数学物理方法第7章

第二篇数学物理方程

第七章 数学物理定解问题

一、数理方程的概念

凡包含未知函数及它的偏导数的方程称为偏微分方程。一般地说，描写连续体运动规律的方程式都是偏微分方程。这种将物理规律用偏微分方程表达出来，叫作数学物理方程（P135）。在数学上，数学物理方程本身（不连带定解条件）叫作泛定方程。偏微分方程所含有最高偏导数的阶数称为该偏微分方程的阶。在许多物理问题中，遇到的数学物理方程，如波动方程、输运方程、拉普拉斯方程等都是二阶偏微分方程。

二、二阶偏微分方程的分类 ——P162

二个自变数yx,的二阶偏微分方程的一般形式为

GFuyuExuDyuCyxuBxuA22222

式中系数GBA,,,是yx,的已知函数或常数。当0G时，则方程称为齐次的；当0G时，则方程称为非齐次的。

二阶偏微分方程可按其系数CBA,,所满足的条件划分为三类：

1、若042ACB 双曲型方程（一维波动方程）

2、若042ACB 抛物型方程（一维输运方程）

3、若042ACB 椭圆型方程（二维拉普拉斯方程）

三、定解条件

在数学上，我们把描写系统初始状态的表示式叫做初始条件，把描写系统边界状态的表示式叫做边界条件。因数理方程满足初始条件和边界条件的解是完全确定的，所以将初始条件、边界条件（及连接条件）统称为定解条件。

这样，问题在数学上的完整提法是：在给定的定解条件下，求解数学物理方程。这叫作数学物理定解问题或简称为定解问题。——P135 衔接条件边界条件初始条件定解条件数学物理方程泛定方程定解问题)(

§7.1 数学物理方程的导出

数学物理方程的导出步骤如下：——P135

一、波动方程 02xxttuau

（一）均匀弦的微小横振动 ——书P136

1、均匀弦的自由横振动

在以下几个条件下推导弦的自由横振动方程：

第7章 无界问题的积分变换法

§7.1 无界问题的傅里叶积分变换法

本节讨论：①傅里叶变换及其性质，②用傅里叶变换求解三类定解问题的方法。

⒈ 傅里叶变换及其性质

当方程中某变量的变化区域为全数轴R时，可考虑对该变量实施傅里叶变换。

傅里叶变换及其性质 傅里叶变换与逆变换定义为

ˆ()()()ixffxedxfxF (7.1.1)

11ˆˆ()()()2ixfxfedfF (7.1.2)

傅里叶变换的二阶微分性质：

()()()fifFF与22()()()()fiffFFF (7.1.3)

卷积性质：若()()ftFF，()()gtGF，则对卷积()()()()Rftgtfgtd有

()()()()ftgtFGF (7.1.4)

1()()()()FGftgtF (7.1.5)

☆推论：若x为n维向量12,,,nxxxx，则12,,,n，以上公式仍成立。

操华胜：数学物理方程

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选用傅里叶变换的方法 若定解问题中某一变量的变化区间为,，可考虑对该变量作傅里叶变换。对柯西问题（xR）总是宜于作傅里叶变换的。对于其它类型的定解问题，只要其某变量的定义域为实轴，就可能对该变量实施傅里叶变换。

○傅里叶变换法：记[]uuF，

若0tttLuLufDu， 则

0()tttLhufDu (7.1.6)

若210xxxLubububu则2210hbibb。特别

若2(0,),(0,)xxuaufuxux， 则22(0,)(),(0,)()uaufuu (7.1.7)

第7章 狭义相对论基础

一、狭义相对论基本假设

1、狭义相对性原理：物理定律对一切惯性系等价。

2、光速不变原理：真空中光速与光源或观察者的运动无关。

二、时空相对性

1、动钟变慢效应：

2、动尺缩短效应：

三、相对论运动学

1、洛仑兹坐标变换式：

；

。 2、爱因斯坦速度变换式：

；

。

四、相对论动力学 1、相对论质量：

2、相对论动量：

3、相对论动力学方程：

五、相对论能量 1、相对论能量：

2、相对论动能：

3、相对论静能：

六、相对论能量与动量关系

第7章 狭义相对论基础

【例7-1】A钟静止在系的原点，B钟静止在系的原点。现系相对系以恒定速度向右运动，当与点重合时，A、都调在零点上，在A钟读数为时，从A钟发出一个光信号，B钟接受到该信号时其读数为，试问B钟相对A钟的速度为多大B钟接收到A钟光出的光信号时，B钟和A钟的距离和光讯号通过的距离相同，即：

（1）

B钟的读数为，而上式中用的符号却是，这是因为B钟再高速运动，是在系钟的读数，应是，当它反映到观测者的中，动钟变慢

（2）

1）、（2）式解得B钟相对A钟运动的速度

【例7-2】远方一星体以相对地球运动，地球上接收到它辐射出的两次闪光之间的时间间隔为5昼夜。试求下列两种情况星体上测得的闪光周期：

）星体远离地球运动；

）星体接近地球运动。 （1）设相对星体静止的闪光周期为，相对地球的闪光周期为，则有

（1）

地球而言，设星体在A位置发出的第一闪光，经过时间后辐射第二闪光时，它已运动到B位置，如图7-2所示。两闪光之间的 。

） 由于两闪光均以光速传播，因此地球上接受到两闪光之间的时间间隔为 （3）

（1）（2）（3）式，并代入昼夜，解得固定在该星体上参考系测得的闪光周期 昼夜。 上，这是光源以高速远离观察者运动时光的多普勒效应。观测到的周期变长，频率减少，这是一种“红移”现象。

156 / 30 第七章 勒让德多项式

在第三章中我们介绍了一类特殊函数—Bessel函数，利用Bessel函数给出了平面圆域上Laplace算子特征值问题的解，从而求解了一些与此特征值问题相关的定解问题.为求解空间中球形区域上与Laplace算子相关的一些定解问题，需要引入另一类特殊函数—勒让德（Legendre）多项式，用于求解空间中球形区域上Laplace算子的特征值问题. Legendre多项式不仅是解决数学物理方程中许多问题很有用的工具，在自然科学的其它领域也有不少的应用.

§71勒让德多项式

本节介绍勒让德多项式及相关的一些特征值问题，为分离变量法的进一步应用作准备.

7．1.1 勒让德方程及勒让德多项式

考虑下面二阶常微分方程

2[(1)]0ddyxydxdx，11x. (1.1)

其中0为常数，(1.1)称为勒让德方程.设(1),非负实数，并将（1.1）改写为如下形式

2'''(1)2(1)0xyxyy，11x. （1.2）

（1.2）满足第三章中定理1.1中的条件，其中

222(1)(), ()11xpxqxxx，

故（1.2）在区间(1,1)有解析解，设其解为

0()kkkyxax

（1.3）

其中(0)kak待定常数. 将该级数及一阶和二阶导数代入到原方程中得

221210(1)(1)2(1)0kkkkkkkkkxkkaxxkaxax，

或

20000(1)(2)(1)2(1)0kkkkkkkkkkkkkkaxkkaxkaxax.

令上式中(0)kxk系数为零可得