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二次函数y=ax2(a≠0)的图象与性质【学习目标】1．经历探索二次函数y=ax2和y=ax2＋c的图象的作法和性质的过程，进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验．2．会作出y=ax2和y=ax2＋c的图象，并能比较它们与y=x2的异同，理解a与c对二次函数图象的影响．3．能说出y=ax2＋c与y=ax2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．4．体会二次函数是某些实际问题的数学模型．5.掌握二次函数y=ax2(a≠0)与y=ax2+c (a≠0)的图象之间的关系.【要点梳理】要点一、二次函数y=ax2（a≠0）的图象与性质1.二次函数y=ax2(a≠0)的图象二次函数y=ax2的图象（如图），是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线.抛物线y=ax2（a≠0）的对称轴是y轴，它的顶点是坐标原点.当a＞ 0时，抛物线的开口向上，顶点是它的最低点；当a＜0时，抛物线的开口向下，顶点是它的最高点.2.二次函数y=ax2(a≠0)的图象的画法——描点法描点法画图的基本步骤：列表、描点、连线.（1）列表：选择自变量取值范围内的一些适当的x的值，求出相应的y值，填入表中.（自变量x 的值写在第一行，其值从左到右，从小到大.）（2）描点：以表中每对x和y的值为坐标，在坐标平面内准确描出相应的点.一般地，点取的越多，图象就越准确.（3）连线：按照自变量的值由小到大的顺序，把所描的点用平滑的曲线连结起来.要点进阶：（1）用描点法画二次函数y=ax2（a≠0）的图象时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x的值，然后计算出对应的y值.（2）二次函数y=ax 2(a≠0)的图象，是轴对称图形，对称轴是y 轴．y=ax 2(a≠0)是最简单的二次函数.（3）画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 3.二次函数y=ax 2(a ≠0)的图象的性质二次函数y=ax 2（a≠0）的图象的性质，见下表： 函数 图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 函数变化 最大（小）值y=ax 2a ＞0向上 （0，0） y 轴 x ＞0时，y 随x 增大而增大； x ＜0时，y 随x 增大而减小.当x=0时，y 最小=0y=ax 2a ＜0向下 （0，0） y 轴 x ＞0时，y 随x 增大而减小； x ＜0时，y 随x 增大而增大.当x=0时，y 最大=0要点进阶：顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. │a │相同，抛物线的开口大小、形状相同.│a │越大，开口越小，图象两边越靠近y 轴，│a │越小，开口越大，图象两边越靠近x 轴. 要点二、二次函数y=ax 2+c(a ≠0)的图象与性质 1.二次函数y=ax 2+c(a ≠0)的图象 （1）0a >j xOy()20y ax c c =+>cjyxOc()20y ax c c =+<（2）0a <2.二次函数y=ax 2+c(a ≠0)的图象的性质关于二次函数2(0)y ax c a =+≠的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值等方面来研究．下面结合图象，将其性质列表归纳如下：函数2(0,0)y ax c a c =+>> 2(0,0)y ax c a c =+<>图象开口方向 向上 向下 顶点坐标 (0，c) (0，c) 对称轴y 轴y 轴函数变化当0x >时，y 随x 的增大而增大；当0x <时，y 随x 的增大而减小.当0x >时，y 随x 的增大而减小；当0x <时，y 随x 的增大而增大.最大（小）值当0x =时，y c =最小值当0x =时，y c =最大值3.二次函数()20y axa =≠与()20y ax c a =+≠之间的关系j yxOc()20y ax c c =+>j y xOc()20y ax c c =+<()20y ax a =≠的图象向上（c ＞0）【或向下（c ＜0）】平移│c │个单位得到()20y ax c a =+≠的图象. 要点进阶：抛物线2(0)y ax c a =+≠的对称轴是y 轴，顶点坐标是(0，c)，与抛物线2(0)y ax a =≠的形状相同．函数2(0)y ax c a =+≠的图象是由函数2(0)y ax a =≠的图象向上（或向下）平移||c 个单位得到的，顶点坐标为(0，c)．抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的对称轴、最值与顶点密不可分，其对称轴即为过顶点且与x 轴垂直的一条直线，其顶点横坐标x ＝0，抛物线平移不改变抛物线的形状，即a 的值不变，只是位置发生变化而已．【典型例题】类型一、二次函数y=ax 2（a ≠0）的图象与性质例1．已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y=ax 与y=ax 2的图象有可能是（ ）A ．B ．C ．D ．举一反三：【变式】在同一平面直角坐标系中，一次函数y ax c =+与二次函数2y ax c =+的图象大致为（ ）．例2.根据下列条件求a 的取值范围：(1)函数y ＝(a-2)x 2，当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，当x ＜0时，y 随x 的增大而增大； (2)函数y ＝(3a-2)x 2有最大值； (3)抛物线y ＝(a+2)x 2与抛物线212y x =-的形状相同； (4)函数2a ay ax +=的图象是开口向上的抛物线．举一反三：【变式】二次函数y ＝mx 22-m 有最高点，则m ＝___________．例3. 二次函数223y x =的图象如图所示，点A 0位于坐标原点，点A 1，A 2，A 3，…，A 2013在y 轴的正半轴上，点B 1，B 2，B 3，…，B 2013在二次函数223y x =位于第一象限的图象上，若△A 0B 1A 1，△A 1B 2A 2，△A 2B 3A 3，…，△A 2012B 2013A 2013都为等边三角形，求△A 2012B 2013A 2013的边长．类型二、二次函数y=ax 2+c(a ≠0)的图象与性质例4.关于二次函数y=2x 2+3，下列说法中正确的是（ ）A. 它的开口方向是向下；B. 当x ＜﹣1时，y 随x 的增大而减小；C. 它的对称轴是x=2；D. 当x=0时，y 有最大值是3.举一反三：【变式】如图所示，抛物线2(0)y ax c a =+<交x 轴于G 、F ，交y 轴于点D ，在x 轴上方的抛物线上有两点B 、E ，它们关于y 轴对称，点G 、B 在y 轴左侧，BA ⊥OG 于点A ，BC ⊥OD 于点C ．四边形OABC 与四边形ODEF 的面积分别为6和10，则△ABG 与△BCD 的面积之和为________．例5.有一个抛物线形的拱形隧道，隧道的最大高度为6m ，跨度为8m ，把它放在如图所示的平面直角坐标系中．（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；（2）若要在隧道壁上点P （如图）安装一盏照明灯，灯离地面高4.5m ．求灯与点B 的距离．【巩固练习】一、选择题1.若抛物线210(2)m y m x-=+的开口向下，则m 的值为( )．A ．3B ．-3C ．23D ．23-2.抛物线24y x =--的顶点坐标，对称轴分别是( )． A ．(2，0)，直线x ＝-4 B ．(-2，0)，直线x ＝4 C ．(1，3)，直线x ＝0 D ．(0，-4)，直线x ＝03.两条抛物线2y x =与2y x =-在同一坐标系内，下列说法中不正确的是（ ）A ．顶点相同B ．对称轴相同C ．开口方向相反D ．都有最小值4.关于213y x =，2y x =，23y x =的图像，下列说法中不正确的是（ ） A ．顶点相同 B ．对称轴相同 C ．图像形状相同 D ．最低点相同5．在同一直角坐标系中，函数y=kx 2﹣k 和y=kx+k （k ≠0）的图象大致是（ ）.A. B. C. D.6.图中是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l 处时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2 m ， 水面宽4 m ．如图所示建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是( )．A ．22y x =- B ．22y x = C ．212y x =-D ．212y x =二、填空题7.抛物线23y x =-的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ．8.将抛物线2y x =-向上平移5个单位后，得到的抛物线的解析式是____ ____．9.已知(x 1，y 1)，(x 2，y 2)是抛物线2y ax =(a ≠0)上的两点．当210x x <<时，21y y <，则a 的取值范围是________．10. 对于二次函数y=ax 2，已知当x 由1增加到2时，函数值减少4，则常数a 的值是 ．11.抛物线2y ax c =+与23y x =的形状相同，其顶点坐标为（0，1），则其解析式为 ．12．如图，⊙O 的半径为2，1C 是函数212y x =的图象，2C 是函数212y x =-的图象，则阴影部分的面积是 .三、解答题13．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降1米时，水面的宽度为多少米？14.已知直线1y x =+与x 轴交于点A ，抛物线22y x =-的顶点平移后与点A 重合．(1)求平移后的抛物线C 的解析式；(2)若点B(1x ，1y )，C(2x ，2y )在抛物线C 上，且1212x x -<<，试比较1y ，2y 的大小．15. 已知正方形周长为Ccm ，面积为S cm 2． （1）求S 和C 之间的函数关系式，并画出图象； （2）根据图象，求出S=1 cm 2时，正方形的周长； （3）根据图象，求出C 取何值时，S ≥4 cm 2．。
