学科教师辅导讲义
学员编号：学员姓名：年级：高二
辅导科目：数学
课时数：
学科教师：
3 教学内容
1．二项式定理：
(a b) n C n0a n C n1a n 1b L C n r a n r b r L C n n b n (n N ) ，
2．基本概念：
①二项式展开式：右边的多项式叫做(a b)n的二项展开式。
②二项式系数 :展开式中各项的系数C n r (r 0,1,2, , n) .
③项数：共 (r 1) 项，是关于 a 与b的齐次多项式
④通项：展开式中的第r 1 项 C n r a n r b r叫做二项式展开式的通项。用 T r 1 C n r a n r b r表示。
3．注意关键点：
①项数：展开式中总共有( n 1) 项。
②顺序：注意正确选择 a ,b,其顺序不能更改。 (a b)n与 (b a) n是不同的。
③指数： a 的指数从 n 逐项减到0，是降幂排列。 b 的指数从 0 逐项减到n，是升幂排列。各项的次数和等于n.
④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是C n0 ,C n1 ,C n2 , ,C n r , ,C n n . 项的系数是 a 与b的系数
（包括二项式系数）。
4．常用的结论：
令 a 1,b x, (1 x) n C n0 C n1 x C n2 x2 L C n r x r L C n n x n ( n N )
令 a 1,b x, (1 x)n C n0 C n1x C n2 x2 L C n r x r L ( 1)n C n n x n (n N )
5．性质：
①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即C n0 C n n，··· C n k C n k 1
②二项式系数和：令 a b 1 ,则二项式系数的和为 C n0 C n1 C n2 L C n r L C n n 2n，
变形式 C n1 C n2 L C n r L C n n 2n 1 。
③奇数项的二项式系数和 =偶数项的二项式系数和：
在二项式定理中，令 a 1,b 1，则 C n 0 C n 1 C n 2 C n 3 L
( 1)n C n n
(1 1)n 0 ，
从而得到： C n 0
C n 2 C n 4
C n 2r
C n 1 C n 3
L
C n 2r 1
1 2n 2n 1
2
④奇数项的系数和与偶数项的系数和：
(a x)n
C 0a n x 0
C 1a n 1x C 2 a n 2 x 2
L C n a 0 x n a
0 a x 1 a x 2
L a x n
n
n
n
n
1
2
n
( x a)n C n 0a 0 x n C n 1ax n 1
C n 2 a 2 x n 2 L C n n a n x 0
a n x n
L a 2 x 2 a 1x 1 a 0 令 x 1, 则 a 0 a 1 a 2 a 3 L a n
(a 1)n
① 令 x
1,则 a 0 a 1 a 2 a 3 L
a n (a 1)n
②
① ②得 , a 0 a 2 a 4 L
a n
( a 1)n
( a 1) n
(奇数项的系数和 )
2
① ②得 , a 1 a 3 a 5 L
a n
( a 1)n
(a 1)n (偶数项的系数和 )
2
n
⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数
n 是偶数时，则中间一项的二项式系数
C n 2 取得最大值。
n 1
n 1
如果二项式的幂指数 n 是奇数时，则中间两项的二项式系数
C n 2 , C n 2 同时取得最大值。
⑥系数的最大项：求 (a bx) n 展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别
为 A 1, A 2,
, A n 1 ，设第 r A r 1
A r r 来。
1 项系数最大，应有
A r
，从而解出
A
r 1
2
专题一
题型一：二项式定理的逆用；
例： C n 1 C n 2 6 C n 3 62 L C n n 6n 1
.
解： (1 6) n C n 0 C n 1
6 C n 2 62 C n 3 63
L C n n 6n 与已知的有一些差距，
C n 1 C n 2 6 C n 3 62 L C n n 6n 1
1
(C n 1 6 C n 2 62
L C n n 6n )
1
(C n 0
6
1
[(1 6) n
1 (7 n
C n 1 6 C n 2 62 L C n n 6n 1)
1] 1)
6
6 6
练： C n 1 3C n 2 9C n 3
L 3n 1C n n
.
解：设 S n
C n 1 3C n 2 9C n 3 L 3n 1C n n ，则
3S n C n 1 3 C n 2 32 C n 3 33 L C n n 3
n
C n 0 C n 1 3 C n 2 32 C n 3 33 L C n n 3n 1 (1 3)n 1
S n (1 3)n 1
4n 1
3 3
题型二：利用通项公式求
x n 的系数；
例：在二项式 ( 4
1
3
x 2 ) n 的展开式中倒数第 3 项的系数为 45 ，求含有 x 3 的项的系数
x
解：由条件知 C n n 2
45 ，即 C n 2 45 ， n 2 n
90 0 ，解得 n
9(舍去 )或 n 10 ，由
T
r 1
C 10r (x 1
2
C 10r x
10 r 2 r
10 r
2 r
4 )10 r ( x 3 ) r
4
3
，由题意
3, 解得 r 6 ，
4
3
则含有 x 3 的项是第 7项T 6 1
C 106 x 3
210 x 3 ,系数为 210 。
练：求 ( x 2
1 )9 展开式中 x 9 的系数
2x
解： T r 1
C 9r
( x 2 )9 r
( 1 ) r
C 9r
x
18 2r (
1)r x r
C 9r (
1
)r x 18 3r ，令 18 3r 9 ,则 r 3
2x
2
2
故 x 9 的系数为 C 93 ( 1 )3
21 。
2
2
题型三：利用通项公式求常数项；
例：求二项式 ( x 2
1 x )10 的展开式中的常数项
2
C 10r (x 2 )10
r
( 1 )r
C 10r
( 1
) r
20 5 r
5 r
8 ，所以 T 9 C 108
(1)
8
45
解： T r 1
x
2
，令 20
0 ，得 r
2 x
2
2
2 256
练：求二项式 (2 x
1 ) 6 的展开式中的常数项
2x 1)r
(
1
r ( 1 )r
解：
T r 1 C 6r
(2 x)
6 r
( ) r ( 1)r C 6r 26 x 6 2r ，令 6 2r
，得 r 3 ，所以 T 4 ( 1)3 C 63
20
2x 2
练：若 ( x
2
1
)n 的二项展开式中第 5 项为常数项，则 n ____.
x
解： T 5 C n 4
(x 2 )
n 4
( 1
)4
C n 4 x 2 n 12 ，令 2n 12 0 ，得 n 6 .
x
题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项；
例：求二项式 (
x
3
x)9 展开式中的有理项
r
1
9 r 1 r
rr 27 r
27 r
解： T r 1
( x 2
3
6
Z ,( 0 r 9 )得 r
3或 r
9 ，
C 9
) ( x
)
( 1) C 9 x
，令
6
所以当 r
3时，
27
r
4，T 4
( 1)3 C 93 x 4 84 x 4 ，
6
当 r
9 时，
27 r
3，T 10
( 1)3 C 99 x 3
x 3 。
6
题型五：奇数项的二项式系数和
=偶数项的二项式系数和；
例：若 ( x 2
1 ) n 展开式中偶数项系数和为
256，求 n .
3
x 2
解：设 ( x 2
1 ) n 展开式中各项系数依次设为 a 0 , a 1, a n ,
3
x 2
令 x
1 ,则有 a 0 a 1
a n
0, ①， 令 x 1,则有 a 0 a 1
a 2 a 3
( 1)n a n 2n , ②
将① -②得： 2( a 1 a 3 a 5 )
2n , a 1
a 3 a 5
2n 1 ,
有题意得，
2n 1
256
28 ， n 9 。
练：若
( 3 1
5
1 n 的展开式中，所有的奇数项的系数和为
1024，求它的中间项。
x
x 2 )
解： Q C n 0 C n 2
C n 4
C n 2r
C n 1 C n 3 L
C n 2 r
1
2n 1 ， 2n
1
1024 ，解得 n 11
C n 5 ( 3 1 )6 ( 5 1
2 )5
4
，T 61
61
所以中间两个项分别为
n 6, n
7
， T 5 1
462 x
462 x 15
x
x
题型六：最大系数，最大项；
例：已知 (
1
2x) n ，若展开式中第 5 项，第 6 项与第 7 项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项
2
的系数是多少
解： Q C n 4 C n 6
2C n 5 , n 2
21n 98 0, 解出 n 7或n 14，当 n 7 时，展开式中二项式系数最大的项是
T 4和 T 5 T 4的系数
C 73
( 1
)4 2
3
35
, ， T 5的系数
C 74
(1
)3 24 70, 当 n 14 时，展开式中二项式系数最大
2
2
2
的项是 T 8 ， T 8的系数 C 14
7
( 1
)7 27
3432 。
2
练：在 (a
b)2 n 的展开式中，二项式系数最大的项是多少
解：二项式的幂指数是偶数
2n ，则中间一项的二项式系数最大，即
T
2 n T n
1 ，也就是第 n 1项。
2 1
练：在 (
x
1
) n 的展开式中，只有第 5 项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少
2
3
x
解：只有第
5 项的二项式最大，则
n
1 5 ，即 n
8 ,
6 1
2
C 8 (
) 7
2
所以展开式中常数项为第七项等于
2
练：写出在 ( a b) 7
的展开式中，系数最大的项系数最小的项
解：因为二项式的幂指数
7 是奇数，所以中间两项 (第 4,5 项 )的二项式系数相等，且同时取得最大值，从而有
T 4
C 73a 4b 3 的系数最小， T 5 C 74 a 3b 4 系数最大。
练：若展开式前三项的二项式系数和等于
79，求 (
1
2 x) n 的展开式中系数最大的项
2
1
1
解：由 C n 0 C n 1 C n 2
79, 解出
n 12 ,假设
r 1 项最大，
2x) 12
12
(1 4x) 12
T
Q (
( )
2
2
A
r 1
A r
C 12r 4r C 12r 1 4r 1
r 10.4，又 Q 0 r 12 ， r 10 ，展开式中系数最
C 12r 4r
，化简得到 9.4
A
r 1
A
r 2
C 12r 1 4 r 1
大的项为 T 11 ,有 T 11
( 1 )12 C 1210 410 x 10 16896 x 10
2
练：在 (1 2 x)10
的展开式中系数最大的项是多少
解：假设 T r 1 项最大， Q T r
1
C 10r 2r x r
A r 1 A r
C 10r 2 r
C 10r 1 2 r 1
2(11 r )
r
，化简得到
6.3 k
7.3 ，又Q0
r 10 ，
C 10r 2 r
C 10r 1 2r 解得
A r 1 A r
2
1 ,
r 1 2(10 r )
r 7 ，展开式中系数最大的项为 T 8 C 107 27 x 7 15360 x 7 .
题型七：含有三项变两项 ；
例：求当 ( x 2 3x
2)5 的展开式中 x 的一次项的系数
解法①： ( x 2 3x 2) 5
[( x 2 2) 3x]5 ， T r 1 C 5r ( x 2 2) 5 r (3 x)r ，当且仅当 r 1 时， T r 1 的展开式中才有 x
的一次项，此时 T r
1
T 2 C 51 ( x 2 2) 4 3x ，所以 x 得一次项为 C 51C 44 243x
它的系数为 C 51C 44 243 240 。
解法②： ( x 2 3x 2) 5
( x 1)5 ( x 2) 5 (C 50 x 5 C 51 x 4 C 55 )(C 50 x 5 C 51x 4 2
C 55 25 )
故展开式中含 x 的项为 C 54 xC 55 25 C 54 x24 240x ，故展开式中 x 的系数为 240.
练：求式子 ( x
1 2) 3 的常数项
x
解： ( x
1
2)
3
(
x 1 )6
，设第 r 1
项为常数项，则 T r 1
C 6r ( 1)r
6 r
( 1
)
r
( 1)6 C 6
r
6 2 r
x
x
，得
x
x
x
6 2r 0 , r 3 , T3 1 ( 1)3 C63 20 . 题型八：两个二项式相乘；
例：
求(1 2x)3 (1 x) 4展开式中 x2的系数 .
解：Q(1 2x)3的展开式的通项是 C3m (2 x) m C3m 2m x m,
(1 x)4的展开式的通项是 C 4n ( x)n C 4n 1n x n ,其中 m 0,1,2,3, n 0,1,2,3, 4,
令 m n 2,则 m 0且 n 2, m 1且
n 1,m 2且 n 0,因此 (1 2x)3 (1 x) 4
的展开式中 x2的系数等于 C30 20 C42 ( 1)2 C31 21 C41 ( 1)1 C32 22 C40 ( 1)0 6 . 练：求 (1 3 x )6(1
1 )10展开式中的常数项.
4x
1 m n 4m 3 n
解： (1 3 x )6 (1
4
)10展开式的通项为 C6m x 3 C10n x 4 C6m C10n x 12 x
其中
m 0,1,2, ,6, n 0,1,2,
当且仅当
4m 3n,
即
m
0,或 m 3,或 m 6, ,10, n 0, n 4, n 8,
时得展开式中的常数项为 C60 C100 C63 C104 C66 C108 4246 .
已知 (1 x x 2 )( x 1 n 的展开式中没有常数项* 且 2 n 8, 则 n ______. 练：x3 ) , n N
解： (x 13 )n展开式的通项为 C n r x n r x 3r C n r x n 4 r , 通项分别与前面的三项相乘可得x
C n r x n 4 r ,C n r x n 4 r 1,C n r x n 4 r 2 ,Q 展开式中不含常数项, 2 n 8
n 4r且 n 4r 1且 n 4r 2，即 n 4,8且n 3,7 且 n 2,6, n 5.
题型九：奇数项的系数和与偶数项的系数和；
例：在 ( x 2) 2006的二项展开式中 , 含 x的奇次幂的项之和
为S,当 x 2时, S _____.
解：
设( x 2) 2006=a0 a1x1 a2x2 a3 x3 L a2006 x2006 ------- ①
( x 2) 2006 =a0 a1 x1 a2 x2 a3x3 L a2006x2006 ------- ②
① ②得 2(a x a x3 a x5 L a x2005 ) ( x 2) 2006 ( x 2) 2006
1 3 5 2005
(x 2) 2006展开式的奇次幂项之和为S( x) 1
[( x 2) 2006 (x 2) 2006 ] 2
3 2006
当 x 2时,S( 2) 1
2) 2006 ( 2 2) 2006 ]
2 2
2 3008
[( 2
2
2
题型十：赋值法；
例：设二项式 3 1 n p
(3 x ) 的展开式的各项系数的和为，所有二项式系数的和为, s 若
x
p s272 ,则 n 等于多少
解：若(33 x 1 )n a0 a1 x a2 x2 a n x n，有 P a0 a1 a n， S C n0 C n n 2n，
x
令 x 1 得 P 4n，又p s 272 ,即 4n 2n 272 (2 n 17)(2 n 16) 0 解得 2n 16或 2n 17(舍去 )，n 4 .
1 n
练：若 3 x 的展开式中各项系数之和为64 ，则展开式的常数项为多少x
1 n
解：令 x 1 ，则 3 x 的展开式中各项系数之和为2n 64 ，所以，则展开式的常数项为
x
C63 (3 x )3 ( 1 )3 540 .
x
练：若(1 2x) 2009 a0 a1x 1 a2 x 2 a3x 3 L a
2009
x
2009
( x
a1 a2
a
2009
的值为
R), 则
2 2 2 2009
2
解：令 x 1
,可得 a0 a1 a2 a2009 0, a1 a2 a2009 a0 2 2 22 22009 2 22 22009
在令 x 0可得
a0
a1 a2 a2009
1.
1,因而
2 22 22009
练：若 ( x 2)5 a5x5 a4 x4 a3x3 a2 x2 a1x1 a0 ,则 a1 a2 a3 a4 a5 ____. 解：令 x 0得 a0 32, 令 x 1得 a0 a1 a2 a3 a4 a5 1,
a1 a2 a3 a4 a5 31.
题型十一：整除性；
例：证明：32n
2 8n 9( n N
*)能被64整除
证： 32 n 2 8n 9 9n 1 8n 9 (8 1)n 1 8n 9
C n01 8n 1 C n11 8n C n n11 82 C n n181 C n n11 8n 9
C n01 8n 1 C n11 8n C n n11 82 8( n 1) 1 8n 9 C n01 8n 1 C n11 8n C n n1182
由于各项均能被64 整除32 n 2 8n 9(n N * )能被 64整除
1、(x－ 1)11展开式中x 的偶次项系数之和是
1、设 f(x)=(x-1) 11, 偶次项系数之和是 f (1) f ( 1) ( 2)11 / 21024
2
2、C n0 3C1n 32 C n2 3n C n n 2、
2、4n
3、(35 1 ) 20的展开式中的有理项是展开式的第项
5
3、3,9,15,21
4、(2x-1)5展开式中各项系数绝对值之和是
4、(2x-1)5展开式中各项系数系数绝对值之和实为(2x+1)5展开式系数之和，故令x=1，则所求和为 35
5、求 (1+x+x2 )(1-x)10 展开式中 x4的系数
5、(1 x x2)(1 x )10 (1 x 3 )(1 x )9,要得到含x4的项，必须第一个因式中的 1 与 (1-x)9展开式中的项C94( x )4作积，第一个因式中的－x3与 (1-x)9展开式中的项C19( x ) 作积，故x4的系数是 C91 C 94 135
6、求 (1+x)+(1+x)2+ +(1+x)10展开式中 x3的系数
6、(1 x ) (1 x ) 2 （1 10 (1 x )[1 (1 x) 10 ]
1) 11 (x
1)
，原式中 x3实为这分子中的x4，则所
x）
1 (1 x ) = ( x
x
求系数为 C117
7、若f ( x) (1 x) m (1 x) n (m n N ) 展开式中，x的系数为21，问 m、 n 为何值时， x2的系数最小
7、由条件得 m+n=21，x2的项为C m2x2 C n2 x 2 ，则 C m2 C n2 (n 21)2 399
. 因n∈N，故当n=10或11时上式有
m=11 和 n=10，或 m=10 和 n=11 时， x2的系数最小2 4
最小值，也就是
8、自然数 n 为偶数时，求证：
1 2C1n C n
2 2C3n C n4 2C n n 1 C n n
3 2n 1
8、原式 = (C n0 C1n C n2 C n n 1 C n n ) (C1n C3n C5n C n n 1 )2n 2n 1 3.2n 1
9、求8011被 9 除的余数
9、8011(81 1)11C110 8111C1118110C1110 81 1 81k 1(k Z ) ,
∵k∈Z,∴9k-1∈ Z，∴8111被 9 除余 8
10、在 (x2+3x+2)5的展开式中，求x 的系数
10 、 (x 2
3x 2) 5 (x 1) 5 (x 2) 5
在(x+1)5 展开式中， 常数项为 1，含 x 的项为 C 15 5x ，在 (2+x)5 展开式中， 常数项为 25=32，含 x 的项为 C 51 2 4 x 80 x
∴展开式中含 x 的项为 1
(80x ) 5x (32) 240x ，此展开式中 x 的系数为 240
11
、求 (2x+1)12
展开式中系数最大的项
11 、设 T
的系数最大，则
T 的系数不小于 T 与 T 的系数，即有
r+1
r+1
r
r+2
C 12r 212 r C 12r1 213 r C 12r 2C 12r 1 C 12r 212 r
C 12r1 1211 r
2C 12r C 12r 1
3
1
r 4 1
, r 4
3 3
∴展开式中系数最大项为第
5 项， T 5=16C 124 x 4 7920 x 4
二项式定理测试题及答案 n 能使(n+i) 4 成为整数(B ) C.2 D.3 A A ； L L A ；J°，则S 的个位数字是(C ) -a ) 8展开式中常数项为1120，其 中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和 x A. 15 个 B. 33 个 C. 17 个 D. 16 个 是(C ) A.28 B.38 C.1 或38 D.1 或 28 5.在(2 3 5)100的展开式中，有理项的个数是( 6.在、x 1 3x 24 的展开式中，x 的幕指数是整数的项共有(C B . 4项 -x)6的展开式中，含 、5 A. 3项 7?在(1 - x)5- (1 A 、一 5 B 、5 C & (1 x)5 (1 x)3的展开式中x 3的系数为(A A . 6 B. -6 C. 9 9.若x==，则(3+2x) 10的展开式中最大的项为(B 2 A.第一项 C . 5项 3 x 的项的系数是(C 、一10 B. 、10 ) D . -9 第三项 C. 第六项 D. 第八项 A. 7 B. 12 C. 14 D . 5 11.设函数 f(x) (1 2x)10 ,则导函数 2 f (x)的展开式x 项的系数为(C ) A. 1440 B .-1440 C .-2880 D .2880 12 .在(x 1 5 -I)5 x '的展开式中，常数项为( B ) (A ) 51 (B ) -51 (C )- ii (D ) ii 13 .若(x n n 1) x L 3.2. ax bx L 1(n N )，且 a:b 3:1，则n 的值为(C ) A. 9 B . 10 C . ii D. 12 14 .若多项式x 2 10 x =a 0 a i (x 1) a 9(x i)9 a i0(x i)i0, 则 a 9 ( ) (A ) 9 (B ) 10 (C ) 9 (D ) 10 10.二项式 n 的最小值为( ) A 解：根据左边 1,易知 a io 10 X 的系数为 1，左边x 9的系数为0,右边x 9的系数为 1 3 )n 的展开式中含有非零常数项，则正整数 3x 3 1.有多少个整数 A.0 B.1 2. 2 4 展开式中不含x 项的系数的和为(B ) A.-1 B.0 C.1 D.2 3?若 S =A 1 4.已知(x (2x 4
二项式定理 概 念 篇 【例1】求二项式(a －2b )4的展开式. 分析：直接利用二项式定理展开. 解：根据二项式定理得(a －2b )4=C 04a 4+C 14a 3(－2b )+C 24a 2(－2b )2+C 34a (－2b )3 +C 44(－ 2b )4 =a 4－8a 3b +24a 2b 2－32ab 3+16b 4. 说明：运用二项式定理时要注意对号入座，本题易误把－2b 中的符号“－”忽略. 【例2】展开(2x － 223x )5 . 分析一：直接用二项式定理展开式. 解法一：(2x －223x )5=C 05(2x )5+C 15(2x )4(－223x )+C 25(2x )3(－223x )2+C 35(2x )2(－2 23x )3+ C 4 5 (2x )(－223x )4+C 55(－2 23x )5 =32x 5－120x 2+x 180－4135x +78405 x －10 32243x . 分析二：对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开. 解法二：(2x －223x )5=105 332)34(x x =10321x ［C 05(4x 3)5+C 15(4x 3)4(－3)+C 25(4x 3)3(－3)2+C 35(4x 3)2(－3)3+C 45(4x 3)(－3)4+ C 55(－3)5 ］ = 10 321 x (1024x 15－3840x 12+5760x 9－4320x 6+1620x 3－243) =32x 5－120x 2+x 180－4135x +78405 x －10 32243x . 说明：记准、记熟二项式(a +b )n 的展开式是解答好与二项式定理有关问题的前提条件.对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便. 【例3】在(x －3)10的展开式中，x 6的系数是 . 解法一：根据二项式定理可知x 6的系数是C 4 10. 解法二：(x －3)10的展开式的通项是T r +1=C r 10x 10－ r (－3)r . 令10－r =6，即r =4，由通项公式可知含x 6项为第5项，即T 4+1=C 410x 6(－3)4=9C 410x 6. ∴x 6的系数为9C 410. 上面的解法一与解法二显然不同，那么哪一个是正确的呢？ 问题要求的是求含x 6这一项系数，而不是求含x 6的二项式系数，所以应是解法二正确. 如果问题改为求含x 6的二项式系数，解法一就正确了，也即是C 4 10. 说明：要注意区分二项式系数与指定某一项的系数的差异. 二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项数有关，与二项
二项式定理 一、二项式定理： ()n n n k k n k n n n n n n b C b a C b a C a C b a +++++=+-- 110（*∈N n ）等号右边的多项式叫做 ()n b a +的二项展开式，其中各项的系数k n C )3,2,1,0(n k ???=叫做二项式系数。 对二项式定理的理解： （1）二项展开式有1+n 项 （2）字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1到0；字母b 按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1到n （3）二项式定理表示一个恒等式，对于任意的实数b a ,，等式都成立，通过对b a ,取不同的特殊值，可为某些问题的解决带来方便。在定理中假设x b a ==，1，则 ()n n n k n k n n n n n x C x C x C x C x +++++=+- 101（*∈N n ） （4）要注意二项式定理的双向功能：一方面可将二项式()n b a +展开，得到一个多项式； 另一方面，也可将展开式合并成二项式()n b a + 二、二项展开式的通项：k k n k n k b a C T -+=1 二项展开式的通项k k n k n k b a C T -+=1)3,2,1,0(n k ???=是二项展开式的第1+k 项，它体现了 二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定项（如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等）及其系数等方面有广泛应用 对通项k k n k n k b a C T -+=1)3,2,1,0(n k ???=的理解： （1）字母b 的次数和组合数的上标相同 （2）a 与b 的次数之和为n （3）在通项公式中共含有1,,,,+k T k n b a 这5个元素，知道4个元素便可求第5个元素 例1．n n n n n n C C C C 13 21393-++++ 等于 （ ） A ．n 4 B 。n 43? C 。134-n D.3 1 4-n 例2．（1）求7 (12)x +的展开式的第四项的系数； （2）求9 1()x x -的展开式中3 x 的系数及二项式系数
（2）增减性与最大值：当r≤n+1 22 n 相等并同时取最大值。 九、计数原理与古典概率 （二）二项式定理 一、高考考什么？ [考试说明] 3．了解二项式定理，二项式系数的性质。 [知识梳理] 1．二项式定理：(a+b)n=C0a n+C1a n-1b+ n n +C r a n-r b r+ n +C n b n，其中组合数C r叫 n n 做第r+1项的二项式系数；展开式共有n+1项，其中第r+l项T r+1=C r a n-r b r(r=0,1,2, n ???），会求常数项、某项的系数等 2．二项式系数的性质： （1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C m=C n-m； n n n+1 时，二项式系数C r的值逐渐增大，当r≥时, n C r的值逐渐减小，且在中间取得最大值。当n为偶数时，中间一项（第n n 2＋1项） 的二项式系数C n 2 n 取得最大值。当n为奇数时，中间两项（第 n+1n+3 和项）的 22 二项式系数C n-12 n =C n+12（3）二项式系数的和： C0+C1+ n n +C r+ n +C n=2n； n C0+C2+???=C1+C3+???=2n-1。n n n n 3.展开式系数的性质：若 (a+bx)n=a+a x+ 01+a x n；令f(x)=(a+bx)n n 则：（1）展开式的各项系数和为f (1) （2）展开式的奇次项系数和为1 [f(1)-f(-1)] 2
（6） x - ? 展开式中的常数项是（ ） 1 （3）展开式的偶次项系数和为 [ f (1)+ f (-1)] 2 二、高考怎么考？ [全面解读] 从考试说明来看，二项式定理主要解决与二项展开有关的问题，从考题来看，每一年均 有一题，难度为中等，从未改变。命题主要集中在常数项，某项的系数，幂指数等知识点上。 掌握二项式定理主要以通项为抓手，由通项可解决常数项问题、某项的系数问题，系数要注 意二项式系数与展开式系数的区别。 [难度系数] ★★★☆☆ [原题解析] [2004 年] （7）若 ( x + 2 3 x )n 展开式中存在常数项，则 n 的值可以是( ) A ．8 B ．9 C ．10 D ．12 [2005 年] （5）在 (1- x)5 + (1- x) 6 + (1- x) 7 + (1- x) 8 的展开式中，含 x 3的项的系数是（ ） A ．74 B ． 121 C ．－74 D ．－121 [2006 年] （8）若多项式 x 2 + x 10 = a + a ( x + 1) + 1 + a ( x + 1) 9 + a ( x + 1) 10 , 9 10 则 a = （ ） 9 A ．9 B ．10 C ．-9 D ．-10 [2007 年] ? 1 ?9 ? x ? A ． -36 B ． 36 C ． -84 D ． 84 [2008 年]
专题10 排列组合二项式定理 排列、组合与二项式定理是高中数学中内容相对独立的一个部分，排列、组合的知识为概率与统计中的计数问题提供了一定的方法． 这部分内容的试题有一定的综合性与灵活性，要注意与其他数学知识的联系，注意与实际生活的联系．通过对典型例题的分析，总结思维规律，提高解题能力． §10－1 排列组合 【知识要点】 1．分类计数原理与分步计数原理． 2．排列与组合． 3．组合数的性质： (1)； (2)． 【复习要求】 理解和掌握分类计数与分步计数两个原理．在应用分类计数原理时，要注意“类”与“类”之间的独立性和等效性，在应用分步计数原理时，要注意“步”与“步”之间的相关性和连续性． 熟练掌握排列数公式和组合数公式，注意题目的结构特征和联系；掌握组合数的两个性质，并应用于化简、计算和论证． 正确区别排列与组合的异同，体会解计数问题的基本方法，正确处理附加的限制条件． 【例题分析】 例1 有3封信，4个信筒． (1)把3封信都寄出，有多少种寄信方法? (2)把3封信都寄出，且每个信筒中最多一封信，有多少种寄信方法? ?=-=-=m n m n m n m n A A m n m n C m n n A )!(!!,)!(!m n n m n C C -=1 1-++=m n m n m n C C C
【分析】(1)分3步完成寄出3封信的任务：第一步，寄出1封信，有4种方法；第二步，再寄出1封信，有4种方法；第三步，寄出最后1封信，有4种方法，完成任务．根据分步计数原理，共有4×4×4＝43＝64种寄信方法． (2)典型的排列问题，共有＝24种寄信方法． 例2 在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A ，B 两种作物，每种作物种植1垄，为有利于作物生长，要求A ，B 两种作物的间隔不小于6垄，则不同的种植方法共有______种． 解：设这10垄田地分别为第1垄，第2垄，…，第10垄，要求A ，B 两垄作物的间隔不少于6垄，所以第一步选垄的方式共有(1，8)，(1，9)，(1，10)，(2，9)，(2，10)，(3，10)这6种选法，第二步种植两种作物共有＝2种种植法，所以共有6×2＝12种选垄种植方法． 【评述】排列组合是解决计数问题的一种重要方法．但要注意，计数问题的基本原理是分步计数原理和分类计数原理，是最普遍使用的，不要把计数问题等同于排列组合问题． 对某些计数问题，当运用公式很难进行时，适时采取原始的分类枚举方法往往是最好的．如例2． 在具体的计数问题的解决过程中，需要决策的是，这个计数问题需要“分步”还是“分类”完成，再考虑这个计数问题是排列问题、组合问题还是一般的计数问题．如例1的两个问题． 例3 某电子表以6个数字显示时间，例如09:20:18表示9点20分18秒．则在0点到10点之间，此电子表出现6个各不相同数字来表示时间的有______次． 【分析】分步来确定电子表中的六个数字如下： 第一步：确定第一个数字，只能为0，只有1种方法； 第二步：确定第三位数字，只能为0至5中的一个数(又不能与首位相同)，所以只有5种方法； 第三步：确定第五位数字，也只能为0至5中的一个数(又不能与首位，第三位相同)，所以只有4种方法； 第四步：确定剩下三位数字，0至9共10个数字已用了3个，剩下的7个数字排列在2， 4，6位共有种排法． 由分步计数原理得：1×5×4×＝4200种． 3 4A 2 2A 37A 3 7A
二项式定理 1．在()103x -的展开式中，6 x 的系数为 . 2.10()x -的展开式中64x y 项的系数是 . 3．92)21(x x -展开式中9x 的系数是 . 4.8)1(x x - 展开式中5x 的系数为 。 5.843)1()2 (x x x x ++-的展开式中整理后的常数项等于 . 6.在65 )1()1(x x ---的展开式中，含3x 的项的系数是 . 7.在x (1＋x )6的展开式中，含x 3项的系数为 . 8.()()8 11x x -+的展开式中5x 的系数是 . 9.72)2)(1(-+x x 的展开式中3x 项的系数是 。 10.54)1()1(-+x x 的展开式中，4x 的系数为 . 11.在6 2)1(x x -+的展开式中5x 的系数为 . 12.5)212(++x x 的展开式中整理后的常数项为 . 13.求(x 2＋3x －4)4的展开式中x 的系数．
14.(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为 . 15.若 32()n x x -+的展开式中只有第6项的系数最大，则n= ，展开式中的常数项是 . 16.已知(124 x +)n 的展开式中前三项的二项式系数的和等于37，求展式中二项式系数最大的项的系数． 17.在(a ＋b )n 的二项展开式中，若奇数项的二项式系数的和为64，则二项式系数的最大值为________． 18.若2004200422102004...)21(x a x a x a a x ++++=-)(R x ∈，则展开式的系数和为________． 19.已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，则a 1＋a 2＋…＋a 7的值是________． 20.已知(1－2x ＋3x 2)7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 13x 13＋a 14x 14.求：(1)a 1＋a 2＋…＋a 14； (2)a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 13.
二项式定理典型例题-- 例1 在二项式n x x ?? ? ??+421的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项． 分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公式解决． 解：二项式的展开式的通项公式为： 4324121C 21)(C r n r r n r r n r n r x x x T --+=??? ??= 前三项的.2,1,0=r 得系数为：)1(8141C ,2121C ,1231 21-=====n n t n t t n n ， 由已知：)1(8 1123 12-+=+=n n n t t t ， ∴8=n 通项公式为 1431681,82,1,021C +- +==r r r r r T r x T 为有理项，故r 316-是4的倍数， ∴.8,4,0=r 依次得到有理项为228889448541256 121C ,83521C ,x x T x x T x T =====-． 例2 求62)1(x x -+展开式中5x 的系数． 分析：62)1(x x -+不是二项式，我们可以通过22)1(1x x x x -+=-+或)(12x x -+把它看成二项式展开． 解：方法一：[]6 262)1()1(x x x x -+=-+ -+++-+=4 4256)1(15)1(6)1(x x x x x 其中含5x 的项为55145355566C 15C 6C x x x x =+-． 含5 x 项的系数为6． 例3 求证：（1）1212C C 2C -?=+++n n n n n n n ；
（2）)12(1 1C 11C 31C 21C 1210 -+=++++++n n n n n n n n ． 分析：二项式系数的性质实际上是组合数的性质，我们可以用二项式系数的性质来证明一些组合数的等式或者求一些组合数式子的值．解决这两个小题的关键是通过组合数公式将等式左边各项变化的等数固定下来，从而使用二项式系数性质 n n n n n n 2C C C C 210 =++++ ． 解：（1）11C )!()!1()!1()!()!1(!)!(!!C --=+--?=--=-? =k n k n n k n k n n k n k n k n k n k k ∴左边111101C C C ----+++=n n n n n n n =?=+++=-----11111012)C C C (n n n n n n n 右边． （2）)! ()!1(!)!(!!11C 11k n k n k n k n k k k n --=-?+=+ 11C 1 1)!()!1()!1(11+++=-++?+=k n n k n k n n ． ∴左边112111C 1 1C 11C 11++++++++++= n n n n n n n =-+=++++=+++++)12(11)C C (C 111112111n n n n n n n 右边． 例4 展开5 2232??? ? ?-x x ． 例5 若将10)(z y x ++展开为多项式，经过合并同类项后它的项数为（ ）． A ．11 B ．33 C ．55 D ．66 分析：10)(z y x ++看作二项式10])[(z y x ++展开． 解：我们把z y x ++看成z y x ++)(，按二项式展开，共有11“项”，即 ∑=-?+=++=++100101010 10)(])[()(k k k k z y x C z y x z y x ． 这时，由于“和”中各项z 的指数各不相同，因此再将各个二项式k y x -+10)(展开， 不同的乘积k k k z y x C ?+-1010) (（10,,1,0 =k ）展开后，都不会出现同类项． 下面，再分别考虑每一个乘积k k k z y x C ?+-1010)(（10,,1,0 =k ）． 其中每一个乘积展开后的项数由k y x -+10)(决定，
二项式定理知识点总 结
二项式定理 一、二项式定理： ()n n n k k n k n n n n n n b C b a C b a C a C b a +++++=+--ΛΛ110（*∈N n ）等号右边的多项式 叫做()n b a +的二项展开式，其中各项的系数k n C )3,2,1,0(n k ???=叫做二项式系数。 对二项式定理的理解： （1）二项展开式有1+n 项 （2）字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1到0；字母b 按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1到n （3）二项式定理表示一个恒等式，对于任意的实数b a ,，等式都成立，通过对b a ,取不同的特殊值，可为某些问题的解决带来方便。在定理中假设 x b a ==，1，则()n n n k n k n n n n n x C x C x C x C x +++++=+-ΛΛ101（*∈N n ） （4）要注意二项式定理的双向功能：一方面可将二项式()n b a +展开，得到一个多项式；另一方面，也可将展开式合并成二项式()n b a + 二、二项展开式的通项：k k n k n k b a C T -+=1 二项展开式的通项k k n k n k b a C T -+=1)3,2,1,0(n k ???=是二项展开式的第1+k 项，它体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定项（如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等）及其系数等方面有广泛应用 对通项k k n k n k b a C T -+=1)3,2,1,0(n k ???=的理解： （1）字母b 的次数和组合数的上标相同 （2）a 与b 的次数之和为n （3）在通项公式中共含有1,,,,+k T k n b a 这5个元素，知道4个元素便可求第5个元素 例1．n n n n n n C C C C 13 21393-++++Λ等于 （ ） A ．n 4 B 。n 43? C 。134-n D.314-n 例2．（1）求7(12)x +的展开式的第四项的系数；
二项式定理经典习题及答案
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二项式定理 1. 求()x x 2 9 12- 展开式的： （1）第6项的二项式系数； （2）第3项的系数； （3）x 9 的系数。 分析：（1）由二项式定理及展开式的通项公式易得：第6项的二项式系数为C 95 126=； （2）T C x x x 392 27 2 12129=??-=()()，故第3项的系数为9； （3）T C x x C x r r r r r r r +--=??- =-?192991831212 ()()()，令1839-=r ，故r ＝3，所求系数是()-=- 1 2 212 393 C 2. 求证：51151 -能被7整除。 分析：5114921494924922151 51 5105151150515150515151 -=+-=+?++?+-()C C C C Λ， 除C 5151 51 2 1-以外各项都能被7整除。 又C C C C C 5151 51 31717170171711617161717 2 1217117771?-=-=+-=++++-()()Λ 显然能被7整除，所以51151 -能被7整除。 3. 求9192 除以100的余数。 分析：91 90190909092 92920929219192919292=+=++++()C C C C Λ 由此可见，除后两项外均能被100整除，而C C 9291 9292 9082818210081+==?+ 故9192 除以100的余数为81。 4.（2009北京卷文）若4 (12)2(,a b a b +=+为有理数），则a b += A ．33 B ． 29 C ．23 D ．19 【答案】B .w 【解析】本题主要考查二项式定理及其展开式. 属于基础知识、基本运算的考查. ∵() () ()() () ()4 1 2 3 4 012344 4 4 4 4 12 22222C C C C C +=++++ 1421282417122=++++=+， 由已知，得171222a b +=+，∴171229a b +=+=.故选B . 5.（2009北京卷理）若5 (12)2(,a b a b +=+为有理数），则a b += （ ） A ．45 B ．55 C ．70 D ．80 【答案】C 【解析】本题主要考查二项式定理及其展开式. 属于基础知识、基本运算的考查. ∵
二项式定理 1 单选题 2 （x+1）4的展开式中x的系数为3 A.2 B. 4 C. 6 D.8 4 答案 5 B 6 解析 7 分析：根据题意，（x+1）4的展开式为T r+1=C 4 r x r；分析可得，r=1时，有x 8 的项，将r=1代入可得答案．9 解答：根据题意，（x+1）4的展开式为T r+1=C 4 r x r； 10 当r=1时，有T 2=C 4 1（ x）1=4x； 11 故答案为：4． 12 故选B． 13 点评：本题考查二项式系数的性质，特别要注意对x系数的化简． 14 2 （x+2）6的展开式中x3的系数是 15 A.20 B.40 C.80 D. 160 16 答案 17 D 18 解析 19 分析：利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数为3求出展开式中20 x3的系数． 21 解答：设含x3的为第r+1， 22 则Tr+1=C6rx6-r?2r， 23
24 令6-r=3， 25 得r=3， 26 故展开式中x3的系数为C63?23=160． 27 故选D． 28 点评：本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工29 具 30 3在（1+数学公式）4的展开式中，x的系数为 31 A.4 B.6 C.8 D.10 答案 32 33 B 34 解析 35 分析：根据题意，数学公式的展开式为Tr+1=C4r（数学公式）r；分析可36 得，r=2时，有x的项，将x=2代入可得答案． 37 解答：根据题意，数学公式的展开式为Tr+1=C4r（数学公式）r； 当r=2时，有T3=C42（数学公式）2=6x； 38 39 故选B． 40 点评：本题考查二项式系数的性质，特别要注意对x系数的化简． 4（1+x）7的展开式中x2的系数是 41 42 A.21 B.28 C.35 D.42 43 答案 A 44 45 解析
二项式定理典型例题-- 典型例题一 例1 在二项式n x x ??? ? ?+421的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项． 分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公式解决． 解：二项式的展开式的通项公式为： 4324121C 21)(C r n r r n r r n r n r x x x T --+=??? ??= 前三项的.2,1,0=r 得系数为：)1(8141C ,2121C ,1231 21-=====n n t n t t n n ， 由已知：)1(8 1123 12-+=+=n n n t t t ， ∴8=n 通项公式为 1431681,82,1,021C +- +==r r r r r T r x T Λ为有理项，故r 316-是4的倍数， ∴.8,4,0=r 依次得到有理项为228889448541256 121C ,83521C ,x x T x x T x T =====-． 说明：本题通过抓特定项满足的条件，利用通项公式求出了r 的取值，得到了有理项．类似地，1003)32(+的展开式中有多少项是有理项？可以通过抓通项中r 的取值，得到共有 17页 系数和为n 3． 典型例题四 例4 （1）求103)1()1(x x +-展开式中5x 的系数；（2）求6)21(++x x 展开式中的常数项． 分析：本题的两小题都不是二项式展开，但可以转化为二项式展开的问题，（1）可以视为两个二项展开式相乘；（2）可以经过代数式变形转化为二项式． 解：（1）10 3)1()1(x x +-展开式中的5x 可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项：
二项式定理高考知识点总结 1．求103 )1 (x x -展开式中的常数项 2．已知9)2(x x a -的展开式中3x 的系数为4 9,求常数a 的值 ３.求84)21(x x +展开式中系数最大的项; 4.若n x x )21 (-+的展开式的常数项为－20．求n .
５求当25 (32)x x ++的展开式中x 的一次项的系数? 6.已知n x x )21(4?+ 的展开式前三项中的x 的系数成等差数列. (1)求展开式中所有的x 的有理项； （2)求展开式中系数最大的项. 7. 已知二项式n x x )2(2 -,(n ∈N *)的展开式中第5项的系数与第3项的系数的比是10：１， (1）求展开式中各项的系数和 （2)求展开式中系数最大的项以及二项式系数最大的项 8.求6 998.0的近似值,使误差小于001.0；
9．求证：15151 -能被7整除。 １0．求证:３2n ＋ 2-８n-9能被64整除. 11 求9192除以100的余数. 1２ 求证：C n 0＋21C n 1+31C n 2+…+11+n C n n ＝1 1+n (２n+1－1）. 1３ 计算c C C C n n n n n n n 3)1( (279313) 2 1 -++-+-； 14.求值：
１5、已知数列{a n }（n 为正整数)是首项为a 1,公比为q 的等比数列。 （1)求和：;,3 342331320312231220 2 1C a C a C a C a C a C a C a -+-+- (2）由(1）的结果归纳概括出关于正整数n 的一个结论，并加以证明； （３)设q ≠1,S n 是等比数列｛ａn }的前ｎ项和,求: . )1(134231201n n n n n n n n C S C S C S C S C S +-++-+- 16．规定! )1()1(m m x x x C m x +--= ,其中x ∈R ，m 是正整数,且10=x C ，这是组合数m n C （n 、 m 是正整数,且m ≤n )的一种推广. (1) 求3 15-C 的值； (2） 设x >０，当x 为何值时，213)(x x C C 取得最小值？ (3) 组合数的两个性质; ①m n n m n C C -=． ②m n m n m n C C C 11+-=+． ?是否都能推广到m x C (ｘ∈R,m 是正整数)的情形?若能推广,则写出推广的形式并给出证明;若不能,则说明理由．
高考数学专题复习二项式定理练习题 1.在二项式（仮的展开式中，前三项的系数成等差数列， 求展开式中所有有理项. I 2仮丿 分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公 式解决. 解：二项式的展开式的通项公式为： 前三项的r =01,2. 1 1 1 1 得系数为：1 =1,上 2 =。；一 =— n,t 3 = cn — = —ng-1 ), 2 2 4 8 1 由已知：2t 2 =匕 叫 3 n= 1 + — n(n —1), 8 ??? n =8 通项公式为 _ 16 J3r 1 --- TF=c8-rx 4 r =0,1,2" 8,Tr + 为有理项，故 16 —3r 是 4 的倍数, 2 /. r =0,4,8. 依次得到有理项为「= X 4 ,丁5 = C ； —4 X =— X ,T 9 = c 8 A x° =—— x 2 ? 2 8 2 256 说明：本题通过抓特定项满足的条件， 利用通项公式求出了 r 的取值，得到了有理项.类 似地，（J 2 +3 /3）100 的展开式中有多少项是有理项？可以通过抓通项中 系数和为3n . 2. （1）求（1 —x ）3 （1+x ）10 展开式中X 5 的系数；（2）求（x + 1 +2）6 展开式中的常数 项. X 分析：本题的两小题都不是二项式展开，但可以转化为二项式展开的问题， 视为两个二项展开式相乘； （2）可以经过代数式变形转化为二项式. 解：（1 ） （1-x ）3 （1 +x ）10 展开式中的X 5 可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项: 用（1 —X ）3 展开式中的常数项乘以 （1 +x ）10 展开式中的 X 5 项，可以得到 C lo X 5 ;用 “c"严k 丿 2n J3r =c n 2^ x 4 r 的取值，得到共有 （1）可以
课题：二项式定理 考纲要求： 1.能用计数原理证明二项式定理 2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 教材复习 1.二项式定理及其特例： ()101()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈， ()21(1)1n r r n n n x C x C x x +=++ ++ + 2.二项展开式的通项公式：r r n r n r b a C T -+=1210(n r ，，， = 3.常数项、有理项和系数最大的项： 求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性. 4.二项式系数表（杨辉三角） ()n a b +展开式的二项式系数，当n 依次取1,2,3…时，二项式 系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和. 5.二项式系数的性质： ()n a b +展开式的二项式系数是0n C ，1n C ，2n C ，…，n n C ．r n C 可以看成以r 为自变量 的函数()f r ，定义域是{0,1,2,,}n ，例当6n =时，其图象是7个孤立的点（如图） 6.()1对称性． 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（m n m n n C C -=）．直线2 n r = 是图象的对称轴. ()2增减性与最大值： 当n 是偶数时，中间一项2n n C 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项12n n C -，12n n C +取得最大值 ()3各二项式系数和：∵1(1)1n r r n n n x C x C x x +=++ ++ +， 令1x =，则012 2n r n n n n n n C C C C C =+++ ++ +
二项式定理知识点总结 1．二项式定理公式： 011()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈L L ， 2．基本概念： ①二项式展开式：右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式。 ②二项式系数:展开式中各项的系数r n C (0,1,2,,)r n =???. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项r n r r n C a b -叫做二项式展开式的通项。用1r n r r r n T C a b -+=表示。 3．注意关键点： ①项数：展开式中总共有(1)n +项。 ②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。()n a b +与()n b a +是不同的。 ③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。 各项的次数和等于n . ④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是0 1 2 ,,,,,,. r n n n n n n C C C C C ??????项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数）。 4．常用的结论： 令1,,a b x == 0122(1)()n r r n n n n n n n x C C x C x C x C x n N * +=++++++∈L L
令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+-+++-∈L L 5．性质： ①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即 0,n n n C C =·1 k k n n C C -= ②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122r n n n n n n n C C C C C ++++++=L L ， 变形式1221r n n n n n n C C C C +++++=-L L 。 ③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和： 在二项式定理中，令1,1a b ==-，则0123(1)(11)0n n n n n n n n C C C C C -+-++-=-=L ， 从而得到：0242132111222 r r n n n n n n n n n C C C C C C C +-++???++???=++++???= ?=L ④奇数项的系数和与偶数项的系数和： 00112220120120011222021210 01230123()()1, (1)1,(1)n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a x C a x C a x C a x C a x a a x a x a x x a C a x C ax C a x C a x a x a x a x a x a a a a a a x a a a a a a ----+=++++=+++++=++++=++++=++++=+---------=--+-++=-----L L L L n n L n n n L 024135(1)(1),() 2 (1)(1),() 2 n n n n n n a a a a a a a a a a a a ----++-++++=+---+++=n n n n L n n n n n n n n n n L n n n n n n n ⑤二项式系数的最大项： 如果二项式的幂指数n 是偶数时，则中间一项的二项式系数21 2n n n C T +=取得最大值。
解：二项式的展开式的通项公式为: ‘ 2n 3r c r 丄 >r~4~ C n r X 2 前三项的r 0,1,2.得系数为: t 1 1,t 2 2 2n,t 3 c ： 2 2 8n(n 1)， 由已知：2t 2 t 1 t 3 n 1 (n 1)， ??? n 8 16 3r 通项公式为 T r1 C8 P 「 01,2 8,T r 1为有理项，故16 3r 是4的倍数, 8 1 2 1 2 C g - 8 x x ? 28 256 说明：本题通过抓特定项满足的条件， 利用通项公式求出了 r 的取值，得到了有理项.类 ? r 0,4,8.依次得到有理项为T i X 4 ,T 5 C 8^4X ^^X ,T 9 2 8 似地，(■： 2 3 3)100的展开式中有多少项是有理项？可以通过抓通项中 r 的取值，得到共有 典型例题四 3 10 R 1 6 例4( 1 )求(1 X) (1 X)展开式中X 的系数；(2)求(X 2)展开式中的常数项. X 分析：本题的两小题都不是二项式展开，但可以转化为二项式展开的问题， 视为两个二项展开式相乘； (2)可以经过代数式变形转化为二项式. (1)可以 解：(1) (1 x)3(1 x)10展开式中的X 5可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项: 用(1 X)3 展开式中的常数项乘以 (1 X)10 展开式中的 X 5 项，可以得到 C 10X 5 ； 用 (1 x)3展开式中的一次项乘以(1 X)10展开式中的X 4项可得到(3x)(C ：o X 4) 3C 4°X 5 ； 3 2 10 用(1 X)中的X 乘以(1 X)展开式中的 3 2 x 可得到3x 3 3 3 5 m C 10X 3C 10X ；用 (1 3 X)中的 X 3 项乘以 (1 X)10展开式中的X 2 项可得到 C 3 2 2 3x C 10 x C 20X 5，合并同类项得 X 5 项为: (C 0 C 4。 3C 3。 C 0)X 5 63X 5 . (2) (X 12 1 X ?由 X 1 x 12 展开 式的通项公式 T r ' 2)12 C 12 X 6 r ，可得展开式的常数项为 C ：2 924 二项式定理典型例题 典型例题一 n 例1在二项式 x 1 的展开式中前三项的系数成等差数列， 求展开式中所有有理项. 分析：典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公式解决.
10.3二项式定理 【考纲要求】 1、能用计数原理证明二项式定理. 2、会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 【基础知识】 1、二项式定理：n n n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+---ΛΛ222110)( 二项式的展开式有1n +项，而不是n 项。 2、二项式通项公式：r r n r n r b a C T -+=1 （0,1,2,,r n =???） （1）它表示的是二项式的展开式的第1r +项，而不是第r 项 （2）其中r n C 叫二项式展开式第1r +项的二项式系数，而二项式展开式第1r +项的 系数是字母幂前的常数。 （3）注意0,1,2,,r n =??? 3、二项式展开式的二项式系数的性质 （1）对称性：在二项展开式中，与首末两项“等距离”的两项的二项式系数相等。即 m n C =m n n C - （2）增减性和最大值：在二项式的展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值， 如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等且最大。 （3）所有二项式系数的和等于2n ，即n n n n n n n n n n C C C C C C 212210=++++++--ΛΛ 奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，即 15314202-=+++=+++n n n n n n n C C C C C C ΛΛΛΛ 4.二项展开式的系数0123,,,,n a a a a a ???的性质： 对于2012()n n f x a a x a x a x =++++g g g 0123(1)n a a a a a f ++++???+=， 0123(1)(1)n n a a a a a f -+-+???+-=- 5、证明组合恒等式常用赋值法。 【例题精讲】 例1 若,,......)21(2004200422102004R x x a x a x a a x ∈++++=-求（10a a +）+（20a a +）+……+（20040a a +） 解：对于式子：,,......)21(2004200422102004R x x a x a x a a x ∈++++=- 令x=0，便得到：0a =1