高中数学推理与证明

第二章合情推理与演绎推理答案2.1.1 合情推理与演绎推理(1)1、d n a a n )1(1-+=2、B3、A4、()nn n n )1(1169411+-++-+-+Λ 5、θθθn cos 23cos 22cos 2 6、V+F —E=2 7、解：9)5(,5)4(,2)3(,0)2(====f f f f 可以归纳出每增加一条直线，交点增加的个数为原有直线的条数4)4()5(,3)3()4(,2)2()3(=-=-=-∴f f f f f f猜测得出1)1()(-=--n n f n f有)1(432)2()(-++++=-n f n f Λ )2)(1(21)(-+=∴n n n f 因此)2)(1(21)(,5)4(-+==n n n f f 8、解：4211223⨯= 432212233⨯=+ 44332122333⨯=++ 4544321223333⨯=+++ ()414321223333+=+++++n n Λ 由此可以有求和的一般公式为()414321223333+=+++++n n Λ 2.1.2合情推理与演绎推理(2)1、C2、D3、D4、类比5、（1）圆柱面（2）两个平行平面6、()()()x C x S x S 22= ()()()()()y S x C y C x S y x S +=+7、在等比数列{}n a 中，若q p n m +=+，()*,,,N q p n m ∈，则q p n m a a a a ⋅=⋅8、（1）（平面）在平行四边形中，对角线互相平分；（立体）在平行六面体中，对角线相交于同一点，且在这一点互相平分；（2）（平面）在平行四边形中，各对角线长的平方和等于各边长的平方和；（立体）在平行六面体中，各对角线长的平方和等于各棱长的平方和；（3）（平面）圆面积等于圆周长与半径之积的1/2；（立体）球体积等于球面积与半径之积的1/3；（4）（平面）正三角形外接圆半径等于内切圆半径的2倍，（立体）正四面体的外接球半径等于内切球半径的3倍。

高中数学中的数学推理与证明方法讲解数学是一门严谨而又精确的学科，其中的推理与证明方法是数学学习中的重要内容。

在高中数学中，学生需要通过推理和证明来解决问题，提高数学思维能力和逻辑思维能力。

本文将从数学推理的基本概念开始，逐步介绍高中数学中常用的数学推理与证明方法。

一、数学推理的基本概念数学推理是指通过逻辑推理和演绎法来得出结论的过程。

在数学中，推理分为直接推理和间接推理两种形式。

1. 直接推理直接推理是通过已知的命题和已知的推理规则，从已知的前提出发，推导出结论的过程。

直接推理是数学证明中最基本和常用的推理方法之一。

例如，已知命题“若a=b，b=c，则a=c”，我们可以通过直接推理得出结论“若a=b，b=c，则a=c”。

2. 间接推理间接推理是通过反证法来进行推理的方法。

当我们无法通过直接推理得出结论时，可以尝试使用间接推理。

间接推理的基本思想是假设所要证明的结论不成立，然后通过推理推导出矛盾的结论，从而证明所要证明的结论是成立的。

例如，要证明命题“根号2是无理数”，可以采用反证法，假设根号2是有理数，然后通过推理得出矛盾的结论，从而证明根号2是无理数。

二、数学推理与证明方法在高中数学中，有许多常用的数学推理与证明方法。

下面将介绍其中几种常见的方法。

1. 数学归纳法数学归纳法是一种常用的证明方法，适用于证明一些具有递推关系的命题。

数学归纳法的基本思想是：首先证明当n=1时命题成立，然后假设当n=k时命题成立，再证明当n=k+1时命题也成立，由此可得出结论：对于任意正整数n，命题都成立。

例如，要证明命题“1+2+3+...+n=n(n+1)/2”，可以使用数学归纳法。

首先，当n=1时，命题成立；然后假设当n=k时命题成立，即1+2+3+...+k=k(k+1)/2成立；再证明当n=k+1时命题也成立，即1+2+3+...+k+(k+1)=(k+1)(k+2)/2成立。

由此可得出结论：对于任意正整数n，命题都成立。

高中数学推理证明题的常用证明方法及实例解析在高中数学中，推理证明题是一种常见的题型，要求学生运用已知的条件和基本的数学知识，通过逻辑推理和证明方法来得出结论。

这类题目不仅考察学生的数学思维能力，还培养了学生的逻辑思维和分析问题的能力。

本文将介绍一些常用的证明方法，并通过具体的题目解析，帮助读者更好地理解和应用这些方法。

一、直接证明法直接证明法是最常见的证明方法之一，它通过逻辑推理和运用已知条件来得出结论。

具体步骤如下：1. 首先，我们要明确问题的要求，即要证明的结论是什么。

2. 其次，我们要分析已知条件，找到与结论相关的条件和信息。

3. 然后，我们要根据已知条件和结论，通过逻辑推理和数学运算，一步一步地推导出结论。

4. 最后，我们要对证明过程进行总结，确保每一步的推理都是合理的，并且符合数学规律。

下面通过一个具体的例子来说明直接证明法的应用。

【例题】已知：直角三角形ABC中，∠B=90°，AB=BC。

证明：∠ABC=45°。

【解析】根据已知条件，我们可以得到∠B=90°和AB=BC。

接下来，我们通过直接证明法来证明∠ABC=45°。

由于∠B=90°，所以∠ABC+∠BCA=90°。

（三角形内角和定理）又因为AB=BC，所以∠BCA=∠ABC。

（等腰三角形的性质）将上述两个等式带入∠ABC+∠BCA=90°中，得到∠ABC+∠ABC=90°。

化简得到2∠ABC=90°，即∠ABC=45°。

因此，我们通过直接证明法证明了∠ABC=45°。

二、间接证明法间接证明法是一种通过反证法来证明结论的方法。

它假设结论不成立，然后通过逻辑推理推导出矛盾的结论，从而反驳了假设，证明了结论的正确性。

具体步骤如下：1. 首先，我们要明确问题的要求，即要证明的结论是什么。

2. 其次，我们要假设结论不成立，即假设反面命题成立。

重点高中数学推理与证明专题————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：课题:合情推理掌握归纳推理的技巧，并能运用解决实际问题。

3.数学建构●把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳). 注:归纳推理的特点;简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。

●归纳推理的一般步骤：4.师生活动例1 前提：蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的,海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。

蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物.结论：所有的爬行动物都是用肺呼吸的。

例2 前提：三角形的内角和是1800，凸四边形的内角和是3600，凸五边形的内角和是5400，……结论：凸n 边形的内角和是（n —2）×1800。

例3Λ,333232,232232,131232++<++<++<探究：上述结论都成立吗？强调：归纳推理的结果不一定成立！ —— “ 一切皆有可能！” 5.提高巩固观猜证(,,)a b m <b b+m由此我们猜想：均为正实数。

a a+m归纳推{}数列的通项公式。

试归纳出这个且的第一项：已知数列例,......),2,1(1,1411=+==+n a a a a a nnn n?,21,32,1,2:44321=====n a a a a a 求拓展例6.课堂小结(1)归纳推理是由部分到整体，从特殊到一般的推理。

通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。

(2)归纳推理的一般步骤：通过观察个别情况发现某些相同的性质 从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想） 证明课题：类比推理●教学目标：通过对已学知识的回顾，认识类比推理这一种合情推理的基本方法，并把它用于对问题的发现中去。

类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质，类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。

高中数学必修课教案函数的极限与连续的推理与证明高中数学必修课教案：函数的极限与连续的推理与证明导言：函数是数学中一个重要的概念，它可以描述不同变量之间的关系。

在高中数学必修课程中，学生需要学习函数的极限与连续，这是进一步理解函数性质与应用的基础。

本教案将以极限与连续为核心内容，通过推理与证明的方式展示相关知识点。

通过本教案的学习，学生将掌握函数的极限定义、极限的运算规律以及连续函数的特性和证明方法。

一、函数的极限1. 极限的引入极限是描述函数在某一点附近的取值趋势的概念。

通过接近或逼近的方式，我们可以研究函数在某一点的表现。

2. 极限的定义函数f(x)在x=a处的极限为L，表示为lim[x→a] f(x) = L，当且仅当对于任意给定的ε>0，存在δ>0，对于所有满足0<|x-a|<δ的x值，都有|f(x)-L|<ε。

3. 极限的性质（1）极限唯一性：如果函数f(x)在x=a处的极限存在，则极限唯一。

（2）四则运算性质：设lim[x→a] f(x) = A，lim[x→a] g(x) = B，则(i) lim[x→a] [f(x)±g(x)] = A±B(ii) lim[x→a] [f(x)·g(x)] = A·B(iii) lim[x→a] [f(x)/g(x)] = A/B (其中B≠0)4.无穷小与无穷大（1）无穷小：当x趋近于某个数a时，如果f(x)的极限是0，则称f(x)为x→a时的一个无穷小。

（2）无穷大：当x趋近于某个数a时，如果f(x)的极限不存在或者无穷大，则称f(x)为x→a时的一个无穷大。

二、连续函数的定义与性质1. 连续函数的定义函数f(x)在点x=a处连续，表示为f(a)=lim[x→a] f(x)存在且等于f(a)。

2. 连续函数的性质（1）基本初等函数的连续性：多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数及其反函数在其定义域内都是连续函数。

§2 综合法和分析法在数学中,常用推理和证明来证明一个命题,证明是引用一些真实的命题来确定某一命题真实性的思维形式，在过去的学习中，我们曾经用直接证明或间接证明两类方法证明过许多命题.本节的内容就是学习直接证明的两种方法：综合法和分析法。

高手支招1细品教材一、演绎推理1.概念:从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论,这种推理称为演绎推理。

2。

演绎推理的特点（1）演绎的前提是一般性原理，演绎所得的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实,结论完全蕴涵于前提之中.（2）在演绎推理中，前提与结论之间存在必然的联系.只要前提是真实的,推理的形式是正确的,那么结论也必定是正确的.因而演绎推理是数学中严格证明的工具。

（3)演绎推理是一种收敛性的思维方法，它缺少创造性，但却具有条理清晰、令人信服的论证作用，有助于科学的理论化和系统化。

状元笔记演绎推理是由一般到特殊的推理;演绎推理的特征是:当前提为真时,结论必然为真.【示例】判断下列推理,哪些为合情推理,哪些不是合情推理。

（1)a//b，b//c，则a//c;（2)a⊥b，b⊥c,则a⊥c;(3）三角形的内角和为180°，四边形的内角和为360°,五边形的内角和为540°，……，所以n 边形的内角和为(n-2)×180°;（4)今天是星期日,7天之后也是星期日。

思路分析：根据实际问题中推理所得问题的真假来判断是否为合情推理。

答案：合情推理为（1）（3）（4），不是合情推理的是(2).二、直接证明1.概念直接从原命题的条件逐步推得结论成立,这种证明方法叫直接证明.2.答案：直接证明的一般形式本题结论已知定理已知公理已知定义本题条件 ⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫ 三、综合法1。

定义:一般地,利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立，这种思维方法叫做综合法.综合法是中学数学证明中最常用的方法,它是从已知到未知，从题设到结论的逻辑推理方法,即从题设中的已知条件或已证的真实判断出发,经过一系列的中间推理,最后导出所要求证的命题。

高中数学《推理与证明》练习题（附答案解析）一、单选题1．记凸k 边形的内角和为f (k )，则凸k ＋1边形的内角和f (k ＋1)＝f (k )＋（ ） A ．2π B ．πC ．32π D ．2π2．用数学归纳法证明()11111231n n n n ++++>∈+++N ，在验证1n =时，左边的代数式为（ ） A ．111234++ B ．1123+C ．12D ．13．两个正方体1M 、2M ，棱长分别a 、b ，则对于正方体1M 、2M 有：棱长的比为a:b ，表面积的比为22:a b ，体积比为33:a b ．我们把满足类似条件的几何体称为“相似体”，下列给出的几何体中是“相似体”的是（ ） A ．两个球B ．两个长方体C ．两个圆柱D ．两个圆锥4．用数学归纳法证明1115 (1236)n n n +++≥++时，从n k =到1n k =+，不等式左边需添加的项是（ ） A ．111313233k k k +++++ B ．11113132331k k k k ++-++++ C ．131k + D ．133k + 5．现有下列四个命题： 甲：直线l 经过点(0,1)-； 乙：直线l 经过点(1,0)； 丙：直线l 经过点(1,1)-； 丁：直线l 的倾斜角为锐角.如果只有一个假命题，则假命题是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁6．用数学归纳法证明242123()2n n n n N *+++++=∈，则当1n k =+时，等式左边应该在n k =的基础上加上（ ） A ．21k +B ．2(1)k +C ．2(2)k +D ．222(1)(2)(1)k k k ++++++7．已知数列{}n a 中，11a =，()*111nn na a n a +=+∈+N ，用数学归纳法证明：1n n a a +<，在验证1n =成立时，不等式右边计算所得结果是（ ）A ．12B ．1C ．32D ．28．设平面内有k 条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，设k 条直线的交点个数为()f k ，则()1f k +与()f k 的关系是（ ） A ．()()11f k f k k +=++ B ．()()11f k f k k +=+- C ．()()1f k f k k +=+D ．()()12f k f k k +=++9．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测． 甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为 （ ） A ．甲、乙、丙 B ．乙、甲、丙 C ．丙、乙、甲D ．甲、丙、乙10．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则取它的项：第一次取1；第二次取2个连续偶数2，4；第三次取3个连续奇数5，7，9；第四次取4个连续偶数10，12，14，16；第五次取5个连续奇数17，19，21，23，25，按此规律取下去，得到一个子数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，19…，则在这个子数列中第2 020个数是（ ） A ．3976 B ．3974 C ．3978D ．3973二、填空题11．用数学归纳法证明111111111234212122n n n n n-+-++-=+++-++（n 为正整数）时，第一步应验证的等式是______．12．用数学归纳法证明命题“1+1123++…+1222n n +>(n ∈N +，且n ≥2)”时，第一步要证明的结论是________.13．用反证法证明“自然数a ，b ，c 中至多有一个偶数”时，假设应为_______．14．已知等差数列{}()*n a n N ∈中，若10100a =，则等式()121220192019,*n n a a a a a a n n N -+++=+++<∈恒成立；运用类比思想方法，可知在等比数列{}()*n b n N ∈中，若1001b =，则与此相应的等式_________________恒成立.三、解答题15．(1)请用文字语言叙述异面直线的判定定理；(2)把（1）中的定理写成“已知：．．．，求证：．．．”的形式，并用反证法证明．16．把空间图形“正四面体”与平面图形“正三角形”对应，类比“正三角形内一点到三边距离之和是一个定值”得到的相应结论为___________.17．下列各题在应用数学归纳法证明的过程中，有没有错误？如果有错误，错在哪里？ （1）求证：当N*n ∈时，1=+n n ．证明：假设当(*)n k k N =∈时，等式成立，即1k k =+． 则当1n k =+时，左边1(11)k k =+=++=右边． 所以当1n k =+时，等式也成立．由此得出，对任何N*n ∈，等式1=+n n 都成立． （2）用数学归纳法证明等差数列的前n 项和公式是1()2n n n a a S +=． 证明，∈当1n =时，左边=11S a =，右边1a =，等式成立． ∈假设当(*)n k k N =∈时，等式成立，即1()2k k k a a S +=．则当1n k =+时， 11231k k k S a a a x a a ++=+++++， 11121k k k k S a a a a a ++-=+++++．上面两式相加并除以2，可得 111(1)()2k k k a a S ++++=，即当1n k =+时，等式也成立．由∈∈可知，等差数列的前n 项和公式是1()2n n n a a S +=18．一本旧教材上有一个关于正整数n 的恒等式22211223(1)(1)12n n n n ⨯+⨯+++=+？ 其中问号处由于年代久远，只能看出它是关于n 的二次三项式，具体的系数已经看不清楚了．请你猜想这个恒等式的形式，并用数学归纳法证明．参考答案与解析：1．B【分析】根据题意相当于增加了一个三角形，从而得出选项. 【详解】由凸k 边形变为凸k ＋1边形时， 增加了一个三角形，故f (k ＋1)＝f (k )＋π. 故选：B 2．A【分析】将1n =代入计算可得结果. 【详解】解：1111231n n n ++++++代入1n =为：111234++. 故选：A 3．A【分析】分别使用表面积公式、体积公式计算后即可发现结论. 【详解】设两个球的半径分别为R ，r ． 这两个球的半径比为：:R r ， 表面积比为：22224:4:R r R r ππ=， 体积比为：333344::33R r R r ππ=， 所以，两个球是相似体． 故选：A ． 4．B【分析】比较n k =、1n k =+时不等式左边代数式的差异后可得需添加的项，从而得到正确的选项. 【详解】当n k =时，所假设的不等式为1115 (1236)k k k +++≥++， 当1n k =+时，要证明的不等式为1111115 (2233132336)k k k k k k ++++++≥+++++， 故需添加的项为：11113132331k k k k ++-++++， 故选：B.【点睛】本题考查数学归纳法，应用数学归纳法时，要注意归纳证明的结论和归纳假设之间的联系，必要时和式的开端和结尾处需多写几项，便于寻找差异.本题属于基础题. 5．C【分析】设(0,1)A -，(1,0)B ，(1,1)C -，计算AB k 和BC k ，可判断三点共线，可知假命题是甲､乙､丙中的一个，再由斜率即可求解.【详解】设(0,1)A -，(1,0)B ，(1,1)C -则10101AB k --==-，101112BC k -==---，因为AB BC k k ≠，所以,,A B C 三点不共线，所以假命题必是甲､乙､丙中的一个，丁是真命题，即直线l 的斜率大于0， 而0AB k >，0BC k <，0AC k <，故丙是假命题. 故选：C. 6．D【分析】由n =k+1时，等式左端2123k =+++++222(1)(2)(1)k k k ++++++可得答案.【详解】当n =k 时，等式左端2123k =++++，当n =k+1时，等式左端2123k =+++++222(1)(2)(1)k k k ++++++，增加了项222(1)(2)(1)k k k ++++++．故选：D ． 7．C【分析】将1n =代入即可得结果. 【详解】当1n =时，不等式右边为1211311122a a a =+=+=+． 故选：C. 8．C【分析】考虑当1n k =+时，任取其中1条直线，记为l ，由于直线l 与前面n 条直线任何两条不平行，任何三条不共点，所以要多出k 个交点，从而得出结果. 【详解】当1n k =+时，任取其中1条直线，记为l ， 则除l 外的其他k 条直线的交点的个数为()f k ， 因为已知任何两条直线不平行，所以直线l 必与平面内其他k 条直线都相交(有k 个交点)； 又因为任何三条直线不过同一点， 所以上面的k 个交点两两不相同，且与平面内其它的()f k 个交点也两两不相同， 从而1n k =+时交点的个数是()()1f k k f k +=+， 故选：C 9．A【分析】利用逐一验证的方法进行求解.【详解】若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选A ．【点睛】本题将数学知识与时政结合，主要考查推理判断能力．题目有一定难度，注重了基础知识、逻辑推理能力的考查． 10．A【分析】根据题意分析出第n 次取n 个数，前n 次共取(1)2n n +个数，且第n 次取的最后一个数为n 2，然后算出前63次共取了2016个数，从而能得到数列中第2 020个数是3976.【详解】由题意可得，奇数次取奇数个数，偶数次取偶数个数，前n 次共取了(1)1232n n n ++++⋯+=个数，且第n 次取的最后一个数为n 2， 当63n =时，()6363120162⨯+=， 即前63次共取了2016个数，第63次取的数都为奇数，并且最后一个数为2633969=， 即第2 016个数为3 969，所以当n ＝64时，依次取3 970，3 972，3 974，3 976，…，所以第2 020个数是3 976. 故选：A. 11．11122-= 【分析】根据数学归纳法的一般步骤，令1n =即可得出结论. 【详解】依题意，当1n =时， 1112121-=⨯⨯， 即11122-=， 故答案为：11122-=.12．1112212342++++> 【解析】根据数学归纳法的步骤可知第一步要证明2n =时的不等式成立.【详解】因为n ≥2，所以第一步要证的是当n=2时结论成立，即1+111222342+++>. 故答案为：1112212342++++> 13．a ，b ，c 中至少有两个偶数【分析】用反证法证明某命题是，应先假设命题的否定成立，所以找出命题的否定是解题的关键. 【详解】用反证法证明某命题是，应先假设命题的否定成立.因为“自然数a ，b ，c 中至多有一个偶数”的否定是：“a ，b ，c 中至少有两个偶数”，所以用反证法证明“自然数a ，b ，c 中至多有一个偶数”时，假设应为“a ，b ，c 中至少有两个偶数”， 故答案为：a ，b ，c 中至少有两个偶数. 14．()*12112199199,N n n n b b b b b b b n n --=<∈【解析】根据等差数列的性质有12019101020n n a a a +-+==，等比数列的性质有21199100=1n n b b b +-=，类比即可得到结论.【详解】已知等差数列{}()*n a n N ∈中，12122019n n a a a a a a -+++=+++ 1122019n n n a a a a a +-++=++++,12201820190n n n a a a a ++-∴++++=.10100a =,由等差数列的性质得， 1201922018101020n n n n a a a a a +-+-+=+===.等比数列{}()*n b n N ∈，且1001b =，有等比数列的性质得，211992198100===1n n n n b b b b b +-+-=.所以类比等式()*121220192019,n n a n a a a a a n N -+++=+++<∈，可得()*12112199199,N n n n b b b b b b b n n --=<∈. 故答案为：()*12112199199,N n n n b b b b b b b n n --=<∈.【点睛】本题考查等差数列和等比数列的性质，结合类比的规则，和类比积，加类比乘，得出结论,属于中档题.15．(1)见解析； (2)见解析.【分析】（1）将判定定理用文字表述即可；（2）根据（1）中的前提和结论可得定理的形式，利用反证法可证该结论.【详解】（1）异面直线的判定定理：平面外一点与平面内一点的连线与平面内不过该点直线是异面直线. （2）（1）中的定理写成“已知：．．．，求证：．．．”的形式如下： ,,,P Q l Q l ααα∉∈⊂∉，求证：,PQ l 为异面直线.证明：若,PQ l 不为异面直线，则,PQ l 共面于β，故,,Q l ββ∈⊂ 而Q l ∉，故,αβ为同一平面，而P β∈，故P α∈， 这与P α∉矛盾，故,PQ l 为异面直线.16．正四面体内一点到四个面的距离之和为定值 【分析】将边类比为面，从而得出正确结论.【详解】把空间图形“正四面体”与平面图形“正三角形”对应，类比“正三角形内一点到三边距离之和是一个定值”得到的相应结论为“正四面体内一点到四个面的距离之和为定值”. 故答案为：正四面体内一点到四个面的距离之和为定值 17．（1）有错误，理由见解析；（2）有错误，理由详见解析.【分析】根据数学归纳法分为两步，∈证明当1n =时，结论成立，∈假设当n k =时，结论成立，当1n k =+时，应用归纳假设，证明1n k =+时，命题也成立，根据数学归纳法的步骤判断过程的错误之处. 【详解】（1）有错误，错误在于没有证明第（1）步，即没有证明1n =时等式成立；（2）有错误，错误在于证明1n k =+时，没有应用n k =时的假设，而是应用了倒序相加法，这不符合数学归纳法的证明过程. 18．222211223(1)(1)(31110)12n n n n n n ⨯+⨯+++=+++，证明见解析 【分析】设222()1223(1)f n n n =⋅+⋅+⋅⋅⋅++即可求得f （1），f （2），f （3）；假设存在常数a ，b ，c 使得2(1)()()12n n f n an bn c +=++对一切自然数n 都成立，由f （1），f （2），f （3）的值可求得a ，b ，c ；再用数学归纳法证明即可．【详解】设222()1223(1)f n n n =⋅+⋅+⋅⋅⋅++， f ∴（1）2124=⋅=，f （2）22122322=⋅+⋅=， f （3）22212233470⋅+⋅+⋅=； 假设存在常数a ，b ，c 使得2(1)()()12n n f n an bn c +=++对一切自然数n 都成立， 则f （1）12()412a b c ⨯=++=， 24a b c ∴++=∈，同理，由f （2）22=得4244a b c ++=∈， 由f （3）70=得9370a b c ++=∈ 联立∈∈∈，解得3a =，11b =，10c =．2(1)()(31110)12n n f n n n +∴=++． 证明：1︒当1n =时，显然成立；2︒假设n k =时，2(1)(1)(2)(35)()(31110)1212k k k k k k f k k k ++++=++=， 则1n k =+时，2(1)()(1)[(1)1]f k f k k k +=++++2(1)(2)(35)(1)[(1)1]12k k k k k k +++=++++2(1)(2)(31724)12k k k k ++=++ (1)(2)(3)(38)12k k k k ++++=(1)[(1)1][(2)1][3(1)5]12k k k k +++++++=，即1n k =+时，结论也成立．综合1︒，2︒知，存在常数3a =，11b =，10c =使得2(1)()(31110)12n n f n n n +=++对一切自然数n 都成立。

高中数学选修1-2《推理与证明》第二章 推理与证明一、合情推理12→⎫⎬→⎭、归纳推理：个别一般（结论不一定正确）、类比推理：特殊特殊例1、推导等差数列通项公式。

解：33332123________.n ++++=例、求 解：二、演绎推理()()()()123⎧⎪→⎨⎪⎩大前提：M 是P 三段论小前提：S 是M 一般特殊结论正确结论：S 是P例：“自然数是整数，4是自然数，所以4是整数”。

233243123(1)n a a d a a da a d a a n d =+⎫⎪=+⎪⎪=+↓⎬⎪⎪=+-⎪⎭个别一般32332333233332221111293123=36=++11+2+3++(123)(1)4n n n n ⎫==⎪⎪+==⎪⎪++↓⎬⎪⎪⎪=++++=+⎪⎭特殊（123）一般三、直接证明1→→、综合法：条件结论2、分析法：结论条件()(),,,0,+=+,12,a b c d a b c d ab cd a b c d >>>-<->例：设且证明：若若()221,,,a b c d a b c d ab cd ab cd ab cd ⎫>⎪⎪>⎪⎪+>+⎬+=+>⎪⎪>⎪⎪>>⎭证明：只要证，即，分析法因为所以只要证，只要证因为成立.()22222,()()()4()4,a b c d a b c d a b ab c d cd a b c d ab cd ⎫-<--<-⎪+-<+-⎪⎬+=+>⎪⎪>⎭若，即，综合法因为所以，由（1四、间接证明反证法：假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立。

210.x m n x mn x m x n ++≠≠≠例、若-()，则且2==0x m x n x m x n x m x n x m n x mn x m x n ≠≠--++≠∴≠≠证：假设且不成立，则且，所以()()=0与-()矛盾,故假设不成立，且成立.22例、证明是无理数.2222222222=,=24,2,2q p q pp q q q q k k p k p k p p p q ∴=∴∴∴=∴=∴∴∴证明：假设是有理数，则（、互质的整数）,2是偶数，是偶数，可设（为整数）,2是偶数，也是偶数，与、互质矛盾，则假设不成立，是无理数.五、数学归纳法*00*0()=(,)1n an n N n k k n k N n k ∈≥∈=+步骤：①：（归纳奠基）证明当取第一个值时命题成立.②：（归纳递推）假设时命题成立,证明当时命题成立.例1、例2、。