山东省潍坊诸城市2020学年高一数学下学期期中试题

学年潍坊第二学期高一期中考试高一数学试题Modified by JACK on the afternoon of December 26, 20202017-2018学年度第二学期普通高中模块监测高一数学本试卷共4页，分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．sin390=A ．12-B ．12C ．2D ．±2. 时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度数为A.143π B ．143π- C.718π D.718π- 3．已知向量(,2),(3,2)m ==-a b ，且⊥a b ，则实数m 的值为A.6- B ．43- C.43D ．64．设cos 0α<且tan 0α>，则α是A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角5.函数2sin(2)2y x π=-是A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为2π的奇函数C. 最小正周期为π的偶函数 D ．最小正周期为2π的偶函数 6. 如图，在ABC ∆中，点D 是BC 边上靠近B 的三等分点，则=A ．2133AB AC - B. 1233AB AC +C ．1233AB AC -D ．2133AB AC +7． 河水从东向西流，流速为2m/s ，一轮船以3垂直于水流方向向北横渡，则轮船航行的航速为A. 232m/s C. 4m/s D. 222+ m/s8. 已知函数()sin()(0,0,)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，则(0)f =A ． 1B ．C ． 2D ．9.已知两个电流瞬时值函数式分别是12,2sin(45),I t I t ωω==+则合成后的电流12I I I =+的三角函数式的最大值为A ． ． 2+． ． 2 10.下列式子一定成立的是 ①sin()sin sin AB A B +=+；②在斜ABC ∆中，tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=； ③在斜ABC ∆中，sin sin sin sin sin sin A B C A B C ++=；④sin 7cos15sin8tan15cos7sin15sin8+=-；A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④11．若sin cos 1,sin cos 1a b θθθθ+=-=，则ab 的值是A. 1-B.0C.112．如图，在圆C 中，C 为圆心，点,A B 在圆上，则AB AC ⋅的值A.只与圆C 的半径有关B.只与弦AB 的长度有关C.既与圆C 的半径有关，又与弦AB 的长度有关D.与圆C 的半径和弦AB 的长度均无关的定值第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在对应题号后的横线上）13. 函数sin 2y x =的单调递增区间为 ． 14．设向量,a b 满足10=a +b ，6-=a b ，则a b = . 15.设θ为第四象限角，21)4tan(=+πθ，则cos sin θθ-= ．16．设函数()sin(2)3f x x π=+，给出以下四个结论：①它的图象关于直线2x π=对称； ②它的图象关于点(,0)3π对称；③它的周期是π； ④在区间[,0)6π-上是增函数.请写出以上正确结论的所有序号： .三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. （本小题满分10分）如图，三个边长为1的正方形并排一行.（1）求OA 与OB 夹角的余弦值； （2）求BOD COD ∠+∠的正切值.18．（本小题满分12分）已知函数()3sin cos f x x x ωω=+)0(>ω，且最小正周期为2π．（1）求ω的值；（2）设6,[0,],(),265f ππαβα∈-=24()313f πβ+=，求sin()αβ+的值．19. （本小题满分12分）设Ox ，Oy 是平面内相交成60角的两条数轴，12,e e 分别是与x 轴、y 轴正方向同向的单位向量，若向量12OP xe ye =+，则把有序数对(,)x y 叫做向量OP 在坐标系xOy 下的坐标.假设1232OP e e =+.求： （1）OP 的大小；（2）类比平面向量基本定理，本题中在坐标系xOy 下向量坐标的规定是否合理请简述其原因.20. （本小题满分12分）已知O 为坐标原点，向量(sin 1)OA α=，，(cos 0)OB α=，，(sin ,2)OC α=-，点P 是直线AB 上的一点，且AB BP =.(1）若//OP OC ，求2sin 2sin cos ααα+的值；(2）记函数()f BP CA α=+，0,2πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求函数)(αf 的值域．21. （本小题满分12分）已知函数()sin()(0)2f x x πϕϕ=+<<的图象向右平移3π个单位得到的图象关于原点对称，而函数()2sin g x x ω=（03ω<<）在,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为，令()2sin()F x x ωϕ=+．（1）求函数()F x 的单调递增区间；（2）若[,]22x ππ∈-，求函数()F x 的零点．22．（本小题满分12分）某市为推广自行车运动，如图，在道路EF 的一侧修建一条自行车赛道，赛道的前一部分为曲线段FBC ，该曲线段是函数2πsin()3y A x ω=+ ()0,0A ω>>，[]4,0x ∈-时的图象，且图象的最高点为)2,1(-B .赛道的中间部分为长3千米的直线跑道CD ，且EF CD //．赛道的后一部分是以O 为圆心的一段圆弧DE ．（1）求ω的值和DOE ∠的大小；（2）若要在圆弧赛道所对应的扇形ODE 区域内建一个矩形草坪，矩形的一边在道路EF 上，一个顶点在半径OD 上，另外一个顶点P 在圆弧DE 上，且POE θ∠=，矩形草坪的三周用花砖围起，每1单位长度的花砖价格为1万元，在道路EF 上的一边利用道路边沿当做围栏，不用花砖围绕. 求花砖价格不超过3万元时θ的取值范围．高一数学参考答案一、选择题（每小题正确答案均唯一，每小题5分共60分）BBCCC DCAAD CB二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. [,],44k k k Z ππππ-+∈ 14. 115.210516. ②③④三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.解：（1）由题意可知：点(1,1),(2,1)A B ,故(1,1),(2,1)OA OB ==,…………2分所以2+1=3OA OB =，=25OA OB =，， (4)分所以cos ,OA OB <>==. …………5分（2）根据三角函数定义可知：11tan ,tan ,23BOD COD ∠=∠= …………7分故11tan tan 23tan()1,111tan tan 123BOD CODBOD COD BOD COD +∠+∠∠+∠===-∠⋅∠-⨯ …………10分18.（1）由已知得()cos 2sin()6f x x x x πωωω=+=+. …………3分()f x 的最小正周期为2π，即22,T ππω==解得1ω=. …………4分(2)由（1）知()2sin()6f x x π=+，则6()2sin ()2sin 6665f πππααα⎡⎤-=-+==⎢⎥⎣⎦. …………5分 所以3sin 5α=，又因为0,,2πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以4cos 5α=. …………7分 又因为24()2sin ()2sin()2cos 336213f ππππββββ⎡⎤+=++=+==⎢⎥⎣⎦. ……9分 所以12cos 13β=，又因为0,,2πβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以5sin 13β=. …………10分 所以3124556sin()sin cos cos sin 51351365αβαβαβ+=+=⨯+⨯=. ……12分 19. 解：（1）2222121122329124OP e e e e e e =+=+⋅+，又因为，60,,121>=<==e e ， .................................................3分故222212112213291249124192OP e e e e e e =+=+⋅+=+⨯+=，所以19OP =................................6分（2）对于任意向量12OP xe ye =+中，①实数,x y 都是唯一确定的； ............9分. ②分解的向量是唯一的； ………………11分所以向量的坐标表示的规定合理． ………………12分20． 解：(1）设点P 的坐标为),(y x ，则 )1,sin (cos --=αα，),cos (y x α-=∵=，∴αααcos sin cos -=-x ，1-=y∴,sin cos 2αα-=x 1-=y∴点P 的坐标为)1,sin cos 2(--αα， ………………………2分 由//OP OC 知：)sin cos 2(2)sin ()1(ααα-⨯=-⨯-，∴34cos sin =αα，即4tan 3α=， ………………3分 所以2sin 2sin cos ααα+222sin 2sin cos sin cos ααααα+=+22168tan 2tan 893.16tan 1519ααα++===++ ………………6分(2）∵)1,sin (cos --=αα，)1,sin 2(-=α， ()(cos f BP CA α=+==. ………………………………………8分 ∵0,2πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴3444πππα≤+≤，所以sin()124πα≤+≤，25)]464πα≤++≤.∴)(αf 的值域为. ……………………………12分21．解：函数()sin()f x x ϕ=+的图象向右平移3π个单位得到的函数为sin()3y x πϕ=+-， 则由函数sin()(0)32y x ππϕϕ=+-<<关于原点对称知3πϕ=．.................3分又函数()sin g x x ω=（03ω<<）在,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为所以2sin()6πω-=2ω=， ∴()2sin(2)3F x x π=+. .................................................................6分（1）由222232k x k πππππ-≤+≤+()k Z ∈，得51212k x k ππππ-≤≤+()k Z ∈， 所以函数()F x 的单调递增区间为5[,]1212k k ππππ-+()k Z ∈．................9分 （2）由()2sin(2)03F x x π=+=，得：2,326k x k x ππππ+==-， ∵[,]22x ππ∈-，故,63x ππ=-.所以函数()F x 的零点为,63ππ-.................12分22．解：（1）由条件可知，得2A =，34T =． …………………………………2分 ∵2πT ω=，∴π6ω=． ∴ 曲线段FBC 的解析式为π2π2sin()63y x =+． ……………………4分当x =0时，y OC ==CD ππ44COD DOE ∠=∠=，即．…6分（2）由（1）可知OD P 在弧DE 上，故OP =设POE θ∠=，π04θ<≤，矩形草坪的三周花砖长度为)sin cos l θθθθθ==+4πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ………………………………8分 由题意可知：34l πθ⎛⎫=+≤ ⎪⎝⎭，又因为π04θ<≤， 解得：43ππθ+≤，即：π012θ<≤． ……………12分。

高一下学期阶段质量检测二高一数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知等差数数列{}n a 的通项公式n a n 23-=，则它的公差为（ ）.A -2 .B 3 C 2 D 3- 2．若0tan >α，则A ．0sin >α B. 0cos >α C. 02sin >α D. 02cos >α 3．数列{}n a 满足111,3()n n a a a n N ++==-∈，则5a 等于 A ．27B ．-81C ．81 D-27．4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，486=S ，则{}n a 的公差为 A ．1B ．2C ．4D ．85．设首项为1，公比为23的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ） （A ）21n n S a =- （B ）32n n S a =- （C ）43n n S a =- （D ）32n n S a =- 6．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知，，，则b=（A ）3（B ）（C ）2（D ）7．将函数y =2sin (2x +6π)的图像向右平移41个周期后，所得图像对应的函数为（A ）y =2sin(2x +4π)（B ）y =2sin(2x +3π)（C ）y =2sin(2x –3π)（D ）y =2sin(2x –4π)8．已知{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=（ ） ()A 7 ()B 5 ()C -5 ()D -79．设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则A .32παβ-=B .22παβ-=C .32παβ+=D .22παβ+=10．已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减，则ω的取值范围是（ ）()A 15[,]24 ()B 13[,]24 ()C 1(0,]2()D (0,2]11．数列{a n }满足a n+2a n =2a n+1(n ∈N *),且a 1=1,a 2=2,则数列{a n }的前2018项的乘积为()(A)22016 (B)22017 (C)22014 (D)2201512．若一个数列的第m 项等于这个数列的前m 项的乘积，则称该数列为“m 积数列”．若各项均为正数的等比数列{a n }是一个“2019积数列”，且a 1＞1，则当其前n 项的乘积取最大值时n 的值为（） A ．1010B ．1009C ．1009或1010D ．1008或1009第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．在数列{a n }中， a 1=2,a n+1=2a n , S n 为{a n }的前n 项和。

试卷类型：A2020-2021学年山东省潍坊市高一下学期期中考试数学试题2021.5本试卷共4页．满分150分．考试时间120分钟． 注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．2021°角的终边所在的象限是（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．函数()()lg tan 1f x x =-的定义域为（ ） A ．ππ,2x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z B ．ππππ,22x k x k k ⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭Z C ．πππ,2x k x k k ⎧⎫<<+∈⎨⎬⎩⎭Z D ．ππππ,42x k x k k ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭Z 3．在现代社会中，信号处理是非常关键的技术，而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数．若某种信号的波形对应的函数解析式为()1sin sin33xf x x =+，则其部分图像为（ ） A ． B ．C ．D ．4．若π,02α⎛⎫∈-⎪⎝⎭1sin 2a -=（ ） A ．sin cos αα+B ．sin cos αα--C ．sin cos αα-D ．cos sin αα-5．斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，它的画法是：以斐波那契数1，1，2，3，5，8…作为正方形的边长拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为90°的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线．如图这些圆弧所连成的弧线就是斐波那契螺旋线的前一部分，则阴影部分的面积与矩形ABCD 的面积之比为（ ）A ．34B ．14C ．π4D ．π86．如图，在矩形ABCD 中，AB a =，AD b =，M 为CD 的中点，BD 与AM 交于点N ，则MN =（ ）A ．1163a b -- B ．1163a b - C ．1163a b + D ．1163a b -+ 7．已知π02αβ<<<，()4cos 5αβ-=，2sin 2β=，则sin α=（ ） A ．210 B ．7210C ．210-D ．7210-8．在日常生活中，我们常常会看到两个人共提一个行李包的情景，若行李包所受的重力为G ，两个拉力分别为1F ，2F ，且12F F =，1F与2F 夹角为θ，当两人拎起行李包时，下列结论正确的是（ ）A ．12G F F =+B ．当π2θ=时，122F =C ．当θ角越大时，用力越省D ．当1F G =时，π3θ= 二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分． 9．下列四个三角关系式中正确的是（ ） A ．()cos π1cos1-=B ．πsin 2cos 22⎛⎫+= ⎪⎝⎭C ．tan 20tan 2511tan 20tan 25︒+-︒︒︒=-D ．cos73cos 28sin 73sin 28︒︒+︒︒=10．下列命题中的真命题是（ ）A ．若()2,5a =-，()3,4b =，则向量b 在向量a 方向上的投影的数量为145B ．若(1,3a =-，则01,2a ⎛=⎝⎭是与向量a 方向相同的单位向量 C ．若向量a ，b 不共线，则a b -与a 一定不共线D ．若平行四边形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 的坐标分别为()2,1-，()1,3-，()3,4，则顶点D 的坐标为()2,411．已知M ，N 是函数()()π2cos 2103f x x ωω⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭的图像与直线1y =的两个不同的交点，若MN 的最小值是π，则（ ） A ．()π2cos 213f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭B ．函数()f x 在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 C ．π112y f x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭是奇函数 D ．函数()f x 的图像关于点7π,012⎛⎫⎪⎝⎭中心对称 12．如图，设()0,πα∈，且π2α≠，当xOy α∠=时，定义平面坐标系xOy 为α的斜坐标系，在α的斜坐标系中，任意一点P 的斜坐标这样定义：设1e ，2e 是分别与x 轴，y 轴正方向相同的单位向量，若12OP xe ye =+，记(),OP x y =，则下列结论中正确的是（ ）A ．设(),a m n =，(),b s t =，若a b =，则m s =，n t =B ．设(),a m n =，则22a m n =+C ．设(),a m n =，(),b s t =，若//a b ，则0mt ns -=D ．设()1,2a =，()2,1b =，若a 与b 的夹角为π3，则2π3α= 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知A ，B ，C ，D 是平面上四个点，则AB CB CD -+=______． 14．已知()()cos f x x ωϕ=+（0ω>，π02ϕ<<）的图像过点10,2⎛⎫⎪⎝⎭，要使该函数解析式为()πcos 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，还应该给出的一个条件是______．15．已知函数()πsin 4f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭（0ω>）满足()()122f x f x -=的12 x x -的最小值为π4，则ω=______，直线13y =与函数()y f x =在()0,π上的图像的所有交点的横坐标之和为______． 16．潍坊的传统民间工艺有着悠久的历史和深厚的文化底蕴．为弘扬民族文化，潍坊某中学开展劳动实习，学生到一个铸造厂学习铁皮裁剪技术，如图所示，铁皮原料的边界由一个半径为R 的半圆弧（点O 为圆心）和直径MN 围成，甲班学生决定将该铁皮原料裁剪成一个矩形ABCD ，则当该矩形ABCD 的周长最大时，tan α=______．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）如图所示，在直角坐标系xOy 中，角α的顶点与坐标原点O 重合，始边落在x 轴的正半轴上，终边与单位圆的交点为04,5P y ⎛⎫-⎪⎝⎭，其中00y >． （1）求0y 和sin α，cos α，tan α的值；（2）求()()πcos cos 2π2sin cos αααα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭--的值．18．（12分）已知向量()2,3a =-，向量()4,2b =，向量()3,c m =（其中m ∈R ），且()2a b c +⊥． （1）求a b ⋅的值和c ；（2）若2AB a b =+，BC b c λ=+，且A ，B ，C 三点共线，求实数λ的值． 19．（12分）三角函数中有许多形式简洁，含义隽永的数学等式．某学习小组在一次研究性学习中发现，以下四个式子的值都等于同一个常数：甲：22sin 67.5cos 67.5267.5cos67.5︒+︒︒； 乙：22sin 41cos 94241cos94︒+︒︒； 丙：22sin 37cos 982cos98︒+︒︒；丁：()()22sin 25cos 160225cos160-︒+︒︒-︒． （1）请从上述四个式子中任选一个，求出这个常数；（2）根据（1）的计算结果，请将结论推广为一个三角恒等式，并证明你的结论． 20．（12分）将形如11122122a a a a 的符号称为二阶行列式，现规定二阶行列式的运算如下：1112112212212122a a a a a a a a =-．已知两个不共线的向量a ，b 的夹角为θ，6a =，b t =（其中0t >），且π2sin 41π2cos13t=．（1）若θ为钝角，试探究a b +与5a b -能否垂直？若能，求出cos θ的值；若不能，请说明理由； （2）若π3θ=，当0k >时，求4a kb -的最小值并求出此时a 与4a kb -的夹角． 21．（12分）潮汐现象是发生在沿海地区的一种自然现象，是指海水在天体（主要是月球和太阳）引潮力作用下所产生的周期性运动，我们把海面垂直方向涨落称为潮汐，地球上不同的地点潮汐规律不同． 下表给出了某沿海港口在一天（24小时）中海水深度的部分统计数据： 时间t （时） 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 水深h （米）13.41413.4121086.666.68101213（1）请结合表中数据，在给出的平面直角坐标系中，选择合适的点，画出该港口在一天24小时中海水深度h 与时间t 的函数图像，并根据你所学知识，请从()()20h t at bt c a =++>，()2th t =，()()sin h t A t B ωϕ=++（0A >，0ω>，π2ϕ<），()()cos h t A t B ωϕ=++（0A >，0ω>，π2ϕ<）这四个函数解析式中，选取一个合适的函数模型描述该港口一天24小时内水深h 与时间t 的函数关系，求出其解析式；（2）现有一货轮需进港卸货，并在白天进行物资补给后且于当天晚上．．离港．已知该货轮进港时的吃水深度（水面到船底的距离）为10米，卸货后吃水深度减小0.8米，根据安全航行的要求，船底至少要留出2.8米的安全间隙（船底到海底的距离），如果你是船长，请你规划货轮的进港、离港时间，并计算出货轮在该港口停留的最短时长．（参考数据：2 1.4≈，3 1.7≈）22．（12分）已知函数()22sincos 222x x xf x =+ （1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）若不等式()3f x m -≤对任意ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦恒成立，求整数m 的最大值； （3）若函数()π2g x f x =-⎛⎫⎪⎝⎭，将函数()g x 的图像上各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向右平移π12个单位，得到函数()y h x =的图像，若关于x 的方程()()1sin cos 02h x k x x -+=在π5π,1212x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上有解，求实数k 的取值范围．高一数学参考答案及评分标准2021.5一、单项选择题1-4 CDBD 5-8 CAAB 二、多项选择题9．BD 10．BC 11．AC 12．ACD 三、填空题13．AD 14．2ω=或周期πT = 15．4，9π4 16．12四、解答题17．（1）解：由题意，1OP =，所以220415y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，所以035y =±， 又因为00y >， 所以035y =， 则3sin 5α=，4cos 5α=-，所以3tan 4α=-． （2）()()π3cos cos 2π1sin cos tan 11243sin cos sin cos tan 1714αααααααααα⎛⎫-++-+ ⎪++⎝⎭====-------．18．解：（1）因为()2,3a =-，()4,2b =， 所以862a b ⋅=-=，()()()24,64,28,4a b +=-+=-，因为()2a b c +⊥， 所以()()()28,43,2440a b c m m +⋅=-=⋅-=，所以6m =，故()3,6c =，936c =+=（2）因为()2,3a =-，()4,2b =，()3,6c =，所以()28,4AB a b =+=-，()43,26BC b c λλλ=+=++ 又因为A ，B ，C 三点共线， 所以AB kBC =，即()()8,443,26k λλ-=++，所以438264k k k k λλ+=⎧⎨+=-⎩解得：103815k λ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，故λ的值为815-．19．解：（1）选甲时：22sin 67.5cos 67.567.5cos67.5︒+︒︒11sin13512222︒=-=-=．（2）()()221sincos 135cos 1352a ααα+︒-︒-=，证明：左边22sin αααααα⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 222211sin cos sin cos sin sin cos sin 22αααααααα=+-++-，22111cos sin 222αα=+=．20．解：（1）由题意得，ππcos 1143t t -=-=， 所以2t =，即2b =， 则62cos 12cos a b θθ⋅=⨯=，所以()()225453648cos 201648cos a b a b a a b b θθ+-=-⋅-=--=-， 因为θ为钝角，所以cos 0θ<， 故()()51648cos 0a ba b θ+-=->，故a b +与5a b -不可能垂直． （2）因为π3θ=，所以π62cos 63a b ⋅=⨯⨯=， 所以2222223481636486464278a kb a ka b k b k k k ⎛⎫-=-⋅+=-+=-+ ⎪⎝⎭，当38k =时，2min 427a kb -=，所以min433a kb-=，此时342a kb a b -=-，因为2333692722a a b a a b ⎛⎫⋅-=-⋅=-= ⎪⎝⎭，所以332732cos ,3226332a ab a a b a a b ⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭-===⨯-，又因为[],30,πa a b -∈ 所以π,36a ab -=． 21．解：（1）可选择以下6个点：()0,13.4，()2,14，()8,10，()14,6，()20,10，()24,13.4，其图像如下：选法一：设选取的函数解析式为：()()sin h t A t B ωϕ=++（0A >，0ω>，π2ϕ<）， 由题意得：122T =，所以24T =，π12ω=， 又因为()()()()max min 214146h t h A B h t h A B ⎧==+=⎪⎨==-+=⎪⎩，解得4A =，10B =， 所以()π4sin 1012h t t ϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭， 由()π24sin 106h ϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭，得πsin 16ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 所以π2π3k ϕ=+，k ∈Z ，又π2ϕ<，所以当0k =时，π3ϕ=， 所以()ππ4sin 10123h t t ⎛⎫=++⎪⎝⎭，[]0,24t ∈（参照解法一相应给分）． 选法二：设选取的函数解析式为：()()cos h t A t B ωϕ=++（0A >，0ω>，π2ϕ<），求解过程同上，可得()ππ4cos 10126h t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，[]0,24t ∈． （2）根据题意可知：货轮安全进港的水深至少达到12.8米，由()ππ4sin 1012.8123h t t ⎛⎫=++≥ ⎪⎝⎭， 解得：ππ4sin 2.8123t ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，即ππ 1.4sin 1232t ⎛⎫+≥≈ ⎪⎝⎭所以πππ3π2π2π41234k t k +≤+≤+，k ∈Z ， 故241245k t k -≤≤+，k ∈Z又因为[]0,24t ∈，所以05t ≤≤，所以可安排货轮在0时到5时之间进港．货轮安全离港的水深要求至少达到12米，根据表中数据可知最早在晚上22时后水深符合要求，可安全离港，货轮在港时间最短为17个小时．综上规划决策如下：应安排货轮最晚在凌晨5时进港，最早在晚上22时离港，在港时间最短为17个小时．22．解：（1）由题意得，()22sin cos 222x x x f x =+2sin 2cos 12x x ⎫=-⎪⎭sin x x =π2sin 3x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．由πππ2π2π232k x k -+≤+≤+，k ∈Z ，得5ππ2π2π66k x k -+≤≤+，k ∈Z ， 可得函数()f x 的单调递增区间为5ππ2π,2π66k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ． （2）因为ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以ππ2π633x ≤+≤， 所以1πsin 123x ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭， 所以当π6x =-时，()f x 的最小值为1；当π6x =时，()f x 的最大值为2， 所以()12f x ≤≤．由题意得，()33f x m -≤-≤，所以()33m f x m -≤≤+对一切ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦恒成立， 所以3132m m -≤⎧⎨+≥⎩，解得14m -≤≤， 所以整数m 的最大值为4．（3）由题意知，()ππππ2sin 2sin 2236g x f x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 将函数()g x 的图像上各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变）， 得π2sin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 再向右平移π12个单位得()ππ2sin 22sin 2126h x x x ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 因为关于x 的方程()()1sin cos 02h x k x x -+=在区间π5π,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有解，整理得： ()sin2sin cos 0x k x x -+=，即()2sin cos sin cos 0x x k x x -+=（*）在区间π5π,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有解，令πsin cos 4t x x x ⎛⎫=+=+∈ ⎪⎝⎭⎣，（*）式可转化为：210t kt --=在2t ∈⎣内有解，所以1k t t =-，2t ∈⎣，又因为y t =和1y t =-在2t ∈⎣为增函数，所以1y t t =-在⎣为增函数，所以当2t =1k t t =-取得最小值2-t =1k t t =-取得最大值2，所以22k ⎡∈-⎢⎣⎦，综上所述：k 的取值范围为,22⎡-⎢⎣⎦．。

山东省潍坊市2020版高一下学期期中数学试卷D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分） (2019高二上·齐齐哈尔月考) A，B两名同学在5次数学考试中的成绩统计如下面的茎叶图所示，若A，B两人的平均成绩分别是，，观察茎叶图，下列结论正确的是A . ，B比A成绩稳定B . ，B比A成绩稳定C . ，A比B成绩稳定D . ，A比B成绩稳定2. （2分）已知数列的通项公式是，则数列的第5项为（）A .B .C .D .3. （2分）阅读如图程序框图，若输入的N=100，则输出的结果是（）A . 50B .C . 51D .4. （2分）在△ABC中，若a = 2 ,,, 则B= （）A .B . 或C .D . 或5. （2分）某学校随机抽查了本校20个同学，调查他们平均每天在课外从事体育锻炼的时间（分钟），根据所得数据的茎叶图，以5为组距将数据分为八组，分别是[0，5），[5，10），…[35，40]，作出的频率分布直方图如图所示，则原始的茎叶图可能是（）A .B .C .D .6. （2分）从某高中随机选取5名高三男生，其身高和体重的数据如表所示：身高x（cm）160165170175180体重y（kx）6366707274根据上表可得回归直线方程=0.56x+，据此模型预报身高为172cm的高三男生的体重为（）A . 70.09 kgB . 70.12 kgC . 70.55 kgD . 71.05 kg7. （2分） (2020高一下·绍兴期末) 在中，，，，则（）A .B .C .D .8. （2分）一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100米到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是（）A . 50米B . 60米C . 80米D . 100米二、填空题 (共5题；共5分)9. （1分）某单位青年、中年、老年职员的人数之比为10∶8∶7，从中抽取200名职员作为样本，若每人被抽取的概率是0.2，则该单位青年职员的人数为________.10. （1分） (2020高一下·双流月考) 将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中，t秒后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线，假设过5秒后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m秒甲桶中的水只有升，则m的值为________．11. （1分） (2016高一下·湖南期中) 阅读如图所示程序框图，若输出的n=5，则满足条件的整数p共有________个．12. （1分） (2020高一下·太原期中) 在中，若，则________.13. （1分）已知数列中，，则数列的前项和为________．三、解答题： (共4题；共25分)14. （5分） (2020高二上·天津期末) 设数列的前项和为 ,且 ,等比数列满足.(I)求和的通项公式;(II)求数列的前项和.15. （5分）已知三角形ABC的顶点A（﹣7，0）、B（2，﹣3）、C（5，6）．判断此三角形形状，并求其面积．16. （5分）(2016·肇庆模拟) △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a（sinA﹣sinB）=（c﹣b）（sinC+sinB）（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）若c= ，△ABC的面积为，求△ABC的周长．17. （10分）(2017·泸州模拟) 已知数列{an}满足an+1=an﹣2an+1an ，an≠0且a1=1（1）求证：数列是等差数列，并求出{an}的通项公式；（2）令，求数列{bn}的前2n项的和T2n ．参考答案一、选择题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共5题；共5分)9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、三、解答题： (共4题；共25分)14-1、15-1、16-1、17-1、17-2、。

2022-2023学年山东省潍坊市、诸城市、安丘市、高密市高一（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知a →=(1，3)，b →=(x ，6)，若a →∥b →，则x ＝（ ） A ．2B ．﹣2C ．1D ．﹣12．若α是第四象限的角，则π﹣α是（ ） A ．第一象限的角 B ．第二象限的角C ．第三象限的角D ．第四象限的角3．如图，航海罗盘将圆周32等分，设圆盘的半径为4，则其中每一份的扇形面积为（ ）A ．2πB ．πC ．π2D ．π44．设e 1→，e 2→是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（ ） A ．e 1→+e 2→和e 1→−e 2→B ．2e 1→−3e 2→和4e 1→−6e 2→C ．e 1→+2e 2→和2e 1→+e 2→D ．e 2→和e 1→+e 2→5．已知tan α＝2，则sin 2α+sin αcos α的值为（ ） A ．23B ．1C ．45D ．656．如图，已知OA →，OB →，OC →的模均为4，且∠AOB ＝∠BOC ＝60°，则AC →⋅AB →=（ ）A ．24B ．﹣24C ．8D ．﹣87．如图所示，角α的终边与单位圆在第一象限交于点P ，且点P 的横坐标为35，OP 绕O 逆时针旋转π2后与单位圆交于点Q ，角β的终边在OQ 上，则（ ）A ．sinβ=45 B ．cosβ=−35 C ．cos(α+β)=2425 D ．sin(α+β)=−7258．已知函数f （x ）＝sin x +sin|x |，则（ ） A ．f （x ）是周期函数B ．f （x ）在区间[π2，3π2]单调递减C ．f （x ）的图象关于直线x =π2对称D ．f （x ）的图象关于点（π，0）对称二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分. 9．下列说法中正确的是（ ）A ．a→|a →|是与非零向量a →共线的单位向量B ．若a →与b →共线，则a →=b →或a →=−b →C ．若|a →|=0，则a →=0→D ．若a →⊥b →，a →⊥c →，则b →∥c →10．设平面向量a →，b →，|a →|=2，|b →|=2，a →在b →方向上的投影向量为c →，则（ ） A ．a →⋅b →的最大值为4 B ．|a →−b →|最大值为2C ．|b →⋅c →|≤4D ．a →⋅b →=a →⋅c →11．如图（1）所示的摩天轮抽象成如图（2）所示的平面图形，然后以摩天轮转轮中心为原点，以水平线为x 轴，建立平面直角坐标系，设O 到地面的高OT 为lm ，点P 为转轮边缘上任意一点，点P 在x 轴上的垂足为M ，转轮半径为rm ，记以OP 为终边的角为αrad ，点P 离地面的高度为hm ，则（ ）A ．点P 坐标为（r cos α，r sin α）B ．|MT →|=√r 2+l 2 C ．OP →⋅OT →≤lrD ．h ＝l +r sin α12．已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）+B （其中A ，ω，φ，B 均为常数，A ＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则（ ）A ．φ=910π B ．f(x)≤f(43π)C ．f （x ）图象的对称中心为(56kπ−π12，32)(k ∈Z) D ．函数f(x +43π)为偶函数三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．记cos （﹣55°）＝k ，那么tan125°＝ ． 14．写出一个最小正周期为6的奇函数f （x ）＝ ．15．设函数f(x)=cos(ωx −π4)(ω＞0)，若f(x)≤f(π3)对任意的实数x 都成立，则ω的最小值是 ． 16．已知平面向量a →，b →，c →满足，|a →|=|b →|=3，|b →−c →|=2|a →−c →|=6，c →=λa →+μb →(λ＞0，μ＞0)．当λ+μ＝3时，|c →|= ．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）写出两角差的余弦公式，并利用单位圆以及向量的数量积证明该公式．18．（12分）在如图的方格纸（每个小方格边长为1）上有A ，B ，C 三点，已知向量a →以A 为始点． （1）试以B 为始点画出向量b →，使b →⋅a →=2，且|b →|=√2，并求向量b →的坐标；（2）在（1）的条件下，求(a →+b →)⋅BC →．19．（12分）已知向量a →=(cosθ，sinθ)，b →=(−1，√3)，−π2≤θ≤π3． （1）当a →⊥b →时，求θ的值； （2）求|a →−b →|的取值范围．20．（12分）某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：（1）请将如表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并求出函数f （x ）的解析式；（2）先将y ＝f （x ）图象上的所有点，向左平移m （m ＞0）个单位，再把图象上所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的12，得到y ＝g （x ）的图象，若y ＝g （x ）的图象关于直线x =5π24对称，求当m 取得最小值时，函数y ＝g （x ）的单调递增区间．21．（12分）如图，在梯形ABCD 中，AD →=13BC →．（1）令AB →=a →，AC →=b →，用a →，b →表示AD →，BD →，CD →； （2）若AB ＝AD ＝2，且AC →⋅BD →=12，求cos ∠ABC ，|AC →|．22．（12分）定义函数f （x ）＝a sin x +b cos x 的“积向量”为m →=(a ，b)，向量m →=(a ，b)的“积函数”为f （x ）＝a sin x +b cos x ． （1）若向量m →=(a ，b)的“积函数”f （x ）满足f(π7)f(9π14)=tan10π21，求ba的值；（2）已知|m →|=|n →|=2，设OP →=λm →+μn →(λ＞0，μ＞0)，且OP →的“积函数”为g （x ），其最大值为t ，求（t ﹣2）（λ+μ）的最小值，并判断此时m →，n →的关系．2022-2023学年山东省潍坊市、诸城市、安丘市、高密市高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知a →=(1，3)，b →=(x ，6)，若a →∥b →，则x ＝（ ） A ．2B ．﹣2C ．1D ．﹣1解：a →=(1，3)，b →=(x ，6)，a →∥b →，则1×6＝3x ，解得x ＝2． 故选：A ．2．若α是第四象限的角，则π﹣α是（ ） A ．第一象限的角 B ．第二象限的角C ．第三象限的角D ．第四象限的角解：若α是第四象限的角，即：2k π−12π＜α＜2k π，k ∈Z ，所以2k π＜﹣α＜2k π+12π，k ∈Z 2k π+π＜π﹣α＜2k π+3π2k ∈Z 故选：C ．3．如图，航海罗盘将圆周32等分，设圆盘的半径为4，则其中每一份的扇形面积为（ ）A ．2πB ．πC ．π2D ．π4解：圆盘的半径为4，则圆的面积为π×42＝16π，故其中每一份的扇形面积为16π32=π2．故选：C ．4．设e 1→，e 2→是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（ ） A ．e 1→+e 2→和e 1→−e 2→B ．2e 1→−3e 2→和4e 1→−6e 2→C ．e 1→+2e 2→和2e 1→+e 2→D ．e 2→和e 1→+e 2→解：对于ACD ，两个向量均不共线，可以作为基底，对于B ，2e 1→−3e 2→=12（4e 1→−6e 2→），两个向量共线，不符合基底的定义． 故选：B ．5．已知tan α＝2，则sin 2α+sin αcos α的值为（ ） A ．23B ．1C ．45D ．65解：∵tan α＝2，∴sin 2α+sin αcos α=sin 2α+sinαcosαsin 2α+cos 2α=tan 2α+tanαtan 2α+1=4+24+1=65．故选：D ．6．如图，已知OA →，OB →，OC →的模均为4，且∠AOB ＝∠BOC ＝60°，则AC →⋅AB →=（ ）A ．24B ．﹣24C ．8D ．﹣8解：AC →⋅AB →=（OC →−OA →）•（OB →−OA →）=OC →•OB →−OC →•OA →−OA →•OB →+OA →2=4×4×cos60°﹣4×4×cos120°﹣4×4×cos60°+42＝24． 故选：A ．7．如图所示，角α的终边与单位圆在第一象限交于点P ，且点P 的横坐标为35，OP 绕O 逆时针旋转π2后与单位圆交于点Q ，角β的终边在OQ 上，则（ ）A ．sinβ=45 B ．cosβ=−35 C ．cos(α+β)=2425D ．sin(α+β)=−725解：因为角α的终边与单位圆在第一象限交于点P ，且点P 的横坐标为35， 所以由三角函数的定义可得sin α=45，cos α=35，又OP 绕O 逆时针旋转π2后与单位圆交于点Q ，角β的终边在OQ 上，即β＝α+π2，所以sin β＝sin （α+π2）＝cos α=35，故A 错误； cos β＝cos （α+π2）＝﹣sin α=−45，故B 错误；cos （α+β）＝cos αcos β﹣sin αsin β=35×(−45)−45×35=−2425，故C 错误； sin （α+β）＝sin αcos β+cos αsin β=45×(−45)+35×35=−725，故D 正确． 故选：D ．8．已知函数f （x ）＝sin x +sin|x |，则（ ） A ．f （x ）是周期函数B ．f （x ）在区间[π2，3π2]单调递减C ．f （x ）的图象关于直线x =π2对称D ．f （x ）的图象关于点（π，0）对称解：当x ≥0时，f （x ）＝2sin x ，当x ＜0时，f （x ）＝sin x ﹣sin x ＝0，则函数不可能是周期函数，故A 错误，当x ≥0时，f （x ）＝2sin x ，f （x ）在区间[π2，3π2]单调递减，故B 正确， 若f （x ）的图象关于直线x =π2对称，则f （π2+x ）＝f （π2−x ），当x ＝π时，f （3π2）＝f （−π2），即﹣2＝0，不成立，则f （x ）的图象关于直线x =π2对称不正确，故C错误，若f （x ）的图象关于（π，0）对称，则f （π+x ）＝﹣f （π﹣x ），当x =3π2时，f （5π2）＝﹣f （−π2），即2＝﹣0，不成立，则f （x ）的图象关于（π，0）对称不正确，故D 错误， 故选：B ．二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9．下列说法中正确的是（ ）A ．a→|a →|是与非零向量a →共线的单位向量B ．若a →与b →共线，则a →=b →或a →=−b →C ．若|a →|=0，则a →=0→D ．若a →⊥b →，a →⊥c →，则b →∥c →解：A ．a→|a →|是单位向量且与a →共线，A 正确；B ．a →，b →共线时，若b →≠0→，则a →=kb →，B 错误； C ．根据零向量的定义知C 正确；D ．如图，空间向量a →，b →，c →满足a →⊥b →，a →⊥c →，b →与c →不平行，D 错误．故选：AC ．10．设平面向量a →，b →，|a →|=2，|b →|=2，a →在b →方向上的投影向量为c →，则（ ） A ．a →⋅b →的最大值为4 B ．|a →−b →|最大值为2C ．|b →⋅c →|≤4D ．a →⋅b →=a →⋅c →解：设向量a →，b →的夹角为θ，选项A ，a →⋅b →=|a →|•|b →|cos θ＝2×2×cos θ≤4，当且仅当θ＝0°时，等号成立，即A 正确； 选项B ，因为a →⋅b →=4cos θ∈[﹣4，4]，所以|a →−b →|=√a →2−2a →⋅b →+b →2=√4+4−2a →⋅b →=√8−2a →⋅b →≤4，当且仅当a →⋅b →=−4，即θ＝180°时，等号成立，即B 错误；选项C ，因为a →在b →方向上的投影向量为c →，所以c →=|a →|cos θ•b→|b →|=cos θ•b →，所以|b →⋅c →|＝|cos θ•b →•b →|＝|4cos θ|≤4，即C 正确； 选项D ，a →⋅c →=cos θ•a →•b →=a →•b →不恒成立，即D 错误．故选：AC ．11．如图（1）所示的摩天轮抽象成如图（2）所示的平面图形，然后以摩天轮转轮中心为原点，以水平线为x 轴，建立平面直角坐标系，设O 到地面的高OT 为lm ，点P 为转轮边缘上任意一点，点P 在x 轴上的垂足为M ，转轮半径为rm ，记以OP 为终边的角为αrad ，点P 离地面的高度为hm ，则（ ）A ．点P 坐标为（r cos α，r sin α）B ．|MT →|=√r 2+l 2 C ．OP →⋅OT →≤lrD ．h ＝l +r sin α解：选项A ，因为|OP |＝r ，∠POx ＝α，所以点P （r cos α，r sin α），即A 正确； 选项B ，因为PM ⊥x 轴于点M ，所以M （r cos α，0），而T （0，﹣l ），所以MT →=（﹣r cos α，﹣l ），所以|MT →|=√r 2cos 2α+l 2，即B 错误；选项C ，OP →⋅OT →=（r cos α，r sin α）•（0，﹣l ）＝﹣lr sin α≤lr ，当且仅当sin α＝﹣1时，等号成立，即C 正确；选项D ，当α的终边在第一、二象限或y 轴正半轴上时，|MP |＝r sin α，此时h ＝|OT |+|MP |＝l +r sin α； 当α的终边在第三、四象限或y 轴负半轴上时，|MP |＝﹣r sin α，此时h ＝|OT |﹣|MP |＝l +r sin α； 当α的终边在x 轴上时，sin α＝0，此时h ＝|OT |＝l +r sin α， 综上，不管α的终边在何处，都有h ＝l +r sin α，即D 正确． 故选：ACD ．12．已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）+B （其中A ，ω，φ，B 均为常数，A ＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则（ ）A ．φ=910π B ．f(x)≤f(43π)C ．f （x ）图象的对称中心为(56kπ−π12，32)(k ∈Z) D ．函数f(x +43π)为偶函数解：由函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）+B 的部分图象知，{A +B =3−A +B =0，解得A ＝B =32，由T 2=π2−（−π3）=5π6，解得T =5π3，所以ω=2πT =65， 当x =−π3时，f （x ）=32sin[65×（−π3）+φ]+32=3，所以−2π5+φ=π2+2k π，k ∈Z ； 解得φ=9π10+2k π，k ∈Z ； 又因为|φ|＜π，所以φ=9π10，选项A 正确； 由f （x ）=32sin （65x +9π10）+32，计算f （4π3）=32sin （65×4π3+9π10）+32=3，所以f （x ）≤f （4π3），选项B 正确；令65x +9π10=k π，k ∈Z ，解得x =56k π−3π4，k ∈Z ；所以f （x ）图象的对称中心为（56k π−3π4，32），k ∈Z ；选项C 错误；因为f （x +4π3）=32sin[65（x +4π3）+9π10]+32=32cos 65x +32，所以函数f （x +43）为偶函数，选项D 正确． 故选：ABD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．记cos （﹣55°）＝k ，那么tan125°＝ −√1−k 2k．解：∵cos （﹣55°）＝cos55°＝k ，且sin55°＞0， ∴sin55°=√1−cos 255°=√1−k 2，∴tan55°=sin55°cos55°=√1−k2k ，那么tan125°＝tan （180°﹣55°）＝﹣tan55°=−√1−k 2k．故答案为：−√1−k 2k．14．写出一个最小正周期为6的奇函数f （x ）＝ sin π3x （答案不唯一） ． 解：根据题意，要求函数是最小正周期为6的奇函数， 可以考查三角函数，则该函数可以为f （x ）＝sin π3x ，故答案为：sin π3x （答案不唯一）．15．设函数f(x)=cos(ωx −π4)(ω＞0)，若f(x)≤f(π3)对任意的实数x 都成立，则ω的最小值是 34．解：函数f(x)=cos(ωx −π4)(ω＞0)，且f(x)≤f(π3)对任意的实数x 都成立， ∴ω•π3−π4=2k π，k ∈Z ，解得ω＝6k +34，k ∈Z ；又ω＞0，∴ω的最小值为34． 故答案为：34．16．已知平面向量a →，b →，c →满足，|a →|=|b →|=3，|b →−c →|=2|a →−c →|=6，c →=λa →+μb →(λ＞0，μ＞0)．当λ+μ＝3时，|c →|= 3√3 ． 解：如图，作OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →，由题意知，|b →−c →|=6，|a →−c →|＝3，则OA ＝OB ＝3，CA ＝3，CB ＝6， 设直线OC 与直线AB 交点为P ，则OP →∥OC →，且OP →=1OA +(1−t)OB →，t ≠0， 即OA →=1t OP →+t−1t OB →，因为c →=λa →+μb →(λ＞0，μ＞0)，且λ+μ＝3，所以OC →=λOA →+(3−λ)OB →=λ(1t OP →+t−1t )+(3−λ)OB →=λt OP →+(3−λ−λt +λ)OB →=λt OP →+(3−λt )OB →，3−λt =0，即λt=3，所以OC →=3OD →，作OG ⊥AB 于G ，CH ⊥AB 于H ，则△OGP 与△CHP 相似，且相似比为1：2， 所以CH ＝2OG ．设∠OBA ＝θ，则BG ＝3cos θ，OG ＝3sin θ，又OA ＝OB ， 所以AG ＝BG ＝3cos θ，所以CH ＝2OG ＝6sin θ．又6cos θ＝3cos θ+3cos θ＝AG +BG ＝AB ，所以AH ＝0，即点H 与点A 重合，故∠BAC =π2， 所以AB =6cosθ=√BC 2−AC 2=√36−9=3√3，故cosθ=√32，sinθ=12，又△OGP 与△CAP 相似，且相似比为1：2， 于是GP =13AG =cosθ=√32 OG =3sinθ=32， 所以在Rt △OGP 中，OP =√GP 2+OG 2=√3，从而OC =3√3，故|c|=3√3． 故答案为：3√3．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）写出两角差的余弦公式，并利用单位圆以及向量的数量积证明该公式．证明：公式：cos （α﹣β）＝cos αcos β+sin αsin β，由图知，P （cos α，sin α），Q （cos β，sin β），OP →⋅OQ →=(cosα，sinα)⋅(cosβ，sinβ)=cos αcos β+sin αsin β， 又存在k ∈Z ，使得＜OP →，OQ →＞=β−α+2kπ， 所以cos ＜OP →，OQ →＞=cos(α−β)， 因为|OP →|=|OQ →|=1，所以OP →⋅OQ →=|OP →||OQ →|cos ＜OP →，OQ →＞=cos （α﹣β）， 所以cos （α﹣β）＝cos αcos β+sin αsin β．18．（12分）在如图的方格纸（每个小方格边长为1）上有A ，B ，C 三点，已知向量a →以A 为始点． （1）试以B 为始点画出向量b →，使b →⋅a →=2，且|b →|=√2，并求向量b →的坐标； （2）在（1）的条件下，求(a →+b →)⋅BC →．解：（1）由图知，向量a →=（2，0），设b →=（x ，y ）， ∵b →⋅a →=2，∴2x ＝2，x ＝1，∵|b →|=√2，∴1+y 2＝2，∴y ＝±1， 则b →=(1，±1)， 如图，这两个向量b →均满足题意；（2）①若b →=(1，1)，则a →+b →=(3，1)，BC →=(3，−1)，∴(a →+b →)⋅BC →=8， ②若b →=(1，−1)，则a →+b →=(3，−1)，BC →=(3，−1)，∴(a →+b →)⋅BC →=10， 综上，(a →+b →)⋅BC →=8或(a →+b →)⋅BC →=10．19．（12分）已知向量a →=(cosθ，sinθ)，b →=(−1，√3)，−π2≤θ≤π3． （1）当a →⊥b →时，求θ的值； （2）求|a →−b →|的取值范围．解：（1）因为a →⊥b →，所以a →⋅b →=√3sinθ−cosθ=0，得tanθ=√33，又因为−π2≤θ≤π3，所以θ=π6． （2）|a →−b →|=√|a →|2−2a →⋅b →+|b →|2=√1−2(√3sinθ−cosθ)+4=√5−4sin(θ−π6)，因为−π2≤θ≤π3，所以−2π3≤θ−π6≤π6， 所以−1≤sin(θ−π6)≤12， 所以3≤5−4sin(θ−π6)≤9， 所以√3≤|a →−b →|≤3， 故|a →−b →|的取值范围为[√3，3]．20．（12分）某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：（1）请将如表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并求出函数f （x ）的解析式；（2）先将y ＝f （x ）图象上的所有点，向左平移m （m ＞0）个单位，再把图象上所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的12，得到y ＝g （x ）的图象，若y ＝g （x ）的图象关于直线x =5π24对称，求当m 取得最小值时，函数y ＝g （x ）的单调递增区间． 解：（1）根据表中数据，得A ＝2，T =4(5π6−7π12)=π，∴ω＝2， 当x =7π12时，2x +φ＝π，解得φ=−π6，∴f(x)=2sin(2x −π6)． 数据补充完整如下表：（2）将f （x ）图象上所有的点向左平移m （m ＞0）个单位长度，得到y =2sin[2(x +m)−π6]的图象，再把所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的12，得到y ＝g （x ）的图象，∴g(x)=2sin(4x +2m −π6)；∵y ＝g （x ）的图象关于直线x =5π24对称，则x =5π24时，函数取得最值， ∴4×5π24+2m −π6=kπ+π2，k ∈Z ，∴m =kπ2−π12，k ∈Z ， ∵m ＞0，k ＝1时，m min =5π12，此时g(x)=2sin(4x +2π3)， 由2kπ−π2≤4x +2π3≤2kπ+π2，k ∈Z ，可得kπ2−7π24≤x ≤kπ2−π24，k ∈Z ，∴函数y ＝g （x ）的单调递增区间为[kπ2−7π24，kπ2−π24]，k ∈Z ． 21．（12分）如图，在梯形ABCD 中，AD →=13BC →．（1）令AB →=a →，AC →=b →，用a →，b →表示AD →，BD →，CD →； （2）若AB ＝AD ＝2，且AC →⋅BD →=12，求cos ∠ABC ，|AC →|．解：（1）∵AB →=a →，AC →=b →，∴BC →=AC →−AB →=b →−a →则AD →=13BC →=13(b →−a →)=，可得CD →=BD →−BC →=13b →−43a →−(b →−a →)=−13a →−23b →；（2）∵AD →=13BC →，AD ＝2，∴BC ＝6，由AC →⋅BD →=(BC →−BA →)⋅(BA →+13BC →)=−BA →2+23BA →⋅BC →+13BC →2=12，得−22+23×6×2×cos∠ABC +13×62=12，解得cos ∠ABC =12； ∵|BA →|=2，|BC →|=6，且AC →=BC →−BA →，∴|AC →|2=|BC →−BA →|2=|BC →|2+|BA →|2−2BC →⋅BA →=4+36−2×2×6×12=28， 可得|AC →|=2√7．22．（12分）定义函数f （x ）＝a sin x +b cos x 的“积向量”为m →=(a ，b)，向量m →=(a ，b)的“积函数”为f （x ）＝a sin x +b cos x ． （1）若向量m →=(a ，b)的“积函数”f （x ）满足f(π7)f(9π14)=tan10π21，求ba的值；（2）已知|m →|=|n →|=2，设OP →=λm →+μn →(λ＞0，μ＞0)，且OP →的“积函数”为g （x ），其最大值为t ，求（t ﹣2）（λ+μ）的最小值，并判断此时m →，n →的关系．解：（1）若向量m →=(a ，b)的“积函数”f （x ）满足f(π7)f(9π14)=tan10π21，则f （x ）＝a sin x +b cos x ， f （π7）＝a sin π7+b cos π7，f （9π14）＝a sin9π14+b cos9π14=a cos π7−b sin π7，所以f(π7)f(9π14)=asin π7+bcosπ7acos π7−bsinπ7=b a +tan π71−b a ⋅tan π7， 可令tan θ=b a ，f(π7)f(9π14)=tan10π21，即为tan （θ+π7）＝tan10π21，则θ+π7=k π+10π21，即θ＝k π+π3，k ∈Z ， 所以tan θ＝tan π3=√3，即ba =√3；（2）设m →=(2cosα，2sinα)，n →=(2cosβ，2sinβ)，因为OP →=λm →+μn →=(2(λcosα+μcosβ)，2(λsinα+μsinβ))， 所以g （x ）＝2（λcos α+μcos β）sin x +2（λsin α+μsin β）cos x＝2λ（cos αsin x +sin αcos x ）+2μ（cos βsin x +sin βcos x ）＝2λsin （x +α）+2μsin （x +β）， h （x ）＝2λsin （x +α）+2μsin （x +β）≤2λ+2μ， 当且仅当存在x 0使得{x 0+α=2k 1π+π2x 0+β=2k 2π+π2时，等号成立，其中k 1，k 2∈Z ，所以α﹣β＝2（k 1﹣k 2）π，即m →=n →，所以α＝β+2k π，k ∈Z ，所以h （x ）＝2λsin （x +α）+2μsin （x +β）＝2（λ+μ）sin （x +α）≤2（λ+μ）， 所以t ＝2（λ+μ），此时(t −2)(λ+μ)=t(t−2)2=(t−1)22−12，所以当t ＝1时，（t ﹣1）（λ+μ）的最小值为−12．。

山东省潍坊市2020年高一下学期期中数学试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知等差数列满足，，则数列的前10项的和等于（）A . 23B . 95C . 135D . 1382. （2分） (2019高二上·桂林月考) 在中，若，，，则 =（）A .B . 或C .D . 或3. （2分）已知平面向量,且,则（）A .B .C .D .4. （2分）在△ABC中，如果sinA=sinC，B=30°，b=2，则△ABC的面积为（）A . 4B . 1C .D . 25. （2分） (2019高二上·山西月考) 如图，在平行四边形ABCD中，M是BC的中点，且AD=DM，N是线段BD 上的动点，过点作AM的垂线，垂足为H，当最小时，（）A .B .C .D .6. （2分） (2016高一下·广州期中) 等差数列{an} 中，a5＞0，a4+a7＜0，则{an} 的前n项和Sn中最大的项为（）A . S4B . S5C . S6D . S77. （2分） (2018高一下·鹤岗期中) 不解三角形，下列判断中正确的是（）A . 有两解B . 无解C . 有两解D . 有一解8. （2分） (2020高一下·西安期末) 已知，向量在向量上的投影为，则与的夹角为（）A .B .C .D .9. （2分）在中,,则此三角形解的情况是（）A . 一解B . 两解C . 一解或两解D . 无解10. （2分）等差数列的前项和为30,前项和为100,则它的前项和是（）A . 130B . 170C . 210D . 26011. （2分） (2020高三上·浙江月考) 已知中，角，，所对的边分别为，， .已知，，的面积，则的外接圆的直径为（）A .B . 5C .D .12. （2分）在中，，．若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高二上·安徽月考) 已知等比数列满足，，则公比________.14. （1分） (2019高二下·丰台期末) 已知数列的前项和，则 ________.15. （1分）(2017·朝阳模拟) 若平面向量 =（cosθ，sinθ）， =（1，﹣1），且⊥ ，则sin2θ的值是________．16. （1分）(2017·新余模拟) 平面向量与的夹角为，且，则=________．三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分） (2019高一上·双鸭山期末) 已知向量（1）当时,求的值；（2）若为锐角,求的范围.18. （10分） (2018高二上·深圳期中) 已知等差数列{an}的前n项和为Sn ，且a3＝10，S6＝72，bn＝an－30，（1）求通项公式an；（2）求数列{bn}的前n项和Tn的最小值．19. （10分） (2015高三上·河西期中) 已知在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求角B的大小；（2）设向量取最大值时，tanC的值．20. （5分） (2018高三上·鹤岗月考) 已知公差不为0的等差数列的首项,且，，成等比数列.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)记，求数列的前项和.21. （10分） (2019高二下·舟山期末) 已知等比数列的前项和，满足，且成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足，记数列的前项和，求的最大值.22. （10分） (2018高二上·桂林期中) 在中， .（1）求；（2）若，，求， .参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、。