一次函数、反比例函数与二次函数图象性质的对比练习

一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质对比滚动集训
类型一一次函数、反比例函数的图象与性质
3.如图，一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数y=k2/x的图象相交于A（2，3），B（6，1）两点，当k1x+b＜k2/x 时，x的取值范围为（ D ）
A.x＜2
B.2＜x＜6
C.x＞6
D.0＜x＜2或x＞6
5.函数y1=x（x≥0），y2=4x（x>0）的图象如图所示，则结论：①两函数图象的交点A的坐标为（2，2）；②当x>2时，y2>y1；③当x=1时，BC＝3；④当x逐渐增大时，y1随着x的增大而增大，y2随着x的增大而减小.其中正确结论的序号是①③④.
6.如图，已知直线y=k1x+b与x轴、y轴相交于P、Q两点，与y=k2/x的图象相交于A（－2，m）、B（1，n）两点，连接OA、OB.给出下列结论：①k1+k2＞0；②n=-2m；③S△BOQ=-b/2；④△AOB是等腰三角形.其中正确的结论的
序号是②③.
类型二二次函数的图象与性质
7.如图，函数y=ax2-2x+1和y=ax-a（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系的图象可能是（ B ）
8.如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，且过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是
直线x=1，下列结论正确的是
（ D ）
A.b2＜4ac
B.ac＞0
C.2a-b=0
D.a-b+c=0
9.已知函数y=-（x-m）（x-n）
（其中m<n）的图象如图所示，则一次函数y=mx+n与反
比例函数y=(m+n)/x的图象可能是（ C ）。

一次函数1.理解一次函数概念并且会判断一次函数.2.明确k 、b 的实际意义，并会画函数图像，根据函数图像得到k 、b 的取值范围(重点).3.会用一次函数解决实际生活问题．1.已知一次函数y=kx+5和y=k′x+7，假设k ＞0且k′＜0，则这两个一次函数的图象的交点在（ ）A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2..直线y=kx+3经过点A （2，1），则不等式kx+3≥0的解集是（ ）A ．x≤3B ．x≥3C ．x≥ 3D ﹣．x≤0 3.若一次函数的图像经过第一、二、四象限，则下列不等式中总是成立的是（ ）A 、b＜0 B、 C、 D、4.如图，直线y=ax+b 过点A （0，2）和点B （﹣3，0），则方程ax+b=0的解是（ ）A ．x=2 B ．x=0 C ．x= 1 D ﹣．x=3﹣5..明君社区有一块空地需要绿化，某绿化组承担了此项任务，绿化组工作一段时间后，提高了工作效率．该绿化组完成的绿化面积S （单位：m 2）与工作时间t （单位：h ）之间的函数关系如图所示，则该绿化组提高工作效率前每小时完成的绿化面积是（ ）A ．300m 2B ．150m 2C ．330m 2D ．450m 2学习目标课前检测6..甲、乙两车从A 城出发前往B 城，在整个行驶过程中，汽车离开A 城的距离y （km ）与行驶时间t （h ）的函数图象如图所示，下列说法正确的有（ ）①甲车的速度为50km/h②乙车用了3h 到达B 城③甲车出发4h 时，乙车追上甲车④乙车出发后经过1h 或3h 两车相距50km ．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个知识点1　正比例函数和一次函数的概念一般地，形如 （k ，b 是常数，k 0），那么y 叫做x 的一次函数。

特别地，当b 时，（k 为常数，k 0）。

这时，y 叫做x 的正比例函数。

知识点2　一次函数的图像与性质知识梳理一次函数的图像都是一条直线；一次函数的图像是经过点 的直线；正比例函数的图像是经过 的直线。

专题06 反比例函数图像及性质一．选择题（共9小题）1．（2022秋•崇川区期中）下列关系式中，y是x的反比例函数的是（ ）A．y=x3B．y＝x2C．y=―3xD．y=1x2【分析】根据反比例函数的定义判断即可．【解答】解：A．y=x3，是正比例函数，故A不符合题意；B．y＝x2是二次函数，故B不符合题意；C．y=―3x，y是x的反比例函数，故C符合题意；D．y=1x2，y不是x的反比例函数，故D不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键．2．（2022春•东海县期末）反比例函数y=a3x的图象分布在第二、四象限，则a的取值范围是（ ）A．a＜﹣3B．a＞﹣3C．a≤﹣3D．a≥﹣3【分析】直接利用反比例函数图象分布在第二、四象限，进而得出a+3＜0，进而得出答案．【解答】解：∵反比例函数y=a3x的图象分布在第二、四象限，∴a+3＜0，解得：a＜﹣3．故选：A．【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握反比例函数图象分布规律是解题关键．3．（2022春•吴江区期末）下列函数中，变量y是x的反比例函数的是（ ）A．y=x3B．y=3x1C．y=3xD．y＝3x【分析】根据反比例函数的定义，反比例函数的一般式y=kx（k≠0），即可判定各函数的类型是否符合题意．【解答】解：A、为正比例函数，不符合题意；B、y与x+1成反比例，不符合题意；C、符合反比例函数的定义，符合题意；D、为正比例函数，不符合题意；故选：C．【点评】本题考查反比例函数的定义，熟记反比例函数解析式的一般式y=kx（k≠0），是解决此类问题的关键．4．（2022春•亭湖区校级期中）一次函数y＝kx﹣k与反比例函数y=kx在同一直角坐标系内的图象大致为（ ）A．B．C．D．【分析】根据一次函数的性质，反比例函数的性质，分情况讨论：当k＜0时；当k＞0时，即可得．【解答】解：当k＜0时，一次函数的图象过一、二、四象限，反比例函数图象分别在第二、四象限；当k＞0时，一次函数的图象过一、三、四象限，反比例函数图象分别在第一、三象限．故选：D．【点评】本题考查了一次函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质，解题的关键是掌握这些知识点．5．（2023春•惠山区校级期中）已知反比例函数表达式为y=―6x，则下列说法正确的是（ ）A．函数图象位于第一、三象限B．点（2，3）在该函数图象上C．当x＜0时，y随x的增大而增大D．当y≥﹣2时，x≥3【分析】根据反比例函数的性质对各选项进行逐一分析即可．【解答】解：A、∵反比例函数表达式为y=―6x中，k＝﹣6＜0，∴函数图象的两个分支分别位于第二四象限，原说法错误，不符合题意；B、∵2×3＝6≠﹣6，∴点（2，3）不在该函数图象上，原说法错误，不符合题意；C、当x＜0时，函数图象位于第二象限，y随x的增大而增大，正确，符合题意；D、当﹣2≤y＜0时，x≥3，原说法错误，不符合题意．故选：C．【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键．6．（2022秋•射阳县校级期末）在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx+1与y=―kx（k为常数且k≠0）的图象大致是（ ）A．B．C．D．【分析】根据一次函数和反比例函数的性质即可判断．【解答】解：当k＞0时，则﹣k＜0，一次函数y＝kx+1图象经过第一、二、三象限，反比例函数图象在第二、四象限，所以A选项正确，C选项错误；当k＜0时，一次函数y＝kx+1图象经过第一、二，四象限，所以B、D选项错误．故选：A．【点评】本题考查了反比例函数图象：反比例函数y=kx（k≠0）为双曲线，当k＞0时，图象分布在第一、三象限；当k＜0时，图象分布在第二、四象限．也考查了一次函数图象．7．（2021春•工业园区校级期末）若反比例函数y=2m1x的图象在第二，四象限，则m的取值范围是（ ）A．m＞12B．m＜12C．m＞2D．m＜2【分析】对于反比例函数y=kx（k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内．【解答】解：∵反比例函数y=2m1x的图象在第二、四象限．∴2m﹣1＜0，∴m＜1 2．故选：B．【点评】本题考查了反比例函数的性质，应注意y=kx中k的取值．8．（2022春•靖江市校级期末）下列函数y＝﹣8x，y＝5x﹣1，y=6x，y=12x（x＞0），y=―1x（x＜0）中，y随x的增大而减小的（ ）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】根据函数的图象，研究函数的性质，解决问题．【解答】解：∵y＝﹣8x中，k＝﹣8＜0，∴y随x增大而减小；∵y＝5x﹣1中，k＝5＞0，∴y随x增大而增大；∵y=6x中，k＝6＞0，∴在一、三象限内，y随x增大而减小．∵y=12x（x＞0），∴当x＞0，y随x增大而减小，∵y=―1x（x＜0）中，k＝﹣1＜0，∴当x＜0，y随x增大而增大；故选：C．【点评】本题综合考查一次函数、反比例函数、正比例函数的增减性（单调性），是一道难度中等的题目．9．（2022春•靖江市期末）如图，在直角坐标系中，点A在函数y=kx（x＞0）的图象上，AB⊥x轴于点B，AB的垂直平分线与y轴交于点C，与函数y=kx（x＞0）的图象交于点D，连结AC，CB，BD，DA，若四边形ACBD的面积等于k的值为（ ）A ．4B ．C ．4D 【分析】设A （a ，k a ），可求出D （2a ，k2a），由于对角线垂直，所以面积＝对角线乘积的一半即可．【解答】解：设A （a ，k a ），可求出D （2a ，k2a），∵AB ⊥CD ，∴S 四边形ACBD =12AB•CD =12×2a ×ka=解得k ＝故选：B ．【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及线段垂直平分线的性质，解题的关键是设出点A 和点D 的坐标．二．填空题（共8小题）10．（2022春•淮安期末）反比例函数y =kx的图象分布在第一、三象限内，则k 的取值范围是　k ＞0　．【分析】根据反比例函数 y =kx（k 是常数，k ≠0）的图象在第一，三象限，即可得出k ＞0．【解答】解：∵反比例函数的图象在一、三象限，∴k ＞0，故答案为：k ＞0．【点评】此题主要考查反比例函数图象的性质：（1）k ＞0时，图象是位于一、三象限；（2）k ＜0时，图象是位于二、四象限．11．（2022春•无锡期末）若反比例函数y ＝（m +1）x 2―m 2的图象在第二、四象限，m 的值【分析】首先根据反比例函数定义可得2﹣m 2＝﹣1，且m +1≠0，求出m 的值，再根据图象在第二、四象限可得m +1＜0，进而确定m 的值．【解答】解：由题意得：2﹣m 2＝﹣1，且m +1≠0，解得：m＝∵图象在第二、四象限，∴m+1＜0，解得：m＜﹣1，∴m=―故答案为：―【点评】此题主要考查了反比例函数的定义以及性质，重点是将一般式y=kx（k≠0）转化为y＝kx﹣1（k≠0）的形式．12．（2022春•海州区期末）已知在反比例函数y=2k1x图象的每个象限内，y随x增大而增大，则常数k的取值范围是　k＜12　．【分析】根据反比例函数的性质列出关于k的不等式，求出k的取值范围即可．【解答】解：∵在反比例函数y=2k1x图象的每个象限内，y随x增大而增大，∴2k﹣1＜0，解得k＜1 2．故答案为：k＜1 2．【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．13．（2022春•靖江市校级期末）对于反比例函数y=―2x，当0＜x≤a（a＞0）时y≤﹣1恒成立，则a的取值范围为　0＜a≤2　．【分析】由反比例函数的解析式求得当y＝﹣1时，x＝2，然后根据反比例函数的性质即可得出a的取值范围．【解答】解：∵反比例函数y=―2x中，k＝﹣2＜0，∴当x＞0时，y随x的增大而增大，当y＝﹣1时，x＝2，∵对于反比例函数y=―2x，当0＜x≤a（a＞0）时y≤﹣1恒成立，∴0＜a≤2，故答案为：0＜a≤2．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，熟知反比例函数的性质是解题的关键．14．（2022春•高新区校级期末）若反比例函数y=(m+1)x3―m2的图象在第二、四象限，m的值为　﹣2　．【分析】由反比例函数的定义可知3﹣m 2＝﹣1，由反比例函数图象在第二、四象限可知m +1＜0．【解答】解：∵y =(m +1)x 3―m 2是反比例函数，∴3﹣m 2＝﹣1．解得：m ＝±2．∵函数图象在第二、四象限，∴m +1＜0，解得：m ＜﹣1．∴m ＝﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查的是反比例函数的定义和性质，掌握反比例函数的定义和性质是解题的关键．15．（2023春•苏州期中）若反比例函数y ＝（m +2）x |m |﹣5的图象在第一、三象限，则m 的值为 4　．【分析】根据反比例函数的图象与性质可得到关于m 的不等式，解不等式即可求得m 的取值范围．【解答】解：∵反比例函数y ＝（m +2）x |m |﹣5的图象在第一、三象限，∴|m |﹣5＝﹣1，解得：m ＝4 或m ＝﹣4，∵m +2≠0，∴m ≠﹣2，∴m ＝±4．∵图象在第一三象限，故m ＝4，故答案为：4．【点评】本题考查了反比例函数的图象与性质，正确地求得m 的值是解题的关键．16．（2022春•工业园区期中）直线y ＝k 1x +b 与双曲线y =k 2x 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式k 2x＞k 1x +b 的解集为　x ＜﹣2或0＜x ＜3　．【分析】先根据图象得出两函数的交点的横坐标，根据交点的横坐标结合图象即可得出答案．【解答】解：∵直线y ＝k 1x +b 与双曲线y =k 2x在同一平面直角坐标系中的图象的交点的横坐标是﹣2和3，∴关于x 的不等式k 2x＞k 1x +b 的解集是x ＜﹣2或0＜x ＜3，故答案为：x ＜﹣2或0＜x ＜3．【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题的应用，主要考查学生的观察图形的能力和理解能力，题目比较好，用了数形结合思想．17．（2022秋•大丰区期末）如图，曲线AB 是抛物线y ＝﹣x 2+4x +2的一部分（其中A 是抛物线与y 轴的交点，B 是抛物线顶点），曲线BC 是双曲线y =kx（k ≠0）的一部分，A 、C 两点的纵坐标相等，由点C 开始不断重复“A ﹣B ﹣C”的过程，形成一组波浪线，若点P （2023，m ）和Q （x ，n ）是波浪线上的点，则m +n 的最大值为 11　．【分析】由抛物线求出点A ，点B ，由点B 求出双曲线k ，再求出C ，得到6个单位一循环，求出m 、n 的最大值即可求解．【解答】解：∵点A 在抛物线y ＝﹣x 2+4x +2上，∴令x ＝0，则y ＝2，∴A （0，2），又∵点B 是抛物线y ＝﹣x 2+4x +2的顶点，∴y ＝﹣（x ﹣2）2+6，∴B （2，6），∵点B 在双曲线y =kx上，∴k ＝xy ＝2×6＝12，∴双曲线解析式为y =12x，∴点C （6，2），2023＝337×6+1，所以点P 的纵坐标和x ＝2时的纵坐标相等，当x ＝1时，y ＝5，所以m ＝5，∵波浪线的最高点为二次函数顶点，所以n的最大值为6，所以m+n最大值为11．故答案为：11．【点评】本题考查反比例函数的性质，二次函数的性质，明确题意，利用数形结合是解决本题的关键．三．解答题（共9小题）18．若反比例函数y=2m1x m2―24的图象经过第二、四象限，求函数的解析式．【分析】根据反比例函数的定义，可以得到m2﹣24＝1，而图象经过第二、四象限，则比例系数是负数，据此即可求解．【解答】解：根据题意得：m2―24=1 2m+1＜0，解得：m＝﹣5．则函数的解析式是：y=―9 x ．【点评】对于反比例函数y=kx（k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内．19．（2020春•南京期末）我们已经学习过反比例函数y=1x的图象和性质，请你回顾研究它的过程，运用所学知识对函数y=―1x2的图象和性质进行探索，并解决下列问题：（1）该函数的图象大致是　C　．（2）写出该函数两条不同类型的性质：①　在第三象限内，y随x的增大而增小　；②　图象的两个分支分别位于第三、四象限　；（3）写出不等式―1x2+4＞0的解集．【分析】（1）对于函数y=―1x2的图象，无论x取非零实数时，y的值总小于零，可得图象；（2）可以从函数的增减性方面进行说明，也可以从函数图象位于的象限说明；函数图象关于y轴成轴对称图形；（3）先求出y＝﹣4时x的值，再根据图形确定不等式―1x2+4＞0的解集．【解答】解：（1）∵函数y=―1x2＜0，∴函数y=―1x2的图象是：C故答案为：C．（2）该函数的性质：①在第三象限内，y随x的增大而增小，②图象的两个分支分别位于第三、四象限；故答案为：在第三象限内，y随x的增大而增小，图象的两个分支分别位于第三、四象限；（3）当y＝﹣4时，―1x2=―4，解得：x=±1 2，根据函数的图象和性质得，不等式―1x2+4＞0的解集是：x＜―12或x＞12．【点评】本题考查函数的意义以及反比例函数的图象和性质，特别注意利用图象得出性质，再利用性质解决问题．20．（2020春•江都区期末）在函数的学习中，我们经历了“确定函数表达式﹣﹣画函数图象﹣﹣利用函数图象研究函数性质﹣﹣利用图象解决问题”的学习过程．我们可以借鉴这种方法探究函数y=4x1的图象性质．（1）补充表格，并画出函数的图象．①列表：x…﹣3﹣10235…y…﹣1﹣2﹣441…②描点并连线，画图．（2）观察图象，写出该函数图象的一个增减性特征：　当x＞1时，y随x的增大而减小，当x＜1时，y随x的增大而减小　；（3）函数y=4x1的图象是由函数y=4x的图象如何平移得到的？其对称中心的坐标为　（1，0）　；（4）根据上述经验，猜一猜函数y=4x1+2的图象大致位置，结合图象直接写出y≥3时，x的取值范围　1＜x≤5　．【分析】（1）①利用函数解析式求值即可．②利用描点法画出函数图象即可．（2）根据图象解答问题即可．（3）根据图象解答问题即可．（4）根据平移的性质解决问题即可．【解答】解：（1）①x＝3时，y=431=2．②图象如图所示：（2）当x＞1时，y随x的增大而减小，当x＜1时，y随x的增大而减小．故答案为：当x＞1时，y随x的增大而减小，当x＜1时，y随x的增大而减小．（3）函数y=4x1的图象是由函数y=4x的图象向右平移1个单位得到．y=4x1的对称中心为（1，0）．故答案为（1，0）（4）数y=4x1+2的图象是由y=4x1的图象向上平移2个得到，y≥3时，1＜x≤5．故答案为1＜x≤5．【点评】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．21．（2021春•高港区期末）请根据学习函数的经验，将下列探究函数y=1x1图象与性质的过程补充完整：（1）函数y=1x1的自变量x的取值范围是　x≠1　；（2）下表列出了y与x的几组对应值，请写出其中m、n的值；m＝　―12　，n＝　32　；x…﹣2﹣1012n234…y…―13m﹣1﹣2211213…（3）在如图所示的平面直角坐标系中，描全表中以各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象．（4）结合函数的图象，写出该函数的一条性质：　当x＞1时，y随x的增大而减小（答案不唯一）　；（5）根据图象直接写出1x1＞―1时x的取值范围：　x＜0或x＞1　．【分析】（1）依据函数表达式中分母不等于0，即可得到自变量x的取值范围；（2）把x＝﹣1，y＝2分别代入函数解析式，即可得到m、n的值；（3）依据各点的坐标描点连线，即可得到函数图象；（4）依据函数图象，即可得到函数的增减性；（5）观察图象即可求得．【解答】解：（1）∵x﹣1≠0，∴x≠1，故答案为x≠1；（2）当x＝﹣1时，y=1x1=111=―12；当y＝2时，则2=1x1，解得x=32，∴m=―12，n=32；（3）如图所示：（4）由图象可得，当x＞1时，y随x的增大而减小（答案不唯一），故答案为当x＞1时，y随x的增大而减小（答案不唯一）；（5）由图象可知，1x1＞―1时x的取值范围为x＜0或x＞1．故答案为：x＜0或x＞1．【点评】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，用描点法画反比例函数的图象，数形结合是解题的关键．22．（2020秋•崇川区校级期中）已知y＝y1+y2，y1与（x﹣1）成正比例，y2与（x+1）成反比例，当x＝0时，y＝﹣3，当x＝1时，y＝﹣1．（1）求y的表达式；（2）求当x=―12时y的值．【分析】（1）先根据题意得出y1＝k1（x﹣1），y2=k2x1，根据y＝y1+y2，当x＝0时，y＝﹣3，当x＝1时，y＝﹣1得出x、y的函数关系式即可；（2）把x=―12代入（1）中的函数关系式，求出y的值即可．【解答】解：（1）∵y1与（x﹣1）成正比例，y2与（x+1）成反比例，∴y1＝k1（x﹣1），y2=k2x1，∵y＝y1+y2，当x＝0时，y＝﹣3，当x＝1时，y＝﹣1．∴―3=―k1+k2―1=12k2，∴k2＝﹣2，k1＝1，∴y＝x﹣1―2x1；（2）当x=―12，y＝x﹣1―2x1=―12―1―21=―112．【点评】本题考查的是反比例函数及正比例函数的定义，能根据题意得出y与x的函数关系式是解答此题的关键．23．已知反比例函数y=k1x，（k为常数，k≠1）．（1）若点A（1，2）在这个函数的图象上，求k的值；（2）若在这个函数图象的每一分支上，y随x的增大而增大，求k的取值范围；（3）若k＝13，试判断点B（3，4），C（2，5）是否在这个函数的图象上，并说明理由．【分析】（1）把点A的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求解即可；（2）根据反比例函数图象的性质得到：k﹣1＜0，由此求得k的取值范围；（3）把点B、C的坐标代入函数解析式进行一一验证．【解答】解：（1）∵点A（1，2）在这个函数的图象上，∴k﹣1＝1×2，解得k＝3；（2）∵在函数y=k1x图象的每一支上，y随x的增大而增大，∴k﹣1＜0，解得k＜1；（3）点C不在这个函数的图象上，理由如下：∵k＝13，有k﹣1＝12，∴反比例函数的解析式为y=12 x．将点B的坐标代入y=12x，可知点B的坐标满足函数关系式，∴点B在函数y=12x的图象上，将点C的坐标代入y=12x，由5≠122，可知点C的坐标不满足函数关系式，∴点C不在函数y=12x的图象上．【点评】本题考查了反比例函数的性质，待定系数法求反比例函数解析式．注意：反比例函数的增减性只指在同一象限内．24．（2022春•镇平县期中）已知反比例函数y=1kx的图象经过A（2，﹣4）．①求k的值．②这个函数的图象在哪几个象限？y随x的增大怎样变化？③画出函数的图象．④点B（﹣2，4），C（﹣1，5）在这个函数的图象上吗？【分析】①将已知点的坐标代入反比例函数的解析式即可求得k值；②根据确定的k的符号判断其所在的象限和增减性；③利用描点作图法作出图象即可；④满足函数关系式即在，否则不在．【解答】解：①∵反比例函数y=1kx的图象经过点A（2，﹣4），∴1﹣k＝2×（﹣4）＝﹣8；解得：k＝9；②∵k＝﹣8＜0，∴图象位于二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大；③图象为：④∵﹣2×4＝﹣8、﹣1×5＝﹣5≠﹣8，∴B（﹣2，4）在反比例函数的图象上，C（﹣1，5）不在反比例函数的图象上．【点评】本题考查了反比例函数的图象及性质，解题的关键是正确的求得反比例函数的解析式，难度不大．25．我们可以把一个假分数写成一个整数加上一个真分数的形式，如113=3+23．同样的，我们也可以把某些分式写成类似的形式，如3xx1=3x33x1=3(x1)3x1=3+3x1．这种方法我们称为“分离常数法”．（1）如果x3x1=1+ax1，求常数a的值；（2）利用分离常数法，解决下面的问题：当m取哪些整数时，分式3mm1的值是整数？（3）我们知道一次函数y＝x﹣1的图象可以看成是由正比例函数y＝x的图象向下平移1个单位长度得到，函数y=2x1的图象可以看成是由反比例函数y=2x的图象向左平移1个单位长度得到．那么请你分析说明函数y=3x2x2的图象是由哪个反比例函数的图象经过怎样的变换得到？【分析】（1）依据定义进行判断即可；（2）首先将原式变形为﹣3―3m1，然后依据m﹣1能够被3整数列方程求解即可；（3）先将函数y=3x2x2化为y=4x2+3，再结合平移的性质即可得出结论．【解答】（1）∵x3x1=x14x1=1+4x1，∴1+ax1=1+4x1，∴a＝﹣4；（2）式3mm1=3m33m1=3(m1)3m1=―3―3m1，所以当m﹣1＝3或﹣3或1或﹣1时，分式的值为整数，解得m＝4或m＝﹣2或m＝0或m＝2；（3）y=3x2x2=3x64x2=3(x2)4x2=3+4x2，∴将y=4x的图象向右移动2个单位长度得到y=4x2的图象，再向上移动3个单位长度得到y﹣3=4x2，即y=3x2x2．【点评】本题主要考查的是分式的基本性质，找出函数图象的变换，熟练掌握分式的基本性质和找出图象平移的性质是解题的关键．26．请借鉴以前研究函数的经验，探索函数y=6x1+2的图象和性质．（1）自变量x的取值范围为　x≠1　；（2）填写下表，画出函数的图象；x…﹣5﹣4﹣3﹣2﹣10234567…y…10.80.5﹣1﹣48（3）观察图象，写出该函数两条不同类型的性质；（4）若x＞3，则y的取值范围为　2＜y＜5　；若y＜﹣1，则x的取值范围为　﹣1＜x＜1　．【分析】（1）分母不等于0即可得；（2）将x＝﹣2，3，4，5，6，7分别代入解析式即可得y的值，再画出函数的图象；（3）结合图象可从函数的增减性、与y轴交点情况及对称性解答均可；（4）结合图象可得取值范围．【解答】解：（1）依题意有x﹣1≠0，解得x≠1．故自变量x的取值范围为x≠1．（2）填表如下：x…﹣5﹣4﹣3﹣2﹣10234567…y…10.80.50﹣1﹣4854 3.5 3.23如图所示：（3）当x＞1时，y随x的增大而减小；图象关于点（1，2）中心对称．（4）若x＞3，则y的取值范围为2＜y＜5；若y＜﹣1，则x的取值范围为﹣1＜x＜1．故答案为：x≠1；2＜y＜5，﹣1＜x＜1．【点评】本题主要考查反比例函数的图象和性质，会用描点法画出函数图象，利用数形结合的思想写出函数的性质是解题的关键．。

山东省淄博市临淄区皇城镇第二中学九年级数学 一次函数、反比例函数及二次函数的图象和性质导学案 人教新课标版2、一次函数y=kx+b （k ≠0）的图象及性质① 会求一次函数与x 轴、y 轴的交点坐标，与x 轴交点（-kb，0），与y 轴的交点（0，b ） ② 会求一次函数与x 轴、y 轴围成的三角形的面积s=21 -kb b 二、反比例函数y=xk（k ≠0）的图象及性质1、y=xk （k ≠0）=k x 1，注意两种形式中x 的指数不同。

2、反比例函数的增减性一定要强调“在每一个象限内”（或者说当x ＞0和x ＜0时 3、双曲线上任意一点到x 轴和y 轴的距离与坐标轴围成的矩形面积= k 三、二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象1．二次函数y=ax 2，y=a(x-h)2，y=a(x-h)2+k ，y=ax 2+bx+c(各式中，a ≠0)的图象形 状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：(轴 x=0 x=当h>0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax 2向右平行移动h 个单位得到， 当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到．当h>0,k>0时，将抛物线y=ax 2向右平行移动h 个单位，再向上移动k 个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k 的图象；当h>0,k<0时，将抛物线y=ax 2向右平行移动h 个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k 的图象；当h<0,k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k 个单位可得到y=a(x-h)2+k 的图象； 当h<0,k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k 的图象； 因此，研究抛物线 y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)2+k 的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了．这给画图象提供了方便．而2．抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=，顶点坐标是()．3．抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)，若a>0，当x≤时，y随x的增大而减小；当x≥时，y随x的增大而增大．若a<0，当x≤时，y随x的增大而增大；当x≥时，y随x的增大而减小．4．抛物线y=ax2+bx+c的图象与坐标轴的交点：(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)；(2)当△=b2-4ac>0，图象与x轴交于两点A(x1,0)和B(x2,0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根．这两点间的距离AB=|x2-x1|=．当△=0．图象与x轴只有一个交点；这个交点的坐标是（，0）当△<0．图象与x轴没有交点．当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0；当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0．5．抛物线y=ax2+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，则当x=时，y最小(大)值=．顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值．6．用待定系数法求二次函数的解析式(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：y=ax2+bx+c(a≠0)．(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)．(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)．。