吴正国高等数字信号处理第6章小波变换4

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数字信号处理中的小波变换技术分析

数字信号处理中的小波变换技术分析随着数字技术的快速发展，人们对于数字信号处理技术的需求越来越高。

在数字信号处理中，小波变换技术无疑是一种非常重要的技术。

本篇文章将会对小波变换技术进行详细的分析。

一、小波变换的定义小波变换是一种数学方法，将任意信号分解成多个小波分量。

通过小波变换，可以将原始信号分解为不同频率的小波，以实现信号的特征提取和分析。

二、小波变换技术的原理小波变换技术的原理可以用以下步骤来说明：1. 将原始信号进行平移、缩放、翻转等操作，生成一组小波基函数。

2. 将原始信号分解成一系列小波分量，每一个小波分量都由不同系数的小波基函数线性组合得到。

3. 利用小波基函数的特性，可以得到每一个小波分量的功率谱密度函数，以及其相应的尺度和频率。

三、小波变换技术的应用场景小波变换技术的应用场景非常广泛，包括但不限于以下几个方面：1. 信号处理领域：小波变换可以分解信号，以便对信号进行特征提取和分析，广泛应用于图像处理、音频分析、文本挖掘等领域。

2. 金融领域：小波变换可以用于股票价格的短期波动预测、货币汇率的分析等方面。

3. 医学领域：小波变换可用于分析波形，提取生物信号特征，如脑电波、心电图、肌电图等。

四、小波变换技术的优势和劣势小波变换技术具有以下几方面的优势：1. 小波变换可以对信号进行分解，提取信号的特征，避免了频域分析的缺陷。

2. 小波变换可以实现信号的多分辨率分析，在不同尺度和频率下，分析信号的特性，从而提高信号分析的精度和准确度。

3. 小波变换对信号的局部细节信息适应性较好，相比于傅里叶变换，小波变换更适合分析非平稳信号。

当然，小波变换技术也存在着一些缺陷：1. 小波基函数非常多，且有些小波基函数不可解析，导致实际中的小波分解过程较为繁琐。

2. 小波变换中的尺度和频率具有高度相关性，分析过程中需要进行多次迭代和递归，计算成本较高。

3. 由于小波变换是一种压缩方法，因此仅能得到一个近似解，而无法得到精确解。

数字信号处理(吴镇扬)课后习题答案(比较详细的解答过程)chap6

第六章多采样率信号处理
至今，至今，我们讨论的信号处理的各种理论与算法视为恒定值，都是把抽样频率 f s 视为恒定值，即在一个数字系统中只有一个采样率。统中只有一个采样率。在实际数字信号处理系统中，在实际数字信号处理系统中，经常会遇到采样率转换问题。率转换问题。或者要求一个数字系统能工作在多采样率”状态， “多采样率”状态，或者要求其将采样信号转换为新的采样率下工作。为新的采样率下工作。
6.2 信号的插值
如果将 x(n) 的抽样频率 f s 增加 L 倍， w(n), w(n) 即得的插值，用符号↑ 表示。插值的方法很多，是对 x(n) 的插值，用符号↑L 表示。插值的方法很多，一个简单的方法就是信号抽取的逆处理过程。一个简单的方法就是信号抽取的逆处理过程。回想信号抽取前后的傅立叶变换关系
而 X 1 (e ) =
jω n = −∞
∞
∑ x ( n ) p ( n)e
− jωn
1 M −1 j 2πnk / M − jωn = ∑ [ x ( n) ]e ∑e n = −∞ M k =0 1 M −1 = X (e j (ω − 2πk / M ) ) (6.3b (6.3b) ∑ M k =0
信号抽取示意图，M=3，图6.1.1 信号抽取示意图，M=3，横坐标为抽样点数原信号；中间信号；（a）原信号；（b）中间信号；（c）抽取后的信号
显然
X ′(e ) = ∑ x′(n)e
jω n = −∞ ∞ n = −∞ ∞
∞
− j ωn
= ∑ x( Mn)e
n = −∞
∞
− j ωn
= ∑ x1 ( Mn)e − jωn = X 1 (e jω / M ) (6.3a) (6.3a

数字信号处理ppt第六章

§6-1 引言
一、DF按频率特性分类可分为低通、高通、带通、带阻和全通，
其特点为：
（1）频率变量以数字频率 ω 表示，ω = ΩT ，
Ω 为模拟角频率，T为抽样时间间隔；（2）以数字抽样频率 ωs = 2πfs ⋅T = 2π 为周期；（3）频率特性只限于 ω ≤ ω s / 2 = π 范围，这
3、由 A2 (Ω) = H a ( jΩ) 2 确定 H a (s)的方法
（1）求 H a (s)H a (−s) = A2 (Ω) Ω2 =−S 2
（2）分解 Ha (S)Ha (−S),得到各零极点，将左半面的极点归于 Ha (S)，对称的零点任一半归 Ha (S)。若要求最小相位延时，左半面的零点归 Ha (S)（全部零极点位于单位圆内）。
将2、技Q∴计术算2H指0所a标l(g需j，ΩH的代)a阶2入( j=数Ω上1及式)/[3=1，d+B−可截(1得Ω0Ω止lC频g)[21率N+]Ω(CΩΩC )2N ]
{−10lg[1+ ( 2π×103 )2N ] ≥ −1 −10lg[1+ (3π×Ω1C03 )2N ] ≤ −15 ΩC
解上述两式得：
它是表示每个频率分量的延迟情况；当其为常数时，就是表示每个频率分量的延迟相同。
四、DF设计内容 1、按任务要求确定Filter的性能指标； 2、用IIR或FIR系统函数去逼近这一性能要求； 3、选择适当的运算结构实现这个系统函数； 4、用软件还是用硬件实现。
五、IIR数字filter的设计方法
1、借助模拟filter的设计方法（1）将DF的技术指标转换成AF的技术指标；（2）按转换后技术指标、设计模拟低通filter的 Ha (s)；（3）将 H a (s) → H (z) （4）如果不是低通，则必须先将其转换成低通

信号与系统(吴大正)-完整版答案-纠错修改后版本精选全文完整版

可编辑修改精选全文完整版第一章信号与系统1-1画出以下各信号的波形【式中)()(t t t r ε=】为斜升函数。

〔2〕∞<<-∞=-t et f t,)( 〔3〕)()sin()(t t t f επ=〔4〕)(sin )(t t f ε= 〔5〕)(sin )(t r t f = 〔7〕)(2)(k t f kε= 〔10〕)(])1(1[)(k k f kε-+=解：各信号波形为〔2〕∞<<-∞=-t e t f t,)(〔3〕)()sin()(t t t f επ=〔4〕)=tfε)(sin(t 〔5〕)rtf=(t(sin)〔7〕)f kεt=2()(k〔10〕)(])1(1[)(k k f k ε-+=1-2 画出以下各信号的波形[式中)()(t t t r ε=为斜升函数]。

〔1〕)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε 〔2〕)2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f 〔5〕)2()2()(t t r t f -=ε 〔8〕)]5()([)(--=k k k k f εε 〔11〕)]7()()[6sin()(--=k k k k f εεπ 〔12〕)]()3([2)(k k k f k---=εε解：各信号波形为〔1〕)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε〔2〕)2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f〔5〕)2()2()(t t r t f -=ε〔8〕)]5()([)(--=k k k k f εε〔11〕)]7()()[6sin()(--=k k k k f εεπ〔12〕)]()3([2)(k k k f k---=εε1-3 写出图1-3所示各波形的表达式。

1-4 写出图1-4所示各序列的闭合形式表达式。

1-5 判别以下各序列是否为周期性的。

如果是，确定其周期。

小波变换原理与应用ppt课件

3.小波变换的基本原理与性质
信号的时域表示和频域表示只适用于平稳信号，对于
非平稳信号而言，在时间域各种时间统计量会随着时间的变化而变化，失去统计意义；而在频率域，由于非平稳信号频谱结构随时间的变化而变化导致谱值失去意义
幅度 A |Y(f)|
信号 x(t)的时域波形 1
0.5
0
-0.5
2
为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益
1.小波的发展历史——工程到数学
小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工程师J.Morlet在1974年首先提出的，通过物理的直观和信号处理的实际需要经验的建立了反演公式，当时未能得到数学家的认可。幸运的是，1986年著名数学家 Y.Meyer偶然构造出一个真正的小波基，并与S.Mallat 合作建立了构造小波基的同一方法枣多尺度分析之后，小波分析才开始蓬勃发展起来。
1.小波的发展历史——工程到数学
1909: Alfred Haar——发现了Haar小波 1980：Morlet——Morlet小波，并分别与20世纪70年代提
出了小波变换的概念，20世纪80年代开发出了连续小波变换CWT（ continuous wavelet transform ） 1986：Y.Meyer——提出了第一个正交小波Meyer小波 1988： Stephane Mallat——Mallat快速算法（塔式分解和重构算法）
Rx(t1,t2)ExE(t)x(t1)x ( tx2)f(x)dRxx()m,x t2 t1
Ex2(t)
非平稳信号不满足平稳性条件至少是宽平稳条件的信号

第六讲+小波变换

小波的发展

1945年：Gabor Gabor开发了短时傅里叶变换（STFT， Short Time Fourier transform）
STFT (τ , ω ) = ∫ s (t ) g (t − τ )e

− jωt
dt
s(t)是信号，g(t)是窗口函数。
小波的发展

1980年：Morlet 20世纪70年代，在法国石油公司工作的年轻地球物理学家Jean Morlet提出小波交换 (wavelet transform, WT) 的概念。 20世纪80年代，开发了连续小波交换 (Continuous Wavelet Transform, CWT)

离散小波变换分析图
DWT的方法

执行离散小波变换的有效方法是使用滤波器

该方法是Mallat在1988年开发的，叫做Mallat 算法这种方法实际上是一种信号的分解方法，在数字信号处理中称为双通道子带编码
DWT的方法

用滤波器执行离散小波变换的概念如图所示

S表示原始的输入信号，通过两个互补的滤波器产生A和D两个信号 A表示信号的近似值(approximations) D表示信号的细节值(detail)
主要内容

小波简介
小波的发展小波与多分辨率分析小波变换连续小波变换离散小波变换 MATLAB小波分析工具箱

小波变换在图像处理中的应用
小波的发展

小波分析是近十几年才发展起来并迅速应用到图像处理和语音分析等众多领域的一种数学工具。它是继100多年前的傅立叶分析之后的一个重大突破，无论是对古老的自然学科还是对新兴的高新技术应用学科都产生了强烈冲击。小波理论是应用数学的一个新领域。要深入理解小波理论需要用到比较多的数学知识。

现代数字信号处理6章(new1)

现代数字信号处理6章(new1)通信专业基础知识Chapter6小波分析（WaveletAnalyi）小波分析在数学中占有独特的地位。

而在信号处理领域中，如计算机视觉和图象处理中的多分辩率技术、语言和图象压缩中的子带编码技术等，很好地运用了“小波”这种特殊的数学工具。

本章主要从信号处理工程应用角度对小波分析的基本理论、基本概念和主要方法进行扼要介绍。

重点是讨论小波变换的概念和性质、算法及其实现，以及在信号处理中的典型应用。

其中涉及到的数学理论，大多只引用重要结论，而不与推导、证明。

先介绍几个数学概念（符号）⒈Z：整数集theetofinteger⒉R：实数集theetofrealnumber⒊L2(R)：表示定义在实轴上的可测的平方可积函数空间thevectorpaceofmeaurablequare-integrable⒋g(u),f(u)g(u)f(u)du：g(u)和f(u)的内积g(u),f(u)L2Rf(u)：f(u)的复共轭⒌||f||2|f(u)|2du在L2(R),f(u)的范数⒍f(u)某g(u)f(u)g(tu)duf某g(t)[f(u)某g(u)](t)⒎f(w)f(t)ejwtdt，j1,ji2令L(R)表示定义在实轴上的可测的平方可积函数空间，该空间中的任何函数f(t)是可测的且满足|f(t)|2dt这样的函数可用来表示能量有限的连续时间信号or模拟信号。

通信专业基础知识§6.1窗口付里叶变换（WindowedFourierTranformWFT）or短时付里叶变换（Short-TimeFourierTranformSTFT）信号的局部发生变化，会影响到信号的整个频谱。

例如一个低频信号如果在某一时刻t0增加一个冲激，那么它的频谱立刻变成宽带频谱。

但这个宽带频谱只能辨别信号中存在着冲激，但却无从确定这个冲激发生的时间位置。

说明付里叶分析没有时间定位或时间局域化的能力。

数字信号处理中的小波变换应用

数字信号处理中的小波变换应用数字信号处理是现代通信、图像处理、音频处理等领域中的一个基础技术，数学方法与工程方法的结合是数字信号处理的指导思想。

数字信号处理技术在信息时代得到了广泛应用，其中小波变换是一种非常重要的技术。

在数字信号处理中，小波变换是一种特定的信号处理技术，它基于小波函数，能够把时间序列信号或者图像信号的时频信息进行分解和表达。

小波变换具有很多特性，比如多分辨率分析，局部性，高效性等等。

小波变换可以用于信号处理领域的信号分析、去噪、压缩、匹配等。

下面我们将从这几个方面来具体介绍小波变换的应用。

一、信号分析小波变换可以将连续或离散的信号转化成一组小波系数。

这些系数代表了不同频带的能量强度，被称为小波系数，它们是时域和频域的综合体现。

因此，小波变换可以用于信号分析和特征提取。

它能够检测信号中的不同频率成分，识别信号中的特征，并可以将信号分解为一个更简单、更易于分析的形式。

例如，在音频信号分析方面，小波变换可以得到频率谱，在图像分析方面，小波变换可以得到图像的纹理、边缘等特征。

二、去噪数字信号处理是有噪声干扰的，在很多情况下需要用小波变换来去噪。

小波变换在去噪方面的优势在于它能够分离信号的不同频率分量，响应速度很快，处理效果很好。

通过小波变换去噪的方法有很多，如基于阈值法的软阈值方法和硬阈值方法、基于循环阈值法的循环阈值法、基于范数约束的范数约束最小化方法等。

其中最常用的方法是软阈值方法，这个方法可以直接处理一维和二维信号，能够把信号中的噪声和小幅波动的小波系数变成零，能够有效地去除噪音信号。

三、压缩小波变换在信号压缩方面有着很好的应用，可以在保证数据质量的同时压缩数据量。

这种压缩方式被称为小波压缩，它可以降低信号数据的冗余度，减少存储和传输的数据量，提高传输效率。

小波压缩主要包含两个步骤：小波变换和系数压缩。

在小波变换中，将原始信号分解为不同频率波段，然后在每个波段内设置合适的阈值，通过对小波系数进行截断和变换，就可以实现低成本的信号压缩了。

吴正国高等数字信号处理第6章小波变换1

j
j
a ,b 2 0
ˆ z ,b ( )
j
j 0 j 1
j 2
0

▲
■

要实现完全衔接又不重迭，显然母小波函数的频窗中心与频窗半径应滿足：
0 3ˆ
②二进小波 (Dyadic Wavelet ) 稳定性条件 (Stability Condition )：保证其小波变换能准确重构的条件
ˆ (0) (t )dt 0

(t ) 2 1
▲ ■
▲
■
連续小波的频谱：
②分析小波的窗口窗中心：窗半径：
ˆ ˆ a ,b ( ) a e ib (a )
0
a
1 2
t a ,b at0 b ； a ,b
a , b a ； ˆ a ,b
W f ( x) (t x)dx ds s s s
▲ ■

二、CWT的性质
⒈线性
f (t ) k1 f1 (t ) k 2 f 2 (t )
W f (a, b) k1W f1 (a, b) k 2W f 2 (a, b)
⒉时移不变性
a a0j
则有分析小波：
； b kb0 a0j
j 2 0
j ,k (t ) a (a0 j t kb0 )

得小波级数：
c j ,k W f (2 j , k 2 j ) f (t ), j ,k (t )
▲ ■
c j ,k W j f (k ) 2 j f (t ) (k 2 j t )dt f (t ) j (t )
ˆ 0 A (2 ) B

小波变换课件ch1小波分析及其在信号处理中的应用

A的闭包
1.1.5 平方可积空间与平方可和空间
如果将Euclidean空间中的内积定义具体化为则称以满足的f(x)为元素的线性空间为平方可积空间，记为。
平方可积空间是Hilbert空间希腊字母：kai
的序列为元素的线性空间为平方可和空间，记为。
式中c为一序列，则称以满足
傅里叶（Fourier)分析是数字信号处理的基础，也是现代信号处理的出发点。它将信号分析从时间域变换到了频率域。
泛函简介
1.1.1 线性空间
一个线性空间是一个在标量域（实或复）F上的非空矢量集合L，并且对于其元素定义了如下性质的加法和标量乘法：加法的封闭性；加法的交换律；加法的结合律；零元；加逆；乘法的封闭性；乘法结合律；存在单位标量1，1·x＝x；乘法的分配律。
对于一个有限长序列 ,称为它的离散Fourier变换 (Discrete Fourier Transform, DFT)。
逆变换定理：
在过去200年里， Fourier分析在科学与工程领域发挥了巨大的作用，但Fourier分析也有不足：用傅立叶变换提取信号的频谱需要利用信号的全部时域信息。傅立叶变换没有反映出随着时间的变化信号频率成分的变化情况。傅立叶变换的积分作用平滑了非平稳信号的突变成分。利用DFT作信号分析，就是通过在频域上用等间隔划分的窗口对信号进行的“观察”，而这一“观察”数据是时域上N点数据的共同贡献。
02
1.5 窗口Fourier变换
01
02
03
04
定义频域窗函数，其条件是
频域窗函数的中心频率
频域窗函数的有效频率半径
考察
05
正频率
窗函数的定义实际上就是对函数衰减性的控制，也就是说窗函数具有在坐标轴上具有很好的衰减性，从而达到对坐标轴进行局部化的目的。窗函数所确定的窗口是对它的局部性的一次刻画，它是可用来对信号进行时频局部化分析的基本函数，而窗函数本身则可由窗口的尺度来表征其局部性，若越小，则说明在时域上的局部化程度越高。

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选择不同的 k j (1 j J ) 组合，将给出不同的小波包基。
▲ ■
40
(23)
15
(10)
13

5 (3)
9 (7)
10
6
1
2
3
4
5
6
▲
7
8
■
▲
■
▲
■
三、小波包变换及快速算法
1、正交小波包变换 ①正交小波包变换
L ( R) V0 U
2
N 1 k 0
k 2l
2 n 1 (2
j 1
t l )]
2 n (2 t k )
2
j
▲
■
f j 1, 2 n (t ) h
kZ lZ
k 2l
S
n, j k
2
2
( j 1) 2
2 n (2
( j 1)
t l)

S
lZ
2 n ,( j 1) l
1 n (t l ), n (t k ) 2 1 2 1 2 1 2

ˆ n ( ) e i ( k l ) d
2 2
2
i ( k l ) ˆ m1 2 n2 2 e d
kZ
~ F1{S k }( j ) S k g 2 j k
kZ
▲ ■
Sk Sk
F0 F1
0
Sk Sk
~ hk
2 2
~ gk
F {S j }(k ) S j hk 2 j
jZ
F {S j }(k ) S j g k 2 j
1 jZ
▲ ■
Sj Sj
F
0
0, 0 k
▲ ■
③正交小波包逆变换
F F0 F F I
0
1 1
F F0 {S
S
n, j k
0
n, j k
} F F {S
2 n,( j 1) k
1 1
n, j k
} S
n, j k
F {S
2
0
} F {S
1
( 2 n1),( j 1) k
( j 1) 2
n (2
j 1
t m)
▲ ■
h
jZ
k 2 j l 2 j
h
g
kZ
k 2 j
g l 2 j (k l )
k, l Z
2l (t ) 2 hk l (2t k ) 2l 1 (t ) 2 g k l (2t k )
▲ ■

用数学归纳法可证：
ˆ ˆ n ( ) m j j m1 ( ) n ( ) 2 2 2 2 j 1

对于s0+1位二进制整数n，不超过0.5n的最大整数可记为
s0 n 1 s0 1 s0 j 1 j 1 2 2 j 2 j 1 2 2 j 2 j 1
j m2k
m2k
2 n 1 (2 t k )]
j j 1
2 2 2
( j 1)
kZ lZ
( j 1) 2
(h
hl g
m2 k
g l ) n (2
t 2k l )
h h (2 j 1 t s) m2 k s 2 k g m2k g s 2 k n sZ kZ
ˆ ˆ 1 ( ) G 2 0 2
定义函数序列：
2l (t ) 2 hk l (2t k )
kZ
2l 1 (t ) 2 g k l (2t k )
kZ

l 0,1
称此函数序列为由φ( t ) 生成的小波包。
▲ ■
2、正交小波包的频潽
kj
2 1 2k j i 2 0 L ( R) U j k j U J j1 i 0
J
kj
▲ ■
4、小波库与小波包基
{2

j 2
n (2 t l )} n0, j ,lZ
j
称为由φ( t ) 所导出的小波包库。 n 为振荡参数 j 为尺度参数 l 为平移参数从小波库中抽取的、能构成平方可积空间的一组正交基称之小波包基。
ˆ ˆ 2l ( ) H 2 l 2

ˆ ˆ 2l 1 ( ) G 2 l 2
若令

m0 ( ) H ( )
m1 ( ) G( )
对s0位的二进制整数n可记为
n j 2
j 1
s0
j 1
j {0,1}
J
kj
0 0
0
f (t ), (t k ) R f (t ) (t k )dt
{S

n, j k
}kZ
为f(t)在
U
n j
子空间的投影系数，
f ( t )在上式各子空间投影系数的集合，称之 f ( t ) 的正交小波包变换。
▲ ■
②正交小波包变换算法
f j ,n (t ) S
2
( j 1)
2 n (2
( j 1)
t l)
n, j k
n, j k

S
2 n ,( j 1) l
h
kZ
k 2l
S
n, j k
F0 {S
}
S
( 2 n 1),( j 1) l
g
kZ
k 2l
S
n, j k
F1{S }
▲ ■
F0 F0
2

s0
n2
s0 1
3、正交小波包的性质(为简便计，假定实函数)
n (t l ), n (t k ) (k l )
▲
k, l Z
■
正交性对于n=0或1时皆成立，所以使用数学归纳法。即令上式对于二进制位数不超过s0位的所有整数成立，需证明该式对于二进制位数不超过(s0+1)位的整数n成立

k
U
2 j 1 jk j
k 1
Wj U
i 0
1
2 i jk j
kj=0时Wj不分解，kj 表示分解的程度
▲ ■
随着尺度的增加，频窗半径減小，频率分辨率增加，但时间分辨率下降。

2 1 2k j i 2 L ( R) U j k j jZ i 0
■
2
2 2 1 2 i ( k l ) n (t l ), n (t k ) m1 m1 d 0 e 2 2 2 1 2 i ( k l ) d (k l ) 证毕 0 e 2
kZ
n, j k
2
j 2
n (2 t k )
j

U U
n j
2n j 1
U
2n1 j 1
f j ,n (t ) f j 1,2n (t ) f j 1, 2n1 (t )
2
j 1 2
[h
lZ
k 2l j
2 n (2
j 1
t l) g
j Βιβλιοθήκη 4 0
4 ( j 1)
4 j
i ( k l ) ˆ m1 n e d 2 2 2
2
2
2

i ( k l ) m1 e 2
j
▲

ˆ n 2j d 2 2
k, l Z
h0 (n), h0 (n 2l ) (l )
g 0 (n), g 0 (n 2l ) (l )
单位算子
▲ ■
2、 j 尺度空间
U
n j
j
U close 2
n j

j 2
n (2 t k )：k Z
0 j 1 j

V j U ,W j U
kZ
l 0,1
3、平方可积空间的正交小波包分解
V j U ,W j U
0 j
1 j
U
n j 1
U
▲
2n j
U
■
2 n1 j
Wj U U U
2
kj
2 j 1 4 j2
U U
3 j 1 5 j2
U
6 j 2
U
7 j2
2 j jk j
k
U
kj
2 j 1 jk j
0 0
(t )
(t ) 2 hk (2t k ) (t ) 2 g k (2t k )
k 0 N 1
g k (1) h
k
N 1k
▲ ■
从小波库中选择一组最佳小波包基，则有
f (t ) U
S
0,0 k
2 1 2k j i 2 0 U jk U J L ( R) j j 1 i 0

n相同时正交小波包函数整数平移正交 n为相邻奇偶数时正交小波包函数整数平移正交
2l (t m), 2l 1 (t k ) 0
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m, k Z
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2l (t m), 2l 1 (t k )