基于比率依赖的两种群捕食者-食饵系统的随机模型的渐近性质
- 格式：pdf
- 大小：281.20 KB
- 文档页数：6
文档推荐
-
食饵—捕食者模型稳定性分析页数:10
-
捕食者-猎物模型简单模拟页数:8
-
捕食者猎物模型页数:2
-
Lotka-Volterra捕食者-猎物模型模拟页数:10
下载文档原格式
合集下载
一类具功能性反应的食饵-捕食者两种群模型的定性分析
０
１ ）当 ６ ＋６ 一６ ≤０ ， ： 。 时 系统 （） ３ 仅有 ２ 个平衡点 Ｄ ００ ， ，）其 中 ： （，） （ 。０ ， 。
４ ）当 ｂ ｂ ＋ 一ｂ ＞ ａ ｂ （ ＋ｂ）时 ， １Ｙ ） Ｂ（ ，。 为系统 （） ３ 不稳 定 的焦 （ ） ． 结 点
『 ＝ ｘ（ 戈 ｇ ）一 （ ）
【 ＝ Ｙ 一ｄ＋ｅ （ ］ ［ ≯ ）
其中 Ｙ ， 分别表示食饵种群与捕食者种群的密度 ， （ ） ｇ ｘ 表示食饵种群的相对增长率 ， （ 为捕食者种 ９ ） ５
群 的捕食 率 ， 也称 功能性 反应 函数 ， ｄ为捕食 者种 群 的死亡率 ， ， ｄ ｅ＞０ ．
ｆ＝６６ ６） Ｐ， 【 １２ ３一 （ 三 ｙ ＋一
＝ ｙ —１ （ ）＝ Ｑ（ ）
（ ３ ）
其 ６ 詈＞，＝ 不 号６ ＞． 中ｔ ＝ ０： 暑 定 ，＝ ０ ６ ｓ
１ 平衡点性态
令
ｆ （，）： （。 ： ｙ ６ ＋６ ｐ 一ｂｘ） ３２ 一 【 （，） （ Ｑ ｙ ：ｙ 一１ ：０ ）
模 型ｎ ： ＝ （ 戈 口一 ｂ。 ， ， ＝ Ｙ 一ｄ＋￣Ｎ ） ｘ ）一 ， Ｙ （ ｅ ； 模 ： ＝ （ 戈 。 ）一 ， ＝＿ ｒｙ一 ２ ；
模型ｂ ： ＝ （ ｏ—ｂ ） ｙ Ｙ＝ｙ 一ｄ＋ｃ ） ａ 函数厂 ） １ 一。， ｘ 一ｃ ， ｘ （ 且 使 （ ＝ 在（ 。 ＋∞） 上为偶
第０ ０ ２月 卷第 期 ２９ 年 １ １
淮 阴师范学 院学报 （ 自然科学 ）
Ｊ Ｕ Ｎ ＬＯ Ａ ＹＮＴ Ａ Ｈ Ｒ Ｏ Ｌ Ｇ Ｎ ｔ ａ Ｓｉ ｃ ） Ｏ Ｒ Ａ ＦＨＵ ＩＩ Ｅ Ｃ Ｅ ＳＣ Ｌ Ｅ Ｅ（ ａｕ ｌ ｃ ｎｅ ｒ ｅ
比率型非自治的两捕食者竞争一食饵模型的概周期解
统 （ ） ２。
１正 概周 期 解 的存在 唯 一 性 和全 局 吸 引性 假设 系 统 （ ） ２ 的各 项 系数 均 为 连 续 非 负 的概 周 期 函数 ， 该 系 统 为 一 个 概 周 期 系 统 。考 虑 概 周 期 则
系统 ＝ ｔ ） 这 里 ｆ ｔ ， ， （ ， Ｅ Ｃ（ ， ， ） Ｒ ＸＳ ＊ Ｒ ） Ｓ － ＝ ｛ Ｉ Ｂ ， （ ， 对 Ｅ Ｓ －关 于 ｔ Ｂ ：Ｉ ＜ ｝ｆ ｔ ） Ｂ
～
２ ３
统 （ ）的解 是 最 终 有 界 的 ， ２ 此外 假 设 存 在 一 个 定 义 在 ，Ｘ Ｓ －Ｘ Ｓ ・， Ｂ ｃ Ｂ。上 的 Ｌａｕ ｏ 函数 Ｖ ｔ ｉ ｎｖ ｐ （， ， ） 满 足 Ｙ， （ ） （１ — Ｙｌ）≤ Ｖ ｔ ， ）≤ ０ ｌ — １ｂ ｌ １ （， Ｙ （１ Ｙｌ） 其 中 ０ ｒ ， １ （ ）和 ｂ ｒ （ ）是连 续 、 定 、 调 增加 的 正 单 函数 ； （ ）ｌＶ ｔ １ Ｙ ）一 Ｖ ｔ ， ２ ｌ≤ Ｋ｛ｌ １ ２ ｌ （， ，１ （ ， Ｙ ）ｌ ２ ｌ
作者简介 ： 梁桂珍 （９４ ）女 ， １６ ・ ， 内蒙古 临河 人 ， 乡学院数学 系副教授 ， 新 硕士 ， 究方 向： 研 生物数学 与数学教育 。
２８ ’
维普资讯
第 ５期
梁桂珍 ： 比率 型 非 自治 的 两 捕 食 者 竞 争 一 食 饵 模 型 的 概 周 期 解
一
口２ ｔ （ ） ｌ（ ） ２ ｔ
瓦
２ ＝ ２
一
（ ） 一ａ （ ）＋ ｔ（ ２ｔ
一
般 的 捕 食一 被 捕 食 模 型 ， 基 于 “ 率 依 赖 ” 应 比 理
论 【 。粗 略地 讲 ， Ｉ 】 即捕 食 者 种 群 的 平 均 增 长 率 应 为食 饵 种群 密 度 与捕 食 者种 群 密度 之 比的 函数 。这
１正 概周 期 解 的存在 唯 一 性 和全 局 吸 引性 假设 系 统 （ ） ２ 的各 项 系数 均 为 连 续 非 负 的概 周 期 函数 ， 该 系 统 为 一 个 概 周 期 系 统 。考 虑 概 周 期 则
系统 ＝ ｔ ） 这 里 ｆ ｔ ， ， （ ， Ｅ Ｃ（ ， ， ） Ｒ ＸＳ ＊ Ｒ ） Ｓ － ＝ ｛ Ｉ Ｂ ， （ ， 对 Ｅ Ｓ －关 于 ｔ Ｂ ：Ｉ ＜ ｝ｆ ｔ ） Ｂ
～
２ ３
统 （ ）的解 是 最 终 有 界 的 ， ２ 此外 假 设 存 在 一 个 定 义 在 ，Ｘ Ｓ －Ｘ Ｓ ・， Ｂ ｃ Ｂ。上 的 Ｌａｕ ｏ 函数 Ｖ ｔ ｉ ｎｖ ｐ （， ， ） 满 足 Ｙ， （ ） （１ — Ｙｌ）≤ Ｖ ｔ ， ）≤ ０ ｌ — １ｂ ｌ １ （， Ｙ （１ Ｙｌ） 其 中 ０ ｒ ， １ （ ）和 ｂ ｒ （ ）是连 续 、 定 、 调 增加 的 正 单 函数 ； （ ）ｌＶ ｔ １ Ｙ ）一 Ｖ ｔ ， ２ ｌ≤ Ｋ｛ｌ １ ２ ｌ （， ，１ （ ， Ｙ ）ｌ ２ ｌ
作者简介 ： 梁桂珍 （９４ ）女 ， １６ ・ ， 内蒙古 临河 人 ， 乡学院数学 系副教授 ， 新 硕士 ， 究方 向： 研 生物数学 与数学教育 。
２８ ’
维普资讯
第 ５期
梁桂珍 ： 比率 型 非 自治 的 两 捕 食 者 竞 争 一 食 饵 模 型 的 概 周 期 解
一
口２ ｔ （ ） ｌ（ ） ２ ｔ
瓦
２ ＝ ２
一
（ ） 一ａ （ ）＋ ｔ（ ２ｔ
一
般 的 捕 食一 被 捕 食 模 型 ， 基 于 “ 率 依 赖 ” 应 比 理
论 【 。粗 略地 讲 ， Ｉ 】 即捕 食 者 种 群 的 平 均 增 长 率 应 为食 饵 种群 密 度 与捕 食 者种 群 密度 之 比的 函数 。这
一类比率依赖型捕食者-食饵模型解的全局渐近性
型 ； 捕 食 模 全局 渐 近 性 ， 代 迭
中 圈 分 类号 ： ７ ． ０１ ５ ８
１ 引言
数 口６ｃ ． ，，＞Ｏ 易知 ， Ｏ ｃ ６ 口 当 ＜ ＜ ， ＜ ｂ
ｆ ，
Ｍ． ａ ｅｊｅ Ｂ ｎ ｒ 在文Ｅ 提 出并 研 究 了如 下 ｅ ＩＩ
收 稿 日期 ：０ １ １ －０ ２ １ －２ ２
其 中ａ ＞Ｏ是 常数 ， 则
ｌ ｐ ａ ｚｔ 口 １ ｎ ） ｉ ｓ ｘ‘ ， ≤ （ｍｉ ｍ ｕｍ ｃ ） ． （ ｉ ｒ ≥口． ｄ
（． 如果 ∞满足 ． ）
作者简介 ： 王宇杰 （ ９５ ）男 ， １８ 一 陕西靖边人 ． 硕士研究生， 主要研究方向为偏微分方程及其应用．
（ｉ 如 果 ∞满足 ） ｒ 一ｄ ‘ （ ） 件ｐ ）口 △ｃ ≥ ∞ ｆ（ （ 一∞ ， ， ≤ ）
Ｊ （ ￡ ∈Ｑ× （ ｏ ） ｚ， ） Ｔ，ｏ ，
票 ０ ∈Ｑｚｏ ｄ ：ｄ一 ， ａ， ， 叩 叩 ｚ ＞
ｕ ｘ， ） ｕ （ ＞ Ｏ， ｘＧ Ｑ， （ Ｏ ＝ ｏ ｚ）
ｖ（ ０） Ｖ （ ＞ ０． ｘ． ＝ ｎ ｚ） ∈Ｑ．
弋、 ｌ ，
ｏｙ
：ｏ （ ｔ ＧＯ ￣ － ｏ ） ，ｚ，） ｆ￣［ ｏ ， Ｔ，
其 中 ｕ ｚ，） ｖ ｘ ｔ分 别 表 示 食饵 和捕 食 （ ￡ 和 （ ，） 者 物种 的密度 ，ｉ Ｒ 是 边 界 ａ ｆＣ ” Ｑ光 滑 的有 界 区域 ， 边 界 ０＂上 的单 位 外法 向量 ， 是 １ １ 正 常数 ｄ 和 ｄ 分 别 是 和 口的 扩 散系 数 ， 。 常
足ａ ＜ｌ （ －ａ （ 一ｃ ＞ｃ时是 （． ） 局 渐 ，１ ） ６ ） １２ 全
中 圈 分 类号 ： ７ ． ０１ ５ ８
１ 引言
数 口６ｃ ． ，，＞Ｏ 易知 ， Ｏ ｃ ６ 口 当 ＜ ＜ ， ＜ ｂ
ｆ ，
Ｍ． ａ ｅｊｅ Ｂ ｎ ｒ 在文Ｅ 提 出并 研 究 了如 下 ｅ ＩＩ
收 稿 日期 ：０ １ １ －０ ２ １ －２ ２
其 中ａ ＞Ｏ是 常数 ， 则
ｌ ｐ ａ ｚｔ 口 １ ｎ ） ｉ ｓ ｘ‘ ， ≤ （ｍｉ ｍ ｕｍ ｃ ） ． （ ｉ ｒ ≥口． ｄ
（． 如果 ∞满足 ． ）
作者简介 ： 王宇杰 （ ９５ ）男 ， １８ 一 陕西靖边人 ． 硕士研究生， 主要研究方向为偏微分方程及其应用．
（ｉ 如 果 ∞满足 ） ｒ 一ｄ ‘ （ ） 件ｐ ）口 △ｃ ≥ ∞ ｆ（ （ 一∞ ， ， ≤ ）
Ｊ （ ￡ ∈Ｑ× （ ｏ ） ｚ， ） Ｔ，ｏ ，
票 ０ ∈Ｑｚｏ ｄ ：ｄ一 ， ａ， ， 叩 叩 ｚ ＞
ｕ ｘ， ） ｕ （ ＞ Ｏ， ｘＧ Ｑ， （ Ｏ ＝ ｏ ｚ）
ｖ（ ０） Ｖ （ ＞ ０． ｘ． ＝ ｎ ｚ） ∈Ｑ．
弋、 ｌ ，
ｏｙ
：ｏ （ ｔ ＧＯ ￣ － ｏ ） ，ｚ，） ｆ￣［ ｏ ， Ｔ，
其 中 ｕ ｚ，） ｖ ｘ ｔ分 别 表 示 食饵 和捕 食 （ ￡ 和 （ ，） 者 物种 的密度 ，ｉ Ｒ 是 边 界 ａ ｆＣ ” Ｑ光 滑 的有 界 区域 ， 边 界 ０＂上 的单 位 外法 向量 ， 是 １ １ 正 常数 ｄ 和 ｄ 分 别 是 和 口的 扩 散系 数 ， 。 常
足ａ ＜ｌ （ －ａ （ 一ｃ ＞ｃ时是 （． ） 局 渐 ，１ ） ６ ） １２ 全
基于比率依赖的两种群捕食者-食饵系统的随机模型
基于 比率依赖 的两种群 捕 食者 一 食饵 系统 的随 机模 型
郭子 君
（ 华南农 业大 学应 用数 学研 究所 ，广 东 广州 ５０４ ） １６２
摘 要 ：研究一类比率依赖的两种群捕食者 一 食饵系统的随机模型。利用随机微分方程理论，通过构造 Ｌａ ｙ—
ｐ ｎｖ 函 ，并结合停时分析 、不等式构造等技巧 ，证 明了比率依赖的两种群捕食者一食饵 随机系统整体解的存 ｕｏ 泛 在唯一性 ，整体解的有 界性与渐近性质。
论 的一个重 要 问题 。众所 周知 ，对于 标准 的两种群 Ｌ ｔａＶ ｈ ｒ ｏｋ — ｏ ｅｒ ａ系统
证 据表 明 ：在许 多情 况下 ，特别 是 当捕食 者不 得不 搜 寻食 物 （ 此 不 得 不 分 享 或 者 竞 争 食 物 ） 时 ， 因
一
｛ ： ： （ ＋ 。 （ ＋ 。 （ ） ｆ ｕ （ ６ 。 。 ） 。 ） ）
Ｇ ＯＺ ｕ Ｕ ｉ ｎ ｊ
（ｎｔｕｅｏ Ａ ｐｉ ａ ｅ ｔ ｓ ＳｕｈＣ ｉａＡ ｒ ｕｉ ｎ ｅｓｙ Ｇ ａｇｈｕ５ ４ ， ｈｎ ） Ｉｓ ｔｔ ｆ ｐ ｌ ｄＭ ｔ ｍａ ｃ ， ｏｔ—ｈｎ ｇｉ ｌｙＵ ｉ ｒｔ ， ｕ ｎ ｚｏ ６ ２ Ｃ ｉ ｉ ｅ ｈ ｉ ｃ ｔ ｖ ｉ １ ０ ａ
关键词 ：捕食者 一 食饵系统 ； ｒ ｎ ｎ Ｂｏ ｉ 运动；随机微分方程；整体解； ｗａ
公式
中 图分 类号 ：Ｏ１．３ １ ． 文献标 志码 ：Ａ 文章 编号 ： ５９ ６７ ２１）０ —０８ ０ ２１ ，０７ ８ ６ ５ ０２ — ５９（００ ２ ０４ —６ Ａ ｔ ｃ ａ ｔｃ Ｍ ｏ ｅｓｏ ｅ ａ ｏ － ｅ ｙ ｔ ｍｅ ｏ ｆＴｗｏ Ｓｐ ｃｅ ｔ ｔｏ Ｄｅ ｎ ｎ ｅ ｅ ｉｓｗｉｈ Ｒａ ｉ — ｐｅ ｄｅ ｃ
一类具有比例依赖型捕食者-食饵扩散模型的定性分析
４ ６
关 时 ，模 型 （ ２ ）所 对应 的反应 扩 散 问题 为 ：
温 州大学学报 ・自然科学版 （ ２ ０ １ ３ ） 第３ ４ 卷第 ３期
詈 一 Ａ ｕ ＝ ｕ （ １ 一 ） 一 Ｕ Ｖ
８ ｖ
一 ，
∈Ｑ ， 一
∈Ｑ ， ｔ ＞０
衡 点 的全 局 渐 近 稳 定 性 ．
关键词 ：捕食者一 食饵模 型；比例依赖；正平衡点 ；全局渐近稳定
中图分类号 ：Ｏ１ ７ ５ ． ２ ６ 文献标 志码 ：Ａ 文章编号 ：１ ６ ７ ４ — ３ ５ ６ ３ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ３ － ０ ０ ４ ５ － ０ ７ 本文的 Ｐ Ｄ Ｆ文件 － － － Ｊ － ￣ Ｘ ． ｔ ， ｋ ｘ ｕ ｅ ｂ ａ ｏ ． Ｗ Ｚ Ｕ ． ｅ ｄ ｕ ． ｃ ｎ获得
，
（ １ ）
则 模 型（ １ ） 约化 为 ：
（ ＿ 南 ， ） ’
一
其 中，
： ， ：一 ｓ ｈ
，
ｍ ： ＿
．
收稿 日期 ：２ ０ １ ２ ． １ ０ ０ ９
基金项 目：甘肃省 自然科学基金 （ １ １ ０ ７ Ｒ Ｊ Ｚ Ａ１ ９ ７ ） ；甘肃省教育厅硕 导项 目（ Ｉ １ ０ ４ 一 Ｉ １ ） 作者简介 ：刘 志琳 （ １ ９ ８ ７ －） ，女 ，甘肃会 宁人 ，硕 士研 究生，研 究方 向：偏微分方程及其应用
Ａｕ ｇ ， ２ ０１ ３
一
类具有 比例依赖型捕食者一 食饵 扩 散模 型 的定 性 分 析
刘志琳 ，张 睿 ，李奋 强 ，苗 亮英
（ 兰州交通大学数理与软件工程学院， 甘肃兰州 ７ ３ ０ ０ ７ ０ ）
摘 要： 应 用线性化方法 、 上 下解 方法和迭代 方法证 明 了具有 比例依 赖型 的捕食者 一 食饵扩散模型正平
比率型3种群捕食模型的持久性与全局渐近稳定性
ｄｉ ｏ ｒ ｉｅ ｏ ｅ ｓｓｅ ｃ ｆｔ ｙ ｔｍ ． ｏ ｓｒ ｃ ｉｇ ａ ｓ ｉａ ｌ ｙ ｐｕ ｏ ｕ ｃｉ ｎ ｌ ｓ ｆｉ ｔ ｎｓａ ｅ ｇｖ ｎ ｆ ｒｐ ｒ ｉｔ ｎ ｅ ｏ ｈｅ ｓ ｓｅ ｉ Ｂｙ ｃ ｎ ｔｕ ｔ ｕ ｔｂ ｅ Ｌ ａ ｎ ｖ ｆ ｎ ｔｏ ａ ， ｕｆ－ ｎ ｃ ｅ ｔｃ ｎ ｉｉｎ ｒ ｅ ｖ ｄ ｆ ｒｔ ｅ ｇ ｏ ａ ｓ ｍｐ ｏ ｉ ｔｂ ｌｔ ｆ ｔ ｏ ｉ ｖ ｑ ｌｂ ｉ ｆｔ ｅ ｓ ｓ ｉｎ ｏ ｄ ｔ ｓ ａ ｅ ｄ ｒ ｅ ｈ ｌｂ ｌａ ｙ ｔ ｔ ｓａ ｉｉ ｏ ｈｅ ｐ ｓｔ ｅ ｅ ｕ ｉ ｒｍｎ ｏ ｈ ｙ — ｏ ｉ ｏ ｃ ｙ ｉ
ＨＵ ＡＮＧ Ｊａ — ｅ ｉｎ ｋ ．Ｗ Ｕ Ｘｉｏｎｎ ａ — ｉｇ
（ ｌａｙ Ｏ ｅａｉｎ ｌＴ ａｈｎ ｎ ｓａｃ ｅ ｔ ｎ， ’ ｎＭｉｔｒ ａ ｅ ， ’ ｎ７ ０ ０ Ｃｈｎ ） Ｍｉ ｔｒ ｐ ｒｔ ａ ｅｃ ｉｇａ ｄ Ｒｅｅ ｒｈＳ ｃｉ Ｘｉ ａ ｌ ａ Ａｃ ｄ ｍｙ Ｘｉａ １ １ ８， ｉａ ｉ ｏ ｏ ｉｙ
Ｐｅ ｓｓ ｅ ｃ ｎｄ Ｇ ｌ ｂ ｌＡｓ ｍ ｐｔ ｔｃ Ｓｔ ｉｉｙ ｆ ｒ Ｔｈ ｅ － ｅ ｉ ｓ ｒ ｉｔ ｎ ｅ ａ ｏ ａ ｙ ｏ ｉ ａｂ ｌｔ ｏ ｒ ｅ Ｓｐ ｃ ｅ
Ｒａ ｉ － ｅ ｅ ｄｅ ｔＰｒ ｄ ｔ ｒ－ ｅ ｏ ｌ ｔｏ－ ｐ ｎ ｎ ｅ ａ ｏ － Ｄ Ｐｒ ｙ Ｍ ｄｅ
在数学 生态 学捕食 理论 中 ， 统 的模 型均假 定 传 捕食者 种群 的平 均捕 食 率 只依赖 于 食 饵种 群 的密 度 ¨ 而 事实 上 ， 个 更 切 合 实 际且 更 一般 的 捕 。， 一 食 者 一食 饵 模 型应 基 于 “比率 依 赖 ” 论 。 近 年 理
ＨＵ ＡＮＧ Ｊａ — ｅ ｉｎ ｋ ．Ｗ Ｕ Ｘｉｏｎｎ ａ — ｉｇ
（ ｌａｙ Ｏ ｅａｉｎ ｌＴ ａｈｎ ｎ ｓａｃ ｅ ｔ ｎ， ’ ｎＭｉｔｒ ａ ｅ ， ’ ｎ７ ０ ０ Ｃｈｎ ） Ｍｉ ｔｒ ｐ ｒｔ ａ ｅｃ ｉｇａ ｄ Ｒｅｅ ｒｈＳ ｃｉ Ｘｉ ａ ｌ ａ Ａｃ ｄ ｍｙ Ｘｉａ １ １ ８， ｉａ ｉ ｏ ｏ ｉｙ
Ｐｅ ｓｓ ｅ ｃ ｎｄ Ｇ ｌ ｂ ｌＡｓ ｍ ｐｔ ｔｃ Ｓｔ ｉｉｙ ｆ ｒ Ｔｈ ｅ － ｅ ｉ ｓ ｒ ｉｔ ｎ ｅ ａ ｏ ａ ｙ ｏ ｉ ａｂ ｌｔ ｏ ｒ ｅ Ｓｐ ｃ ｅ
Ｒａ ｉ － ｅ ｅ ｄｅ ｔＰｒ ｄ ｔ ｒ－ ｅ ｏ ｌ ｔｏ－ ｐ ｎ ｎ ｅ ａ ｏ － Ｄ Ｐｒ ｙ Ｍ ｄｅ
在数学 生态 学捕食 理论 中 ， 统 的模 型均假 定 传 捕食者 种群 的平 均捕 食 率 只依赖 于 食 饵种 群 的密 度 ¨ 而 事实 上 ， 个 更 切 合 实 际且 更 一般 的 捕 。， 一 食 者 一食 饵 模 型应 基 于 “比率 依 赖 ” 论 。 近 年 理
基于比率的三种群捕食模型的稳定性
ｒ， ｔ ｌ ）＝ Ａ １ （ ）＋Ａ２ ２ ｔ Ｊ（ ７ ＼ １ Ｎ１ ｔ １ （ ）＋Ａ ３ （ ） Ｎ １ Ｎ３ ｔ ，
｛ ２ｔ （）＝Ａｌ， ｔ １ ＋Ａ２ ２ｔ ＂ ， ２７（ —ｒ） ２ （ —Ｚ） ｌ Ｊ 、 Ｎ １
Ｌ （ ）＝ Ａ ｌ （ — Ｚ）＋Ａ ３ ３ ｔ—Ｚ ） Ｎ３ ｔ ３ Ｎｌ ｔ ＂ ２ ３Ｎ （ ＂ ， ２
生物种群的持续生存和稳定性是数学生态学捕食理论 的一个重要课题 ． 传统的生态模 型均假定捕食者 种群的平均捕食率只依赖于食饵种群的密度［ ． 而事实上 ， 越来越多的证据表明 ： 一个更切合实际且更一 般的捕食者一 食饵模型应基于“ 比率依赖” 理论 ， 即捕食者种群的平均增长率应为食饵种群密度与捕食者种群 密度之 比的函数 ． 近年来 ， 有不少的文献［ 研究了这类基于 比率型捕食模型． 。 ・ 谭德君在文献［ ］ ５ 中研究 了具
】 ， 】 ．
（ １ ）
初 始条 件为 （ ）＝ ｉｓ ０ ｓ ［ ，］ （）＞０ ｉ＝ ｌ２３ ， ｓ （ ）≥ ， ∈ 一ｒ ０ ， Ｏ （ ，，）ｒ＝ ｍ ｘ ｒ，２ ，ｌｒ 均 为非负 ａ ｛ｌｒ ｝ｒ，２
常数 ， ｉｔ（ ＝ ｌ２３ 分别表示食饵和捕食者的密度，ｌ０ ， ｉ 其中 （） ｉ ，，） ０， ｒ （ ， ｌ２３ 均为正常数． ａ Ｊ＝ ，，） 文 献 ［］中得到 了该 系统 在一定 条件 下是 持续 生存 的 ， 给 出 了在无 时 滞条件 下 系统 （） 平衡 点 的全 ５ 并 １正
有时 滞 和基 于 比率 的三种 群 捕食模 型
ｍｌ ３ ｔ ｌ ｔ Ｊ ３ （ ）＋ （ ） ’
：
！ 兰１ 兰 ！２
１
，
（：：【。 ｉ＿ ｌ ｔ （ 一： ＿ ） ｔ ＋ ｉｌ ） ｉ＿ （＝，【。 ｉｌ＿ ｔ （ 一， ＿ ｌ ） ｔ ＋ ｉ ） ＿
｛ ２ｔ （）＝Ａｌ， ｔ １ ＋Ａ２ ２ｔ ＂ ， ２７（ —ｒ） ２ （ —Ｚ） ｌ Ｊ 、 Ｎ １
Ｌ （ ）＝ Ａ ｌ （ — Ｚ）＋Ａ ３ ３ ｔ—Ｚ ） Ｎ３ ｔ ３ Ｎｌ ｔ ＂ ２ ３Ｎ （ ＂ ， ２
生物种群的持续生存和稳定性是数学生态学捕食理论 的一个重要课题 ． 传统的生态模 型均假定捕食者 种群的平均捕食率只依赖于食饵种群的密度［ ． 而事实上 ， 越来越多的证据表明 ： 一个更切合实际且更一 般的捕食者一 食饵模型应基于“ 比率依赖” 理论 ， 即捕食者种群的平均增长率应为食饵种群密度与捕食者种群 密度之 比的函数 ． 近年来 ， 有不少的文献［ 研究了这类基于 比率型捕食模型． 。 ・ 谭德君在文献［ ］ ５ 中研究 了具
】 ， 】 ．
（ １ ）
初 始条 件为 （ ）＝ ｉｓ ０ ｓ ［ ，］ （）＞０ ｉ＝ ｌ２３ ， ｓ （ ）≥ ， ∈ 一ｒ ０ ， Ｏ （ ，，）ｒ＝ ｍ ｘ ｒ，２ ，ｌｒ 均 为非负 ａ ｛ｌｒ ｝ｒ，２
常数 ， ｉｔ（ ＝ ｌ２３ 分别表示食饵和捕食者的密度，ｌ０ ， ｉ 其中 （） ｉ ，，） ０， ｒ （ ， ｌ２３ 均为正常数． ａ Ｊ＝ ，，） 文 献 ［］中得到 了该 系统 在一定 条件 下是 持续 生存 的 ， 给 出 了在无 时 滞条件 下 系统 （） 平衡 点 的全 ５ 并 １正
有时 滞 和基 于 比率 的三种 群 捕食模 型
ｍｌ ３ ｔ ｌ ｔ Ｊ ３ （ ）＋ （ ） ’
：
！ 兰１ 兰 ！２
１
，
（：：【。 ｉ＿ ｌ ｔ （ 一： ＿ ） ｔ ＋ ｉｌ ） ｉ＿ （＝，【。 ｉｌ＿ ｔ （ 一， ＿ ｌ ） ｔ ＋ ｉ ） ＿
具有比率依赖的食饵-捕食随机模型的分析
ｓ ｍ ｅ ｃ ｎｄ ｔｏ ， ｏ ｌ ｅ ｔ ａ ｈ ｔ ｃ ａ ｔｃ ｍｏ ｌｉ ｒ ｉｔ ｎｔｉ ｅ ｎ． ｓｄｅ ａ ｃ ｄ ｔｏ ｏ ｐ ｃｅ ｏ ｏ ｉｉ ｎｓ ｗｅ ｃ ｎｃｕｄ ｈ ｔｔ ｅ ｓ ｏ ｈ ｓ ｉ ｄｅ Ｓｐｅ ｓｓ ｅ ｎ ｍ ａ Ｂｅ ｉ ｓ。 ｏｎ ｉｉ ｎ ｆ ｒｓ ｅ ｉ ｓ
第３ ６卷 第 ２期 ２１ 年 ４ ０２ 月
南 昌大 学 学 报 （ 科 版 ） 理
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＮａ ｃ ａ ｇ Ｕｎｖ ｒｉ （ ｔ ｒｌＳ ｉｎ ｅ ｏ ｒ ａ ｎ ｈ ｎ ｉｅｓｔ Ｎａｕ ａ ｃｅ ｃ ） ｏ ｙ
Ｖｏ ． ６ Ｎｏ ２ １３ ． Ａｐ ． ０ ２ ｒ２ １
于 是 可 以 用
ａ ｎ＋ １ （ ） ｒ— Ｂ１ ， ｒ＋ ２ （ ） Ｂ２
显 然 ，ｋ 一 。 ） Ｚ（ ＂ 。 是单 调增 加 的。 ｒ ： ｌ 显然 令 。 。 ｉ ， ｍｒ ｋ ≤ ａ Ｓ 下 面 只需 证 明 ｒ ．． 。 。一 。 。 。 如若 不 然 ， 则 了Ｔ＞ ０￡∈ （ ， ） 使得 Ｐ｛。≤ Ｔ｝ ￡ 于是存 在 ， Ｏ１ ， ｒ 。 ＞ 。
摘
要 ： 究 在 随 机 干 扰 下 的具 有 比率 依 赖 的 Ｈｏｌ ｇ Ｉ功 能 反 应 的 食 饵 一捕 食 模 型 。通 过 运 用 随 机 微 分 方 程 比 研 ｌｎ ｌ ｉ Ｉ
较 定 理 和 伊 藤 公 式 ， 明 了 系统 有 唯 一 正 解 并 且 是 随 机 最 终 有 界 的 ， 证 明 了 系 统 在 一 定 的 条 件 下 ， 平 均 持 久 证 也 是 的 。除此 之外 ， 得 到 了系 统 趋 于 灭 绝 的 条 件 。最 后 通 过 数 值 模 拟 验 证 了 所 得 理 论 结 果 的 正 确 性 。 还 关键词 ： 比率 依 赖 的食 饵 一捕 食 模 型 ； 随机 干扰 ； 机 最 终 有 界 ； 均 持 久 ； 绝 随 平 灭
第３ ６卷 第 ２期 ２１ 年 ４ ０２ 月
南 昌大 学 学 报 （ 科 版 ） 理
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＮａ ｃ ａ ｇ Ｕｎｖ ｒｉ （ ｔ ｒｌＳ ｉｎ ｅ ｏ ｒ ａ ｎ ｈ ｎ ｉｅｓｔ Ｎａｕ ａ ｃｅ ｃ ） ｏ ｙ
Ｖｏ ． ６ Ｎｏ ２ １３ ． Ａｐ ． ０ ２ ｒ２ １
于 是 可 以 用
ａ ｎ＋ １ （ ） ｒ— Ｂ１ ， ｒ＋ ２ （ ） Ｂ２
显 然 ，ｋ 一 。 ） Ｚ（ ＂ 。 是单 调增 加 的。 ｒ ： ｌ 显然 令 。 。 ｉ ， ｍｒ ｋ ≤ ａ Ｓ 下 面 只需 证 明 ｒ ．． 。 。一 。 。 。 如若 不 然 ， 则 了Ｔ＞ ０￡∈ （ ， ） 使得 Ｐ｛。≤ Ｔ｝ ￡ 于是存 在 ， Ｏ１ ， ｒ 。 ＞ 。
摘
要 ： 究 在 随 机 干 扰 下 的具 有 比率 依 赖 的 Ｈｏｌ ｇ Ｉ功 能 反 应 的 食 饵 一捕 食 模 型 。通 过 运 用 随 机 微 分 方 程 比 研 ｌｎ ｌ ｉ Ｉ
较 定 理 和 伊 藤 公 式 ， 明 了 系统 有 唯 一 正 解 并 且 是 随 机 最 终 有 界 的 ， 证 明 了 系 统 在 一 定 的 条 件 下 ， 平 均 持 久 证 也 是 的 。除此 之外 ， 得 到 了系 统 趋 于 灭 绝 的 条 件 。最 后 通 过 数 值 模 拟 验 证 了 所 得 理 论 结 果 的 正 确 性 。 还 关键词 ： 比率 依 赖 的食 饵 一捕 食 模 型 ； 随机 干扰 ； 机 最 终 有 界 ； 均 持 久 ； 绝 随 平 灭
一类具时滞和比率依赖的捕食-食饵模型2个周期解存在性
一类具时滞和比率依赖的捕食-食饵模型2个周期解存在性吴书韬;梁峰【摘要】In this paper,the authors studies the existence of two periodic solutions for a generalized delayed ratio-dependent predator-prey model with Holling type III functional response:dx(t)dt =x(t)[r1(t)-a(t)x(t-τ1(t))-b(t)∫-t∞k(t-s)x(s)ds]- c1(t)x(t)y2(t)m2 y2(t)+x2(t) dy(t)dt =y(t)[-r2(t)+mc2(t)x(t-τ2(t))y(t-τ2(t))2y2(t-τ2(t))+x2(t-τ2(t))]. By applying Mawhin′s continuation theorem,some new results on the existence of two positive periodic solu⁃tions are obtained.An example is represented to illustrate the feasibility of our main result.%研究一类带有HollingIII型反应函数的捕食-食饵模型 dx(t)dt =x(t)[r1(t)-a(t)x(t-τ1(t))-b(t)∫-t∞k(t-s)x(s)ds]-c1(t)x(t)y2(t)m2 y2(t)+x2(t)， dy(t)dt =y(t)[-r2(t)+mc2(t)x(t-τ2(t))y(t-τ2(t))2y2(t-τ2(t))+x2(t-τ2(t))]。
运用重合度拓展定理，证明其存在2个正周期解。
并举一个实例验证结论的可行性。
【期刊名称】《淮北师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2016(037)004【总页数】7页(P15-21)【关键词】周期解;Mawhin重合度拓展定理;时滞;捕食-食饵模型;比率依赖【作者】吴书韬;梁峰【作者单位】安徽师范大学数学计算机科学学院，安徽芜湖 241003;安徽师范大学数学计算机科学学院，安徽芜湖 241003【正文语种】中文【中图分类】O175由于捕食和食饵的普遍存在性和重要性，它们之间的动态平衡问题一直是生态学和数学生态学中一个重要研究课题.前些年，传统捕食-食饵模型被广泛研究［1-3］.现阶段，由文献［4-6］知，存在更直接的生物学和生理学证据，其表明在许多情形下，尤其是捕食者之间不得不存在竞争或分享食物时，应该在基于比率的情形下，建立一个更具一般性的捕食-食饵模型［7-8］.许多研究者已经研究带有或不带时滞的基于比率依赖的捕食-食饵模型，并且研究了它们的动力学性质［9-19］.鉴于实际问题的周期性，文献［18］研究了带有时滞和基于比率的捕食-食饵模型的周期解存在问题：在（1）式中加入HollingIII反应函数，文献［19］研究了具有时滞和HollingIII型基于比率的捕食-食饵模型的周期解问题：然而，对此类系统的带有2个周期解存在性的研究结果相对较少.受以上研究结果启发，在本文中，我们研究具有时滞和HollingIII型基于比率的捕食-食饵模型的2个周期解存在性问题：在这里，a,b,c1,c2，r1，r2，τ1，τ2是周期为T的连续非负周期函数，m＞0，K(s):R+→R+是可测函数，且满足.这里r1(t)代表食饵的内禀增长率，m代表半捕捉饱和常数，r2(t)代表捕食者死亡率，c1(t)和c2(t)代表转化率；函数代表在没有捕食者时食饵的比生长速率；x2(t)/(m2y2(t)+x2(t))代表捕食者反应函数（反映了捕食者的捕食能力）.运用Mawhin重合度拓展定理［20］，本文证明系统（3）存在2个正周期解.令X，Y是Banach空间，L:Dom L⋂X→Y是线性映射，N:X→Y是一个连续映射.如果L为指标为零的Fredholm映射且存在连续投影P:X→X，及Q:Y→Y使得ImP=Ker L，Ker Q=Im L=Im(I-Q)，则L|DomL⋂KerP:(I-P)X→Im L是可逆的.设其逆映射为 Kp.如果Ω是 X中的有界开集，有界且Kp(I-Q):是紧的,则称 N在是 L-紧的.由于 Im Q与 Ker L同构，故存在同构映射J:Im Q→Ker L.下面的Mawhin重合度拓展定理是证明本文结论的主要工具.例1 在系统（3）中，令则可得那么可验证（h1）和（h2）成立.因此，由定理1，可知系统（3）至少有2个不同的正周期解.注2 由于只有相对较少的文献考虑具有时滞和HollingIII型基于比率的捕食-食饵模型的多个周期解问题，所以本文结果相对来说是较为新颖的.【相关文献】［1］ZHANG Zhengqiu，HOU Zhenting，WANG Li.Multiplicity of positive periodic solutions to a generalized delayed predatorprey system with stocking［J］.Nonlinear Anal，2008，68：2608-2622.［2］DING Xiaoquan，JIANG Jifa.Positive periodic solutions in delayed Gause-type predator-prey systems［J］.J Math Anal Ap⁃pl，2008，339：1220-1230.［3］HU Xiaoling，LIU Guirong，YAN Jurang.Existence of multiple positive periodic solutions of delayed predator-prey models with functional responses［J］.Comput Math Appl，2006，52：1453-1462.［4］KUANG Y，BERETTA E.Global qualitative analysis of a ratio-dependent predator-prey system［J］.J Math Biol，1998，36：389-406.［5］JOST C，ARINO O，ARDITI R.About deterministic extinction in ratio-dependent predator-prey models［J］.Bull Math Bi⁃ol，1999，61：19-32.［6］HSU S，HWANG T，KUANG Y.Global dynamics of a predator-prey model with Hassell-Varley type functional response［J］.J Math Biol，2008，10：1-15.［7］HANSKI I.The functional response of predator：worries bout scale［J］.TREE，1991，6：141-142.［8］ARDITI R，PERRIN N，SAIAH H.Functional response and heterogeneities：an experiment test with cladocerans［J］. OIKOS，1991，60：69-75.［9］LIU Xiangsen，LI Gang，LUO Guilie.Positive periodic solution for a two-speciesratio-dependent predator-prey system with time delay and impulse［J］.J Math Anal Appl，2007，325：715-723.［10］SAHA T，BANDYOPADHYAY M.Dynamical analysis of a delayed ratio-dependent prey-predator model within fluctuat⁃ing environmen［tJ］.Appl Math Comput，2008，196：458-478.［11］XIAO Dongmei，LI Wenxia，HAN Maoan.Dynamics in a ratio-dependent predator-prey model with predator harvesting［J］.J Math Anal Appl，2006，324：14-29.［12］RYU K，AHN I.Positive solutions for ratio-dependent predator-prey interaction systems［J］.J Differential Eqns，2005，218：117-135.［13］DAI Binxiang，ZHANG Na，ZOU Jiezhong.Permanence for the Michaelis-Menten type discrete three-species ratio-depen⁃dent food chain model with delay［J］.J Math Anal Appl，2006，324：728-738.［14］AKHMET M，BEKLIOGLU M，ERGENC T，et al.An impulsive ratio-dependent predator-prey system with diffusion［J］. Nonlinear Anal RWA，2006，7：1255-1267. ［15］FAN Yonghong，LI Wantong.Global asymptotic stability of a ratio-dependent predator-prey system with diffusion［J］.J Comput Appl Math，2006，188：205-227. ［16］DEANGELIS D，HOLLAND J.Emergence of ratio-dependent and predator-dependent functional responses for pollination mutualism and seed parasitism［J］.Ecol Model，2006，191：551-556.［17］WANG Mingxin.Stationary patterns for a prey-predator model with prey-dependent and ratio-dependent functional re⁃sponses and diffusion［J］.Phys D：Nonlinear Phenom，2004，196：172-192.［18］FAN Meng，WANG Ke.Periodicity in a delayed ratio-dependent predator-prey system［J］.J Math Anal Appl，2001，262：179-190.［19］WANG Linlin，LI Wantong.Periodic solutions and permanence for a delayed nonautonomous ratio-dependent predatorprey model with Holling type functional response［J］.J Comput Appl Math，2004，162：341-357.［20］GAINES R，MAWHIN J.Coincidence degree and nonlinear differential equations，Lecture notes in math［M］.Berlin：Springer，1977.。
一类具有比率依赖的Holling Ⅳ和Leslie型捕食-食饵模型
一类具有比率依赖的Holling Ⅳ和Leslie型捕食-食饵模型孙凤欣;林怡平
【期刊名称】《宁波工程学院学报》
【年(卷),期】2007(019)004
【摘要】本文考虑一类简化的具有比率依赖的Holling Ⅳ和Leslie型捕食-食饵模型.针对参数的特定值,证明了模型具有不稳定焦点,其附近有稳定极限环.并又在三个参数中选定了分支参数,当分支参数取值在小邻域内扰动时,模型出现Hopf分支.文中最后给出了数值模拟来说明这些结论.
【总页数】5页(P37-41)
【作者】孙凤欣;林怡平
【作者单位】昆明理工大学,云南,昆明,650093;昆明理工大学,云南,昆明,650093【正文语种】中文
【中图分类】O211
【相关文献】
1.一类Holling Ⅲ-leslie型捕食-食饵系统的全局稳定性 [J], 洪欢;王芳
2.一类比率依赖的Holling-Leslie捕食-食饵模型的全局分歧 [J], 杨文彬;李艳玲
3.双时滞比率依赖Holling-Ⅳ和Leslie型捕食-食饵系统的Hopf分支 [J], 郑宗剑
4.一类具有修正Leslie-Gower和Holling-ty pe Ⅲ型的时滞食饵捕食模型的周期解与持久性 [J], 王利波;徐瑰瑰
5.一类比率依赖具有Holling-III的捕食者-食饵系统的参数分析 [J], 严彬
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
Ｍａ ｖ ２ ０１ ３
一
基 于 比率依 赖 的 两 种群 捕 食者 食饵 系统的随机模型的渐 近性质
史 超 ，谭 杨 ，郭子君
（ １ ． 华 南农 业 大 学应 用数 学研 究所 ，广 东 广 州 ５ １ ０ ６ ４ ２ ； ２ ．铜仁职业技术学院，贵州 铜仁 ５ ５ ４ ３ ０ ０ ）
得 到 了很多 研究 成果 。对 于这 个系统 ，如果 其 中的 ａ １ ２＞０， ａ ２ １＜０，这就是 标准 的 Ｌ ｏ ｔ ｋ ａ － Ｖ ｏ ｈ ｅ ｒ ｒ ａ 型 捕
存一直以来都是一个很 受关注 的重要问题。 自从
ｅ ｑ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｃ ｏ ｎ ｓ ｔ ｒ ｕ ｃ ｔ ｓ ｓ ｔ ｏ ｃ ｈ ａ ｓ ｉ ｔ ｃ ｍ ｏ ｄ ｅ ｌ ｓ ，ｔ ｈ ｅ Ｖ ｆ ｕ ｎ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ，ｓ ｔ ｏ ｐ ｐ ｉ ｎ ｇ ｔ ｉ ｍｅ ， ｓ ｏ ｍ ｅ ｉ ｎ ｅ ｑ ｕ ａ ｈ ｉ ｅ ｓ ａ ｎ ｄ Ｉ ｆ ） ｆ ｏ ｒ ｍ ｕ ｌ ａ ．
Ｋｅ ｙ ｗｏ ｒ ｄ ｓ ：ｐ ｒ ｅ ｄ ａ ｔ ｏ ｒ — ｐ ｒ ｅ ｙ ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍ； ｓ ｔ ｏ ｃ ｈ ａ ｓ ｔ ｉ ｃ ｄ ｉ ｆ ｆ ｅ ｒ ｅ ｎ ｔ ｉ ａ ｌ ｅ ｑ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ；Ｉ ｔ ３ ｆ ｏ ｍｕ ｒ ｌ ａ ；ｓ ｔ ｏ ｃ ｈ ａ ｓ ｔ ｉ ｃ ｕ ｌ ｔ ｉ ｍ ａ ｔ ｅ
摘 要 ：在考虑有随机干扰的情况下， 对基于比率依赖的两种群捕食者 一 食饵系统的性质进行了研究。首先通
过随机微分方程理论建立此 系统的随机模型 ，并利用构造 函数 ，结合停时 、常用不等式 、Ｉ 公式等技 巧和方
法对此系统的性质进行了讨论。最后 ， 在假设条件下，得到了基于比率依赖的两种群捕食者 一 食饵系统的随机
第５ ２卷 ２ ０ １ ３年
第 ３期 ５月
中Ｅ Ｎ Ｔ Ｉ Ａ Ｒ Ｕ Ｍ Ｎ Ａ Ｔ Ｕ Ｒ Ａ Ｌ Ｉ Ｕ Ｍ Ｕ Ｎ Ｉ Ｖ Ｅ Ｒ Ｓ Ｉ Ｔ Ａ Ｔ Ｉ Ｓ Ｓ Ｕ Ｎ Ｙ Ａ Ｔ Ｓ Ｅ Ｎ Ｉ
Ｖｏ １ ． ５ ２ Ｎ ｏ ． ３
最终有界 、解 的渐 近矩估计 和轨道估 计等性质。
关 键词 ：捕食者 一 食饵系统；随机微分方程；Ｉ ｔ ６ 公式 ；随机最终有界；渐近矩估计；轨道估计 中图分 类号 ：０ ２ １ １ ． ６ ３ ，０ １ ７ ５ ． ８ 文献标 志 码 ：Ａ 文章 编 号 ：０ ５ ２ ９ — ６ ５ ７ ９（ ２ ０ １ ３ ）０ ３ — ０ ０ ６ ７ — ０ ６
Ｓ Ｈ Ｉ Ｃ ｈ ａ ｏ ，Ｔ Ａ Ｎ Ｙ ａ ｎ ｇ ， Ｇ Ｕ Ｏ Ｚ ｉ ｊ ｕ ｎ
（ １ ．Ｉ ｎ ｓ ｔ ｉ ｔ ｕ ｔ ｅ ｏ ｆ Ａ ｐ ｐ ｌ ｉ ｅ ｄ Ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍ ａ ｔ ｉ ｃ ｓ ， Ｓ ｏ ｕ ｔ ｈ － Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ Ａ ｇ ｒ ｉ ｃ ｕ ｌ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ，Ｇ ｕ ａ ｎ ｇ ｚ ｈ ｏ ｕ ５ １ ０ ６ ４ ２ ， Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ；
Ａｓ ｙ ｍｐ ｔ ｏ ｔ ｉ ｃ Ｂｅ ｈ ａ ｖ ｉ ｏ ｒ ｏ ｆ ａ Ｓ ｔ ｏ ｃ ｈ ａ ｓ ｔ ｉ ｃ Ｍｏ ｄ ｅ ｌ ｓ ｏ ｎ Ｐｒ ｅ ｄａ ｔ ｏ ｒ － ｐｒ ｅ ｙ
Ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍ ｏ ｆ Ｔｗｏ Ｓ ｐ ｅ ｃ ｉ ｅ ｓ ｗｉ ｔ ｈ Ｒａ ｔ ｉ ｏ － ｄ ｅ ｐ ｅ ｎ ｄ ｅ ｎ ｃ ｅ
ｂｏ ｕ ｎ ｄｅ ｄ ｎ ｅ ｓ ｓ；ａ ｓ ｙ ｍｐ ｔ ｏ ｔ ｉ ｃ ｍｏ ｍｅ ｎ ｔ ｅ ｓ ｔ ｉ ｍａ ｔ ｉ ｏ ｎ；ｐ ａ ｔ ｈ ｗｉ ｓ ｅ ｅ ｓ ｔ ｉ ｍａ ｔ ｉ ｏ ｎ
生 物种 群 的状态 特征 分析 是数 学生 态学 的 中心 工 作之 一 。在数 学生 态学 的研 究 中 ，种 群 的持续 生
２ ． Ｔ ｏ ｎ ｇ ｒ ｅ ｎ Ｐ ｏ ｌ ｙ ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｉ ｃ Ｃ ｏ ｌ ｌ ｅ ｇ ｅ ， Ｔ ｏ ｎ ｇ ｒ ｅ ｎ ５ ５ ４ ３ ０ ０， Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ）
Ａｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ：Ａ ｓ ｔ ｏ ｃ ｈ ａ ｓ ｉ ｔ ｃ ｍｏ ｄ ｅ ｌ ｓ ｏ ｎ ｐ ｒ ｅ ｄ ａ ｔ ｏ ｒ — ｐ ｒ ｅ ｙ ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍ ｏ ｆ ｔ ｗ ｏ ｓ ｐ ｅ ｃ ｉ ｅ ｓ ｗ ｉ ｔ ｈ ｒ ａ ｔ ｉ ｏ — ｄ ｅ ｐ ｅ ｎ ｄ ｅ ｎ ｃ ｅ ｉ ｓ ｓ ｔ ｕ ｄ ｉ ｅ ｄ ． Ｔ ｈ ｅ ｐ ｒ ｏ ｐ ｅ ｒ ｔ ｙ ｏ ｆ ｓ ｔ ｏ ｃ ｈ ａ ｓ ｔ ｉ ｃ ｕ ｌ ｔ ｉ ｍａ ｔ ｅ ｂ ｏ ｕ ｎ ｄ ｅ ｄ ｎ ｅ ｓ ｓ ，ｔ ｈ ｅ ａ ｓ ｙ ｍｐ ｔ ｏ ｔ ｉ ｃ ｍｏ ｍｅ ｎ ｔ ｅ ｓ ｔ ｉ ｍａ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｎ ｄ ｔ ｈ ｅ ｐ ａ ｔ ｈ ｗ ｉ ｓ ｅ ｅ ｓ ｔ ｉ — ｍａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｇ ｌ ｏ ｂ ａ ｌ ｓ ｏ ｌ ｕ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｒ ｅ ｓ ｔ ｕ ｄ ｉ ｅ ｄ ｂ ｙ ｉ ｆ ｖ ｅ ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｉ ｑ ｕ ｅ ｓ ，ｉ ｎ ｃ ｌ ｕ ｄ ｉ ｎ ｇ ｔ ｈ ｅ ｔ ｈ ｅ ｏ ｒ ｙ ｏ ｎ ｓ ｔ ｏ ｃ ｈ ａ ｓ ｔ ｉ ｃ ｄ ｉ ｆ ｆ ｅ ｒ ｅ ｎ ｔ ｉ ａ ｌ