河北省2018届高三毕业班衡水金卷一模模拟演练数学(理)试题
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2018届高三毕业班模拟演练理科数学 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2230M x x x =--≤，{}3cos N y y x ==-，则M N =I （ ）A ．[]2,3B ．[]1,2C ．[)2,3D ．∅2．已知x ∈R ,i 为虚数单位，若复数()224i 2i z x x =+++为纯虚数，则x 的值为（ ）A ．2±B ．2C ．-2D ．03．已知等比数列{}n a 中，2341a a a =，67864a a a =，则456a a a =（ ） A ．8± B ．-8 C ．8 D ．164．如图的折线图是某公司2017年1月至12月份的收入与支出数据.若从这12个月份中任意选3个月的数据进行分析，则这3个月中至少有一个月利润（利润=收入-支出）不低于40万的概率为（ ）A ．1220 B ．119220 C ．2155 D ．34555．我国古代《九章算术》里，记载了一个“商功”的例子：今有刍童，下广二丈，袤三丈，上广三丈，袤四丈，高三丈.问积几何？其意思是：今有上下底面皆为长方形的草垛（如图所示），下底宽2丈，长3丈；上底宽3丈，长4丈；高3丈.问它的体积是多少？该书提供的算法是：上底长的2倍与下底长的和与上底宽相乘，同样下底长的2倍与上底长的和与下底宽相乘，将两次运算结果相加，再乘以高，最后除以6.则这个问题中的刍童的体积为（ ）A ．13.25立方丈B ．26.5立方丈C ．53立方丈D ．106立方丈 6．已知偶函数()f x 在区间()0,+∞上单调递增，且5log 2a =，ln 2b =，0.12c =-，则()()(),,f a f b f c 满足（ ）A ．()()()f b f a f c <<B ．()()()f c f a f b <<C ．()()()f c f b f a <<D ．()()()f a f b f c <<7．某几何体的正视图与侧视图如图所示，则它的俯视图不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．8．若运行如图所示的程序框图，输出的n 的值为127，则输入的正整数n 的所有可能取值的个数为（ ）A ．8B ．3C ．2D ．19．已知点,E F 分别在正方形ABCD 的边,BC CD 上运动，且AB =uu u r，设C E x =，CF y =，若AF AE AB -=uu u r uu u r uu u r，则x y +的最大值为（ ）A ．2B ．4C ．．10．已知函数()()22cos 102xf x x ωωω=-+>，将()f x 的图象向右平移02πϕϕ⎛⎫<<⎪⎝⎭个单位，所得函数()g x 的部分图象如图所示，则ϕ的值为（ ）A ．12π B ．6π C ．8π D ．3π 11．若函数()y f x =满足：①()f x 的图象是中心对称图形；②若x D ∈时，()f x 图象上的点到其对称中心的距离不超过一个正数M ，则称()f x 是区间D 上的“M 对称函数”.若函数()()()310f x x m m =++>是区间[]4,2-上的“3m 对称函数”，则实数m 的取值范围是（ ）A ．)+∞ B ．)⎡+∞⎣C ．(-∞ D ．)+∞12．已知双曲线()222:10y C x b b-=>的左、右焦点分别为12,F F ，点P 是双曲线C 上的任意一点，过点P 作双曲线C 的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于,A B 两点，若四边形PAOB （O 120PF PF ⋅>uuu r uuu r，则点P 的横坐标的取值范围为（ ）A ．,⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭UB ．⎛ ⎝⎭C．,⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U D．⎛ ⎝⎭ 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知tan 2α=，则22sin 22cos 2sin 4ααα-= ． 14．已知抛物线2:C y ax =的焦点坐标为()0,1，则抛物线C 与直线y x =所围成的封闭图形的面积为 ．15．已知实数,x y 满足不等式组1,440,210,y x y x y ≥-⎧⎪+-≤⎨⎪--≥⎩则目标函数224z x y =+的最大值与最小值之和为 ．16．在ABC ∆中，D 为AB 的中点，ACD ∠与CBD ∠互为余角，2AD =，3AC =，则si n A 的值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17． 已知数列{}n a 的前n 项和n S恰好与11n x +⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭的展开式中含2x -项的系数相等.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记()11nn n na b S +=-⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求2n T . 18． 在矩形ABCD 中，3AB =，2AD =，点E 是线段CD 上靠近点D 的一个三等分点，点F 是线段AD 上的一个动点，且()01DF DA λλ=≤≤uuu r uu u r.如图，将BCE ∆沿BE 折起至BEG ∆，使得平面BEG ⊥平面ABED.（1）当12λ=时，求证：EF BG ⊥；（2）是否存在λ，使得FG 与平面DEG 所成的角的正弦值为13？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.19． 春节过后，某市教育局从全市高中生中抽去了100人，调查了他们的压岁钱收入情况，按照金额（单位：百元）分成了以下几组：[)40,50，[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100.统计结果如下表所示：该市高中生压岁钱收入Z 可以认为服从正态分布()2,14.4N μ，用样本平均数x （每组数据取区间的中点值）作为μ的估计值. （1）求样本平均数x ； （2）求()54.197.3P Z <<；（3）某文化公司赞助了市教育局的这次社会调查活动，并针对该市的高中生制定了赠送“读书卡”的活动，赠送方式为：压岁钱低于μ的获赠两次读书卡，压岁钱不低于μ的获赠一次读书卡.已知每次赠送的读书卡张数及对应的概率如下表所示：现从该市高中生中随机抽取一人，记Y （单位：张）为该名高中生获赠的读书卡的张数，求Y 的分布列及数学期望.参考数据：若()2,Z N μσ:，则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，()220.9544P Z μσμσ-<<+=.20． 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的上顶点为点D ，右焦点为()21,0F .延长2DF 交椭圆C 于点E ，且满足223DF F E =. （1）试求椭圆C 的标准方程；（2）过点2F 作与x 轴不重合的直线l 和椭圆C 交于,A B 两点，设椭圆C 的左顶点为点H ，且直线,HA HB 分别与直线3x =交于,M N 两点，记直线22,F M F N 的斜率分别为12,k k ，则1k 与2k 之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，试说明理由.21． 已知函数()()ln 2f x x mx m =-+∈R .（1）若函数()f x 恰有一个零点，求实数m 的取值范围；（2）设关于x 的方程()2f x =的两个不等实根12,x x e >（其中e 为自然对数的底数）.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 的参数方程为1cos ,sin x r y r θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数，0r >）.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线l 的极坐标方程是sin 13πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. （1）若直线l 与圆C 有公共点，试求实数r 的取值范围；（2）当2r =时，过点()2,0D 且与直线l 平行的直线l '交圆C 于,A B 两点，求11DA DB-的值.23．选修4-5：不等式选讲 已知函数()211f x x x =++-. （1）解不等式()3f x ≤；（2）若函数()2201822019g x x a x =--+-，若对于任意的1x ∈R ，都存在2x ∈R ，使得()()12f x g x =成立，求实数a 的取值范围.衡水金卷·2018届高三模拟联考（一）理数答案一、选择题1-5:ABCDB 6-10:DCBCA 11、12：AA 二、填空题13．112 14．83 15．314 16．3或4三、解答题17．解：（1）依题意得()2121n n S C n n +==+，故当2n ≥时，()()1112n n n a S S n n n n n -=-=+--=， 又当1n =时，112a S ==，也适合上式，故()2n a n n =∈*N .（2）由（1）得()()2111nn n b n n +=-⨯+()1111n n n ⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭，故2122n n T b b b =+++L11111111223212221n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++++-+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L()1212121nn n n =-+=-∈++*N . 18．解：（1）当12λ=时，点F 是AD 的中点.∴112DF AD ==，113DE CD ==. ∵90ADC ∠=︒，∴45DEF ∠=︒. ∵223CE CD ==，2BC =，90BCD ∠=︒， ∴45BEC ∠=︒. ∴BE EF ⊥.又平面GBE ⊥平面ABED ，平面GBE I 平面ABED BE =，EF ⊂平面ABED ， ∴EF ⊥平面BEG .∵BG ⊂平面BEG ，∴EF BG ⊥.（2）以C 为原点，,CD CB u u u r u u r的方向为x 轴，y 轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系Cxyz.则()2,0,0E ，()3,0,0D ，()3,2,0F λ. 取BE 的中点O ，∵2GE BG ==，∴GO BE ⊥， ∴ 易证得OG ⊥平面BCE ，∵BE =OG =(G .∴(2,12FG λ=--uu u r，(EG =-uu u r，(DG =-uuu r.设平面DEG 的一个法向量为(),,n x y z =r，则20,0,n DG x y n EG x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩r uuu r r uu u r令z =(0,n =-r.设FG 与平面DEG 所成的角为θ，则sin cos ,FG n θ=uu u r r13==， 解得12λ=或710λ=-（舍去） ∴存在实数λ，使得DG 与平面DEG 所成的角的正弦值为13，此时12λ=. 19．解：（1）()1455552065307530851095568.5100x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， （2）由（1）得68.5μ=，14.4σ=.∴()()54.197.368.514.468.528.8P Z P Z <<=-<<+()2P Z μσμσ=-<<+()P Z μσμσ=-<<++()()1220.81852P Z P Z μσμσμσμσ-<<+--<<+=⎡⎤⎣⎦. （3）易知()()12P Z P Z μμ<=≥=.∴Y 的所有可能取值为1,2,3,4.()1421255P Y ==⨯=； ()111442122525550P Y ==⨯+⨯⨯=；()11443225525P Y ==⨯⨯⨯=；()1111425550P Y ==⨯⨯=.∴()f x 的分布列为∴()221419123455025505E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=. 20．解：（1）椭圆C 的上顶点为()0,D b ，右焦点()21,0F ，点E 的坐标为(),x y .∵223DF F E =，可得223DF F E =uuu r uuu r，又()21,DF b =-uuu r ，()21,F E x y =-uuu r，∴4,33x b y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩代入22221x y a b +=可得22224331b a b ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=， 又221a b -=，解得22a =，21b =，即椭圆C 的标准方程为2212x y +=. （2）设()11,A x y ，()22,B x y，()H ，()3,M M y ，()3,N N y . 由题意可设直线AB 的方程为1x my =+，联立22112x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x ， 得()222210m y my ++-=，∴1221222,21.2m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩根据,,H A M=，∴13M y y =.同理可得23N y y =， ∴,M N 的坐标分别为13y ⎛⎫+⎝，23y ⎛⎫+ ⎝， ∴1200131314N M M N y y k k y y --=⋅=--123314y y +=2123y y +=((()(2122212123411y y m y y m y y =⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦()22222112214322m m m m m --+=⎡--⎢+++⎢++⎣⎦21198--==. ∴1k 与2k . 21．解：（1）由题意知()f x 的定义域为()0,+∞，且()11mx f x m x x-'=-=. ①当0m <时，()0f x '>，()f x 在区间()0,+∞上单调递增，又()120f m =-+>，()()222ee 1e 0m m mf m m m ---=-=-<， ∴()()21e 0m f f -⋅<，即函数()f x 在区间()0,+∞有唯一零点； ②当0m =时，()ln 2f x x =+，令()0f x =，得2e x -=. 又易知函数()f x 在区间()0,+∞上单调递增，∴()f x 恰有一个零点.③当0m >时，令()0f x '=，得1x m =， 在区间10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上，()0f x '>，函数()f x 单调递增；在区间1,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，()0f x '<，函数()f x 单调递减， 故当1x m =时，()f x 取得极大值， 且极大值为11ln 1ln 1f m m m ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭，无极小值. 若()f x 恰有一个零点，则1ln 10f m m ⎛⎫=-+=⎪⎝⎭，解得e m =， 综上所述，实数m 的取值范围为(]{},0e -∞U .（2）记函数()()2ln g x f x x mx =-=-，0x >，则函数()g x 的两个相异零点为12,x x不妨设120x x >>，∵()10g x =，()20g x =，∴11ln 0x mx -=，22ln 0x mx -=，两式相减得()1212ln ln x x m x x -=-，两式相加得()1212ln ln x x m x x +=+.∵120x x >>，e >，即证12ln ln 2x x +>，只需证()122m x x +>， 只需证121212ln ln 2x x x x x x ->-+， 即证()1212122ln x x x x x x ->+， 设121x t x =>，则上式转化为()()21ln 11t t t t ->>+，设()()21ln 1t h t t t -=-+，()()()22101t h t t t -'=>+， ∴()h t 在区间()1,+∞上单调递增，∴()()10h t h >=，∴()21ln 1t t t ->+， 即12ln ln 2x x +>e >.22．解：（1）由sin 13πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 得sin cos cos sin 133ππρθθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即112y x =， 故直线l20y -+=.由1cos ,sin ,x r y r ϕϕ=+⎧⎨=⎩得1cos ,sin ,x r y r ϕϕ-=⎧⎨=⎩所以圆C 的普通方程为()2221x y r -+=.若直线l 与圆C 有公共点，则圆心()1,0到直线l的距离d r =≤，即r ≥， 故实数r的取值范围为⎫+∞⎪⎪⎣⎭. （2）因为直线l '的倾斜角为3π，且过点()2,0D ， 所以直线l '的参数方程为2,2t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），①圆C 的方程为()2214x y -+=，② 联立①②，得230t t +-=，设,A B 两点对应的参数分别为12,t t ，则121t t +=-，123t t =-， 故12121113DB DA t t DA DB DA DB t t -+-===⋅. 23．解：（1）依题意，得()13,,212,1,23, 1.x x f x x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪=+-<<⎨⎪≥⎪⎪⎩由()3f x ≤，得1,233x x ⎧≤-⎪⎨⎪-≤⎩或11,223x x ⎧-<<⎪⎨⎪+≤⎩或1,3 3.x x ≥⎧⎨≤⎩ 解得11x -≤≤.即不等式()3f x ≤的解集为{}11x x -≤≤.（2）由（1）知，()min 1322f x f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， ()2201822019g x x a x =--+-≥22018220191x a x a ---+=-， 则312a -≤， 解得1522a -≤≤， 即实数a 的取值范围为15,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.。
