高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.3幂函数学案新人教A版必修1
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- 1 - 2.3 幂函数
学习目标：1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式．(重点、易混点)2.结合幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x12的图象，掌握它们的性质．(重点、难点)3.能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小．(重点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1．幂函数的概念
一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
思考1：幂函数与指数函数的自变量有何区别？
[提示] 幂函数是形如y＝xα(α∈R)，自变量在底数上，而指数函数是形如y＝ax(a>0且a≠1)，自变量在指数上．
2．幂函数的图象
在同一平面直角坐标系中，画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x12，y＝x－1的图象如图231：
图231
思考2：幂函数图象不可能出现在第几象限？
[提示] 第四象限．
3．幂函数的性质
y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x12 y＝x－1
定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0}
值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0}
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
单调性 增函数 x∈[0，＋∞)时，增函数
x∈(－∞，0]时，减函数 增函数 增函数 x∈(0，＋∞)时，减函数
x∈(－∞，0)时，减函数
- 2 - [基础自测]
1．思考辨析
(1)函数y＝x0(x≠0)是幂函数．( )
(2)幂函数的图象必过点(0,0)和(1,1)．( )
(3)幂函数的图象都不过第二、四象限．( )
[答案] (1)√ (2)× (3)×
2．下列函数中不是幂函数的是( )
A．y＝x B．y＝x3
C．y＝3x D．y＝x－1
C [只有y＝3x不符合幂函数y＝xα的形式，故选C.]
3．已知f(x)＝(m＋1)xm2＋2是幂函数，则m＝( )
A．2 B．1
C．3 D．0
D [由题意可知m＋1＝1，即m＝0，∴f(x)＝x2.]
4．已知幂函数f(x)＝xα的图象过点2，22，则f(4)＝________.
【导学号：37102308】
12 [由f(2)＝22可知2α＝22，
即α＝－12，
∴f(4)＝4－12＝12.]
[合 作 探 究·攻 重 难]
幂函数的概念
已知y＝(m2＋2m－2)xm2－1＋2n－3是幂函数，求m，n的值．
[解] 由题意得 m2＋2m－2＝1，m2－1≠0，2n－3＝0，
解得 m＝－3，n＝32，
所以m＝－3，n＝32.
[规律方法] 判断一个函数是否为幂函数的方法 - 3 - 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xαα为常数的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：指数为常数；底数为自变量；系数为1
[跟踪训练]
1．(1)在函数y＝1x2，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为( )
【导学号：37102309】
A．0
B．1
C．2 D．3
(2)若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝3f(2)，则f12的值等于________．
(1)B (2)13 [(1)∵y＝1x2＝x－2，所以是幂函数；
y＝2x2由于出现系数2，因此不是幂函数；
y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数；
y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常函数y＝1的图象比幂函数y＝x0的图象多了一个点(0,1)，所以常函数y＝1不是幂函数．
(2)设f(x)＝xα，因为f(4)＝3f(2)，∴4α＝3×2α，解得α＝log23，∴f12＝12log23＝13.]
幂函数的图象及应用
点(2，2)与点－2，－12分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，问当x为何值时，有：
(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)
[解]
设f(x)＝xα，g(x)＝xβ.
∵(2)α＝2，(－2)β＝－12，∴α＝2，β＝－1，
∴f(x)＝x2，g(x)＝x－1.分别作出它们的图象，如图所示．由图象知，
(1)当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)>g(x)；
(2)当x＝1时，f(x)＝g(x)；
(3)当x∈(0,1)时，f(x)
[规律方法]
解决幂函数图象问题应把握的两个原则
依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在，上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴简记为指大图低；在，＋上，指数越大，幂函数图象越远离x轴简记为指大图高
依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象类似于- 4 - y＝x－1或y＝x12或y＝x3来判断.
[跟踪训练]
2．幂函数y＝f(x)的图象过点(4,2)，则幂函数y＝f(x)的图象是( )
【导学号：37102310】
A B C D
(2)若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图232，则a，b，c，d的大小关系是( )
图232
A．d>c>b>a
B．a>b>c>d
C．d>c>a>b
D．a>b>d>c
(1)C (2)B [(1)设幂函数的解析式为y＝xa，
因为幂函数y＝f(x)的图象过点(4,2)，所以2＝4a，
解得a＝12，
所以y＝x，其定义域为[0，＋∞)，且是增函数，
当0
(2)令a＝2，b＝12，c＝－13，d＝－1，正好和题目所给的形式相符合．
在第一象限内，x＝1的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数增大，所以a>b>c>d.故选B.]
幂函数性质的综合应用
[探究问题]
1．幂函数y＝xα在(0，＋∞)上的单调性与α有什么关系？
提示：当α>0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增；当α<0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递减．
2．23.1和23.2可以看作哪一个函数的两个函数值？二者的大小关系如何？ - 5 - 提示：23.1和23.2可以看作函数f(x)＝2x的两个函数值，因为函数f(x)＝2x单调递增，所以23.1＜23.2.
3．2.3－0.2和2.2－0.2可以看作哪一个函数的两个函数值？二者的大小关系如何？
提示：2.3－0.2和2.2－0.2可以看作幂函数f(x)＝x－0.2的两个函数值，因为函数f(x)＝x－0.2在(0，＋∞)上单调递减，所以2.3－0.2＜2.2－0.2.
(1)比较下列各组中幂值的大小．
①30.8,30.7；②0.213,0.233；③212，1.813；④1.212，0.9－12，1.1.
(2)探讨函数f(x)＝x－12的单调性.
【导学号：37102311】
思路探究：(1)构造幂函数或指数函数，借助其单调性求解．
(2)借助单调性的定义证明．
[解] (1)①∵函数y＝3x是增函数，且0.8＞0.7，
∴30.8>30.7.
②∵函数y＝x3是增函数，且0.21＜0.23，∴0.213<0.233.
③∵函数y＝x12是增函数，且2＞1.8，∴212>1.812.
又∵y＝1.8x是增函数，且12>13，
∴1.812>1.813，∴212>1.813.
④0.9－12＝10912，1.1＝1.112.
∵1.2>109>1.1，且y＝x12在[0，＋∞)上单调递增，
∴1.212>10912>1.112，即1.212>0.9－12>1.1.
(2)f(x)＝x－12的定义域为(0，＋∞)．
任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1
则f(x2)－f(x1)＝x2－12－x1－12 - 6 - ＝1x2－1x1
＝x1－x2x1x2
＝x1－x2x1x2x1＋x2.
因为x2>x1>0，所以x1－x2<0，
且x1x2·(x1＋x2)>0，
于是f(x2)－f(x1)<0，
即f(x2)
所以f(x)＝x－12在区间(0，＋∞)上是减函数．
母题探究：1.本例(2)若增加条件“(a＋1)－12<(3－2a) －12”则实数a的取值范围．
[解] 因为f(x)＝x－12在区间(0，＋∞)内是减函数．
所以(a＋1)－12<(3－2a)－12等价于 a＋1>0，3－2a>0，a＋1>3－2a，
解得23
所以实数a的取值范围是23，32.
2．把本例(1)的各组数据更换如下，再比较其大小关系．
(1)250.5与130.5；
(2)－23－1与－35－1；
(3)2334与3423.
[解] (1)因为幂函数y＝x0.5在(0，＋∞)上是单调递增的，
又25>13，所以250.5>130.5.
(2)因为幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是单调递减的，
又－23<－35，所以－23－1>－35－1. - 7 - (3)因为函数y1＝23x为R上的减函数，又34>23，
所以2323>2334.
又因为函数y2＝x23在(0，＋∞)上是增函数，且34>23，
所以3423>2323，
所以3423>2334.
[规律方法] 比较幂的大小的关键是弄清底数与指数是否相同.若底数相同，则利用指数函数的单调性比较大小；若指数相同，则利用幂函数的单调性比较大小；若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”，也可以是如例中的1.812.
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．下列函数为幂函数的是( )
A．y＝2x4 B．y＝2x3－1
C．y＝2x D．y＝x2
D [结合幂函数的形式可知D正确．]
2．幂函数的图象过点(2，2)，则该幂函数的解析式( )
【导学号：37102312】
A．y＝x－1 B．y＝x12
C．y＝x2 D．y＝x3
B [设f(x)＝xα，则2α＝2，∴α＝12，∴f(x)＝x12.选B.]
3．函数y＝x54的图象是( )
