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超几何分布教学目标：1、理解理解超几何分布；2、了解超几何分布的应用．教学重点：1、理解理解超几何分布；2、了解超几何分布的应用教学过程一、复习引入：1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示2. 离散型随机变量: 随机变量 只能取有限个数值或可列无穷多个数值 则称 为离散随机变量，在高中阶段我们只研究随机变量 取有限个数值的情形.3. 分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为x1，x2，…，x3，…，ξ取每一个值xi （i=1，2，...）的概率为()i i P x p ξ==，则称表 ξ x1 x2 (xi)… P P1 P2 … Pi…4. 分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足:1)(0≤≤A P ，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：⑴Pi ≥0，i ＝1， 2，…；⑵P1+P2+ (1)对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和即⋅⋅⋅+=+==≥+)()()(1k k k x P x P x P ξξξ5.二点分布：如果随机变量X 的分布列为：X 1 0P p q二、讲解新课：在产品质量的不放回抽检中，若N 件产品中有M 件次品，抽检n 件时所得次品数X=m则()m M m n N n M N C C P X m C --==.此时我们称随机变量X 服从超几何分布1）超几何分布的模型是不放回抽样2）超几何分布中的参数是M,N,n三、例子例1．在一个口袋中装有30个球，其中有10个红球，其余为白球，这些球除颜色外完全相同.游戏者一次从中摸出5个球.摸到4个红球就中一等奖，那么获一等奖的概率是多少？解：由题意可见此问题归结为超几何分布模型由上述公式得 411020530(4)0.029C C P X C ==≈例2.一批零件共100件，其中有5件次品.现在从中任取10件进行检查，求取道次品件数的分布列.课堂小节：本节课学习了超几何及其分布列。
1．在一块地里种下10棵树苗，成活的树苗棵数为X.问题1：X取什么数字？提示：X＝0，1，2， (10)2．掷一枚硬币，可能出现正面向上，反面向上两种结果．问题2：这种试验的结果能用数字表示吗？提示：可以，用数1和0分别表示正面向上和反面向上．3．一个袋中装有10个红球，5个白球，从中任取4个球．问题3：若用X表示所含红球个数，则X的取值是什么？提示：X＝0，1，2，3，4.1．随机变量的定义一般地，如果随机试验的结果，可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量．2．随机变量的表示方法(1)随机变量通常用大写拉丁字母X，Y，Z(或小写希腊字母ξ，η，ζ)等表示．(2)随机变量取的可能值常用小写拉丁字母x，y，z(加上适当下标)等表示.1．抛掷一颗骰子，用X表示骰子向上一面的点数．问题1：X的可能取值是什么？提示：X＝1，2，3，4，5，6.问题2：X取不同值时，其概率分别是多少？提示：都等于16.2．一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取3只，以X 表示取出的3 只球中的最大号码．问题3：随机变量的可能取值是什么？提示：X ＝3，4，5.问题4：试求X 取不同值的概率．提示：P (X ＝3)＝C 33C 35＝110；P (X ＝4)＝C 23C 35＝310；P (X ＝5)＝C 24C 35＝610＝35.问题5：试用表格表示X 和P 的对应关系． 提示：问题6提示：其和等于1.1．随机变量X 的分布列一般地，假定随机变量X 有n 个不同的取值，它们分别是x 1，x 2，…，x n ，且P (X ＝x i )＝p i ，i ＝1，2，3，…，n ，①则称①为随机变量X 的概率分布列，简称为X 的分布列，也可以用下表表示：X 的概率分布．显然，这里的p i (i ＝1，2，…，n )满足条件p i ≥0，p 1＋p 2＋…＋p n ＝1．2．0－1分布(或两点分布)随机变量X 只取两个可能值0和1，这一类概率分布称为0－1分布或两点分布，并记为X ～0－1分布或X ～两点分布，此处“～”表示“服从”．1．随机变量是将随机试验的结果数量化；2．随机变量是随机试验结果和实数之间的一个对应关系，这种对应是人为的，但又是客观存在的；3．随机变量的分布列不仅能清楚地反映随机变量的所有可能取值，而且能清楚地看到取每一个值的概率的大小，从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布情况；4．由于随机变量的各个可能取值之间彼此互斥，因此，随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．。
一、 学法指导1、仔细阅读课本内容，思考一下问题：（1）超几何分布可以解决什么样的问题？（2）如何用超几何分布求概率？2、结合课本的基础知识和例题，完成预习自测题。
二、预习自测1、从装有3个红球，2个白球的袋中随机抽取2个球，则其中有一个红球的概率是A 0.1B 0.3C 0.6D 0.22、一批产品共50件，次品率为4%，从中任取10件，则抽的1件次品的概率是A 0.078B 0.78C 0.0078D 0.0783、盒中有4个白球，5个红球，从中任取3个球，则抽出1个白球和2个红球的概率是A 4237B 4217C 2110D 2117 4、一个小组有6人，任选2名代表，求其中某甲当选的概率是 A21 B 31 C 41 D 515、设袋中有N 个球，其中有M 个红球，N-M 个黑球，从中任取n 个球，问恰有k 个红球的概率是多少？【我的收获】【我的疑惑】探究案探究 超几何分布一般地，设有总数为N 件的两类物品，其中一件为M 件，从所有物品中任取n 件（n ≤N ），这n 件中所含这类物品X 是一个离散型随机变量，它取值为m 时的概率为n Nm n M N m M C C C m X P --==）（(0≤m ≤l,l 为n 和M 中较小的一个) 我们称离散型随机变量X 的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X 服从参数为N,M,n 的超几何分布。
注：超几何分布的特点：1）超几何分布的模型是不放回抽样；2）超几何分布中的参数是M,N,n ，其意义分别是总体中的个体总数、N 中一类的总数、样本容量随机变量为抽到的某类个体的个数。
数学应用例1．某年级联欢会上设计了一项游戏：在一个口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同．现一次从中摸出5个球，（1）若摸到4个红球1个白球的就中一等奖，求中一等奖的概率．（2）若至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率．变式训练：交5元钱，可以参加一次摸奖，一袋中有同样大小的球10个，其中8个标有1元钱，2个标有5元钱，摸奖者只能从中任取2个球，他所得奖励是所抽2球的钱数之和，求抽奖人所得钱数的分布列.例2．生产方提供50箱的一批产品，其中有2箱不合格产品．采购方接收该批产品的准则是：从该批产品中任取5箱产品进行检测，若至多有1箱不合格产品，便接收该批产品．问：该批产品被接收的概率是多少？说明：（1）在超几何分布中，只要知道N 、M 和n ，就可以根据公式，求出X 取不同m 值时的概率()P X m ，从而列出X 的分布列．（2）一旦掌握了X的分布列，就可以算出相应试验的很多事件的概率，从而就完全掌握了该试验．思考：该批产品中出现不合格产品的概率是多少？例3．50张彩票中只有2张中奖票，今从中任取n张，为了使这n张彩票里至少有一张中奖的概率大于0.5，n至少为多少？【规律总结】当堂检测：1、从分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，9的9张卡片中任取2张，则两数之和是奇数的概率是________________.2、从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有ξ个红球，则ξ得分布列是___________________________________.3、甲有一个箱子，里面放有x个红球，y个白球（x，y≥0，且x+y=4）；乙有一个箱子，里面放有2个红球，1个白球，1个黄球．现在甲从箱子任取2个球，乙从箱子里在取1个球，若取出的3个球颜色全不相同，则甲获胜．（1）试问甲如何安排箱子里两种颜色的个数，才能使自己获胜的概率最大？（2）在（1）的条件下，求取出的3个球中红球个数的分布列．4、一批产品共100件，其中有10件次品，为了检验其质量，从中随机抽取5件，求在抽取的这5件产品中次品数的分布列，并说明5件产品中有3件以上为次品的概率.(精确到0.001)课堂小结：本节课你学到了哪些知识？请您总结一下，其他同学可进行补充。
2.2 超几何分布学习目标: 1．通过实例，理解超几何分布及其特点；2．通过对实例的分析，掌握超几何分布列及其导出过程，并能简单的应用．学习重点，难点:理解超几何分布的概念，超几何分布列的应用．学习过程一．问题情境1．情境：假定一批产品共100件，其中有5件不合格品，随机取出的10件产品中，不合格品数X 的概率分布如何？并将所得到的结果推广到一般的情况，能得到什么结果。
2．在产品质量管理中，常常通过抽样来分析合格品和不合格品的分布，进而分析产品 质量．假定一批产品共N 件，其中有M 件不合格品，随机取出的n 件产品中，不合格品数X 的概率分布如何？3．问题：用怎样的数学模型刻画上述问题？二．建构数学对一般情形，一批产品共N 件，其中有M 件不合格品，随机取出的n 件产品中，不合格品数X 的分布如下表所示：其中min(,)l n M =．一般地，若一个随机变量X 的分布列为()r n r M N M n NC C P X r C --==， 其中0r =，1，2，3，…，l ，min(,)l n M =，则称X 服从超几何分布，记为(,,)XH n M N ，并将()r n r M N M n N C C P X r C --==记为(;,,)H r n M N ． 说明：（1）超几何分布的模型是不放回抽样； （2）超几何分布中的参数是M ，N ，n ．三．数学运用（一）．例题及其变式：例1．高三（1）班的联欢会上设计了一项游戏：在一个口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同．现一次从中摸出5个球，（1）若摸到4个红球1个白球的就中一等奖，求中一等奖的概率．（2）若至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率．例2．生产方提供50箱的一批产品，其中有2箱不合格产品．采购方接收该批产品的准则是：从该批产品中任取5箱产品进行检测，若至多有1箱不合格产品，便接收该批产品．问：该批产品被接收的概率是多少？变式：该批产品中出现不合格产品的概率是多少？例3．50张彩票中只有2张中奖票，今从中任取n张，为了使这n张彩票里至少有一张中奖的概率大于0.5，n至少为多少？（二）课堂检测：1.袋中有4个白球和5个黑球，现从中任取两个，至少有一个是黑球的概率是.2.一个口袋内装有10张大小相同的票，其号数分别为0、1、2……9，从中任取2张，其号数至少有一张为偶数的概率是多少？3．一个班级有30名学生，其中有10名女生，现从中任选3名学生当班委，令随机变量X表示3名班委中女生的人数，随机变量Y表示3名班委中男生的人数，试求X与Y的概率分布.4．设50件商品中有15件一等品，其余为二等品，现从中随机选购2件，用X表示所购2件商品中一等品的件数，写出X的概率分布.四．回顾小结：2.2 超几何分布班级姓名学号1、100张奖券中，有4张中奖，从中任取2张，则2张都中奖的概率为。
超几何分布
教学目标 知识与技能：通过实例，理解超几何分布及其特点。
过程与方法：掌握超几何分布列及其导出过程。
情感、态度与价值观：通过对实例的分析，会进行简单的应用。
教学重难点 超几何分布的理解，分布列的推导。
教具准备：与教材内容相关的资料。
教学设想：引导学生形成 “自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式。
教学过程：
学生探究过程：
问题情境
假定一批产品共100件，其中有5件不合格品，随机取出的10件产品中，不合格品数X 的概率分布如何？并将所得到的结果推广到一般的情况，能得到什么结果。
构建数学 一般地，若一个随机变量X 的分布列为 ,n
N
C r
n M N C r M C r)P(X --==① 其中r=0，1，2，…，l,l=min(n,M ), 则称X 服从超几何分布，记为X ～Ｈ（n,M,N ）,并将①记为Ｈ（r;n,M,N ）.
数学应用
例1、高三（1）班联欢会上设计了一项游戏：在一个口袋中装有10个红球，20个白球，这些
球除颜色外完全相同，一次从中摸出5个球，摸到4个红球1个白球的就中一等奖。
求中一等奖的概率。
例2、生产方提供50箱的一批产品，其中有2箱不合格产品。
采购方接收该批产品的准则是：从该批产品中任取5箱产品进行检测，若至多有1箱不合格品，便接收该批产品。
问：该批产品被接受的概率是多少？
教学反思：
1. 通过实例，理解超几何分布及其特点。
2. 掌握超几何分布列及其导出过程。
3. 通过对实例的分析，会进行简单的应用。
2.2 超几何分布1．在一块地里种下10棵树苗，成活的树苗棵数为X. 问题1：X 取什么数字？ 提示：X ＝0，1，2， (10)2．掷一枚硬币，可能出现正面向上，反面向上两种结果． 问题2：这种试验的结果能用数字表示吗？提示：可以，用数1和0分别表示正面向上和反面向上． 3．一个袋中装有10个红球，5个白球，从中任取4个球． 问题3：若用X 表示所含红球个数，则X 的取值是什么？ 提示：X ＝0，1，2，3，4.1．随机变量的定义一般地，如果随机试验的结果，可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量． 2．随机变量的表示方法(1)随机变量通常用大写拉丁字母X ，Y ，Z (或小写希腊字母ξ，η，ζ)等表示． (2)随机变量取的可能值常用小写拉丁字母x ，y ，z (加上适当下标)等表示.1．抛掷一颗骰子，用X 表示骰子向上一面的点数． 问题1：X 的可能取值是什么？ 提示：X ＝1，2，3，4，5，6.问题2：X 取不同值时，其概率分别是多少？ 提示：都等于16.2．一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取3只，以X 表示取出的3 只球中的最大号码． 问题3：随机变量的可能取值是什么？ 提示：X ＝3，4，5.问题4：试求X 取不同值的概率．提示：P (X ＝3)＝C 33C 35＝110；P (X ＝4)＝C 23C 35＝310；P (X ＝5)＝C 24C 35＝610＝35.问题5：试用表格表示X 和P 的对应关系．提示：问题6：试求概率和．提示：其和等于1.1．随机变量X的分布列一般地，假定随机变量X有n个不同的取值，它们分别是x1，x2，…，x n，且P(X＝x i)＝p i，i＝1，2，3，…，n，①则称①为随机变量X的概率分布列，简称为的分布列，也可以用下表表示：通常将上表称为随机变量X的概率分布表，它和①都叫做随机变量X的概率分布．显然，这里的p i(i＝1，2，…，n)满足条件p i≥0，p1＋p2＋…＋p n＝1．2．0－1分布(或两点分布)随机变量X只取两个可能值0和1，这一类概率分布称为0－1分布或两点分布，并记为X～0－1分布或X～两点分布，此处“～”表示“服从”．1．随机变量是将随机试验的结果数量化；2．随机变量是随机试验结果和实数之间的一个对应关系，这种对应是人为的，但又是客观存在的；3．随机变量的分布列不仅能清楚地反映随机变量的所有可能取值，而且能清楚地看到取每一个值的概率的大小，从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布情况；4．由于随机变量的各个可能取值之间彼此互斥，因此，随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．[例1] 判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．(1)某天山东天成书业信息台接到咨询电话的个数；(2)新赛季，某运动员在某场比赛中(48分钟)，上场比赛的时间；(3)在一次绘画作品评比中，设一、二、三等奖，你的一件作品获得的奖次；(4)体积为64 cm3的正方体的棱长．[思路点拨] 要根据随机变量的定义考虑所有情况．[精解详析] (1)接到咨询电话的个数可能是0，1，2…出现哪一个结果都是随机的，因此是随机变量．(2)该运动员在某场比赛的上场时间在[0，48]内，是随机的，故是随机变量．(3)获得的奖次可能是1，2，3，出现哪一个结果都是随机的，因此是随机变量．(4)体积为64 cm3的正方体棱长为4 cm为定值，不是随机变量．[一点通](1)判断一个变量是否为随机变量，关键看其试验结果是否可变，是否能用一个变量来表示．(2)随机变量从本质上讲就是以随机试验的每一个可能结果为自变量的一个函数，即随机变量的取值实质上是试验结果对应的数，但这些数是预先知道所有可能的值，而不知道究竟是哪一个值．1．判断下列变量中是否是随机变量．(1)一只小猫从出生(400 g)到长大(2 000 g)中间某个时刻的体重；(2)解答高考数学Ⅰ卷所用的时间；(3)某手机一天内收到短信的次数；(4)1 000 mL水的质量．解：(1)体重在[400，2 000]范围内，出现哪一个结果都是随机的，是随机变量．(2)做Ⅰ卷的时间在(0，120)的范围之内，是随机变量．(3)短信的次数可能是0，1，2，…，出现哪一个结果都是随机的，是随机变量．(4)此时水的质量为定值，不是随机变量．2．指出下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．(1)某人射击一次命中的环数；(2)投一颗质地均匀的骰子两次出现的点数(最上面的数字)中的最小值；(3)某个人的属相．解：(1)某人射击一次，可能命中的环数是0环、1环、…、10环结果中的一个而且出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．(2)一颗骰子投掷两次，所得点数的最小值可以是1，2，3，4，5，6，因此是随机变量．(3)属相是人出生时便确定的，不是随机变量.\[例2] 写出下列各随机变量的可能取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．(1)抛掷甲、乙两枚骰子，所得点数之和Y.(2)设一汽车在开往目的地的道路上需经过5盏信号灯，Y表示汽车首次停下时已通过的信号灯的盏数，写出Y 所有可能取值并说明这些值所表示的试验结果．[思路点拨]分析随机变量的实际背景―→写出随机变量的可能取值→得出具体随机试验的结果[精解详析] (1)Y的可能取值为2，3，4，…，12.若以(i，j)表示抛掷甲、乙两枚骰子后，骰子甲得i点且骰子乙得j点，则{Y＝2}表示(1，1)；{Y＝3}表示(1，2)，(2，1)；{Y＝4}表示(1，3)，(2，2)，(3，1)；…；{Y ＝12}表示(6，6)．(2)Y的可能取值为0，1，2，3，4，5.{Y＝0}表示在遇到第1盏信号灯时首次停下．{Y＝1}表示在遇到第2盏信号灯时首次停下．{Y＝2}表示在遇到第3盏信号灯时首次停下．{Y＝3}表示在遇到第4盏信号灯时首次停下．{Y＝4}表示在遇到第5盏信号灯时首次停下．{Y＝5}表示在途中没有停下，直达目的地．[一点通] 此类问题的解决关键在于明确随机变量的所有可能的取值，以及其取每一个值时对应的意义，即一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果，解答过程中不要漏掉某些试验结果．3．在8件产品中，有3 件次品，5 件正品，从中任取一件，取到次品就停止，抽取次数为X ，则“X ＝3”表示的试验结果是__________________________．解析：X ＝3表示前2次均是正品，第3次是次品． 答案：共抽取3次，前2次均是正品，第3次是次品4．写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果． (1)盒中装有6支白粉笔和8支红粉笔，从中任意取出3支，其中所含白粉笔的支数为X ； (2)从4张已编号(1－4号)的卡片中任意取出2张，被取出的卡片号数之和为X . 解：(1)X 的所有可能的取值为0，1，2，其中，X ＝0表示取出的3支粉笔中有0支白粉笔，3支红粉笔； X ＝1表示取出的3支粉笔中有1支白粉笔，2支红粉笔； X ＝2表示取出的3支粉笔中有2支白粉笔，1支红粉笔； X ＝3表示取出的3支粉笔中有3支白粉笔，0支红粉笔； (2)X 可取3，4，5，6，7.其中，X ＝3表示取出分别标有1，2的两张卡片； X ＝4表示取出分别标有1，3的两张卡片；X ＝5表示取出分别标有1，4或2，3的两张卡片； X ＝6表示取出分别标有2，4的两张卡片； X ＝7表示取出分别标有3，4的两张卡片.[例3] 袋中有相同的5个球，其中3个红球，2个黄球，现从中随机且不放回地摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量X 为此时已摸球的次数，求随机变量X 的概率分布列．[思路点拨] 解答本题先确定X 的所有可能的取值，然后分别求概率，最后列表即可． [精解详析] 随机变量X 可取的值为2，3，4，P (X ＝2)＝C 12C 13C 12C 15C 14＝35；P (X ＝3)＝A 22C 13＋A 23C 12C 15C 14C 13＝310；P (X ＝4)＝A 33C 12C 15C 14C 13C 12 ＝110；所以随机变量X 的概率分布列为：[一点通] 随机变量的分布列的作用对于随机变量X 的研究，需要了解随机变量将取哪些值以及取这些值时的概率，它的分布列正是指出了随机变量X 的取值范围以及取这些值的概率．5．已知随机变量X则的值为________．解析：由k n ＋k n ＋…＋k n n 个k n＝1，得k ＝1. 答案：16．设随机变量X 概率分布P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝k 5＝ak (k ＝1，2，3，4，5)．(1)求常数a 的值；(2)求P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ≥35； (3)求P ⎝ ⎛⎭⎪⎫110＜X ＜710.解：由题意知随机变量X(1)由a ＋2a ＋3a ＋4a ＋5a ＝1，得a ＝115.(2)P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ≥35＝P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝35＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝45＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝55 ＝315＋415＋515＝45， 或P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ≥35＝1－P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ≤25＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫115＋215＝45.(3)因为110＜X ＜710，所以X ＝15，25，35.故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫110＜X ＜710＝P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝15＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝25＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝35＝115＋215＋315＝25.7．一个盒子中装有5个白色玻璃球和6个红色玻璃球，从中摸出两球，记X ＝⎩⎪⎨⎪⎧0（两球全红），1（两球非全红）.求X 的概率分布．解：因为X 服从两点分布，P (X ＝0)＝C 26C 211＝311，P (X ＝1)＝1－311＝811.所以X 的概率分布为8. 如图所示，A ，B 两点5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2，3，4，3，2.现记从中任取三条线且在单位时间内通过的最大信息总量为X ，求X 的概率分布．解：由已知X 的取值为7，8，9，10，∵P (X ＝7)＝C 22C 12C 35＝15，P (X ＝8)＝C 22C 11＋C 22C 12C 35＝310， P (X ＝9)＝C 12C 12C 11C 35＝25，P (X ＝10)＝C 22C 11C 35＝110，∴X 的概率分布为1．随机变量的三个特征 (1)可用数来表示；(2)试验之前可以判断其可能出现的所有值； (3)在试验之前不能确定取值．2．求随机变量的分布列应注意的几个问题．(1)随机变量X 的分布列实质上就是随机变量X 与这一变量所对应的概率P 的分布表，它从整体上反映了随机变量取各个值的可能性的大小，反映了随机变量取值的规律．(2)在处理随机变量的分布列时，先根据随机变量的实际意义，利用试验结果找出随机变量的取值，再求相应的概率是常用的方法．(3)求出分布列后注意运用分布列的两条性质检验所求的分布列是否正确．课下能力提升(十)一、填空题1．给出下列四个命题：①15秒内，通过某十字路口的汽车的数量是随机变量； ②在一段时间内，某候车室内候车的旅客人数是随机变量； ③一条河流每年的最大流量是随机变量；④一个剧场有三个出口，散场后某一出口退场的人数是随机变量． 其中是真命题的有________．(填写序号)解析：根据随机变量的概念可知，①②③④都正确． 答案：①②③④2．抛掷两颗骰子，所得点数之和记为X ，那么X ＝5表示的随机试验结果是________． 解析：点数之和为5，一颗3点，一颗2点，或一颗1点，一颗4点． 答案：一颗3点，一颗2点或一颗1点，一颗4点 3．设离散型随机变量X 的概率分布如下：则p 的值为________．解析：∵12p ＋13＋16＋p ＝1，∴p ＝13.答案：134．设随机变量X 等可能取值1，2，3，…，n ，如果P (X <4)＝0.3，那么n ＝________． 解析：∵随机变量X 等可能取1，2，3，…，n ，∴取到每个数的概率均为1n.∴P (X <4)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝3n＝0.3，∴n ＝10.答案：105．随机变量X 的概率分布规律P (X ＝k )＝c k （k ＋1）(k ＝1，2，3，4，其中c 是常数)，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜X ＜52的值为______．解析：由P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝1，得c 1×2＋c 2×3＋c 3×4＋c4×5＝1. ∴c ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋13－14＋14－15＝1， ∴c ＝54.P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜X ＜52＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝541×2＋542×3＝58＋524＝2024＝56. 答案：56二、解答题6．一个袋中有形状、大小完全相同的3个白球和4个红球．(1)从中任意摸出一球，用0表示摸出白球，用1表示摸出红球，即X ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，摸出白球，1，摸出红球，求X 的概率分布；(2)从中任意摸出两个球，用“X ＝0”表示两个球全是白球，用“X ＝1”表示两个球不全是白球，求X 的概率分布．解：(1)由题意知P (X ＝0)＝34＋3＝37，P (X ＝1)＝44＋3＝47， 故X 的概率分布如下表：(2)由题意知P (X ＝0)＝C 23C 27＝17，P (X ＝1)＝1－P (X ＝0)＝67，故X 的概率分布如下表：7.一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的2倍，三级品是二级品的12，从这批产品中随机抽取一个检验质量，其级别为随机变量X ，求X 的概率分布及P (X >1)的值．解：依题意得P (X ＝1)＝2P (X ＝2)，P (X ＝3)＝12P (X ＝2)．由于概率分布的总和等于1，故P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝72P (X ＝2)＝1.所以P (X ＝2)＝27.随机变量X 的概率分布如下：所以P (X >1)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝37.8．袋中有3个白球，3个红球和5个黑球．从中抽取3个球，若取得1个白球得1分，取得1个红球扣1分，取得1个黑球得0分．求所得分数X 的概率分布列．解：得分X 的取值为－3，－2，－1，0，1，2，3. X ＝－3时表示取得3个球均为红球，∴P (X ＝－3)＝C 33C 311＝1165；X ＝－2时表示取得2个红球和1个黑球，∴P (X ＝－2)＝C 23C 15C 311＝111；X ＝－1时表示取得2个红球和1个白球或1个红球和2个黑球，∴P (X ＝－1)＝C 23C 13＋C 13C 25C 311＝1355； X ＝0时表示取得3个黑球或1红、1黑、1白，∴P (X ＝0)＝C 35＋C 13C 13C 15C 311＝13； X ＝1时表示取得1个白球和2个黑球或2个白球和1个红球，∴P (X ＝1)＝C 13C 25＋C 23C 13C 311＝1355； X ＝2时表示取得2个白球和1个黑球，∴P (X ＝2)＝C 23C 15C 311＝111；X ＝3时表示取得3个白球，∴P (X ＝3)＝C 33C 311＝1165；。
2.2 超几何分布学习目标 1.了解超几何分布的实际背景.2.理解超几何分布的特征.3.能用超几何分布这一概率模型解决相关问题．知识点 超几何分布思考 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X 表示所选3人中女生的人数．(1)X 的所有可能值是什么？ (2)X 的概率分布是什么？梳理 超几何分布(1)概念：一般地，若一个随机变量X 的分布列为P (X ＝r )＝C r M C n －rN －MC n N，其中r ＝0,1,2,3，…，l ，l ＝min(n ，M )，则称X 服从超几何分布．(2)记法：X 服从超几何分布，记为__________________，并将P (X ＝r )＝____________记为H (r ；n ，M ，N )．(3)含义：在H (r ；n ，M ，N )中，r ，n ，M ，N 的含义：特别提醒：(1)超几何分布的模型特点①超几何分布中的正品、次品也可以理解为黑、白，男、女等有明显差异的两部分． ②超几何分布中“X ＝k ”的含义是“取出的n 件产品中恰好有k 件次品”． (2)超几何分布的特征①超几何分布的抽取是不放回的．②超几何分布本质上还是这一事件在该随机试验中发生的次数与总次数的比．类型一 超几何分布求概率例1 从放有10个红球与15个白球的暗箱中，随意摸出5个球，规定取到一个白球得1分，一个红球得2分，求某人摸出5个球，恰好得7分的概率．反思与感悟解答此类问题的关键是先分析随机变量是否满足超几何分布．若满足，则直接利用公式解决；若不满足，则应借助相应概率公式求解．跟踪训练1 在元旦晚会上，数学老师设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同，从中任意摸出5个球，至少摸到3个红球中奖，求中奖的概率．(结果保留两位小数)类型二超几何分布求概率分布引申探究在本例条件下，若记取到白球的个数为随机变量η，求随机变量η的概率分布．例2 一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，其中红球有3个，编号为1,2,3；黑球有2个，编号为1,2；白球有1个，编号为1.现从袋中一次随机抽取3个球． (1)求取出的3个球的颜色都不相同的概率；(2)记取得1号球的个数为随机变量X ，求随机变量X 的概率分布．反思与感悟 超几何分布的求解步骤(1)辨模型：结合实际情景分析所求概率分布问题是否具有明显的两部分组成，如“男生、女生”，“正品、次品”“优劣”等，或可转化为明显的两部分．具有该特征的概率模型为超几何分布模型．(2)算概率：可以直接借助公式P (X ＝r )＝C r M C n －rN －MC n N 求解，也可以利用排列组合及概率的知识求解，需注意借助公式求解时应理解参数M ，N ，n ，r 的含义． (3)列分布表：把求得的概率值通过表格表示出来．跟踪训练2 从5名男生和3名女生中任选3人参加奥运会火炬接力活动．若随机变量X 表示所选3人中女生的人数，求X 的概率分布及P (X <2)．类型三超几何分布的综合应用例3 在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品．从这10件产品中任取3件．求：(1)取出的3件产品中一等品件数X的概率分布；(2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．反思与感悟识别超几何分布的三大标准(1)总数为N件的物品只分为两类：M(M≤N)件甲类(或次品)，N－M件乙类(或正品)．(2)从N件物品中行取n(n≤N)件物品必须采用不放回抽样．(3)随机变量X表示从N件物品中任取n(n≤N)件物品，其中所含甲类物品(或次品)的件数．跟踪训练3 袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性相等，用X表示取出的3个小球上的最大数字，求：(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率；(2)随机变量X的概率分布；(3)计算介于20分到40分之间的概率．1．盒中有4个白球，5个红球，从中任取3个球，则取出1个白球和2个红球的概率是________．2．有10位同学，其中男生6位，女生4位，从中任选3人参加数学竞赛．用X表示女生人数，则概率P(X≤2)＝________.3．从4名男生和2名女生中任选3人参加数学竞赛，则所选3人中，女生的人数不超过1人的概率为________．4．从1,2,3,4,5中任取3个数，记最大的数为ξ，则P(ξ＝4)＝________.5．一个盒子里装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数字2,3,4,5；另一个盒子里也装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数字3,4,5,6.现从一个盒子里任取一张卡片，其上面的数记为x，再从另一个盒子里任取一张卡片，其上面的数记为y，记随机变量η＝x ＋y，求η的概率分布．1．超几何分布的判断判断随机变量是否服从超几何分布，可以从以下两个方面判断：一是超几何分布描述的是不放回抽样问题；二是随机变量为抽到的某类个体的个数．2．超几何分布的分布列的求法(1)在超几何分布中，只要知道N，M和n，就可以根据公式，求出X取不同r值时的概率P(X ＝r)，从而列出X的概率分布．(2)一旦掌握了X的概率分布，就可以算出相应试验的很多事件的概率，从而就完全掌握了该试验．答案精析问题导学 知识点思考 (1)0,1,2. (2)P (X ＝0)＝C 34C 36＝420＝15，P (X ＝1)＝C 12C 24C 36＝1220＝35，P (X ＝2)＝C 22C 14C 36＝420＝15，∴X 的概率分布如下表：梳理 (2)X ～H (n ，M ，N ) C r M C n －rN －MC n N题型探究例1 解 设摸出的红球个数为X ，则X 服从超几何分布，其中N ＝25，M ＝10，n ＝5.由于摸出5个球，得7分，仅有两个红球的可能，那么恰好得7分的概率为 P (X ＝2)＝C 210C 315C 525≈0.385，即恰好得7分的概率约为0.385.跟踪训练1 解 设摸出红球的个数为X ，则X 服从超几何分布，其中N ＝30，M ＝10，n ＝5.于是中奖的概率为P (X ≥3)＝P (X ＝3)＋P (X ＝4)＋P (X ＝5)＝C 310C 5－330－10C 530＋C 410C 5－430－10C 530＋C 510C 5－530－10C 530 ＝120×190＋210×20＋252C 530 ＝27 252142 506≈0.19.例2 解 (1)从袋中一次随机抽取3个球，基本事件总数n ＝C 36＝20，取出的3个球的颜色都不相同包含的基本事件的个数为C 13C 12C 11＝6，所以取出的3个球的颜色都不相同的概率为P ＝620＝310. (2)由题意知，X ＝0,1,2,3. P (X ＝0)＝C 33C 36＝120，P (X ＝1)＝C 13C 23C 36＝920， P (X ＝2)＝C 23C 13C 36＝920，P (X ＝3)＝C 33C 36＝120. 所以X 的概率分布为引申探究解 由题意可知η＝0,1，服从两点分布． 又P (η＝1)＝C 25C 36＝12，所以η的概率分布如下表：跟踪训练2 解 N ＝8，M ＝3，n ＝3. 所以P (X ＝0)＝C 35C 03C 38＝528，P (X ＝1)＝C 25C 13C 38＝1528，P (X ＝2)＝C 15C 23C 38＝1556，P (X ＝3)＝C 05C 33C 38＝156.故随机变量X 的概率分布如下表：所以P (X <2)＝P (X ＝0)＋P (＝528＋1528＝57. 例3 解 (1)由于从10件产品中任取3件的基本事件总数为C 310，从10件产品中任取3件，其中恰有m (0≤m ≤3且m ∈N )件一等品的基本事件个数为C m 3C 3－m7，那么从10件产品中任取3件，其中恰有m 件一等品的概率为P (X ＝m )＝C m 3C 3－m7C 310，m ＝0,1,2,3.所以随机变量X 的概率分布如下表：(2)设“取出的31件一等品和2件三等品”为事件A 1，“恰好取出2件一等品”为事件A 2，“恰好取出3件一等品”为事件A 3.由于事件A 1，A 2，A 3彼此互斥，且A ＝A 1＋A 2＋A 3， 又因为P (A 1)＝C 13C 23C 310＝340，P (A 2)＝P (X ＝2)＝740， P (A 3)＝P (X ＝3)＝1120， 所以P (A )＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3) ＝340＋740＋1120＝31120. 即取出的3件产品中一等品的件数多于二等品的件数的概率为31120.跟踪训练3 解 (1)“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A ，则P (A )＝C 35C 12C 12C 12C 310＝23. (2)由题意知，X 所有可能的取值为2,3,4,5. P (X ＝2)＝C 22C 12＋C 12C 22C 310＝130， P (X ＝3)＝C 24C 12＋C 14C 22C 310＝215， P (X ＝4)＝C 26C 12＋C 16C 22C 310＝310， P (X ＝5)＝C 28C 12＋C 18C 22C 310＝815， 所以随机变量X 的概率分布如下表：(3)“一次取球得分介于20分到40分之间”记为事件C ，则P (C )＝P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝215＋310＝1330. 当堂训练1.10212.29303.454.3105．解 依题意，η的可能取值是5,6,7,8,9,10,11. 则有P (η＝5)＝14×4＝116，P (η＝6)＝216＝18，P (η＝7)＝316， P (η＝8)＝416＝14，P (η＝9)＝316， P (η＝10)＝216＝18，P (η＝11)＝116.所以η的概率分布为。
2.2 超几何分布学案（苏教版高中数学选修2-3）2.2超几何分布超几何分布学习目标1.了解超几何分布的实际背景.2.理解超几何分布的特征.3.能用超几何分布这一概率模型解决相关问题知识点超几何分布思考从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X 表示所选3人中女生的人数1X的所有可能值是什么2X的概率分布是什么答案10,1,2.2PX0C34C3642021，PX1C12C24C36122035，PX2C22C14C3642021，X的概率分布如下表X012P153515梳理超几何分布1概念一般地，若一个随机变量X的分布列为PXrCrMCnrNMCnN，其中r0,1,2,3，，l，lminn，M，则称X服从超几何分布2记法X服从超几何分布，记为XHn，M，N，并将PXrCrMCnrNMCnN记为Hr；n，M，N3含义在Hr；n，M，N中，r，n，M，N的含义特别提醒1超几何分布的模型特点超几何分布中的正品.次品也可以理解为黑.白，男.女等有明显差异的两部分超几何分布中“Xk”的含义是“取出的n件产品中恰好有k件次品”2超几何分布的特征超几何分布的抽取是不放回的超几何分布本质上还是这一事件在该随机试验中发生的次数与总次数的比1超几何分布就是一种概率分布模型2一个袋子里装有4个白球，5个黑球和6个黄球，从中任取4个球，则所拿黑球个数X就服从超几何分布3超几何分布中，只要知道M，N，n，就可以利用公式求出X取不同k的概率PXk，从而求出X的分布列类型一超几何分布求概率例1从放有10个红球与15个白球的暗箱中，随意摸出5个球，规定取到一个白球得1分，一个红球得2分，求某人摸出5个球，恰好得7分的概率考点题点解设摸出的红球个数为X，则X 服从超几何分布，其中N25，M10，n5.由于摸出5个球，得7分，仅有两个红球的可能，那么恰好得7分的概率为PX2C210C315C5250.385，即恰好得7分的概率约为0.385.反思与感悟解答此类问题的关键是先分析随机变量是否满足超几何分布若满足，则直接利用公式解决；若不满足，则应借助相应概率公式求解跟踪训练1在元旦晚会上，数学老师设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同，从中任意摸出5个球，至少摸到3个红球中奖，求中奖的概率结果保留两位小数考点题点解设摸出红球的个数为X，则X服从超几何分布，其中N30，M10，n5.于是中奖的概率为PX3PX3PX4PX5C310C533010C530C410C543010C530C510C553010C530 1xx021020252C530272521425060.19.类型二超几何分布求概率分布例2一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，其中红球有3个，编号_________为1,2,3；黑球有2个，编号_________为1,2；白球有1个，编号_________为1.现从袋中一次随机抽取3个球1求取出的3个球的颜色都不相同的概率；2记取得1号球的个数为随机变量X，求随机变量X的概率分布考点超几何分布题点求超几何分布的概率分布解1从袋中一次随机抽取3个球，基本事件总数nC3620，取出的3个球的颜色都不相同包含的基本事件的个数为C13C12C116，所以取出的3个球的颜色都不相同的概率为P620310.2由题意知，X0,1,2,3.PX0C33C36120，PX1C13C23C36920，PX2C23C13C36920，PX3C33C36120.所以X的概率分布为X0123P120920920120引申探究在本例条件下，若记取到白球的个数为随机变量，求随机变量的概率分布解由题意可知0,1，服从两点分布又P1C25C3612，所以的概率分布如下表01P1212反思与感悟超几何分布的求解步骤1辨模型结合实际情景分析所求概率分布问题是否具有明显的两部分组成，如“男生.女生”，“正品.次品”“优劣”等，或可转化为明显的两部分具有该特征的概率模型为超几何分布模型2算概率可以直接借助公式PXrCrMCnrNMCnN求解，也可以利用排列组合及概率的知识求解，需注意借助公式求解时应理解参数M，N，n，r 的含义3列分布表把求得的概率值通过表格表示出来跟踪训练2从5名男生和3名女生中任选3人参加奥运会火炬接力活动若随机变量X表示所选3人中女生的人数，求X的概率分布及PX2考点超几何分布题点求超几何分布的概率分布解由题意分析可知，随机变量X服从超几何分布，其中N8，M3，n3.所以PX0C35C03C38528，PX1C25C13C381528，PX2C15C23C381556，PX3C05C33C38156.故随机变量X的概率分布如下表X0123P52815281556156所以PX2PX0PX1528152857.类型三超几何分布的综合应用例3在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品从这10件产品中任取3件求1取出的3件产品中一等品件数X的概率分布；2取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率考点超几何分布题点求超几何分布的概率分布解1由于从10件产品中任取3件的基本事件总数为C310，从10件产品中任取3件，其中恰有m0m3且mN件一等品的基本事件个数为Cm3C3m7，那么从10件产品中任取3件，其中恰有m件一等品的概率为PXmCm3C3m7C310，m0,1,2,3.所以随机变量X的概率分布如下表X0123P724214074011202设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A1，“恰好取出2件一等品”为事件A2，“恰好取出3件一等品”为事件A3.由于事件A1，A2，A3两两互斥，且AA1A2A3，又因为PA1C13C23C310340，PA2PX2740，PA3PX31120，所以PAPA1PA2PA3340740112031120.即取出的3件产品中一等品的件数多于二等品的件数的概率为31120.反思与感悟识别超几何分布的三大标准1总数为N件的物品只分为两类MMN件甲类或次品，NM件乙类或正品2从N件物品中行取nnN件物品必须采用不放回抽样3随机变量X表示从N件物品中任取nnN件物品，其中所含甲类物品或次品的件数跟踪训练3袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性相等，用X表示取出的3个小球上的最大数字，求1取出的3个小球上的数字互不相同的概率；2随机变量X的概率分布；3计算介于20分到40分之间的概率考点题点解1“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，则PAC35C12C12C12C31023.2由题意知，X所有可能的取值为2,3,4,5.PX2C22C12C12C22C310130，PX3C24C12C14C22C310215，PX4C26C12C16C22C310310，PX5C28C12C18C22C310815，所以随机变量X的概率分布如下表X2345P1302153108153“一次取球得分介于20分到40分之间”记为事件C，则PCPX3PX42153101330.1盒中有4个白球，5个红球，从中任取3个球，则取出1个白球和2个红球的概率是________考点题点答案1021解析设随机变量X为抽到白球的个数，X服从超几何分布，由公式，得PX1C14C25C39410841021.2由12名志愿者组成的医疗队中，有5名共产党员，现从中任选6人参加抗洪抢险，用随机变量X表示这6人中共产党员的人数，则PX3________.答案2566解析由题意知，XH6,5,12，PX3C35C37C6122566.3有10位同学，其中男生6位，女生4位，从中任选3人参加数学竞赛用X表示女生人数，则概率PX2________.考点题点答案2930解析PX2PX1PX2PX0C14C26C310C24C16C310C36C3102930.4从4名男生和2名女生中任选3人参加数学竞赛，则所选3人中，女生的人数不超过1人的概率为________考点超几何分布题点利用超几何分布求概率答案45解析设所选女生数为随机变量X，则X服从超几何分布，所以PX1PX0PX1C02C34C36C12C24C3645.5从1,2,3,4,5中任取3个数，记最大的数为，则P4________.考点题点答案310解析P4C11C23C35310.1超几何分布的判断判断随机变量是否服从超几何分布，可以从以下两个方面判断一是超几何分布描述的是不放回抽样问题；二是随机变量为抽到的某类个体的个数2超几何分布的分布列的求法1在超几何分布中，只要知道N，M和n，就可以根据公式，求出X取不同r值时的概率PXr，从而列出X的概率分布2一旦掌握了X的概率分布，就可以算出相应试验的很多事件的概率，从而就完全掌握了该试验。
2.2超几何分布[对应学生用书P28]从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X 表示所选3人中女生的人数．问题1：X 的取值有哪些？ 提示：X ＝0,1,2问题2：X 的概率分布是什么？提示：P (X ＝0)＝C 02C 34C 36＝15，P (X ＝1)＝C 12C 24C 36＝35，P (X ＝2)＝C 22C 14C 36＝15.∴X 的概率分布为X 0 1 2 P153515问题3：“所选3人中，女生人数X ≤1”的概率是多少？ 提示：P (X ≤1)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝451．超几何分布的概念一般地，若一个随机变量X 的分布列为P (X ＝r )＝C r M C n －r N －MC n N，其中r ＝0,1,2,3，…，l ，l ＝min(n ，M )，则称X 服从超几何分布，记为X ～H (n ，M ，N )，并将P (X ＝r )＝C r M C n －rN －MC n N记为H (r ；n ，M ，N )．2．H (r ；n ，M ，N )中，r ，n ，M ，N 的含义1．超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械的记忆．2．超几何分布中，只要知道M ，N ，n 就可以利用公式求出X 取不同r 的概率P (X ＝r )，从而求出r 的分布列．3．超几何分布中，求概率时需要求组合数，同学们要熟练掌握组合数的性质及计算方法，以便简化计算．[对应学生用书P28][例1] 得1分，一个红球得2分，求某人摸出5个球，恰好得7分的概率．[思路点拨] 摸出5个球得7分，即摸出2个红球，3个白球，然后利用超几何分布的概率公式求解即可．[精解详析] 设摸出的红球个数为X ，则X 服从超几何分布，其中N ＝25，M ＝10，n ＝5，由于摸出5个球，得7分，仅有两个红球的可能，那么恰好得7分的概率为P (X ＝2)＝C 210C 315C 525≈0.385，即恰好得7分的概率约为0.385.[一点通] 解答此类问题的关键是先分析随机变量是否满足超几何分布．若满足，则直接利用公式解决；若不满足，则应借助相应概率公式求解．1．从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回任取3件，求取得2件次品的概率．解：设随机变量X 表示取出次品的件数，则X 服从超几何分布，其中N ＝15，M ＝2，n ＝3.可能的取值为0,1,2，则P (X ＝3)＝C 22C 113C 315＝135.2．甲参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2题才算及格．求甲及格的概率．解：设X 为甲答对题的数量，则X ＝0,1,2,3.则甲及格的概率为P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝C 14C 26C 310＋C 04C 36C 310＝12＋16＝23.所选3人中女生的人数，求X 的概率分布及P (X <2)．[思路点拨] 可以将8人看作8件“产品”，3名女生看作3件“次品”，任选3人中女生的人数可看作是任取3件“产品”中所含的“次品”数．[精解详析] 由题意分析可知，随机变量X 服从超几何分布．其中N ＝8，M ＝3，n ＝3，所以P (X ＝0)＝C 35C 03C 38＝528，P (X ＝1)＝C 25C 13C 38＝1528，P (X ＝2)＝C 15C 23C 38＝1556，P (X ＝3)＝C 05C 33C 38＝156.从而随机变量X 的概率分布为X 0 1 2 3 P52815281556156所以P (X <2)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝528＋1528＝57.[一点通] 求超几何分布的概率分布，关键是明确随机变量确实服从超几何分布及随机变量的取值，分清M ，N ，n 的值，然后代入公式即可求出相应取值的概率，最后列表即可．3．2014年8月16日第二届青年奥林匹克运动会将在南京举行，当地某学校招募了8名男志愿者和12名女志愿者．将这20名志愿者的身高编成如下茎叶图(单位：cm)：若身高在180 cm 以上(包括180 cm)定义为“高个子”，身高在180 cm 以下(不包括180 cm)定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才能担任“礼仪小姐”．(1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？(2)若从所有“高个子”中选3名志愿者，用X 表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出X 的概率分布．解：(1)根据茎叶图，有“高个子”8人，“非高个子”12人， 用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是520＝14，所以选中的“高个子”有8×14＝2人，“非高个子”有12×14＝3人．用事件A 表示“至少有一名‘高个子’被选中”， 则它的对立事件A 表示“没有一名‘高个子’被选中”， 则P (A )＝1－C 23C 25＝1－310＝710.因此，至少有一人是“高个子”的概率是710.(2)依题意，所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数X 的取值分别为0,1,2,3.P (X ＝0)＝C 34C 38＝114，P (X ＝1)＝C 14C 24C 38＝37，P (X ＝2)＝C 24C 14C 38＝37，P (X ＝3)＝C 34C 38＝114.因此，X 的概率分布如下：X 0 1 2 3 P11437371144．某校高三年级某班的课外活动小组中有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛，用X 表示其中的男生人数，求X 的分布列．解：依题意随机变量X 服从超几何分布，所以P (X ＝r )＝C r 6C 4－r4C 410(r ＝0,1,2,3,4)．P (X ＝0)＝C 06C 44C 410＝1210，P (X ＝1)＝C 16C 34C 410＝435，P (X ＝2)＝C 26C 24C 410＝37，P (X ＝3)＝C 36C 14C 410＝821，P (X ＝4)＝C 46C 04C 410＝114.故X 的分布列为[例3] 3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X 表示取出的3个小球上的最大数字．求：(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率；(2)随机变量X 的概率分布；(3)计算介于20分到40分之间的概率． [思路点拨] (1)可利用古典概型公式求解；(2)先确定X 的取值，然后求对应的概率，最后列表即可；(3)由题意知介于20分到40分的概率等于X ＝3与X ＝4的概率之和．[精解详析] (1)法一：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A ，则P (A )＝C 35C 12C 12C 12C 310＝23.法二：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A ，“一次取出的3个小球上有两个数字相同”的事件记为B ，则事件A 和事件B 是对立事件．因为P (B )＝C 15C 22C 18C 310＝13，所以P (A )＝1－P (B )＝1－13＝23.(2)由题意，X 所有可能的取值为2,3,4,5.P (X ＝2)＝C 22C 12＋C 12C 22C 310＝130； P (X ＝3)＝C 24C 12＋C 14C 22C 310＝215； P (X ＝4)＝C 26C 12＋C 16C 22C 310＝310； P (X ＝5)＝C 28C 12＋C 18C 22C 310＝815. 所以随机变量X 的概率分布为X 2 3 4 5 P130215310815(3)“一次取球得分介于20分到40分之间”的事件记为C ，则P (C )＝P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝215＋310＝1330.[一点通] 本题将排列、组合、古典概型、分布列的知识融于一体，在知识上相互联系，解决此类问题的关键在于正确地处理好等可能事件的概率、对立事件的概率间的关系，并结合分布列的有关知识把相应的问题细化．5．老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出2篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，试求：(1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列；(2)他能及格的概率．解：(1)设随机抽取的3篇课文中该同学能背诵的篇数为X ，则X 服从超几何分布，它可能的取值为0,1,2,3.P (X ＝r )＝C r 6C 3－r 4C 310(r ＝0,1,2,3)．∴P (X ＝0)＝C 34C 310＝130，P (X ＝1)＝C 16C 24C 310＝310，P (X ＝2)＝C 26C 14C 310＝12，P (X ＝3)＝C 36C 310＝16，∴X 的分布表如下.(2)该同学能及格表示他能背出2篇或3篇课文，故他能及格的概率为 P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝12＋16＝23.6．某高二数学兴趣小组有7位同学，其中有4位同学参加过高一数学“南方杯”竞赛．若从该小组中任选3位同学参加高二数学“南方杯”竞赛，求这3位同学中参加过高一数学“南方杯”竞赛的同学数X 的概率分布及P (X <2)．解：由题意可知，X 的可能取值为0,1,2,3.则P (X ＝0)＝C 04C 33C 37＝135，P (X ＝1)＝C 14C 23C 37＝1235，P (X ＝2)＝C 24C 13C 37＝1835，P (X ＝3)＝C 34C 03C 37＝435.所以随机变量X 的概率分布为P (X <2)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝135＋1235＝1335.1．超几何分布的判断判断随机变量是否服从超几何分布，可以从以下两个方面判断：一是超几何分布描述的是不放回抽样问题；二是随机变量为抽到的某类个体的个数．2．超几何分布的分布列的求法(1)在超几何分布中，只要知道N ，M 和n ，就可以根据公式，求出X 取不同r 值时的概率P (X ＝r )，从而列出X 的分布列．(2)一旦掌握了X 的分布列，就可以算出相应试验的很多事件的概率，从而就完全掌握了该试验．[对应课时跟踪训练(十一)]一、填空题1．盒中有4个白球，5个红球，从中任取3个球，则取出1个白球和2个红球的概率是________．解析：设随机变量X 为抽到白球的个数，X 服从超几何分布，由公式，得P (X ＝1)＝C 14C 25C 39＝4×1084＝1021.答案：10212．有10位同学，其中男生6位，女生4位，从中任选3人参加数学竞赛．用X 表示女生人数，则概率P (X ≤2)＝________.解析：P (X ≤2)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝0)＝C 14C 26C 310＋C 24C 16C 310＋C 36C 310＝2930. 答案：29303．若在甲袋内装有8个白球，4个红球，在乙袋内装有6个白球，6个红球，今从两袋内任意取出1个球，设取出的白球个数为X ，则P (X ＝1)＝________.解析：P (X ＝1)＝C 18C 16＋C 14C 16C 112C 112＝12. 答案：124．某12人的兴趣小组中，有5名“三好生”，现从中任意选6人参加竞赛，用X 表示这6人中“三好生”的人数，则当X 取________时，对应的概率为C 35C 37C 612.解析：由题意可知，X 服从超几何分布，由概率值中的C 35可以看出“从5名三好生中选取了3名”．答案：35．50张彩票中只有2张中奖票，今从中任取n 张，为了使这n 张彩票里至少有一张中奖的概率大于0.5，n 至少为________．解析：用X 表示中奖票数，P (X ≥1)＝C 12C n －148C n 50＋C 22C n －248C n 50>0.5.解得n ≥15. 答案：15 二、解答题6．从一副不含大小王的52张扑克牌中任意抽出5张，求至少有3张A 的概率． 解：设抽出的5张牌中所包含的A 牌的张数为X ，则X 服从超几何分布，其分布列为P (X ＝r )＝C r 4C 5－r48C 552，r ＝0,1,2,3,4.所以随机变量X 的概率分布为：所以抽出的5张牌中至少有3张A 的概率为P (X ≥3)＝P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝C 34C 248C 552＋C 44C 148C 552≈0.001 75.7．在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品，从这10件产品中任取3件，求：(1)取出的3件产品中一等品件数X 的分布列；(2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．解：(1)由于从10件产品中任取3件的结果数为C 310，从10件产品中任取3件，其中恰有r 件一等品的结果数为C r 3C 3－r7，那么从10件产品中任取3件，其中恰有r 件一等品的概率为P (X ＝r )＝C r 3C 3－r7C 310，r ＝0,1,2,3.所以随机变量X 的分布列是(2)设“取出的3“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A 1，“恰好取出2件一等品”为事件A 2，“恰好取出3件一等品”为事件A 3.由于事件A 1，A 2，A 3彼此互斥，且A ＝A 1∪A 2∪A 3，而P (A 1)＝C 13C 23C 310＝340，P (A 2)＝P (X ＝2)＝740，P (A 3)＝P (X ＝3)＝1120，所以取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为 P (A )＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＝340＋740＋1120＝31120.8．在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X 的概率分布． (2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张， ①求顾客乙中奖的概率；②设顾客乙获得的奖品总价值Y 元，求Y 的概率分布．解：(1)抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X 的取值只有1和0两种情况． P (X ＝1)＝C 14C 110＝410＝25，则P (X ＝0)＝1－P (X ＝1)＝1－25＝35.因此X 的概率分布为X ＝k 0 1 P (X ＝k )3525(2)①顾客乙中奖可分为互斥的两类：所抽取的2张奖券中有1张中奖或2张都中奖．故所求概率P ＝C 14C 16＋C 24C 06C 210＝3045＝23. ②Y 的所有可能取值为0,10,20,50,60，且P (Y ＝0)＝C 04C 26C 210＝1545＝13，P (Y ＝10)＝C 13C 16C 210＝1845＝25，P (Y ＝20)＝C 23C 06C 210＝345＝115，P (Y ＝50)＝C 11C 16C 210＝645＝215，P (Y ＝60)＝C 11C 13C 210＝345＝115.因此随机变量Y 的概率分布为。
2.2 超几何分布1．了解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用．（重点)2．会利用超几何分布的概念判断一个实际问题是否属于超几何分布，从而利用相关公式解题．（难点)［基础·初探］教材整理超几何分布的概率及表示阅读教材P53～P55,完成下列问题．一般地，若一个随机变量X的分布列为P(X＝r）＝错误!，其中r＝0,1，2,3,…，l，l＝min(n，M)，则称X服从超几何分布，记为X～H（n，M，N)，并将P（X＝r)＝错误!记为H （r；n,M，N）．1．判断（正确的打“√”,错误的打“×"）（1）超几何分布的总体中只有两类物品．（）(2)在产品检验中，超几何分布描述的是有放回抽样．（）（3)若X～H（n，M，N），则n≤M。
( )(4）超几何分布X～H(n，M，N）中n是随机一次取出的样本容量，M是总体中不合格产品的总数，N是总体中的个体总数．（)【答案】(1)√（2)×(3）×（4）√2．在含有5件次品的10件产品中，任取4件，则取到的次品数X的分布列为P(X＝r)＝________。
【解析】P（X＝r）＝错误!,r＝0，1,2，3，4.【答案】错误!，r＝0，1，2,3,43．从有3个黑球，5个白球的盒中取出2个球,其中恰有一个是白球的概率是________。
【导学号：29440038】【解析】由题意，这是一道超几何分布题,其中N＝8，M＝5,n＝2.所以P（X＝1）＝错误!＝错误!。
【答案】错误