数学物理方法第一章

1 数学物理方法习题解答

一、复变函数部分习题解答

第一章习题解答

1、证明Rez在z平面上处处不可导。

证明：令Rezuiv。Rezx，,0uxv。

1ux，0vy，uvxy。

于是u与v在z平面上处处不满足C－R条件，

所以Rez在z平面上处处不可导。

2、试证2fzz仅在原点有导数。

证明：令fzuiv。22222,0fzzxyuxyv。

2,2uuxyxy。vvxy。

所以除原点以外，,uv不满足C－R条件。而,,uuvvxyxy在原点连续，且满足C－R条件，所以fz在原点可微。

000000xxyyuvvufiixxyy。

或：2*00000limlimlim0zzxyzfzxiyz。

22***0*000limlimlim()0zzzzzzzzzzzzzzzzz。

【当0,izzre，*2izez与趋向有关，则上式中**1zzzz】

2 3、设333322()z0()z=00xyixyfzxy，证明zf在原点满足C－R条件，但不可微。

证明：令,,fzuxyivxy，则

332222220,=00xyxyuxyxyxy，

332222220(,)=00xyxyvxyxyxy。

3300(,0)(0,0)(0,0)limlim1xxxuxuxuxx，

3300(0,)(0,0)(0,0)limlim1yyxuyuyuyy；

1 数学物理方法习题解答

一、复变函数部分习题解答

第一章习题解答

1、证明Rez在z平面上处处不可导。

证明：令Rezuiv。Rezx，,0uxv。

1ux，0vy，uvxy。

于是u与v在z平面上处处不满足C－R条件，

所以Rez在z平面上处处不可导。

2、试证2fzz仅在原点有导数。

证明：令fzuiv。22222,0fzzxyuxyv。

2,2uuxyxy。vvxy。

所以除原点以外，,uv不满足C－R条件。而,,uuvvxyxy在原点连续，且满足C－R条件，所以fz在原点可微。

000000xxyyuvvufiixxyy。

或：2*00000limlimlim0zzxyzfzxiyz。

22***0*000limlimlim()0zzzzzzzzzzzzzzzzz。

【当0,izzre，*2izez与趋向有关，则上式中**1zzzz】

2 3、设333322()z0()z=00xyixyfzxy，证明zf在原点满足C－R条件，但不可微。

证明：令,,fzuxyivxy，则

332222220,=00xyxyuxyxyxy，

332222220(,)=00xyxyvxyxyxy。

3300(,0)(0,0)(0,0)limlim1xxxuxuxuxx，

3300(0,)(0,0)(0,0)limlim1yyxuyuyuyy；

博学笃行 自强不息

1

数学物理方法第四版课后答案

《数学物理方法第四版课后答案》

第一章：复变函数

1.1 复数与复平面

题目1：将以下复数写成极坐标形式：

a) z = 3 + 4i

b) z = -2 - 5i

c) z = 5i

解答：

a) r = √(3^2 + 4^2) = 5, θ = arctan(4/3)

∴ z = 5(cos(arctan(4/3)) + i*sin(arctan(4/3)))

b) r = √((-2)^2 + (-5)^2) = √(4 + 25) = √29, θ = arctan((-5)/(-2)) = arctan(5/2) 博学笃行 自强不息

2

∴ z = -√29(cos(arctan(5/2)) + i*sin(arctan(5/2)))

c) r = √(0^2 + 5^2) = 5, θ = arctan(0/5) = 0

∴ z = 5(cos(0) + i*sin(0)) = 5i

题目2：计算以下复数的共轭：

a) z = 3 + 4i

b) z = -2 - 5i

c) z = 5i

解答：

a) z* = 3 - 4i

b) z* = -2 + 5i

c) z* = -5i

...

博学笃行 自强不息

3

第二章：常微分方程

2.1 一阶微分方程

题目1：求解以下一阶线性非齐次微分方程：

a) \\frac{dy}{dx} + 2y = e^x

b) \\frac{dy}{dx} - y = 3x^2

解答：

a) 首先求齐次方程的解，即 \\frac{dy}{dx} + 2y = 0

观察到该方程的解为 y = Ce^{-2x}，其中 C 为任意常数

然后考虑非齐次方程的解，即 \\frac{dy}{dx} + 2y = e^x

令 y = A e^{-2x}，其中 A 为待定常数

第一章

§1 方程的导出。定解条件

1．细杆（或弹簧）受某种外界原因而产生纵向振动，以u(x,t)表示静止时在x点处的点在时刻t离开原来位置的偏移，假设振动过程发生的张力服从虎克定律，试证明),(txu满足方程

xuExtuxt

其中为杆的密度，E为杨氏模量。

证：在杆上任取一段，其中两端于静止时的坐标分别为 x与xx。现在计算这段杆在时刻t的相对伸长。在时刻t这段杆两端的坐标分别为：

),();,(txxuxxtxux

其相对伸长等于

),()],([)],([txxuxxtxuxtxxuxxx

令0x，取极限得在点x的相对伸长为xu),(tx。由虎克定律，张力),(txT等于

),()(),(txuxEtxTx

其中)(xE是在点x的杨氏模量。

设杆的横截面面积为),(xS则作用在杆段),(xxx两端的力分别为

xuxSxE)()(xuxxSxxEtx)()();,().,(txx

于是得运动方程

ttuxxsx)()(xESutx),(xxxxxESuxx|)(|)(

利用微分中值定理，消去x，再令0x得

ttuxsx)()(xxESu()

若)(xs常量，则得

22)(tux=))((xuxEx 即得所证。

2．在杆纵向振动时，假设(1)端点固定，(2)端点自由，(3)端点固定在弹性支承上，试分别导出这三种情况下所对应的边界条件。

解：(1)杆的两端被固定在lxx,0两点则相应的边界条件为

.0),(,0),0(tlutu

(2)若lx为自由端，则杆在lx的张力xuxEtlT)(),(|lx等于零，因此相应的边界条件为