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高中数学 第二章 基本初等函数(I)2.3 幂函数复习学案 新人教A版必修1

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- 1 - 2.3 幂函数

自主复习

考点清单：

幂函数及其性质

考点详情：

幂函数及其性质

1．幂函数的概念

一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．

2．幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，12yx，y＝x－1的性质．

y＝x y＝x2 y＝x3 12yx y＝x－1

图象

定义

域 R R R [0，＋∞) (－∞，0)U(0，＋∞)

值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) (－∞，0)U(0，＋∞)

奇偶

性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数

单调

性 在(－∞，＋∞)上单调递增 在(－∞，0]

上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增 在(－∞，＋∞)上单调递增 在[0，＋∞)

上单调递增 在(－∞，0)上单调递学

在(0，＋∞)上单调递减

定点 (1,1)，(0,0) (1,1)，(0,0) (1,1)，(0,0) (1,1)，(0,0) (1,1)

3．幂函数y＝xα在第一象限的特征

α的范围 过定点 单调性

α＞0[ α＞1

(0,0)，(1,1) 下凸递增

0＜α＜1 上凸递增 - 2 - α＜0

(1,1)

递减，且以两坐标轴为渐近线

4．求幂函数定义域的方法：幂函数的定义域随α的取值不同而不同，求幂函数的定义域时可分四种情况：①α为正整数；②α为负整数；③α为正分数；④α为负分数．若是分数指数型幂函数应先化为根式，再由根式的性质求定义域．

例题：

1．已知幂函数()yfx的图象过点2(2,)2，则(4)f的值为（ ）

A．1 B．2 C．12 D．8

【答案】C

【解析】根据幂函数的定义，设幂函数()afxx，将点2(2,)2代入()afxx，得到12a，因此121(4)42f

2．若函数axmxf1是幂函数，则函数mxxgalog（其中a＞0，a≠1）的图象过定点A的坐标为 ．

【答案】3,0

名师导学：

1．幂函数的奇偶性

巩固练习

1．设253()5a,352()5b,252()5c,则a,b,c的大小关系是( )

A. a>c>b B. a>b>c C. c>a>b D. b>c>a

- 3 - 2．函数13yx的图象是( )

A. B.

C.

D.

3．已知幂函数fxkx),(RRk的图像过点11,24，则k_________________；函数32yxfx的定义域为_________________．

4．若121a<1232a,则a的取值范围是

.

5．已知4213332,3,25abc，则（ ）

A．bac B．abc

C. bca D．cab

参考答案与解析

1.【答案】A

【解析】根据指数函数的单调性首先比较b与c的大小,由于底数为2005,所以2()5xy是减函数,所以325522()()55bcy,再比较a与c的大小,可以构造幂函数25yx,显然当x>0时是增函数,所以a>c,所以a>c>b,所以选择A.

2.【答案】B

【解析】由幂函数的图象规律可知选B.

- 4 - 3．【答案】3 1,3

【解析】幂函数中系数1k，代入点11,24得2a 3k，23232yxfxxx的定义域需满足232031xxx

4．【答案】23,32

5.【答案】A

【解析】因为3116a，319b，3125c，031，所以幂函数31xy在（0，+∞）上是 增函数，因为

25＞16＞9，所以cab，故选A.

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人教版数学高一-必修1教师用书 第二章 基本初等函数(I)

人教版数学高一-必修1教师用书 第二章 基本初等函数(I)

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高中数学

2.1指数函数

2．1.1 指数与指数幂的运算

第一课时 根式

根式

[提出问题]

(1)若x2＝9，则x是9的平方根，且x＝±3；

(2)若x3＝64，则x是64的立方根，且x＝4；

(3)若x4＝81，则x是81的4次方根，且x＝±3；

(4)若x5＝－32，则x是－32的5次方根，且x＝－2.

问题1：观察(1)(3)，你认为正数的偶次方根都是两个吗？

提示：是．

问题2：一个数的奇次方根有几个？

提示：1个．

问题3：由于22＝4，小明说，2是4的平方根；小李说，4的平方根是2，你认为谁说的正确？

提示：小明．

[导入新知]

根式及相关概念

(1)a的n次方根定义：

如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.

(2)a的n次方根的表示：

n的奇偶性 a的n次方根的表示符号 a的取值范围 打印版

高中数学 n为奇数

na

R

n为偶数 ±na [0，＋∞)

(3)根式：

式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．

[化解疑难]

根式记号的注意点

(1)根式的概念中要求n>1，且n∈N*.

(2)当n为大于1的奇数时，a的n次方根表示为na(a∈R)；当n为大于1的偶数时，na(a≥0)表示a在实数范围内的一个n次方根，另一个是－na，从而±nan＝a.

根式的性质

[提出问题]

问题1：323，3－23，424分别等于多少？

提示：2，－2,2.

问题2：3－23，323， 4－24，424分别等于多少？

提示：－2,2,2,2.

问题3：等式a2＝a及(a)2＝a恒成立吗？

提示：当a≥0时，两式恒成立；当a<0时，a2＝－a，(a)2无意义．

[导入新知]

根式的性质

(1)(na)n＝a(n为奇数时，a∈R；n为偶数时，a≥0，且n>1)．

(2)nan＝ an为奇数，且n>1，|a|n为偶数，且n>1.

高中数学必修1(人教A版)第二章基本初等函数2-3

高中数学必修1(人教A版)第二章基本初等函数2-3

描述：

例题：高中数学必修1(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案

第二章 基本初等函数（I） 2.3 幂函数

一、学习任务

了解幂函数的概念；结合函数 ，，，， 的图象，了解幂函数

的图象变化情况．

二、知识清单

幂函数及其性质 函数不等式的解法

三、知识讲解

1.幂函数及其性质

一般地，形如 的函数叫做幂函数（power function），其中 是自变量， 是常数．

图象

定义域

幂函数的定义域都包含 ．

性质

① 幂函数的图象都通过点 ；

② 当 是奇数时，函数 是奇函数；当 是偶数时，函数 是偶函数；

③ 当 时，函数 在 上是单调递增函数；当 时，函数 在

上是单调递减函数；

④ 在第一象限内，当 时，函数 的图象向上与 轴无限接近，向右与 轴无限

接近．y=xy=x2

y＝x3

y=1

xy=x1

2

y=xaxa

(0,+∞)

(1,1)

ay=xaay=xa

a>0y=xa(0,+∞)a<0y=xa

(0,+∞)

a<0y=xayx

幂函数 的图象过点 ，那么 的值为______．

解：．f(x)(4,)1

2f(8)

2√

4．

设 ，则 ，所以 ．故

．

4

f(x)=xαf(4)==4α1

2α=−1

2f(8)==8−1

22√

4

已知 是幂函数，求 的值．

解：因为 是幂函数，所以

解得

所以y=(+2m−2)+2n−3m2

x1

−1m2m,n

y=(+2m−2)+2n−3m2

x1

−1m2

⎧

⎩⎨+2m−2=1,m2

−1≠0,m2

2n−3=0,

⎧

⎩⎨m=−3,

n=,3

2

⎧

⎩⎨m=−3,

n=.3

2

（1）给定一组函数解析式：① ；② ；③ ；④ ；⑤

；⑥ ；⑦，及下图中的一组函数图象，请把图象对应的解析式序号填在

图象下面的括号内．

解：⑥④③②⑦①⑤y=x3

4y=x2

3y=x−3

2y=x−2

3

y=x3

2y=x−1

3y=x1

3

1

描述：

例题：2.函数不等式的解法

函数不等式的解法

若 为增函数，且对于定义域内的两个数 、 ，满足 成立，则

．若

为减函数，且对于定义域内的两个数

教育最新K122019高考数学总复习 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.3 幂函数(第二课时)教案 新人教A版必修1

教育最新K122019高考数学总复习 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.3 幂函数(第二课时)教案 新人教A版必修1

小学+初中+高中

小学+初中+高中 2.3 幂函数（第二课时）

本单元的教学内容在模块内容体系中的地位和作用: 幂函数作为一类重要的函数模型，是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本的初等函数, 类比研究一般函数，指数函数、对数函数的过程与方法后研究幂函数的图象和性质.而且在研究幂函数的过程中对第二章函数的单调性、奇偶性和反函数的知识进行再现.

1.教学重点：从五个具体的幂函数中认识幂函数的概念和性质。

2.教学难点：从幂函数的图象中概括其性质。

一、复习引入

（1）幂函数的定义及性质

小学+初中+高中

小学+初中+高中

总结填写下表：

定义域

值域

奇偶性

单调性

定点

二、讲授新课

问题1：我们知道，分数指数幂可以与根式相互转化．把下列各函数先化成根式形式，再指出它的定义域和奇偶性．利用计算机画出它们的图象，观察它们的图象，看有什么共同点？

（1）y＝；（2）y＝；（3）y＝；（4）y＝．

问题2：仿照问题1研究下列函数的定义域和奇偶性，观察它们的图象看有什么共同点？

（1）y＝x－1；（2）y＝x－2；（3）y＝；（4）y＝．

思路：先将负指数幂化为正指数幂，再将分数指数幂化为根式，函数的定义域就是使这些分式和根式有意义的实数x的集合；（1）（2）（4）的定义域都是{x|x≠0}，（3）的定义域是（0，＋）；（1）（4）是奇函数，（2）是偶函数，（3）既不是奇函数也不是偶函数．它们的图象都经过点（1，1），且在第一象限内函数单调递减，并且以两坐标轴为渐近线．

总结：研究幂函数时，通常先将负指数幂化为正指数幂，再将分数指数幂化为根式（幂指数是负整数时化为分式）；根据得到的分式或根式研究幂函数的性质．函数的定义域就是使这些分式和根式有意义的实数x的集合；奇偶性和单调性直接利用定义进行判断．问题1和问题2中的这些幂函数我们要记住它们图象的变化趋势，有利于我们进行类比．

高中数学第二章基本初等函数Ⅰ2.3幂函数的概念与性质教学案无答案新人教A版

高中数学第二章基本初等函数Ⅰ2.3幂函数的概念与性质教学案无答案新人教A版

- 1 - 2.2.3幂函数的定义与性质

一、学习目标

1、掌握幂函数的定义，注意与指数函数区别。

2、掌握几种常见幂函数的性质与图像。

3、数形结合，分类讨论，函数与方程等数学思想在幂函数性质问题中的应用。

二、问题导学（自学课本后，请解答下列问题）

1、通过具体实例，了解幂函数的定义。

2、通过自己对函数的分析，画出几种常见的幂函数的图像，填写下列表格

xy 2xy 3xy 21xy 1xy

定义域

值域

奇偶性

单调性

定点

3、明确幂函数与指数函数的区别与联系。

4、下列函数是幂函数的是（ ）。

()3xAfx、 3()Bfxx、 3()logCfxx、 3()1Dfxx、

5、函数121()(22)mfxmmx是幂函数，则实数m 。

三、合作探究

例１：（1）下列函数是幂函数的是 。

①3yx ②12xy ③24yx ④51yx

⑤21yx ⑥yx ⑦(1)xyaa＞

（2）已知函数123()(33)mfxmmx是幂函数，则实数m 。

- 2 - （1） 变式：已知为常数，幂函数()fxx满足1()23f，则(3)f（ ）

2A、 12B、 2C、- 12D、-

例2：如图所示，幂函数xy在第一象限的图象，比较1,,,,,04321的大小（ ）

A．102431

B．104321

C．134210

D．142310

变式：幂函数13yx的图像大致是（ ）

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