北京市大兴区2017届高三下学期第一次综合练习数学(理)试题Word版含答案

北京市2017届高三综合练习数学（理）一、选择题1.设点P 是三角形ABC 内一点（不包括边界），且AP m AB n AC →→→=+,.m n R ∈,则22(2)m n +-的取值范围为（ ）A 5)B (1,5)C 1(,5)2D 25)2 2. ,A B 是平面内的两个定点, 点P 为该平面内动点, 且满足向量AB u u u r 与AP u u u r夹角为锐角θ, |0PB ||AB |+PA AB =⋅u u u r u u u r u u u r u u u r, 则点P 的轨迹是（ ）A ．直线（除去与直线AB 的交点 B ．圆（除去与直线AB 的交点）C ．椭圆（除去与直线AB 的交点）D ．抛物线（除去与直线AB 的交点）3.设函数x x f ln )(=,当210x x <<下列结论正确的是（ ）A ．21211)()(1x x x f x f x --> B ．21212)()(1x x x f x f x -->C ．21211)()(1x x x f x f x ++< D ．以上都不对。

4.已知2010200820062004262422201816141210864,++++-=Λ则bc ad dc b a = （ ）A ． 2008B ．—2008C ．2010D ．—20105.已知二次函数2()1f x ax bx =++的导函数为'(),'(0)0f x f >，对任意实数x ，都有()0,f x ≥则 (1)'(0)f f 的最小值为 （ ） A ． 2 B ． 32 C ． 3 D ． 52二、填空题6. 若直线2+=kx y 与抛物线x y 42=仅有一个公共点，则实数=k .7. 平面上的向量22,4,0,PA PB PA PB PA PB +=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r满足且若向量||,3231PC PB PA PC 则+=的最大值为 ． 8.()f x 满足,()0,(1)x R f x f x ∀∈≥+=当[0,1)x ∈时，2(02)()21)x x f x x ⎧+≤<⎪=≤<，(2011f 则=9．数列}{n a （*N n ∈）满足⎩⎨⎧<-+≥-=+t a a t t a t a a n n n n n .,2,,1 且11+<<t a t ，其中2>t ．若n k n a a =+（*N k ∈），则k 的最小值为 ．10.已知函数()()122011122011f x x x x x x x x R =+++++++-+-++-∈L L ， 且2(32)(1)f a a f a -+=-，则满足条件的所有整数a 的和是 ．三、解答题11、椭圆C 的中心为坐标原点O ，焦点在y 轴上，焦点到相应准线的距离以及离心， 直线l 与y 轴交于点(0,)P m ，与椭圆C 交于相异两点A 、B ，且AP PB λ=u u u r u u u r．（1）求椭圆方程；（2）若4OA OB OP λ+=u u u r u u u r u u u r，求m 的取值范围．12.已知函数211()ln()22f x ax x ax =++-.（a 为常数,0a >）（Ⅰ）若12x =是函数()f x 的一个极值点，求a 的值；（Ⅱ）求证：当02a <≤时，()f x 在1[, )2+∞上是增函数；（Ⅲ）若对任意．．的(1, 2)a ∈，总存在．．01[, 1]2x ∈，使不等式20()(1)f x m a >-成立，求实数m 的取值范围.13．已知数列{}n a 满足递推式： 112122(2),1,3n n n n a a n a a a a +--=-≥== （1）若1,{}1n n nb b a =+求数列的通项公式； （2）求证： *12|2||2||2|3,().n a a a n N -+-++-<∈L答案一、选择题1、B2、 B3、A4、D5、A二、填空题6、0，21； 7、34 89、4．10、6 三、解答题11.（1）由22a c c c a ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得1,a c b ===∴椭圆C 的方程为：2221x y +=．（2）由AP PB λ=u u u r u u u r 得()OP OA OB OP λ-=-u u u r u u u r u u u r u u u r ， (1)OP OA OB λλ∴+=+u u u r u u u r u u u r又4,143OA OB OP λλλ+=∴+=⇒=u u u r u u u r u u u r设直线l 的方程为：y kx m =+，由2221y kx m y x =+⎧⎨+=⎩得222(2)2km (1)0k x x m +++-= 222(2km)4(2)(1)k m ∴∆=-+-224(22)0k m =-+> 由此得2222k m >-． ①设l 与椭圆C 的交点为1122(,),(,)A x y B x y ，则21212222km 1,12m x x x x k k -+=-=++由3AP PB =u u u r u u u r 得 123x x -=，122212223x x x x x x +=-⎧∴⎨=-⎩，整理得212123()40x x x x ++=22222134022km m k k -⎛⎫∴-+= ⎪++⎝⎭，整理得222(41)22m k m -=- 214m =Q 时，上式不成立，2222122,441m m k m -∴≠=- ②由式①、②得2222222122(1)104141m m m m m -⎛⎫>-⇔-+< ⎪--⎝⎭2(1)(1)101(21)(21)2m m m m m m -+⇔<⇔-<<--+或112m << ∴m 取值范围是111,,122⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U ．12.2212()22()211122a ax x aa f x x a ax ax --'=+-=++.（Ⅰ）由已知，得 1()02f '=且 2202a a-≠，220a a ∴--=，0a >Q ，2a ∴=. （Ⅱ）当02a <≤时，22212(2)(1)02222a a a a a a a a ----+-==≤Q ,21222a a-∴≥, ∴当12x ≥时，2202a x a --≥.又201ax ax >+，()0f x '∴≥，故()f x 在1[, )2+∞上是增函数.（Ⅲ）(1, 2)a ∈时，由（Ⅱ）知，()f x 在1[,1]2上的最大值为11(1)ln()122f a a =++-， 于是问题等价于：对任意的(1, 2)a ∈，不等式211ln()1(1)022a a m a ++-+->恒成立. 记211()ln()1(1)22g a a a m a =++-+-，（12a <<）则1()12[2(12)]11ag a ma ma m a a'=-+=--++，当0m =时，()01ag a a-'=<+，()g a ∴在区间(1, 2)上递减，此时，()(1)0g a g <=， 由于210a ->，0m ∴≤时不可能使()0g a >恒成立，故必有0m >,21()[(1)]12ma g a a a m'∴=--+. 若1112m ->，可知()g a 在区间1(1, min{2, 1})2m-上递减，在此区间上，有()(1)0g a g <=，与()0g a >恒成立矛盾，故1112m-≤，这时，()0g a '>，()g a 在(1, 2)上递增，恒有()(1)0g a g >=，满足题设要求，01112m m>⎧⎪∴⎨-≤⎪⎩，即14m ≥，所以，实数m 的取值范围为1[, )4+∞. 13．解：（1）1211222321n n n n a a a a a a +--=-==-=-=Q L ，121n na a +∴-=11[1()]32n n b ∴=-- ………………5分（2）由（2）知111[1()]132n n a =--+，3111()2n na ∴+=--2122122122122122124121412121()3332|2|3||,|2|,|2|,1|(2)1|21211()211222211|2||2|3()333()2121221222nn k k n k kn k k k k k k k k k k k k ka a a a a -----------∴-==-=-=--+---++∴-+-=+=⋅<⋅=++-+-1111112(1)1111112(1),(1),121211(1)211111111(),()()()32332332n n n n n n n n n n n nn n n a a a a a a a a b b b b b b +++-+++=+=∴=⋅=-++++=-∴-=--∴-=--=--即即。

2017年北京市大兴区高考数学一模试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A＝{x|x＞0}，则∁R A＝（）A．{x|x＜0}B．{x|x≤0}C．{x|x＞0}}D．{x|x≥0} 2．（5分）下列函数中，既是偶函数又有零点的是（）A．B．y＝tan x C．y＝e x+e﹣x D．y＝ln|x| 3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．4B．5C．6D．74．（5分）已知a∈R，b∈R，则“a＞b”是“”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件5．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥体积为（）A ．B．C．1D ．6．（5分）若x，y 满足且z＝﹣kx+y有最大值，则k的取值范围为（）A．k≤1B．1≤k≤2C．k≥1D．k≥27．（5分）设函数f（x）＝sin（2x+φ）（φ是常数），若，则，，之间的大小关系可能是（）A ．B．f（）＜f （）＜f （）C ．D ．8．（5分）某公司有4家直营店a，b，c，d，现需将6箱货物运送至直营店进行销售，各直营店出售该货物以往所得利润统计如下表所示．根据此表，该公司获得最大总利润的运送方式有（）A．1种B．2种C．3种D．4种二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）复数（1+i）2＝．10．（5分）设则f（f（﹣1））＝．11．（5分）已知双曲线的离心率为2，则b＝．12．（5分）在极坐标系中，点到直线ρcosθ＝2的距离是．13．（5分）已知圆O：x2+y2＝1的弦AB长为，若线段AP是圆O的直径，则＝；若点P为圆O上的动点，则的取值范围是．14．（5分）已知数列{a n}满足，k≥2，k∈N*，[a n]表示不超过a n的最大整数（如[1.6]＝1），记b n＝[a n]，数列{b n}的前n项和为T n．①若数列{a n}是公差为1的等差数列，则T4＝；②若数列{a n}是公比为k+1的等比数列，则T n＝．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）在△ABC中，，b＝3，．（Ⅰ）求sin B；（Ⅱ）设BC的中点为D，求中线AD的长．16．（13分）某大型超市拟对店庆当天购物满288元的顾客进行回馈奖励．规定：顾客转动十二等分且质地均匀的圆形转盘（如图），待转盘停止转动时，若指针指向扇形区域，则顾客可领取此区域对应面额（单位：元）的超市代金券．假设转盘每次转动的结果互不影响．（Ⅰ）若x0≠60，求顾客转动一次转盘获得60元代金券的概率；（Ⅱ）某顾客可以连续转动两次转盘并获得相应奖励，当x0＝20时，求该顾客第一次获得代金券的面额不低于第二次获得代金券的面额的概率；（Ⅲ）记顾客每次转动转盘获得代金券的面额为X，当x0取何值时，X的方差最小？（结论不要求证明）17．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面BCC1B1⊥平面ABC，四边形BCC1B1为菱形，点M是棱AC上不同于A，C的点，平面B1BM与棱A1C1交于点N，AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，∠BB1C1＝60°．（Ⅰ）求证：B1N∥平面C1BM；（Ⅱ）求证：B1C⊥平面ABC1；（Ⅲ）若二面角A﹣BC1﹣M为30°，求AM的长．18．（13分）已知函数，且m≠0．（Ⅰ）当m＝1时，求曲线y＝f（x）在点（0，0）处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若函数f（x）有最值，写出m的取值范围．（只需写出结论）19．（14分）已知椭圆的短轴端点到右焦点F（1，0）的距离为2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点F的直线交椭圆C于A，B两点，交直线l：x＝4于点P，若|P A|＝λ1|AF|，|PB|＝λ2|BF|，求证：λ1﹣λ2为定值．20．（13分）已知集合A1，A2，…，A n为集合U的n个非空子集，这n个集合满足：①从中任取m个集合都有≠U成立；②从中任取m+1个集合都有＝U成立．（Ⅰ）若U＝{1，2，3}，n＝3，m＝1，写出满足题意的一组集合A1，A2，A3；（Ⅱ）若n＝4，m＝2，写出满足题意的一组集合A1，A2，A3，A4以及集合U；（Ⅲ）若n＝10，m＝3，求集合U中的元素个数的最小值．2017年北京市大兴区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A＝{x|x＞0}，则∁R A＝（）A．{x|x＜0}B．{x|x≤0}C．{x|x＞0}}D．{x|x≥0}【解答】解：∵集合A＝{x|x＞0}，∴∁R A＝{x|x≤0}．故选：B．2．（5分）下列函数中，既是偶函数又有零点的是（）A．B．y＝tan x C．y＝e x+e﹣x D．y＝ln|x|【解答】解：A．函数的定义域为[0，+∞），为非奇非偶函数，不满足条件．B．函数y＝tan x是奇函数，不满足条件．C．y＝e x+e﹣x≥2＝2，则函数没有零点，不满足条件．D．函数的定义域为{x|x≠0}，f（﹣x）＝f（x），函数为偶函数，由y＝ln|x|＝0得x＝1，函数存在零点，满足条件．故选：D．3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）【解答】解：k＝0，s＝1，模拟程序的运行，可得k＝1，s＝2，不满足条件k＞4，执行循环体，k＝2，s＝3，不满足条件k＞4，执行循环体，k＝3，s＝4，不满足条件k＞4，执行循环体，k＝4，s＝5，不满足条件k＞4，执行循环体，k＝5，s＝6，满足条件k＝5＞4，退出循环，输出S的值为6．故选：C．4．（5分）已知a∈R，b∈R，则“a＞b”是“”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【解答】解：令a＝1，b＝﹣1，则a＞b，而＞，不是充分条件，若，即＜0，∴或，即a，b同号时：a＞b，a，b异号时：a＜b，不是必要条件，故选：D．5．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥体积为（）【解答】解：根据三视图可知该几何体是一个三棱锥，如图所示；由俯视图和侧视图知，底面是一个直角三角形，两条直角边分别是2、1，由侧视图知，三棱锥的高是1，∴该几何体的体积为V＝××2×1×1＝．故选：A．6．（5分）若x，y满足且z＝﹣kx+y有最大值，则k的取值范围为（）A．k≤1B．1≤k≤2C．k≥1D．k≥2【解答】解：作出x，y满足对应的平面区域如图：由z＝﹣kx+y得y＝kx+z，∴直线的截距最大，对应的z也取得最大值，即平面区域在直线y＝kx+z的下方，若k≤0，平移直线y＝kx+z，由图象可知，直线在y轴上的截距没有最大值．如果k≥1，当直线y＝kx+z经过点B或A时，直线y＝kx+z的截距最大，当0＜k＜1，直线在可行域没有满足题意的点．故选：C．7．（5分）设函数f（x）＝sin（2x+φ）（φ是常数），若，则，，之间的大小关系可能是（）A．B．f（）＜f（）＜f（）C．D．【解答】解：函数f（x）＝sin（2x+φ）∵，即f（x）的一条对称轴为x＝．令x＝时，取得最大值，即sin（2×+φ）＝1．可得：+φ＝，k∈Z．解得：φ＝+2kπ．k∈Z．取φ＝，则函数f（x）＝sin（2x﹣）那么：f（）＝sin（2×﹣）＝0．f（）＝sin（）＝1，f（）＝sin（）＝．∴f（）＜f（）＜f（）．故选：B．8．（5分）某公司有4家直营店a，b，c，d，现需将6箱货物运送至直营店进行销售，各直营店出售该货物以往所得利润统计如下表所示．根据此表，该公司获得最大总利润的运送方式有（）A．1种B．2种C．3种D．4种【解答】解：6箱货物的分配方法有：6，0，0，0；5，1，0，0；4，2，0，0；3，3，0，0；4，1，1，0；2，2，2，0；3，2，1，0；1，1，2，2；1，1，1，3类型．而6，0，0，0；5，1，0，0；4，2，0，0；3，3，0，0；4，1，1，0；2，2，2，0；类型中获利的最大值不超过：16．a，b，c，d；总获利分配货物：1 2 2 1 4+4+5+4＝17．1 3 1 1 4+7+2+4＝17．2 3 0 1 6+7+0+4＝17．该公司获得最大总利润的运送方式有：3种．故选：C．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）复数（1+i）2＝2i．【解答】解：原式＝1+2i+i2＝2i．故答案为：2i．10．（5分）设则f（f（﹣1））＝﹣1．【解答】解：∵∴f（﹣1）＝，f（f（﹣1））＝f（）＝＝﹣1．故答案为：﹣1．11．（5分）已知双曲线的离心率为2，则b＝．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为，其中a＝1，则c＝，又由该双曲线的离心率e＝2，则有＝＝2，又由b＞0，解可得b＝；故答案为：．12．（5分）在极坐标系中，点到直线ρcosθ＝2的距离是1．【解答】解：由x＝，y＝2sin，可得点的直角坐标为A（1，），直线ρcosθ＝2的直角坐标方程为x＝2．∴点A（1，）到直线x＝2的距离d＝2﹣1＝1，即点到直线ρcosθ＝2的距离是1．故答案为：1．13．（5分）已知圆O：x2+y2＝1的弦AB长为，若线段AP是圆O的直径，则＝2；若点P为圆O上的动点，则的取值范围是[1﹣，]．【解答】解：如图，由题意可得，∠BAP＝45°，∴＝；由题意得A（1，0），B（0，1），设P（cosθ，sinθ），则，，∴＝﹣cosθ+1+sinθ＝sinθ﹣cosθ+1＝．∴的取值范围是[1﹣，]．故答案为：2；[1﹣，]．14．（5分）已知数列{a n}满足，k≥2，k∈N*，[a n]表示不超过a n的最大整数（如[1.6]＝1），记b n＝[a n]，数列{b n}的前n项和为T n．①若数列{a n}是公差为1的等差数列，则T4＝6；②若数列{a n}是公比为k+1的等比数列，则T n＝[（1+k）n﹣nk﹣1]．【解答】解：①∵数列{a n}满足，k≥2，k∈N*，[a n]表示不超过a n的最大整数b n＝[a n]，数列{b n}的前n项和为T n．数列{a n}是公差为1的等差数列，∴＝n+，b n＝[a n]＝n﹣1，∴T4＝b1+b2+b3+b4＝0+1+2+3＝6．②∵数列{a n}是公比为k+1的等比数列，a1＝，k≥2，∴a n＝•（k+1）n﹣1＝•（k n﹣1+•k n﹣2+•k n﹣3+…+•k+），且b n＝[a n]，∴数列{b n}的前n项和为：T n＝0+1+（k+2）+（k2+3k+3）+…+（k n﹣2+•k n﹣3+•k n﹣4+…+）＝（1+2+3+…+n﹣1）+（k+k+k+…+k）+（k2+k2+k2+…+k2）+…+k n﹣2＝+k+k2+…+k n﹣2＝+k+k2+…+k n﹣2＝（k2+k3+k4+…+k n）＝[（1+k）n﹣nk﹣1]．故答案为：①6，②[（1+k）n﹣nk﹣1]．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）在△ABC中，，b＝3，．（Ⅰ）求sin B；（Ⅱ）设BC的中点为D，求中线AD的长．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，．可得sin A＝，由正弦定理得，即，∴．（Ⅱ）∵D是BC的中点，∴，在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bc•cos A⇒c＝1，或c＝﹣3（舍去），在△ADB中，由余弦定理得AD2＝AB2+BD2﹣2AB•DB cos B＝2，∴AD＝．16．（13分）某大型超市拟对店庆当天购物满288元的顾客进行回馈奖励．规定：顾客转动十二等分且质地均匀的圆形转盘（如图），待转盘停止转动时，若指针指向扇形区域，则顾客可领取此区域对应面额（单位：元）的超市代金券．假设转盘每次转动的结果互不影响．（Ⅰ）若x0≠60，求顾客转动一次转盘获得60元代金券的概率；（Ⅱ）某顾客可以连续转动两次转盘并获得相应奖励，当x0＝20时，求该顾客第一次获得代金券的面额不低于第二次获得代金券的面额的概率；（Ⅲ）记顾客每次转动转盘获得代金券的面额为X，当x0取何值时，X的方差最小？（结论不要求证明）【解答】解：（I）若x0≠60，顾客转动一次转盘获得60元代金券的概率P＝＝．（II）当x0＝20时，转动一下获得20元代金券的概率P1＝＝，顾客第一次获得代金券的面额低于第二次获得代金券的面额的概率为＝，∴顾客第一次获得代金券的面额不低于第二次获得代金券的面额的概率为1﹣＝．（III）当x0＝60时，X的方差最小．17．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面BCC1B1⊥平面ABC，四边形BCC1B1为菱形，点M是棱AC上不同于A，C的点，平面B1BM与棱A1C1交于点N，AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，∠BB1C1＝60°．（Ⅰ）求证：B1N∥平面C1BM；（Ⅱ）求证：B1C⊥平面ABC1；（Ⅲ）若二面角A﹣BC1﹣M为30°，求AM的长．【解答】解（Ⅰ）∵平面B1BM与棱A1C1交于点N，根据棱柱的性质可得面ABC ∥面A1B1C1，⇒B1N∥BM．又∵BM⊂平面C1BM，B1N⊄平面C1BM，∴B1N∥平面C1BM；（Ⅱ）∵平面BCC1B1⊥平面ABC，平面BCC1B1∩平面ABC＝BC，AB⊂面ABC，AB⊥BC，∴AB⊥面BCC1B1．∴AB⊥B1C∵四边形BCC1B1为菱形，∴B1C⊥BC1，且AB∩BC1＝B，∴B1C⊥平面ABC1；（Ⅲ）如图，以B为原点，建立空间直角坐标系O﹣xyz．则B（0，0，0），A（2，0，0），C（0，2，0），C1（0，1，），B1（0，﹣1，）．，设，λ∈（0，1），则由（Ⅰ）可知面BAC1的法向量为BM的法向量为．设面面C由，可取，∵二面角A﹣BC1﹣M为30°，∴cos＝．解得．∴AM＝18．（13分）已知函数，且m≠0．（Ⅰ）当m＝1时，求曲线y＝f（x）在点（0，0）处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若函数f（x）有最值，写出m的取值范围．（只需写出结论）【解答】解：（Ⅰ）m＝1时，f（x）＝，f′（x）＝，故f′（0）＝﹣1，故切线方程是：y﹣0＝﹣（x﹣0），即x+y＝0；（Ⅱ）f′（x）＝，①﹣m＞0即m＜0时，令f′（x）＞0，解得：﹣＜x＜，令f′（x）＜0，解得：x＞或x＜﹣，故f（x）在（﹣∞，﹣）递减，在（﹣，）递增，在（，+∞）递减；②﹣m＜0，即m＞0时，f′（x）＜0在R恒成立，故f（x）在（﹣∞，），（，+∞）递减；（Ⅲ）由（Ⅱ）得m＜0．19．（14分）已知椭圆的短轴端点到右焦点F（1，0）的距离为2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点F的直线交椭圆C于A，B两点，交直线l：x＝4于点P，若|P A|＝λ1|AF|，|PB|＝λ2|BF|，求证：λ1﹣λ2为定值．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆的短轴端点到右焦点F（1，0）的距离为2，∴，∴c＝1，a＝2，b2＝a2﹣c2＝3，∴椭圆的方程：．证明：（Ⅱ）设过F点的直线方程为y＝k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），P （4，3k），F（1，0），（令x1＜x2），＝（x1﹣4，y1﹣3k），＝（1﹣x1，﹣y1），＝（x2﹣4，y2﹣3k），＝（1﹣x2，﹣y2），∵|P A|＝λ1|AF|，|PB|＝λ2|BF|，∴，，联立，得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0，△＞0，，，∴λ1﹣λ2＝﹣＝＝＝＝＝﹣2．∴λ1﹣λ2为定值﹣2．20．（13分）已知集合A1，A2，…，A n为集合U的n个非空子集，这n个集合满足：①从中任取m个集合都有≠U成立；②从中任取m+1个集合都有＝U成立．（Ⅰ）若U＝{1，2，3}，n＝3，m＝1，写出满足题意的一组集合A1，A2，A3；（Ⅱ）若n＝4，m＝2，写出满足题意的一组集合A1，A2，A3，A4以及集合U；（Ⅲ）若n＝10，m＝3，求集合U中的元素个数的最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵集合A1，A2，…，A n为集合U的n个非空子集，这n个集合满足：①从中任取m个集合都有A i1∪A i2∪…∪A im≠U成立，②从中任取m+1个集合都有＝U成立．U＝{1，2，3}，n＝3，m＝1，∴满足题意的一组集合A1＝{2，3}，A2＝{2，3，6}，A3＝{1，3，5}．（Ⅱ）∵n＝4，m＝2，∴满足题意的一组集合A1＝{4，5，6}，A2＝{2，3，6}，A3＝{1，3，5}，A4＝{1，2，4}，集合U＝{1，2，3，4，5，6}．（Ⅲ）∵n＝10，m＝3，∴集合U中的元素个数的最小值为120个．下面先证明若{i 1，i2，i3}≠{j1，j2，j3}，则，，B j≠B i，反证法：假设B j＝B i，设i1∉{j1，j2，j3}，由假设B i＝B j≠∪，设D j＝∁U B j，设x∈D j，则x是，，中都没有的元素，x∉B j，∵，，，四个子集的并集为U，∴⊂B i＝B j与x∉B j矛盾，∴假设不正确，，i2，i3}≠{j1，j2，j3}，且，，B j若{i≠B i成立，则A1，A2，…，A10的3个集合的并集共计有＝120个．把集合U中120个元素与A 1，A2，…，A10的3个集合的并集B i＝建立一一对应关系，∴集合U中元素个数大于等于120，下面我们构造一个有120个元素的集合U：把与B i＝（i＝1，2，…，120）对应的元素放在异于，的集合中，∴对于任意一个3个集合的并集，它们都不含与B i对应的元素，∴B i≠U，同时，对于任意的4个集合设为的并集，则由上面的原则与，，对应的元素在集合中，即对于任意的4个集合的并集为全集U．。

北京市2017届高三综合练习数学（理）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分，考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合{}2|4A x x =∈<N ，{}2|230B x x x =∈--<R ，则A B =I （ ）、 A ．{}101-，，B ．{}01，C ．{}|12x x -<<D ．{}|23x x -<<2. 已知复数z 满足()12z i ⋅-=，其中i 为虚数单位，则z =（ ）A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i -- 3.一个几何体的三视图如下，其中主视图和俯视图都是边长为2的正方形，则该几何体的体积是（ ）A ．4B ．8C ．43D ．834.已知向量a b r r ，满足1a b a b ==+=r r r r，则向量a b r r ，夹角的余弦值为（ ） A ．12 B ．12- C 3 D ．35.已知数列{}n a 是等差数列，38a =，44a =，则前n 项和n S 中最大的是（ ）A ．3SB ．4S 或5SC ．5S 或6SD ．6S6.已知双曲线()2222100x y a b a b-=>>，的渐近线方程为2y x =±，则其离心率为（ ）A 5B 5C 53D ．5或57.已知x y ，满足()2221x y x y y a x ⎧-⎪+⎨⎪-⎩≥≤≥，且z x y =+能取到最小值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1a <-B ．2a ≥C ．12a -<≤D ．1a <-或2a ≥8.已知函数：①()12f x x =，②()πsin2x f x =，③()1ln 12f x x =+．则以下四个命题对已知的三个函数都能成立的是（ ）命题():1p f x +是偶函数； 命题():1q f x +在()01，上是增函数； 命题():r f x 恒过定点()11，； 命题11:22s f ⎛⎫> ⎪⎝⎭． A ．命题p 、q B ．命题q 、r C ．命题r 、sD ．命题s 、p第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填写在题中横线上． 9. 51x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中x 项的系数为 ．10.已知直线():12l y k x =++，圆2cos 1:2sin x C y θθ=+⎧⎨=⎩，则圆心C 的坐标是 ；若直线l 与圆C 有公共点，则实数k 的取值范围是 ．11.如图，已知PAB 是O ⊙的割线，点C 是PB 的中点，且PA AC =，PT 是O ⊙的切线，TC 交O ⊙于点D ，8TC =，7CD =，则PT 的长为 ．12.如图所示程序图运行的结果是 ．13.一艘轮船在江中向正东方向航行，在点P 观测到灯塔A B ，在一直线上，并与航线成30︒角．轮船沿航线前进1000米到达C 处，此时观测到灯塔A 在北偏西45︒方向，灯塔B 在北偏东15︒方向．则此时轮船到灯塔B 的距离CB 为 米．14.若()f x 是定义在R 上的奇函数，且对0x ∀≥，总存在正常数T ，使得()T f x +()T f x =+成立，则称()f x 满足“性质P ”．已知函数()g x 满足“性质P”，且()g x 在[]0T ，上的解析式为()2g x x =，则常数T = ；若当[]3T 3T x ∈-，时，函数()y g x kx =-恰有9个零点，则k = ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15. （本小题满分13分）已知函数()22sin cos 23sin 3444x x xf x =-+．⑴ 求函数()f x 的最大值，并写出相应的x 取值集合；⑵ 令π103f a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且()0πα∈，，求tan2α的值．16.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为菱形，PAD △为等边三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，且602DAB AB ∠=︒=，，E 为AD 的中点．⑴ 求证：AD PB ⊥；⑵ 求二面角A PD C --的余弦值；⑶ 在棱PB 上是否存在点F ，使EF ∥平面PDC ？并说明理由．17.（本小题满分13分）如图，某工厂2011年生产的A B C D ，，，四种型号的产品产量用条形图表示，现用分层抽样的方法从中抽取50件样品参加今年五月份的一个展销会．⑴ 问A B C D ，，，型号的产品各抽取了多少件？⑵ 从50件样品中随机抽取2件，求这2件产品恰好是不同型 号的产品的概率；⑶ 在50件样品中，从A C ，两种型号的产品中随机抽取3件，其中A 种型号的产品有X 件，求随机变量X 的分布列和数学期望()E X ．18.（本小题满分13分）已知函数()()2121ln 12f x mx x x =-+++．⑴ 当32m =-时，求函数()f x 的极值点；⑵ 当1m ≤时，曲线():C y f x =在点()01P ，处的切线l 与C 有且只有一个公共点，求实数m的范围．19.（本小题满分14分）已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>经过点312M ⎛⎫⎪⎝⎭，，且其右焦点与抛物线22:4C y x =的焦点F 重合．⑴ 求椭圆1C 的方程；⑵ 直线l 经过点F 与椭圆1C 相交于A B ，两点，与抛物线2C 相交于C D ，两点．求AB CD的最大值．20.（本小题满分13分） 已知集合{}12320112012S =L ，，，，，，设A 是S 的至少含有两个元素的子集，对于A 中任意两个不同的元素()x y x y >，，若x y -都不能．．．整除x y +，则称集合A 是S 的“好子集”．⑴ 分别判断数集{}2468P =，，，与{}147Q =，，是否是集合S 的“好子集”，并说明理由；⑵ 求集合S 的“好子集”A 所含元素个数的最大值； ⑶ 设123m A A A A L ，，，，是集合S 的m 个“好子集”，且两两互不包含，记集合i A 的元素个数为()12i k i m =L ，，，，求证：()1!2012!2012!mi i i k k =⋅-∑≤数学参考答案（理科）一、选择题二、填空题三、解答题15、（I ）()f x 的最大值为2，相应的x 取值集合为π|4π,3x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ；（II ）24tan 27α=-．16、（I ）略；（II ）二面角A PD C --的余弦值为 （III ）在棱PB 上存在点F ，使EF ∥平面PDC ．17、（I ）A 型号的产品10件，B 型号的产品20件，C 型号的产品5件，D 型号的产品15件；（II ）这两件产品恰好是不同类型的产品的概率为57；（III ）随机变量X 的分布列为18、（I ）()f x 的极大值点为13x =-；（II ）m 的取值范围为(]{},01-∞U ．19、（I ）椭圆的方程为22143x y +=；（II ）AB CD 的最大值为34．20、（I ）P 不是S 的“好子集”；Q 是S 的“好子集”； （II ）A 的最大值为671； （III ）略．提示：（II ）考虑1,2a b -≠，作S 的模3同余类，可构造{}1,4,7,,2011A =L 即可． （III ）12,,,m A A A L 是S 的“好子集”的条件多余，可直接改为“子集”；考虑2012个数的全排列即可．。

2016-2017学年度北京市大兴区高三第二学期统一检测理科综合2017.04可能用到的相对原子质量：H 1 O 16 Na 23 Fe 56第I卷选择题1.下列对图中包含关系的描述错误的是A.若1表示真核细胞的生物膜系统，2一4可分别表示细胞膜、细胞器膜、细胞核膜B.若1表示基因工程所需的工具酶，2一4可分别表示限制酶、DNA连接酶、解旋酶C.若1表示真核细胞的分裂方式，2一4可分别表示有丝分裂、无丝分裂、减数分裂D.若1表示可遗传变异的来源，2一4可分别表示基因突变、基因重组、染色体变异2.果蝇是一种常见的昆虫，以腐烂的水果或植物体为食。

下列相关叙述正确的是A.因果蝇易饲养繁殖快，所以常用作遗传学研究的材料B.果蝇进食以后，葡萄糖进入线粒体彻底氧化分解供能C.果蝇的细胞核含DNA，是完成基因复制和表达的场所D.果蝇细胞中能形成囊泡结构的只有内质网和高尔基体3.山油茶籽可以用来榨取茶油，其花蜜中含有生物碱和茶皂素，中蜂、意蜂取食花蜜会死亡，而攻击力强的土栖蜂可以油茶花蜜为食，并为其传粉。

研究人员将土栖蜂与中蜂杂交获得M 蜂。

M蜂繁殖多代后再与土栖蜂杂交以恢复其野性。

下列说法不正确的是A.土栖蜂利于保持山油茶遗传多样性B.山油茶与土栖蜂之间存在协同进化C.土栖蜂与中蜂之间不存在生殖隔离D.可用生长素培育无籽果实增加产量4.滑雪是冬奥会的重要比赛项目，下列表述正确的是A.运动前皮肤冷觉感受器兴奋，皮肤血管舒张，减少散热B.运动开始时下丘脑体温调节中枢兴奋，在此产生冷觉C.运动中甲状腺激素分泌增加，细胞代谢加快，增加产热D.运动后胰岛B细胞大量分泌胰岛素，血糖含量急剧下降5.大丽花具有药用价值，干旱是影响其分布的主要因素。

为引种大丽花，将其种植在含水量为80%的土壤(CK)和中度缺水的土壤(MD)中，分别检测叶片净光合速率(Pn)、气孔导度(Gs)和胞间CO2浓度(Ci)，结果如图所示。

下列分析正确的是A.第3一6天Pn一MD的限制因素主要为外界光照强度B.第6一12天Pn一MD的限制因素为还原C3的酶结构C.第12一15天Pn一MD的限制因素为非气孔类的因素D.第3一15天中度缺水环境更利于大丽花积累有机物6. 下列生活中常见用品与其类别或主要成分对应不正确．．．的是太阳能电池食用油84消毒液合成纤维宇航服酯类物质混合物高分子材料7．化学在人类生活中扮演重要角色，下列说法正确的是A．蔬菜和粗粮中富含纤维素，纤维素在人体中酶的作用下能水解成葡萄糖B．混凝法、中和法、沉淀法、氧化还原法是工业处理废水常用的方法C．阿司匹林具有解热镇痛作用，可预防心脏病发作，也可以作为抗酸药D．鸡蛋清溶液中加入饱和Na2SO4溶液，有沉淀生成是因为蛋白质变性8. 下列有关实验的说法正确的是A.将SO2通入溴水中，溴水褪色证明SO2具有漂白性B.将含有少量HCl的Cl2通入水中以除去HCl杂质C. 将乙烯通入酸性KMnO4溶液中，溶液褪色证明乙烯具有还原性D. 将蔗糖溶液和少量稀H2SO4混合加热后，加入新制的Cu(OH)2检验蔗糖是否水解9. 酚醛树脂材料具有绝缘、隔热、难燃等性能，合成酚醛树脂反应如下：下列说法正确的是A．方程式中水的化学计量数是2n-1B更难溶于水C． 1 mol HCHO与银氨溶液反应最多可以生成2 mol AgDHCHO10. 四种短周期主族元素W、X、Y、Z的原子序数依次增大，W、X的简单离子具有相同电子层结构，X的原子半径在短周期主族元素原子中最大，Y的核外电子数是W的2倍且同主族。

北京市2017届高三综合练习数学（理）一、选择题（每小题5分，共40分）1．已知向量a =（1，k ），=b （2，1），若a 与b 的夹角为︒90，则实数k 的值为A ．12-B ．12C ．2-D ．22．直线x-y+1=0与圆（x+1）2+y 2=1的位置关系是（ ）A ．相切B ．直线过圆心C ．直线不过圆心但与圆相交D ．相离3．在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为（-1，1），若取原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则在下列选项中，不是点P 极坐标的是（ ）A ．32,4π） B ．52,4π-） C ．112,4π） D ．2,4π-） 4．设p 、q 是简单命题，则""p q ∧为假是""p q ∨为假的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5．甲、乙两名运动员的5次测试成绩如下图所示甲 茎 乙 7 7 8 6 8 8 6 293 6 7设12,s s 分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的标准差，12,x x 分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的平均数，则有A ． 12x x =，12s s <B ． 12x x =， 12s s >C ． 12x x >， 12s s >D ． 12x x =， 12s s =6．已知函数2()log f x x =，若()1f x ≥，则实数x 的取值范围是（ ）A ． 1(,]2-∞ B ． [2,)+∞ C ． 1(0,][2,)2+∞U D ． 1(,][2,)2-∞+∞U 7．设f(x)、g(x)是R 上的可导函数，''(),()f x g x 分别是f(x)、g(x)的导函数，且''()()()()0f x g x f x g x +<，则当a x b <<时，有（ ）A ． f(x)g(x)>f(b)g(b)B ． f(x)g(a)>f(a)g(x)C ． f(x)g(b)>f(b)g(x)D ． f(x)g(x)>f(a) g(a)8．如图，在直三棱柱111A B C ABC -中，2BAC π∠=，12AB AC AA ===，点G 与E 分别为线段11A B 和1C C 的中点，点D 与F 分别为线段AC 和AB 上的动点。

北京市2017届高三综合练习数学（理）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1．设全集U=R ，A=(2){|21},{|ln(1)}x x x B x y x -<==-，则右图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{|1}x x ≥B ．{|12}x x ≤<C ．{|01}x x <≤D ．{|1}x x ≤ 2．函数()x x f 2sin =的最小正周期为 ( ）A ．π B.π2 C 。

π3 D 。

π43．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为2，则双曲线方程为（ ）A ．x 2－y 2=1B ．x 2－y 2=2C ．x 2－y 2=2D ．x 2－y 2=214．在空间中，有如下命题：①互相平行的两条直线在同一个平面内的射影必然是互相平行的两条直线；②若平面βαβα平面内任意一条直线，则平面平面////m ;③若平面βαβα平面则直线直线内的直线平面的交线为与平面⊥⊥n m n m ,,；④若平面α内的三点A 、B 、C 到平面β的距离相等，则βα//。

其中正确命题的个数为（ )个。

A ．0 B ．1C ．2D ．35.圆()3122=++y x 绕直线01=--y kx 旋转一周所得的几何体的体积为（ ）A 。

π36B 。

π12C ．π34 D. π46．连续投掷两次骰子得到的点数分别为m 、n ,作向量a =(m,n ）．则向量a 与向量b=（1,—1）的夹角成为直角三角形内角的概率是( ）A ．712B ．512C ．12347。

定义运算：12122112a a ab a b b b =-，将函数()3sin 1cos x f x x=的图象向左平移t (0t >）个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则t 的最小值为（ ）A ． 3π B ．6π C ．56πD ．23π 8.下列结论 ①命题“0,2>-∈∀x xR x ”的否定是“0,2≤-∈∃x x R x ”； ②当),1(+∞∈x 时，函数221,x y x y ==的图象都在直线x y =的上方； ③定义在R 上的奇函数()x f ，满足()()x f x f -=+2，则()6f 的值为0. ④若函数()x x mx x f 2ln 2-+=在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围为12m ≥。

北京市2017届高三综合练习数学（理）一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中， 有且只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U={一l ，0，1，2}，集合A={一l ，2}，B={0，2}，则=⋂B A C U )(A ．{0}B ．{2}C ．{0，l ，2}D ．φ2．已知i 为虚数单位，2=iz，则复数=zA ．i -1B ．i +1C ．2iD ．－2i 3．“a=2”是“直线ax 十2y=0与直线x+y=l 平行”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．一个四棱锥的三视图如图所示，其中主 视图是腰长为1的等腰直角三角形，则 这个几何体的体积是 A ．21B ．1C ．23D ．2 5．函数2(sin cos )1y x x =+-是A ．最小正周期为π2的奇函数B ．最小正周期为π2的偶函数C ．最小正周期为π的奇函数D ．最小正周期为π的偶函数6．过点π4,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭引圆4sin ρθ=的一条切线，则切线长为A ．33B ．36C ．22D ．24 7．将图中的正方体标上字母, 使其成为正方体1111ABCD A B C D -, 不 同的标字母方式共有A ．24种B ．48种C ．72种D ．144种11主视图左视图俯视图8．若函数()() y f x x R =∈满足()()2f x f x +=，且[]1,1x ∈-时，()21f x x =-， 函数()()()lg 01 0x x g x x x ⎧>⎪=⎨-<⎪⎩，则函数()()()h x f x g x =-在区间[]5,5-内的零点的个数为A ．5B ．7C ．8D ．10 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．9．二项式521⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式中含4x 的项的系数是 （用数字作答）． 10．如图给出的是计算2011151311+⋅⋅⋅+++的值 的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件 是 ． 11．如图，PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆 的割线，且PB PA 3=则=BCPB． 12． 当(1,2)x ∈时，不等式2(1)log a x x -<恒成立，则实数a 的取值范围为 ．13．已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>-≥-≤+122y y x y x 表示的平面区域为,M 若直线13+-=k kx y 与平面区域M 有公共点，则k 的取值范围是 ．14．手表的表面在一平面上．整点1，2，…，12这12个数字等间隔地分布在半径为22的圆周上．从整点i 到整点（i ＋1）的向量记作1+i i t t ，则2111243323221t t t t t t t t t t t t ⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅＝ ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15．（本小题满分13分）在ABC ∆中，a b c 、、分别为角A B C 、、的对边，且满足222b c a bc +-=． （Ⅰ）求角A 的值；P（Ⅱ）若a =B 的大小为x ，ABC ∆的周长为y ，求()y f x =的最大值．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，AC 与BD 的交点为O ，E 为侧棱SC 上一点． （Ⅰ）当E 为侧棱SC 的中点时，求证：SA ∥平面BDE ；（Ⅱ）求证：平面BDE ⊥平面SAC ； （Ⅲ）当二面角E BD C --的大小为45︒ 时，试判断点E 在SC 上的位置，并说明理由．17．（本小题满分13分）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产 品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为(]495,490，(]500,495，…，(]515,510．由此得到样本的频率分布直方图，如图所示：（Ⅰ）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量；（Ⅱ）在上述抽取的40个产品中任职2件，设ξ为重量超过505克的产品数量，求ξ的分布列；（Ⅲ）从流水线上任取5件产品，估计其中恰 有2件产品的重量超过505克的概率．18．（本小题满分13分）已知xxx g e x x ax x f ln )(],,0(,ln )(=∈-=，其中e 是自然常数，R a ∈． （Ⅰ）讨论1=a 时，()f x 的单调性、极值； （Ⅱ）求证：在（Ⅰ）的条件下，1()()2f xg x >+； （Ⅲ）是否存在实数a ，使()f x 的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．19．（本小题满分14分）已知：椭圆12222=+b y a x （0>>b a ），过点)0,(a A -，),0(b B 的直线倾斜角为6π，原点到该直线的距离为23． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）斜率大于零的直线过)0,1(-D 与椭圆交于E ，F 两点，若2=，求直线EF的方程；（Ⅲ）是否存在实数k ，直线2+=kx y 交椭圆于P ，Q 两点，以PQ 为直径的圆过点)0,1(-D ？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分13分 ）定义：对于任意*n ∈N ，满足条件212n n n a a a +++≤且n a M ≤（M 是与n 无关的常数）的无穷数列{}n a 称为T 数列．（Ⅰ）若29n a n n =-+(*n ∈N )，证明：数列{}n a 是T 数列；（Ⅱ）设数列{}n b 的通项为3502nn b n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且数列{}n b 是T 数列，求常数M 的取值范围；（Ⅲ）设数列1n pc n=-(*n ∈N ，1p >)，问数列{}n c 是否是T 数列？请说明理由．参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分．9．10 10．2011≤i 11．2112．]2,1( 13．)0,31[- 14．936-三、解答题：本大题共6小题，满分80分．15．（本小题满分13分）在ABC ∆中，a b c 、、分别为角A B C 、、的对边，且满足222b c a bc +-=． （Ⅰ）求角A 的值；（Ⅱ）若a =B 的大小为x ，ABC ∆的周长为y ，求()y f x =的最大值．解：（Ⅰ）∵222b c a bc +-=，∴2221cos 22b c a A bc +-==又0A π<<， ∴3A π=； -------------------------------------------------------------5分（Ⅱ）∵Aax b sin sin =， ∴x x x a b sin 2sin 233sin 3sin=⋅=⋅=π同理)32sin(sin sin x C A a c -=⋅=π∴3)6sin(323)32sin(2sin 2++=+-+=ππx x x y∵320,3ππ<<∴=x A ∴)65,6(6πππ∈+x ， ∴62x ππ+=即3x π=时，max y =分16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，AC 与BD 的交点为O ，E 为侧棱SC 上一点． （Ⅰ）当E 为侧棱SC 的中点时，求证：SA ∥平面BDE ；（Ⅱ）求证：平面BDE ⊥平面SAC ； （Ⅲ）当二面角E BD C --的大小为45︒ 时，试判断点E 在SC 上的位置，并说明理由． （Ⅰ）证明：连接OE ，由条件可得SA ∥OE . 因为SA Ë平面BDE ，OE Ì平面BDE ，所以SA ∥平面BDE（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知SO ABCD ⊥面，AC BD ⊥.建立如图所示的空间直角坐标系. 设四棱锥S ABCD -的底面边长为2， 则(0, 0, 0)O ，(0, 0,S ，)0, 0A，()0, 0B ，()0, 0C ， ()0, 0D .所以() 0, 0AC =-u u u r ，()0, 0BD =-u u u r.设CE a =（02a <<），由已知可求得45ECO ∠=︒.所以(, 0, )22E a ，(, )22BE a a =-u u u r . 设平面BDE 法向量为(, , )x y z =n ，则0,0BD BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r n n 即0, ()0.22y a x az =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 令1z =，得(, 0, 1)2aa=-n .易知()0, 0BD =-u u u r是平面SAC 的法向量.因为(, 0, 1)(0, 0)02a BD a ⋅=⋅-=-u u u r n ，所以BD ⊥u u u rn ，所以平面BDE ⊥平面SAC .-------------------------------------9分（Ⅲ）解：设CE a =（02a <<），由（Ⅱ）可知，平面BDE 法向量为(, 0, 1)2aa=-n . 因为SO ABCD ⊥底面，所以(0, 0,OS =u u u r是平面SAC 的一个法向量.由已知二面角E BD C --的大小为45︒.所以cos , cos 452OS 〈〉=︒=u u u r n ，2=，解得1a =.[ 所以点E 是SC 的中点.-----------------------------------------------------------------14分 17．（本小题满分13分）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产 品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为(]495,490，(]500,495，…，(]515,510．由此得到样本的频率分布直方图，如图所示：（Ⅰ）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量；（Ⅱ）在上述抽取的40个产品中任职2件，设ξ为重量超过505克的产品数量，求ξ的分布列；（Ⅲ）从流水线上任取5件产品，估计其中恰 有2件产品的重量超过505克的概率．解：（Ⅰ）重量超过505克的产品数量是12)501.0505.0(40=⨯+⨯⨯件------------2分 （Ⅱ）ξ的所有可能取值为0,1,222824063(0)130C P C ξ===,11122824056(1)130C C P C ξ===,21224011(2)130C P C ξ===, ξ的分布列为-------------------------------------------------------9分（Ⅲ）由（Ⅰ）的统计数据知，抽取的40件产品中有12件产品的重量超过505克，其频率为3.0，可见从流水线上任取一件产品，其重量超过505克的概率为3.0，令ξ为任取的5件产品中重量超过505克的产品数，则)3.0,5(~B ξ，故所求的概率为3087.0)7.0()3.0()2(3225===C p ξ-----------------------13分18．（本小题满分13分）已知xxx g e x x ax x f ln )(],,0(,ln )(=∈-=，其中e 是自然常数，R a ∈． （Ⅰ）讨论1=a 时, ()f x 的单调性、极值； （Ⅱ）求证：在（Ⅰ）的条件下，1()()2f xg x >+; （Ⅲ）是否存在实数a ，使()f x 的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由． 解：（Ⅰ）Θx x x f ln )(-=，xx x x f 111)(-=-=' ∴当10<<x 时，/()0f x <，此时()f x 单调递减 当e x <<1时，/()0f x >，此时()f x 单调递增∴()f x 的极小值为1)1(=f -----------------------------------------------------------4分 （Ⅱ）Θ()f x 的极小值为1，即()f x 在],0(e 上的最小值为1，∴ 0)(>x f ，min ()1f x =……5分 令21ln 21)()(+=+=x x x g x h ，xxx h ln 1)(-='， 当e x <<0时，0)(>'x h ，()h x 在],0(e 上单调递增 ∴min max |)(|12121211)()(x f e e h x h ==+<+== ∴在（1）的条件下，1()()2f xg x >+------------------------------------------------8分（Ⅲ）假设存在实数a ，使x ax x f ln )(-=（],0(e x ∈）有最小值3，/1()f x a x =-x ax 1-=① 当0≤a 时，)(x f 在],0(e 上单调递减，31)()(min =-==ae e f x f ，ea 4=（舍去），所以，此时)(x f 无最小值. ② 当e a <<10时，)(x f 在)1,0(a 上单调递减，在],1(e a上单调递增 3ln 1)1()(min =+==a af x f ，2e a =，满足条件.③ 当e a ≥1时，)(xf 在],0(e 上单调递减，31)()(min =-==ae e f x f ，ea 4=（舍去），所以，此时)(x f 无最小值.综上，存在实数2e a =，使得当],0(e x ∈时()f x 有最小值3.---------------------13分 19．（本小题满分14分）已知：椭圆12222=+b y a x （0>>b a ），过点)0,(a A -，),0(b B 的直线倾斜角为6π，原点到该直线的距离为23． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）斜率大于零的直线过)0,1(-D 与椭圆交于E ，F 两点，若2=，求直线EF的方程；（Ⅲ）是否存在实数k ，直线2+=kx y 交椭圆于P ，Q 两点，以PQ 为直径的圆过点)0,1(-D ？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）由33=a b ，22232121b a b a +⋅⋅=⋅ ，得3=a ，1=b ， 所以椭圆方程是：1322=+y x ---------------------------------------------------------4分 （Ⅱ）设EF ：1-=my x （0>m ）代入1322=+y x ，得022)3(22=--+my y m ， 设),(11y x E ，),(22y x F ，由2=，得212y y -=．由322221+=-=+m m y y y ，32222221+-=-=m y y y ----------------------------6分 得31)32(222+=+-m m m ，1=∴m ，1-=m （舍去），（没舍去扣1分）直线EF 的方程为：1-=y x 即01=+-y x ----------------------------------------9分（Ⅲ）将2+=kx y 代入1322=+y x ，得0912)13(22=+++kx x k （*） 记),(11y x P ，),(22y x Q ，PQ 为直径的圆过)0,1(-D ，则QD PD ⊥，即0)1)(1(),1(),1(21212211=+++=+⋅+y y x x y x y x ，又211+=kx y ，222+=kx y ，得01314125))(12()1(221212=++-=+++++k k x x k x x k ． 解得67=k ，此时（*）方程0>∆， ∴存在67=k ，满足题设条件．------------------------------------------------------14分 20．（本小题满分13分 ）定义：对于任意*n ∈N ，满足条件212n n n a a a +++≤且n a M ≤（M 是与n 无关的常数）的无穷数列{}n a 称为T 数列．（Ⅰ）若29n a n n =-+(*n ∈N )，证明：数列{}n a 是T 数列；（Ⅱ）设数列{}n b 的通项为3502nn b n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且数列{}n b 是T 数列，求常数M 的取值范围；（Ⅲ）设数列1n pc n=-(*n ∈N ，1p >)，问数列{}n c 是否是T 数列？请说明理由． 解：（Ⅰ） 由29n a n n =-+，得2)1(18)1(2)2(9)2(9222212-=+-+++++-+-=-+++n n n n n n a a a n n n所以数列{}n a 满足212n n n a a a +++≤. 又298124n a n ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，当n =4或5时，n a 取得最大值20，即n a ≤20.综上，数列{}n a 是T 数列.------------------------------------------------------------4分（Ⅱ）因为11331350(1)50502222n n nn n b b n n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+--+=- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以当1350022n⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭即11n ≤时，10n n b b +->，此时数列{}n b 单调递增当12n ≥时，10n n b b +-<，此时数列{}n b 单调递减；故数列{}n b 的最大项是12b ，所以，M 的取值范围是 1236002M ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭----------------------------------------9分（Ⅲ）①当12p <≤时， 当1n =时1231,1,1,23p p c p c c =-=-=- 由13252203p c c c +-=-≤得65p ≤，即当615p <≤时符合122++≤+n n nc c c 条件. 若2n ≥，则1≤n p ,此时1n pc n=- 于是 2122(1)(1)2(1)021(1)(2)n n n p p p pc c c n n n n n n ++-+-=-+---=<++++ 又对于*n ∈N 有11n p c n =-<，所以当615p <≤时数列{}n c 是T 数列； ②当23p <≤时， 取1n =则：1231,1,1,23p pc p c c =-=-=- 由0322231>-=-+pc c c ，所以23p <≤时数列{}n c 不是T 数列 ③当3p >时， 取1n =则1231,1,1,23p p c p c c =-=-=- 由1325206pc c c +-=>，所以3p >时数列{}n c 不是T 数列. 综上：当615p <≤时数列{}n c 是T 数列；当65p >时数列{}n c 不是T 数列 -----------------------------------------------------------------------------13分。

北京市2017届高三综合练习数学（理）第Ⅰ卷（选择题 共40分)一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知全集U =R ，集合1{|1}A x x=≥，则UA =( ）（A ）(0,1)(B ）(0,1]（C)(,0](1,)-∞+∞（D ）(,0)[1,)-∞+∞【答案】C高考资源网}10{}11{≤<=≥=x x xx A ，所以}10{>≤=x x x A CU或，选C 。

2．执行如图所示的程序框图，若输入2x =，则输出y 的值为（ ） （A)2(B ）5(C ）11(D ）23【答案】D高考资源网输入2=x ，5=y .8352<=-，11,5==y x ，86115<=-，23,11==y x ,8122311>=-，满足条件，输出23=y ，选D.3．若实数x ，y 满足条件0,30,03,x y x y x +≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤≤⎩则2x y -的最大值为()（A ）9（B)3（C)0（D ）3- 【答案】A高考资源网令y x z -=2，即z x y -=2,做出可行域，由图象可知当直线过点A 时直线截距最大，z 最小，经过点B 时，截距最小，z 最大。

由题意知A （0，3），B )33(-，，所以最大值为9)3(-32=-⨯,选A.4．已知正六棱柱的底面边长和侧棱长相等，体积为3123cm ．其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是（ ）(A ）243cm (B ）223cm （C ）28cm (D ）24cm【答案】A高考资源网正六棱柱的左视图是一个以AB 长为宽，高为2的矩形,32=AB所以左视图的面积为34232=⨯，选A.5．已知函数44()sin cos f x x x ωω=-的最小正周期是π，那么正数ω=（ ）（A ）2(B ）1（C ）12（D ）14【答案】B高考资源网xx x x x x f ϖϖϖϖϖ2cos cos sincos sin )(2244-=-=-=，所以周期πϖπϖπ===22T ,所以1=ϖ，选B 。

北京市2017届高三综合练习数学(理）第Ⅰ卷为选择题，共60分；第Ⅱ卷为非选择题共90分。

满分100分，考试时间为120分钟。

第Ⅰ卷（选择题,共60分）一、本题共12小题,每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的． 1．已知集合{}0 1 2A =，，,集合{}2B x x =>,则A B =（ ）A ．{}2B ．{}0 1 2，，C ．{}2x x >D ．∅ 2．已知i 是虚数单位,则i i +-221等于（ )A ．i -B ．i -54C ．i 5354- D ．i3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．12B ．11C ．312D ．3114．若数列{}na 的前n 项和为nS ，则下列命题：（1)若数列{}na 是递增数列,则数列{}nS 也是递增数列;(2）数列{}nS 是递增数列的充要条件是数列{}na 的各项均为正数；（3）若{}na 是等差数列（公差0d ≠)，则120k S SS ⋅=的充要条件是120.k a a a ⋅=（4）若{}na 是等比数列，则120(2,)k S SS k k N ⋅=≥∈的充要条件是10.n n a a ++=其中，正确命题的个数是（ ) A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个5．如图，长方形的四个顶点为)2,0(),2,4(),0,4(),0,0(C B A O ,曲线xy =经过点B ．现将一质点随机投入长方形OABC中,则质点落在图中阴影区域的概率是（ ） A ．125B ．21C ．32D ．436．已知:命题p :“1=a 是2,0≥+>xa x x 的充分必要条件”；命题q :“02,0200>-+∈∃x x R x”．则下列命题正确的是（）A ．命题“p ∧q "是真命题B ．命题“(┐p ）∧q "是真命题C ．命题“p ∧(┐q ）”是真命题D ．命题“（┐p ）∧（┐q ）”是真命题7．若空间三条直线a 、b 、c 满足,//a b b c ⊥，则直线a c 与（ )A ．一定平行B ．一定相交C ．一定是异面直线D ．一定垂直8．函数xx y ln = 的图象大致是（ ）9．如图所示的方格纸中有定点 O P Q E F G H ,,,,,,,则OP OQ +=（ ） A ．OH B ．OG C ．FO D ．EO10．设22)1(则,3005满足约束条件,y x x y x y x y x ++⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-的最大值为（ ） A ． 80 B ． 45C．25D ．17211．若双曲线222(0)xy a a -=>的左、右顶点分别为A 、B ，点P 是第一象限内双曲线上的点。

北京市2017届高三综合练习数学(理)一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．在复平面内，复数121i z i-=+对应的点位于（A ） 第一象限 (B ） 第二象限(C) 第三象限 (D) 第四象限2．下列四个命题中，假命题为（A ） x ∀∈R ，20x >（B) x ∀∈R ，2310x x ++> （C)x ∃∈R ，lg 0x >（D)x ∃∈R ，122x =3．已知a >0且a ≠1，函数log ay x =,xy a =，y x a =+在同一坐标系中的图象可能是(A ）（B ） （C ） (D ）4．参数方程2cos (3sin x y θθθ=⎧⎨=⎩，，为参数)和极坐标方程4sin ρθ=所表示的图形分别是(A ） 圆和直线 （B ） 直线和直线（C ） 椭圆和直线(D ） 椭圆和圆5．由1，2,3，4,5组成没有重复数字且2与5不相邻的四位数的个数是OO O O x xxxyyyy1 11 1111 1xyO π2π1-1（A ） 120 (B ） 84 (C ） 60（D) 486．已知函数sin()y A x ωϕ=+的图象如图所示，则该函数的解析式可能是(A） 441sin()555y x =+(B） 31sin(2)25y x =+（C)441sin()555y x =- (D)41sin(2)55y x =+本题就是考查正弦函数的图象变换.最好采用排除法。

考查的关键是A ,ω,φ每一个字母的意义。

7．已知直线l ：0Ax By C ++=（A ,B 不全为0）,两点111(,)P x y ,222(,)P x y ，若1122()()0Ax By C Ax By C ++++>，且1122Ax By C Ax By C ++>++，则（A ） 直线l 与直线P 1P 2不相交（B) 直线l 与线段P 2 P 1的延长线相交(C ） 直线l 与线段P 1 P 2的延长线相交(D) 直线l 与线段P 1P 2相交本题就是考查线性规划问题.关键是1）1122()()0Ax By C Ax By C ++++>的含义：点在直线的同侧；2）1122Ax By C AxBy C++>++的含义:点到直线的距离的大小关系. 8．已知函数2()2f x xx =-,()2g x ax =+（a 〉0），若1[1,2]x ∀∈-，2[1,2]x ∃∈-，使得f （x 1)= g （x 2),则实数a 的取值范围是（A ）1(0,]2(B ） 1[,3]2（C ）(0,3](D ） [3,)+∞本题虽然是一道小题,但完全可以改成一道大题，处理的关键是对“任意”、“存在”的理解。