河南省豫西名校2018-2019学年高二上学期第一次联考数学试题(解析版)
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河南省豫西名校2018-2019学年高二上学期第一次联考数学试题
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1.等比数列中，，则公比
A. B. C. 2 D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据等比数列的通项公式，由，可得，即可求解，得到答案。
【详解】由题意知，等比数列中，，所以，解得．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式的应用，其中解答中熟记等比数列的通项公式，合理准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题。
2.中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，己知，，，则
A. B. C. 或 D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】
由正弦定理，可得：，进而可求解角B的大小，得到答案。
【详解】由题意，因为，，，
由正弦定理，可得：，
又因为，则，可得：，所以或．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，以及特殊角的三角函数的应用，其中解答中利用正弦定理，求得是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题。 3.设是等差数列的前n项和，，，则
A. 90 B. 54 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用等差数列的通项公式，即可求解公差，再利用前项和公式，即可求解.
【详解】设等差数列的公差为，
因为，所以，解得，
所以，故选C.
【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，以及前项和公式的应用，其中解答中利用等差数列的通项公式和前项和公式，列出方程，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
4.在等比数列中，若，是方程的两根，则的值为
A. 6 B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】
利用韦达定理和等比数列的通项公式直接求解．
【详解】在等比数列中，，是方程的两根，
．
的值为．
故选：B．
【点睛】本题考查等比数列中两项积的求法，考查韦达定理和等比数列的通项公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5.等差数列的前n项和为，己知，，则
A. 110 B. 200 C. 210 D. 260
【答案】C
【解析】
【分析】
由等差数列的性质得，，成等差数列，根据等差中项公式，列出方程，即可求解，得到答案。 【详解】由题意，等差数列的前n项和为，，，
由等差数列的性质得，，成等差数列，
即，，成等差数列，
所以，解得．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等差数列的性质的应用，其中解答中根据等差数列的性质，得到，，成等差数列，利用等差中项公式，列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。
6.设a，b，c为的内角所对的边，若，且，那么外接圆的半径为
A. 1 B. C. 2 D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】
由 得b2+c2-a2=bc．利用余弦定理，可得A= ．再利用正弦定理可得
2R= ，可得R.
【详解】∵ ,∴,
整理得b2+c2-a2=bc，
根据余弦定理cosA= ，可得cosA=
∵A∈（0，π），∴A=
由正弦定理可得2R== ,解得R=1，故选：A
【点睛】已知三边关系，可转化为接近余弦定理的形式，直接运用余弦定理理解三角形，注意整体代入思想.
7.已知无穷等差数列中，它的前n项和，且，那么
A. 中最大 B. 中或最大
C. 当时， D. 一定有
【答案】C
【解析】 【分析】
根据等差数列中，，得，又由，得，
进而得到，即可得到答案。
【详解】由题意，因为无穷等差数列中，它的前n项和，且，，
由，可得，又由，可得，
所以，
所以当时，，当时，．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等差数列前n项和与通项的关系的应用，其中解中熟记等差数列的前n项和与通项之间的关系，合理应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。
8.甲船在岛B的正南方A处，千米，甲船以每小时4千米的速度向正北匀速航行，同时乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东的方向匀速航行，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是
A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时
【答案】A
【解析】
分析：设经过x小时两船相距最近，然后分别表示出甲乙距离B岛的距离，再由余弦定理表示出两船的距离，最后根据二次函数求最值的方法可得到答案.
详解：假设经过x小时两船相距最近，甲乙分别行至C，D，如图所示：
可知，
由余弦定理可得，
当小时时距离最小.
故选：A.
点睛：求距离问题的注意事项
(1)首先选取适当基线，画出示意图，将实际问题转化成三角形问题．(2)明确所求的距离在哪个三角形中，有几个已知元素．(3)确定使用正弦定理或余弦定理解三角形．
9.在中，，则的形状一定是
A. 直角三角形 B. 等腰三角形
C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形
【答案】B
【解析】
本题考查的是解三角形。由条件可知即
。又，展开整理得,所以,三角形为等腰三角形。应选B。
10.两等差数列，的前n项和分别为，，且，则
A. B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】
由等差数列的前项和可设，即，进而求得，得到答案.
【详解】由等差数列的前项和，依题意有，
所以,
所以 ，故选C.
【点睛】本题主要考查了等差数列的前项和以及等差数列的性质的应用，其中熟记等差数列数列的前项和的形式，合理应用是解答的关键，着重考查了数学的转化思想方法的应用，属于中档试题.
11.已知的面积为S，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则
A. 2 B. 4 C. D.
【答案】A
【解析】
分析：由三角形面积公式及余弦定理代入条件可得，从而可得，进而得解.
详解：△的面积中.
由，可得.
化简得，即.
所以，解得或（舍）.
所以.
所以.
故选A.
点睛：该题考查的是有关解三角形的问题，在解题的过程中，注意应用与该题相关的知识点以及题中所给的量，建立相应的等量关系式，最后求得结果.
12.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且A是B和C的等差中项，，，则周长的取值范围是
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
分析：由得B角是钝角，由等差中项定义得A为60°，再根据正弦定理把周长用三角函数表示后可求得范围．
详解：∵是和的等差中项，∴，∴，
又，则，从而，∴， ∵，∴，
所以的周长为 ，
又，，，∴．
故选B．
点睛：本题考查解三角形的应用，解题时只要把三角形周长利用正弦定理用三角函数表示出来，结合三角函数的恒等变换可求得取值范围．解题易错的是向量的夹角是B角的外角，而不是B角，要特别注意向量夹角的定义．
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.已知等差数列的前n项和为，满足，且，则取得最大值时______．
【答案】7
【解析】
【分析】
由等差数列的前n项和为，满足，且，利用前n项和公式，求得，得到，再由等差数列的前n项和公式，及二次函数的性质，即可求解，得到答案。
【详解】由题意，等差数列的前n项和为，满足，且，
所以，解得，因为，所以，
．
取得最大值时．
故答案为：7．
【点睛】本题主要考查了等差数列的前n项和的最值问题，其中解答中合理利用等差数列的前n项和公式，求得，，以及利用二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题。
14.已知中，角A、B、C的对边分别为a、b、c且，，，则______．
【答案】5
【解析】 【分析】
由和三角形的面积的值，利用三角形的面积公式求出的值，然后由及的值，利用余弦定理，即可求出的值．
【详解】由三角形的面积公式，由，所以，
又由，由余弦定理得，
解得．
【点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
15.已知数列的前n项和为，且数列为等差数列若，，则______．
【答案】3027
【解析】
分析：由数列为等差数列，可设，化为，由，得且，联立解得，进而可得结果.
详解：数列为等差数列，可设，化为，
，
联立解得：，则，故答案为.
点睛：本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前 项和公式，属于中档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解.
16.三角形中，是边上一点，，，且三角形与三角形面积之比为，则__________．
【答案】
【解析】
分析：为的平分线，从而，根据余弦定理可得到，两者结合可解出并求出，在中，由余弦定理可求出的长度．
详解：因为为的平分线，故．
又，整理得，
所以，故．
又，故．
填．
点睛：（1）在中，若为的平分线（为上一点），则有；
（2）在解三角形中，我们有时需要找出不同三角形之间相关联的边或角，由它们沟通分散在不同三角形的几何量．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.若数列是公差大于零的等差数列，数列是等比数列，且,, .
（1）求数列和的通项公式；
（2）设数列的前项和为,求的最大值.
【答案】（1）；（2）当取或时，取最大值为.
【解析】
分析：（1）由已知结合等差与等比数列的通项公式可得：，解方程，进而可求通项；
（2）表示出数列的前项和为，利用二次函数的性质即可得到答案.
详解：（1）设数列的公差为,等比数列的公比为,则
,解得，
所以,
（2）
于是，当取与最接近的整数即或时，取最大值为.
点睛：利用函数思想求等差数列前n项和Sn的最值时，要注意到n∈N*.
18.在中，内角所对的边分别为，已知，且.
(1)求角的大小；
