捕食者-猎物模型简单模拟

《Lotka-Volterra系统的辛几何算法》篇一一、引言Lotka-Volterra系统，又称为捕食者-猎物模型，是一种广泛用于描述生物种群动态关系的数学模型。

在生物学、生态学以及物理等多个领域有着广泛应用。

而辛几何算法是一种适用于大规模系统求解的数值方法，其特点在于能够保持系统的辛结构，从而在长时间模拟中保持较高的精度。

本文将探讨Lotka-Volterra系统的辛几何算法应用及其特点。

二、Lotka-Volterra系统Lotka-Volterra系统是一个描述两个物种（捕食者和猎物）之间相互作用的数学模型。

该模型通常以一组非线性微分方程的形式表示，可以用于研究物种间的竞争、共生等关系。

这个系统是动态的，并且在特定条件下可以表现出周期性、混沌等复杂行为。

三、辛几何算法概述辛几何算法是一种基于辛几何结构的数值算法。

它能够有效地解决大规模非线性系统的求解问题，并保持系统的辛结构，从而在长时间模拟中保持较高的精度。

这种算法特别适用于描述物理系统中的哈密顿动力学和辛几何结构。

四、Lotka-Volterra系统的辛几何算法应用针对Lotka-Volterra系统，我们可以采用辛几何算法进行求解。

首先，将Lotka-Volterra系统的微分方程转化为哈密顿形式，然后利用辛几何算法进行求解。

通过这种方法，我们可以在长时间模拟中保持高精度，并观察到系统动态行为的变化。

在应用辛几何算法求解Lotka-Volterra系统时，需要注意以下几点：1. 模型的建立：将Lotka-Volterra系统的微分方程转化为哈密顿形式是关键步骤。

这需要我们对系统有深入的理解，并选择合适的变量和参数。

2. 算法的选择：根据问题的特点和需求，选择合适的辛几何算法进行求解。

这包括选择适当的迭代方法和步长等参数。

3. 模拟的精度和效率：在求解过程中，要平衡模拟的精度和效率。

既要保证足够的精度以观察到系统的动态行为，又要避免过度计算导致的效率损失。

netlogo仿真作业NetLogo是一个多代理仿真建模环境，可用于模拟自然和社会现象。

下面是一个简单的NetLogo仿真作业示例，假设我们正在模拟一个生态系统中捕食者和猎物的行为。

作业要求：1. 使用NetLogo创建一个简单的捕食者和猎物模型。

2. 捕食者（predator）和猎物（prey）都有一定的生命值（health）。

3. 捕食者会尝试攻击猎物，每次攻击会消耗一定的生命值。

4. 猎物可以逃跑（escape），成功逃跑可以恢复一定的生命值。

5. 模拟运行一段时间后，查看并分析捕食者和猎物的数量变化。

操作步骤：1. 打开NetLogo，创建一个新的模型。

2. 在模型中添加两个类：捕食者和猎物。

3. 为每个类设置属性：位置（xcor, ycor）、速度（pxcor, pycor）、生命值（health）。

4. 为每个类编写代码：捕食者代码应包括攻击和追逐猎物的行为；猎物代码应包括逃跑的行为。

5. 运行模型，观察并记录结果。

6. 分析结果，总结经验教训。

示例代码：捕食者代码：```netlogoto attack-prey [target]if target != nobody and predator-distance [target] < attack-distance [target][ set health (health - target-health)if target = nobody [ set target one-of prey ]face targetfd (speed ) ]end```猎物代码：```netlogoto escape [target]if target != nobody and prey-distance [target] < escape-distance [target][ set health (health + escape-health)rt random-angle ]end```注意事项：在编写代码时，要确保逻辑正确，避免出现无限循环等问题。

两类非线性生物种群模型的动力学研究两类非线性生物种群模型的动力学研究摘要：生物种群的数量与其环境之间的相互作用是生态系统中一个重要的动态过程。

为了更好地理解生物种群数量的变化规律，许多数学模型被应用于生态学领域。

本研究聚焦于两类非线性生物种群模型的动力学研究，分别为捕食者-猎物模型和竞争模型。

通过对这两类模型的分析，我们可以更好地理解生物种群数量的演变过程。

一、捕食者-猎物模型捕食者-猎物模型是一种描述捕食者与猎物之间相互作用的模型。

在这种模型中，捕食者的数量受到猎物数量的影响，而猎物的数量则受到捕食者的掠食行为的影响。

常见的捕食者-猎物模型包括Lotka-Volterra模型和Holling模型。

Lotka-Volterra模型是最早被提出的捕食者-猎物模型之一，它假设猎物的增长率与捕食者的消耗率成正比，而捕食者的减小率与猎物的提供率成正比。

该模型可以通过一组常微分方程来描述捕食者和猎物数量的变化。

在此基础上，研究者们在模型中引入了时间滞后、空间效应等因素，进一步改进了Lotka-Volterra模型。

Holling模型则是对Lotka-Volterra 模型的改进，考虑到了猎物种群的饥饿和捕食者的饱食程度对捕食行为的影响。

研究表明，捕食者-猎物模型的动力学行为非常丰富。

通过数值模拟和理论分析，我们可以发现捕食者和猎物之间的数量周期性变化，甚至出现混沌现象。

此外，环境因素的改变也会对捕食者-猎物系统的动态行为产生重要影响。

例如，环境的周期性变化、捕食者和猎物之间的适应性进化等因素，都会导致捕食者-猎物系统的行为发生变化。

二、竞争模型竞争模型是用于描述不同种群之间资源竞争的模型。

在这种模型中，资源的有限性限制了不同种群的数量增长，从而导致竞争的发生。

常见的竞争模型包括Ricker模型、Tilman模型等。

Ricker模型是一种描述种群数量变化的离散动力学模型，它假设种群的增长率与种群数量呈指数关系。

L o t k a-–-V o l t e r r a-捕食者-–-猎物模型模拟基础生态学实验Lotka – Volterra 捕食者–猎物模型模拟姓名王超杰学号 201311202926实验日期 2015年5月14日同组成员董婉莹马月娇哈斯耶提沈丹一、【实验原理】Lotka-Volterra捕食者-猎物模型是对逻辑斯蒂模型的延伸。

它假设：除不是这存在外，猎物生活于理想环境中（其出生率与死亡率与种群密度无关）；捕食者的环境同样是理想的，其种群增长只收到可获得的猎物的数量限制。

本实验利用模拟软件模拟Lotka-Volterra捕食者-猎物模型，并以此研究该模型的规律特点。

捕食者—猎物模型简单化假设：①相互关系中仅有一种捕食者和一种猎物。

②如果捕食者数量下降到某一阀值以下，猎物数量种数量就上升，而捕食者数量如果增多，猎物种数量就下降，反之，如果猎物数量上升到某一阀值，捕食者数量就增多，而猎物种数量如果很少，捕食者数量就下降。

③猎物种群在没有捕食者存在的情况下按指数增长，捕食者种群在没有猎物的条件下就按指数减少。

因此有猎物方程：dN/dt=r1N-C1 PN；捕食者方程：dP/dt=-r2P+C2PN。

其中N和P分别指猎物和捕食者密度，r1 为猎物种群增长率，-r2为捕食者的死亡率，t为时间，C1为捕食者发现和进攻猎物的效率，即平均每一捕食者捕杀猎物的常数，C2为捕食者利用猎物而转变为更多捕食者的捕食常数。

Lotka-Volterra捕食者-猎物模型揭示了这种捕食关系的两个种群数量动态是此消彼长、往复振荡的变化规律。

二、【实验目的】在掌握Lotka-Volterra 捕食者-猎物模型的生态学意义与各参数意义的基础上，通过改变参数值的大小，在计算机模拟捕食者种群与猎物种群数量变化规律，从而加深对该模型的认识。

三、【实验器材】Windows 操作系统对的计算平台，具有年龄结构的种群增长模型的计算机模拟运行软件Populus。

基础生态学实验Lotka-Volterra捕食者-猎物模型模拟【实验原理】dN/dt=r1N-C1NP 猎物种群动态dP/dt=-r2N+C2NP 捕食者种群动态N：猎物的密度r1：猎物种群的增长率C1：捕食者发现和进攻猎物的效率，即平均每一捕食者捕食猎物的常数P：捕食者密度-r2：捕食者在没有猎物时的条件下的死亡率C2：捕食者利用猎物而转变为更多捕食者的捕食常数【实验目的】在掌握Lotka-Volterra 捕食者-猎物模型的生态学意义与各参数意义的基础上，通过改变参数值的大小，在计算机模拟捕食者种群与猎物种群数量变化规律，从而加深对该模型的认识。

【实验器材】1、计算机2、模拟运行软件3、种群生物学模拟软件包（Populus），5.5 版本，美国明尼苏达大学【实验步骤】设置初始值，之后保持N0、P0不变，分别改变d2、g、r1、c的大小（具体数据见下表），观察记录每组数据下捕食者-猎物模型中两种群密度变化情况，与对照组进行比较。

实验数据设置记录表【实验结果与分析】Part I 研究捕食者-猎物模型中两种群密度变化情况与捕食者死亡率（d）的关系图1.1 对照组捕食者—猎物模型种群密度随时间变化的图（d=0.2）图1.2 实验组1捕食者—猎物模型种群密度随时间变化的图（d=0.3）图1.3 对照组捕食者—猎物模型种群密度图（d=0.2）图1.4实验组1捕食者—猎物模型种群密度图（d=0.3）表1研究种群密度变化情况与d的关系实验数据记录表由以上图表可知：捕食者死亡率d增长对猎物种群密度变化的影响反而要大于其对捕食者种群密度的变化。

d减小，可见猎物种群密度明显增加，且两者种群密度波动周期变长。

这是由于捕食者死亡率d直接影响捕食者密度，使其降低，从而使猎物种群密度增加，而猎物种群密度的增加又利于捕食者繁殖，使捕食者种群增加。

综上，多方面因素的作用导致猎物种群密度明显增加，而捕食者种群密度基本不变。

Part II 研究捕食者-猎物模型中两种群密度变化情况与转化常数（g）的关系图2.1 对照组捕食者—猎物模型种群密度随时间变化的图（g=0.25）图2.2 实验组2捕食者—猎物模型种群密度随时间变化的图（g=0.1）图2.3 对照组捕食者—猎物模型种群密度图（g=0.25）图2.4实验组2捕食者—猎物模型种群密度图（g=0.1）表2研究种群密度变化情况与g的关系实验数据记录表由以上图表可知：转化常数g增长对猎物种群密度变化的影响反而要大于其对捕食者种群密度的变化。

[Predator] P0 ：Initial population d2 ：Measure of the predator’s starvation rate（d2 = −r2 ） g：Constant defining the conversion efficiency of prey into predators（g = C2 C1 ） 3、根据实验设计进行试验 打开软件，输入数据，进行试验。 [实验结果] 情况 1： 输入数据： （各个单位均为 1）
获的结果：
P,N vs t
P vs N 循环：将瞪羚的种群数量增加为实际的 10 倍且 g 值不变时，猎豹大量捕食瞪羚，当猎豹种 群数量增加至 140 只时， 瞪羚种群增长率由正变为 0。 当猎豹种群数量继续增加以致大于 140 只时，瞪羚种群数量下降。由于瞪羚种群基数太大，猎豹种群数量开始无限制增加，导致瞪 羚的种群数量迅速下降，当降到 2000 只时，猎豹的种群增长率由正变为 0。当瞪羚种群数 量继续下降以致低于 2000 只时，猎豹种群数量下降，但由于此时猎豹的基数太大导致剩下 的 2000 只瞪羚迅速被扫荡一空，瞪羚灭绝。由于没有了食源，猎豹也很快灭绝。循环无法 继续进行。 分析：实际上情况 3 所示模型并不真实。若瞪羚种群数量增加为实际值的 10 倍，由于猎豹 本身繁殖能力有限，幼崽因各种天敌的存在成活率有限，g 也应该减小为 0.1g。因为初始食 源增加，C 也应减小为 0.1C。虽然食源的增加会导致 0.1g 适当增大，当绝对不会保持原值 不变。若 g 随着瞪羚种群数量的增加变为 0.1g，则会出现下述模型： 输入数据：
基础生态学实验
实验名称 Lotka-Volterra 捕食者-猎物模型模拟
姓名 学号 系别 班级 实验日期 同组姓名

lotka-volterra模型半饱和常数-概述说明以及解释1.引言1.1 概述随着对生态系统的深入研究，人们意识到了物种之间相互关系的重要性。

为了解释和预测物种之间的相互作用，数学模型成为了一种有效工具。

其中，Lotka-Volterra模型是一种常用且经典的数学模型，被广泛应用于生态学领域。

Lotka-Volterra模型，又称为捕食者-猎物模型，描述了捕食者和猎物之间的相互作用。

模型的基本假设是，猎物的增长受到捕食者捕食的影响，而捕食者的增长则依赖于猎物的可获得性。

本文的重点是研究Lotka-Volterra模型中的一个重要参数，即半饱和常数。

半饱和常数是用来衡量猎物或捕食者种群增长的饱和程度的指标。

它代表了当猎物或捕食者种群密度达到半饱和常数时，其增长速率达到最大值的临界点。

在这篇文章中，我们将对Lotka-Volterra模型进行介绍，并详细定义半饱和常数。

我们将探讨半饱和常数对模型的影响，以及其在解释和预测物种之间相互作用的重要性。

最后，我们还将展望未来研究方向，探讨如何进一步改进和应用Lotka-Volterra模型以解决现实生态问题。

通过对Lotka-Volterra模型和半饱和常数的研究，我们将有助于更好地理解物种之间的相互关系，并为生态学领域的可持续发展提供理论指导。

此外，对于生态系统保护和资源管理也有着重要的现实意义。

1.2 文章结构文章结构:本篇文章主要包括以下几个部分。

引言部分（第1章）：首先对文章的主要内容进行概述，介绍Lotka-Volterra模型以及半饱和常数的背景和相关研究现状。

然后明确文章的目的和意义以及本文的结构安排。

正文部分（第2章）：详细介绍Lotka-Volterra模型，包括其基本原理、模型方程的推导以及动态方程的解释。

然后，着重阐述半饱和常数的定义和意义，并讨论其在Lotka-Volterra模型中的应用。

结论部分（第3章）：对全文的内容进行总结，回顾Lotka-Volterra 模型的应用，并分析半饱和常数对模型的影响。

m
捕食者的死亡率。
03
稳定性模型食饵捕食者模 型的求解方法
解析解法
公式推导
通过数学公式推导，直接得出模型在 各种参数下的解。
适用范围
适用于模型简单、参数较少的情况， 但可能不适用于复杂模型。
数值解法
迭代计算
01
通过迭代的方式逐步逼近模型的解。
精度控制
02
可以控制计算的精度，以适应不同的需求。
适用范围
模型定义
稳定性模型食饵捕食者模型是 一种生态学数学模型，用于描 述捕食者和食饵之间的相互作 用关系。
该模型由两个微分方程组成， 分别描述了食饵和捕食者的种 群动态。
通过分析该模型的平衡点和稳 定性，可以了解种群数量的变 化规律和生态系统的稳定性。
模型背景
该模型是在20世纪20年代由 美国生态学家洛特卡和沃尔特 拉提出的，用于研究种群数量
捕食者种群的增长率可用以下方程表示
dP/dt = P*(aN/H - m)
模型参数解释
K
环境最大容纳量，表示在理想 环境下，食饵种群的最大数量 。
H
捕食者的半饱和常数，表示捕 食者达到最大捕食效率时所需 要的食物量。
r
食饵种群的内在增长率，表示 在没有环境限制的情况下，食 饵种群的增长速度。
a
捕食效率，表示单位时间内， 一个捕食者能够捕获的食饵数 量。
通过分析系统的数学模型 ，可以确定分岔的类型和 发生条件。
05
稳定性模型食饵捕食者模 型的改进与扩展
模型参数调整
调整捕食率
通过实验数据或观察，对捕食者 对食饵的捕食率进行更精确的估 计和调整，以提高模型的预测精 度。
调整死亡率
根据环境和物种特性，调整食饵 和捕食者的死亡率，使模型更符 合实际情况。

实验名称：Lotka-volterra捕食者-猎物模型模拟姓名：学号：系别：实验日期：【实验原理】dN/dt=r1N-C1NP 猎物种群动态dP/dt=-r2N+C2NP 捕食者种群动态N:猎物的密度r1:猎物种群的增长率C1:捕食者发现和进攻猎物的效率，即平均每一捕食者捕食猎物的常数P:捕食者密度-r2:捕食者在没有猎物时的条件下的死亡率C2:捕食者利用猎物而转变为更多捕食者的捕食常数【实验目的】在掌握Lotka-Volterra 捕食者-猎物模型的生态学意义与各参数意义的基础上，通过改变参数值的大小，在计算机模拟捕食者种群与猎物种群数量变化规律，从而加深对该模型的认识。

【实验器材】XP操作系统的计算平台模拟运行软件【实质】模型揭示了这种捕食关系的两个种群数量动态是此消彼长、往复振荡的变化规律。

【方法步骤】参数设置（1）Please enter the following:Prey PredatorN0 = 100 P0 = 20r1 = 0.1 r2 = 0.1C1 = 0.01 C2 = 0.01 （2）Please enter the following: Prey PredatorN0 = 100 P0 = 20r1 = 0.1 r2 = 0.5C1 = 0.01 C2 = 0.01 （3）Please enter the following: Prey PredatorN0 = 100 P0 = 20r1 = 0.1 r2 =2.5C1 = 0.01 C2 = 0.01 （4）Please enter the following: Prey PredatorN0 =100 P0 = 20r1 = 0.1 r2 = 5C1 = 0.01 C2 = 0.01 【分析讨论】（模拟分析图形见附表）（1）Please enter the following: Prey PredatorN0 = 100 P0 = 20r1 = 0.1 r2 = 0.1C1 = 0.01 C2 = 0.01此模型设为标准模型，接下来的实验设计的讨论均以此模型为标准进行比较讨论。

fx2 ( x10 , x20 )(x2 ? x20 )
? ?
dx2
(t
)
? dt
?
gx1 ( x10 , x20 )(x1 ?
x10 ) ?
gx2 ( x10 , x20 )(x2
?
x20 )
（17）
系数矩阵
A?
? ?
f
x1
?g x1
f ? x2 ??P0 ( x10 ,x20 )
g ? x2
（18）
0 T1 2 T2 4 T3 6
T 8
10
4
12
模型解释
30
捕食者 数量
y?
r a
25 20
15
r ~食饵增长率
r/a10
5
a ~捕食者掠取食饵能力 0 0
P 20d/b 40
捕食者数量与 r成正比, 与a成反比
P(d / b, r / a)
60 80 100 120
食饵 数量
x
?
d b
d ~捕食者死亡率 b ~食饵供养捕食者能力
dx ? x(r ? ay) dy y(? d ? bx)
? d ? bx dx ? r ? ay dy
x
y
? d ln x ? bx ? r ln y ? ay ? c1
( x d e ? bx )( y r e ? ay ) ? c
取指数
c 由初始条件确定
用相轨线分析 P(d / b, r / a) 点稳定性
?1, ?2
平衡点类型 稳定性
稳定结点
稳定
不稳定结点 不稳定
鞍点
不稳定
稳定退化结点 稳定
不稳定退化结 点

一类具有Lévy跳的随机三种群食物网模型随机三种群食物网模型是研究生态系统中物种之间相互作用的一个重要工具。

它可以帮助我们理解种群演化、食物链的形成和维持、能量流动以及生物多样性等生态学问题。

随机三种群食物网模型中包含了三个不同类型的物种群，分别是捕食者、猎物和食物。

Lévy跳是随机三种群食物网模型中加入的一种特殊的移动策略，它能够模拟物种在寻找食物和逃避捕食者过程中的行为。

随机三种群食物网模型的基本假设是：捕食者以猎物为食，每个物种在单位时间内可以进行一次捕食行为或逃避行为，而食物则被认为是无限可用的。

这里的Lévy跳是指物种在移动时遵循的Lévy分布。

Lévy分布是一种具有长尾分布的随机分布，它的特点是存在大量的短跳和极少的长跳，这种跳跃模式更符合实际生态系统中物种的移动行为。

在随机三种群食物网模型中，捕食者和猎物的行为受到Lévy跳的影响。

捕食者在寻找猎物时，可以根据Lévy分布进行移动，这样可以更容易地找到离自己较远的猎物，增加捕食成功的概率。

而猎物在逃避捕食者时，也可以利用Lévy跳进行移动，这样可以更好地摆脱捕食者的追逐，增加生存的机会。

随机三种群食物网模型的研究发现，Lévy跳能够对物种的种群动态和空间分布产生重要影响。

Lévy跳能够提高捕食者对猎物的搜索效率，使得捕食者种群更容易获得足够的食物，从而增加存活和繁殖的机会。

Lévy跳也能够提高猎物对捕食者的逃避能力，使得猎物种群能够更好地避免被捕食者捕食，增加自身的生存和繁殖率。

Lévy跳还能够影响物种的空间分布格局，使得物种更容易形成聚集分布或分散分布的空间结构。

虽然随机三种群食物网模型中的Lévy跳能够提供更准确的物种移动模拟，但它也存在一定的局限性。

Lévy跳假设物种在移动过程中是独立而随机的，但实际生态系统中的物种移动往往受到多种环境因素的共同影响。

基础生态学实验L o t k a-V o l t e r r a捕食者-猎物模型模拟基础生态学实验Lotka-Volterra捕食者-猎物模型模拟dN/dt=r1N-C1NP 猎物种群动态dP/dt=-r2N+C2NP 捕食者种群动态N：猎物的密度r1：猎物种群的增长率C1：捕食者发现和进攻猎物的效率，即平均每一捕食者捕食猎物的常数P：捕食者密度-r2：捕食者在没有猎物时的条件下的死亡率C2：捕食者利用猎物而转变为更多捕食者的捕食常数【实验目的】在掌握Lotka-Volterra 捕食者-猎物模型的生态学意义与各参数意义的基础上，通过改变参数值的大小，在计算机模拟捕食者种群与猎物种群数量变化规律，从而加深对该模型的认识。

【实验器材】1、计算机2、模拟运行软件3、种群生物学模拟软件包（Populus），5.5 版本，美国明尼苏达大学设置初始值，之后保持N0、P0不变，分别改变d2、g、r1、c的大小（具体数据见下表），观察记录每组数据下捕食者-猎物模型中两种群密度变化情况，与对照组进行比较。

实验数据设置记录表【实验结果与分析】Part I 研究捕食者-猎物模型中两种群密度变化情况与捕食者死亡率（d）的关系图1.1 对照组捕食者—猎物模型种群密度随时间变化的图（d=0.2）图1.2 实验组1捕食者—猎物模型种群密度随时间变化的图（d=0.3）图1.3 对照组捕食者—猎物模型种群密度图（d=0.2）图1.4实验组1捕食者—猎物模型种群密度图（d=0.3）表1研究种群密度变化情况与d的关系实验数据记录表由以上图表可知：捕食者死亡率d增长对猎物种群密度变化的影响反而要大于其对捕食者种群密度的变化。

d减小，可见猎物种群密度明显增加，且两者种群密度波动周期变长。

这是由于捕食者死亡率d直接影响捕食者密度，使其降低，从而使猎物种群密度增加，而猎物种群密度的增加又利于捕食者繁殖，使捕食者种群增加。

综上，多方面因素的作用导致猎物种群密度明显增加，而捕食者种群密度基本不变。

一轮小专题捕食者-猎物模型-----------89中高中学部：房双喜经典的捕食者-猎物模型是由洛特卡和沃尔泰拉提出的。

若以捕食者密度为纵坐标、猎物密度为横座标、按时间顺序作出相位图，就可以得到一个封闭环（如图）。

相位图表示两个种群的密度将按封闭环的轨道逆时针方向无限循环，其中心点即为平衡点，通过平衡点作互相垂直的线，将相位图分为4块,在垂直线右面捕食者种群增加(P1→P2→P3)，在左面减少(P3→P2→P1)；在水平线下面，猎物种群增加(N1→N2→N3)，在上面减少(N3→N2→N1)。

因此，洛特卡－沃尔泰拉模型表明猎物－捕食者种群动态中分为4个时期：①猎物增加(N2→N3)，捕食者也增加(P1→P2)；②猎物减少(N3→N2)，捕食者继续增加(P2→P3)；③猎物(N2→N1)和捕食者(P3→P2)都减少；④捕食者继续减少(P2→P1)，而猎物增加(N1→N2)。

如此循环不息。

与“猎物-捕食者模型”有关的模拟题上面就是著名的LotKa-Volterra捕食者——猎物关系方程LotKa-Volterra方程假设:1.猎物只受到捕食者的限制,在没有捕食者的情况下,猎物种群将会无限制地呈指数增长；2.单位时间内被捕杀的猎物数量同捕食者与猎物个体随机相遇的次数成正比。

3.捕食者仅仅争夺食物,不存在其它的资源限制和捕食者种内竞争。

4 .种群所有的反应都是瞬时的,模型不允许时滞。

不考虑捕食者用于处理、摄取猎物的时间。

5 .最后，像其他简单的生态学模型一样,它忽略了种群的年龄结构和其他关系。

例1.科学家通过研究种间捕食关系，构建了捕食者一猎物模型，如下图所示（图中箭头所指方向代表曲线变化趋势）。

据图回答：（1）该模型属于__数学_（填“物理”、“概念”或“数学”）模型，其曲线变化趋势反映了生态系统中普遍存在的_负反馈_调节。

（2）请用该模型解释捕食者和猎物的种群数量均能维持相对稳定的原因：_猎物种群数量增加→捕食者种群数量增加→猎物种群数量减少→捕食者种群数量减少→猎物种群数量增加，依次循环_。

图3逆时针方向圆的坐标图
生物学教学2019年（第44卷）第10期
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%四种图&厘清光合作用与有氧呼吸
蒋立锋1 郭 育2 （1陕西省柞水中学 商洛711400； 2陕西省西安市田家炳中学 西安710500）
摘要光合作用与呼吸作用是生物学教学的重点，通过“四种图”较为系统地厘清相关知识,可帮助学生较为全面准确地理解和 应用。 关键词光合作用有氧呼吸概念图示
• 72 •
生物学教学2019年（第44卷）第10期
浅析负反馈调节的数学模型
——以捕食者一猎物种群数量模型为例
周 泉（湖北省黄石市第三中学黄石435000）
摘要本文以捕食者一猎物种群数量关系为例，分别用波形图和循环图对负反馈调节进行描述，并用数学方法建立波形图与循 环图间的函数联系。 关键词负反馈调节数学模型波形图循环图
曲线转换为三角函数曲线（图6）。若以波形图中的曲 线=为参照，图4与图6中的曲线 ＞是倒置关系,将导 致曲线=与曲线广跟随”关系的改变,即图5中=轴 代表捕食者、＞ 轴代表猎物。
时间
图4逆时针方向圆的转换
图6顺时针方向圆的转换
3.2顺时针方向圆的转换 同理,仍设顺时针方向圆 为单位圆，圆心为。点（2, 2）,圆上C点（x, y）以@点 （3, 2）为起点顺时针循环运动（图5 ）。6AOC用 （2 + —,）来表示，则可得-、y值的表达式：
光合作用与呼吸作用是生物学中最基本的内容, 是高考考查的重点,通过“四种图”来厘清两者从微观
依据概念可用①式表示，但在教学中,经常讨论暗 反应到底有没有水产生，依据教材上的原理图来看，并
到宏观的逻辑关系，通过相关概念、原理、曲线、计算以 没有提及是否有水产生,这是高中教材对这一原理进

捕食模型经典的捕食者-猎物模型也是由洛特卡和沃尔泰拉提出的。

洛特卡-沃尔泰拉的捕食模型：假定在没有捕食者的条件下,猎物种群按几何级数增长,即d N/d t＝r1N；对于捕食者，假定在没有猎物条件下，种群按几何级数减少,即d P/d t＝-r2P；假如捕食者和猎物种群处在相互作用中，猎物种群的增长率将因捕食作用而降低，降低程度随捕食者数量而变。

因此：d N/d t＝(r1-εP)N式中ε在此是测度捕食压力的常数，即平均每一捕食者杀死猎物的常数。

可以设想，如果ε＝0，那么-εP一项等于零，猎物就完全逃脱了捕食者的捕食。

ε越大，表示捕食者对猎物的压力也越大。

同样，捕食者种群的增长率也将依赖于猎物的密度：d P/d t＝(-r2+θN)P式中θ是测度捕食者因捕食猎物而产生出更多捕食者的常数。

这个值越大，捕食效率越高，捕食者种群增长的效应也越大。

洛特卡-沃尔泰拉的捕食模型的解答具有这样的特征：捕食者和猎物种群产生周期性振荡，而振幅决定于两者的初始密度,以（图5）为例,r1＝1.0，ε＝0.1，r2＝0.5，θ＝0.02,而初始条件是N 0＝20，P0＝4。

如果将图5的结果以捕食者密度为纵坐标、猎物密度为横座标、按时间顺序作出相位图,就可以得到一个封闭环（图6）。

相位图表示两个种群的密度将按封闭环的轨道逆时针方向无限循环，其中心点即为平衡点（N＝r2/θ＝0.5/0.02＝25，P＝r1/ε＝1.0/0.1＝10）,通过平衡点作互相垂直的线，将相位图分为4块,在垂直线右面捕食者种群增加,在左面减少,在水平线下面，猎物种群增加，在上面减少。

因此，洛特卡-沃尔泰拉模型表明猎物-捕食者种群动态中分4个时期：①猎物增加，捕食者也增加；②猎物减少，捕食者继续增加；③猎物和捕食者都减少；④捕食者继续减少，而猎物增加。

如此循环不息。

虽然在自然种群中已记录了雪兔-猞猁种群的9～10年周期和一些北方小型啮齿类与其食肉动物种群（典型的如旅鼠-北极狐种群）的3～4年周期,但是呈现周期性波动的种类还是很少的。

2020/4/4
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由上得
a2 b2 a1 b1
上面就是著名的LotKa-Volterra捕食者——猎物关系方程 LotKa-Volterra方程假设： 1.猎物只受到捕食者的限制,在没有捕食者的情况下,猎物种群将会无限制地呈指 数增长. 2.单位时间内被捕杀的猎物数量同捕食者与猎物个体随机相遇的次数成正比。 3.捕食者仅仅争夺食物，不存在其它的资源限制和捕食者种内竞争。 4 .种群所有的反应都是瞬时的，模型不允许时滞。（不考虑捕食者用于处理、 摄取猎物的时间）
2020/4/4
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由上Price得出四个主要因子影响捕食者——猎物相互 作用的稳定结论：1。环境的异质性2。捕食者鱼猎物的 空间关系3。捕食者鱼猎物的相对扩散率4。猎物的食 物的质量变化。
结论：捕食者——猎物间的相互作用远非LotKaVolterra模型描述的那么简单，在自然界中更加复杂， 一方面很难仅仅归于捕食者——猎物间的相互作用， 另一方面发现真实种群行为非常相似但并没有考虑复
202044五捕食者对猎物密度的功能反映202044功能反应是指每个捕食者的捕食率随猎物密度而变化的反应202044iiiii202044捕食者的数值反应描述了捕食者数量与猎物密度变化之间关系202044从上图看出202044六用差分方程表示的寄生物寄主关系模型六用差分方程表示的寄生物寄主关系模型202044假设寄主和寄生物的分布是一致的用最小二乘法计算202044如下图如下图202044正是hassellvarley模式在m0时的一个特例202044hassellvarley202044hassell和may还对上述种群变动模式的稳定性进行分析认为寄生昆虫的处理时间占总寻找时间的比值总是很小绝大多数类型的寄生物寄主关系的稳定性应取决于相互干扰系数m和昆虫非随机寻找的趋势

生态学实验报告实验题目：《Loka-volterra捕食者-猎物模型模拟》Loka-volterra捕食者-猎物模型模拟Loka-volterra捕食者-猎物模型是20世纪20年代Loka A.J.(1925)和volterra V.（1926）提出的描述种间关系的经典模型之一。

该模型假设：除捕食者存在外，猎物生活于理想环境中（其出生率和死亡率与密度无关）；捕食者的环境同样是理想的，其种群增长只受到可获得的猎物数量的限制。

Loka-volterra捕食者-猎物系统的连续增长微分方程为：dN/dt=r1N-c1NP (1)dP/dt=-r2P+c2NP (2)式中：N——猎物密度r 1——猎物种群的增长率C1——捕食者发现和进攻猎物的效率，即平均每一捕食者捕杀猎物的常数；P——捕食者密度-r 2——捕食者的死亡率C2——捕食者利用猎物而转变为更多捕食者的捕食常数。

方程(1)描述了猎物的种群动态，倾向于r1N的无限增长，但它要受捕食者功能项c1NP 的制约。

方程(2)描述了捕食者种群动态，捕食者数量一方面受死亡的影响，另一方面受与猎物有关的数值c2NP的影响。

当模型平衡时，即dN/dt=dP/dt=0时，P= r1/c1,N= r2/c2。

说明当捕食者的数量为r1/c1时，猎物数量将稳定不变；当捕食者的数量大于r1/c1时，猎物的数量会减少；当捕食者的数量小于r1/c1时，猎物的数量会增加。

同样，猎物的数量为r2/c2时，捕食者数量也会恒定不变；当猎物的数量大于r2/c2时，捕食者的数量上升；反之捕食者数量下降。

Loka-volterra捕食者-猎物模型揭示了这种捕食关系的两个种群数量动态是彼此消长、往复振荡的变化规律。

实验目的：在掌握Loka-volterra捕食者-猎物模型的生态意义与各参数意义的基础上，通过改变相应参数数值的大小，在计算机上模拟捕食者种群与猎物种群的数量变化规律，从而加深对该模型的认识。