数学物理方法第七章 (2)

第二篇数学物理方程

第七章 数学物理定解问题

一、数理方程的概念

凡包含未知函数及它的偏导数的方程称为偏微分方程。一般地说，描写连续体运动规律的方程式都是偏微分方程。这种将物理规律用偏微分方程表达出来，叫作数学物理方程（P135）。在数学上，数学物理方程本身（不连带定解条件）叫作泛定方程。偏微分方程所含有最高偏导数的阶数称为该偏微分方程的阶。在许多物理问题中，遇到的数学物理方程，如波动方程、输运方程、拉普拉斯方程等都是二阶偏微分方程。

二、二阶偏微分方程的分类 ——P162

二个自变数yx,的二阶偏微分方程的一般形式为

GFuyuExuDyuCyxuBxuA22222

式中系数GBA,,,是yx,的已知函数或常数。当0G时，则方程称为齐次的；当0G时，则方程称为非齐次的。

二阶偏微分方程可按其系数CBA,,所满足的条件划分为三类：

1、若042ACB 双曲型方程（一维波动方程）

2、若042ACB 抛物型方程（一维输运方程）

3、若042ACB 椭圆型方程（二维拉普拉斯方程）

三、定解条件

在数学上，我们把描写系统初始状态的表示式叫做初始条件，把描写系统边界状态的表示式叫做边界条件。因数理方程满足初始条件和边界条件的解是完全确定的，所以将初始条件、边界条件（及连接条件）统称为定解条件。

这样，问题在数学上的完整提法是：在给定的定解条件下，求解数学物理方程。这叫作数学物理定解问题或简称为定解问题。——P135 衔接条件边界条件初始条件定解条件数学物理方程泛定方程定解问题)(

§7.1 数学物理方程的导出

数学物理方程的导出步骤如下：——P135

一、波动方程 02xxttuau

（一）均匀弦的微小横振动 ——书P136

1、均匀弦的自由横振动

在以下几个条件下推导弦的自由横振动方程：

第7章 无界问题的积分变换法

§7.1 无界问题的傅里叶积分变换法

本节讨论：①傅里叶变换及其性质，②用傅里叶变换求解三类定解问题的方法。

⒈ 傅里叶变换及其性质

当方程中某变量的变化区域为全数轴R时，可考虑对该变量实施傅里叶变换。

傅里叶变换及其性质 傅里叶变换与逆变换定义为

ˆ()()()ixffxedxfxF (7.1.1)

11ˆˆ()()()2ixfxfedfF (7.1.2)

傅里叶变换的二阶微分性质：

()()()fifFF与22()()()()fiffFFF (7.1.3)

卷积性质：若()()ftFF，()()gtGF，则对卷积()()()()Rftgtfgtd有

()()()()ftgtFGF (7.1.4)

1()()()()FGftgtF (7.1.5)

☆推论：若x为n维向量12,,,nxxxx，则12,,,n，以上公式仍成立。

操华胜：数学物理方程

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选用傅里叶变换的方法 若定解问题中某一变量的变化区间为,，可考虑对该变量作傅里叶变换。对柯西问题（xR）总是宜于作傅里叶变换的。对于其它类型的定解问题，只要其某变量的定义域为实轴，就可能对该变量实施傅里叶变换。

○傅里叶变换法：记[]uuF，

若0tttLuLufDu， 则

0()tttLhufDu (7.1.6)

若210xxxLubububu则2210hbibb。特别

若2(0,),(0,)xxuaufuxux， 则22(0,)(),(0,)()uaufuu (7.1.7)

1 第七章 单元测试题

一、选择题

1、一质量为m的木块静止在光滑水平面上．从t=0开始，将一个大小为F的水平恒力作用在该木块上．在t=t1时刻，力F的功率是 ( )

A.212Ftm B.2122tmF C.12tmF D.212tmF

2、起重机吊钩下挂着一个质量为m的木箱，如木箱以加速度a匀减速下降高度h，则木箱克服钢索拉力做的功为（ ）

A．mgh B．m（g-a）h C．m（g+a）h D．m（a-g）h

3、汽车由静止开始运动，设汽车所受的阻力一定，若要使汽车在开始运动的一小段时间内保持匀加速直线运动，则（ ）

A．不断增大牵引力功率 B．不断减小牵引力功率

C．保持牵引力功率不变 D．不能判断牵引力功率如何变化

4、小明同学因上课迟到，一口气便从一楼跑到三楼，用时10秒，则他上楼过程中克服自己重力做功的功率最接近下列的哪个值？（ ）

A、3W B、30W C、300W D、3000W

5、当重力做负功时 ( )

A．重力势能一定增加 B．重力势能一定减少

C．物体速度可能增大 D．物体速度可能减小

6关于弹簧的弹性势能,下列说法中正确的是 （ ）

A．当弹簧变长时,它的弹性势能一定增大

B．当弹簧变短时,它的弹性势能一定变小

C．若选弹簧自然长度时的势能为零,则其他长度的势能均为正值

D．若选弹簧自然长度时势能为零,则伸长的弹性势能为正值,压缩的弹性势能为负值

7、在光滑的水平面上，用水平拉力分别使两物体由静止获得相同的动能，那么可以肯定的是（ ）

A．两次水平拉力一定相等 B．两物体质量肯定相等

C．两物体速度变化一定相等 D．水平拉力对两物体做的功一定相等

2 8、一物体质量为2kg，以4m/s的速度在光滑水平面上向左滑行，从某时刻起作用一向右的水平力，经过一段时间后，滑块的速度方向变为水平向右，大小为4m/s，在这段时间内水平力做功为（ ）

半导体物理教案－25

1 §7.2 金属－半导体接触的伏安特性

一、金－半肖特基势垒接触的偏置状态

按前节的定义，平衡态金－半肖特基势垒接触的半导体表面与体内电位之差（表面势）为VD，则外加于其上的电压U因全部降落在阻挡层上而使之变为VD＋U。阻挡层电子势垒的高度也相应地从qVD变为q(VD+U)。对WM＞WS的金属－n型半导体接触，当金属相对于半导体加正电压时为正偏置，U与VD符号相反，阻挡层电子势垒降低；相反，当金属相对于半导体加负电压时为负偏置，U与平衡态表面势VD符号相同，阻挡层电子势垒势垒升高。如图7－10所示，偏置电压使半导体和金属处于非平衡状态，二者没有统一的费米能级。半导体内部费米能级和金属费米能级之差，即等于外加电压引起的静电势能之差。由于外加电压对金属没有什么影响，偏置状态下，电子在金属一侧的势垒高度qm没有变化。

图7－10 WM＞WS的金属－n型半导体接触的不同偏置状态

由于qm没有变化，当正偏压U使半导体一侧的电子势垒由qVD降低为q(VD－U)时，从半导体流向金属的电子数大大超过从金属流向半导体的电子数，形成从金属到半导体的正向净电流。与pn结不同，该电流是由n型半导体的多数载流子构成的。外加正电压越高，势垒下降越多，正向电流越大。对图7-10中所示的反偏置情形，半导体一侧的电子势垒增高为q(Vs0+U)，从半导体流向金属的电子数大幅度减少，而金属一侧的电子势垒高度未变，从金属流向半导体的电子流相对占优势，形成由半导体流向金属的反向电流。但是，金属中的电子要越过相当高的势垒qφm才能进入半导体中，因此反问电流很小。由于金属一侧的势垒不随外加电压变化，从金属到半导体的电子流是恒定的。当反向电压提高到能使从半导体流向金属的电子流可以忽略不计时，反向电流即趋于饱和。

上述讨论说明金－半肖特基势垒接触的阻挡层具有类似pn结的伏—安特性，即有整流作用。

二、 正偏置金－半接触阻挡层中的费米能级