线性运算总结

向量的线性运算与数量积教学方法总结向量是高中数学中的一个重要部分，学好向量不仅能够为学生未来从事数学、物理等学科打好基础，还能够培养学生的逻辑思维和数学思维能力。

向量的线性运算和数量积是向量的重要概念，在教学中应该注重培养学生的能力和灵活运用。

本文将从教学方法的角度出发，总结向量线性运算和数量积的教学重点和难点，提出一些有效的教学方法和策略，旨在提高向量教学的效率和质量。

一、向量线性运算的教学方法总结1.培养几何直观感。

学习向量的线性运算，首先需要明确向量的物理意义以及其空间位置的关系，以便能够对向量的运算有直观的理解。

在教学方法上，可以通过对向量的几何意义进行展示与解释来培养学生的几何直观感，例如可以通过向量的平移、旋转等方式来解释向量的线性运算。

2.通过例题讲解，提高运算的效率和准确性。

向量的线性运算中有大量的运算规则，同学们需要通过大量的例题来梳理这些规则。

在教学方法上，老师应着重讲解例题中的运算规则，引导学生归纳总结。

3.强化向量线性运算的应用意义。

线性运算不仅仅是一种计算方式，更是实际问题求解中的常用方法之一。

通过向学生介绍一些实际问题的解决方法，让学生认识到线性运算在实际问题中的应用，提高学生对向量线性运算的兴趣和重视程度。

二、向量数量积的教学方法总结1.明确向量数量积的定义。

学习数量积时，学生首先需要明确向量数量积的定义和性质。

在数学上，向量数量积是指两个向量之间的乘积，其结果是一个标量。

在教学方法上，老师可以通过实际例子，如计算机图形处理和物体力学问题等，来解释向量数量积之间的关系。

2.掌握向量数量积的计算方法。

向量数量积的计算公式是一个重要的学习内容，是解决实际问题中的关键步骤之一。

在教学方法上，老师需要通过例题和题目解析，让学生掌握向量数量积的计算方法。

3.培养应用数量积的实际问题解决能力。

向量数量积的应用范围很广，通过实际问题的解决，可以培养学生的应用能力和创造能力。

比如可以通过计算力的方向和大小，解决物体运动的问题等。

初中数学知识归纳平面向量的线性运算初中数学知识归纳——平面向量的线性运算一、定义平面向量是具有大小和方向的量，用有序对表示。

设有平面向量AB，表示为→AB或AB→。

向量AB的起点是A点，终点是B点。

平面向量具有以下特点：1. 等向量：具有相同的大小和方向的向量称为等向量；2. 零向量：大小为0的向量称为零向量，记作→0；3. 相反向量：与同一条线上的向量大小相等，方向相反的向量称为相反向量，记作−→AB或−AB→。

二、线性运算平面向量的线性运算包括加法和数乘。

1. 加法设有平面向量→AB和→CD，加法定义为：→AB + →CD = →AC加法满足以下性质：1. 交换律：→AB + →CD = →CD + →AB2. 结合律：→AB + (→CD + →EF) = (→AB + →CD) + →EF3. 零向量：→AB + →0 = →AB4. 相反向量：→AB + (−→AB) = →02. 数乘设有平面向量→AB和实数k，数乘定义为：k→AB = →AC数乘满足以下性质：1. 结合律：k(l→AB) = (kl)→AB2. 分配律1：(k + l)→AB = k→AB + l→AB3. 分配律2：k(→AB + →CD) = k→AB + k→CD三、运算法则平面向量的线性运算法则包括：1. 平移法则：若向量→AB平移到点C成为→AC，即：→AC = →AB + (→BC)2. 平面向量共线法则：点A、B、C三点共线的充分必要条件是向量→AB和→AC共线，即：→AB // →AC3. 向量共线法则：若向量→AB和→CD共线，则存在实数k，使得：→AB = k→CD4. 向量平分线性运算：若向量→AB和→AC平分向量→AD，则有：→AD = 0.5(→AB + →AC)四、例题解析1. 已知点A(1, 2)，B(3, -1)，C(4, 3)，求向量→AB + 2→BC的终点的坐标。

解：首先计算向量→AB和→BC：→AB = (3 - 1, -1 - 2) = (2, -3)→BC = (4 - 3, 3 - 1) = (1, 2)然后进行向量的线性运算：→AB + 2→BC = (2, -3) + 2(1, 2) = (2, -3) + (2, 4) = (4, 1)所以向量的终点的坐标为(4, 1)。

线性代数总结汇总+经典例题线性代数知识点总结1 ⾏列式（⼀）⾏列式概念和性质1、逆序数：所有的逆序的总数2、⾏列式定义：不同⾏不同列元素乘积代数和3、⾏列式性质：（⽤于化简⾏列式）（1）⾏列互换（转置），⾏列式的值不变（2）两⾏（列）互换，⾏列式变号（3）提公因式：⾏列式的某⼀⾏（列）的所有元素都乘以同⼀数k，等于⽤数k 乘此⾏列式（4）拆列分配：⾏列式中如果某⼀⾏（列）的元素都是两组数之和，那么这个⾏列式就等于两个⾏列式之和。

（5）⼀⾏（列）乘k加到另⼀⾏（列），⾏列式的值不变。

（6）两⾏成⽐例，⾏列式的值为0。

（⼆）重要⾏列式4、上（下）三⾓（主对⾓线）⾏列式的值等于主对⾓线元素的乘积5、副对⾓线⾏列式的值等于副对⾓线元素的乘积乘6、Laplace展开式：（A是m阶矩阵，B是n阶矩阵），则7、n阶（n≥2）范德蒙德⾏列式数学归纳法证明★8、对⾓线的元素为a，其余元素为b的⾏列式的值：（三）按⾏（列）展开9、按⾏展开定理：（1）任⼀⾏（列）的各元素与其对应的代数余⼦式乘积之和等于⾏列式的值（2）⾏列式中某⼀⾏（列）各个元素与另⼀⾏（列）对应元素的代数余⼦式乘积之和等于0（四）⾏列式公式10、⾏列式七⼤公式：（1）|kA|=k n|A|（2）|AB|=|A|·|B|（3）|A T|=|A|（4）|A-1|=|A|-1（5）|A*|=|A|n-1（6）若A的特征值λ1、λ2、……λn，则（7）若A与B相似，则|A|=|B|（五）克莱姆法则11、克莱姆法则：（1）⾮齐次线性⽅程组的系数⾏列式不为0，那么⽅程为唯⼀解（2）如果⾮齐次线性⽅程组⽆解或有两个不同解，则它的系数⾏列式必为0 （3）若齐次线性⽅程组的系数⾏列式不为0，则齐次线性⽅程组只有0解；如果⽅程组有⾮零解，那么必有D=0。

2矩阵（⼀）矩阵的运算1、矩阵乘法注意事项：（1）矩阵乘法要求前列后⾏⼀致；（2）矩阵乘法不满⾜交换律；（因式分解的公式对矩阵不适⽤，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)时，可以⽤交换律）（3）AB=O不能推出A=O或B=O。

线性代数公式1、行列式1.n 行列式共有n 2个元素，展开后有n !项，可分解为2n 行列式；2.代数余子式的性质：①、A ij和a ij的大小无关；②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ；3.代数余子式和余子式的关系：M ij=(-1)i +j Aij4.设n 行列式D ：将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为D 1，则D 1=(-1)n (n -1)2A ij=(-1)i +j MijD ；D ；将D 顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为D 2，则D 2=(-1)将D 主副角线翻转后，所得行列式为D 4，则D 4=D ；5.行列式的重要公式：①、主对角行列式：主对角元素的乘积；②、副对角行列式：副对角元素的乘积⨯(-1)n (n -1)2n (n -1)2将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为D 3，则D 3=D ；；③、上、下三角行列式（◥=◣）：主对角元素的乘积；④、◤和◢：副对角元素的乘积⨯(-1)⑤、拉普拉斯展开式：n (n -1)2；A O A C C A O A==A B 、==(-1)m n A BC B O B B O B C⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；⑦、特征值；6.对于n 阶行列式A ，恒有：λE -A =λn +∑(-1)k S kλn -k ，其中S k为k 阶主子式；k =1n7.证明A =0的方法：①、A =-A ；②、反证法；③、构造齐次方程组Ax =0，证明其有非零解；④、利用秩，证明r (A )<n ；⑤、证明0是其特征值；2、矩阵8.A 是n 阶可逆矩阵：⇔A ≠0（是非奇异矩阵）；⇔r (A )=n （是满秩矩阵）⇔A 的行（列）向量组线性无关；⇔齐次方程组Ax =0有非零解；⇔∀b ∈R n ，Ax =b 总有唯一解；⇔A 与E 等价；⇔A 可表示成若干个初等矩阵的乘积；⇔A 的特征值全不为0；⇔A T A 是正定矩阵；⇔A 的行（列）向量组是R n 的一组基；⇔A 是R n 中某两组基的过渡矩阵；9.对于n 阶矩阵A ：AA *=A *A =A E 无条件恒成立；10.(A -1)*=(A *)-1(AB )T =B T A T(A -1)T =(A T )-1(AB )*=B *A *(A *)T =(A T )*(AB )-1=B -1A -111.矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；12.关于分块矩阵的重要结论，其中均A 、B 可逆：⎛A 1若A =⎝A2⎫⎪⎪，则：⎪⎪A s⎭A s；-1A 2Ⅰ、A =A 1A2⎛A 1-1 -1Ⅱ、A =⎝-1⎫⎪⎪；⎪⎪A s-1⎪⎭O ⎫⎪；（主对角分块）B -1⎭B -1⎫⎪；（副对角分块）O ⎭⎛A -1⎛A O ⎫②、 ⎪=O B ⎝⎭⎝O ⎛O ⎛O A ⎫③、 ⎪= -1⎝B O ⎭⎝A-1⎛A -1⎛A C ⎫④、 ⎪=O B ⎝⎭⎝O -1-1-A -1CB -1⎫⎪；（拉普拉斯）B -1⎭O ⎫；（拉普拉斯）-1⎪B ⎭⎛A -1⎛A O ⎫⑤、 ⎪= -1-1C B ⎝⎭⎝-B CA3、矩阵的初等变换与线性方程组13.一个m ⨯n 矩阵A ，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：F = r⎝O 对于同型矩阵A 、B ，若r (A )=r (B )⇔A B ；14.行最简形矩阵：①、只能通过初等行变换获得；②、每行首个非0元素必须为1；③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；15.初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）①、若(A ,E )(E ,X )，则A 可逆，且X =A -1；②、对矩阵(A ,B )做初等行变化，当A 变为E 时，B 就变成A B ，即：(A ,B )~(E ,A -1B )；-1c r⎛E O ⎫⎪；O ⎭m ⨯n等价类：所有与A 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；③、求解线形方程组：对于n 个未知数n 个方程Ax =b ，如果(A ,b )(E ,x )，则A 可逆，且x =A -1b ；16.初等矩阵和对角矩阵的概念：①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；⎛λ1λ2②、Λ=⎝⎫⎪⎪，左乘矩阵A ，λ乘A 的各行元素；右乘，λ乘A 的各列元素；i i ⎪⎪λn⎭-1r⎛1⎫⎛1⎫⎪ ⎪③、对调两行或两列，符号E (i ,j )，且E (i ,j )-1=E (i ,j )，例如： 1⎪= 1⎪； 1⎪1⎪⎝⎭⎝⎭-1⎛1⎛1⎫11 ⎪-1④、倍乘某行或某列，符号E (i (k ))，且E (i (k ))=E (i ())，例如： k ⎪= k k ⎪1 ⎝⎭⎝-1⎫⎪⎪(k ≠0)；⎪1⎪⎭k ⎫-k ⎫⎛1⎛1 ⎪ ⎪=1⑤、倍加某行或某列，符号E (ij (k )),且E (ij (k ))-1=E (ij (-k ))，如： 1⎪ ⎪(k ≠0)；1⎪1⎪⎝⎭⎝⎭17.矩阵秩的基本性质：①、0≤r (A m ⨯n)≤min(m ,n )；②、r (A T )=r (A )；③、若AB ，则r (A )=r (B )；④、若P 、Q 可逆，则r (A )=r (PA )=r (AQ )=r (PAQ )；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）⑤、max(r (A ),r (B ))≤r (A ,B )≤r (A )+r (B )；（※）⑥、r (A +B )≤r (A )+r (B )；（※）⑦、r (AB )≤min(r (A ),r (B ))；（※）⑧、如果A 是m ⨯n 矩阵，B 是n ⨯s 矩阵，且AB =0，则：（※）Ⅰ、B 的列向量全部是齐次方程组AX =0解（转置运算后的结论）；Ⅱ、r (A )+r (B )≤n⑨、若A 、B 均为n 阶方阵，则r (AB )≥r (A )+r (B )-n ；18.三种特殊矩阵的方幂：①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）⨯行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；⎛1a c ⎫⎪②、型如 01b ⎪的矩阵：利用二项展开式； 001⎪⎝⎭二项展开式：(a +b )=C a +C a b +注：Ⅰ、(a +b )n 展开后有n +1项；n (n -1)(n -m +1)n !=123m m !(n -m )!m nn -mnnnn1nn -11+C am nn -mb +m +Cn -11n -1na b m m n -m ；+C b=∑Cna b n nnm =0n Ⅱ、C nm=0n C n=C n=1Ⅲ、组合的性质：C =C Cm n +1=C +Cm nm -1n∑Cr =0n r n=2nr r -1rC n=nC n -1；③、利用特征值和相似对角化：19.伴随矩阵：⎧n⎪①、伴随矩阵的秩：r (A *)=⎨1⎪0⎩r (A )=n r (A )=n -1；r (A )<n -1②、伴随矩阵的特征值：③、A *=A A -1、A *=A Aλ(AX =λX ,A *=A A -1⇒A *X =AλX )；n -120.关于A 矩阵秩的描述：①、r (A )=n ，A 中有n 阶子式不为0，n +1阶子式全部为0；（两句话）②、r (A )<n ，A 中有n 阶子式全部为0；③、r (A )≥n ，A 中有n 阶子式不全为0；21.线性方程组：Ax =b ，其中A 为m ⨯n 矩阵，则：①、m 与方程的个数相同，即方程组Ax =b 有m 个方程；②、n 与方程组得未知数个数相同，方程组Ax =b 为n 元方程；22.线性方程组Ax =b 的求解：①、对增广矩阵B 进行初等行变换（只能使用初等行变换）；②、齐次解为对应齐次方程组的解；③、特解：自由变量赋初值后求得；23.由n 个未知数m 个方程的方程组构成n 元线性方程：⎧a 11x 1+a 12x 2++a 1n x n =b 1⎪a x +a x ++a x =b ⎪2n n 2①、⎨211222；⎪⎪⎩a m 1x 1+a m 2x 2++a nm x n =b n⎛a 11a 12 a a 22②、 21 ⎝a m 1am 2a 1n⎫⎛x 1⎫⎛b 1⎫⎪⎪ ⎪a 2n ⎪x 2⎪ b 2⎪=⇔Ax =b （向量方程，A 为m ⨯n 矩阵，m 个方程，n 个未知数）⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪a mn ⎭⎝x m ⎭⎝b m ⎭⎛x 1⎫⎛b 1⎫ ⎪ ⎪x b 2a n ) ⎪=β（全部按列分块，其中β= 2⎪）； ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝x n ⎭⎝b n ⎭③、(a1a2④、a 1x 1+a 2x 2++a nx n=β（线性表出）⑤、有解的充要条件：r (A )=r (A ,β)≤n （n 为未知数的个数或维数）4、向量组的线性相关性24.m 个n 维列向量所组成的向量组A ：α1,α2,,αm构成n ⨯m 矩阵A =(α1,α2,,αm)；T m 个n 维行向量所组成的向量组B ：β1T ,β2,⎛β1T ⎫T ⎪βT ,βm构成m ⨯n 矩阵B = 2⎪； ⎪ βT ⎪⎪⎝m ⎭含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；25.①、向量组的线性相关、无关⇔Ax =0有、无非零解；（齐次线性方程组）②、向量的线性表出（线性方程组）⇔Ax =b 是否有解；③、向量组的相互线性表示（矩阵方程）⇔AX =B 是否有解；26.矩阵A m ⨯n与B l ⨯n行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组Ax =0和Bx =0同解；(P101例14)27.r (A T A )=r (A )；(P 101例15)28.n 维向量线性相关的几何意义：⇔α=0；①、α线性相关②、α,β线性相关⇔α,β坐标成比例或共线（平行）；③、α,β,γ线性相关⇔α,β,γ共面；29.线性相关与无关的两套定理：若α1,α2,,αs 线性相关，则α1,α2,,αs,αs +1必线性相关；若α1,α2,,αs线性无关，则α1,α2,,αs -1必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）若r 维向量组A 的每个向量上添上n -r 个分量，构成n 维向量组B ：若A 线性无关，则B 也线性无关；反之若B 线性相关，则A 也线性相关；（向量组的维数加加减减）简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；30.向量组A （个数为r ）能由向量组B （个数为s ）线性表示，且A 线性无关，则r ≤s (二版P 74定理7)；向量组A 能由向量组B 线性表示，则r (A )≤r (B )；（P 86定理3）向量组A 能由向量组B 线性表示⇔AX =B 有解；⇔r (A )=r (A ,B )（P 85定理2）向量组A 能由向量组B 等价⇔r (A )=r (B )=r (A ,B )（P 85定理2推论）,P l，使A =P 1P2P l；31.方阵A 可逆⇔存在有限个初等矩阵P 1,P 2,r①、矩阵行等价：A ~B ⇔PA =B （左乘，P 可逆）⇔Ax =0与Bx =0同解②、矩阵列等价：A ~B ⇔AQ =B （右乘，Q 可逆）；③、矩阵等价：A ~B ⇔PAQ =B （P 、Q 可逆）；对于矩阵A m ⨯n 与B l ⨯n：①、若A 与B 行等价，则A 与B 的行秩相等；②、若A 与B 行等价，则Ax =0与Bx =0同解，且A 与B 的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；④、矩阵A 的行秩等于列秩；若A m ⨯s B s ⨯n =C m ⨯n，则：①、C 的列向量组能由A 的列向量组线性表示，B 为系数矩阵；②、C 的行向量组能由B 的行向量组线性表示，A T 为系数矩阵；（转置）齐次方程组Bx =0的解一定是ABx =0的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；①、ABx =0只有零解⇒Bx =0只有零解；②、Bx =0有非零解⇒ABx =0一定存在非零解；设向量组B n ⨯r:b 1,b 2,,b r可由向量组A n ⨯s :a 1,a 2,,a s线性表示为：（P 110题19结论）(b 1,b 2,,b r)=(a 1,a 2,,a s)K （B =AK ）c 32.33.34.35.其中K 为s ⨯r ，且A 线性无关，则B 组线性无关⇔r (K )=r ；（B 与K 的列向量组具有相同线性相关性）（必要性：r =r (B )=r (AK )≤r (K ),r (K )≤r ,∴r (K )=r ；充分性：反证法）注：当r =s 时，K 为方阵，可当作定理使用；36.①、对矩阵A m ⨯n，存在Q n ⨯m，AQ =E m⇔r (A )=m 、Q 的列向量线性无关；（P 87）②、对矩阵A m ⨯n ，存在P n ⨯m ，PA =E n⇔r (A )=n 、P 的行向量线性无关；37.α1,α2,,αs线性相关⇔存在一组不全为0的数k 1,k 2,,k s，使得k 1α1+k 2α2++k s αs=0成立；（定义）⎛x 1⎫ ⎪x ,αs ) 2⎪=0有非零解，即Ax =0有非零解； ⎪ ⎪⎝x s ⎭⇔(α1,α2,⇔r (α1,α2,,αs)<s ，系数矩阵的秩小于未知数的个数；38.设m ⨯n 的矩阵A 的秩为r ，则n 元齐次线性方程组Ax =0的解集S 的秩为：r (S )=n -r ；39.若η*为Ax =b 的一个解，ξ1,ξ2,,ξn -r为Ax =0的一个基础解系，则η*,ξ1,ξ2,,ξn -r线性无关；（P111题33结论）5、相似矩阵和二次型40.正交矩阵⇔A T A =E 或A -1=A T （定义），性质：①、A 的列向量都是单位向量，且两两正交，即a i T a j=⎨⎧1⎩0i =j i ≠j(i ,j =1,2,n )；②、若A 为正交矩阵，则A -1=A T 也为正交阵，且A =±1；③、若A 、B 正交阵，则AB 也是正交阵；注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化；41.施密特正交化：(a 1,a 2,,a r)b 1=a 1；b 2=a 2-[b 1,a 2]b 1[b 1,b 1]b r =a r -[b 1,a r ][b ,a ]b 1-2r b 2-[b 1,b 1][b 2,b 2]-[b r -1,a r ]b r -1;[b r -1,b r -1]42.对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交；43.①、A 与B 等价⇔A 经过初等变换得到B ；⇔PAQ =B ，P 、Q 可逆；⇔r (A )=r (B )，A 、B 同型；②、A 与B 合同⇔C T AC =B ，其中可逆；⇔x T Ax 与x T Bx 有相同的正、负惯性指数；③、A 与B 相似⇔P -1AP =B ；44.相似一定合同、合同未必相似；若C 为正交矩阵，则C T AC =B ⇒A B ，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）；45.A 为对称阵，则A 为二次型矩阵；46.n 元二次型x T Ax 为正定：⇔A 的正惯性指数为n ；⇔A 与E 合同，即存在可逆矩阵C ，使C T AC =E ；⇔A 的所有特征值均为正数；⇔A 的各阶顺序主子式均大于0；⇒a ii>0,A >0；(必要条件)。

初中数学知识归纳平面向量的线性运算及应用初中数学知识归纳：平面向量的线性运算及应用一、引言初中数学中，线性运算是一个重要的概念。

在平面几何中，平面向量的线性运算是一种常见且有用的运算。

本文将归纳总结平面向量的线性运算及其应用。

二、平面向量的定义与表示平面向量是具有大小和方向的量，用有向线段表示。

在直角坐标系中，平面向量可以用坐标表示为：AB = (x, y)其中，x表示与x轴的水平距离，y表示与y轴的垂直距离。

三、平面向量的线性运算1. 平面向量的加法若有两个平面向量AB = (x₁, y₁)和CD = (x₂, y₂)，则它们的和为：AB + CD = (x₁ + x₂, y₁ + y₂)2. 平面向量的数乘若有一个平面向量AB = (x, y)和一个实数k，那么它们的数乘为：kAB = (kx, ky)3. 平面向量的减法若有两个平面向量AB = (x₁, y₁)和CD = (x₂, y₂)，则它们的差为：AB - CD = (x₁ - x₂, y₁ - y₂)4. 平面向量的线性组合若有n个平面向量A₁, A₂, ..., An和n个实数k₁, k₂, ..., kn，则它们的线性组合为：k₁A₁ + k₂A₂ + ... + knAn四、平面向量的应用1. 平行向量两个向量的方向相同或相反时，它们为平行向量。

在平行四边形的性质中，平行向量具有重要的应用。

2. 向量共线与共面若有三个点A，B，C构成的两个向量AB和AC共线，则三个点A，B，C共线。

若两个向量在同一个平面内，它们为共面向量。

3. 向量的模长与方向角平面向量的模长为向量的长度，用|AB|表示。

向量的方向角为向量与水平方向的夹角，一般用α表示。

4. 平面向量的投影平面向量的投影表示一个向量在另一个向量上的投影长度，应用于解决几何问题中的投影性质。

5. 平面向量的线性相关与线性无关若存在一组实数k₁, k₂, ..., kn，使得k₁A₁ + k₂A₂ + ... + knAn = 0且不全为0，则这组向量为线性相关向量。

完整版线性代数知识点总结线性代数是数学的一个分支，研究向量空间及其上的线性变换。

它在各个领域中都有广泛的应用，包括物理学、计算机科学、工程学等。

以下是线性代数的一些重要知识点总结：1.向量和向量空间：向量是有方向和大小的量，可以用来表示力、速度、位移等。

向量空间是向量的集合，具有加法和标量乘法运算，同时满足一定的性质。

2.线性方程组和矩阵：线性方程组是一组线性方程的集合，研究其解的性质和求解方法。

矩阵是一个由数构成的矩形数组，可以用来表示线性方程组中的系数和常数。

3.矩阵的运算：包括矩阵的加法、减法和乘法运算。

矩阵乘法是一种重要的运算，可以用来表示线性变换和复合变换。

4.行列式和特征值：行列式是一个标量，表示矩阵的一些性质，如可逆性和面积/体积的变换。

特征值是矩阵对应的线性变换中特殊的值，表示该变换在一些方向上的伸缩程度。

5.向量的内积和正交性：向量的内积是一种二元运算，可以用来表示向量之间的夹角和长度。

正交向量是指内积为零的向量，可以用来表示正交补空间等概念。

6.向量的投影和正交分解：向量的投影是一个向量在另一个向量上的投影，可以用来表示向量的分解。

正交分解是将一个向量分解为与另一个向量正交和平行的两个向量之和。

7.线性变换和线性映射：线性变换是指保持向量加法和标量乘法运算的变换。

线性映射是向量空间之间的函数，具有保持线性运算的性质。

8.特征值和特征向量：特征值和特征向量是线性变换或矩阵中一个重要的概念，用于描述变换的性质和方向。

9.正交矩阵和对称矩阵：正交矩阵是一个方阵，其列向量组成的矩阵是正交的。

对称矩阵是一个方阵，其转置等于自身。

10.奇异值分解：奇异值分解（SVD）是一种矩阵的分解方法，用来将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积。

SVD在数据压缩、图像处理和机器学习等领域有广泛的应用。

11.最小二乘法：最小二乘法是一种数学优化方法，用来找到一条曲线或超平面，使得这些数据点到该曲线或超平面的距离平方和最小。

线性代数公式总结大全在线性代数中，有许多重要的公式被广泛应用于向量、矩阵和线性方程组的求解。

下面将对这些公式进行一个全面的总结，并说明它们的应用。

1. 向量的加法和减法- 向量加法：给定两个向量A和B，其加法可以表示为A + B = C，其中C的每个分量等于A和B对应分量的和。

- 向量减法：给定两个向量A和B，其减法可以表示为A - B = C，其中C的每个分量等于A和B对应分量的差。

2. 向量的数量积和向量积- 数量积：给定两个向量A和B，其数量积可以表示为A · B = |A| |B| cosθ，其中|A|和|B|分别表示向量A和B的模长，θ表示两个向量的夹角。

- 向量积：给定两个向量A和B，其向量积可以表示为A × B = |A| |B| sinθ * n，其中|A|和|B|分别表示向量A和B的模长，θ表示两个向量的夹角，n是垂直于A和B所在平面的单位向量。

3. 矩阵的基本运算- 矩阵加法：给定两个矩阵A和B，其加法可以表示为A + B = C，其中C的每个元素等于A和B对应元素的和。

- 矩阵减法：给定两个矩阵A和B，其减法可以表示为A - B = C，其中C的每个元素等于A和B对应元素的差。

- 矩阵数乘：给定一个矩阵A和一个标量k，其数乘可以表示为kA = B，其中B的每个元素等于A对应元素乘以k。

4. 矩阵的乘法- 矩阵乘法：给定两个矩阵A和B，其乘法可以表示为AB = C，其中矩阵C的元素等于A的行向量与B的列向量的数量积。

- 矩阵转置：给定一个矩阵A，其转置可以表示为A^T，其中A^T的第i行第j列元素等于A的第j行第i列元素。

- 矩阵的逆：给定一个可逆矩阵A，其逆可以表示为A^−1，其中AA^−1 = I，I是单位矩阵。

5. 线性方程组的解法- 列主元消去法：通过消去矩阵A的部分元素，将其转化为上三角矩阵，然后通过回代法求解线性方程组的解。

- 伴随矩阵法：利用矩阵的伴随矩阵和行列式的性质求解线性方程组的解。

线性代数总结知识点线性代数是数学的一个分支，主要研究向量、向量空间（也称为线性空间）、线性变换以及线性方程组的理论。

它是现代数学的基础工具之一，广泛应用于物理学、工程学、计算机科学、经济学和社会科学等领域。

以下是线性代数的一些核心知识点总结：1. 向量与向量运算- 向量的定义：向量可以是有序的数字列表，用于表示空间中的点或方向。

- 向量加法：两个向量对应分量相加得到新的向量。

- 标量乘法：一个向量与一个标量相乘，每个分量都乘以该标量。

- 向量的数量积（点积）：两个向量的对应分量乘积之和，用于计算向量的长度或投影。

- 向量的向量积（叉积）：仅适用于三维空间，结果是一个向量，表示两个向量平面的法向。

2. 矩阵- 矩阵的定义：一个由数字排列成的矩形阵列。

- 矩阵加法和减法：对应元素相加或相减。

- 矩阵乘法：第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数，结果矩阵的每个元素是两个矩阵对应行列的乘积之和。

- 矩阵的转置：将矩阵的行变成列，列变成行。

- 单位矩阵：对角线上全是1，其余位置全是0的方阵。

- 零矩阵：所有元素都是0的矩阵。

3. 线性相关与线性无关- 线性相关：如果一组向量中的任何一个可以通过其他向量的线性组合来表示，则这组向量是线性相关的。

- 线性无关：如果只有所有向量的零组合才能表示为零向量，则这组向量是线性无关的。

4. 向量空间（线性空间）- 定义：一组向量，它们在向量加法和标量乘法下是封闭的。

- 子空间：向量空间的子集，它自身也是一个向量空间。

- 维数：向量空间的基（一组线性无关向量）的大小。

- 基和坐标：向量空间的一组基可以用来表示空间中任何向量的坐标。

5. 线性变换- 定义：保持向量加法和标量乘法的函数。

- 线性变换可以用矩阵表示，矩阵的乘法对应线性变换的复合。

6. 特征值和特征向量- 特征值：对应于线性变换的标量，使得变换后的向量与原向量成比例。

- 特征向量：与特征值对应的非零向量，变换后的向量与原向量方向相同。

线性代数知识点简单总结线性代数是数学的一个分支，主要研究向量、向量空间（也称为线性空间）、线性变换以及线性方程组的理论。

以下是线性代数的一些核心知识点的简单总结：1. 向量与空间- 向量：可以视为空间中的点或箭头，具有大小和方向，可以进行加法和数乘运算。

- 零向量：所有向量加法的单位元，加任何向量结果不变。

- 单位向量：长度为1的向量。

- 向量空间：一组向量的集合，其中任意向量的线性组合仍然在这个集合中。

- 子空间：向量空间的子集，自身也是一个向量空间。

- 维数：向量空间的基的大小，表示为n维空间。

2. 矩阵与线性变换- 矩阵：一个由数字排列成的矩形阵列，可以表示线性变换。

- 行向量与列向量：矩阵中的行和列可以被视为行向量或列向量。

- 线性变换：保持向量加法和数乘的函数，可以用矩阵来表示。

- 单位矩阵：对角线为1，其他为0的方阵，与任何矩阵相乘结果不变。

- 转置：将矩阵的行变成列，列变成行的操作。

3. 线性方程组- 齐次线性方程组：形如Ax=0的方程组，其中A是矩阵，x是未知向量。

- 非齐次线性方程组：形如Ax=b的方程组，b不是零向量。

- 行列式：方阵的一个标量值，可以表示矩阵表示的线性变换对空间体积的缩放因子。

- 克拉默法则：使用行列式解线性方程组的方法，适用于小规模且系数矩阵行列式非零的情况。

4. 特征值与特征向量- 特征值：一个标量λ，使得存在非零向量x满足Ax=λx。

- 特征向量：与特征值对应的非零向量x。

- 特征多项式：用于求解特征值的多项式，定义为det(A-λI)=0。

- 对角化：将矩阵表示为特征向量和特征值的组合。

5. 内积与正交性- 内积（点积）：两个向量的函数，满足Schwarz不等式。

- 正交：两个向量的内积为零，表示它们在空间中垂直。

- 正交基：一组向量，任意两个向量都正交。

- 正交补：对于一个向量空间的子集，所有与该子集中所有向量正交的向量组成的集合。

6. 奇异值分解- 奇异值分解（SVD）：将任意矩阵分解为三个特殊矩阵的乘积，即A=UΣV*。

线性代数公式定理总结线性代数是一门研究向量空间及其线性映射与线性变换的数学学科，涉及了许多重要的公式和定理。

本文将对线性代数中的关键公式和定理进行总结，以帮助读者更深入地理解线性代数的基本概念和原理。

一、向量的基本性质和运算公式1. 向量空间的定义：向量空间是一个基于域上的向量集合，在满足一定性质（如封闭性、加法交换律等）的条件下进行线性组合和标量乘法运算。

2. 向量的加法和数乘：对于向量a和b，有加法公式a+b=b+a和数乘公式c(a+b) = ca + cb。

3. 零向量的性质：对于任意向量a，有a + 0 = a，其中0为零向量。

4. 向量的负向量：对于向量a，存在一个向量-b使得a + (-b) = 0。

5. 向量的数量积：向量a和b的数量积（内积）表示为a·b =||a|| ||b|| cosθ，其中||a||和||b||分别为向量a和b的模长，θ为a和b之间的夹角。

6. 内积的性质：内积满足加法性、齐次性、对称性和正定性等性质，如对于向量a，b和c，有a·(b + c) = a·b + a·c。

二、线性方程组和矩阵运算公式1. 线性方程组的标准形式：线性方程组可以表示为AX = B的形式，其中A为系数矩阵，X为未知变量向量，B为常数向量。

2. 线性方程组的解的存在性和唯一性：线性方程组的解存在并且唯一当且仅当系数矩阵A的秩等于常数向量B的秩。

3. 矩阵的乘法和转置：对于矩阵A和B，有乘法公式AB ≠ BA，矩阵转置的性质(A^T)^T = A和(AB)^T = B^T A^T。

4. 逆矩阵的性质：对于方阵A，若存在逆矩阵A^{-1}使得AA^{-1} = A^{-1}A = I，其中I为单位矩阵，则称A为可逆矩阵。

5. 逆矩阵的求解：对于方阵A，若A可逆，则可以使用伴随矩阵求解逆矩阵A^{-1} = (1/ det(A)) adj(A)。

6. 矩阵的行列式和性质：矩阵的行列式表示为det(A)，满足交换行列式的值不变、对角矩阵的行列式等于对角线元素的乘积等性质。

平面向量的线性运算平面向量是平面上有大小和方向的箭头，可以进行线性运算，包括加法和数乘运算。

这些线性运算可以应用于各种数学和物理问题中，是解决平面几何和物理学中向量计算的重要工具。

一、平面向量的加法运算平面向量的加法运算是指将两个向量合并为一个新的向量的过程。

设有两个平面向量A(A₁, A₂)和A(A₁, A₂)，它们的加法运算可以表示为：A + A = (A₁ + A₁, A₂ + A₂)即将向量A和向量A的对应分量相加得到新向量的对应分量。

二、平面向量的数乘运算平面向量的数乘运算是指将一个向量与一个实数相乘得到一个新的向量的过程。

设有一个平面向量A(A₁, A₂)和实数A，它们的数乘运算可以表示为：AA = (AA₁, AA₂)即将向量A的每个分量乘以实数A得到新向量的对应分量。

三、平面向量的线性组合线性组合是指将若干个向量按照一定的倍数相加的运算。

设有A个平面向量A₁, A₂, ..., AA和对应的实数A₁, A₂, ..., AA，则它们的线性组合可以表示为：A₁A₁ + A₂A₂ + ... + AAAA其中，A₁, A₂, ..., AA为系数，决定了每个向量的倍数。

四、线性运算的性质平面向量的线性运算具有以下性质：1. 交换律：向量的加法运算满足交换律，即A + A = A + A。

2. 结合律：向量的加法运算满足结合律，即(A + A) + A = A + (A +A)。

3. 数乘结合律：向量的数乘运算满足数乘结合律，即A(AA) = (AA)A，其中A和A为实数。

4. 数乘分配律：向量的数乘运算满足数乘分配律，即(A + A)A = AA + AA，其中A和A为实数。

这些性质使得平面向量的线性运算更加灵活和方便，并且可以简化向量计算的过程。

五、线性运算的应用平面向量的线性运算在几何学和物理学中具有广泛的应用。

1. 几何学应用：平面向量的线性运算可以用来求解平面上的几何问题，例如求两向量之和、求向量的倍数、求向量的线性组合等。

向量线性运算知识点总结一、向量的定义在数学中，向量通常用箭头符号表示，比如$\vec{a}$或者$\overrightarrow{AB}$。

向量是有方向和大小的量，通常用于表示空间中的位移、速度等。

在n维空间中，一个向量可以表示为一个具有n个有序实数的n维坐标组$(x_1, x_2, \cdots, x_n)$，而在实际应用中，可以用行向量或列向量来表示。

在数学中，向量可以用于表示空间几何中的位移、速度、力等，同时也可以用于表示抽象意义上的量，比如代数中的多项式、矩阵等。

在计算机科学中，向量也被广泛应用于向量空间的表示，比如在机器学习中的特征向量等。

二、向量的线性运算向量的线性运算包括两种基本运算：向量的加法和数乘运算。

1. 向量的加法设有两个n维向量$\vec{a}=(a_1,a_2,\cdots,a_n)$和$\vec{b}=(b_1,b_2,\cdots,b_n)$，则它们的和是一个n维向量，记作$\vec{a}+\vec{b}=(a_1+b_1,a_2+b_2,\cdots,a_n+b_n)$。

向量的加法满足以下性质：- 交换律：$\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$- 结合律：$(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})$- 零向量：对于任意向量$\vec{a}$，都有$\vec{a}+\vec{0}=\vec{a}$，其中$\vec{0}$表示零向量- 相反向量：对于任意向量$\vec{a}$，都有$\vec{a}+(-\vec{a})=\vec{0}$，其中$-\vec{a}$表示向量$\vec{a}$的相反向量2. 数乘运算设有一个n维向量$\vec{a}=(a_1,a_2,\cdots,a_n)$和一个实数$k$，则它们的数乘运算结果是一个n维向量，记作$k\vec{a}=(ka_1,ka_2,\cdots,ka_n)$。

线性代数公式总结线性代数是数学中的一个分支，主要研究向量、向量空间、矩阵、线性方程组等概念和性质。

线性代数公式总结如下：1.向量加法和标量乘法：- 向量加法：如果u和v是n维向量，则它们的和为u + v = (u1 + v1, u2 + v2, ..., un + vn)- 标量乘法：如果k是一个实数，则k乘以向量v的结果为kv = (k*v1, k*v2, ..., k*vn)2.线性方程组：-n个未知数的线性方程组可以用矩阵和向量表示：Ax=b，其中A是一个m×n的矩阵，x是一个n维列向量，b是一个m维列向量。

- 如果Ax = b有唯一解，则A的行列式不为零。

行列式表示为det(A)。

-矩阵的逆：如果矩阵A的行列式不为零，则存在矩阵A的逆矩阵A^-1，使得AA^-1=A^-1A=I，其中I是单位矩阵。

3.向量空间和线性无关性：- 向量空间是指由向量的线性组合构成的集合，满足以下性质：对于任意的向量u和v以及任意的标量k和l，ku + lv仍然在向量空间内。

- 向量v1, v2, ..., vn是线性无关的，如果方程k1v1 + k2v2+ ... + knvn = 0只有零解。

- 如果一组向量v1, v2, ..., vn张成一个向量空间V，则称这组向量是V的基。

4.矩阵的运算：- 矩阵的加法：如果A和B是相同大小的矩阵，则它们的和为A + B = (aij + bij)，其中aij和bij分别是矩阵A和B对应位置的元素。

- 矩阵的乘法：如果A是m×n的矩阵，B是n×p的矩阵，它们的乘积为C = AB，其中C是m×p的矩阵，其中C的元素cij可以表示为cij= Σ(k=1 to n) aikbk，其中aik是矩阵A的元素，bk是矩阵B的元素。

5.特征值和特征向量：-如果矩阵A乘以向量v得到一个与v方向相同的向量，那么v是A的特征向量，对应的乘积结果是特征值λ，即Av=λv。

数学中的线性代数运算线性代数是数学中的一个重要分支，它研究向量空间和线性映射的性质及其运算。

线性代数的运算包括向量的加法、数乘、矩阵的加法、数乘以及矩阵的乘法等。

这些运算在数学中有着广泛的应用，不仅在纯数学领域中，也在应用数学中起到重要的作用。

首先，让我们来看一下向量的加法和数乘运算。

向量是线性代数中的基本概念，它可以用来表示空间中的一个点或者一个方向。

向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。

例如，如果有两个向量a和b，它们的加法可以表示为a + b = c，其中c是一个新的向量。

向量的数乘是指将一个向量乘以一个标量得到一个新的向量。

例如，如果有一个向量a和一个标量k，它们的数乘可以表示为k * a = b，其中b是一个新的向量。

接下来，我们来看一下矩阵的加法和数乘运算。

矩阵是线性代数中的另一个重要概念，它可以用来表示多个向量的组合。

矩阵的加法是指将两个矩阵的对应元素相加得到一个新的矩阵。

例如，如果有两个矩阵A和B，它们的加法可以表示为A +B = C，其中C是一个新的矩阵。

矩阵的数乘是指将一个矩阵的每个元素乘以一个标量得到一个新的矩阵。

例如，如果有一个矩阵A和一个标量k，它们的数乘可以表示为k * A = B，其中B是一个新的矩阵。

最后，我们来看一下矩阵的乘法运算。

矩阵的乘法是指将两个矩阵相乘得到一个新的矩阵。

矩阵的乘法是线性代数中最重要的运算之一，它在各个领域都有广泛的应用。

矩阵的乘法不仅可以用来表示线性映射，还可以用来解线性方程组、计算矩阵的特征值和特征向量等。

矩阵的乘法是按照行乘以列的方式进行的，即矩阵A 乘以矩阵B得到矩阵C的第i行第j列元素等于矩阵A的第i行与矩阵B的第j列对应元素的乘积之和。

例如，如果有两个矩阵A和B，它们的乘法可以表示为A * B = C，其中C是一个新的矩阵。

线性代数中的这些运算不仅在数学中有着重要的地位，也在其他学科中起到了关键的作用。

例如，在物理学中，向量的加法和数乘可以用来描述物体的位移和速度；在计算机图形学中，矩阵的乘法可以用来进行图形的变换和投影；在经济学中，矩阵的加法和数乘可以用来描述经济模型中的变量关系等。

线性代数1. 上（下）三角形行列式的值为对角线元素的乘积。

2. 行列式与它的转置行列式相等。

3. 互换行列式的两行（列），行列式变号。

4. 行列式某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k 等于用数k 乘以此行列式。

5. 行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式的外面。

6. 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零。

7. 在n 阶行列式中，把元素a ij 所在的第i 行和第j 列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元素a ij 的余子式，记作M ij ； ij j i ij M A +-=)1(，叫做元素a ij 的代数余子式。

8. 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。

9. 行列式某一行（列）的元素与另一行列的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。

10. 数λ与矩阵A 的乘积等于λ乘以A 中的所有元素。

11. 矩阵n m n s s m C B A ⨯⨯⨯=⨯ T T A A λλ=)( T T T A B AB =)(12. 对称矩阵：A A T = 元素以主对角线为对称轴对应相等。

13. 方阵：A A n λλ= B A AB = BA AB = 14. 矩阵A 的伴随矩阵：行列式A 的各个元素的代数余子式ij A 所构成的矩阵A *（横求竖写）。

E A A A AA ==**15. n 阶矩阵：AB=BA=E ，B 称为A 的逆矩阵；记作1-=A B 。

16. 若矩阵A 可逆←→A ≠0。

17. 逆矩阵的性质：A A A *1=- ， 111)(---=A B AB ， A A 11=- ， ()111--=A A λλ 18. A ＝0时的矩阵称为奇异矩阵，否则称非奇异矩阵。

可逆矩阵是非奇异矩阵。

19. 分块对角矩阵：s A A A A 21= ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=----11211100s A A A A 20. A 的转置矩阵A T 的秩)()(A R A R T =。

线性代数复习总结大全第一章 行列式二三阶行列式N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和n nn nj j j j j j j j j nij a a a a ...)1(21212121)..(∑-=τ（奇偶）排列、逆序数、对换行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。

（转置行列式T D D =） ②行列式中某两行（列）互换，行列式变号。

推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。

③常数k 乘以行列式的某一行（列），等于k 乘以此行列式。

推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零； 推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。

④行列式具有分行（列）可加性⑤将行列式某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，值不变 行列式依行（列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij ji ij M A +-=)1(定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。

克莱姆法则：非齐次线性方程组 ：当系数行列式0≠D 时，有唯一解：)21(n j DD x j j ⋯⋯==、齐次线性方程组 ：当系数行列式01≠=D 时，则只有零解 逆否：若方程组存在非零解，则D 等于零 特殊行列式：①转置行列式：332313322212312111333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a =③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零④三线性行列式:333122211312110a a a a a a a 方法：用221a k 把21a 化为零，。

化为三角形行列式 ⑤上（下）三角形行列式: 行列式运算常用方法（主要）行列式定义法（二三阶或零元素多的） 化零法（比例）化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、第二章 矩阵n *（零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n 阶方阵、相等矩阵) ---------交换、结合律 数乘n m ij ka kA *)(=---------分配、结合律乘法nm lkj ik n l kj l m ik b a b a B A *1**)()(*)(*∑==注意什么时候有意义一般AB=BA ，不满足消去律；由AB=0，不能得A=0或B=0 转置A A T T =)( TT T B A B A +=+)( T T kA kA =)( TT T A B AB =)((反序定理) 方幂：2121k k k kA AA +=2121)(k k k k A A +=矩阵：对角矩阵：若AB 都是N 阶对角阵，k 是数，则kA 、A+B 、 数量矩阵：相当于一个数（若……）单位矩阵、上（下）三角形矩阵（若……） 对称矩阵 反对称矩阵阶梯型矩阵：每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方 注：把分出来的小块矩阵看成是元素阶方阵，若存在N 阶矩阵B 的AB=BA=I 则称A 是可逆的， B A=-1(非|A|=0、伴随矩阵)2.、非零k 乘某一行（列）3、将某行（列）的K 倍加到另 初等矩阵都可逆倍乘阵 倍加阵） ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=O OO I D rr 矩阵的秩r(A)：满秩矩阵 降秩矩阵 若A 可逆，则满秩若A 是非奇异矩阵，则r （AB ）=r （B ） 初等变换不改变矩阵的秩求法：1定义2转化为标准式或阶梯形矩阵与行列式的联系与区别：都是数表；行列式行数列数一样，矩阵不一样；行列式最终是一个数，只要值相等，就相等，矩阵是一个数表，对应元素相等才相等；矩阵n ij n ij a k ka )()(=，行列式nij n nija k ka =逆矩阵注：①AB=BA=I 则A 与B 一定是方阵 ②BA=AB=I 则A 与B 一定互逆； ③不是所有的方阵都存在逆矩阵；④若A 可逆，则其逆矩阵是唯一的。

线性代数知识点总结第一章 行列式1. n 阶行列式()()121212111212122212121==-∑n nnn t p p p n p p np p p p n n nna a a a a a D a a a a a a 2.特殊行列式1212n nλλλλλλ=，()()1122121n n n nλλλλλλ-=-3.行列式的性质定义记111212122212nn n n nna a a a a a D a a a =，112111222212n n T nnnna a a a a a D a a a =，行列式TD 称为行列式D 的转置行列式。

性质1行列式与它的转置行列式相等。

性质2 互换行列式的两行()↔i j r r 或列()↔i j c c ，行列式变号。

推论如果行列式有两行〔列〕完全一样〔成比例〕，则此行列式为零。

性质3 行列式*一行〔列〕中所有的元素都乘以同一数()⨯j k r k ，等于用数k 乘此行列式； 推论1 D 的*一行〔列〕中所有元素的公因子可以提到D 的外面; 推论2 D 中*一行〔列〕所有元素为零，则=0D 。

性质4 假设行列式的*一列〔行〕的元素都是两数之和，则1112111212222212()()()i i n i i n n n ni ninna a a a a a a a a a D a a a a a '+'+='+11121111121121222*********12i n i n i n i n n n ninnn n ninna aa a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ''=+' 性质6 把行列式的*一列〔行〕的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式的值不变。

而算得行列式的值。

4. 行列式按行〔列〕展开余子式在n 阶行列式中，把元素ij a 所在的第i 行和第j 列划去后，留下来的1n -阶行列式叫做元素ij a 的余子式，记作ij M 。

平面向量的线性运算平面向量是平面上的有向线段，具有大小和方向，可以进行线性运算。

本文将介绍平面向量的加法、减法、数量乘法以及其他相关的线性运算。

一、平面向量的加法平面向量的加法满足以下性质：1. 交换律：对于任意两个向量a和b，a+b=b+a。

2. 结合律：对于任意三个向量a、b和c，(a+b)+c=a+(b+c)。

3. 零向量：对于任意向量a，存在一个特殊的向量0，称为零向量，满足a+0=a。

4. 相反向量：对于任意向量a，存在一个特殊的向量-b，称为a的相反向量，满足a+(-a)=0。

二、平面向量的减法平面向量的减法可以看作是向量加上其相反向量的过程。

即，对于任意向量a和b，a-b=a+(-b)。

三、平面向量的数量乘法平面向量的数量乘法即将一个向量乘以一个实数。

具体来说，对于任意向量a和实数k，ka是一个新的向量，满足以下性质：1. 数量乘法的结合律：对于任意向量a和实数k、l，(kl)a=k(la)。

2. 数量乘法与向量加法的分配律：对于任意向量a和实数k、l，(k+l)a=ka+la。

3. 数量乘法与实数加法的分配律：对于任意向量a和实数k、l，(k+l)a=ka+la。

4. 数量乘法与实数乘法的分配律：对于任意向量a和实数k、l，(kl)a=k(la)。

四、线性组合线性组合是指将若干个向量按照一定比例进行加法和数量乘法运算得到的向量。

具体来说，对于给定的向量a1、a2、...、an和实数k1、k2、...、kn，线性组合为k1a1+k2a2+...+knan。

五、平面向量的点积平面向量的点积也称为数量积或内积。

对于任意向量a和b，其点积记作a·b，满足以下性质：1. 交换律：对于任意向量a和b，a·b=b·a。

2. 分配律：对于任意向量a、b和c，(a+b)·c=a·c+b·c。

3. 结合律：对于任意向量a和b以及实数k，(ka)·b=k(a·b)=a·(kb)。