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§1.5数据的数字特征一、教学背景分析：在初中阶段，学生已经通过实例，学习了平均数、中位数、众数、极差、方差等，并能解决简单的实际问题。
在这个基础上高中阶段还将进一步学习标准差，并在学习中不断地体会它们各自的特点，在具体的问题中根据情况有针对性地选择一些合适的数字特征.二、教学目标：1、能结合具体情境理解不同数字特征的意义，并能根据问题的需要选择适当的数字特征来表达数据的信息，培养学生解决问题的能力.2、通过实例理解数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差，提高学生的运算能力.三、教学重、难点教学重点：平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差的计算、意义和作用.教学难点：根据问题的需要选择适当的数字特征来表达数据的信息.四、设计思路1、教法构想：本节教学设计依据课程标准，在义务教育阶段的基础上，进一步掌握平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差的计算、意义和作用.通过具体的实例，让学生理解数字特征的意义，并能选择适当的数字特征来表达数据的信息.2、学法指导：学生自主探究，交流合作，教师归纳总结相结合.五、教学实施（一）、 导入新课提出问题：1.高一年级1班和2班的男生在100米短跑测试后, 两个班各随机抽取10名男生, 成绩如下（单位:秒）:问哪个班男生100米短跑平均水平高一些?2.对划艇运动员甲、乙两人在相同的条件下进行6次测试, 测得他 们最大速度(m/s)的数据如下:试比较这两名划艇运动员谁更优秀？（学生思考交流）. 教师点出课题：数据的数字特征 （二）、推进新课 Ⅰ、新知探究提出问题：1、什么叫平均数？有什么意义？2、什么叫中位数？有什么意义？3、什么叫众数？有什么意义？4、什么叫极差？有什么意义？5、什么叫方差？有什么意义？6、什么叫标准差？有什么意义？ 讨论结果：1、一组数据的和与这组数据的个数的商称为这组数据的平均数.数据12,,,n x x x 的平均数为12nx x x x n+++=.平均数对数据有“取齐”的作用，代表该组数据的平均水平.2、一组数据按从小到大的顺序排成一列，处于中间位置的数称为这组数据的中位数.一组数据的中位数是唯一的，反映了数据的集中趋势.3、一组数据中出现次数最多的数称为这组数据的众数.一组数据中的众数可能不止一个，也可能没有，反映了数据的集中趋势.4、一组数据的最大值与最小值的差称为这组数据的极差，表示该组数据之间的差异情况.5、方差是样本数据到平均数的平均距离，一般用2s 表示，通常用公式2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-来计算.反映了数据的离散程度.方差越大，数据的离散程度越大.方差越小数据的离散程度越小. 6、标准差等于方差的正的平方根，即s =描述一组数据围绕平均数的波动程度的大小. Ⅱ、应用示例例1 某公司员工的月工资情况如表所示：（1）、分别计算该公司员工月工资的平均数、中位数、和众数. （2）、公司经理会选取上面哪个数来代表该公司员工的月工资情况？税务官呢？工会领导呢？解：（1）经计算可以得出：该公司员工月工资的平均数为1373元，中位数为800元，众数为700元.（2）、公司经理为了显示本公司员工的收入高，采用平均数；而税务官希望取中位数，以便知道目前的所得税率对该公司的多数员工是否有利；工会领导则主张用众数，因为每月拿700元的员工最多.点评：平均数是将所有的数据都考虑进去得到的度量，它是反映数据平均水平最常用的统计量；中位数将观测数据分成相同数目的两部分，其中一部分都比这个数小而另一部分都比这个数大，对于非对称的数据集，中位数更实际地描述了数据的中心；当变量是分类变量时，众数往往经常被使用.变式训练：1、下表是某班40名学生参加“环保知识竞赛”的得分统计表：请参照这个表解答下列问题：（1）用含x ，y 的式子表示该班参加“环保知识竞赛”的班平均分f ；(2)若该班这次竞赛的平均分为2.5分，求,x y 的值.解：（1）355940x y f ++=；(2)依题意，有354111{x y x y +=+=解得74{x y ==例2.在上一节中, 从甲、乙两个城市随机抽取的16台自动售货机的销售额可以用茎叶图表示. 如图所示:（1）甲、乙两组数据中的中位数、众数、极差分别是多少?（2）你能从左图中分别比较甲、乙两组数据平均数和方差的大小吗? 例3 甲、乙两台机床同时生产直径是40mm的零件.为了检验产品质量，从两台机床生产的产品中各抽取10件进行测量，结果如下表所示分别计算上面从甲、乙两台机床抽取的10件产品直径的标准差. 解：从数据容易得到甲、乙两台机床生产的这10件产品直径的平均.值40()x x mm==乙甲我们分别计算它们直径的标准差：==0.161()s mm甲(39.90.077()=+-=s mm乙由上面的计算可以看出：甲、乙两台机床生产的产品直径的平均值相同，而甲机床生产的产品直径的标准差为0.161mm，比乙机床的标准差0.077mm大，说明乙机床生产的零件更标准些，即乙机床的生产过程更稳定一些.点评：对数据数字特征内容的评价，应当更多地关注对其本身意义的理解和在新情境中的应用，而不是记忆和使用的熟练程度. Ⅲ、知能训练1、下列说法正确的是（D ）A.甲、乙两班期末考试数学平均成绩相同，这表明这两个班数学学习情况一样.B.期末考试数学成绩的方差甲班比乙班小，这表明甲班的数学学习情况比乙班好.C.期末考试数学平均成绩甲、乙两班相同，方差甲班比乙班大，则数学学习甲班比乙班好.D.期末考试数学平均成绩甲、乙两班相同，方差甲班比乙班小，则数学学习甲班比乙班好.2、甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表：甲的成绩：乙的成绩：丙的成绩：123s s s 、、分别表示甲、乙、丙三名射箭运动员这次测试成绩的标准差，则有（C ）A.123s s s >>B.312s s s >>C.213s s s >>D.231s s s >>3、某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输入为15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是 -3 Ⅳ、拓展提升甲、乙两种玉米苗各抽10株，分别测得它们的株高如下（单位：cm ）问：（1）哪种玉米的苗长得高？（2）哪种玉米的苗长得齐？ 解：（1）30()x cm =甲，31()x cm =乙 x x ∴<乙甲，即乙种玉米的苗长得高. （2）222222104.2(),128.8()s cm s cm ss ==∴<乙甲乙甲即甲种玉米的苗长得齐.（三）、课堂小结： 本节课通过具体实例探讨和学习了平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差的计算、意义和作用，让学生体会所学内容与现实世界的密切联系.（四）、作业： 课本30—31页 习题1—4 1、2. 六、设计体会（教后反思）统计的学习，本质上是统计活动的学习，而不是概念和公式的学习.因此在本节教学设计中所采用的数据和问题情境尽可能来源于实际，充分挖掘学生生活中与数据有关的素材，使他们体会所学内容与现实世界的密切联系.另外，在教学活动中，还要特别加强小组活动的组织与教学，并在活动的过程中引导学生逐步体会统计的作用和基本思想.。
4.1平均数、中位数、众数、极差、方差4.2标准差●三维目标1．知识与技能(1)正确理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差．(2)能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并做出合理的解释．(3)会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征．(4)形成对数据处理过程进行初步评价的意识．2．过程与方法通过对实例的探究，感知平均数、中位数和众数刻画了一组数据的集中趋势，极差、方差、标准差刻画了一组数据的离散程度，而标准差的单位与原始测量单位相同．3．情感、态度与价值观通过本节课的学习，感受数据的数字特征的意义和作用，从而提高根据问题的需要而选择不同的统计量来表达数据的信息的能力．●重点难点重点：会求一组数据的平均数、方差、标准差．难点：方差、标准差在实际问题中的应用．(教师用书独具)●教学建议本节内容安排在学生学习了抽样方法、统计图表等知识之后，是在初中学习过平均数、中位数、众数、极差、方差等统计量的基础上对数据的数字特征的进一步研究，在教学过程中，要在教师的引导下，充分发挥学生的主体作用，让学生分析案例，对不同的数字特征进行对比，在对比中，发现其差异、明确其特点，体会其作用，并让学生进行交流、总结并适时给出点拨，从而达到会用数字特征解决问题的目的．●教学流程创设问题情境，引出问题⇒引导学生结合初中学过的众数、中位数、平均数、极差、方差的概念感受这五个数字特征⇒教师通过多媒体展示这五个数字特征，通过分组讨论总结求法⇒通过例1的展示及变式训练的强化使学生进一步体会这三个数字特征通过例2及变式训练使学生掌握求方差及标准差的方法，体会方差的应用⇒归纳整理进行课堂小结，整体把握本节知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈、矫正初中已学过众数、中位数、平均数的概念，你能完成以下填空吗？(1)已知数据a ，a ，b ，c ，d ，b ，c ，c ，且a ＜b ＜c ＜d ，则这组数据的众数为________，中位数为________，平均数为________．(2)某班50名学生右眼视力的检查结果如下表所示：则该班学生右眼视力的众数为________，中位数为________．【提示】 (1)c b ＋c 2 2a ＋2b ＋3c ＋d8(2)1.2 0.8刻画一组数据集中趋势的统计量有平均数、中位数和众数．平均数：n 个数x 1，x 2，…，x n ，那么它们的平均数为x ＝1n(x 1＋x 2＋…＋x n )．中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)称为中位数．众数：一组数据中，出现次数最多的数．甲、乙两名战士在相同条件下各射靶两次，每次命中的环数分别是： 甲：8,6,7,8,6,5,9,10,4,7 乙：6,7,7,8,6,7,8,7,9,51．甲、乙两战士命中环数的平均数x 甲、x 乙各是多少？ 【提示】 x 甲＝7环；x 乙＝7环． 2．由x 甲，x 乙能否判断两人的射击水平？ 【提示】 由于x 甲＝x 乙，故无法判断．3．观察上述两组数据，你认为哪个人的射击水平更稳定？【提示】 从数字分布来看，甲命中的环数较分散，乙命中的环数较集中，故乙的射击水平更稳定．刻画一组数据离散程度的统计量有极差、方差、标准差．极差：把一组数据中最大值与最小值的差叫作这组数据的极差．极差对极值非常敏感，一定程度上表明了该组数据的分散程度．方差：设一组数据为x 1，x 2，x 3，…，x n ，其平均数为x ，则方差s 2＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，其单位是原始观测数据单位的平方．标准差：它是方差的正的平方根，s ＝s 2＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，其单位与原始测量单位相同.(1)(2)第(1)问中计算出来的平均数能客观地反映该工厂人员的工资水平吗？为什么？ 【思路探究】 平均数的计算应为总工资除以总人员，由表可知总工资为 2 200×1＋250×6＋220×5＋200×10＋100×1＝6 900(元)，总人数为1＋6＋5＋10＋1＝23.【自主解答】 (1)由上表可知：周工资的众数为200元，中位数为220元，平均数为6 90023＝300(元)．(2)不能．虽然工厂人员的周平均工资为300元，但由表格中所列出的数据可知，只有经理的周工资在300元以上，其余人的周工资都在300元以下，故用平均数不能客观地反映该工厂人员的工资水平．1．由此题可见，平均数受数据中的极端值的影响较大，这时平均数对总体估计的可靠性反而不如众数和中位数．2．如果样本平均数大于样本中位数，说明数据中存在许多较大的极端值；反之，说明数据中存在许多较小的极端值．据报道，某公司的33名职工的月工资(以元为单位)如下：(2)假设副董事长的工资从5 000元提升到20 000元，董事长的工资从5 500元提升到30 000元，那么新的平均数、中位数、众数又是多少？(精确到元)(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平，结合此题谈谈你的看法．【解】 (1)平均数为x ＝5 500＋5 000＋3 500×2＋3 000＋2 500×5＋2 000×3＋1 500×2033≈2 091(元)．中位数为1 500元，众数为1 500元． (2)平均数为x ′＝30 000＋20 000＋3 500×2＋3 000＋2 500×5＋2 000×3＋1 500×2033≈3 288(元)．中位数为1 500元，众数为1 500元．(3)在此问题上，中位数和众数均能反映该公司员工的工资水平，因为该公司少数职工的月工资与大多数职工的月工资差距太大，故平均数不能反映该公司员工的工资水平．甲：8 6 7 8 6 5 9 10 4 7 乙：6 7 7 8 6 7 8 7 9 5 (1)分别计算以上两组数据的平均数； (2)分别求出两组数据的方差；(3)根据计算结果，估计一下两名战士的射击情况．【思路探究】 求x 甲、x 乙→求s 2甲，s 2乙→比较x 甲与x 乙，s 2甲与s 2乙→作出分析【自主解答】 (1)x 甲＝110(8＋6＋7＋8＋6＋5＋9＋10＋4＋7)＝7(环)．x 乙＝110(6＋7＋7＋8＋6＋7＋8＋7＋9＋5)＝7(环)．(2)法一 由方差公式s 2＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]可求得s 2甲＝3.0(环2)，s 2乙＝1.2(环2)．法二 由方差公式s 2＝1n [(x ′21＋x ′22＋…＋x ′2n )－n x ′2]计算s 2甲，s 2乙，求得s 2甲＝3.0(环2)，s 2乙＝1.2(环2)．(3)∵x 甲＝x 乙，s 2甲>s 2乙，∴乙战士的射击成绩较稳定．1．准确运用公式计算是本题的难点和关键，本题中两组数据的平均数相同，需比较它们的方差说明它们的波动大小．2．计算方差(标准差)时，由于计算量较大，计算时需保证准确性．一般地，方差(标准差)越小，该组数据波动越小，越稳定．一机床加工直径为100 mm 的零件，该机床在一小时内生产了6件产品并进行测量，测得如下数据(单位：mm)：99,100,102,99,100,100.计算上述数据的方差和标准差．【解】 x ＝100＋16(－1＋0＋2－1＋0＋0)＝100(mm)．∵x i －x (i ＝1,2，…，6)得数据分别为－1,0,2，－1,0,0. ∴(x i －x )2(i ＝1,2，…，6)得数据分别为1,0,4,1,0,0.所以s 2＝16×(1＋0＋4＋1＋0＋0)＝1(mm 2)，s ＝1(mm).对茎叶图结构理解错误致误(2011·北京高考改编)以下茎叶图记录了甲、乙两组各四位同学的植树棵数，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示图1－4－1如果X ＝8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差．【错解】 当X ＝8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数为8,8,9,0，所以平均数为x ＝8＋8＋9＋04＝254，方差为：s 2＝14[(8－254)2＋(8－254)2＋(9－254)2＋(0－254)2]＝21116【错因分析】 1.看不懂茎叶图，当X ＝8时，认为乙组同学的植树棵数为8,8,9,0. 2．对方差公式的应用不熟练，出现计算错误．【防范措施】 1.明确茎叶图的结构特征，分清茎上的数字及叶上的数字代表的几何意义．2．熟记公式s 2＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]提高运算求解的能力．【正解】 当X ＝8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数为8,8,9,10，所以平均数为x ＝8＋8＋9＋104＝354，方差为：s 2＝14[(8－354)2＋(8－354)2＋(9－354)2＋(10－354)2]＝1116.1．平均数、中位数及众数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量，与每个样本数据有关，这是中位数、众数所不具有的性质．2．标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小，标准差、方差越大，数据的离散程度就越大．1．已知一组数据为10,20,30,40,40,40,50,60,70，其中平均数、中位数、众数的大小关系为( )A ．平均数>中位数>众数B ．平均数<中位数<众数C ．中位数<众数<平均数D ．中位数＝众数＝平均数【解析】 中位数、众数、平均数均为40. 【答案】 D 2．(2012·山东高考)在某次测量中得到的A 样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B 样本数据恰好是A 样本数据每个都加2后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是( )A ．众数B ．平均数C ．中位数D ．标准差 【解析】 对样本中每个数据都加上一个非零常数时不改变样本的方差和标准差，众数、中位数、平均数都发生改变．【答案】 D图1－4－2A ．84,4.84B ．84,1.6C ．85,1.6D ．85,4【解析】 由题意知平均分x ＝84＋84＋84＋86＋875＝85，s 2＝15[(84－85)2＋(84－85)2＋(86－85)2＋(84－85)2＋(87－85)2]＝15×8＝1.6.【答案】 C 4．对自行车运动员甲、乙两人在相同条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度(m/s)的数据如下：【解】 他们的平均速度为x 甲＝16(27＋38＋30＋37＋35＋31)＝33(m/s)，x 乙＝16(33＋29＋38＋34＋28＋36)＝33(m/s)．他们的平均速度相同，再看方差：s 2甲＝16[(－6)2＋52＋(－3)2＋42＋22＋(－2)2] ＝473(m 2/s 2)， s 2乙＝16[(－4)2＋52＋12＋(－5)2＋32]＝383(m 2/s 2)． 则s 2甲>s 2乙， 即s 甲>s 乙，故乙的成绩比甲稳定． 所以，选乙参加该项重大比赛更合适.一、选择题1．一组样本数据按从小到大的顺序排列为13,14,19，x,23,27,28,31，其中位数为22，则x 等于( )A ．21B ．22C ．20D ．23【解析】 ∵x ＋232＝22，∴x ＝21.【答案】 A2．运动员参加体操比赛，当评委亮分后，其成绩往往是先去掉一个最高分，去掉一个最低分，再计算剩下分数的平均值，这是因为( )。
数据的数字特征教学目标1、知识与技能（1）能结合具体情境理解不同数字特征的意义，并能根据问题的需要选择适当的数字特征来表达数据的信息．（2）通过实例理解数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差．在分析和解决具体实际问题的过程中，学会用恰当的统计量表示数据的方法，并能结合统计量对所给数据的分布情况作出合理的解释．23、情感态度价值观通过对现实生活和其他学科中统计问题的分析和解决，体会用数学知识解决现实生活及各学科问题的方法，认识数学的重要性．教学重点、难点教学重点：理解各个统计量的意义和作用，学会计算数据的标准差．教学难点: 根据给定的数据，合理地选择统计量表示数据．教学设计：（1）教法构想本节教学设计依据课程标准，在义务教育阶段的基础上，进一步掌握平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差的计算、意义和作用．通过具体的实例，让学生理解数字特征的意义，并能选择适当的数字特征来表达数据的信息．（2）学法指导学生自主探究，交流合作，教师归纳总结相结合．课时计划：2课时教学过程：一、【情景引入】提出问题：小明开设了一个生产玩具的小工厂，管理人员由小明、他的弟弟和六个亲戚组成．工作人员由五个领工和十个工人组成．工厂经营的很顺利，需增加一个新工人，小亮需要一份工作，应征而来与小明交谈．小明说：“我们这里报酬不错，平均薪金是每周300元．你在学徒期每周75元，不过很快就可以加工资了．”小亮工作几天后找到小明说：“你欺骗了我，我已经找其他工人核对过了，没有一个人的工资超过每周100元，平均工资怎么可能是一周300元呢？”小明说：“小亮啊，不要激动，平均工资是300元，你看，这是一张工资表．”工资表如下：这到底是怎么了？（学生思考交流）教师点出课题：数据的数字特征二、【探求新知】数据的信息除了通过前面介绍的各种统计图表来加以整理和表达之外，还可以通过一些统计量来表述，也就是将多个数据“加工”为一个数值，使这个数值能够反映这组数据的某些重要的整体特征．请大家思考，初中时我们学习了几个统计量？它们在刻画数据时，各有什么样的优点和缺点？请大家结合下面问题的解决，对这个问题进行思考．1、平均数、中位数、众数某公司的33名职工的月工资（单位：元）如下：（1）求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数；（2）假设副董事长的工资从5000元提升到20000元，董事长的工资从5500元提升到30000元，那么新的平均数、中位数、众数又是什么？（3）你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？为什么？（4）公司经理会选取上面哪个数据来代表该公司员工的月工资情况？税务官呢？工会领导呢？通过这个问题的解决，我们应该认识到，各个不同的统计量适用于刻画不同的统计数据，并且有着各自的特点．平均数：一般地，对于N 个数N x x x ,,,21 ，我们把Nx x x N+++ 21叫做这N 个数的算术平均数，简称平均数．平均数是数据的重心，它是反映数据集中趋势的一项指标．它的优点在于：对变量的每一个观察值都加以利用，比起众数与中位数，它会获得更多的信息；但是平均数对个别的极端值敏感，当数据有极端值时，最好不要用均值刻画数据．众数：一组数据中出现次数最多的数据．众数着眼于对各数据出现的次数的考察, 是一组数据中的原数据，其大小只与这组数据中的部分数据有关,当一组数据中有不少数据多次重复出现时,其众数往往是我们关心的一种统计量. 注意：（1）一组数据中的众数有时不只一个，如数据2、3、-1、2、l 、3中， 2和3都出现了2次，它们都是这组数据的众数．（2）如果出现个数一样的数据，或者每个数据都只有一次，那么众数可以 不止一个或者没有．中位数：将一组数据从小到大排列或从大到小排列，处在中间位置上一个数据（或中间两个数据的平均数）．中位数将观测数据分成相同数目的两部分，其中一部分都比这个数小而另一部分都比这个数据大，对于非对称的数据集，中位数更能实际地描述数据的中心．某些数据的变动对它的中位数影响不大．当一组数据中的个别数据变动较大时，可用它来描述其集中趋势．注意：（1）求中位数要将一组数据按大小顺序，而不必计算，顾名思义，中位数就是位置处于最中间的一个数（或最中间的两个数的平均数），排序时，从小到大或从大到小都可以．（2）在数据个数为奇数的情况下，中位数是这组数据中的一个数据；但在数据个数为偶数的情况下，其中位数是最中间两个数据的平均数，它不一定与这组数据中的某个数据相等．在同一组数据中,众数、中位数和平均数也各有其特性:（1）中位数与平均数是唯一存在的,而众数是不唯一的；（2）众数、中位数和平均数在一般情况下是各不相等,但在特殊情况下也可 能相等．如,在数据6、6、6、6、6中,其众数、中位数、平均数都是6． （3）众数和中位数可以代表数据分布的大体趋势，缺点在于并没有对数据中的其它值加以利用．到底用什么统计量来刻画数据，需要结合数据的特点及你想要说明的问题进行选择．不同的人立场不同，会选择不同额统计量来说明他的观点，这也就是我们要对统计结论进行批判性思维的原因． 2、极差、方差甲、乙两台机床同时生产直径是40mm 的零件．为了检验产品的质量，从两台机床生产的零件中各抽取10件进行测量，结果如下：那么，我们可以用哪些数据来刻画数据的离散情况呢？方法1、极差甲：40.2-39.8=0.4（mm ），乙：40.1-39.9=0.2（mm ）； 方法2、方差甲：()1022111400.02610i i s x ==-=∑，乙：()1022211400.00610i i s x ==-=∑；方法3、甲：()()404039.84039.840100.14mm -+-++-÷=， 乙：()()4040404039.940100.06mm -+-++-÷=；方法4、甲：()()333404039.84039.840100.005mm -+-++-÷=乙：()()3334040404039.940100.0006mm -+-++-÷=那么，在刻画数据的离散程度时，这个统计量应该满足哪些原则呢？（1）应充分利用所得到的数据，以便提供更确切的信息； （2）仅用一个数值来刻画数据的离散程度；（3）对于不同的数据集，当离散程度大时，该数值也大． 极差是指一组数据内的最大值和最小值之间的差． 极差=最大值—最小值极差只指明了测定值的最大离散范围，而未能利用全部测量值的信息，不能细致地反映测量值彼此相符合的程度．极差是总体标准偏差的有偏估计值，当乘以校正系数之后，可以作为总体标准偏差的无偏估计值，它的优点是计算简单，估算大致范围时用它.极差大的那一组不一定方差大，反过来，方差大的，极差不一定也大． 方差，是一组数据据内，每个数与平均数的差数的平方和．方差是表现数据的离散程度的（波动情况），方差越小，数据的离散程度越小，也就越接近平均值,当要求某问题的稳定程度就用它.计算公式：设在一组数据,,12n x x ,x …中，x -是它们的平均数，则方差为：2222121[()()()]---=-+-+⋯+-n S x x x x x x n3、标准差方差的单位是原始数据单位的平方，而刻画数据离散程度的一种理想度量应该具有与原始数据相同的单位，因而引入标准差，标准差更能反映数据的离散程度．标准差（Standard Deviation ），也称均方差（mean square error ），是各数据偏离平均数的距离的平均数，在概率统计中最常使用作为统计分布程度（statistical dispersion ）上的测量．标准差定义为方差的算术平方根，反映组内个体间的离散程度．测量到分布程度的结果，原则上具有两种性质：为非负数值， 与测量资料具有相同单位． 一个总量的标准差或一个随机变量的标准差，及一个子集合样品数的标准差之间，有所差别．标准差能反映一个数据集的离散程度．平均数相同的，标准差未必相同．标准差的意义：标准差越高,表示实验数据越离散,也就是说越不精确；反之,标准差越低,代表实验的数据越精确．注：以上各量都带单位． 三、【知识应用】例 甲、乙两名战士在相同条件下各射击靶10次，每次命中的环数分别是： 甲：8，6，7，8，6，5，9，10，4，7； 乙：6，7，7，8，6，7，8，7，9，5．（1）分别计算以上两组数据的平均数； （2）分别求出这两组数据的方差；（3）请根据这两名射击手的成绩画出折线统计图，并估计这两名战士的 射击情况．解：（1）7107768=++++=甲x （环），7105776=++++= 乙x （环）（2）22221[(87)(67)(77)] 3.010=-+-++-=s 甲（环2）22221[(67)(77)(57)] 1.210=-+-++-=s 乙（环2）（3）因为=甲x 乙x ，所以说明甲、乙两名战士的平均水平相当．又因为>甲2s 乙2s ，所以说明甲战士射击情况波动大．故乙战士比甲战士射击情况稳定．四、【课堂练习】1、一家鞋店在一段时间里销售了某种女鞋20双，其中各种尺码的鞋的销量 如表所示：指出这组数据的众数、中位数、平均数．解：30cm ，21cm 的鞋各出现5次，故众数为30cm ，21cm ；求中位数时应注意，在排列数据时应考虑每一个数出现的次数，本题 中共有20514352=+++++个数据，第10位数据为23，第11位 数据是25，故中位数22423+＝24(cm) ． 平均数为6.2420254215233202281305=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯(cm) 2、下表是某班40名学生参加“环保知识竞赛”的得分统计表：请参照这个表解答下列问题：（1）用含x ，y 的式子表示该班参加“环保知识竞赛”的班平均分f ； （2）若该班这次竞赛的平均分为2.5分，求,x y 的值． 解：（1）355940x y f ++=；（2）依题意，有354111{x y x y +=+=解得74{x y ==3、（2007海南高考，理11）甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各 射箭20次，三人的测试成绩如下表： 甲的成绩：乙的成绩：丙的成绩：123s s s 、、分别表示甲、乙、丙三名射箭运动员这次测试成绩的标准差， 则有（C ）A.123s s s >>B.312s s s >>C.213s s s >>D.231s s s >>4、课本第31页 练习 五、【课堂小结】本节课通过具体实例探讨和学习了平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差的计算、意义和作用，1、一组数据的和与这组数据的个数的商称为这组数据的平均数．数据12,,,n x x x 的平均数为12nx x x x n+++=．平均数对数据有“取齐”的作用，代表该组数据的平均水平．2、一组数据按从小到大的顺序排成一列，处于中间位置的数称为这组数据的中位数．一组数据的中位数是唯一的，反映了数据的集中趋势．3、一组数据中出现次数最多的数称为这组数据的众数．一组数据中的众数可能不止一个，也可能没有，反映了数据的集中趋势．4、一组数据的最大值与最小值的差称为这组数据的极差，表示该组数据之间的差异情况．5、方差是样本数据到平均数的平均距离，一般用2s 表示，通常用公式2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-来计算．反映了数据的离散程度．方差越大，数据的离散程度越大．方差越小数据的离散程度越小．6、标准差等于方差的正的平方根，即s =组数据围绕平均数的波动程度的大小．六、【分层作业】1、课本第23页 习题1—4 1、22、课本第69页 复习参考题一 A 组5、63、创新设计相关内容4、阅读课本第29—30页 利用信息技术计算数字特征。
