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有限元法与程序第7次课-平面问题

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1有限元法基础及平面结构问题的有限元法

1有限元法基础及平面结构问题的有限元法

车辆工程技术中心
机电工程学院
（4）利用结构力的平衡条件和边界条件把各个 单元按原来的结构重新连接起来，集合成整体 的有限元方程，求解出节点位移。 重点：对于不同的结构，要采用不同的单元，但 各种单元的分析方法又是一致的。
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四、有限元法的学习路线
从最简单的平面结构入手，由浅入深，介 绍有限元理论以及在汽车结构分析中的应用。
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汽车结构由不同的材料组成，其结构也非 常复杂，包括板、梁、轴、块等通过铆接或焊 接而成。 汽车结构承受的载荷也十分复杂，其中包 括自重，路面激励、惯性力及构件之间的约束 力。
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各种汽车结构件都可以应用有限元进行静 态分析、模态分析和动态分析。现代汽车设计 中，已从早期的静态分析为主转化为以模态分 析和动态分析为主。 汽车结构有限元分析的应用主要体现在以 下几方面：见教材P3
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弹性力学 —区别与联系 — 材料力学
3、研究的方法：有较大的区别。
虽然都从静力学、几何学与物理学三方面进行研究， 但是在建立这三方面条件时，采用了不同的分析方法。 材料力学是对构件的整个截面来建立这些条件的，因 而要常常引用一些截面的变形状况或应力情况的假设。 这样虽然大大简化了数学推演，但是得出的结果往往 是近似的，而不是精确的。而弹性力学是对构件的无 限小单元体来建立这些条件的，因而无须引用那些假 设，分析的方法比较严密，得出的结论也比较精确。 所以，我们可以用弹性力学的解答来估计材料力学解 答的精确程度，并确定它们的适用范围。
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目前应用较多的通用有限元软件如下表：

弹性力学—第六章—用有限单元法解平面问题

弹性力学—第六章—用有限单元法解平面问题
- 在整体刚度矩阵中引入边界条件
1
需求解的结点还剩：
2
I III IV II 4 5 3
因此关于这六个零分量的六个平衡方程不 用建立，须将整体刚度矩阵的第1，3，7， 8，10，12以及同序列的各列去掉。最后 得到：
6
结构整体分析（10）
- 结点载荷
j
I II IV
1N/m
i
III i
m
1
I
m
j
2
例如，设单元 ij 边上受有x方向上的均布面力q，试求等效 结点载荷
载荷向结点移臵（7）
结构整体分析（1）
对于每个单元，我们已经知道了如何计算单元的劲度矩 阵以及载荷列阵：
结构整体分析（2）
根据虚功原理，我们也推导了结点力与结点位移的关系：
对于 i 点, 一个单元上的结点力为:
i 点的力平衡要求围绕 i 点的各单元产生的结点力与各单 元分配到 i 点的结点载荷相等。
3
6
结构整体分析（15）
1. 有限元法的求解步骤： 2. 划分有限元， 3. 利用已知的结点坐标以及结构的物理特性写出单元劲度 矩阵， 4. 利用整体编码与局部编码的关系写出整体刚度矩阵以及 力列阵， 5. 在整体刚度矩阵以及力列阵中将对应于零位移的行与列 划去，得到引入边界条件后的平衡方程组。 6. 求解平衡方程组，得到结点位移，并由此分析应力分布。
有限单元法的单元划分（2）

当结构具有凹槽或孔洞时，为了正确地描述应力集中效 应，必须把该处的网格画得很密。

当计算容量不允许时，可以分两次计算。第一次计算时， 将需要细化网格的目标区域的网格画得稀疏一点，甚至 和其他区域的网格大致相同，第二次计算时，将需要细 化的部分区域（区域边界上的结点位移是第一次计算后 的已知值）取出，利用第一次计算的计算结果，就可以 计算分析网格很密的目标区域了。

有限单元法 第3章 弹性力学平面问题的有限元分析

有限单元法 第3章 弹性力学平面问题的有限元分析
# ! , ) ’ 0 ! # , %’ " $ # #1 ! #1 ! , , $ * ( 将应力矩阵表示为分块矩阵的形式 $ 有 %
图! ""! 桁架结构的有限元模型
在有限元法中 ! 把单元与 单 元 之 间 设 置 的 相 互 连 接 点 ! 称 为 结 点 # 如图! " " #%! " $$ 一般用号码 #!$!& 进行结 点 编 号 " 结 点 可 为 铰 结 % 固 接 或 其 他 形 式 的 连 接 " 结 点 的 设 置 % 性质及数 目 等 均 视 所 研 究 问 题 的 性 质 % 描 绘 变 形 状 态 的 需 要 和 计 算 精 度 的 要 求 等 而定 " 在有限元法中引进结点概念是至关重要的 " 有了结点 ! 才可将实际连续体看成是仅在 结点处相互连接的单元集合组成的离散型结构 ! 从而可使研究的对象转化成可以使用电子 计算机计算的数学模型 " 由单元 % 结点 % 结点连线构成的集合称为有限元模型 " 它是有限 元分析与计算的对象 "
性和连续性的要求 # 为了使位移模式尽可能地反映物体中的真实位移形态 " 它应满足下列 条件 ’ &位移模式必须能反映单元的刚体位移 # % # % &位移模式必须能反映单元的常量应变 # $ % &位移模式应尽可能地反映位移的连续性 # ! 由于有限元模型中单元之 间 仅 通 过 结 点 连 接 # 但 实 际 上 " 两 个 相 邻 的 单 元 在 整 个 交 界处 % 包括结点 & 都是相互连接 ( 相互作用的 " 所以在有限元分析中 " 选择位移模式时除 了要求单元之间在结点处有共同的结点位移值外 " 还应尽可能反映在单元之间公共交界处 的变形协调 #

弹性力学与有限元分析-第四章 平面问题有限元分析及程序设计

弹性力学与有限元分析-第四章 平面问题有限元分析及程序设计
有限单元法及程序设计
第四章 平面问题有限元分析及程序设计
§4.1 平面问题单元离散 §4.2 平面问题单元位移模式 §4.3 平面问题单元分析 §4.4 平面问题整体分析 §4.5 平面问题有限元程序设计
有限元网格划分的基本原则
• 网格数目 • 网格疏密 • 单元阶次 • 网格质量 • 网格分界面和分界点 • 位移协调性 • 网格布局 • 结点和单元编号 • 网格自动剖分
f
y
面力
f
f y
xy
xy
基本量和方程的矩阵表示
位移
d
u
v
物理方程 简写为
x y
xy
E
1 2
1
0
1
0
0 0
x y
1
xy
2
D
§4.2 单元位移模式
几何方程：
ux
v y
xvuyT
只要知道了单元的位移函数，就可由几何方程求出应变，再由物理 方程就可求出应力。
（1）位移模式必须能够反映单元的刚体位移； （2）位移模式必须能够反映单元的常应变；
必要条件
（3）位移模式尽可能反映位移的连续性；
u12x3y12x5 23y5 23y v4 5x6y46y5 23x5 23x
u0 1
v0 4
5 3
2
刚体平动
刚体转动
充分条件
u
v
u0 v0
y x
作业： P141 6-1
u12x3y N iuiNjujN m um
其中， N i 、N j 、N m 是系数，是 x、 y 的线性函数；
可以求得：
N i a i b ix ciy2A (i, j, m )

平面问题有限单元法教程

平面问题有限单元法教程
4、 Ni 1
第三章 平面问题有限单元法
1. 六结点三角形单元
5) 利用面积坐标求三角形单元的形函数 试凑法的步骤： 1、对于结点i 找出过其余结点的若干直线； 2、适当选用上述直线，将直线方程的左部以带 参数连乘式作为形函数Ni，这样可使在“它点 为零”的条件自动满足。 3、将I点坐标带入上面假定的Ni，用“本点为1” 的性质确定待定参数。
3) 面积坐标与直角坐标的转换关系
参考常应变单元位移函数可得：
P
x xi Li x j Lj xm Lm y yi Li y j Lj ym Lm
由于以上两种坐标变换是线性变换，所以面积坐标表示的
多项式
直角坐标中的同阶多项式。
第三章 平面问题有限单元法
1. 六结点三角形单元
3) 面积坐标与直角坐标的转换关系 设Li、Lj为独立变量，则Lm=1－L－Lj， 利用：
1)面积坐标：
令：
Li
Ai A
Ai的高 A的高
P
Lj
Aj A
Lm
Am A
即： P Li , Lj , Lm
Li , Lj , Lm 称为面积坐标
第三章 平面问题有限单元法
1. 六结点三角形单元
2）面积坐标的性质
a. 与j-m 边平行的线上的三角形
P
内点有相同的值 Li
b. 角点坐标为:
i ( 1,0,0 ), j ( 0,1,0 ), m ( 0,0,1 )
1. 六结点三角形单元
6) 六结点三角形单元的形函数
形函数矩阵
N
Ni 0
0 Ni
Nj 0
0 Nj
Nm 0
0 Nm
N1 0
0 N1
N2 0

第七章 平面问题的有限单元法(Q4)

第七章 平面问题的有限单元法(Q4)
b y3 y2 y y1 4 2 2
8
4节点四边形单元
y, v
u1 v 1 u2 u de 2 u3 u3 u4 u 4 displacements at node 1 displacements at node 2 displacements at node 3 displacements at node 4
x 1 2 3 4 N1 x1 N 2 x2 N 3 x3 N 4 x4 y 1 2 3 4 N1 y1 N 2 y2 N 3 y3 N 4 y4
1 N (1 )(1 ) 1 4 N 1 (1 )(1 ) 2 4 1 N (1 )(1 ) 3 4 N 1 (1 )(1 ) 4 4
1 4
Nj 1 4 (1 j )(1 j )
4 ( 1, +1) ( u4, v4)
1
N3 1 4 (1 )(1 ) N4 1 4 (1 )(1 )
N 3 at node 1 1 4 (1 )(1 ) 1 0 N 3 at node 2 1 4 (1 )(1 ) 1 0
同理：
1 1 1 1 1 y1 2 1 1 1 1 1 y2 1 1 1 1 4 3 y3 1 1 1 1 y4 4
K e B DBtd
e
T

11
等参单元

对于一般的四边形单元，在总体坐标系下构造 位移插值函数，则计算形状函数矩阵、单元刚 度矩阵及等效节点载荷列阵时十分冗繁；而对 于矩形单元，相应的计算要简单的多。 矩形单元明显的缺点是不能很好的符合曲线边 界，因此可以采用矩形单元和三角形单元混合 使用（网格划分困难）。更为一般的方法是通 过等参变换将局部自然坐标系内的规格化矩形 单元变换为总体坐标系内的任意四边形单元（ 包括高次曲边四边形单元）。 等参单元的提出为有限元法成为现代工程实

有限元分析 平面问题


汽车工程系
结构分析与CAE研究室
3.1 有限元模型
3.1.1 有限元网格划分
单元类型
由分析结构的几何形状及精度要求，选择单元类型。
单元大小
变量梯度大，单元小 精度要求高，单元小 汽车工程系
结构分析与CAE研究室
3.1 有限元模型
3.1.2 载荷处理——等效结点载荷
汽车工程系
结构分析与CAE研究室
i
yi )
所以，由
δ i ,δ j ,δ m
插值函数
u ( x, y ) v( x, y )
（单元位移模式）
结构分析与CAE研究室
汽车工程系
3.2 单元分析
一般取（x，y)的多项式为插值函数， 三结点三角形单元的位移模式可假设为： u ( x, y ) = α1 + α 2 x + α 3 y (3 1) v ( x, y ) = α 4 + α 5 x + α 6 y 式中 α1 , α 2 ,..., α 6 由满足结点条件: ( xi , yi ) → (ui , vi ) (i, j , m) 确定， 即在结点i上，有：
ui = α1 + α 2 xi + α 3 yi vi = α 4 + α 5 xi + α 6 yi ( i, j , m ) (3 2)
由（3－2)式可求得
α1 ,α 2 , ...,α 6
(三结点6个位移分量（六个自由度）恰好可确定这六个数)[?] 汽车工程系
结构分析与CAE研究室
3.2 单元分析
2.7 弹性力学平面问题(二维问题) 平面应力问题和平面应变问题:
{σ } , {ε } , {d } 仅为(x , y)的函数

5 平面问题和轴对称问题的有限元法


( x
1

y
)
y

1 2 E
(
y
1
x)
xy
xy G

2(1 E

)

xy
八未知量：
u, v, x, y, xy, x, y, xy。八个 方程，加上 约束条件， 理论上可求 解各种弹性 力学 的平面 问题
5.1.2平面问题的三角形单元求解
形函数：
Ns

1 2A (as
bsr
cs z)
(s i, j, m)
19
5.2 轴对称问题
用矩阵表示的单元位移为：
d



u w


Ni 0
0 Ni
Nj 0
0 Nj
Nm 0
单元应变： 将单元位移函数带入几何方程得：
ui

wi

0 Nm



e

2
（6）求节点力与节点位移的关系
对于一个已经编排好节点号的系统，按节点号叠加单元刚度矩 阵中的元素可得到总体刚度矩阵，在引入一定的边界条件和外 载荷后即可求解。最后的计算格式可记为
2019/10/15
｛F｝={K}{δ}
5.2 轴对称问题
一、轴对称问题的定义
如果物体的几何形状、约束 情况及所受的外力都对称于 空间的某一根轴（如Z轴）， 则通过该轴的任何平面都是 物体的对称面，物体内的所 有应力、应变和位移都关于 该轴对称，这类问题称为轴 对称问题。

1 2A
abii ci
aj bj cj
am bm

有限元分析 第二章 平面问题的有限元方法

当采用有限元方法求解时，第一步是将平板离散成有 限个小单元。
A：
梁结构的离散：取一段梁为一单元 单元类型：简单直线段 离散原则：几何上真实模拟原结构及其变形
平板的离散：取一小面积板为一单元 单元类型：由最基本的平面图形构成 三角形、四边形（如正方形、长方形、梯形） 而五边形、圆、扇形不宜作为单元。 离散原则：几何上真实模拟原结构（无缺陷、重叠） 模拟变形状态
(2.3)
对于平面问题：
u x x v y y u v xy y x
(2.4)
x x y 0 z y
0 u y v x
简记，
u H ( x, y)a v
u H a v
（2.14）
e e Ⅱ、单元节点位移 与 a 之关系
u l 1 xl v 0 0 l u m 1 x m v m 0 0 u n 1 x n vn 0 0
第2章 平面问题的有限元方法
2.1 弹性理论基础
Ⅰ、基本假设： • 连续性－物质连续。相应的应力应变，位移等连续变量可 以用坐标的连续函数表示； • 均质各向同性——物体内部各点，各方向上物理性质相同， 材料常数（弹性模量，泊松比）不随坐标方向而变； • 完全弹性——材料服从Hooke定律； • 小变形（几何假设）——略去二阶小量，所有微分方程为 线性的； • 无初应力——加载前物体内无初应力。
yl 0 ym 0 yn 0
0 1
0 xl
0 0 1 xm 0 1 0 xn
0 a1 a yl 2 0 a3 y m a 4 0 a 5 yn a 6

有限元分析第4章 平面问题有限单元法1

1
6
P
3
4 5
4
2
位移协调条件：各单元共享节点的位移相等 节点平衡条件：各节点单元内力与节点外力构成平衡力系
最终数学模型： K Q
基本概念
单元（element） 节点 (node)
回顾
单元节点位移 (node displacement)
单元节点内力 (node force)
单元刚度矩阵 (element stiffness matrix)
e
bx u by v
d
S
e p
px u py v dS
代入
u v



N

e
{} [B]{ }e
{ } [S]{ }e
得
内力虚功＝
e x x y y xy xy d
T d
cj
y)v j

(am
bmx

cm y)vm ]
二、平面问题三角形单元分析
三角形单元形函数
形函数
u x,
y

1 2A
[(ai

bi x

ci
y)ui

(a j

bj x

cj
y)u j

(am

bm x

cm
y)um ]
v x,
y

1 2A
[(ai

bi x

ci
y)vi

(a j

插值系数的确定：待定系数法
ui a1 a2 xi a3 yi u j a1 a2 x j a3 y j um a1 a2 xm a3 ym
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=（h1 +…+ hj-2 + 1）+ hj-1 = MAXA（j - 1）+ hj-1
因为永远有
MAXA(1)= 1， MAXA(2)= 2
故计算主元地址的公式可写为
MAXA(j+1)= MAXA(j)+ hj 式中， j = 2，3，…，N；
hj——刚度矩阵[K]第j列的列高。
一维数组A的总长度(S) ，即刚度矩阵K按变带宽存贮 的总存贮量 S = MAXA(N+1)- MAXA(1)
第2章
平面问题的有限元法
上次课内容回顾
平面矩形单元 平面6节点三角形单元
§ 2.9 平面有限元分析实施步骤与注意事项
一、实施步骤
以三角形常应变单元解平面问题为例，具体歩骤可 归纳如下
(1) 将要计算的弹性体划分成三角形单元。对结 点进行编号，列出结点坐标作为输入信息。 (2) 对单元进行编号，列出单元三个结点的号码 作为输入信息。 (3) 计算载荷的等效结点力，把等效结点力作为 输入信息。 b (4) 计算各单元的常数， i、ci、b j、c j、b m、cm 再计算2Δ。
开始 输入基本数据 计算单元刚度矩阵 形成总体刚度矩阵 形成结点荷载向量 引入约束条件
求解方程组，输出结点位移
计算单元应力，输出结果 结束
§ 2.10 平面问题的计算机程序
一、有限元分析程序基本框图 2、单元分析
（1）各单元的bi,ci(i,j,m) ， 面积A； （2）应变矩阵[B]，应力矩阵[S]； （3）单元刚度矩阵[k]； （4）单元等价载荷列向量[F]。
求解方程组，输出结点位移
计算单元应力，输出结果 结束
§ 2.10 平面问题的计算机程序
一、有限元分析程序基本框图 6 应力计算结果的整理
两单元平均法：把两个相邻单 元中的常应力加以平均，用来 表示公共边界中点处的应力。 绕结点平均法：把环绕某一结 点的各单元常应力加以平均， 用以表示该结点的应力。在内 结点效果较好，而在边界结点 可能很差，一般改为应由内结 点的应力外推计算出来。
开始 输入基本数据 计算单元刚度矩阵 形成总体刚度矩阵 形成结点荷载向量 引入约束条件
求解方程组，输出结点位移
计算单元应力，输出结果 结束
§ 2.10 平面问题的计算机程序
二、总体刚度矩阵[K]的存储 全矩阵存贮法：不利于节省计算机的存贮空间， 很少采用。 对称三角存贮法：存贮上三角或下三角元素。 半带宽存贮法 ：存贮上三角形（或下三角形） 半带宽以内的元素 。 一维压缩存贮法 ：半带宽存贮中仍包含了许多 零元素。存贮每一行的第一个非零元素到主对 角线元素。
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
JC-(IR-1)
方阵形式
等带宽形式
方阵存贮和半带பைடு நூலகம்存贮地址关系
存贮方式 行号 列号
方阵存贮
等带宽存贮
IR
IR
JC
JC-IR+1
半带宽计算：设结构单元网格中相邻结点编号的 最大差值是d，则最大半带宽为UBW：
2 变带宽存贮（一维压缩存贮）
等带宽存贮虽然已经节省了不少内存，但认真 研究半带宽内的元素，还有相当数量的零元素。在 平衡方程求解过程中，有些零元素只增加运算工作 量而对计算结果不产生影响。如果这些零元素不存、 不算，更能节省内存和运算时间，采用变带宽存贮 可以实现（也称一维数组存贮） 。变带宽存贮编程
§ 2.9 平面有限元分析实施步骤与注意事项
二、注意事项
边界条件的处理：划0置1法
K11 K 21 K 31 K 41
1 0 0 K 22 0 0 0 K 42
K12 K 22 K 32 K 42
0
K13 K 23 K 33 K 43
K14 K 24 K 34 K 44
技巧要求较高，程序较长。
方阵形式的刚度矩阵[K]
UBW=4
顶线
K11 K
K12 K 22
0 K 23 K 33
K14 0 K 34 K 44
0 0 0 K 45 K 55
0 0 K 36 K 46 K 56 K 66
0 0 0 0 0 K 67 K 77
§ 2.10 平面问题的计算机程序
一、有限元分析程序基本框图
1、输入基本数据（结构描述）： （1）控制数据：如结点总数、单 元总数、约束条件总数等； （2）结点数据：如结点编号、结 点坐标、约束条件等； （3）单元数据：如单元编号、单 元结点序号、单元的材料特性、 几何特性等； （4）载荷数据：包括集中载荷、 分布载荷等。
确定第j列列高的办法是：从1号单元起，对所有 单元逐个进行检查。 主元在一维数组[A]中的地址 数组MAXA的长度是[K]的行或列数加1（N+1）。 [K]的任何一个主对角元在一维数组A中的地址： 第j列主对角线元素Kjj在一维数组A中的地址等于前(j-
1)列的列高之和加1，即
MAXA(j) = h1 +…+ hj-2 - hj-1 + 1
§ 2.9 平面有限元分析实施步骤与注意事项
二、注意事项 边界条件的处理：冲大数法
K11 10 K 21 K 31 K 41
15
K12 K 22 K 32 K 42
K13 K 23 K 33 1015 K 43
K14 K 24 K 34 K 44
15 u1 1 K11 10 v F 1 y1 u2 3 K 33 1015 v2 Fy 2
Ki,j在一维数组[A]中的地址 记Ki,j在一维数组A中的地址为AIJ。则由下图可知， A I J = MAXA[ J ] + J – I 其中，I = mj，mj+1，…，J。
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 K 0 0
0 0 0 K 45 K 55
0 0 K 36 K 46 K 56 K 66
0 0 0 0 0 K 67 K 77
0 0 0 0 K 58 0 K 78 K 88
A(1) A
A( 3) A( 2) A(5) A(4)
对 称
0 0 0 0 K 58 0 K 78 K88
顶线以上零元素无须存贮，仅顶线以下元素。
一维数组[A]存贮刚度矩阵[K]
K11 K
K12 K 22
0 K 23 K 33
K14 0 K 34 K 44
1 半带宽存贮法
行号
UBW
行号
UBW
1 → 0 0 0 0 0 0 IR → 0 0 N→
列号 1
JC
1 → IR → N→ 1
§ 2.10 平面问题的计算机程序
一、有限元分析程序基本框图 6 应力计算结果的整理
计算结果包括位移和应力两个方面。 在位移方面，一般无须进行整理工作。 应力结果则需要整理。通常认为计算 出的应力是三角形单元形心处的应力。 而相邻单元之间的应力存在突变，甚 至正、负符号都不相同。为了由计算 结果推算出结构内某一点的接接实际 的应力，必须通过某种平均计算。通 常可采用两单元平均法或绕结点平均 法。 开始 输入基本数据 计算单元刚度矩阵 形成总体刚度矩阵 形成结点荷载向量 引入约束条件
j列
顶线下 Kmj,j
第j列
Ki,j
第i 行
Kj,j
第j 行

AIJ
(j-i)个 元素
MAXA(J)
[K]中地址
A中地址
作业: （选作） 1) 计算方法中LDLT分解算法及程序 2) 确定十结点三角形单元的单元刚度矩阵
提示位移形函数取为
1 N i Li (3Li 1)(3Li 2) （i 1,2,3) 2 9 9 N 4 L1 L2 (3L1 1), N 5 L1 L2 (3L2 1) 2 2 9 9 N 6 L2 L3 (3L2 1), N 7 L2 L3 (3L3 1) 2 2 9 9 N 8 L3 L1 (3L3 1), N 9 L3 L1 (3L1 1) 2 2 N10 27 L1 L2 L3
求解方法常用：GAUSS消元法，
开始 输入基本数据 计算单元刚度矩阵 形成总体刚度矩阵 形成结点荷载向量 引入约束条件
LDLT、QR分解法等。其程序在
一些专著中列出（例如：徐士良 编。FORTRAN常用算法程序集。 清华大学出版社）。在此不作详 细介绍，其方法参阅有关书籍。
求解方程组，输出结点位移
计算单元应力，输出结果 结束
开始 输入基本数据 计算单元刚度矩阵 形成总体刚度矩阵 形成结点荷载向量 引入约束条件
3、系统分析
（1）整体刚度矩阵[K]的组装； （2）整体载荷列阵{P}的形成；
求解方程组，输出结点位移
计算单元应力，输出结果 结束
关键问题：[K]的存储；
§ 2.10 平面问题的计算机程序
一、有限元分析程序基本框图 4、约束引入 5、线性方程组求解
UBW (d 1) ndf , ndf为一个结点的自由度数
结点编号：欲使最大半带宽UBW最小，必须注 意结点编号方法，使直接联系的相邻节点的最大点 号差最小。
例：计算下图半带宽。
结点数N=91，总刚[K]中的元素总数为： （91×2）×（91 ×2 ）=33124 最大半带宽UBW=(7+1) ×2=16，半带宽存储矩阵元素总数为 182 ×16=2912，约方阵元素的8.8%。