武汉大学姚端正报告——浅谈数学物理方法的学习

数理方法CH3 作业解答P51习题3.21. 确定下列级数的收敛半径：∞kk（2）∑kz=12k∞（4）∑(k =0k + a )k z kk z k∞kk解：（2）∑kz k=12a k k +1 2k收敛半径为：R lim | | lim | /( ) | lim 2k= = = =k k+1→a 2 2 k +1→∞k ∞k →k ∞ k+1 ∞（4）∑(kk= 0 + a ) k z kk z kka k + ak解：收敛半径为：R lim | | lim | |若|a |≤1，则= = k+1k →a (k +1) + a∞k→∞k +1kk a+lim |→k∞+k (k 1) a+|1=+1若| a |> 1，则k k 1 k - 2-罗比塔法则k a 1 ka k(k 1)a 1罗比塔法则+ + -lim | | lim | | lim | |= =k =k k→∞k +1 k k ka k - 1 a(k 1) a 1 (k 1)a ( 1) |→∞+ + ++→∞+|∞k2.∑akz 的收敛半径为R (0 ≤R < ∞) ，确定下列级数的收敛半径：k=1∞（1）∑kk= 0 n a zkknk a k a k ak n k n k解：) | lim | |收敛半径为：lim | ) |= lim | ( ) | ?| |= lim | ( ?nk (k 1) a k +1 a k 1 a+ + k →∞k k →∞→∞k →∞k+1 k +1 +1kn 而lim |( ) |=1k k +1→∞limk→∞|akak+1|= R所以，所求收敛半径为RP55习题3.311.将下列函数在 z = 0 点展开成幂级数，并指出其收敛范围：（1）(1- 1 z)2解 ： 解法之一 ： 利用多项式的乘法 ：1∞k已知 ∑= z1- z 0k=| z |< 1，(1 1 - 2 z)=∞ ∞kz k(∑0) ?∑z (k = k =0)= 1+ 2z +2 + 3+ + + k+ 3z 4z ... (k 1)z...=∞(∑k= 0k k+1)z解法之二：逐项求导： (1 1 1 = ( )' 2 z - z) 1- 1 则 = 2(1- z)( ∞ ∞ k kz k- 12+ 3 + + k - 1 +z )' 1 2 3 4 ... ...= ∑ = = + z + z z kz∑k =0 k =1由于(1- 1 2 z)在复平面内有唯一的奇点 z =1 ，它与展开中心的距离为1，故该级 数的收敛范围为| z |< 1 （2） 1 az+b k1 a1 1 ∞a ∞ k k k z k解： ∑ ∑= = (- 1) ( z) = (- 1)a k +1 az +b b b 0 b b(1+ z) bk =0 k =a 收敛范围：|z|<1bb 即|z|<||a（5）1+1z+ 2z解：1+11-z1z==-213133 z+z1-z-z-z令1∞3t=z，则∑=t1-t0k=k，故211 ∞3k= z∑3- z 0k =z31- z= ∞3kz∑k= 0+11∞∞3k 3k+1所以，= z ∑- z 收敛范围为| z|<11+ + zz ∑2k =0 k =02. 将下列函数按(z- 1) 的幂展开，并指明其收敛范围：（1）cosz解：cosz = cos[(z - 1) +1] = cos(z - 1) cos1 - sin(z - 1) sin 1=k 2k k 2k∞(- 1) (z - 1) ∞- z 1)( 1) ( -cos1 - sin1∑∑= (2k )! (2k + 1)!k 0 k =0+1收敛范围：| z- 1 |< ∞3.应用泰勒级数求下列积分：sinz （3）=∫Siz0 z zdz解：利用正弦函数的泰勒展开式：sink 2k +1∞(- 1) zz = ，得到∑(2k + 1)!k =0sinzz=k 2k∞(- 1) z∑= (2k + 1)!k 0则k 2k k 2k k 2k +1sin z (- 1) z (- 1) z (- 1) z∞∞∞z z zdz = dz= dz=∫∫∑∑∫∑0 z )! (2 1)!(2 1)0 = ( + 1)! ( k k + k +2k 0 2 +1k 0 k =0 k= 04.函数α(1+ z) 在α不等于整数时是多值函数，试证明普遍的二项式定理：(1( - 1) ( )( 2)2 + - 1 - +αααααααα3+ z) =1 [1+ z+ z z1! 2! 3!...]式中，α为任意复数；αe iαkπ21 =解：(1 + z)α= α( 1+Ln 1 eα[ln( + + e e+ = 1 z 2kπ] = ?z ) i α) iα2 ln(kπez)下面将α在z < 1中作泰勒展开：ln(1+ z)e∞α+z = a z ，其中，ln( 1 ) k记∑f (z) = ekk= 0 ak=f (k ) (0)k!f '(z) = αα+ αln(1 z) f ze = ( )1+ z 1+ z①? f ' (0) = α同时由①式有：(1+ z) f '(z) = αf (z) ②将②式两边再对z求导：(1+ z) f ''( z) + f '( z) = αf ' (z) 得到(1+ z) f ''(z) = (α- 1) f '( z) ③3得f '' (0) = α(α- 1)将③式两边再对z求导得：(1 ( z f z f z ( z f z3) 3)+ z) f ( ) + ''( ) = (α- 1) ''( ) 得到(1+ z) f ( ) = (α- 2) ''( )( 3 = αα- α-)得(0) ( 1) ( 2)f( k =αα- α- α- k +)以此类推，得(0) ( 1)( 2)...( 1)f( k)f (0) 1= = ( - 1) ( - 2)...( - k +1)则akααααk! k!所以∞∞∞1ln( z a z a z1 ) k kα+ = = ke ∑∑( 1) ( 2)...( k 1)z= ∑αα- α- α- + k k k!k 0 k 0 k =0= =∞则kαiα2kπ1+ ∑= αααα(1 z) e ( - 1)( - 2)...( - k +1)zk!k=0( - 1) ( 1)( 2)2 + - - + αααααα3αz <1 = 1 [1+ z+ z z ...]1! 2! 3!5.将Ln(1+ z)在z = 0 的邻域内展开为泰勒级数。

2
2
因为 z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z 2 2 Re( z1 z2 ),
z1 z2 z1 z2 2 Re( z1 z2 )
z1 z2 2 [Re( z1 z2 )] [Im( z1 z2 )] z1 z2 2 z1 z2
2 2 2 2 2 2
z1 z2 z1 z2
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乘法运算
z1 z2 ( x1 x2 y1 y2 ) i ( x1 y2 x2 y1 )
两个复数相乘 1 2 cos(1 2 ) i sin( 1 2 ) 等于它们的模相乘， 幅角相加 1 2 exp[i (1 2 )]
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2
x y .
2
2 2 2 注意: z ( x y ) i 2 xy
共轭复数的性质:
z z (1) z1 z2 z1 z2 ; z1 z2 z1 z2 ; 1 1 ; z2 z2
( 2) z z;
( 3) z z Re( z ) Im( z ) ;
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3.复数的几何表示
复数 z = x + iy 与有序实数对 (x ,y )成一一
对应 . 因此 , 一个建立了直角坐标系 的平面可以 用来表示复数 , 通常把横轴叫实轴或 x 轴 , 纵轴
叫虚轴或 y 轴 .这种用来表示复数的平 面叫复平 面.
复数的向量表示法
复数 z x iy 可以用复平 面上的点向量oz 表示.
( z1 z1 )( z2 z2 ) z1 z2 .
(2) z1 z2 ( z1 z2 )( z1 z2 ) ( z1 z2 )( z1 z2 )

对数学物理方法现状分析及教学改革的思考摘要：“数学物理方法”是物理、电子信息等自然科学与工程诸多领域的一项重大基础性专业理论训练课，在自然科学与工程学中占有十分重要的地位。

本文根据“数学物理方法”课程的特点，以及教学实践、教学方法和教学内容，对“数学物理方法”课程提供了教学改革思路。

关键词：数学物理方法教学分析教学改革物理中的数学物理方法是物理专业的学生弥合数学和物理之间差距的主要基础课程。

本课程是以培养学生应用数学思想发展抽象和逻辑思维来解决物理问题的能力为目的，包括书本上的物理问题和实际物理问题。

另外，物理专业学生后期所要学的“四大力学”也以“数学物理方法”为基础。

我校选用的教材是姚端正教授所著的《数学物理方法》。

本书的主要内容包括物理学和其他自然科学中相关的积分方程和微分方程以及用一般方法求解的各种方程等。

本课程提供了对物理中的偏微分方程问题进行数学抽象和建模的机会，并能够将数学知识应用于物理中的实际和具体问题。

学好数学物理方法能够为后续的学习打下坚实的基础，它是我们在研究物理的路途上必不可少的一个环节，是最重要的中心环节。

一、对“数学物理方法”课程的教学认识“数学物理方法”是各理工科专业学生的必修科目，该课程涉及的基础知识多、概念抽象、内容分散。

因此，了解该课程目前的总体发展现状以及不同授课对象所呈现的差异性显得尤为必要。

(一)“数学物理方法”课程的发展现状1、本课程教学内容不仅多而且复杂，教学时间较短。

自从高等教育扩展以来，大众教育变得更加普遍，课程也相应发生了变化。

“数学物理方法”的课时变得更加少，但由于课程内容繁重且复杂，教师只能在课堂上把节奏变快或者偏向于对重点的讲解，对于不那么重要的内容就只能大概讲解。

在这种情况下，一些学生就会逐渐对课程失去兴趣，因为他们的思考过程与教师的节奏不一致。

2、本课程公式的推导相当复杂，学生难以理解。

无论是复变量的函数还是数理方程，其推导过程都复杂且困难，需要很强的逻辑思维能力和大量的基础知识，而且计算量大，做题枯燥，很容易使学生在学习时感到难以理解，从而削弱学生学习的有效性和解决实际问题的能力。

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博士・ 专家论坛
工 科 善 业数 学 物 理 方 － ｜ ； 程建 设 改 晕和 搽 ｈｉ
中 国矿业 大 学（ 京 ） 学院 宋彦 琦 北 理
［ 要 ］数学物理 方法” 摘 ‘ ‘ 是许 多工科专业一门重要 的基础课 ， 对后续课 程起 着承上启 下的作用。 本文介 绍 了对该课程进行教学 内容 和教学方式改革的一些尝试 ， 并对提 高教 学质量和教 学效果方面提 出了一些设 想。 ［ 关键词 ］ 数学物理方法 教 学改革 教学 内容 教 学方式 考核制度论问题的物理现象 ， 再根据物理现象写出制约条件 ， 然后 分析各个物理量之间 的关 系以及对应的物理规律 ，最后根据这些规律 推导 出数学表达式 ， 最终得到相应的方程 。 这样有利于学 生理解方程中 各个量 的含 义以及方程所描述的现象 。 事实上 ， 物理背景不仅体现在方 程的导 出， 在定解条件的确定中同样起着重要的作用。 我们在讲解三类典型数理方程时主要以波动方程为主 ，在详细推 导 弦 的横 振 动 方 程 和 杆 的 纵 振 动 方 程 后 ，给 出 描 述 振 动 和 波 动 特 征 的 波动方程 。 针对工程力学专业学生的特点 ， 稍微 弱化其他两类方程扩散 方 程 和泊 松 方 程 的 讲 解 。 （） ２ 注重因材施教 ， 平衡过渡 ， 处理好精讲 与 自学 的关系 “ 数理 方法” 课程 中“ 复变 函数” 部分， 以微积分理 论为基础， 内容相 对稳定， 该部分内容学生学 习起来相对 比较容易。讲述该部分内容要注 重与高等数学积分部 分的联 系。在注重理论 应用 的同时， 突出传统的三 大块理论一解析函数 的积分理论 、 级数理论与几何理论本身的地位。 “ 数学物理 方程” 部分本 是源 于实际， 用于实际， 应该 是 比较生动 丰 富的 内容， 常常为繁琐 、 却 单调 、 冗长的计算所淹没擞 师怕教， 生怕学 。 学 如何改进教学方法， 还其生动活泼的本来面 目已为 当务之急。我们 采取 的主要方法有 ： １充实傅立叶展开 的内容 ， ） 简单讲解拉普挣斯变换 ： 傅立 叶展开 由 于与高等数学联 系较大 ， 学生较 容易理解 ； 虽然拉普托斯变换也是一种 重要 的解微分 、 积分的方法 ， 由于课时和学生专业的特点 ， 对该部分 内 容仅介绍必要 的基础知识 ； ） ２ 以分离变量法为 中心讲授数理方 程的求 解： 因学时限制 ， 我们删去 了行波法 、 格林 函数法 ， 重点介绍用分离变量 法求解三类方程（ 双曲型、 抛物型和椭圆型方程） 在各类边界条件下 的定