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(4) 向前向后差分之间的关系是 m yk m m yk （2.32）
n 1
n 1
第二章
插值法与数值微分
(5) 差分与差商的关系是
m y0 m ym f [ x0 , x1 ,, xm ] m m!h m!hm
（2.33）
定理2 各阶差分均可表示成函数值的线性组合，即
m m m j m yk (1) yk m j , yk (1) yk j j 0 j 0 j j
2.1 拉格朗日插值
1 线性插值
给出函数值 y0
f ( x0 ) , y1 f ( x1 ), 如何构造一个插值函数
( x ), 使 ( x) 满足插值条件（2.2）呢？
第二章
插值法与数值微分
p1 ( x) a bx
最简单的方法是过点 ( x0 , y0 ),( x1, y1 ) 作一条直线。
p2 ( x),
这时 p2 ( x)
就称为抛物线插值或二次插值。 二次插值的几何意义见图2.2。
y
y f ( x)
o
x0
x1
x2 x
图2.2
第二章
若记
插值法与数值微分
( x x1 )( x x2 ) ( x x0 )( x x2 ) l0 ( x) , l1 ( x ) ( x0 x1 )( x0 x2 ) ( x1 x0 )( x1 x2 )
1 i j li ( x j ) 0 i j
（2.18）
pn ( x)
则满足插值条件(2.15)的n次插值多项式 可表示为 其中
pn ( x) li ( x) yi
i 0 n
（2.19）
第二章
插值法与数值微分
( x x0 )( x x1 ) ( x xi 1 )( x xi 1 ) ( x xn ) li ( x) ( xi x0 )( xi x1 ) ( xi xi 1 )( xi xi 1 )( xi xn ) ，
2 yk (yk ) yk 1 yk yk 2 2 yk 1 yk
类似地，可定义高阶差分，如m阶差分定义为
m yk (m1 yk ) m1 yk 1 m1 yk
（2.27）
第二章
yk yk yk 1
插值法与数值微分
由（2.26）定义的差分叫做向前差分，类似把差分
因此有
pn ( x) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ]( x x0 ) f [ x0 , x1, x2 ]( x x0 )( x x1 )
f [ x0 , x1 ,, xn ]( x x0 )( x x1 )( x xn1 )
（2.25）
pn ( xi ) yi (i 0,1, 2,, n)
（2.17）
第二章
插值法与数值微分
当 xi (i 0,1, 2,, n) 互不相同时，可唯一确定出系数
ai , 这就得到了n次插值多项式 pn ( x), 我们把 pn ( x)
称为n次插值多项式。 设n次多项式 li ( x) 具有性质
第二章
所以 x) l0 ( x) y0 l1 ( x) y1 l2 ( x) y2
（2.14）
就是满足插值条件(2.10)的二次插值多项式。
把 l0 ( x) 叫做点 x0 的二次插值基函数，
把 l1 ( x) 叫做点 x1 的二次插值基函数，
把 l2 ( x) 叫做点 x2 的二次插值基函数。
m
m
j
（2.34）
其中
m m(m 1)(m j 1) j! j
定理3 函数值可表示成各阶差分的线性组合，即
yk m m j yk j 0 j
m
（2.35）
第二章
插值法与数值微分
例 1 取节点 x0 0, x1 2 和 x0 0, x1 2, x2 1， 对函数 y log2 (1 x) 分别建立线性插值多项式和二次插值多项式。
中国计量学院理学院数学系
计算方法课件：
由何满喜、尚绪凤制作
第二章
插值法与数值微分
第二章
插值法与数值微分
对函数 y f ( x) ， x [a, b] ，设有数据 yi f ( xi ) i 0,1, 2,, n （2.1）
这里 xi [a, b] ，且当 j i 时 x j xi (i 0,1, 2,, n) 。
求 ( x) 的方法就叫插值法。
第二章
插值法与数值微分
若 ( x) 取为代数多项式，那么 xi (i 0,1, 2,, n) 互不相同时,根据插值条件(2.2)可以唯一确定一个 n次代数多项式,这样的插值函数称之为多项式插值. 多项式插值一般都记为p(x), n次插值多项式记为
pn ( x).
设函数值 f ( xi ) (i 0,1, 2,, n) 为已知，那么对 f ( x) 定义1阶均差如下：
f [ xi , x j ] f ( x j ) f ( xi ) x j xi
（2.21）
均差也叫差商。 f ( x) 的2阶均差定义为：
f [ xi , x j , xk ] f [ x j , xk ] f [ xi , x j ] xk xi
同理定义 f ( x) 的k阶均差如下：
f [ x1 , x2 ,, xk ] f [ x0 , x1 ,, xk 1 ] (2.22) f [ x0 , x1 ,, xk ] xk x0
第二章
插值法与数值微分
均差具有对称性，例如 f [ xi , x j , xk ] f [ x j , xi , xk ]
（2.28）
称为 f ( x) 在点 xk 处的向后差分。
差分有以下性质：
(1)设 a, b 为常数，则 (axk byk ) axk byk （2.29）
(2) ( xk yk ) yk xk xk 1yk xk yk yk 1xk （2.30）
(3) xi yi xn yn x0 y0 yi 1xi （2.31） i 0 i 0
称为区间[a,b] 上的线性插值。线性插值的几何意义是用直线来 近似代替函数f(x), 见图2.1。
第二章
插值法与数值微分
y
y f ( x)
c
x0
图2.1
x1
x
第二章
插值法与数值微分
线性插值 p1 ( x) 还可以用以下方法得到。
记
x x0 x x1 l0 ( x) , l1 ( x) x0 x1 x1 x0
（2.12）
( x x0 )( x x1 ) l2 ( x ) ( x2 x0 )( x2 x1 )
则二次多项式 l0 ( x), l1 ( x), l2 ( x) 具有性质 l0 ( x0 ) 1, l0 ( x1 ) 0, l0 ( x2 ) 0
l1( x0 ) 0, l1( x1 ) 1, l1( x2 ) 0 （2.13） l2 ( x0 ) 0, l2 ( x1 ) 0, l2 ( x2 ) 1
由（2.14）给出的满足插值条件（2.10）的二次插 值多项式称为二次拉格朗日 Lagrange ） （ 插值多项式。
第二章
3
插值法与数值微分
n次拉格朗日插值
若给定函数值 yi f ( xi ) (i 0,1, 2,, n) 则求一个n次多项式 pn ( x) 使它满足插值条件 （2.15） pn ( x) a0 a1x a2 x2 an xn （2.16） 设
即求一次多项式
（2.3）
使 p1 ( x) 满足 p1 ( x0 ) y0 , p1 ( x1 ) y1 （2.4） 由插值条件(2.4)得到a,b 所满足的线性方程组
a bx0 y0 a bx1 y1
（2.5）
p1 ( x)
求出a,b并代入到(2.3)就得满足插值条件(2.4) 的一次插值多项式 p1( x), 把
要使 pn ( x) 满足插值条件（2.15） ，则有
2 n a0 a1 x0 a2 x0 an x0 y0 a0 a1 x1 a2 x12 an x1n y1 a a x a x 2 a x n y 2 n n n n 0 1 n
由(2.10)得到a,b,c满足的线性方程组
2 a bx0 cx0 y0 a bx1 cx12 y1 2 a bx2 cx2 y2
（2.11）
第二章
插值法与数值微分
由此可求出a,b,c, 并代入到(2.9)就得到满足插值 条件(2.10)的二次插值多项式
此时称 pn ( x) 为 n 次 Newton 插值多项式。
第二章
定义1 设节点
插值法与数值微分
xk x0 kh (k 0,1,, n),
其中h为步长，且
yk f ( xk ) 为已知,则把f(x)在 xk 处的一阶差分定义为
yk yk 1 yk （2.26）
把 f ( x) 在 xk 处的一阶差分 yk 的一阶差分 (yk ) 定义为 f ( x) 在 xk 处的二阶差分，即有
解 因 y0 log2 (1 0) 0, y1 log2 (1 2) log2 3, y2 log2 (1 1) 1
则过点 ( x0 , y0 ) ， ( x1 , y1 ) 的线性插值多项式为
1 1 log 2 3 p1 ( x) l0 ( x) y0 l1 ( x) y1 ( x 2) 0 x log 2 3 x 2 2 2
