第五章 插值法

数值分析第五章插值法插值法是数值分析中常用的一种数值逼近方法，它的目的是通过已知数据点之间的插值多项式来逼近未知数据点的函数值。

插值法可以在信号处理、图像处理、计算机图形学等领域中广泛应用。

在插值法中，最常用的方法有拉格朗日插值法和牛顿插值法。

拉格朗日插值法是一种利用拉格朗日插值多项式来逼近函数的方法。

对于n个已知数据点(xi, yi)，拉格朗日插值多项式L(x)可以表示为：L(x) = ∑(yi * li(x))其中，li(x)表示拉格朗日基函数，定义为：li(x) = ∏[(x - xj)/(xi - xj)] (j≠i)可以证明，在给定的n个数据点上，拉格朗日插值多项式L(x)满足：L(xi) = yi牛顿插值法是另一种常用的插值方法，它利用差商的概念来逼近函数。

对于n个已知数据点(xi, yi)，差商可以定义为：f[xi] = yif[xi, xi+1] = (f[xi+1] - f[xi]) / (xi+1 - xi)f[xi, xi+1, ..., xi+k] = (f[xi+1, ..., xi+k] - f[xi, ...,xi+k-1]) / (xi+k - xi)通过差商的递归定义，可以得到牛顿插值多项式N(x)的表达式，其中：N(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...与拉格朗日插值法类似，牛顿插值多项式N(x)也满足：N(xi) = yi这两种插值方法都有自己的优点和缺点。

拉格朗日插值法简单易懂，计算量小，但当数据点较多时，多项式的次数会很高，容易出现龙格现象。

而牛顿插值法可以通过求差商一次次递推得到插值多项式，计算效率较高，且具备局部逼近性，不易出现龙格现象。

除了拉格朗日插值法和牛顿插值法，还有其他插值方法，如分段线性插值、样条插值等。

分段线性插值是利用线性多项式逼近函数，将数据点之间的区间分为若干段，每段内使用一条线性多项式进行插值。

第五章插值插值在科学计算和工程技术中有广泛应用。

例如由实验得到一系列点x0, x1,…, x n对应的值y0, y i,…, y n，要构造函数y = f (x)，使y i=f(x i)，这就是简单的插值问题。

插值核心问题是：存在性、唯一性、表示方法以及误差分析。

插值和逼近有广泛应用，例如构造曲线曲面等。

5.1 代数插值用代数多项式作为工具来研究插值的方法叫做代数插值。

插值插值问题就是根据已知数据来构造函数y = f (x )的近似表达式。

常用方法就是利用多项式P n (x )，使n i y x P i i n ,2,1,0,)( == ，作为f (x )的近似。

多项式求值方便，且有导数。

称P n (x )为f (x )的一个插值函数，称x 0, x 1,…, x n 为插值节点。

用代数多项式作为工具来研究插值的方法叫做代数插值。

设x 0 < x 1< …< x n ，记a = x 0, b = x n ，则[a, b]为插值区间。

设所要构造的插值多项式为：n n n x a x a x a a x P ++++= 2210)(，由插值条件 n i y x P i i n ,,1,0,)( ==。

得到如下线性代数方程组：n i y a x a x a i n n i i ,2,1,0,110==+++⋅。

该线性方程组的系数行列式为∏≤<≤-==nijjinnnnnnxxxxxxxxxxxD212112)(111，为范得蒙行列式。

当jixx≠，;,2,1ni=nj,2,1=时，D ≠0，所以P n(x)由a0, a1,…, a n唯一确定。

5.2 Lagrange插值已知y = f (x)在给定点x0, x1上的值为y0，y1。

线性插值就是构造一个一次多项式P1(x) = ax + b，使它满足条件P1 (x0) = y0，P1 (x1) = y1。

几何解释就是一条直线。

由解析几何，)()(111xxxxyyyxP---+=或11111)(yxxxxyxxxxxP--+--=。

插值法的原理与应用1. 插值法的概述插值法是一种数值分析方法，用于在给定数据点集合上估计未知数据点的值。

该方法基于已知数据点之间的关系，通过建立一个插值函数来逼近未知数据点的值。

插值法在科学计算、工程应用和数据处理等领域都有广泛的应用。

2. 插值法的原理插值法的基本原理是在已知数据点上构造一个逼近函数f(x)，使得在该函数上的任意点x上的函数值等于对应的已知数据点。

常见的插值方法有多项式插值、样条插值和径向基函数插值等。

2.1 多项式插值多项式插值是一种简单而常用的插值方法，它假设插值函数f(x)是一个多项式函数。

通过选择合适的插值点和多项式次数，可以得到对给定数据集的良好逼近。

多项式插值的基本原理是通过求解一个关于插值点的线性方程组，确定插值多项式的系数。

然后，使用插值多项式对未知数据点进行逼近。

2.2 样条插值样条插值是一种光滑的插值方法，它通过使用分段多项式函数来逼近曲线或曲面。

样条插值的基本原理是将要插值的区间分成若干个小段，每个小段上都使用一个低次数的多项式函数逼近数据点。

为了使插值曲线光滑，相邻小段上的多项式函数需要满足一定的条件，如连续性和一阶或二阶导数连续性。

2.3 径向基函数插值径向基函数插值是一种基于径向基函数构造插值函数的方法，它的基本思想是通过使用径向基函数，将数据点映射到高维空间中进行插值。

径向基函数插值的基本原理是选择合适的径向基函数和插值点，将数据点映射到高维空间中，并使用线性组合的方式构造插值函数。

然后，使用插值函数对未知数据点进行逼近。

3. 插值法的应用插值法在科学计算、工程应用和数据处理等领域都有广泛的应用。

以下列举了一些常见的应用场景。

3.1 信号处理在信号处理中，经常需要通过对已知数据点进行插值来估计未知数据点的值。

例如，通过插值法可以从离散采样数据中恢复连续信号，并进行进一步的分析和处理。

3.2 机器学习在机器学习中，插值法可以用于对缺失数据进行估计。

通过对已知数据点进行插值，可以填补缺失的数据，以便进行后续的模型训练和预测。

第五章 插值方法1. 填空（1）若已知i i y x f =)(，n i ,2,1,0 =，且n x x x ,,,10 互异，则作n 次插值多项式)(x P n ，使其满足i i n y x P =)( （n i ,2,1,0 =），这就是所谓的拉格朗日插值. （2）过下列三点)4,2(，)9,3(，)25,5(，用抛物插值计算4=x 处的函数值16=y（3）设4)(x x f =，试用插值余项定理写出以2,1,0,1-为节点的三次插值多项式为x x x x P 22)(233-+=.（4）设2)(-=n x x f ，则)(x f 的n 次插值多项式为2)(-=n n x x P .（5）差商具有对称性，差商与导数的关系是!)(),,,()(10n f x x x f n n ξ= .（6）设15)(37++=x x x f ，则差商=)2,2(10f 162，=)2,2,2(210f 2702，=)2,,2,2(710 f 1，=)2,,2,2(810 f 0.2.拉格朗日插值多项式)(x P 逼近3)(x x f =，要求： （1）取节点1,110=-=x x 作线性插值； 解 x x x P =+⋅----+-=)1()1(1)1(11)(1（2）取节点1,0,1210==-=x x x 做抛物插值；解 x xx x x x x x P =⨯⨯++⨯-⨯-++-⨯-⨯--=112)1(0)1(1)1)(1()1()2()1()1()(2（3）取节点2,1,0,13210===-=x x x x 作三次插值.解 由拉格朗日插值余项定理知 )(!4)()()()(4)4(33x f x P x f x R ωξ=-= 由于0)()()4(3)4(==x x f，所以 0)()(3=-x P x f ，33)(x x P =.3. 给出概率积分的数据表，用抛物插值计算当472.0=x 时该积分值等于多少？解 由于|472.049.0||472.046.0|-<-，所以选择插值节点48.0,47.0,46.0210===x x x ，)472.0()472.0(2P f ≈4846555.0)48.046.0()47.046.0()478.0472.0()47.0472.0(⨯-⨯--⨯-=4937452.0)48.047.0()46.047.0()48.0472.0()46.0472.0(⨯-⨯--⨯-+5027498.0)47.047.0()46.048.0()47.0472.0()46.0472.0(⨯-⨯--⨯-+=0.4955529. 4. 给定节点4,3,1,13210===-=x x x x ，试分别对下列函数导出拉格朗日插值余项： （1）234)(3+-=x x x f解 0)(!4)()(4)4(3==x f x R ωξ （2）342)(x x x f -=解 1217117)4)(3)(1)(1(!4!4)(!4)()(2344)4(3-++-=---+⋅==x x x x x x x x x f x R ωξ 5. 证明：对于次数不超过n 的多项式)(x f ，其n 次拉格朗日多项式)()(x f x P n =. 证明：设n n x c x c c x f +++= 10)(，由拉格朗日余项定理知 0)()!1()()()()(1)1(=+=-=++x n f x P x f x R n n n n ωξ，)()(x f x P n =6. 已知函数表求三次牛顿插值多项式，并计算)5.2(f 的值，若增加一个节点)14,6(，求)6,3,4,1,0(f 及四次牛顿插值多项式.解 列差商表x x x x x x x x x x P )3/46()3/29()3/4()4)(1()3/4()1(3)7(0)(233-++-=---+-+⋅-+=90/23)6,3,4,1,0(25.1)5.2()5.2(3==≈f P f ，xx x x x x x x x P x P )5/92()90/1307()45/152()90/23()3)(4)(1()90/23()()(23434-+-=---+=7. (1)选择插值节点0.5 ， 0.7；（2）略8.（1）1)(=x f 在节点n x x x ,,,10 的n 次Lagrange 插值多项式为 ∑∑====nk k nk k kn x l x f x lx P 0)()()()(由Lagrange 插值余项定理有0)()!1()()()(1)1(=+=-=++x n f x P x f R n n n n ωξ，)()(x f x P n =，1)(0=∑=nk k x l（2）j x x f =)( (n j ,2,1 =)在节点n x x x ,,,10 的n 次Lagrange 插值多项式为 ∑∑====nk j k k nk k kn x x l x f x lx P 0)()()()(由Lagrange 插值余项定理知0)()!1()()()(1)1(=+=-=++x n f x P x f R n n n n ωξ,)()(x f x P n =,j j k n k k x x x l =∑=0)((3)l j l j j l nk k lk k lj l kn k jl lj nk k jkx C x l x x l x x C x l x x-==-===-=-=-∑∑∑∑∑)())(()()()()(00000)()(0=-=-=∑=-j jl l j l ljx x x x C9. 因为 ))(!2)()()(2111x x x x f x P x f R --''=-=（ξ所以|))((|2)(max ))(!2)(|)()(|1021110x x x x x f x x x x f x P x f x x x --''≤--''=-≤≤（ξ)(max 8)(|)2)(2(|2)(max 101020*******x f x x x x x x x x x f x x x x x x ''-=-+-+''≤≤≤≤≤。