴△ABC的面积=BC•AD=×12×8=48．故答案为：48．【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．18．若a、b、c为△ABC的三边，且a、b、c满足a2+b2+c2+200=12a+16b+20c，则△ABC的最长边的高的长度等于 4.8 ．【考点】因式分解的应用．【分析】根据a2+b2+c2+200=12a+16b+20c，可以求得a、b、c的值，从而可以判断△ABC的形状，从而可以求得最长边上的高．【解答】解：∵a2+b2+c2+200=12a+16b+20c，∴a2+b2+c2+200﹣12a﹣16b﹣20c=0，∴（a﹣6）2+（b﹣8）2+（c﹣10）2=0，∴a﹣6=0，b﹣8=0，c﹣10=0，解得，a=6，b=8，c=10，∵62+82=102，∴△ABC是直角三角形，∴斜边上的高是： =4.8，故答案为：4.8．【点评】本题考查因式分解的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要．三、解答题19．计算化简（1）﹣（2）﹣（﹣2+）（3）×﹣5（4）（）2．【考点】二次根式的混合运算．【分析】（1）直接利用二次根式的性质化简求出答案；（2）直接利用二次根式的性质化简，进而合并求出答案；（3）直接利用二次根式的乘法运算法则化简，进而求出答案；（4）直接利用二次根式乘法运算法则化简求出答案．【解答】解：（1）﹣=2﹣5=﹣3；（2）﹣（﹣2+）=3﹣（4﹣8+3）=﹣7+11；（3）×﹣5=6﹣5=1；（4）（）2==1+．【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．20．将下列各多项式因式分解（1）15a2+5a（2）x5﹣x3（3）a3b﹣4a2b2+4ab3（4）1﹣x2﹣y2+x2y2．【考点】因式分解-分组分解法；提公因式法与公式法的综合运用．【分析】（1）此多项式有公因式，应提取公因式5a，然后再整理即可．（2）先提取公因式x3，再利用平方差公式继续进行因式分解．（3）先提取公因式ab，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．（4）用分组分解法，前两项一组，后两项一组，提取公因式，两组之间提取提取公因式，再用平方差公式分解，即可．【解答】解：（1）原式=5a（3a+1）；（2）原式=x3（x2﹣1）=x3（x+1）（x﹣1）；（3）原式=ab（a2﹣4ab+4b2）=ab（a﹣2b）2．（4）原式=（1﹣x2）﹣（y2﹣x2y2）=（1﹣x2）﹣y2（1﹣x2）=（1﹣x2）（1﹣y2）=（1+x）（1﹣x）（1+y）（1﹣y）．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．（4）用分组分解法，分组是解本小题的难点．21．已知：x=，y=，①x+y；②xy；③x2+y2；④（x2+x+2）（y2+y﹣2）【考点】二次根式的化简求值．【分析】①根据二次根式的乘法法则计算；②根据平方差公式计算；③根据完全平方公式把原式变形，代入计算；④把已知数据代入，根据二次根式的混合运算法则计算．【解答】解：①x+y=+=﹣1；②xy=×=﹣2；③x2+y2=（x+y）2﹣2xy=1+4=5；④（x2+x+2）（y2+y﹣2）=（++2）（+﹣2）=3×（﹣1）=﹣3．【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．22．根据平方根、立方根的定义解下列方程①x2=9；②（x﹣2）2=4；③（2x+1）2=12；④（x+1）3=﹣2．【考点】立方根；平方根．【分析】根据平方根、立方根，即可解答．【解答】解：①x2=9x=±3，②（x﹣2）2=4x﹣2=±2x=4或0．③（2x+1）2=12（2x+1）2=362x+1=±6x=或﹣．④（x+1）3=﹣2（x+1）3=﹣8x+1=﹣2x=﹣3．【点评】本题考查了平方根、立方根，解决本题的关键是熟记平方根、立方根的定义．23．如图所示，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AC⊥CD，以CD为直径作半圆O，AB=4cm，BC=3cm，AD=13cm．求图中阴影部分的面积：【考点】扇形面积的计算．【专题】计算题．【分析】要求阴影部分的面积，只需求CD，由于AD已知，只需求AC即可．【解答】解：∵AB⊥BC，AB=4，BC=3，∴AC=5．∵AC⊥CD，AC=5，AD=13，∴CD=12，=π×（）2=18π，∴S阴影∴阴影部分的面积为18πcm2．【点评】本题主要考查了勾股定理、扇形的面积公式等知识，属于基础题．24．已知网格中每个小正方形的边长是1，在网格中作△ABC，使得AB=，BC=，CA=，．并求S△ABC【考点】勾股定理．【专题】作图题．【分析】直接利用勾股定理结合网格得出A，B，C的位置，进而利用△ABC所在矩形减去周围三角形面积求出答案．【解答】解：如图所示：S△ABC=12﹣×1×3﹣×1×4﹣×2×3=5.5．【点评】此题主要考查了勾股定理以及三角形面积求法，正确得出A，B，C的位置是解题关键．25．探究题：（1）在正△ABC中（图1），AB=2，AD⊥BC于D，求S△ABC．（2）在正△AB1C1中（图2），B1C1=2，AB2⊥B1C1于B2，以AB2为边作正△AB2C2，AC1、B2C2交于B3，以AB3为边作正△AB3C3，依此类推．①写出第n个正三角形的周长；（用含n的代数式表示）②写出第n个正三角形的面积．（用含n的代数式表示）【考点】等边三角形的性质．【分析】（1）由AD为边长为2的等边三角形ABC的高，利用三线合一得到D为BC的中点，求出BD的长，利用勾股定理求出AD的长，进而求出S，（2）根据（1）同理求出C2、S2，C3、S3依此类推，得到Cn、Sn．【解答】解：（1）在正△ABC 中，AB=2，AD ⊥BC 于D ，∴BD=1，∴AD==，∴S △ABC =BC •AD=×=； （2）由（1）可知AB 2=，∴C 1=3×2×（）0，S 1=×2×2×；∵等边三角形AB 2C 2的边长为，AB 3⊥B 2C 2， ∴AB 3=，∴C 2=2×3×（）1，S 2=×2××2××=×22×（）3，∵等边三角形AB 3C 3的边长为，AB 4⊥B 3C 3，∴AB 4=，∴C 3=3×2×（）2，S 3=×2×××2×××=×22×（）5 依此类推，C n =6（）n ﹣1S n =2（）2n ﹣1．故第n 个正三角形的周长为6（）n ﹣1，第n 个正三角形的面积是2（）2n ﹣1． 【点评】此题考查了等边三角形的性质，属于规律型试题，熟练掌握等边三角形的性质是解本题的关键．26．在正方形ABCD 中，AB=4，E 为BC 的中点，F 在CD 上，DF=3CF ，连结AF 、AE 、EF ．（1）如图1，求出△AEF 的三条边的长度；（2）判断△AEF 的形状；并说明理由；（3）探究S△ECF +S△ABE与S△AEF的关系，并说明理由；（4）如图2，作EG⊥AF于G，①试求出FG、AG、EG的长度；②试探究EG2与FG×AG的关系？并说明理由．【考点】四边形综合题．【分析】（1）先求得EC、FC、DF、BE、AD的长，然后依据勾股定理可求得EF、EB、AE的长；（2）由勾股定理的逆定理可证明△EFA为直角三角形；（3）依据三角形的面积公式分别求得△AEF、△ECF、△ABE的面积，从而可得出问题的答案；（4）①依据三角形的面积公式可知S△AEF=AF•GE=5，从而可求得EG的长，然后再依据勾股定理可求得FG的长，然后可得到AG的长；②求得EG2、GF•AG的结果，从而可得到它们之间的关系．【解答】解：（1）∵ABCD为正方形，AB=4，∴AB=BC=DC=AD=4．∵E是BC的中点，∴BE=CE=2．∵CD=4，DF=3CF，∴FC=1，DF=3．依据勾股定理可知：EF==，AE==2，AF==5．（2）∵AF2=25，EF2=5，AE2=20，∴AF 2=EF 2+AE 2．∴△AEF 为直角三角形．（3）S △AEF =S △ECF +S △ABE ．理由：∵S △ECF =FC •CE=×1×2=1，S △ABE =AB •BE=×4×2=4，S △AEF =EF •AE=××2=5，∴S △AEF =S △ECF +S △ABE ．（4）①∵S △AEF =AF •GE=5，∴×5×EG=5．∴EG=2．在△EFG 中，由勾股定理可知：FG===1． AG=AF ﹣GF=5﹣1=4．②∵EG 2=22=4，GF •AG=1×4=4，∴EG 2=GF •AG ．【点评】本题主要考查的是正方形的性质、勾股定理的应用、勾股定理的逆定理的应用、三角形的面积公式的应用，依据勾股定理的逆定理判断出△AEF 为直角三角形是解题的关键．。