人教A版高中数学必修一第二章 基本初等函数(I)学案

第1页 共95页 【三维设计】高中数学 第二章 基本初等函数（I）学案 新人教A版必修1

2.1指数函数

2．1.1 指数与指数幂的运算

第一课时 根式

根式

[提出问题]

(1)若x2＝9，则x是9的平方根，且x＝±3；

(2)若x3＝64，则x是64的立方根，且x＝4；

(3)若x4＝81，则x是81的4次方根，且x＝±3；

(4)若x5＝－32，则x是－32的5次方根，且x＝－2.

问题1：观察(1)(3)，你认为正数的偶次方根都是两个吗？

提示：是．

问题2：一个数的奇次方根有几个？

提示：1个．

问题3：由于22＝4，小明说，2是4的平方根；小李说，4的平方根是2，你认为谁说的正确？

提示：小明．

[导入新知]

根式及相关概念

(1)a的n次方根定义：

如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.

(2)a的n次方根的表示：

n的奇偶性 a的n次方根的表示符号 a的取值范围

n为奇数 na R

第2页 共95页 n为偶数

±na

[0，＋∞)

(3)根式： 式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．

[化解疑难]

根式记号的注意点

(1)根式的概念中要求n>1，且n∈N*.

(2)当n为大于1的奇数时，a的n次方根表示为na(a∈R)；当n为大于1的偶数时，na(a≥0)表示a在实数范围内的一个n次方根，另一个是－na，从而±nan＝a.

根式的性质

[提出问题]

问题1：323，3－23，424分别等于多少？

提示：2，－2,2.

问题2：3－23，323， 4－24，424分别等于多少？

提示：－2,2,2,2.

问题3：等式a2＝a及(a)2＝a恒成立吗？

提示：当a≥0时，两式恒成立；当a<0时，a2＝－a，(a)2无意义．

[导入新知]

根式的性质

(1)(na)n＝a(n为奇数时，a∈R；n为偶数时，a≥0，且n>1)．

(2)nan＝ an为奇数，且n>1，|a|n为偶数，且n>1.

(3)n0＝0.

(4)负数没有偶次方根．

[化解疑难]

(na)n与nan的区别

第3页 共95页 (1)当n为奇数，且a∈R时，有nan＝(na)n＝a；

(2)当n为偶数，且a≥0时，有nan＝(na)n＝a.

根式的概念

[例1] (1)下列说法：①16的4次方根是2；②416的运算结果是±2；③当n为大于1的奇数时，na对任意a∈R都有意义；④当n为大于1的偶数时，na只有当a≥0时才有意义．其中说法正确的序号为________．

(2)若31a－3有意义，则实数a的取值范围是________．

[解析] (1)①16的4次方根应是±2；②416＝2，所以正确的应为③④.

(2)要使31a－3有意义，则a－3≠0，即a≠3.

∴a的取值范围是{a|a≠3}．

[答案] (1)③④ (2){a|a≠3}

[类题通法]

判断关于n次方根的结论应关注两点

(1)n的奇偶性决定了n次方根的个数；

(2)n为奇数时，a的正负决定着n次方根的符号．

[活学活用]

已知m10＝2，则m等于( )

A.102 B．－102

C.210 D．±102

解析：选D ∵m10＝2，∴m是2的10次方根．

又∵10是偶数，

∴2的10次方根有两个，且互为相反数．

∴m＝±102.

利用根式的性质化简求值

第4页 共95页

[例2] 化简：

(1)nx－πn(x

(2)4a2－4a＋1a≤12.

[解] (1)∵x

当n为偶数时，nx－πn＝|x－π|＝π－x；

当n为奇数时，nx－πn＝x－π.

综上，nx－πn＝ π－x， n为偶数，n∈N*，x－π， n为奇数，n∈N*.

(2)∵a≤12，∴1－2a≥0.

∴4a2－4a＋1＝2a－12＝|2a－1|＝1－2a.

[类题通法]

根式化简应注意的问题

(1)nan已暗含了na有意义，据n的奇偶性不同可知a的取值范围．

(2)nan中的a可以是全体实数，nan的值取决于n的奇偶性．

[活学活用]

求下列各式的值：

(1)8x－28；(2)3－22＋(31－2)3.

解：(1)8x－28＝|x－2|＝ x－2，x≥2，2－x，x<2.

(2)因为3－22＝12－22＋(2)2＝(2－1)2，

所以3－22＋(31－2)3＝2－12＋1－2＝2－1＋1－2＝0.

条件根式的化简

[例3] (1)若xy≠0，则使4x2y2＝－2xy成立的条件可能是( )

第5页 共95页 A．x>0，y>0 B．x>0，y<0

C．x≥0，y≥0 D．x<0，y<0

(2)设－3

(1)[解析] ∵4x2y2＝2|xy|＝－2xy，

∴xy≤0.

又∵xy≠0，∴xy<0，故选B.

[答案] B

(2)[解] 原式＝x－12－x＋32＝|x－1|－|x＋3|.

∵－3

∴当－3

当1≤x<3时，原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4.

∴原式＝ －2x－2 －3

[类题通法]

有条件根式的化简

(1)有条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简．

(2)有条件根式的化简经常用到配方的方法．当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负．

[活学活用]

若n

A．2m B．2n

C．－2m D．－2n

解析：选C 原式＝m＋n2－m－n2

＝|m＋n|－|m－n|，

∵n0，

∴原式＝－(m＋n)－(m－n)＝－2m.

第6页 共95页 5.忽略n的范围导致式子nana∈R化简出错

[典例]

化简31＋23＋41－24＝________.

[解析] 31＋23＋41－24＝(1＋2)＋|1－2|＝1＋2＋2－1＝22.

[答案] 22

[易错防范]

1．本题易忽视41－24>0，而误认为41－24＝1－2而导致解题错误．

2．对于根式nan的化简一定要注意n为正奇数还是正偶数，因为nan＝a(a∈R)成立的条件是n为正奇数，如果n为正偶数，那么nan＝|a|.

[活学活用]

当a，b∈R时，下列各式恒成立的是( )

A．(4a－4b)4＝a－b

B．(4a＋b)4＝a＋b

C.4a4－4b4＝a－b

D.4a＋b4＝a＋b

解析：选B 当且仅当a＝b≥0时，(4a－4b)4＝a－b；

当且仅当a≥0，b≥0时，4a4－4b4＝a－b；

当且仅当a＋b≥0时，4a＋b4＝a＋b.

由于a，b符号未知，因此选项A，C，D均不一定恒成立．

选项B中，由4a＋b可知a＋b≥0，所以(4a＋b)4＝a＋b.故选B.

[随堂即时演练]

第7页 共95页 1．化简1－2x2x>12的结果是(

)

A．1－2x B．0

C．2x－1 D．(1－2x)2

解析：选C ∵1－2x2＝|1－2x|，x>12，

∴1－2x<0，

∴1－2x2＝2x－1.

2．下列式子中成立的是( )

A．a－a＝－a3 B．a－a＝－a3

C．a－a＝－－a3 D．a－a＝a3

解析：选C 要使a－a有意义，则a≤0，

故a－a＝－(－a)－a＝－－a2－a＝－－a3，故选C.

3．若x>3，则x2－6x＋9－|2－x|＝________.

解析：x2－6x＋9－|2－x|＝x－32－|2－x|＝|x－3|－|2－x|＝x－3－(x－2)＝－1.

答案：－1

4．化简(a－1)2＋1－a2＋31－a3＝________.

解析：由根式a－1有意义可得a－1≥0，即a≥1，

∴原式＝(a－1)＋(a－1)＋(1－a)＝a－1.

答案：a－1

5．已知a1，n∈N*，化简na－bn＋na＋bn.

解：∵a

当n是奇数时，原式＝(a－b)＋(a＋b)＝2a；

当n是偶数时，原式＝|a－b|＋|a＋b|

＝(b－a)＋(－a－b)＝－2a.

∴na－bn＋na＋bn

＝ 2a，n为奇数，－2a，n为偶数.

[课时达标检测]

一、选择题

第8页 共95页 1.4a－2＋(a－4)0有意义，则a的取值范围是(

)

A．a≠2

B．a≥2 C．a≠4 D．2≤a＜4或a＞4

解析：选D 要使原式有意义，只需 a－2≥0，a－4≠0，即a≥2且a≠4.

2.3－63＋45－44＋35－43的值为( )

A．－6 B．25－2

C．25 D．6

解析：选A 3－63＝－6，

45－44＝|5－4|＝4－5，

35－43＝5－4，

∴原式＝－6＋4－5＋5－4＝－6.

3．化简x＋32－3x－33得( )

A．6 B．2x

C．6或－2x D．6或2x或－2x

解析：选C 注意开偶次方根要加绝对值，x＋32－3x－33

＝|x＋3|－(x－3)＝ 6，x≥－3，－2x，x<－3，故选C.

4.7＋43＋7－43等于( )

A．－4 B．23

C．－23 D．4

解析：选D 7＋43＋7－43＝2＋32＋2－32

＝(2＋3)＋(2－3)＝4.

5.已知二次函数y＝ax2＋bx＋0.1的图象如图所示，则4a－b4的值为( )

A．a＋b B．－(a＋b)

C．a－b D．b－a

解析：选D 由图象知a(－1)2＋b×(－1)＋0.1<0，